LETTElCE AL NUOVO CiMENTO VOL. 8, N. 1 1 Settembre 1973

Sur les 6quations du mouvement d'une particule classique h spin.

B . L I N E T

Laboratoire de Phys ique Th6orique Associ6 au C.N.t~.S. I n s t i t u t H e n r i Poineard - P a r i s

(ricevuto il 13 Dicembre 1972)

Dans cette lettre nous eonsiddrons une particule ponctuelle ~ spin chargde et pos- sddant an moment magndtique, en interaction avec un champ 61ectromagndtique donn6. On sait d6duire les 6quations gdn6rales du mouvement de la loi de conservation de l'impulsion-gnergie, en supposant une d6composition dipolaire du eourant 61eetrique et du tenseur impulsion-6nergio (1). Dans cette description nous adoptons los condi- tions suppl6mentaires suivantes: a) le moment magn6tique 5//~ est fonction lin6aire de coefficient gq/2m (g eonstante) du inomen~ angulaire S zv, b) la ddfinition du spin S ~ est donnde par l 'expression S~v= :v~2~S~ off 2 ~ est la vitesse.

Nous montrerons que los 6quations du mouvement sont 6quivalentes ~ u n syst~me diff6rentiel dont la forme est adapt6e ~ la rdsolution du probl~me de Cauchy. Nous pr6eisons le choix des donndes initiales.

Dans l e c a s d 'un champ 61ectromagn6tique constant, il s'av~re qu 'un choix cano- niqtte de solutions particaliSres cst possible. Cell~s considgr6es vdrificnt un syst~me diff6rentiel qtti satisfait aux deux propri6t6s snivantes: a) en absence de champ 61ectro- maga6tique la trajectoire est rectiligne, b) en absence de moment magn6tique anorma] (g ---- 2) los quantit6s 2 ge t S ~ satisfont au syst~me diff6rentiel bien connu de Bargmann- Michel-Telegdi (2).

1. - Los 6quations g6n6rales du mouvement sont de la forme

ofz

P " = qF",2" + �89 M~ ~ a".F~(, ,

On interpr6te p/~ comme l ' impulsion-6nergie de la particule et m comme sa masse.

(1) I~. WESTPFAtIL: Ann. der Phys., 7, 25:1 (1967). (~) V. BARGlVIANN, L. NIICHEL e t V. TELEGDI: PhYs. Rev. Loll., 2, 435 (1959).

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6 4 B. Li:NET

Nous adoptons l 'hypoth~se de Goudsmit-Uhlenbeck

M/*v = IcS~ v .

Dans ee travM1 nous prendrons k = gq/2m, o~ g est une constante (a). Pour g # 2, nous dirons que la partieule a ua moment magn6tique anormal. L'expression de la masse se d6duit des 6quations du mouvement . On t rouve (a)

m s = �89 + m~,

o~t m 0 est la masse propre de la part icule en absence &interaction. De fagon ~ pouvoir comparer avec les 6quations d '6volution connues du spin if.a),

indiquons l '6quation diff6rentiel!e v6rifi6e par S t :

$ ' = g 2"'S~+2~ (9--2) SoFqa2~+-~g~--~m

off l 'on a pos6

Nq = pe - - m~e et 2v@ = �89162 a .

L~ diff6renee provient d 'un terme en No. Par cons6quent la diff6rence a pour origine 1~ non eolin6arit6 de la vitesse et de l 'impulsion-6nergie.

2. - Le probl~me de Cauchy des 6quations du mouvement ne peut ~tre trai~6 directe-

ment ; eu effet le terme de plus haut degr6 est de la forme Sm'~ et Sm n'es~ pas in- versible sous l 'hypoth~se habituelle S~v2~ = 0. Nous allons proc6der par 6quiwlence. Les 6quations du mouvement sont de la forme

(I)

a)

b)

c)

dss m ~ - - S ~ - - g S~v~%ke = qF~ ~ + lgq2m Sqa ~He~ "

S,~ I_aq sE,eH~I + --SE~eze--g = 2 ~ 2 n v e -~ 2m /

S~v2v=0 et ~ 2 ~ = 1,

o~

2 ms = �89 + too.

