Sur le problème du trafic téléphonique général, direct et sans attente

pp. 459-468 459

Sur le probl6me du trafic t616phonique g6n6ral, direct et sans attente

Pierre LE GALL lng6nieur en chef des t~l~cornmunications *

Analyse

On considbre l'Ocoulement du trafic dans un faisceau de circuits tdl~phoniques d accbs total, dans le cas du modble gt appels perdus. On envisage les processus d'arrivOes les plus gOnOraux et une loi de d~Oe de prise arbitraire, en r~gime stationnaire ou non. Dans une Otude ant~rieure, on avait montrO la trbs grande com- plexitO d'obtention des lois du du trafic dans le cas gOn~ral, en explicitant les formules uniquement pour un ou deux circuits. On se propose maintenant d'exposer les formules explicites ainsi que les ddmons- trations permettant de les obtenir, pour un nombre quelconque de circuits.

Sommaire

1. Introduction.

2. Cas des arrivOes poissonniennes ~ densitd variable dans le temps.

3. Cas d'un processus d'arrivOes arbitraire.

4. Conclusion.

Bibliographie (6 r~f ).

1. I N T R O D U C T I O N

STUDIES ON DIRECT GENERAL T E L E P H O N E TRAFFIC

WITHOUT DELAY

Abstract

The traffic handling in a fully available telephone group of circuits & considered, in the case o f the lost calls model and with general assumptions for the arrival process and for the holding time distribution, in stationary or non-stationary conditions. In an earlier study, the very great complexity of the traffic handling laws was presented, in the general case. Explicit formulae were given only in the case o f one or two circuits. In the present paper, explicit formulae and proofs are given for any number of circuits.

Le sujet du pr6sent article, d6j~ consid6r6 dans une publication pr6c6dente [4], est l 'obtention des lois d'6coulement du trafic t616phonique dans un simple faisceau de circuits b, accessibilit6 totale, dans le cas du module classique ~ appels perdus.

La litt6rature internationale est maintenant abon- dante sur les probl6mes de t616trafic, et tout le monde pense ~ la formule c616bre d'Erlang. Malheureusement, les hypotheses simplifi6es habituellement adopt6es ne permettent pas d'aborder de fa~on approfondie les 6tudes de r6seaux t616phoniques. Dans une publication ant6rieure ([2], chapitre V), nous avons montr6 comment il convenait d'6tudier le probl6me de base envisag6 ici, c'est-~-dire avec les hypoth6ses stochastiques les plus g6n6rales, probl6me non encore r6solu pour un nombre fini de circuits (sup6rieur/t 2).

Nous avons montr6 ant6rieurement [4] que les formules explicites devenaient alors rapidement trop compliqu6es h exprimer.

A l'aide d'un certain symbolisme, nous nous propo- sons ici de les donner, de sorte que tout cas particulier pourra ensuite ~tre d6duit, moyennant 6ventuellement des calculs d'ex6cution tr6s longs.

Comme nous l'avons d6j~ remarqu6 dans les deux publications d6j~ cit6es ([2], [4]), il y a pratiquement identit6 ~, ~tudier le cas g~n~ral et le cas particulier

* A la direction du CNET. F92131 Issy-les-Moulineaux.

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des arriv6es poissonniennes /t densit6 variable dans le temps. I1 importe seulement d 'or ienter convena- blement les calculs et d'utiliser ensuite un symbolisme convenable. Nous commencerons donc par 6tudier ce cas particulier.

2. CAS D E S ARRIVI~ES P O I S S O N N I E N N E S A DENSITI~ VARIABLE DANS LE T E M P S

Tout d ' abord nous d6finirons les notations, puis nous &ablirons les 6quations du processus avant de les r6soudre.

2.1. Notations et hypoth6ses.

2.1.1. Nous nous excusons devant le lecteur des termes utilis6s : arrivdes poissonniennes gt densitd variable dans le temps. Nous pensons ainsi nous faire comprendre, bien qu 'un processus d'arriv6es poissonniennes soit habituel lement suppos6 stationnaire, c'est-g-dire 5. densit6 d'arriv6es constante dans le temps.

De fagon plus pr6cise, on d6signe par a(t) la densit6 (finie) des arriv6es isol6es g l ' instant t, et on suppose les 6poques d'arriv6es h mutuel lement ind6pendantes. Autrement dit, la probabilit6 pour qu'i l arrive un appel simultan6ment dans chaque intervalle de temps ~16mentaire [t~, h - t - d t ~ ] vaut, pour i = 1 . . . . . N (N arbitraire) :

N II a(tl) dh .

i=1

2.1.2. Le faisceau de circuits comporte L circuits, ce nombre 6tant suppos6 fini.

2.1.3. La dur6e d'6tablissement de l 'appel est suppos6e nulle, et l 'appel est rejet6 si le faisceau est encombr6 h son instant d'arriv6e.

2.1.4. D6signons par F(y) la fonction de r6partit ion de la dur6e des communicat ions. Cette fonction est suppos6e arbitraire. Nous poserons

dE(y) (1) ~z(y) dy = 1 - - F (y )"

C'est la probabilit6 pour qu 'une communica t ion d'fige y s'arr~te dans l ' intervalle de temps 616mentaire dy qui suit.

Nous utilisons la nota t ion de Stieltjes, pour englober les variations discontinues de F(y).

Nous prenons pour unitd de temps la durOe moyenne des communications. Nous avons d o n c :

(2) [1 - - F(y)I dy = 1. 0

On suppose les durdes aldatoires des communica-

tions indOpendantes les unes des autres ainsi que du processus des arrivdes.

2.1.5. Nous consid~rerons l '6v6nement h l ' instant t correspondant ~t j communicat ions en cours, dont les ~ges sont compris dans les intervalles 616mentaires (y~, y~ q- dy0, pour i = 1 . . . . . j.

La probabilit6 de cet 6v6nement sera d6sign6e par :

(3) p(J , t ,Yl ..-YJ) dy l -.- dy j ( j = 0, 1 ..... L) avecy, >~0.

Le syst6me d '6quations (9), que nous 6crirons plus loin, justifiera l 'existence presque par tout des d6riv6es de p(...) par r a p p o r t / t t et aux variables y, . Cette fonction est, en outre, sym&rique par rappor t h ces variables y~.

