Physica V I I I , no I Januari 1941

SUR LE SPIN DES PARTICULES ELEMENTAIRES Instituut voor Theoretisehe Natuurkunde der Rijks-Universiteit, Leiden

p a r J . K. L U B A i ~ S K I

S o m m a i r e

On calcule, en utilisant les notations, ,ondorielles", les valeurs moyennes des op6rateurs S 2 et S 2 + A 2, off (S, iA) est le bivecteur de la t ransforma- t ion infinitesilnale de L o r e n t z, pour les particules 616mentaires de spin arbitraire, le spin d 'une particule 6tant d6fini de la mani~re propos6e par F i e r z et P a u ] i. Les calculs n 'on t 6t6 fairs que pour les solutions des 6quations ondorielles qui sont 6quiva]entes aux solutions des 6qua-

t ionsspinoriel les de D i r a c et F i e r z . On trouve q u e ~ n'est inva- r iant que pour les particules dont le norabre quant ique s relatif au spin

est 6gal k 1, 0 ou ½. Dans ce dernier-cas l ' invariance de S-~ a une analo- gie classique. L 'expression que l 'on t rouve pour S ~ , permet de lier d 'une fagon invariante le nombre quant ique s de spin k la valeur du mo- ment ,,intrins~que" d' impulsion.

M a j o r a n a 1), D i r a c 2) et d ' a u t r e s 8) 4) on t p ropos6 des dif-

f~rentes theor ies des pa r t i cu les ~l~mentaires de sp in ent ie r ou d e m i -

en t ie r que lconque . D a n s la pr~sente no te je m e p r o p o s e d '~ tud ie r le

r a p p o r t en t re le n o m b r e q u a n t i q u e re la t i f au spin et la va l eu r du m o m e n t d ' i m p u l s i o n in t r ins~que qu ' i l f a u t a j o u t e r au m o m e n t d ' i m -

puls ion o rb i t a l p o u r ob ten i r une c o n s t a n t e du m o u v e m e n t .

§ 1. F i e r z 6) et d ' u n e fa~on plus d~taill~e P a u 1 i e) d i scu ten t la

d~fini t ion su ivan t e du n o m b r e q u a n t i q u e re la t i f au spin. L a pa r t i cu l e

a le spin s, si p o u r un q u a d r i v e c t e u r d ' impuls ion-~nerg ie pA = (p, E)

donn~ il y a 2s + 1 so lu t ions i n d 6 p e n d a n t e s des dqua t ions du m o u v e - m e n t (ondes planes), qui d o n n e n t une r e p r e s e n t a t i o n d~s du g r o u p e des r o t a t i o n s dans le syst&me au repos (c.-~-d. le sys t~me dans lequel

p~ = (p, E) = (0, E)) . E n d ' a u t r e s roots, il y a donc 2s + 1 ~tats de po la r i sa t ion d ' u n e o n d e plane.

D ' a u t r e p a r t nous s avons , que le m o m e n t d ' impu l s ion o rb i t a l

- - 4 4 - -

S U R L E S P I N D E S P A R T I C U L E S E L ~ M E N T A I R E S 4 5

3.,r~. 2xtApv I n'est pas, en g~n6ral,.une consta,nte du mouvement et :Z orb.

que pour obtenir une constante du mouvemen t il faut y a jouter le moment d ' impulsion relatif au spin. On obt ient facilement le moment to ta l d ' impulsion A part i r du tenseur sym6tr ique d'impulsion-6nergie T at' A l 'aide des formules

Ma~'= 2 f xt~T m° dTm) (xCAT~ iv ~- ½(x a T~V--xVTaV)l \ x , ~ = o , l , 2 ,3 ; xO = ct / (1)

Le tenseur sym6tr ique d ' impulsion-~ner~e Ta~, satisfaisant aux conditions

~,T~' = 0 (~, ------- ~ , ) ,

peut facilement &re construit si les ~quations de la particule s 'ob- t iennent d 'un principe variat ionnel ~fL d'q41-= 0, oh Les t une fonction de L a g r a n g e qui ne dfipend que des grandeurs de champ q et de leurs d~riv&s premi&es 0aq • L = L(q, ~aq)- B e 1 i n f a n t e 7) et R o s e n f e I d 8) ont montr6 comment il faut construire T a~' pour Jes grandeurs de champ, q, les plus g~n6rales (spineurs, , ,ondeurs" *)).