(a) Une a u t r e possibi l i t6 e s t de p r e n 4 r e k = eons t ; ou b ien p lus g6n6ra lemenb k(m).

(4) P h y s i q u e m e n t , o n suppose t o u j o u r s que l '6nerg le d u dipole m a g n S t i q u e es t pe t i t e d e v a n t l ' 6nerg ie de m~sse m0; p a r c o u s 6 q u e n t o n a m = t o o + �89 M#V2'~v- t - . . . .

(~) •. GOOD: P h y s . Rev . , 125, 2212 (1962); l o r q u ' o n n6glige les t e r m e s quad rupo l a i r e s .

SUR LES ]~QUATIONS DU MOUVEMENT D'UNE FARTICULE CLASSIQUE ~k SPIN 65

a) Soit z,(0) e~ Su~(0) uae solut ion de ([). I n t rodu i sons la fone t ion Pg(0) pr6e6- d e m m e n t d4finie. Aiors Pt', Sg" ct z~ vdrifient ndcessairement les dquat ions su ivantcs :

(II)

off.

a) p~, q_ F% P ~ q 2 ~ 1 q = m ~ Sor F~'~S o S%,Pa-F -2 g ~ m Sea ~&F~(~,

b) 2 m ~ 2m,

P ~ 2 P~ 2 - - S~ o Sq a p'~

1 2 r 2t' = _ p t , .~- ~, S~' o 80,, P'~,

2 e) m ~ : P o P o + ~ P o S % S ' ~ P ~ ,

- - S t ' eS%P'~ ,

n sufllt de r emarquer que l 'on a la re la t ion

2 S ~'t~ S~,~ S ~ S~0 p q .

b) ] ) [a intenant nous cons id&ons (II) comme un sys tbme diff6rentiel pour les fonet ions incounues P~, St,~ et z~ (na tu re l l ement notts ne supposons plus aucune rela- t ion ent re ces fonctions) .

Le syst~me diff~renticl (II) se pr6sente sous la forme

(rv) I a) P~ = ~ (Po, $o`,, zo),

b) ~%~ = Sf~'~(Po, S~, zo),

Sauf aux points s inguliers S~'PS~r = 0 off m 2 = 0, u n tel systSme diff6rentiel admet tou jours une solut ion un ique si l ' on se donne 's l ' i n s t a n t in i t ia l Pv(0), Sv~(0) et zu(0).

De plus, nous consid6rons des donn6es ini t ia les compat ib les avec ( I I d ) ) et ( I I e)) Tou~ d ' abo rd on mon t r e qua S ~z S ~ et S ~ S ~ , ~ sont des cons tan tes du mouvemen t .

Done ( I I d)) est tou jours vdrifi6 et a insi h l ' a ide de ( I I c ) ) on vol t que Sv~,, -- 0, E n d6r ivan t l 'expression de la masse, on t rouve

mrh = �89 z`, Fq~ - i {gq2~: Se`, c'~Fo` , .

Pa r sui te la d6r ivat ion de ( I I c ) ) donne l '~qua t ion

~h ~h 'i'~ ztt ztt 9~b

66 B. ~:~NET

L a r e l a t i o n ( I I e ) ) es t 6 q u i v a l e n t e ~ ~s~s-~ 1. P u i s q u e (LIe ) ) es t v6rif i6 in i - t i a l e m e n t , i l en r6su l te que ~ s ~ s = 1 a u cours d u m o u v e m e n t e t a ins i ( I I e ) ) es t t o u j o u r s v6rifi6.