2.1.6. On suppose le syst6me vide ~ l ' instant 0.

2.1.7. I1 nous sera tr6s commode de reprendre les notat ions d6jh utilis6es dans une publication pr6c6dente ([4], paragraphe 4.2.), en les adaptant au cas pr6sent.

Posons d o n c :

(4) [0, t;un] = Y~ ( - - 1 ) n-1 [1--F(t--uO]a(Ul)dUi• n = l

"f '1 [1 - - F(ul - - us)] a(u~) du2 •

i un-1 ... • [1 - - F(un-1 --Un)] a(un) dun. gO

Remarquons la relation :

(5) [0, t ; Un]

= ( !O0[1 - -F ( t - -U l ) ] a(Ul) d U l ) ( 1 - - [ U l , U x ;un]) �9

Nous poserons, en outre, par convention :

(6) [0, t ; un] @ G(un) § !0

= Y~ ( - - 1) n-1 [1 - - F ( t - - Ul)] a(ux) dUl • n= l 0

~ 1 [1 - - F(ul - - us)] a(u2) du~ •

... • 2 1 5 G(un).

De faqon plus g6n6rale, nous poserons :

N (7) ( II [01, h ; v]) @ G(v)

i= l

= II Y~ ( - - 1) n-i [1 - - F(h - - ul,d] a(ul,0 dUl,~ • i=1 n= l

~ 1,~ [1 - - F(ul,i - - u2,i)] a(u~a) du2,i •

... • [l--F(u~_i,i--u~,dla(u~,ddun,f G(v), t0

avec : v = rain {Un,1, ..., u~,lv}.

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P. LE GALL. - TRAFIC TI~LI~PHONIQUE GI~NI~RAL DIRECT ET SANS ATTENTE 461

2.2. Equations du processus.

En consid6rant s imultandment les quantit6s ( j ; Yl ..... yj) /t l ' instant t, c o m m e condit ions initiales, nous savons d6crire l '6volution ult6rieure du processus qui devient ainsi markovien.

Nous allons donc 6tablir les 6quations de K o l m o - gorov du syst6me, en examinant successivement les ~poques t et (t + At), At &ant suff isamment faible pour qu ' i l n 'a r r ive au plus qu 'un 6v6nement dans l ' intervalle [t, t + At].

Consid6rons donc 5- l ' instant (t § At) l '6tat ( j ; Y~ 6- At ..... Y3" 6- At). Sa probabili t6 vaut :

p(j, t 6- At ; Yl 6- At . . . . . yj 6- At)

1 6- At ~ 6- p(j , t ; Y l . . . . . YJ')- i=1

Cet 6tat peut provenir de l '6tat ( j ; Yl . . . . . Y~) 5- 1'instant t, s 'il ne s 'est rien produi t dans l ' intervalle (t, t 6- At). Or, il pourra i t arriver :

- - u n d6part quelconque dont la probabi[it6 est J

( Z ~(y/)) At ; i=1

- - u n e arriv6e dont la probabil i t6 est a(t) At,

sauf si j = L dans ce dernier cas. Nous rappelons la nota t ion (1). La probabili t6 r6sultante vaut :

Y [ 1 - - ( • [z(yi) 6- (1 - - 3j) a(t)) At] p(j, t ; Yl . . . . . YJ),

i=1

avec la nota t ion :

(8) 3 j = 0 , s i j = 0 , 1 . . . . . L - - l ,

1, s i j = L .

Mais il peut arriver aussi une fin de communica t ion dans l ' intervalle [t, t 6- At], s'il y a ( j 6- 1) communi - cations 5- l ' ins tant t, dans le cas off j < L. Cette fin peut se produire pour n ' impor t e laquelle des ( j 6- I) communicat ions . La probabili t6 de fin est donc ( j 6- 1) fois celle relative 5_ une seule communica t ion . C o m m e ces communica t ions sont indiscernables, la fonction p ( j 6- 1, t ; Yl . . . . . yj'+l) 6tant sym6trique par r appor t aux variables y i , nous pouvons 6crire la probabil i t6 r6sultante sous la forme suivante :

1)i t 0 P(J6- l, t ;YI ..... yJ+l)~t.(yj+x)dyJ+l �9 ( l - -~ j . ) At ( j 6 -

Notons enfin que l '6tat consid6r6 ~ l ' ins tant (t + At) ne peut d6couler d 'une arriv6e dans l ' intervalle [t, t + At], car toutes les communica t ions en cours 5- l ' ins tant (t 6- At) ont d6but6 avant l ' ins tant t, si nous supposons les y~ (i = 1,..., j ) positifs.

En d6finitive, les 6quations de K o l m o g o r o v s'6cri- vent pour y~ > 0 (i = 1 ..... L) et p o u r j = 0, 1 ..... L, en rappelant la nota t ion (8) :

(9) p(j, t ;ya ..... yj) = 1

J - - [ • Vx(y~) + (1 - - 8j) a( t ) ] p(j, t ; Yl . . . . . YJ) +

i - 1

it0 P(J + (1 - - 3 j ) ( j 6- 1) l, t ; Yl, -.., YJ+I) ~-(YJ+0 dyJ+l �9

II pour ra nous ~tre commode de l '6crire sous une autre forme. Posons :

(10) A(j, t ;Yl . . . . . 23")

= + p(j, t ; Yl, . . . , YJ) + i=1

J [ Y~ ~(y i ) § (1 - - 3j) a(t ) ] p(j, t ; Yl . . . . . Y~).

i=1

Les 6quations (9) s '6crivent alors :

(11) A(j , t ; Yl . . . . . YJ)

i toP(J+l, t;Y, : (1 - - S j ) ( j + 1) ... . . yj 6 - 1 ) ~ ( Y / + I ) dY]+ t �9

Consid6rons main tenant le cas d ' un y, nul. Autre- ment dit, nous avons 5- l ' instant t l '6tat ( j ; Yl . . . . . YJ) et il arrive un appel dans l ' intervalle [t, t + dt]. II r6sulte l '6tat ( j + 1 ; Yl . . . . , y~, 0) 5- l ' ins tant (t § dt). La probabil i t6 d 'arr iv6e d ' un nouvel appel vaut a(t) dt. Mais comme un nouvel appel peut atre affect6 indiff6remment 5- l 'une des ( j § 1) communicat ions , la probabili t6 cherch6e est ( j + 1) fois plus petite. Nous d6duisons la deuxi6me s6rie de relations, pour j = 0 , 1 ..... L - - 1 :

a(t) (12) p ( j + l , t ; y l ..... y j , 0 ) - - j 6 - l P ( J ' t ; Y I .... ,Yi).

