C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, Serie I, p. 851-854, 1997Algebre de Lie/Lie Algebras

Sur In methode des orbites pour Ics orbitesregulieres d~ulle algehre de Lie semi-simple

Nikolaos PAPALEXIOU

Lahoratoire .Ie Th~orie .1..11 Groupe», U.n.A. 748, Univl'rsite Paris-VII,2. place Jussien, 75251 Paris CEDEX 05. Fram-e,E-mail: pUl.ull.xi@mathI.7.jussil"u .fr

Resume. Soient 9 une algebre de Lie semi-simple complexe, G son groupe adjoint algebrique,[leg) son algebre enveloppante et g: l'ensernble des elements reguliers de son dual.Suivant une idee de J. Dixmier [21, nous construisons une bijection de l'ensembleg: IG des orbites regulieres sur l'ensernble X des ideaux primitifs minimaux de U(g),sans utiliser la notion de « polarisation» (voir [I».

Oil. 'he orbit method for the regular orbits of a semisimpleLie algebra

Abstract. Let 9 be a complex semisimple Lie algebra with adjoint group G. Let U(g) be theenveloping algebra of g. and denote by s: the set of regular elements of the dual ofg. Following em idea of J. Dixmier [21. we construct a bijection from the set g: IG ofregular orbits onto the set .I of minimal primitive ideals of l!(g). without using thenotion (if "polarization" (see II J).

Soient 9 une algebre de Lie semi-simple complexe, G son groupe adjoint algebrique et g* Ie dualde g. Soient S(g) l'algebre syrnetrique de 9 et A(g) l'algebre de Weyl de 9 egale a l'algebre desoperateurs differentiels acoefficients polynomiaux sur g. On fixe une sous-algebre de Cartan ~ de 9et on note lV Ie groupe de Weyl associe. Soit B(g*) l'algebre completee de S(g*) pour la filtrationdefinie par les puissances de l'ideal d'augmentation m de S(g*). On considere l'algebre .4(g) desoperateurs differentiels sur g, acoefficients series formelles . Elle est engendree par S(g) et B(g*).L'action de G sur gJnduit une action sur S(g), ,~(g*) et A(g). On note S(g)G, S(g*)G et A(g)G,respectivement, les elements G-invariants de S(g), B(g*) er .4(g).

Ce travail a ~Il~ supporte par la fondation des bourses d'Etat de la republique de Grece,Note presentee par Michel Don,o,

0764-4442/97/03240851 © Acadernie des Sciences/Elsevier, Paris 851

L'elernent

N. Papalexiou

Pour tout element x dans g, on note Lg(x), ou simplement L(x), Ie champ de vecteurs sur gdont 1'1 valeur en y est :

ady LLg(x)(y) = 1 (d ) (x) = x + br(adynx).

- f'Xp - a y,' ~I

On peut regarder L g comme une application de g dans A(g). Cette application est unhomomorphisme de l'algebre de Lie g dans l'algebre de Lie sous-jacente a A(g) . On note encoreL g l'homomorphisme de U(g) dans A(g) qui prolonge L g• C'est un homomorphisme de G-modules.Soit Wg l'application de g dans A(g) qui associe achaque element x de g Ie champ de vecteurs :y f----+ -[x, y]. Considerons la serie formelie

sh(ad x/ 2) = "" 1 (adx)2tl.ad :r/2 c: 22tl(2n + 1)1

tl~O

del (~2'"(2'~ + l)!(·d X)''')

de S(g*) tend, quand rn -+ + 00, vers un element p de S( g*) dont Ie terme constant est 1. II existedone un element i, et un seul de .9(g*), de terme constant I. tel que P = p. Alors, jest inversibledans S(g*) et on a :

TUtOREME I. - Soient A E ~* et X.x le caractere central du module de Venna M(A) (voir [1J (7.1.9».Alors, l'ideal bilatere I~ (voir (2) (3.3» de U(g)

{u E U(g)ljL(/l)F 1 E A(g)Wg(g) + L A(g)(p - p(A»}pESt gJ"

est egal a l'ideal primitif minimal U(g) kr-r X.x.Pour tout A E ~*, on considere la variete normale (voir [5])

N(A) = {x E g*'f(x) = f(A) pour tout f E S(g)G}.

