Sur la repr6sentation des 616ments diff6rentiels de l 'espace projectif (1)

par G: &~COCI~A (~t ~adrid)

R~sumd. • Reprdsentation des classes d'dldme~ts diffdrentiels de l'espace projectif ~ n dimen. sions pour lesquelIes le groupe projectif op~re transitivement. La mdthode suivie se base sur re fair que chaque classe est un espace algdbrique homog~ne par rapport au groupe lindaire sqdeial ~ (n ~-1) variables.

1. I n t r o d u c t i o n . - S o u s l ' i m p u l s i o n de E. BO~PIA~TI, l ' ~ tude de la repr6- sen ta t ion des ~l~ments d i f f~ren t ie l s de l ' e s p a c e p ro jec t i f a fair ces d e rn i e r s

t emps l ' ob j e t de n o m b r e u s e s r eche rches . 11 suff i t de r a p p e l e r les i m p o r t a n t s t r a v a u x de BoMI~IAI~I lui ,-m~me et c e u x de G. G~ERARDELLI et C. L0~GO~ ains i qu' u n in t~ressan t m~moi re de J. G. SEM:PL]~. (~)

Jusqu~a p r e s e n t on a consid~r~ p r e sq u e tou jour s des eas p a r t i e u l i e r s isol~s, de sor te que, mulgr~ de b e a u x exposes d ' e n s e m b l e diis h E. BOM~IA- ~I [1]- [4] , la th6or ie peu t d o n n e r 1 ~impress ion d' un ce r t a in m a n q u e de cohe- sion. P o u r combler , duns la m e s u r e du possible , ce t te l a c u n e nous nous pro- posons de d o n n e r duns cet a r t i c l e u n t r a i t e m e n t unif i~ de la ques t ion , en l' e n c a d r a n t duns la thgor ie des espaces a lgeb r iques homog~nes . (~)Avec no t r e m~thode nous ob tenons en pa r t i cu l i e r , et d ' u n e m a n i e r e tr~s simple, tous les r~sul ta ts eonnus (ou tout au moins publi/~s!t a n t d r i e u r e m e n t ; et, il va sans dire , b e a u c o u p d~autres . P a r m i les n o u v e a u x r~sul ta ts on r e m a r q u e r a c e u x qui c o n e e r n e n t les ~16ments d ' o r d r e t rois du p l an et l e s ~l~ments superf i - c ie ls d ' o r d r e d e u x de I ~ espaee /~ t rois d imens ions , p o u r l esque l s les t en t a t ives prde~dentes de r e p r e s e n t a t i o n n ' a v a i e n t pas r~ussi.

/qous fa isons la th~orie p o u r des espaces p ro jec t i f s sur des corps alga. b r i q u e m e n t elos que lconques . Not re po in t de r u e est a lg6br ique duns ce sens que nous cons id6rons l ' e s p a e e p ro jec t i f c o mme une var idt¢ a l g e b r i q u e : les a n n e a u x l o c a u x que nous u t i l i sons p o u r la d~f in i t ion des ~l~ments diff~ren- tiels, sont c e u x des fonc t ions ra t ionne l les . On p o u r r a i t consid~rer , duns le

(t) Une grande partie de ce travail a ~t4 rgalis~e, en 1959-60 i~ Caracas, au cours d'un sdjour de l 'auteur comme professeur invitd par le ~ Consejo para el Desarrollo Cien¢ifico de la Universidad Central de Venezuela ,.

(~) Voir h ce propos E. BOMPIANJ [4:] OO se trouve une bibliographie compti~te. (s) Une esqulsse de la ra~Ithode a dtd exposde par l 'auteur en 1956 (G-. A~COC~EA [2]).

342 G. ANCOCHEA: ~qur la reprdsentatio~ des 5ldment.~, di)j'dre~tiel,~.~ etc.

cas d 'un corps valu~ complet et non discret (par exemple, celui des com- plexes) des anneaux de fonctions holomorphes, et m~me, dans un cas plus g6n~ral, des anneaux de sSries formelles. ~Iais pour les ~l~ments differentiets d 'ordre fini, les seuls qui nous occupent ici, notre point de vue ne restreint pas la g~fn~ralit~.

La representat ion des @l~iments diff(~rentiels se fair au moyen de vari~t~s alg~briques. L ' ex i s tence de celles-ci, pour chaque elasse d 'el6ments, est as- surge par des r~sultats connus de la th~orie des groupes alg(ibriques que nous rappel lerons au moment opportun. C'est plfitot h la d~termination << effecttive )> des expresions des coordonn~es de ces vari~t6s~ dans l ' espace project if off chacune d ' en t re elles peut ~tre immerg~e, qu ' e s t d~di~ le pr6- sent travail.

Bien qu ' i l soit habituel, dans les t ravaux publi~s sur ces questions, de d~fterminer le degr~ des vari~t@s qui s ~obtiennent ainsi que de prouver, quand tel est le cas, que le module obtenu est minimum au sens de SEYERI, nous ne traitons ici ces aspects~ ce seront des questions laissdes pour le moment de eot(i et qui feront l 'ob je t d ' u n e publicat ion ult~rieure.

2. El{iments diff@rentiels de l 'espaee pro jec t i f . - Nous commeneerons pour donner une d@finition d' @l~ment diff@rentiel valable dans le cas le plus g@n~ral. 57ous y arriverons en nous appuyant sur le concept de point proche tel qu ' i l a ~t~ introduit par A WEIL [1].

