C. R. Acad. Sci. Paris, t. 327, S&ie I, p. 569-574, 1998 iquations aux d&iv&es partielles/Parfial Differential Equations

Sur 1’6quation de la chaleur pour les applications harmoniques avec potentiel

Ali FARDOUN a, Andrea RATTO b, Rachid REGBAOUI a

a Dkpartement de mathkmatiques, UniversitC de Brest, 6, avenue Le Gorgeu, 29200 Brest, France Courriel : fardounauniv-brest.fr, regbaoui@univ-brest.fr

b Dipartimento di Matematica, Viale Mere110 93, Facolti d’ingegneria, 09123 Cagliari, Italie Courriel : rattoa@vaxcal.unica.it

(Requ le 13 juillet 1998, accept6 aprk r&vision le 11 septembre 1998)

RbumC. Soient (M, g) et (N, h) deux variCtCs riemanniennes saris bord (M compacte et N complkte). Soit G E C?(N) ; si u : M + N est C”, on d&kit IT&(U) = f s, [Id@ - 2G(,u)]d&. N ous obtenons des rCsultats d’existence globale et de convergence 2 l’infini pour l’kquation de la chaleur associke ?I la fonctionnelle EQ dans le cas oti RiemN 5 0. En revanche, si cette demibe condition sur la courbure de N n’est pas vCrifiCe, nous avons des cas d’explosion des solutions. 0 AcadCmie des SciencesMsevier, Paris

On the heat flow for harmonic maps with potential

Abstract. Let (M, g) and (N, h) be two Riemannian manifolds without boundary (M compact, N complete). Let G E C”(N); if ~1 : M --+ N is a smooth map, we define EG(~) = $ l, [(dul’ - 2G(u)]dV,11. We obtain some global existence and convergence results for solutions of the heat equation associated with the functional EG under the assumption Riem.v 5 0. If this curvature condition is violated, we find phenomena of blowing-up of solutions. 0 AcadCmie des SciencesMsevier, Paris

Abridged English Version

We shall assume that (M, g), (N, h) are two connected Riemannian manifolds without boundary, M compact, N complete. If G : N --f R is a given smooth function, the energy with potential G on smooth maps u : M ---f N is the functional defined by

EG(u) = ; nl [(dUj2 - 2G(u)]dVM. s

Note prbentke par Haim BF&ZIS.

0764-4442/98/03270569 0 AcadCmie des SciencesElsevier, Paris 569

A. Fardoun et al.

The smooth critical points of EG are called harmonic maps with potential G (see [3], [4], [6] for background and motivations, and [8], [9], [l l] for related questions). The heat equation associated with (1) is

(9 8% - = TG(Ut)r at

(ii) ug(x) = U(x) vx E M, (2)

where U : M + N is the initial condition (which we suppose to be of class C2+a for simplicity) and

TG(u) = T(U) + VG(u) (3)

(r(u) = trace,(Vdu) is the tension field associated with harmonic maps; also note that TG(U) = 0 is the Euler-Lagrange equation for the functional EG). We have:

THEOREM 1. - If N is compact and RiemN 5 0, then the heat equation (2) always admits a solution ut dejined on [0, +oo) x M. Moreover, there is a sequence i?i, -+ +cz such that ut, converges to u, in C2(M, N), where u, : M -+ N is a harmonic map with potential G which is homotopic to ii.

Remark 1. - Unlike the classical case, in general, u, will not be an absolute minimum in its homotopy class. However, as a consequence of our analysis we can deduce that, under the hypotheses of Theorem 1, each map ti : M -+ N is homotopic to a harmonic map with potential G which is an absolute minimum in its homotopy class.

Remark 2. - If the target manifold N in Theorem 1 is supposed to be complete but not compact, then the choice of the potential G plays an important role. In particular, we have global existence and convergence for manifolds N which do not satisfy the Eells-Sampson growth condition, provided that the potential G verifies some suitable hypotheses: some details in this direction can be found in the french version below.