Enfin, nous avons la condit ion de normal isa t ion :

dyl St (13) Y~ ... dyj p(j , t ;21 . . . . . yj) = 1. j = 0 0

Les 6quations (9), (12) et (13) d6finissent le syst6me d '6quat ions du processus al6atoire considdr6.

Ces 6quations furent consid6r6es 5- l 'origine, et dans le cas stat ionnaire seulement, par L. Kos ten [1], pour mont re r que la formule de perte d 'E r l ang 6tait ind6pendante de la fonct ion de r6parti t ion des dur6es de communicat ions . Toutefois, les quantit6s y~ d6si- gnaient les dur6es des communica t ions et non leurs ~tges.

Nous allons chercher maintenant la solution de ces 6quations dans le cas g6n6ral non stationnaire.

2.3. Solut ion particuli6re.

2.3.1. Consid6rons tout d ' a b o r d l '6quat ion (9) pour j = L, et posons :

p(L, t ; Yl . . . . . Y/3 L II [1 - - F(y/)] a(t - - Y0

= q(L, t ; Yl . . . . . Yz) i= 1 L !

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462 P. LE GALL. - TRAFIC TI~LEPHONIQUE GENERAL DIRECT ET SANS ATTENTE

N o u s d6du i sons l ' 6 q u a t i o n aux d6riv6es par t i e l l es :

a ~ q(L, t ; Yl . . . . . YL) = O, 1"~

d o n t la so lu t i on g6n6rale est :

q (L , t ; Y l . . . . , YL) = H0(t - - Y~ . . . . . t - - yL) ,

cet te f o n c t i o n Ho 6 tan t a rb i t r a i r e . N o u s p o u v o n s f i na l emen t 6crire :

(14) p ( L , t ; t - - y t . . . . . t - - y z )

L II [1 - - F ( t - - Yt ) ] a ( y t )

= H0(yl . . . . . yL) i=1 L !

N o t o n s que cet te f o n c t i o n a r b i t r a i r e Ho est sym6- t r ique p a r r a p p o r t aux va r i ab l e s yi �9

P o r t o n s cet te ex p re s s io n dans (12) p o u r j = L - - 1. N o u s t r o u v o n s :

p ( L - - l , t ; t - - yx . . . . . t - - y r _ l )

L - - I H [1 - - V ( t - y,)] a (y , )

= n l ( Y l . . . . , Y L - 1 , t ) i=1 ( L - - 1) !

E t en u t i l i s an t (12) de fa~;on r6p6t6e, n o u s d6du i sons de fa r g6n6rale, p o u r j = 0, 1 ..... L �9

(15) p f j , t ; t - - Yl . . . . . t - - y j )

J I I [1 - - F ( t - - y i ) ] a ( y / )

= H L - j ( y l , ..., Y j ; t ) i= 1 j !

avec :

(16) H L _ j (Yx ,-.., YJ, t) ---- l im H0(y a ... yL) ,

q u a n d yj+a ---> t, ..., YL -+ t,

et la c o n d i t i o n �9

(17) Yj+I < Yj+2 < ... < y L �9

N o t o n s que :

(18) p(0, t) = HL(t) .

C o m m e n o u s a v o n s su p p o s6 le sys t~me vide l ' o r i g i n e (cf. 2.1.6.), n o u s a v o n s d o n c :

(19) HL(0) = 1.

2.3.2. P o r t o n s m a i n t e n a n t l ' e x p r e s s i o n ( 1 5 ) d a n s (9). N o u s d6du i sons , p o u r j = 0, 1 . . . . . L - - 1 :

- - a( t ) H L _ j ( t - - Y l . . . . . t - - y j ; t ) +

l'n H L - U + I ) ( t - - Y l . . . . . t - - y l + i ; t ) a ( t - - yj+l) dF(y j+ l ) .

T r a n s f o r m o n s cet te dern i6re in t6gra le , en e f fec tuant une i n t 6 g r a t i o n p a r par t i es , e t en r a p p e l a n t que a(0) = 0. Le deux i6me m e m b r e de l ' 6 q u a t i o n pr6c6dente dev ien t :

- - i t o a [ H L - t ' + x , ( t - y ~ . . . . . au t - - y j , u ; t ) a(u)] •

[1 - - F ( t - - u ) ] d u .

F a i s o n s ensu i te la subs t i t u t i on �9

t - - y , ~ y~, (i = 1 . . . . . . ]).

L ' 6 q u a t i o n s '6cr i t f ina lement , p o u r j - - 0 , 1 . . . . . L - - 1 �9

a H L - j ( y x ... y j ; t ) ( 2 0 ) =

at

I t a[HL-o'+I)(Yl ... y j , u ; t) a(u)] [1 F( t u)] d u .

,0 au

R a p p e l o n s que la f o n c t i o n H L _ j ( Y l ... y j ; t ) est sym6t r ique p a r r a p p o r t aux va r i ab l e s y, . I1 suffit de la r & o u d r e dans le cas j = L - - 1 :

aHo(Ya . . . . . y L - 1 , t ) (21) =

a t

I t ~[H0(y I ... y L - 1 , U) a(u)] [1 F ( t u)] d u ,

o au

en r a p p e l a n t que l ' o n a, d ' a p r ~ s (16) :

Hx(yl ... yz/-~ ; t ) ~ H0(y 1 ... y L - 1 , t ) .

Les r e l a t ions (20) et (21) son t en effet 6quiva lentes . D ' a p r 6 s la c o n d i t i o n (17), n o u s p o u v o n s 6crire �9

(22)

t !] bHL_j (y l . . . . . y j ; t) [-bHo(y ~ . . . . . y j , u, t . . . . . t

~t bu u = t

P o r t o n s cet te e x p r e s s i o n d a n s le p r e m i e r m e m b r e de (20). N o u s o b t e n o n s une 6 q u a t i o n i d e n t i q u e h (21), ca r nous ne c h a n g e o n s r ien en p o s a n t d a n s (21) :

Yj+I . . . . : YL-1 = t .

I1 nous suffit dor ic de r & o u d r e m a i n t e n a n t l ' 6qua- t i on (21).