On t rouve ainsi pour le moment total d ' impulsion

M ~ M~o~. + M,p~,,, (2) oCa

Mao~. = 2 f xt~t~ '~° d'qal, (3)

(le moment d ' impulsion orbital)

M,ag.,, = 2 f xt~® vm d-rla I = f / ;~0 d,lm" (4)

(le moment d ' impulsion relatif au spin) **)

Dans ces expressions tM et ®a~' sont des tenseurs dont la d6finition a 6t6 donn6e par B e I i n f a n t e 7), et tels que:

T . v = t . ~ + O . " ; (5)

le tenseur/a~,~ est d6fini par

= {x 0L s~a~ /a~,~ __ #,a, = Re q ~ q} (6)

oil So@ est l 'op6rateur correspondant ~ la t ransformation infinitd- simale de L o r e n t z c.-k-d.

• ) V o i r B e l i n f a n t e ~ ) . . • *) Vo i r B e 1 i n f a n t e ~), f o r m u l e s (31-- (17) .

46 J . K . LUBANSKI

si ~x a = x ~ ~ c o ~ (~co. a = - - ~coW), (7)

alors ~q = ½ ~ so.~ q. (8)

En appl iquant les formules gen~rales (4), (6) ~ l '~lectron de D i- r a c on t rouve en effet, ~ par t i r de

mc L = - -~+*~ (k + V%) +; k = - f i - ,

l 'expression suivant

M~,, = R e f i ~ +t~yo~, ~ • (a12 = a , . . . . . o 1° = i~, . . . . ) (9)

et on voit que la definition g~nerale (5)--(6) se confond avec la d~fi- nit ion usuelle.

Si l 'on consid6re la composante d'espace du bivecteur M~,, (M~i . , al 12 M.,~,,, M,pi,,) = S (1 O)

on a pour l '~lectron

S = ] a = k +t[3y°at~

La valeur moyerme de l 'op~rateur (½.)2 est ~ = ½(½ + 1) eL on se demande s'il ne serait pas possible de d~finir le nombre quant ique relatif au spin aussi dans le cas g~ndral par la formule

s(s + I) = ~ , (1 I) oh

Sot, = ( - - iSo~, -=- *So,," a, _ _ i S ~ ) = (Sx, o#, S,,op, S,,o#) (12) et

• S ~ = S2,o# + S2,o# + S2,o#. (13) Une telle supposition semble ~tre corrobor~e par le fait que pour

le m~son on a, en effet, pour le m~son vectoriel (spin 1), et le m~son scalaire (spin O) *) respect ivement

~ - = 2 e t O.

Cependant on ne s ' a t t end pas, en g6n~ral, & ce que le carr6 de la composante d'espace d 'un bivecteur soit invar iant par rapport aux t ransformations de L o r e n t z, et c 'est pourquoi l ' invariance d e ~ , dans le cas de l '~lectron et dans celui du m6son, peut sembler, A pre-

• ) On le v6rifie facilement A l'aide de la forme de la th~orie de m~son, donn~e par K e m m e r 1o).

SUR LE SPIN DES PARTICULES ]~Lt~MENTAIRES 4 7

mi6re vue, incompr6hensible. Pour 61ucider cette question nous allons calculer la valeur moyenne de l 'op6rateur So2p pour les partictfles de spin s > I, l 'expression ,,particule de spin s" 4tant prise au sens de la d6finition de F i e r z-P a u 1 i, cit6e plus haut .

§2. H . A . K r a m e r s , F . J . B e l i n f a n t e e t l ' au t eu r 11) ont pr4sent6 la th6orie des particules de spin quelconque sous une forme ,,ondorielle" qui contient, comme cas particulier, la th6orie d6velop- p 6 e p a r D i r a c 2) et F i e r z S ) .

