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SUR LES FONCTIONS HARMONIQUES "a. TROIS GROUPES DE Pt~RIODES;

Par M. P a u l Appe l l (Paris).

Adunanza dell~xl novembre 19o6.

I. Un r&ent article de M. LUCIANO ORLANDO~ r Sopra alcune funz~ioni analoghe alla funzjone di GREEN per un parallelepipedo rettangolo, *), a rarnen~ mort attention vers des recherches, qui remontent ,~ plus de vingt ans, dans lesqueUes j'ai cherch+ A faire une th6orie analytique des fonctions harrnoniques **), aver quelques applications ~t la Physique math+matique ***). Ces applications qui s'&endent A des cas plus g6n~raux que celui que M. ORLASDO a traitb~ reposent sur l'emploi d'un 616ment analytique, Z(x, y, z~), qui perrnet d%viter les s6ries non absolument convergentes.

Je ne veux pas revenir ici sur ces applications; je me propose seulernent de d6ve- lopper quelques propri&~s des fonctions harrnoniques tripiernent p6riodiques et d'un 61+rnent analytique ~(x, y, ~), plus simple, ~t certains 6gards, que l'6l~rnent Z(x, y, z 0 dont j'ai fait ant&ieurement usage.

2. Fonotions harmoniques triplement p6riodiques.- Soient x, y, ~ les coordonn~es rectangulaires d'un point variable, O l'origine, a, b~ c; a', b', c'; a", b", c" les coor- donn~es de trois points fixes A, A', A" choisis de telle fa~on que les vecteurs OA, O A', OA" forment un tri6dre. Une fonction harrnonique uniforrne F(x, y, Z) est dire triplement p~riodique, quand elle vbrifie les identit+s

I F ( x + a , y + b , ~ + c ) = F ( x , y , ~), (x) F ( x + a', y + b', z~ + c') = F(x, y, z~),

F ( x + a " , y + b " , z~+ c") - - F(x, y, z). Si l'on consid~re les points ayant pour coordonn+es

Xo + m a + m ' a ' + m"a", Yo ~t_ m b -}- m' b' -+- m" b",

--{- m c -9 7 m' c' .d 7 m" c",

*) Dans ces Rendiconti, t. XIX (I9O5) , pp. 62-65. **) Sur lee fonctions de trois variables r~ell~s satisfaisant ~t l'~quation diff~renti611e A.F = O [Acta

Mathematica. t. IV (I884), pp. 313-374]. ***) Sur quelques applications de la fonctlon Z(x, y, Z) ?t la Physique matbdmatique [Acta Mathema-

tica, t. VIII (t886), pp. z65-~94]. Vovez 6galement : D~veloppements en sdries trigonom~triques de ctrtaines fonctions pdriodiques vdrifiant 1Vquation A F ~ o [Jourllal de Math&natiques pures et apl311qta~e~ , 4 e serie, t. Ill (~887) , pp. 5-521.

Rend, Circ. Matem. Palermo~ t. XXU (~9o6). - S t a m p a t o il 28 settembre I~o6. 46

~62 PAUL APPELL.

off m, m', m" sont des entiers prenant toutes les valeurs possibles de - -c~ "l -t-0% ces points forment les sommets d'un rbseau de paralldl@ip~des remplissant tout l'espace, ~gaux au parall~i@ip~de construit sur OA, OA', OA". Les relations ( i ) expriment que la fonction harmonique F reprend les memes valeurs aux points homologues des parall~l@ip~des du r~seau. L'un de ces paraliblbpip~des, par exemple celui qui contient l'origine, sera appel~ le paralldgpip~de dgmentaire.

8. Fooetion Z . - Ceci pos6, l'616ment analytique servant ;t exprimer les fonctions F est d+fini comme il suit.

Posons

(2) a, = m a + m' a' Jr- m" a", b~ -- mb qt_ m'b' + m"b", c~ -- mc + m' c' + m" c"~

off les nombres m, m', m" prennent toutes les valeurs enti~res de - - ~ ~t n t- ~ , z~ro compris; puis

P = + r + b; + 4, R - - + 1/(x - - a,) ~ + (y - - b~) ~ + ( ~ - c~) ~,

xa~ + yb~ + ~c~ COS ~ - -

r~ La fonction Z(x, y, ~) est d~finie par la s~rie

i , [ i i r r 2 ] (3) z(x, y, + 5- R 0 r ,

off ~- ' d+signe une sommation &endue i toutes les valeurs des entiers m, m', m",

la combinaison m ~ - ~?t'l .p ~ m Pt ~ o

&ant seule except~e. La s~rie

Y'• r R I

~tant ~videmment divergente, les termes retranch~s de ~ - dans le terme g~n~ral de la

s~rie (3) constituent un polyn6me harmonique du second degr6 en x, y, ~, choisi de fa~on ~t rendre la s~rie (3) absolument convergente en tous les points x, y, ~ distincts de l'origine et des points a~, b~, c~. Ces derniers points sont des p61es de la fonction Z avec le r~sidu -+- I, d'apr6s la terminologie que j'ai employee dans les re+moires

I cites: cela veut dire qu'au point a,, b~, c, la fonction Z devient infinie comme ~ -

I et i l'origine comme - - . La fonction Z a ainsi un p61e, et un seul, dans chaque pa-

r rall~l+pip~de du r~seau.