Consid~rons Fespace projectif P(n, K), de dimension n sur le corps K, comme varidt~ alg~brique. ~ o u s d~signons par ( x ) - (x,~, x~, . . . , ~,~) les eoor- dorm,s homog~nes d ' un point et par ( y ) : (y~, y.~, ..., y,.) les coordonn~es non homog~nes, Y i - x~/Xo~ pour les points avec x 0 ~ 0. Soit 0 le point de coor- donndes homog@nes (1 ,0 , . . . ,0 ) et soit © l ' anneau local de O, c ' e s t -~ -d i re l ' anneau des fonctions rat ionnelles homog~nes r~guli~res en O. On sait que © est isomorphe h F anneau des fractions de A - - K [ y ~ , y 2 , . . . , y , ] dont le d@nominateur ne s ~ annule pas pour (y)--(0) . Pour une branche C de courbe- alg~brique d 'or igine 0 et ddfinie sur K, branche dont les coordonn~es admet tent des ddveloppements en s~rie suivant une uniformisante avec des coef- ficients appar tenant ~ K, et pour toute F G © on d~finit de la mani@re habi- tuelle l 'o rdre de F sur C: c ' es t un entier que nous d~signerons par (F, C). Etant donn6 un ensemble C ~ iCi, m~!, off les C~ sont des branches de courbes alg~briques d 'origine 0 et les m~ sont des entiers, Ies F e © pour lesquelles on a, pour toute i, IF, C~)~m~ consti tuent un iddal fl de ©.

Darts le eas off les m~ sont born@es sup@rieurement, en part icul ier quand F esemble des indices i e s t fini, on volt faci lement que l'id@al a est primaire et de dimension nulle, ayant (y~, y~, . . .y.) comme id@al premier correspon- dant. L ' a n n e a u ©/a est alors art inien et ce sont des anneanx de ee type

G. A~=C0CHEA: Sur [a reprdsentatio~ des dldments diffdrentiets~ etc. 343

qui ont ~t6 utilis~s par A. WEIL [1] pour introduire le concept de point proche sur les vari6t~s analytiques. C ~est par cette raison que nous dirons, en tout cas, que l ' ensemble ~ ou que l ' id~al a d6finissent un poin 0, proche de 0. Si les m~ sent born6es sup~rieurement et on a m = max(m~)- 1, nous dirons que m est l 'o rdre du point. 0~. L 'ordre correspond ~ la hauteur de 1' annean ~),/a dans ta d~nomination de a WELL.

D' uue vari~t~ alg(~brique de P ( n , K}, dent l ' idea l eorrespondant en K [y] soit q, nous d i rons .qu ' e l l e passe par 0~ quand t ' id~al ©q est contenu dans l ' id~al a. L~esemble des vari6t~s de dimension h qui passent par 0, est, par d6finition, un 61~ment diff~renttiel E h(n) de dimension h du P (n, KI. Si 0, est d 'o rdre m, nous assignons cet ordre h l '~ldment que nous ~crirons alors sous la forme E~(n) Quand parmi les vari6t~s de ,,(n) il existe au moins une pour laquel le te point 0 soit un point simple, nous dirons que E~ (n) est r6gulier et dans les autres cas qu ' i l est singulier.

On d6finir~tit de la m~me manibre les ~l~ments diff~rentiels d 'or igine dans un point 0' quelconque de P(n,K). II est ~vident que le trasform4 d'un ~l~ment diff~rentiel par une projeetivit6 de P(n, K) est un 616ment de mP, me dimension et de m~me ordre.

3. Reprdsentat iou d'dlfiments difffirentiels du P(n, K) - :Nous allons 6ta- blir une classif ication pour les 616ments differentiels du P(n, K). Nous dirons que deux 616ments appar t iennent /~ la mgme classe quand l ' un d~entre eux est le transform6 de 1 ~ autre par une projectivit~ du _P(n, K), e 'est-i~-dire par une t ransformation du groupe project if g6n6ral _I:'GL (n + I, K). Soit 6 (n) une classe d'616ments de dimension h; par une repr6sentat ion de $ (n) nous en- tendons un systbme form6 par une varidt6 alg6brique V, a d m e t t a n t PGL (n + 1, K) comme groupe de transformations, et par une application bi~eetive f~: ~ (n) ~ V telle que, pour toute z ~ PGL(n + 1, K), le diagramme

E , - - E~ (E,, E, e ~ (n)) (3.1) t l

(~

soit commutatif . L' ensemble 6 (n) est un espaee homog6ne par rapport /~ PGL (n + 1, K).

D'au t re part, K 4tant a lg6briquement clos, il existe un homomorphisme surject if canonique

• : S L ( n + t , K ) ~ P G L ( n + 1, K)

du groupe special lin6aire SL (n + 1, K), groupe des matrices unimodulaires

344, G. ANCOCItEA: SUr ~(b rcprdse~#ation de.~ dldments diff~rentieIs~ etc.

d 'ordre n + 1, sur PGL (n + 1, K). Donc la c l a s s e $ (n) pent etre aussi con- sid~r~e comme un espace homog~ne par rapport h SL (n + 1,/~). Soit alors E un (~l~ment quelconque de ~(n) et soit H te sous-groupe de SL(n + 1, K) qui laisse invariant E. Les 41~ments de ~(n) se correspondent bi jeet ivement avec les classes de SL (n + t, K) suivant H. On salt alors qu ' i l est possible, et d ' une mani~re naturelle, de munir $(n) d 'une s tructure de vari4t~ alg~- br ique et que cette s t ructure est d~termin~e univoquement du point de vue birat ionnel (C. CHEVALLE¥ [1], [2]). On volt ainsi que le probl~me de la representat ion d ' u n e classe d'414ments diff~rentiels de l ' espace proiectif a toujours une solution birat ionnet lement univoque. La vari~t~ alg~brique obtenue V dtant homog~ne n ' a pas de points singuliers et, d ' au t re part, un r(isultat dt't h W. L. CHow [1] montre pue V peut etre immerg~e dans un espace projectif , c 'est-~t-dire que V peut ~tre consid~r~e come sous-vari(~t~ d 'une vari~t~ projective. La vari~t(~ V ne sera en g4n~ral complete; pour qu 'e l le le soit il faut et il suffit que H contienne un sous-groupe de BowEL de SL (n + 1, K), sous-groupe coning4 d' un groupe complet de matrices trian- gulaires (A. BOI~EL [1]). Seuls les ~l~ments de premier ordre sont dans ces conditions.