2.3.3. C o n s i d 6 r o n s t o u t d ' a b o r d le cas L = 1

d6j~. c o n n u : c f [2], f o r m u l e (80). L ' 6 q u a t i o n (21)

dev ien t :

ito [H( u ) H ' ( t ) = - - a(u)]~ [1 - - F ( t - - u)] d u ,

ou encore :

I t b [H( t - - u) a ( t - - u)] [1 du H ' ( t ) . . . . F(u)] .

o bt

In t6grons , en t e n a n t c o m p t e de a(0) = 0 et de la c o n d i t i o n (19). N o u s t r o u v o n s l ' 6 q u a t i o n in t6gra le :

!, (23) H( t ) = 1 - - [ 1 - - F ( t - - u ) ] a ( u ) H ( u ) d u . 0

Sa so lu t i on a p o u r exp re s s ion �9

(24) n ( t ) = 1 - - [t, t ; un] ,

en u t i l i san t le s y m b o l e (4).

D u fa i t de l a sym6tr ie p a r r a p p o r t aux va r i ab l e s y , , l ' 6 q u a t i o n (21) ( p o u r L q u e l c o n q u e ) a d m e t d o n c p o u r s o l u t i o n pa r t i cu l i6 re :

L (25) Ho(yl ... yL) = H (1 - - [y i , y~; u n , d ) .

i = I

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P. LE GALL. - TRAFIC TELEPHONIQUE GENERAL DIRECT ET SANS ATTENTE 463

No tons que la condition (19) est v6rifi6e. Por tons maintenant cette expression dans (15). Nous d6duisons finalement la solution particu[i~re suivante des 6qua- t ions (9) et (12), avec la condit ion (19) :

(26) P0( j , t ; t - - y 1 ..... t - - y ~ )

J II (1 - - [y~, y i ; un,~]) [1 - - F ( t - - y , ) ] a ( y 0

i=1 = . . . . . . . . . . . . . . . •

j~ L 11 (1 - - [t, t ; un ,~ ] ) .

i=j+ 1

Int6grons, en posant �9

(27) Po(J, t) = dyl ... Po(J, t ; t - - y l ..... t - -y j ) .

Cette solution particuliSre peut f inalement s'6crire, d 'aprSs la relation (5) �9

J rI [t, t ; u,~,d L

(28) p 0 ( j , t ) - - i=1 I I ( 1 - - [ t , t ; u n , ~ ] ) . J ! i = j + l

Cette expression ne v6rifie toutefois pas la condit ion de normalisat ion (13).

Cherchons donc la solution g6n6rale des 6quations (9) et (12).

t'\t A(j, t, v ; Yl . . . . . yj) G(v) dv o

= itoG(V) dv • (1--Sj)( j + l ) i t~Vpo(j q- l ,t,v ; yl... yj+l) X

~(yj+,) dyj+,.

Elle est v6rifi6e si Po(J, t, v ; Yl ..... yj) est solution des 6quations :

A(j, t, v ; y , , ..., yj) = (1 - - 8j)(j + I) •

it--v P0(J + 1, t, v ; Yl . . . . , yj+i) g-(Yj+l) dyj+l . ,0

Ceci revient h dire que la fonction P0 est bien donn6e par l 'expression (26), 5. condit ion de supposer a(t) nul pour t ~< v. En fair, c 'es t bien ce qui est r6alis6 dans l 'expression (31), par suite de la d6finition de v.

L 'express ion (29) est donc bien solution g6n6rale des 6quations (9), et l 'on v6rifie les 6quations (12) en appl iquant (29) h l 'expression (15). Finalement , compte tenu de (28), la solution g6n6rale peut s '6crire sous la forme suivante, en utilisant la nota t ion (7) :

[t, t ; vii (32) p(j , t) - - j ! (1 - - [t, t ; v]) t - j (~ G(v),

off G(v) est une fonct ion positive arbitraire.

2.5 . S o l u t i o n du pr o c e s s us .

2 .4 . S o l u t i o n g6n6rale .

Des consid6rations probabil istes nous conduisent poser, avec la nota t ion (7) :

L (29) H(y t . . . . . YL) = { II (1 - - [Yi, Y~ ; V])} @ G(v),

i=1

oh G(v) est une fonction positive arbitraire.

Ecrivons donc l 'expression (26) sous la forme :

(30) P0(J, t, v ; t - Yl . . . . . t - Yi),

avec �9 v = min (Un,1 .... , un,D.

Nous sommes conduits ~. v6rifier que la solution g6ndrale peut s '6crire sous la forme �9

i' (31) . p(j, t ;yl ..... Y~) = Po(J, t, v ; y l . . . yj) G(v) dr. ,0

Por tons cette expression dans les 6quations (9), ~crites sous la forme (11), et en tenant compte de notre nouvelle nota t ion (30). Nous t rouvons "

a t

A(j, t, v ; yj) G(v) dv = (1 - - 8 j ) ( j + 1) • Yl 0

Ito~Z(YJ+l) itoPo(J dyj+l + 1, t, v ; Yl, ..., Yj+I) G(v) dv.

Dans le deuxi6me membre , inversons l 'o rdre des int6grations. Nous avons finalement l '6quat ion :

Pour obtenir la solution de notre probl6me, il nous suffit d ' appl iquer l 'expression (32) ~t la condit ion de normal isa t ion (13). Nous pouvons finalement 6noncer le th6or6me suivant.

Thdorbme 1.

On considbre un trafic s'&oulant dans un faisceau de L circuits ~ accessibilit~ totale, le systOme Otant vide d l'origine et le modble dtant ~ appels perdus. Le processus des arriv&s est poissonnien avec densitd des arriv&s variables dans le temps et la fonction de r~partition de la durde des communications est arbitraire.

Avec la notation (7), la probabilitd de j communications en cours ~ l'instant t vaut :

(33) p ( j , t ) = I [ t ' t ; v ] ' ( l - [ t , t " v])L-J I ( ~ G ( v ) , J !

pour j = O, 1 . . . . . L. La fonction G(v) est solution de lYquation intOgrale :

(34) ~ ' (1 - - [t, t �9 v]) L-j @ G(v) = I ~= J~ ,

avec G(0) = 1.