E n s u i t e $ l ' a ide de ( I I b ) ) on d 6 d u i t a i s 6 m e n t l ' exp re s s ion de P~ eherch6e. 0 n e o n s t a t e a lors que z . e~ S~ ~ ~6r i f ien t le s y s t e m s di f f~rent ie l (I). A ins i n o u s a v o n s

t r o u v 6 los cond i t i ons in i t i a l es d u s y s t 6m e d i f fdrent ie l ( II) , 4 q u i v a l e n t ~ (I) : pt% Sw' et zg a r e a les c o n d i t i o n s

2 Pq S~ SG P~ et S ~ S ~ # 0, m ~ # 0. S ~ S@ -= 0 , m~ -= P0 p c -k

3. - Nous supposons ddso rma i s que le c h a m p 6 l e e t r o m a g n d t i q u e es t c o n s t a n t . Les 4qu~ t ions a d m e t t e n t u n e c o n s t a n t s d u m o u v e m e n t qu i a p o u r express ion(s )

P e P c - qS~ ~q~ = c o n s t ,

L ' i m p u l s i o n - 6 n e r g i e n ' e s t pus eol in6ai re s la v i t esse : P ~ 1 7 6 iV c, on en d 6 d u i t

:~qN ~ = - - �89 ( g - - 2) qS" :F~ : + eons t - too.

Ains i los so lu t ions par t i cu l ig res , e o r r e s p o n d a n t ~ eonst---- me ~, s e n t te l les que la n o n eo l ingar i t6 de l a v i t esse et de l ' impulsion-d~nergie p r o v i e n t u n i q u e m e n t d u m o m e n t m a g n ~ t i q u e a n o r m a l .

Ces so lu t ions p~r t icu l i6res s e n t ca rac t6 r i s6es p a r la r e s t r i c t i o n PoP c - qS~_Fo. = m~o su r los donn6es in~s (~).

On eonsta, te q u ' e n absence de c h a m p ~ l e e t r o m a g n ~ t i q u e cos so lu t ions c o n d u i s e n t u a e t r a j e o t o i r e r ee t i l i gne ; de m 6 m e q u ' e n absence de m o m e n t m a g n 6 t i q u e a n o r m a l

los so lu t ions ~ e t S/ ' s a t i s fon t les 4 q u a t i o n s B,M.T.

d (m 2s) = qFSo~0 e t 8 s = q / ~ s o So �9 ds

Duns le eas d ' u a c h a m p 41ec t romugn6t ique c o n s t a n t , ee cho ix c a n o n i q u e de s o h t i o n s p~r~iculi~res s e m b b 61iminer los difficul.t6s d u z i t t e r b e w e g u n g (s).

L o r s q u ' i l y a un m o m e n t m a g n 6 t i q u e a n o r m a l , cos so lu t ions d i f fe ren t de cellos de B . ~ . T . eu r a i son de la n o n co l in6ar i t6 de 1~ v i t e s se e t de l ' impu l s ion-~nerg ie . U n e d t u d e u l t 6 r i e u r e s e t , i t n6cessa i re p o u r 6v~luer los effets qu i d e v r ~ i e n t ~ppar~ i t r e .

L ' a u t e u r r e m e r e i e M. KiCltENASSA~Y p o u r los i n t 6 r e s s a n t e s d i scuss ions qui o n t

p e r m i s ce t t e l e t t r e .

(6) Pour k = const, on a la m~me expression; el. H. CORBE~r Classical and Quantum Theories of S~inuiug Particles (San Francisco, 1968). (7) On pout voir que cette restriction est possible en consid6rant un ensemble de donn6es initiales 6qui- valent: z~, S ~, p~pO, 0 et z ~ avec S ~ # = 0 et ~[~/~ = 1 et 0 caractdrisant la direction de la projec- tion de P# sur le 2-plan orthogonal h ~/~ et S t~. (s) Face ~ cos diflloultSs une tentative courante est de prendre N#VPv = 0 ~ la place de B ~ z . = 0, eL par exemple: L. TREIV~BL&Y; Tll~se do 30 Cycle (Paris, 1963); W. DIXON: Nuovo Cimcnto, $8, 1616 (1965).