THEOREM 2. - Suppose that dimA 2 3 and that N is compact, and set L = Vol(M) . max{ G(y) : y E N}. Let 3 be a non-trivial homotopy class of mappings from M into N. There exists E > 0 such that, if ti E 3 verifies

EG(U) + L < E, (4)

then the solution to the heat equation (2) blows up in finite time. Moreover, if [0, T(u)) denotes the maximal existence interval for the solution to (2), we have T(G) --+ 0 as EG(u) + -L .

Soient (M, g) et (N, h) d eux varietes riemanniennes connexes sans bord (M compacte et N complete). Nous definissons la fonctionnelle de l’energie avec potentiel G (G E C”(N) est une fonction donnte) :

EG(u) = ; M [ldu12 - 2G(u)]dVM, u E C”(M,N). s

Les applications harmoniques par rapport au potentiel G (voir [3], [4], [6] pour une introduction au sujet, et [8], [9], [l l] pour des questions likes) sont par definition les points critiques de la fonctionnelle EG de classe C”, c’est-a-dire, les solutions de l’equation

TV gf~(u) + VG(u) = 0, (2)

oii r(u) = trace,(Vdu) est le champ de tension associe aux applications harmoniques.

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Sur I’kquation de la chaleur pour les applications harmoniques avec potentiel

L’Cquation de la chaleur associke 2 (1) et (2) est la suivante :

(i) 2 = ~G(u~), (ii) ug(x) = G(x) vx E Ad,

oti U. : A4 -+ N repkente la donnCe initiale (qu’on supposera de classe C2+e pour la simplicitk). En coordonnkes locales (xi) sur M, (y”) sur N, 1’Cquation (3)-(i) prend la forme suivante :

(4)

PROPOSITION 1. - Le probEme (3) admet toujours une solution locale unique ut d&inie sur un domaine d’existence maximal de la forme [0, T) x M, oli T E (0: +oc].

Le rksultat suivant gCnCralise dans ce contexte le thkoritme d’existence de Eells-Sampson (v&r [5]) :

THGORBME 1. - Supposons que N est compacte et RiemN < 0. Alors le problbme (3) admet toujours une unique solution globale ut. De plus, il existe une suite tk + +w telle que uti t u, dans C2(M, N), ok urn : ~$1 + N est une application harmonique par rapport ci G homotope h ti .

Remarques 1. - (i) Contrairement au cas classique, l’application U, du thkorkme 1 n’est pas nkcessairement un minimum absolu dans sa classe d’homotopie (u, peut mCme &tre instable). Cependant, on peut dkduire du thkorkme 1 (par un argument similaire i [5], page 158) que toute application 21 : M -+ N est homotope g une application harmonique avec potentiel qui est un minimum absolu de EG dans sa classe d’homotopie .

(ii) La restriction RiemN < 0 dans le thCor&me 1 (et dans le thkorkme 2 ci-dessous) n’est pas nkessaire si dimA = 1.

Dans le cas oti N est complkte mais non compacte, le choix du potentiel G joue un r6le important : pour la partie (iii) ci-dessous, nous supposerons que N est plongke isomktriquement dans un espace euclidien, IF+’ convenable. On note i : N -+ W n+k le plongement de N dans !RBn+k et A(y) : T,N x T,N --+ (T,N)l la seconde forme fondamentale associke B ce plongement. De plus, pour simplifier les notations on Ccrira y B la place de i(y) pour tout y E N.

THBORI~ME 2. - Soit N camp&e avec RiemN 5 0. (i) Si il existe C > 0 telle que Hess G 2 C dans N (au sens des formes quadratiques), alors la

solution ut de (3) est toujours d&jinie sur [0, +oo) x 111. (ii) Si il existe E > 0, C > 0 tels que, pour tout y E N, Hess G(y) < -C(l + ~(yy>)-~+” (p est

la distance riemannienne de y & un point J;ce po E N), alors la solution ut de (3) est globale et converge uniformPment (lorsque t tend vers +oo) vers une constante qui est un point critique de G.