Nous citons ici quelques formules du t ravai l de K r a m e r s, B e 1 i n f a n t e et l 'auteur. Nous en aurons besoin dans la suite.

Un ondeur d 'ordre N est d4fini comme un ensemble de 4 N compo- santes ~kik2...kN(ki = l, 2, 3, 4), qui se t ransforment comme les pro- duits des composantes de la fonction d 'onde de l '~lectron de D i r a c

~klk2.. .kN " ~ +k 1 ~k 2 . . . . . +k N •

Nous introduisons tout d 'abord les op~rateurs y~i)(v ---= 0, 1, 2, 3; i : 1,2 . . . . . N) qui op~rent comme ~,v de la th~orie de D i r a c sur le i-~me indice de ~b%.., N e t comme l 'op~rateur-unit~ sur tous les autres. On a alors

Ensuite, on d6finit A l 'aide de Y~i) les op~rateurs F ~ comme N

r , = z vSj. (15) i= l

Enfin, on d~finit la matrice B, hermitique (B* = B) et telle qu 'on a

B r " + (r")*B * ---- 0. (16)

Si ~10 est une matr ice ddfinie par l'~q. (16), oh l 'on a cependant 2v

remplac6 F v par Yc"0, alors B ----- II ~(il satisfait k l'~q. (16).

Les ~quations, auxquelles doivent satisfaire les ondeurs d'ordre N d~crivant nos particules, sont alors les suivantes (voir x~)) :

F~+ + Nk+ = 0 (17)

oh k est une constante qui d~finit les masses des particules. On obtient ces ~quations de la fonction de L a g r a n g e

L : K+*B(Nk + F~0,)+ (K-une constante r~elle). (18)

Nous pouvons donc utiliser les r~sultats cites plus hau t (voir les formules (4) et (6)).

48 J . K . L U B A ~ S K I

L'opdrateur S ~ (formule 8) s'dcrit:

i ~ (~,~ ~,o = ¢~A. 09) s ~ = ½ r , ~ r . ~ = ~ , z ~ = ~ . ,

Comme valeur moyenne d'un opdrateur E/op nous allons employer l'expression

1 fi ----- -~ Re f i+tBF°~a,+dwlm, (20)

o4 Y = R e f i + t B F ° + dxm). (21)

Cette ddfinition de valeur moyenne ne donne lieu ~t aucune diffi- cultd, si £/op commute avec BF °.

. § 3. I1 faut maintenant calculer l'intdgrale

S = -~I Re j.i+tBFO S2op ~,., (22)

o4 s~ = sLp + s~,op + sLp

(on volt aisdment que So2p commute avec BF°). Dans ce but il faut trouver tout d'abord des ondeurs & satisfaisant

aux dq. (17). Les calculs qui suivent seront effectuds ~ l'aide d'.une r~prdsentation particuli~re des F" et des +.

Ddfinissons quatre grandeurs ~ quatre composantes (U~)~ (s = 4-½; w = 4- 1; k = 1, 2 ,3 , 4). (Nous supprimons l'indice k dans la suite.)

u~ = , u ~ = I -

S ~ * | c~*] ' u~ , = C~*/

C = ~ , S = - - ~ - , ~ > 0 ;

C 2 - S 2 _ p _ v/c . __1 ~ 2 ~ p 2 = m ~ c 2 2CS mc v'l__(v/c)2' c 2

p, = p cos ~, p,, + ipy = p sin 8 e ~;

= cos ½ ~ . e ~¢12, ~ = sin ½ ~ . e i$12 *).

(iil i _ = I

\ - - s ~ / \ - c ~ * /

(23)

*) Comp. K r a m e r s t2), p. 292, formules ( 175)--(176).