La condition que le corps K soit alg~briquemente clos n ' es t pas n~ces. saire pour une grand part des r~sultats que nous donnerons. Pour ceux-e i il suffirait de supposer que le groupe quotient K*/(K*)'+ ~, off K* est le groupe mu[tiplicatif de K et n la dimension de l ' espace projectif, soit fini. Tel est par exemple le eas pour le corps des r4els. Nous ~tudierons quelques exemples dans le eas du corps r~el; les particularit~s qui se pr~sentent dans ee eas i l lustrent ce qui peut arriver dans d~autres eas plus g~n~raux. 5iais saul indication explici te nous supposerons toujours K alg~briquement elos. 5i~me duns le cas off K*/(K*) ~+t ne soit pas fini on peut d~velopper une th~orie analogue h eelle expos~e ici, en restreignant le concept de classe d ' un ~l~ment de sorte qu 'une classe ne comprenne pas tous les transform~s projectifs de l '614ment mais seulement ceux qui s 'ob t iennent de celui-ci par les t ransformations de SL (n + 1, K). (~)

4. Reprgsentat ion de ~ (2). - (F. EN~iqu~s [l], G. Sconz• [i], F. SEV~ERI [I]). Bien que ce cas soit tr~s ~l~mentaire et qu ' i l ait ~t~ r~solu d~puis

longtemps, nous allons nous en occuper parce que ddj~ dans ce cas on volt elairement le m~eanisme de notre mdthode. Soit E l '~l~ment de dimension 1, d 'or ig ine O, d~termin~ par le point 0~ proche de 0 d~fini par (C, 2), o4l C

(+) Dans ce eui suit, K ~tant suppos6 fixe, nous suppr imerons la K duns la pInpart des notations. Ains i nous 6crirons .P (n), t)GL (n + 1) et SL (n ~-1) au lieu do .P (n~ K), PGL ( n + 1, K) et SL (n + 1_, K).

G. ANCOCYIEA: S~F la reprdsentat io~ des dtdme~ts diffgrentlela, etc. 345

est la b ranehe de coordonn~es x 0 -- 1, x i - - t, x.~ - - t". L a eourbe d 'dqua t iou

(4.1) x i x ~ = ~c~

passe pa r 0 t . P o u r qu ~une t r ans fo rma t ion

(4.2) a : (x) ~ A (~)

ddfinie par une mat r ice A -- (a~j) e S L (3) laisse invarian~ E i l fau t et il suff i t que la t rasform~e de (4.1) passe par 0 , . Pu i sque ~ doit l a i sser i nva r i an t O, on doit avoir a ~ o - - a ~ o - - 0 et la t ransform~e de (4.1) au ra l' ~quat ion

(4.3) (a0o% -{- ao~X~ + ao2~C~) (a2ix'~ -{- a ~ % ) = (a~x,~ .-I- a~x~) ~

L a condi t ion de passage de (4.3) par 0~ donne a:~ = 0. D6signons par H~ le sous -groupe des mat r ices A pour lesquel les on a

(4.4) a~0 : a~o = a ~ : 0;

on a u r a donc H~E ~ E. Soit

(4.5) ~ : (x) ~ U (x)

une t r an fo rma t ion du /)(2) d~termin~e par la mat r ice U - - ( u ~ j ) u n i m o d u l a i r e , que nous ~crirons sons la forme U - - [%, u~, u.~], avec u, = (u~o, u~ , u~2), et soit E' = ~E lc t ransform~ de E par ~. De (4.5) on d~duit

(4.6) (:: H~(x) ~ H~ U(x)

ce qui, en ver tu de (4.5), mont re que la elasse h droi te Hi U , de S L ( 3 ) sui- r a n t H~ t r ans fo rme E en E'. Les mat r ices de la classe H iU sont de la forme

(4.7) [a00u o + aotU ~ + ao~u2, a,~u~ -{- a~u~, a~u.~],

oll voit a insi que les (u.~) eoordonn~es de la t angen te i~ E', sont d(i termin~es saul le f ac t eu r a:~ et que, si on pose

(4.8) ~c = [u~, u~] e' es t - i t -d i re x~ : u~ju~ - - u ~ u ~

(i, j , k pe rmu ta t i on de elasse paire de 0, 1, 2)

les (x), coordonn~es de l' or igine de E', v i ennen t donn~es au fac teur at~ a~: pr~s.

A n n a l i t~i M a t e m a t i c a 44

346 G. ANCOCHE~: Sur l(t, representation des til~ments di]]drcntiels, ctc.

Cela 6tant, consid6rons dans le P(8), avec les coordonn6es homog6nes z~j ( i , j - - O , 1, 2), les points de coordonn6es

(4.9) z~ = x~ u~j

Ces points sont ceux d' une vari~t~ V~ a trois dimensions situ@ dans 1' hy-~ perplan

(4.10)

puisque le point (x) est sur la droite (u:). A chaque 61~ment de 8~(2) corres- pond an seal point de V~. R6ciproquement, pour chaque point de Vi les coordonn6es (4.9) permet tent de calculer ]es (us) ~ un facteur prbs et les (~c) sauf un aut re facteur. Les (4.8) donnent les (u~) modulo les (us) et, finale- ment, les (u0) ne sont assujeties h d ' au t r e condition que celle de faire uni- modulaire la matr ice U. Donc le point de V~ d6termine univoquement ]a classe H~U, c'~st-/~-dire l' 616ment correspondant de 8~ (2).