La fonction harmonique Z(x, y, z~) v+rifie les identit6s (4) Z ( - - x, - - y, - - 7,.) = Z(x, y, ~);

I Z ( x + a , y + b , ~+c) - - Z ( x , y , ~ ) + A x + B y + C ~ + E , (5) Z(x+a', y+b', :(+c')--Z(x,y,z~)+A'x +B'y +C'z~ +E',

Z(x +a" , y + b " , ~-J-c")-- Z(x, y, ~)-J-A"x + B " y + C " z + E",

SUR LES FONCTIONS HARMONIO~UES .'~ TROIS GROUPES DE PI~RIODE$, 363

off A, B, C, E, . . . sont des constantes v4rifiant les relations

I Aa' -]-Bb' n t- Cc' = A ' a -J-B'b + C ' c , A' a"-[- B' b" + C' c"= A" a'-[- B" b'-[- C" c', A" a Av B" b -~ C" c = A a" -[- B b" -[- C c";

I E - - -~(Aa -~- Bb + Cc),

(7) E ' = ~-(A' a' -[- B' b' -b C' c'),

I E,'= +(J,, B" b"+ C" c"). 4" Fonotion ~ . - Les propri&fis que nous venons de rappeler conduisent ~t intro-

" V duire une nouvelle fonction ~ ( . , y, z) poss~dant des propri&6s plus simples et pouvant remplacer Z(x, y, <) dans toutes les applications que j'ai indiqu~es.

A cet effet, consid&ons une forme quadrafique

(8) f (x , y, z~ )=Lx2n t -L ' y~+L"z~2-nL2My<- l -2U' zx -~-eU"xy;

nous allons xnontrer qu'on peut d&erminer les coefficients L, L', L", M, M', M" de telle fa~on que la forme f (x , y, <) v&ifie des relations identiques ~t (5):

l f ( x -Jr a y- t -b, K-I-c) = f ( x, y , zO -[- A x + B y -[- C z~ .nt- E, (9) f ( x - l -a ' , y-Jr -b', z~-Jr-c') = f ( x , Y, Z)-J-A'x -~-B'Y -t-C'z~ -] -E ' ,

f (x + a", y -{-- b", Z-or - c") = f (x, y, Z) Jr- A" x -o r- B" y -1- C" z~ + E".

D'apr6s la formule de TAYLOR, ces relations +quivalent aux suivantes:

I ' a ' a f ' ( , b, c ) = A, s , b, c ) - - B , f',(a, b, c ) - - C, (IO) f~ b', c ' ) = A', f'b,(a', b', c ' ) - - B', s b', c ' ) = C' �9 9

a,"v'~ Ca,,, b", c") - - A", f;.,,(a' " ", b", c") = B", s b", c")--- C";

( I I ) f(a, b, c ) - - E , f(a', b', c ' )= E', f(a", b", c " ) = E".

Les neuf ~quations lin~aires ( io) doivent d&erminer L, L', L", M, M', M": ces neuf ~quations sont compatibles ~ cause des relations (6) qui lient A, B, C, . . . Les coefficients L, L', L", M, M', M" &ant calculus '.i l'aide des ~quations (IO), les rda- tions (7) donnent, par exemple,

' a ~ b ' E = 7 ( f'o + f; + c'est-&-dire

E = f ( a , b, c),

d'apr~s l'identit6 d'EutzR. Les relations ( I I ) sont donc satisfaites. La forme quadratique f (x , y, z 0 &ant ainsi d&ermin&, posons

0 2 ) [(x, y, :{.) = Z(x, y, Z) -- f(x, y, z O. Cette nouveUe fonction poss6de aiors les propri&+s suivantes :

~o [ ( - - x, - - y , - - < ) - - [(x, y, <);

l ~(x.-l-a, y + b , Znt-c) = ~ ( x , y , <),

2 ~ ?~(x.q.-a', y.-[-b', <.nt-c ' )=~(x,y ,z~) , ~(x q- a", y -q-- b", < -F c") = ~(x, y, <);

(6)

364 P A U L A P P E L L .

3 ~ ~ ~ ---- K, K d&signant ta r - - 2 (L -{- L' -~- L"); 4 ~ La fonction ~ admet pour p61es de r~sidus-71-I~ le point 0 et les points

a v ~ b v ~ c~ .

D'apr~s cela, la fonction ~ est triplement p&riodique, mais elle n'est pas barmoni- que comme Z, car

est 6gal ~ une constante, K, diff&ente de z6ro, dont nous donnons plus loin la valeur, tandis que A Z est nul.

Comme nous l'avons montr6 dans les m~moires cit6s, il est impossible de former une fonction harnmnique triplement p&iodique avec un seul p61e du premier ordre dans le parall616pil~de bl6mentaire: la constante K ne peux donc pas &re nulle.