No tons que p(L, t) est la probabili t6 d ' encombre - ment ~ l ' ins tant t. En outre, il est possible de d6velop- per l 'expression (33) ~ condit ion d ' app l iquer la convent ion :

(35) 1 @ G(v) ~ G(t).

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464 p. LE GALL. -- TRAFIC TELEPHONIQUE GI~NERAL DIRECT ET SANS ATTENTE

L'6quation int6grale (34) peut alors s'6crire sous une forme plus classique :

(36) G(t) + N(t, v) @ G(v) = I,

avec :

(37) N(t ,v) : { ( 1 - - [ t , t ;v]) L - - l } +

L [t, t ;vlJ - - ( 1 - - [ t , t ;v]) L-j.

j = l J !

La m6thode des approximations successives, appli- qu6e /t l '6quation int6grale (36), montre que G(t) existe et est unique.

Nous montrons ainsi que les formules d'Erlang sont bien ind6pendantes de la loi de dur6e des communications.

Nous avons termin6 avec ce cas des arriv6es poissonniennes & densit6 variable. Nous allons aborder maintenant le cas des processus d'arriv6es (isol6es) les plus g6n6raux et nous verrons comment il est possible de passer tr6s simplement de l'6tude pr6c6- dente h l'6tude du cas g6n6ral.

3. CAS D'UN PROCESSUS D'ARRIVI~ES A R B I T R A I R E

2.6. Cas de conditions initiales g6n~rales.

On pourrait 6tudier le cas de conditions initiales plus g6n6rales. On pourrait, par exemple, se fixer le nombre de communications en cours fi l 'instant 0 et les @oques de fin de ces communications. L'ex6cu- tion des calculs consisterait & reprendre l'expression (33), mais en supposant a(t) nul sur chaque circuit concern6, durant la communication initiale concern~e.

En fait, les formules sont tr6s compliqu6es, aussi n'insisterons-nous pas plus.

2.7. Cas des arriv6es poissonniennes stationnaires.

Nous avons : a(t) --= a, et nous consid6rons le cas o/1 t devient infiniment grand.

Dans l'expression (33), G(v) devient un nombre constant G. L'expression (4) donne :

+oo ('+oe (38) [t't; v]--~ [1--F(u~)]adu~ •

�9 .. (un)] a dun. X [1 - - F ' '

Compte tenu de (2), cette expression vaut, si a < 1 :

4-o0 a (39) Z ( - - 1) n-1 an -- .

n=l 1 + a

Nous avons alors l'expression limite :

a (40) lim [t, t ; v] - -

t ~ + o o 1 + a

L'expression (33) a pour limite :

ki s) I J! 1 q-a~] (41) P(J)= L ( ( a ) ~ i ! ) { 1 ~

Multiplions le num6rateur et le d6nominateur par (1 + a ) L . Nous retrouvons les formules d'Erlang classiques :

aJ (42) P(J) = j w / ~ a-~

i=0 i ! "

Nous allons indiquer tout d 'abord les notations d6j& utilis6es dans des publications ant6rieures ([4], [5]).

3.1. Notations et relations.

3.1.1. Le processus des arriv6es (isol6es) est suppos6 ind6pendant des 6tats du syst6me. Le nombre de sources de trafic est donc suppos6 illimit6. Ce processus est d6fini par le nombre aldatoire d'arrivdes N(t) dans l'intervalle de temps ]0, t].

II est compl6tement connu grgtce h sa fonction de r@artition associ6e

(43) E{dN(tl) ... ON(tin)},

oh m est un entier positif quelconque. Cette quantit6 mesure en effet la probabilit6 d'une arriv6e dans chacun des intervalles de temps 616mentaires [h , ti + dt], avec i = 1, 2 ..... m.

E est l 'op6rateur esp6rance math6matique. La fonction al6atoire dN(h) prend la valeur 1 ou 0 suivant qu'il arrive ou non un appel dans l'intervalle 616mentaire [h , ti + dt].

La densit6 (finie) des arriv6es h l'instant t vaut :

(44) E{dN(t)) = a(t),

mais les instants d'arriv6e ne sont plus ind@endants.

3.1.2. Avec nos notations, nous ne sommes plus oblig6s de supposer l 'ind6pendance des dur6es de communication. Darts le cas le plus g~n6ral la variable al6atoire Tu , repr6sentant la dur6e d'une certaine communication, d@end de l'(poque u d6but de cette communication, c'est-h-dire de l'histoire ant6rieure du syst6me. Nous introduisons la fonction aHatoire R(u, t) telle que :

l l s i u < ~ t < u + T u , (45) R ( u , t ) = 1 0 s i t < u o u t ~ > u §

Autrement dit, R(u, t) est Ogale d 1 si la communication, ddbutant dt l'@oque u, dure encore gl l'Opoque t. EIle est 6gale 5. 0 dans le cas contraire.

Quand nous supposerons Tu ind6pendant de l'6poque u et des autres dur6es de communication,

ANN. TI~L~COMMUNIC., 34, n ~ 9-10, 1979 6/10

P. LE GALL. - TRAFIC TELI~PHONIQUE GI6NI~RAL DIRECT ET SANS ATTENTE 465

nous sp6cifierons express6ment cette hypoth6se habituellement consid6r6e. Nous aurons alors :

(46) E{R(u, t)} = 1 - - Fx(t - - u),

off Fa est la fonction de r6partition de la dur6e des communications.

3.1.3. Les hypoth6ses ou conditions (2 .1 .2 . )e t (2.1.6.) sont toujours valables, ainsi que la relation (2).

3.1.4. Introduisons la fonction al6atoire W(t), 6gale 0 ou 1 suivant que le faisceau de circuits est encombr6

ou non ~t l ' instant t. Consid6rons aussi la fonction aHatoire Y(t) reprO-

sentant le nombre de communications en tours

l '@oque t. Cette fonction est la somme des appels, arrivant dans l'intervalle ]0, t], servis et durant encore /~ l '6poque t. D'apr6s une remarque due b. R. Fortet [6], nous avons la relation stochastique :

!t (47) Y(t) = R(u, t) W(u) dN(u).

0 Notons que

(48) dN0(t ) = W(t) dN(t)

est le processus des arrivdes servies.