La vari6t6 V~, repr6sentative de 8~ (2) coincide avec l a vari6t6 des drapeaux du 1)(2) (A. Bom~r~ [1]); elle est complbte, le groupe H~ 6tant un sous-groupe de BonEL de SL (3). La vari6t6 V admet comme groupe effectif de transfor- mations lin6aires le groupe G' mixte forme par le PGL(3) et par ]es corr6- lations de P(2). Elle admet aussi un groupe plus ample de transformations birationnelles induit par les t ranformations du PGL (6) op6rant sur le P(5) (ot~ l' on prend comme coordonn6es homog(~nes xo, x~, x~, u~0, u.~, u~.) qui laissent invariant l ' hyperquadr ique

(4.11) U~oXo -4- u~x i ~ us~x~ ~ -= O.

!~ais de ees transformations birationnelles de V~ seulement sont bir6gulibres celles qui correspondent au groupe mixte /~ S parametres G'.

5. ~(2). - Soit E F 616merit d 'or igine 0 d6termin6 par le poin O~ proche de 0 d6fini par (C, 3), o~ C est la mgme branehe de 4. La courbe d' 6quation (4.1) passe par 0 I. Pour qu ' une t ransformation (4.2) laisse invariant E on doit avoir, en outre de (4.4), la condition

2 (5.1) aooa~s : a~.

Puisque le d6terminant } A I est 6gal h 1, cette condition entraine a ~ i - 1. D6signons par Hs le sous-groupe des matrices satisfaisant les (4.4) et (5.1). Pour les matrices de la classe H ~ on aura la forme (4.7), avec aooa~ = a~ et

G. ANCOCHEA: S~tr lt~ representation des dldme~#s di]fdrcntie~s, etc. 347

s a ~ - - 1 . Comme duns 4., les facteurs d ' ind~te rmina t ion des (u~) et des (x) sont respec t ivement a~ et a,~a~. Cola Stunt dis t inguons deux cas: a) K e s t le corps r~el, a~ -- 1 n ' admet alors d ' au t r e solut ion qu a~ -- 1; et b) K est a lg~briquement clos.

a) Duns c e e a s les (x) e t les (u) sont d~termin~es saul le mSme fac- tour a~, done peuven~ ~tre consid~r~es comme ]e coordonn(~es d ' u n point du P(5). Cos coordonn~es satisfont l ' dqua t ion (4.11); soit Q l ' hype rquadr ique repr~sentde par cette equation. A chaque ~l~ment de 8~(2) correspond univo. quemen t un point de Q. Et ~ tout point de Q qui ne se trouve pus dans l ' u n des deux plans d '~quat ions

(52) U~o - - Ue~ "-- ~t:. 2 "-- O,

correspond un ~ldment de 8~(2). En effet, une lois connues los (us) et los (x) on pout d~terminer, comme duns 4., los (u~) et los (u~) de la classe H2U. Done la vari~t4 V~ ~ni r~sulte de suppr imer de Q los deux plans (5.3) repr~- sente la classe ~ (2 ) . La V n ' es t pus complete, comme correspond au fait que le groupe //.~ ne cont ient pus un groupe de BO2EL de SL (3).

On peu t envisager Q comme l ' hype rquad r ique KLEIN des droites du P(3). Los plans (5.2) correspondent alors i~ une gerbe de droites et /~ un plan r~gl~, tels que le sommet de la gerbe et le p lan r~gl~ ne soient pus incidents . Ceci donne une repr4senta t ion de 8~(2) au moyen des droites de l ' espace r~gl~ P(3). Le sous-groupe du PGL (4) qui laisse invar iants un point et un p lan non incidents du P(3) est un groupe isomorphe, duns l e c a s r~el, au groupe lin~aire g~n~ral GL(3) i~ 9 dimensions. Ce groupe op~re effective- ment sur IT, (seule l ' ident i t~ laisse invar iants t o u s l e s points de V~); done V.~ admet un groupe de t ransformat ions l ineaires plus ample que le SL (3), groupe de d imens ion 8.

R E M A R Q U E . - Les points de V~ qui correspondent ~ des 61~ments de ¢%(2) ayant la m~me taugente, ee qui revient h dire passant par le m~me ~l~ment de o~ ~o~(2) sont dans la droite d(itermin~ par les deux points

(5.3) Xo, x{, ~2, 0, 0r 0

0~ 0 , 0 , ue0 , st~t~ u2~ .

C0mme vari~t~ de ces droites on obtient~ clans la g rassmanniene des droites de P(5), cello dont les coordonn~es cliff, rents de 0 sont pr(Scisement les (4.9). Ce qui donne de nouveau la representa t ion de ~i(2)"

348 G. ANCOCHEA: ~Ur lq, reprdscntation des dld,~wnts di]fdrentiels~ etc.

b) (ENGEL [1], STUDY [1], GttERARDELL]: [1], SEM.PLE [1]). Si K est alg6. br iquement clos, les (u~) et les (x) admettent dies faeteurs d ' ind6terminat ion distincts. ~[ais, du fait que l 'on a a~ -- 1 il s ' en suit que les coordonn6es des vari6t6s de Veronese: (u~) ~ et (x) ~, d ' indice trois correspondantes au plan ponctuel respectivement, sont d6finies an m~me facteur a~ pr6s. Pa r cons6- quent, /~ chaque 616ment de ~ (2) correspond univoqt~ement nn point de la vari6t6 projective du P(19) dont les coordonn6es param6triques sont

(5.4) (x) ~, (u~) 3

les (a~) et les (u~) li4es toujours par la relation (4.11). R6ciproquement tout point de la vari6t6 (5.4), non situ6 duns l ' une des deux sous-vari4t4s eorre- spondantes aux 6quations