Soit 0:\ l'unique orbite reguliere contenue dans N(A). Dans [I), J. Dixmier associe achaque orbitereguliere 0:\ l'ideal primitif minimal de U(g), U(g) ker X.x. Dans Ie corollaire qui suit on retrouvel'ideal primitif associe aune orbite reguliere, sans utiliser la notion de polarisation.

COROLLAIRE 1. - Soit A E ~* . On designe par J(OA) l'ideal de definition de 0A dans S(g). Alors,l'ideal bilatere de U(g)

est primitiJ, et /'app/ication v definit une bijection de l'ensemble g;/G des orbites regulieres surl'ensemble .I des ideaux primitifs minimaux de U(g).

Demonstration. - D'apres [5) (Th, 0.5) et Ie theorerne I, on a Ie resultat.

DEMONSTRATION DU THEOREME I .Soient w l'isomorphisme de Barish-Chandra (voir [I) (7.4.6» de Z(g) sur S(~)H" et q f----+ ql~*

l'isomorphisme de Chevalley de S(g)G sur S(~)n· . En composant l'inverse de I'isomorphisme deChevalley et w, on obtient l'isomorphisme z ...-- p: de Z(g) sur S(g)G.

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Sur la methode des orbites pour les orbites regulleres d'une algebre de Lie semi-simple

PROPOSITION 1. - Soient 9 une algebre de Lie semi-simple complexe, z un element du centre Z(g) del'algebre enveloppante, P» E 8(g)G l'image de z par l'isomorphisme Z(g)'::::' 8(g)G, et j l'elementde 8(g*) defini precedemment. Alors, 011 a:

jLg(z)r l - pz E (A(g)lVg(g))G.

Demonstration. - On utilise sur A(g) la structure hornogene pour laquelle les elements de g* sont dedegre +1 et les elements de 9 de degre -1. D'apres [3] (Lemma 24) et [6] (Th.I). chaque composantehomogene de jLg(Z)j-l - pz appartient 11 (A(g)lVg(g))G. Done. l'homogeneite de (A(g)lVg(g))Gassure Ie resultat.

Soit 1r la projection canonique de 8(g*) sur 8(g*)j(g*c9(g*)) ~ c. On designe par tv I'applicationde ,~(g*) 0 8(g) sur 8(g) qui 11 n: 0 (J associe 1r(n)/J. ou n E S(g*) et /J E 8(g). On consideresur A(g) la filtration definie par Ie degre des operateurs differentiels. Le dual g* de 9 s'identifie 119 via la forme de Killing. Soit N(g*) I'ensemble des elements de g* qui s'identifient aux elementsnilpotents de g. Soit 8(g)~ I'ensemble des elements de 8(g)G sans tenne constant. D'apres [I)(8.1.3.), l'ideal de definition dans 8(g) de N(g*) est 8(g)~8(g). Pour tout operateur differentiel a

de A(g), on note a(a) son symbole principal.

LEMME I. - Soient grU(g) Ie gradue assode ala filtration sur U(g) et gr A(g) Ie gradue assode ala filtration sur A(g). Alors, Ie diagramme suivant est commutatif :

U(g)

jLp(.)j-'1A(g)

(T--(T--

grU(g) ~ 8(g)

IWgr A(g) ~ 8(g*) 0 8(g)

Demonstration. - Soit u un element de U(g) de filtration p. Soient 1)1 • . . .. IJ" une base de g, etql, ... ,qn la base duale de g*. D'apres [2] (Lemme 7.3), si u = Llnl~p'xop~l ...p~", on a

L(u) = L 'xnP~'''·P;:'' + L 1f1!q/:' ...p;:" + L w-",p·t",p~"lVg(PI)'Inl=p Idl<p hl<p,l~'~f1

ou les 'ljJrt, W-"i appartiennent a 8(g*); done,

jL(u)F l = a(u) - [a(u), j] r l +j L 'lj)I1P~1 ...p::")r l + L w-",pi1...p~.. (LqJ[Pj,Pi]).