3.1.5. I1 est commode de consid6rer aussi une fonction al6atoire attach6e ~t l 'occupation de v circuits dkterminds :

1 (49) X(v , t ) = ~ . Y ( t ) [ Y ( t ) - - l ] . . . [ Y ( t ) - - v + 1],

avec X(0, t) = 1. D'apr6s [4], nous avons les expressions stochastiques

suivantes :

iX(0, t) = 1,

1 ~ it0 R(ui t = __H , t) W ( u , ) d N ( u 0 , (50) x(~,t) ~ . ; 1.

ainsi que la relation stochastique pour ]z I fini �9 L

(51) exp[z Y(t)] = Y~ (e z - - 1) ~ X(v, t), .r

off z est une variable certaine.

3.1.6. Introduisons, enfin, lafonction alOatoire Z(j, t) kgale ?t 1 ou 0 suivant que le nombre de communications en eours gt lYpoque t e s t ~gal gt j ou non. Autrement dit :

(52) ! Z(j, t ) = 1 si Y(t) = j , t = 0 si Y ( t ) 7~ j .

On a 6videmment la relation : L

(53) Z Z(j, t ) ~ 1, j - 0

ainsi que la relation stochastique suivante : L

(54) exp [z Y(t)] = E e jz z( j , t) . j - 0

La comparaison de (51) et (54) donne les relations stochastiques :

L (55) X(~, t ) = ~ ( ~ ) Z ( j , t ) (~ = 0 , 1 . . . . , L ) ,

j=v

et les relations inverses :

L (56) Z(j, t) = ~E (~) ( - - 1)v-JX(v, t) ( j = 0 , 1 ... . . L),

u=j

ou encore, compte tenu de (50) :

L-- j (57) Z ( j , t ) = - X ( . L t ) ~ ( - - 1 ) x X ( Z , t ) ( j = 0 , 1 ..... L).

),=0

Par analogie avec (15), nous allons poser :

1 i t R(Ul, t) dN(ux) • (58) z ( j , t ) = ~ 0 ,cB t

• _ !0 R(uj , t) dN(uj) HL_j(ul . . . . . u~ ; t), I �9 �9

off la fonction al6atoire HL_j a pour expression, compte tenu de (50) et de (57) :

j L-- j (59) HL_j(Ul ... u~ ; t) = ( 1] W(u,)) ]~ ( - - 1) x X(~., t),

i=1 ~.=o

off : j = 0, 1 . . . . . L, et : t > u~(i = 1 . . . . . j ) .

Notons enfin la relation :

(60) W(t) = 1 - - Z(L, t),

Z(L, t) est la fonction al6atoire traduisant l 'encombrement du faisceau de circuits. En outre, la proba- bilit6 de trouver l ' 6 t a t j ~. l ' instant t vaut :

P(j, t) = E{Z(.], t)}.

De m~me, d'apr6s (55), le moment binomial de la distribution P(j, t) vaut :

L (61) S(v, t) = E{X(~, t)} ----- Y, (~) P(j, t).

j=,J

3.1.7. Introduisons maintenant le symbolisme analogue ~t celui du paragraphe 2.1.7. Posons :

+oo f0 (62) [0, t ; Un] = N ( - - 1) n-a R(Ul, t) dN(ul) •

n = 1 ,10

�9 f i~' R(u2, u,) dN(u2).. . Un-1 R ( u n , un-O dN(un). ,0

Nous avons, cette fois-ci, la relation :

(63) [0, t ; un] = dN(ul) (1 - - [Ul, ul ; Un]).

Posons ensuite par convention :

+oo (64) [0, t ;Un] @G(un) = Y~(- -1) n-~ •

tt=l

l ~ iUl R(uI , t) dN(ul) R(u~, Us) dN(u2) • gO �9 0

U n - 1

�9 .. • R(un , Un_x) dN(un) G(un). .~0

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466 p. LE GALL. - TRAFIC TI~LI~PHONIQUE GI6NI~RAL DIRECT ET SANS ATTENTE

La fonction G(un) est suppos6e al6atoire. Et nous posons enfin �9

N (65) { H [ 0 f , t i ; v ] } @ G ( v )

i=1

= 17[ ( - - 1) n-1 , h) dN(ul,i) x i=1 n= l

iu~,~ R(u2a, Ula) dNu2,t ... • ,0

i un-x'i R(un,i , Un_l,t) dN(un,,) I G(v), 0

avec : v = min (una, ..., Un,N).

3.1.8. Cas de communications mutuellement indO- pendantes, ainsi que du processus des arriv&s.

Dans ce cas, chaque fonct ion R devient ind6pendante des fonctions N e t des autres fonctions R, dans les expressions stochastiques pr6c6dentes. Pour l 'obtention des probabilit6s d'6tat, on appliquera l 'op6rateur esp6rance E, et on sera conduit 5. op6rer syst6mati- quement les substitutions :

I R(u, t) --> [1 - - Fl(t - - u)], (66) t dN(u~).., dN(u3') -+ E{dN(u~)... dN(ug)}.

Par exemple, les expressions (50) deviennent :

S(0, t) = E{X(0, t)} = 1,

t) = t )} ,

(67) 1 t~t ~t = v-!\0 [1 - F x ( t - u 0 ] . I "'" 1..u [ 1 - - F l ( t - - uv)] •

Z{W(Ul) dN(u0 ... W(u~) dNfu0} .

De m~me, l 'expression (58) devient :

(68) P(j, t) = E{Z(j, t)}

1 t [1 - - F ~ ( t - - u 0 ] . . . [1 - - F ~ ( t - - uj)] • - j i o 0

L--j E{W(Ul) dN(ul) . . . W(uj) dN(uj) Y~ ( - - 1)xX(X, t)}.

x=o

3.2. So lut ion du processus .

Revenons au cas g6n6ral de d6pendance 6yentuelle des fonctions al6atoires R. Ce cas se d6duit directement du cas du processus des arriv6es poissonniennes 5. densit6 variable, 6tudi6 au paragraphe 2. On ddduit, des relations certaines du premier cas, les relations stochastiques du second cas, en effectuant les substitutions syst6matiques :

! [1 - - V(t - - u)] ---> R(u, t), (69) <

{ a(y) dy ---> dN(y).