SUR LE SPIN DES PARTICULES 1~LEMENTAIRES 4 9

A ce t te r ep resen ta t ion des ondeurs correspond la reprdsenta t ion

su ivante des T v et f3 :

= - - i Y ° ---- P~; T 1 ---- Py~x, T2 = py%, y3 = pyre. (24)

Posons (voir la formule analogue dans 11))

(~ /sls2""SN ~ __ /TTS~ ' \ eilh w(Pr--Et) (25) ~,~x- 2...-^,Jkl...kN-- (U~ll)kl . . . . ~" ~;NJkN •

N N ~ wi (nous supposons ~. wi :# 0). P - - ] y , w i [P , E - - I Z w ~ ] S ' w - - I Z w , I

Alors

rvo~O + N k O : 0

et • est en effet une solut ion (onde plane) des 6% (17). C o m m e l ' o n t d6montr~ K r a m e r s , B e l i n f a n t e et l ' au-

teur , on ob t i en t les par t icules ~tudi~es pa r D i r a c o) et F i e r z 5)

en posan t

wx = w 2 = ' . . . . . w N = w = + 1 ( a l o r s P = p , E : ¢ ) (26)

et en p renan t un ondeur sym6.trique pa r r a p p o r t aux indices ki ou - - ce qui rev ient ici au m~me - - pa r r appo r t aus indices si. Nous nous l imi te rons dans la suite ~ la discussion des par t icules de D i r a c- F i e r z. A l 'a ide des formules

Ut,~TT, = 2 C S v 8"8~, (27)

u*dv: = 8" Es~.o + (1 - - 8 w ~ ) . 2 s . ( c ~ - s2) ] , (28)

P a 2 P u'~ = sU'~ (29)

on v6rifie faci lement que les N + 1 ondeurs

) / ( 2 U S ) N - I ~ / N L 3 U ~ I U ~ 2, " " " Usd) . ei/hw(Pr--EO

( M = Y. s i : ½ N , ½ N - - 1 . . . . . - - ½ N ) , (30)

1 (U('I . . . U',v) = N ! Z U ' q U ' ~ . . . U *in)

ili2...i N

fo rmen t N + 1 solutions des 6% (17) (ondes planes), or thogonales et norm~es dans un cube de vo lume L 3 selon les formules

Y = R e f i + t ~ M ' B F O + ~ t = w N+I . 8~'VM8 .... . (31)

Physica Vl l I 4

50 J .K. LUBA~SKI

Les ~b M sont des fonctions propres de l'op4rateur PS/P correspon- dant aux valeurs propres M. (M est donc la composante du spin dans la direction P).

A l'aide de la formule 1

a la 2 U~ U~, = 4SlS2V~ U~, Jr- (l - -4s is2) ~ U~ U~, ~-

C2 __ S 2 +-(2CS)2 . ½ (1 - -4s is2) (%U%,U~, + s2U~,U"_w,)-

( C 2 - - .S2,~2 \ 2-CS ] ( l - -4s ts2) U*_',,Ukw, (32)

nous obtenons enfin

Refi+*~ M' o 2 M BF Sop +~ = - (c2-sy1 = ~ j N + I ~ M ' M ~ w , w [½N(½N + 1) + N 2 (~N. 2 M2 ) \ ~ 1 ]" (33)

Mais C2- - $2 P P (v. 1'~q.,(23)),

2CS mc mc

donc pour une onde plane correspondant h l'impulsion P"

¢,. = ~ ,~ +~ (Xl ,~ I ~- = ]) , (34) M=---~N

nous avons la formule p2

N - 2 M [2 (}N 2 M 2) m--~c2. (35) S-~ -= ½N(½N + I) + ~ Z I a~ M

Dans le syst&me au repos

P = v / V ' l (v/c) 2 = 0 et ~ - - - - - ½ N ( ½ N + 1),

mais dans les autres syst~mes de r4f4rence -~2 > ½N(½N + I). C'est seulement si l 'ondeur ~b ne contient que les composantes relatives au spin parall~le ou antiparall~le A (MP = t : ½N), c.-A-d, si

+ = a~ ~ + ~ + a-~ ~ + ~ (36) que la valeur de ~ ne d4pend pas de P.