(iii) Si pour tout y E N, pour tout Y E T,N,

MY)(K YL Y) pz+” + VI2 - (VG(y), Y)~“+” L 0, (5)

alors la solution ut de (3) est globale et il existe une suite tk telle que ut,, converge (lorsque k -+ +oo) dans C2(M, N) vers une application u o. qui est harmonique par rapport au

potentiel G.

Remarque 2. - 11 est utile de faire quelques commentaires sur les hypothbses de ce thCor&me : (i) Si N = R, on peut construire des exemples oti la solution de (3) explose en temps fini pour

G(z) vkrifiant G”(z) 5 CIzI’, (E > 0 arbitrairement petit).

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A. Fardoun et al.

(ii) Si N = R, on peut construire des exemples ou G”(z) 5 -C(l + IX/)-” (C > 0) et ou la solution globale de (3) diverge.

(iii) Soit N = {z” + y2 - e2’ = 0) dans R3. Alors N est une surface de revolution a courbure negative. 11 est bien connu (voir [5]) que N n’admet pas de geodesiques fermtes. En revanche, on peut definir explicitement des fonctions G : N + W qui assurent (grace a (5)) que si u : s1 -+ N est une donnee initiale rotationnellement symetrique qui represente une classe d’homotopie non triviale, alors la solution u t de (3) est globale et converge a l’infini vers une application u, harmonique par rapport au potentiel G est homotope a ti. On remarque aussi que certaines varietes N a courbure negative, qui verifient les conditions de croissance a l’infini de Eells-Sampson (voir [3]) (comme par exemple N = {z” + y2 - z2 = l}), admettent des potentiels G qui entrainent des phenomenes d’explosion en temps fini.

THI?O&ME 3. - Supposons que dim M 2 3 et que N soit compacte. Posons L = Vol(M).max{ G(y) : y E N}. Soit 3 une classe d’homotopie d’applications non triviale de M duns N. I1 existe E > 0 tel que, si ii E 3 ve’rije

J%(u) + L < E, (6)

alors la solution de (3) explose en temps jini (c’est-a-dire T < +m duns la notation de la proposition 1). De plus, T -+ 0 quand EG(u) -+ -L.

Remarque 3. - Une classe d’homotopie non triviale u : M -+ N contient des donntes initiales ii vCrifiant (6) pour tout E > 0 si et seulement si u est [2]-homotope a une constante (voir [13]). En particulier, cela se produit toujours si au moins une des conditions suivantes est verifiee :

(a) xl(M) = ~z(lM) = 0; (b) TV = KS(N) = 0; (c) rl(M) = nz(N) = 0. (7)

Principe de dkmonstration

Demonstration du theoreme 2. - (i) On designe par ut la solution de (3) dont l’existence est assuree par la proposition 1. Posons e(ut) = ~ld~~/~, e(t) = max{e(ut(z)) : IC E M}. Pour montrer que T = +oc, il nous faut les trois estimations suivantes :

(9 Il~(~)ll~-(p,~)) I C,

(ii) II~Il~-(p,~j~.tfj I C,

(iii) u,(M) c K pour tout t E [0, T), (8)

oti ici et dans la suite C designe une constante positive et K un sous-ensemble compact de N. Si on utilise les estimations (8) (i)-(ii)-(iii) dans (4), on deduit d’abord par ellipticite que s~P{ll~tllc’+qM,i) : t E [0, T)} < C. Ensuite, grace a la theorie des equations paraboliques, on obtient :

SUP t

a& II~tllC~+“(Ivl,N) + -g

I/ II : t E [0, T)

C” (Mm I 5 C. (9)

11 ressort de (9) que T = +oc. Done pour demontrer le theoreme 2 (i), il reste a Ctablir les estimations (8). On utilise le lemme suivant dont la preuve est omise.