L'expression pr6c6dente (15) devient l 'expression stochastique (58). Le tb6or6me 1 se transpose ators directement. Au cas off le lecteur aurait un doute, nous allons donner une d6monstrat ion directe et rapide. Reprenons l 'expression (60), en rempla9ant Ies u~ par des yi �9 Nous d6duisons :

OHL_j(yl ..... yj ; t) (70)

bt J dX(1, t) L--j

= ( n W ( y , ) ) dt E ( - - l)~ X 0 , - - l , t ) . i=1 )~=1

Nous avons en effet :

dX(X, t) dX(1, t) - - - x ( x - ~, t ) .

dt dt

Remplaqons (X - - 1) par X. L'expression (70) s'dcrit :

5HL_j(yl . . . . . y~ ; t) (71) =

~t

J dX(1, t) L- - ( j+I ) - - ( II W ( y 0 ) dt ]~ ( - - 1)x X(X, t ) .

i=1 X=0

Nous avons en outre �9

dX(1, t) _ ~t W(u) dN(u) R(t - - u) = dt \ g 0 , t

( !to W ( t - - u ) d N ( t - - u) R(u)): = W(O) dN(O) R(t) +

i t ( W ( t - - u ) dN(t - - u))' t R(u). 0

Le syst6me 6tant vide 5. l 'origine, nous avons : dN(0) = 0. O'of i "

dX(1, t) = f t (W(t - - u) dN(t - - u)); R(u)

dt ~0

= W(u) dN(u))~ R(t - - u) .

Portons cette expression dans (71), nous d6duisons :

5HL_j(yl ..... yj ; t) (72) =

5t

I t ~[HL-o'+I) (Yl . . . . . y j , u ; t) dN(u)] R(t u).

0 5u

Cette dquation stochastique est l 'homologue de l '6quation (20) et nous savons donc la r6soudre. En d6finitive, nous pouvons transposer le th6or~me 1, lequel devient le th6or6me suivant.

Th~orbme 2.

Dans le cas des hypothbses les plus gdnOrales d'&ou- lement du trafic dans un faisceau de L circuits gl acces- sibJlitd totale, le modkle dtant d appels perdus et le systbme &ant vide d l'origine, le processus a pour solution l'expression stochastique suivante, recourant aux notations (62) d (65):

(73) Z ( j , t ) - - ~ [ t ' t ; v ] ~ ( l _ _ [ t , t ;v]) L-jl @ G ( v ) ' t j t

pour j = O, 1 ..... L. La fonction aldatoire G(v) est telle que G(O)= 1,

et est solution de l'dquation int@rale stochastique"

(74) i ~ = o [ t ' t ; v ] J ( 1 - - [ t , t " v ] )L-J l@G(v ) = l. , j _ J !

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P. LE GALL. - TRAFIC TI~LEPHONIQUE GI~NI~RAL DIRECT ET SANS ATTENTE 467

Nous rappelons la convention :

(75) I @ G(v) =- G(t).

Compte tenu de (60), nous d6duisons l 'expression :

It , t ; v] ~ (76) W ( t ) = I - - Z ( L , t ) = I L ! @ G ( v ) .

E{dN(t) Z(L, t)} est la probabili t6 de product ion d ' un appel bloqu6 ~ l ' instant t.

Dans le cas L - - 1, (74) et (75) permet tent de d6duire : G( t ) - 1. On retrouve bien que [t, t ; v] est la fonction alkatoire d'encombrement du cas d'un seul circuit.

Les expressions pr6c6dentes sont ext r6mement simples, malgr6 la grande g6n6ralit6 des hypoth6ses. En fait, nous allons voir maintenant la grande comple- xit6 d 'ex6cution des calculs. En effet, les processus d 'arr iv6es sont souvent ordonn6s. C 'es t le cas par exemple du processus d 'arriv6es r6g6n6ratif. I1 va alors ~tre n6cessaire d 'o rdonner , dans l 'expression (76) par exemple, les diverses 6poques d 'arriv6es Und (cf. (65)).

Dans le cas d 'un processus Poissonnien (cf. paragraphe 2 pr6c6dent), ou m6me dans le cas d ' un processus plus g6n6ral pseudo-poissonnien (cf. [4]), il n 'es t pas besoin d ' o rdonne r les 6poques d'arriv6es. C 'es t pour cela que les r6sultats sont alors simples.

Mais maintenant , occupons-nous du cas difficile off il faut ordonner les 6poques d'arriv6es. Nous nous occuperons tout d ' abo rd du cas de deux circuits avant d ' examiner le cas ggn6ral d 'un nombre quelconque de circuits.

3.3. Cas de deux circuits.

Dans une publicat ion ant6rieure, [4], nous avons pu traiter en d6tail le cas d ' un faisceau de deux circuits, avec loi de durde de communica t ion arbitraire. Au paragraphe 6 de cette r6f6rence nous avons consid6r6 le cas d 'un processus d 'arrivdes g6n6ral. Au paragraphe 8, nous en avons fait l ' appl icat ion au cas d 'un processus d 'arriv6es rdg6n6ratif, en donnan t la probabili t6 de blocage, laquelle s ' expr imai t par une formule extr~mement compliqu6e (formule (80) de [41).

Essayons de raccorder les formules (73) et (76) avec les r6sultats obtenus dans [4] pour deux circuits. Dans cette r6f6rence, nous 6tions partis de l '6quat ion int6grale stochastique :

(77) W(t) = l - - D2(t ; t, t ; u) ~ W(u),

avec l 'expression suivante : + ~

(78 ) D2(0 ; t I , tz ; u) = E ( - - 1) ~-~ [0, tx ; vii (~ k= l

[Vt , t2 ; ]22] (~ [1) 2 , 1:1 ; V3] @

f ... @ [vx_l , vx 2 ; vx] @ R(u, vx_l) dN(u) . gO

C o m p a r o n s avec l 'expression (76), en tenant compte de (74) qui devient :

[t, t ; v] 21 (1 - - [ t , t" v]) z + [t, t" v] (1 - - [ t , t" v]) -~ (~

/ ' ' 2

G(v) = 1.

En d6veloppant , nous d6duisons la relation :

[t, t ; v] 2 1 2 ~ G(v) ---- (I - - [t, t ; v]) ~) G ( v ) ,

en appl iquant la convention (75). (76) devient :

W(t) = (1 - - [t, t ; v]) ~ G(v) .

Por tons cette expression dans la fonct ion W(u) de (77). Par compara i son avec (76) nous t rouvons la relation :

1 (79) 2 [ t ' t ; v ] 2 = D 2 ( t ; t , t ; u ) Q ( 1 - - [u, u ; v]).