Ceci a une ana]ogie.classique. Si dans un syst~me de r~f~rence le bivecteur (S, A) n'a que ]a composante d'espace (donc A = 0), on a alors pour le carr~ de cette composante dans un autre syst&me de r4f4rence qui a la vitesse v par rapport au premier, la formtfle

(vlc)2 (37) S '2 = S 2 + S~ 1 - - (v/c) 2

SUR LE SPIN DES PARTICULES ]~L]~MENTAIRES 5 1

oh S_L est la composante du vecteur S orthogonale ~ la vitesse v. Si donc S est parall~le ~ v on a S '2 ----- S 2 *).

La formule (35) explique l ' invariance de ~ dans le cas de l'~lec- t ron: la fonction d 'onde + (l 'onde plane) est toujours composde ex- clusivement de l 'onde correspondant au spin parall~le et au spin antiparall~le. (Nous ne voulons pas dire que dans une si tuation + = a~+~ + a - t + - ~ le vec teur S--op n 'a que la composante paraU~le

P . S--~ est une autre chose que (S-x.op) 2 + (~,op) 2 + (~,op)2.) L ' invariance de S2-pour le m~son est cependant tout A fait fortui te:

pour le m~son le spin s -~ 1, on a donc N = 2 et l ' invariance d e ~ est une consequence du fait que le facteur num6rique (N - - 2)IN dans l'~q. (35) est ~gal ~t z6ro.

L 'op6rateur S2p ne suffit donc pas pour d~finir le nombre quanti- que relatif au spin, s, d 'une fa~on ind6pendante du syst~me de r~f~- rence. Si l 'on cherche un op~rateur d6finissant s d 'une fa~on inva- riante, il est naturel d '~tudier tout d 'abord ,,le carr~ invar iant" de l 'opdrateur-bivecteur

--iS~o~ = (Sop, iAop), c.-~-d.

S2p + A2p. (38) N

Dans notre r~presentation on a Aop ---- {z=Xf~)~(°, donc

S2p + A2p -- 2 . ~ N + l Z (1 + p(op~i)) (t(oa(i)" (39)

Mais

(] + pi~) (2)) .(t)(~(2) U~: U':o, - - -- U_o, U~.,) (40) 4s~ s2(U~', U~, ~ U'__' ~, UL'.,) + (l - -4s~ s2) (U~: U:' _L ~. - - - , V a I

et pour des ondes planes correspondant aux particules de D i r a c- F i e r z o n a

~ 2 ~ = ½N (½N -[- 1) + ~-N. (41)

On peut donc d~finir - - du moins pour les particules de D i r a c- F i e r z - - le nombre quant ique s, relatif au spin, par la formule

s(s + 1) = g~ off

hop = $2~ + A 2 ~ - - ~ N .

*) Si Yon eherche h d6velopper une th6orie classique du spin, on trouve qu 'un biveeteur SA# du type consider6 y joue un r61e impor tant . (Voir p. ex. K r a m e r s ~2), § 57).

52 SUR LE SPIN DES PARTICULES I~.LI~MENTAIRES

Mais les ~q. (17) ont encore d'autres solutions. Ce sont celles que F i e r z a exclues ~t l'aide de certaines ,,conditions suppl6mentaires" (volt F i e r z S ) et P a u l i et F i e r z ~'~)). La valeur moyen- ne de S 2 + A 2 pour les 6tats correspondant h ces solutions d~pend non seulement du nombre quantique s, mais encore d'un autre para- m~tre qui est li~ A la masse de la particule. C'est pourquoi l'op6ra- teur S 2 + A 2 ne semble pas ~tre tout-h-fait satisfaisant et il serait int~ressant de savoir s'il existe un op6rateur dont la valeur moyenne ne d~penderait que du nombre quantique s, pour tousles 6tats de la particule d~crite par les 6q. (17).

Les calculs de la prdsente note ont 6t6 faits ~ la suggestion de M. Ie Professeur K r a m e r s. Je lui exprime ma profonde reconnaissance pour des discussions ~t ce sujet.

Je tiens 6galement ~t remercier vivement le Fundusz Kul tury Na- rodowej et le Lorentz-F0nds, dont les subsides m'ont fait possible le s~jour en Hollande.

Re~u le 14 novembre 1940.

Rt~F~RENCES

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