(5.5) (z) = (o), (u~) = (o)

d4termine les (a~) et les (us) saul un facteur, les (x) pouvant encore ~tre multipli@s par une racine troisi6me de 1 ~unit4. Donc la vari6t6 V': obtenue en suppr~mant de la (5.4) les sous-vari6t6s (5.5) donne une repr6sentation de la classe ~(2) . La vari6t6 V'~, qui n 'es t pas compl6te, n ' a pus de singula- rit6s. Pa r contre la vari6t6 compl6te (5.4) a comme des sous-vari6t6 singu. lieres les (5.5); mats il est facile d 'obteni r une transform4e birationnelle de (5.4) sans singularit4s de sorte que la t ransformation correspondante soit bir6guli6re dans t o u s l e s po in t s de V'~. I1 suffit d ' appl iquer deux dilatations, au sens de ZAmS]~I, de centres dans le sous-vari6t6s (5.5); ce qui s 'obtient en mult ipl iant les coordonn~es de (5.4) par (x) (us). Il r6sulte a-insi la vari6t6 r6guli6re de coordonn6es

(5.6) (~)' (us), (x) (u~)'

trouv6e par G. GI=[ERARDELLI [1] et dont il a d6montr6 qui est le mod61e min imum au sens de SEVERI pour la classe 6~(2).

Nous allons voir maintenant que V'~ admet un groupe de transformations effectif plus ample que le PGL(3). C'est le groupe G quotient du GL(3) suivant te suos-groupe distingu6 ~/, avec e 3 -- 1 et I la matr ice unit6, groupe de dimension 9. En effet~ soit ~ un 614ment de G et soit Me GL(3) une des matrices correspondantes h ~, M peut s '~crire sous la forme M = m.M~, avec m scalaire et M~ eSL (3). Soit M* la matr ice eontragr6diente de M~. Appliqaons ~t h V'~ suivant le d iagramme

(5.7) (v'~): ((x) 3, (u~) 3) - - ((M (x)) ~, M* (u$)~),

cette t ransformation laisse invariant (4.11), elle est donc une transformation

G. Ab~COCHE~: SU~" [t?~ reprdscntation des dldments diff~rentiels~ etc. 349

de V'~ et il est facile ~ voir que des ~l~ments distincts de G donnent des transformations distinctes de V'~. Le fair que le groupe admis par V'~ soit h 9 dimensions a 6t~ remarqu6 par E S~UD¥ [1]; r~cemment E. Bo~,~PIA:s~ [3], [4] a donnO pour la presence de ce groupe une tr/~s ing~nieuse interpreta- tion g~om~trique.

6. $~(2). - (Caract(~ristique de K distincte de 2) Soit E l '~ldment corres- pondant au point 0~ proche de 0 d~fini par (C, 4), off C est la branche de 4. L ' invar iance de E par A donne, en outre des (4.4) et (5.1), la nouvelle condition

(6.1) ao~a~. 2 __ 2a~a, 2 (5)

]~n d~signant par H~ le sous-groupe des matrices de S L (3) que satisfont ces conditions on aura, pour les matr ices de la classe HsU

(6.2)

H, (u~): a~,(u,) + a,du ~) = a,~((u~) + ~(u:))

H 3(x) : a~ia~:(x )

et si on pose (z)--[u0, u~],

(avec)~ -- a~/a~i )

(6.2')

Pour arriver i~ la varlet6 V 3 qui repr~sente $~(2), nous allons construire d~abord une vari~t~ alg~brique r~gl~e W telle que les droites de W so ien t en correspondance bijective avec $~(2), ces droites consti tueront une vari~t~ alg~brique pour laquelle le diagramme (3.1) sera commutat if et que, par suite, sera la varlet6 V 3 ehereh6e. L 'ob ten t ion de V~ h part ir de W se fera d ' u n e mani~re tout h fait analogue ~ eelle suivie duns la Remarque de 4. a). Pour d~finir W nous prenons la classe de l 'ob je t g~om~trique L form~ par l'~l~merit E et par le point (Z) ----- (0, 0, 1) de la tangente h E. Cette elasse est cons t i tu te par l ' ensemble ~ des transform6s de L par le groupe P G L (3). Le sous-groupe II'~ qui laisse invariant L est form~ par tea matrices A qui

(~) G'est ici que l'hypoth~se de la caract~ristique :=~ 2 intervient.

350 G. ANCOCtIEA: S~t~r la reprd.sentation des dldments di]]d,rentiets~ etc.

satisfont (4.4), (5.1) et, cn outre, a0~ : a~ = 0. Pour les matrices de la classe H'3U on aura

It'gu~) : a,,(u~)

(6.3) t l ' gx) : a,~a~(x)

La varidt(~ W sera celle qui s 'obt ient de la vari~t~ complete W dont les coordonm~es parame~triques sont

(6.4) (u~) (x), (uO (z),

quand on enleve la sous-vari~t6 qui correspond i~ la relation (x,)= (0). 5Tous rappelons h c e propos que les (x) sont donn~es en fonction des (u~) et (u~) par les (4.8) et que, par la d6finition des (z) et la condition d 'e t re U unimo- dulaire, on a

(6.5) U~oz o -]- U2izi -~U:2Z ~ = 0 ,

U~oZ o +U~iZ ~ +Ui,Z~ = 1.

Si dans l ' ob je t L' on fixe E' et on d~place Z ' = (z) sur (u~), les points correspondants dans W seront, en vertu des (6.2) et (6.2'), sur la droite d' dqua- tions param4tr iques

(6.6) ((u,) + Z(u~))(x), (us) (Cz) + 2z(x)).

Evi~lemment ces droites sont en correspondence bijective avec les dldments E' de $~3(2)" Pour les droites de (6.6) on obtient les ~quations paramdtr iques

(6.7) p# -- 2ul~x i - - u~z, (i, j - - O, 1, 2).