Notons , /~ par t i r du dernier terme de (78), et compte tenu de (63) :

i vx R(u, l,;k_x) dN(u) (1 - - [u, u ; v]) = [vz , vx_l ; v], t~0

(78) et (79) donnent f inalement :

1 + ~ (80) 2 [t, t ; v] 2 = Z ( - - 1) x [0, t ; vl] @ [lyl, t ; v2] (~

z=2

[122 , V 1 ; V31 @ ... @ [12;~__ 1 , V3.__ 2 ; V]o

De fa~;on plus g6n6rale, on t rouverai t en posant v - - min { u l , u2} :

+oo (81) [0, t l ; Ul] [0, t2 ; u2] = '~ ( - - l ) x •

([0, t 1 ; Vl] ~) [Vl, t2 ; V2] + [0, t 2 ; Vii (~ [Vl, t I ; v2] )

[v2, v, ; v3] | ... | [v~_ l , v~_2 ; v].

En fait, cette expression se d6montre directement, si on consid6re /~ par t la suite des 6poques un,i d ' une m~me fonct ion [0, ti ; ud, non entrecoup6e par les 6poques Und de l ' au t re fonction [0, tj ; uj]. Nous consti tuons ainsi une fonction partielle [vk , v~_a ; Vk§

Nous avons pu raccorder les r6sultats obtenus pour deux circuits dans [4], avec ceux pr6sent6s dans le pr6sent article.

Mais dans la r6f6rence pr6cit6e nous n 'av ions pu aborder le cas de plus de deux circuits, tandis que maintenant la g6n6ralisation devient 6vidente.

3.4. Cas d'un nombre quelconque de circuits.

Dans le produi t de plusieurs fonctions [0, tj ; u~], il suffit d ' isoler une des fonctions et de laisser les autres group6es. Posons :

v = min {ul . . . . , uz}.

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468 P. LE GALL. - TRAFIC TI~LI~PHONIQUE GI~NI~RAL DIRECT ET SANS ATTENTE

L'expression (81) nous fournit la relation de r6cur- rence suivante, a v e c l a convention (65), eette relation permettant de calculer le cas L 5. partir du cas (L - - 1) :

L L L +oo (82) II [0, t~ ; ud ~-- l-I [0, ti ; v] = Y~ Y~ (--1)x-1 •

i=1 i=1 i - I X=l L--1

{( II [0, t~ ; Uj,l]) @ [vx, t/ ; Wl]} @ j = l

L--1 {( l-I [ w 1 , uj, 1 ; u j,2] ) (~ ( I - - [ ~ 2 , Wl ; W21)} {~ "'" (~

j = l L--I

{( n uj, _l ; | (1 - - ; j = l

Nous avons utilis6 les notations suivantes. Les t} sont constitu6s par les tj 5. l 'exclusion de h �9 Nous avons pos6 :

vx = min {ul,x , . . , ML--I,~} ,

] W ~ . = V .

Nous voyons l '6norme complexit6 des calculs pratiques si nous voulons appliquer cette expression (82) au cas d ' u n processus d'arriv6es ordonn6es d6termin6.

Par exemple, dans le cas d ' u n processus d'arriv6es r6g6n6rateur, l 'ex6cution des calculs peut se faire de fagon analogue h celle d6crite dans [4], paragraphe 8.

3.5. Cas stationnaire.

A partir du th6or~me 2, on d6duit ais~ment la solution dans Ie cas du processus limite stationnaire (s'il existe).

La fonction al6atoire G(t) devient une variable al6atoire G ind6pendante du temps. Posons :

(83) A = lira (p.s.) [t, t ; v], (p.s. : presque sore). t-+oo

C 'es t la variable al6atoire d ' encombrement 5. un instant quelconque dans le cas d ' u n seul circuit, si le processus limite stationnaire existe. Autrement dit, ~t un instant quelconque, A est 6gal ~ 1 ou 0 suivant que le circuit est encombr6 ou non.

Consid6rons deux variables al6atoires B e t C, non ind6pendantes et telles que : BC = 1. Nous 6cri- rons, par convention

(84) B = C -1.

Mais il faut bien noter que, pour l 'ex6cution des calculs, il s 'agit de repartir de la relation B C = I

pour d6terminer B, afin de tenir compte de la d6pen- dance existant entre B et C.

Posons :

(85) Z(j) = lim (p.s.) Z(j, t). t-~-{-o~

mvec ces notations, nous pouvons 6noncer.

Thdorbme 3.

Avec les hypothbses du thdorbme 2 et dans le cas d 'exis tence du processus limite stationnaire, nous avons pour ce processus limite :

{Al(1 - - A)L-~I j !) (86) Z(j) = L

Z {A'(1 - - A)L- ' / i !} i=0

oh A est la fonction alOatoire d 'encombrement Z(1) dans le cas d'un seul circuit.

Pour le calcul de AJ, notons qu ' i l est n6cessaire de d6velopper la fonction limite de [t, t ; v] et d 'effectuer le d6veloppement des produits de cette fonction. Les calculs sont done tr6s complexes.

De m~me, notons bien que l 'expression condens6e (86) signifie que nous avons :

AJ (87) Z ( j ) = T (1 - - A) L-; G,

off la variable al6atoire G est la limite presque sfire, quand t croit ind6finiment, de la solution de l '6quation int6grale stochastique (74).

Rappelons que le cas de processus d'arriv6es non ordonn6es condui t / t des calculs beaucoup plus simples, comme par exemple la th6orie des trafics pseudo- poissonniens (voir [4], paragraphe 11).

4. C O N C L U S I O N

Nous avons pu explicitcr la solution du processus d '6coulement du trafic dans un faisceau de circuits, dans le cas du mod61e ~ appels perdus et avec les hypoth6ses les plus g6n&ales. Ceci a 6t6 rendu possible grfice 5. l 'utilisation de la not ion d'int6grale stochastique. Mais il faut bien reconnaltre que l 'applicat ion des formules obtenues, h des cas d6termin6s de processus d'arriv6es ordonn6s, conduit h des ealculs en g6n&al extr~mement complexes.

Manuscri t re fu le 23 janvier 1979, acceptd le 11 avril 1979.

BIBLIOGRAPHIE

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Sur le problème du trafic téléphonique général, direct et sans attente