LEMME 1. - Suit f : [0, T) x M - [0, +w) telle que

g-Af<Cf. (10)

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Alors

Sur I’kquation de la chaleur pour les applications harmoniques avec potentiel

Ml L-([o,T)~M) I eCTllf(O, .)I~L-(M). (11)

Ensuite, un calcul donne

!!.%!d - Ae(ut) = (du,(R’ at

IcciMei), dut(ei)) + Hess G(dut(ei), dut(ei))

- I Vdut I2 +(Riem,v(dut(ei), dut(q))dut(ei), b(q)) (12)

$(z,%) - A(%; s) = -2/V%[2 + 2HrjsG($$ g)

+ 2(RiemN(dut(e;), %)du,(ei), 2 (13)

Comme Hess G 5 C et RiemRt 5 0, en posant successivement f = e(ut) et f = (%, %$-) il suit de (12) et (13) que (10) est verifiee. Alors la conclusion du lemme 1 permet d’etablir (8) (i) et (ii). Pour montrer (8) (iii), on pourra remarquer (en utilisant (8) (ii)) que

Dkmonstration du thkorkme 1. - L’existence globale est un cas particulier du theoreme 2 (i). Pour la convergence, nous commenGons par montrer que (8) (i)-(ii) sont globales en temps. Pour cela, on a besoin du lemme suivant :

LEMME 2. - Si f : [0, +cc) x M - [0, +CQ) vkrije (lo), aZors

IlfIlL”([O,m)xM) i c Il.m 4ILwf) + sup ( U

f(t, z)Wit : tE[O,oo) M >)

. (14)

La preuve de ce lemme utilise une approximation de la solution fondamentale de l’operateur de la chaleur sur une variete compacte. (A ce propos, on peut remarquer que les arguments de [lo] ne s’appliquent pas directement a cause du fait que, dans ce contexte, l’energie saris potentiel n’est pas dkroissante en t car G n’est pas concave.)

Maintenant, soit f(t,x) = e(ut(z)). Un calcul simple donne

(15)

ce qui implique, comme M et N sont compactes, que

J f(t,z)dV, 5 EG@) +

.I IG(ut)ldVM 5 C pour tout t E [0, +cc).

M M

11 suit du lemme 2 que 1’inCgalitC (8) (i) est globale. De meme, on montre que l’inkgalitk (8) (ii) est globale. On en dCduit qu’il existe C > 0 tel que

Ilutll~2+-(M,N) 5 c pour tout t E [o, +m). (16)

De (15) et (16), il ressort qu’il existe une suite tl, -+ m telle que utk converge uniformkment vers une application u,. De plus, U, est homotope a U et TG(U~L,) = 0. 0

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A. Fardoun et al.

Dkmonstrution du thkurt?me 2 (ii). - On utilise le lemme 2 et le principe du maximum pour les EDP paraboliques pour montrer que (8) (i)-(ii)- m sont globales. Dans ce cas, on pourra aussi remarquer que la concavite du potentiel permet d’utiliser une version du lemme de Hartman [7] (voir lemme 2.1, p. 677), ce qui entraine l’uniformite de la convergence.

Dkmonstration du thPorSme 2 (iii). - 11 suit de (5) que

[ 1 7i)i - A (u~(~)~zL~(z))~,,+~ < 0 pour tout t E [O,T).

Par le principe du maximum pour les EDP paraboliques, la solution reste dans un compact. 0 Dkmonstration du thkorgme 3. - D’abord, on montre la propriete suivante :

PROPOSITION 2. - I1 existe E > 0 tel que, si u est une application harmonique par rapport h G qui ve’ri$e (6), alors ‘~1 = cste et G(cste) = max{G(y) : y E N}.

Ensuite, une generalisation du lemme de monotonie parabolique de [12], combinee avec des methodes introduites dans [l] et [2], nous permet de montrer que T 5 C[&(G) + L] &, ofi m= dim&f. 0

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