Donc l a vari6t6 V 3 cherch6e aura les 6quations (6.7). On volt que les Pij saris- font la relation

(6.s) P0o + P ~ i +P22 - - 0,

I1 r~sulte ainsi pour V 3 une varietY, non complbte, du PC7). II est facile de

G. ANCOCHEA: Sur ia reprdsentatlon des dldmen~s diff&'entiels, etc. 351

constater que V~ admet le groupe G de 5, ~ 9 dimensions, comme groupe effectif de transformations.

On peut obtenir une autre vari6t6 V'~ pour representer la classe g~(2), en suivant un chemin diff6rent. On sait que les coniques du plan ayant, dans un point, un contact du troisibme ordre constituent un faisceau lin6aire de dimension 1, auquel appartient la tangente dans le point compt6e deux lois. Soient z(~) ((ij) combinaisons avec 0, 1, 2) les coordonn6es dans le /)(5) repr6sentatif des coniques ponctuelles du plan. Soit a - (a,i)une conique non singuli~re et v0, v~, v: les coordonn6es, dans le plan, d 'une tangente h a. On aura

(6.9)

0 V o ~)t a3~

V0 05oo O~oi ~0~

el. ~0t ~l.l 0~t~

V~ 0~o2 ~i2 ~

--o, I~jI =4=0

Les coordonn~es des coniques du faisceau d6termin6 par ~ et par v seront

(6.1o)

Les points correspondants dans P(5) sour sur une droite. La vari~t4 de ces droites peat servir pour repr6senter la classe ~'~(2). Ses coordonn~es, dans le P(14) off se trouve la grassmanniene des droites du P(5), iprendront la forme

(6.11) P l ] , r s - - " O~i jVrV* - - g r s V i V j •

7. - ~4(2). Chaque 415ment de ~4(2) est univoquement d4t~rmin6 par son origine et pa r une conique r~guti6re passant par ce point. Comme vari6t6 V~ pour ~4(2) on peut done prendre, dans le P(17) off se trouve la vari~t~ de S]~rtE produit du plan ponctuel P(2} et du /)(5)des eoniques ponc- tuelles du plan, celle de coordonn6es

(7.1) p~j, r : =~jxr ,

les a e t les (x) li4es par l '6quation

Y. % x i x i - - 0, a v e e I :¢'i t ~ 0.

La V4, qui n 'est pas compl6te, n 'admet le groupe G de 5. comme groupe effectif, mais seulement le PGL(3).

352 G. ANCOCttEX: Sur ta reprdsentation des dldments <liffdrentiels~ etc.

8 - ~(2). (Caract6ristique de K distincte de 2}. Pour d~finir un ~14ment de ~(2) d 'or igine 0 et non correspondant ~ un point sextactique, on peut prendre la branche C de coordonn~es: x o - - 1, x ~ - t - - ( 1 / 2 ) t ~ x : - - t ~ (G. A~cOCI~EA Ill). Soit O~ le point proche de 0 qui correspond i~ (C, 6). Lee cubiques nodules tangentes en 0 aux droites x~ ~ 0, x~----0, dont la branche tangente ~ x : - - 0 passe par 0~, forment te faisceau

(8.1) XoX X: - + + Zx (xox - - = o.

La vari~t~ W de la classe const i tu te par les transform~s du faisceau (8.1) par le PGL(3), est repr~sent~e dane le P(9) qui correspond aux cubi- ques du plan au moyen des expressions des coordonn~es z(~ik ) (i, j, k} combinaisons avec 0, 1, 2) en fonction des uli de la matr iee UeSL(3 ) qui donne la t ransformation du PGL(3}. Darts eette vari~t6 les points qui correspondent i~ un m~me ~l~ment de ~5(2) sont sur une droite. La vari4t~ de ces droites est eelle qui repr~sente la classe ~5(2). Ses coordonn~es, dans l ' espace P{44) de la grassmanniene des droites de P{9) se t rouveraient par le proc4d~ habituel.

9. - ~(2) . Prenons dane la branche C donnSe h 8. le point proche 0~ d(tfini par (C~ 7). La cubique nedale du type consid~rd en 8. dont la branehe tangente h x 2 - - 0 passe par O, est univoquement d~termin~e et a pour ~quation

(9.1) XoX X = +

Par suite la vari6t~ t~ de ces eubiques repr~sente la classe ~6(2). Une image projective de V6 se trouve dans le P(9) ou se repr4sentent lee cubiques du plan.

I : ~ E M A R Q U E , - Lee 61~ments r6guliers d 'ordre sup6rieur ~ 6 dans le plan poss6dent un invariant projeetif : la courbure projective. Le PGL(3) n'~tant pas transitif duns l ' ensemble des (tl6ments du m~me ordre~ ees eas n ' en t ren t pas duns le cadre du eette ~tude.

