Sur certains modules dans une alg~bre de Lie semi-simple

Par JEAN DE SIEBENTHAL (Lausanne)

Magnificat anima mea Dominum

w 1. Introduction

1. Soient g une alg~bre de Lie semi-simple de rang l sur un corps k alg6brique- ment clo~ de caract6ristique 0, A l e syst~me des racines de 9 sur une sous-alg~bre de Cartan [9, avec A' = A - {0}. Une suite fondamentale de A est une suite libre r . . . . ~0l de l racines telle que /~eA implique #=a~q%+'"+aeq~e, les a, 6tant des entiers rationnels, tous 1>0 ou bien tous ~<0. A engendre un espace euclidien R ~ identifi6 ~t son dual au moyen du produit scalaire usuel.

Soit Ao un sous-syst6me ferm6 de A, c'est h dire tel que

A o = - A o (A o + Ao) n A c Ao. Une suite {#o, #1,...,/~k} C A est une Ao-suite si # ~ + l - # i ~ A o ( i=0 , 1 . . . . . k - l ) ; une partie A de A est dite Ao-connexe, si pour toute paire ~, 7'~A il existe une Ao-suite qui relie ~ ~t 7'.

TH~OR~ME: La partition A = A o u A 1 w. . . u A~ de A en classes rood A o vdrifie:

a) Toute classe A i est Ao-connexe b) Si (A~+ A j ) n A #O, il existe un entier k tel que (A~+ A i ) c ~ A = A k ; de plus

b') k r implique (Ai+ A j n A = A k

(A o + Ak) Ca A = A k b") Pour tout i il existe un i' tel que

(A~+ Ai,)CaA=Ao

2. L 'addit ion dans A d6finit dans A I Ao une loi de composit ion commutative, associative, non par tout d6finie, ayant un 0 not6 A o, tout 616ment A i ayant un oppos6

Ai,. Le but du prdsent mdmoire est l'dtude de ces structures. On peut se ramener aux

cas suivants :

3. Une suite fondamentale de A o fai t partie d'une suite fondamentale de A.

C'est le cas des sous-syst6mes ferm6s Ao dits satur6s : l 'intersection du sous-espace R ( A o ) support de Ao et de A coincide avec A o.

Lorsque

est l 'inclusion de suites fondamentales ci-dessus, et si ~,+~ .. . . . Yp, sont les classes de

2 JEAN DE SIEBENTHAL

~0~+ 1 . . . . . (pt m o d Ao, alors la classe de

l l

# = ~ mi ~oi est /7 = E ml ~Pi" 1 r + l

D6signant par R l-r le suppl6mentaire or thogonal du support de Ao, chaque classe A i admet une projection orthogonale sur R t-~ r6duite h u n point: le centre de gravit6 de cette classe.

La loi A I Ao est ici enti~rement ddterminde par les centres ao, ax, ..., trs des classes

Ao, Aa ... . . A~.

4. Le sous-systkme fermd Ao est de rang maximal l. Ici, R t-r= {0}, les centres des classes A i sont tous en 0. ParticuliSrement int6res-

sants sont ici les simplifi6s de A, c 'est ~t dire les sous-syst6mes ferm6s A o minimaux de rang l, tous de type

A s l O ' " ~ 3 A s , sl + . . - + s t = / .

Pour 6tudier A [ Ao, on peut choisir dans le suppor t R t de A un syst6me de g6n6rateurs

171 1 ~ ' " ~ T I , s t + I ; " " ; 17t1~ " " ~ "~t, s t+ 1

avec s~+ 1

E 171j = 0 (i = 1, 2 , . . . , t). j = l

Les racines de A o sont toutes les diff6rences 171,,--171m,; les autres 616ments de A sont de l 'un des types

17+z', 1 7 + z ' + z " , z + 1 7 ' + z " + z ' " .

Les A 7 c E7, A8 ~ E8, A2 c G2 conduisent aux expressions connues. Pour A 2 + A 2 + A 2 = E 6 , on obtient, en prenant

171~ T2~ "L'3 , "~'4, T5~ 176

~'1 + T2 -~" Ta = 0 "174 "~ "/TS "+" 176 = 0

~, C , . . . E { 1 , 2, 3} fl, fl', ... r {4, 5, 6}

les expressions suivantes pour les racines de E 6

On a ici trois classes

"C7, T8, 179

Z'7 -1- 178 "+" T9 = 0

r, ~/,... e {7, 8, 9}

Ao, A l = { % + z p + z r } , A r = - A 1

et A I Ao est un groupe cyclique d 'ordre 3. On pour ra constater ici, lorsque A est une structure exceptionnelle /?6, ET, Es, F4, G2 que les A ] Ao sont toujours des lois de groupes, sauf dans le cas E s [ 8A1.

z, - z,,; 17a - za,; zr - ~ , (racines de Ao)

+ (~, + ~p + 17r).

Sur certains modules dans une alg6bre de Lie semi-simple

5. Cette th6orie peut servir / t l '6tude: a) des sous-algObres rdductives go de g qui correspondent aux systOmes ferm~s Ao c A b) des go-modules en lesquels g se d~compose suivant ad go: A tout g e A correspond

dans g u n sous-espace 1-dimensionnel Ce . , avec

On a:

J'dcris:

[h, e~,] = p(h) e~, Vh~ D .

g = e o ( 9 ~ Ce~, #EA'

g o = e o ( 9 ~', C e u. ~EA'o

o 6 eo = t~

g~= ~ C e~ d'ofi a~Ai

1) g = go (9 gj ( 9 ' " ( 9 gs.

Les gi sont des go-modules, irrdductibles si i # 0 . On peut avoir [gl, g j ] = 0 ; si ce n 'est pas le cas, il existe un indice k tel que

[gi , g j ] C gk" Lorsque k r 0, on a: [g~, g j ] = gk; [gO, gk] = gk" Enfin, pour tout i, il existe i ' tel que [fli, gi,] c go. La connaissance de la loi A [A o implique celle des sur-alg6bres de go dans g,

permet de trouver rapidement les sous-algbbres go maximales (du type envisag6). Les sous-alg6bres go pour lesquelles l) se r6duit ~t

g = go (9 gl (9 g r [gl, gl ' ] c go, ou

fl = go (9 gl

correspondent ~t certains espaces r iemanniens syrn6triques.

6. Ce travail se rattache h [1] et ~ [2] chap I I off sont 6tudi6s principalement les systbmes ferm6s Ao en eux-mames. Ici, la question est reprise dans son ensemble, en por tant plut6t l 'at tention sur l'insertion de A o dans A. J 'a i utilis6 les listes donn6es dans [1] ou [2]; celles qui figurent dans [4] permet t ront d'6tudier le cas des sous- syst6mes satur6s des alg6bres simples exceptionnelles, cas qui ne figure pas explicite- ment dans le w 5.