I(tl<p hl<p.l~i~f1 j

Puisque jL(u)r l est la somme de a(u), d'un element de g*8(g*) 0 8(g) de filtration au plus P etd'un element de filtration inferieure 11 p, tv(a(jL(u)j-l)) = a(u).

PROPOSITION 2. - SoU ,X E ~*. Soit gr[A(g)lVg(g) + L,'ES(9)(; A(g)(p - p(,X))] Ie gradue assode

de A(g)lVg(g) + LpES(9)(I A(g)(p - p('x)). On a:

gr[A(g)lVg(g) + L A(g)(p - p(,X))] c 8(g)~8(g) $ g*8(g*) 08(g)pES(g)(;

Demonstration. - On demontre d'abord que gr[A(g)lVg(g) +LpES(9)(; A(g)(p -IJ('x))] est contenu

dans 8(g)~8(g) $ g*8(g*) 159 8(g). Soit N>. Ie A(g)-module agauche

A(g)j[A(g)lVg(g) + L A(g)(p - p('x))], ,X E ~*.pES(g)(;

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N. Papalexiou

D'apres la demonstration du theorerne 6.1 [4], la variete caracteristique Ch(N,x) de N,x est egale a

{(x ,~) E 9 x N(g*)1 ad x.~ = O} .

Par suite, {O} x N(g*) est contenu dans la variete des zeros de gr[A(g)lVlI(g) + L pES(lI) (: A(g)(p­p(A))J; done, pour a element de A(g)lVlI(g) + L pES (lI)(; A(g)(p - p(A)), tv(a(a)) est dans

l'ideal S(g)~S(g) de S(g) . Par un argument de platitude, Ie gradue associe de A(g)lVg(g) +

LpES(9)G A(g)(p-p(A)) est !'ideal de S(g*) ®S(g) engendre par gr[A(g)lVg(g)+ L pES(9)(1 A(g)(p­p(A))], d 'ou la proposition.

On va achever maintenant la demonstration du theoreme I. D'apres la proposition I, on aU(g) ker n c I~. Soit u' E Un(g) n I~. On montre en raisonnant par recurrence sur n que u'appartient a U(g) ker n. On suppose que U(g) ker X,x contient I'intersection de I~ et Ull - 1(g).D'apres Ie Lemme I et la Proposition 2, a(u') est dans l'ideal S(g)~S(g) = gr(U(g) kcr X,x); done,iI existe un element u de U(g) ker n n Un(g) tel que a(u) = a(u'). Alors, u - u' appartient aUn-t(g) . D'apres l'hypothese de recurrence, u - u' E U(g) ker n, done U(g) ker X,x contient u',

Remerclements, Je tiens a remercier J.Y. Charbonnel dont I'aide m'a ete precieuse au cours de ce travailet M. Duflo pour une conversation utile.

Note remise et acceptee Ie 13 janvier 1997.

References bibliographlques

[I] Dlxmler J., 1974. Algebres Enveloppantes, Gauthier-Villars. Paris-Bruxelles-Montreal.[21 Dixmler J.. 1978. Sur la methode des orbites . Proc. conf. : Non commutative lIarmonic analysis. Marseille-Luminy, Lectures

Notes in Math., 728.[31I1ari\h-Chandra, 1965. Invariant eigendistributions on a semisimple Lie group. Trans. Amer. Math. Soc. 119. p. 457-508.[4)lIotla R. and Kashlwara 1\1., 1984. The invariant holonomic system on a semisimple Lie algebra. Invent. Math.. 75.

p.327-358.(5) Kostant 8., 1963. Lie group representations on polynomial rings. Amer. J. Math.•85. p. 327-4<».[6] Levasseur T. and Stafford J. T., 1996. The kernel of an homomorphism of Harish-Chandra, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup.•

29. p. 385-397.

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