10 Eldments singuliers du P(2). - Nous allons trai ter seulement deux eas et pour un point de rebroussement correspondant h ta branche C de coordonn4es x o - - 1, x ~ : t 2, x ~ - ~ t s.

a) Classe ~(2}. (C. L o : ~ o [1]). Soit E t '~l~ment d 'or ig ine 0 passan~

G. A~c0ci~EA: Sur la reprgsentation des ~dme~ts di]f~rentiets~ etc. 353

par le point 01 d6fini par (C, 7). La courbe d' ~quation

3 (10.1) XoX~ = x,

passe par 01. Pour que la t ransform~e de (10.1) par (4.2) passe par 01 on doit avoir (4.4} et

(10.2) aooag., "- a3~, ,

ee qui entralne, puisque on a [ A [ -- 1, la relat ion a ~ - - a2~. Si on d6signe par H'6 le groupe des matr ices A qui satisfont (4.4) et (10.2), on aura pour la classe H'eU

(10.3) H'6(u2) : a~(u2)

s'0(x): alla (x)

Ce qui donne, en la forme accoutum(~e, pour variet6t~ V'6 representa t ive de ~ ( 2 ) eelle q u ' o n d~duit de

(10.4) (w) *, (u~) ~

en suppr iman t les sous-vari6t6s (x)- - (0) et (u2)--(0). Les ( x ) e t les (u2) sat isfaisant toujours la (4.11). Si on veut r6soudre les singulari t~s de la vari6t~ complete (10.4), il suffit d ' app l ique r la di la tat ion qui r~sulte en mul t ip l ian t les coordonndes dans (10.4) par (x)(u~); on obtient aiusi

(x)°(u2), (u)°(x),

vari~t~ donn~e par C. Lo~(~o [1] et pour laquelle il a d~mo~tr~ qu ' e l l e est est un module m i n i m u m au sens de SEVERI.

b) Classe ~ (2 ) . (Caract~ristique de K dist incte de 3). Soit mainte- nan t E l'~fl~ment passant par le point 01 d~fini par (C, 8). Les matr ices A qui la issent invar iant E satisfont alors les (,4.4), (10.2) et, en outr%

{10.6} 3a~a12 - - O,

ce qui impl ique a12-= 0 (~). En d~signant par H~ le groupe des matr ices A

(6) Puisque la caract~ristique de K est ~ 3.

~nnal~ d~ MatematCva 45

354 G. ANcoc~az~: Sur la reprgsentatio~ des dlgments diffdrenticls: etc.

pour lesquelles on a ces conditions, il r6sulte pour la classe H~U

(10.7)

H~(u~): a~(u~).

On aura doric pour vari~t~ correspondante h la classe ~ ( 2 ) celle obte- hue de la de coordonndes

(10.8) (u~) 4, (u~),

quand on enleve les sous-variSt~s d't~quations (u~) -- (0), (us) ----- (0) et celle des points les coordonn~es donnent pour celles de (u~) et de (u2) des valeurs proportionnelles, c 'est- i~-dire ceux pour lequels les droites (u~) et (u2) coincident. La vari~t~ transrorm(ie de la (10.8) birat ionnel lement et qui n ' a pus de singularit~s a comme coordonn~es

(10.9) (u,) 5 (u2), (ul) (u~)L

11. Repr(isentation de ~(3) et de ~(n) . (C. LoNGo [2]). Prenons duns P(3) la branche C de coordonn~es X o - : 1, x ~ t, x 2 - - x 3 - - t ~ et consid~- rons le point 01 proche de 0 dSfini par (C, 3). Soit E FPA~ment de dimension 1 d6termin~ par 0, . La courbe d '~quat ions

(11.1) XoX2 - - X~

x~x~ = x~

passe par 0 , . Pour q u ' u n e transformation o:

(11.2) a: (x) --~ A ( x )

d~finie par une matrice A ~ (a~)~ SL(4) laisse invariant E il est n(~cessaire et suffisant que la transform~e de (11.1) passe par 01. Pour que cela arrive, les a~} doivent satisfaire les conditions

(11.3) alo ~ a~o -- aso -- a81 -- ~a2 ~ 0

aooa~2 ~ o~.

G. ANCOCHEA: Sur la reprdset~tatio~ des ~ldmeuts di]]drentiels~ etc. 355

La derni6re, en tenant compte de J A ] - - 1 , donne lieu h a},aa~--1. Soit ~ te groupe des matrices de SL(4) pour lesqueiles on a (11.3); pour la classe ~ droite ~ U d 'une matr ice /.7, si on ~crit

(11.4) (x) = [u . , u.]

(p) =

pour les coordonnSes (x) de l 'or igine de E ' et pour les coordonn~es plticke- r ienes (p) de la tangente h E', on aura

~(x): a~a~a~(x)

(11.5) ~(p): a2~ass(p)

l es (ua) ~tant les coordonn~es du plan oscula teur de E '. Les (x), les (p) et les (us) li~es par les relations qu ' expr imen t les incidences entre les ~l~- ments g~om~triques correspondants. Pour repr(~senter la classe ~'~(3) on a la sous-vari~t~ v de la vari~t~ d ~ q u a t i o n s

(11.6) (x)3(us), (p)~

qui s 'obt ient par la suppression des sous-vari~t~s d '~quat ions (x)8(u3)-- (0) (p)-- (0) . La ~)) admet le groupe quotient du GL(4) suivant le sous-groupe distingu~ form~ par les matr ices eI, avec ~ - - 1 et I la matr ice unit6; e ' es t un groupe h 16 param6tres. On peut obtenir la transform(ie r~guli6re de (11.6) au moyen d ' une dilatation en mult ipl iant les (11 .6)par (us)(p). C'est la vari6t6 trouv~e par C. L o t t o [2] qui, d ' au t r e part, a d~montr4 que cette vari6t~ est un module minimum au sens de SEVERI.

Duns le cas oil K est le corps r6el, i~ cot6 des matrices unimodulaires, il faudrai t consid6rer eelles de d~terminant ~gal ~ - - 1 . Au lieu de (11.6) on obtiendrait alors

(11.7) (x)~(us)2, (p)e

compt6e deux fois, l ' une pour les matr ices de d6terminant 1 et l ' au t r e pour celles de d6terminant --. 1. Le groupe PGL(4) ~tant r6duetible, ce fair se refI6te dans la r6ductibilit6 de la vari6t6 de la classe ~(3).

356 G. ANCOCHEA: Sur la reprdse~tation des dldments di]fdrentiels, etc.

Pour la classe ~(n), les r~sultats du cas n = 3 s '~tendent litt~ralement. On obtient les dquations (11.6) et les (x), (p), (u~) eonservent sa signification de coordonndes de l 'or igine de la tangente et du plan osculateur de ]'~l~- merit.

1 2 . - El{iments $~(3) et ~ -~ (n ) . (Cas de points non paraboliques). Le point 0~ proche de 0 qui va nous servir pour d~finir l '~l~ment E, sera d~termind par t ' ensemble ~ = (C,~, 3), la branche C,~ dtant celle de coor- donn~es x o = l , x ~ = t , x 2 = m t , x ~ = ( l ~ - m 2 ) t 2, ,Yt quelconque dans K, (7) dont nous supposerons la caract~rist ique =4= 2. La surface d '~quation

2 (12.1) xoxs = x~ "b x2

passe par 0~. Pour qu ' une t ransformation (11.2) laisse invariant E elle doit satisfaire les conditions

(12.2)

Ctlo = a~o = aso = C~az --- aa~ = 0

it 2 2 2 .

Posons

(12.3) ~ = ~ 6 t s s et A~----'( alia21 ass/ctzs)

on aura

(12.4)

De ]A j = 1 et des (12.2) on tire

(12.5) aoo I A ] a 3 ~ - - l , d'ofi I h [ a = l .

Si on ~crit

(12.6) (pl) = [ui, us], (p2) = [us, us]

(7) Pour ce qui suit il suffirait de consid~rer, dans la d~finition de 0~, trois valeurs diffgrentes pour m.

G. A ~ c o c ~ : S u r la reprdsentatioq¢ des dldments diffdrentiels~ etc. 357

les coordonn6es plilckerienes de la droite p~ seront

(12.7) Pl, ~ - - uirua~ - u~us, . .

Soit ~' le groupe des matrices A ~'U on aura

qae satisfont les (12.2), pour la classe

U'(u): ague)

(12.8)

P~ P2

a.. 1 e l ( x ) ,

On voit ainsi que les vecteurs, h deux composantes, v~s-- (p~,~, p~,~) qui correspondent aux matrices de la elasse ~ ' U se d~duisent de ceux de la matr ice U par une simili tude de module ass. I1 s ' en suit done que les expressions

(12.9)

produits scalaires de ces vecteurs; sont dStermindes au facteur a.aaa prbs; c ' e s t - h -d i r e on a

(12.10) ~'(q) : a.a~:~(q).

Cela ~ftant, l '~l~ment E ' correspondent voquement les coordonn~es

la classe ~ 'U d~ftermine uni-

(12.11) ( x ) (q), (u~) 2

d ' u n point du P(93), off entre les (x), les (q) et les (u3) existent les relations qui r6sultent du fair que les droites P l e t p~ passent par le point (x) et sont dens le plan (u~). R6eiproquement, un point de la vari(~t6 (12.11) qui ne soit pas situ6 dens les sous-vari6t6s ( x ) ( q ) ~ (0), (us)----(0) ni dans celle qui correspond aux points pour lesquels les (q) donneraient deux droites Pl et P2 confondues, provient d ' u n 6t6ment E ' unique. En effet, les (12.11) donnent les (us) et les (q); h part i r des (q) on ealcule les (pi) et ces dernibres avec les (u3) d6terminent les u~¢ des matr ices de la classe ~'U. La vari6t6 representat ive de la elasse ~(3) admet te groupe GL(4) /e l , avec s4 _-- 1 et I matr iee unit6, comme groupe effectif de transformations.

Dens le can off K est le corps r6el, on peat d6velopper des consid6- rations analogues h. celles du 11. I1 aurai t aussi l ieu ~ dis t inguer entre

358 G. ANCOCHE±: Sur 1~ reprdsentat~on des d/dmeuts diJ]dreutiels, et(:.

points el l iptiques et points hiperboliques, mais les choses se passent sans aucune difficult6.

Pour la classe ~-~(n), les r~sultats du cas n : 3 s '~tendent encore une lois litt~ralement. Seulement au lieu de deux droites (p) on aura n - -1 espaces lin(iaires h n - - 1 dimensions. L a matriee A repr~sente une simi- l i tude de l ' e space euclidien h n - - 1 dimensions. Mais les ~quations de la vari~t~ eherchSe sont les m~mes (12.11).

13. - $~(3) et $~-z(n). (Cas de points paraboliques). Supposons toujours K de caract~rist ique ~ 2. Soient les branches C= de coordonndes x o - - 1 , x z - - t , x= "-mt~ x ~ - t ~. Le point 01 proche de 0 est dSfini par (Cm, 3). La surface d ~ ~quation

(13.1) xox~ - - x ~

passe par 01. Les matrices A qui laissent invariant E satisfont les con- ditions :

(13.2) 2 ~oo~33 --= ~ "

Si on pose ( p ) - - [ u l , u3], et on d6signe par ~ le groupe des matrices A que v6rifient les conditions (13.2), on aura pour la classe X~U

(13.3) ~l(p) : a~a~3(p)

]~[ais de I A j - - 1 et des (13.2) il rgsulte a~ia~2=l. I1 s 'en suit que 1 ~ lSmen t E ' d(itermine univoquement le point de coordonn~es

(13.4) (x)(p) "~, (u~)L

Et, r6eiproquement, un point de la vari6t6 de coordonn6es (13.4) aprbs d' avoir enlev6 les sous-vari6t~s qui correspondent h (x)(p( ---~ (0), (u3) = (0) represent univoquement uu 616ment E'. La vari6t6 ainsi obtenue admet le mgme groupe de transformations que celle de 12.

Ces r6sulmts s '6 tendent sans aucune difficult6 au cas d ' un ~ ( ) .

G. A ~ c o c u ~ : Sur Ia repr~sen.tation des 5lgments di]]drentiels~ etc. 359

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