5. Oateemination dieeote de K . - Consid&ons le parall~l~pip~de 61~mentaire P con- tenant l'origine O : sok S une sphere de rayon tr6s petit z &crite de O comme centre. Appliquons le th~or&me de GREEN ~ la fonction ~ dans le volume V ext~rieur ~t S et int~rieur ~t P :

ffa ae t l t l t] V

off la premiere int~grale est ~tendue au volume V, la deuxieme A la surface du paral- d~

1616pip&de P, la troisi~me g celle de la sphere S, la d&iv6e ~ &ant prise suivant la

normale ext&ieure au volume V. Les lknites de ces diff&entes int6grales se calculent ais6ment quand ~ tend vers

z&o. Appelons D le volume du parall616pip&de 616mentaire; on aura

comme

la premiere int6grale est

V ----- D - - • 3

a =K,

elle tend vers KD quand z tend vers z6ro. L'int~grale

d~ de ff, - d E est nulle, car, la fon~tion ~ &ant triplement p~riodique, les valeurs de ~ aux points

homologues de deu~ faces opposes du parall~l~pip~de sont ~gales et de signes mntrai- res, tandis que les ~l~ments de surface de sont ~gaux.

Reste l'int~grale

f fs d~ de.

Dans la sphere S, ~ est de la forme I

r

$UR LES FONCTIONS HARMONIQUES k TROIS GROUPES DE P#~RIODES. 365

z &ant une fonction qui reste finie quand r tend vers z6ro. L'int6grale cherch6e est alors

ff" f/ r d d'~ + d ,.

Le second terme tend vers z&o quand ~ tend vers z&o. Le premier est

ff , 7 ~ = 4 = "

On a donc, en faisant tendre ~ vers z&o dans la relation (I3) ,

0 4 ) K D = 4 = , K = ~ .

Cette valeur de K pourrait aussi se d~duire de la formule &ablie ~ la page 359 de mon premier m~moire du tome IV des Acta.

6. Expression d'une fonction harmoniquo triplement pOriodiquo area dee polos donnds, - Soit F(x, y, ;0 une fonction harmonique, triplement p&iodique, ayant, dans le paral- l~l~pip~de ~l~mentaire, les p61es simples

x l , y , , ~i,; x2, y2, ~ ; . . . xp, yp, ~(p avec les r~sidus

g , , R 2, . . . R~.

Cette fonction est d&ermin6e ~i une constante pr6s: elle a pour expression k=p

05) F(x , y, z~) = N + ~- Rk'~(x - - xk, y - - Yk, ~(-- r~), k=x

N d6signant une constante. En effet, la fonction F ainsi construite est triplement p6- riodique, car chacun de ses termes l'est: eUe est harmonique, car

a F - - ( R , + R, + . . . + R~)K

et on salt que la somme des r~sidus R, -3 t- R~ -Jr- . . . Jr_ Rp est nulle; enfin elle admet les p61es indiqu~s.

Je me borne ici au cas off il n'existe que des p61es simples. On peut remarquer alors que la constante N, dam la formule de ddcomposition en dlgments similes ( I5) , est la valeur moyenne de F(x, y, Z) dam un paralldgpipkde dldmentaire.

En effet, la foncfion ~ &ant triplement p~riodique, l'int~grale triple

P = f f f ~,(x, y, ;0 d,

&endue au volume d'un parall~i~pip6de quelconque du r~seau a une valeur constante. Plus g~nLralement, l'int+grale

fff -- Xo, Y - - Yo, )d'r P

~tendue / t u n parall616pip~de du r6seau a une valeur constante quelles que soient x o, Yo, ~" Mulfiplions ators les deux membres de la formule (15) par l'61~ment de vo- lume d'r et int6grons dans un parall61Lpip~de ~16mentaire: nous aurons, en appelant D

366 p .A, U L A P P E L L .

le volume de ce parallel&pip&de,

f f f F(x, y, z)d'r = N D + (R, + R, + . . . + Re)P.

Mais, comme la somme des r&idus est nulle, on a

ce qui d~montre la proposition. 7. Relation entre los poles et los rdsidus do doux fonotions harmoniques teiplement p&

riodiques. - - Soient deux fonctions harmoniques F(x, y, Z) et F' (x, y, ~) admettant les m~mes groupes de p&iodes: supposons que, dans un parallOl+pip~de ~lOmentaire P, la fonction F admette les p61es simples

de rOsidus XI, y,~ a~,;

et la fonction F' les p61es simples t F t

de r~sidus

x=, y=, <~; . . . xt , 3't,, Zp

R,, R,, . . . Re;

t r ~ r / r

x=, y~, a~; . . . xq, 3~, ~(q

< R' ~' ~' 2 ~ ' ' " q "

D&rivons, des p61es comme centres, des spheres

Sp; S' s , s2, . . . s~, s;, . . .

de rayons infiniment petits, et appliquons la formule de GREEX,

f f f f f au volume compris ~t l'int~rieur du parall~l~pip~de et ~ l'ext~rieur des sph&es. Nous aurons la relation

' ' ' ' ' g ' R ; F ( x , y , , Z : ) + R ; F ( x = , y = , Z~)n t- . . . + R q ( x ; , y , , Z~) . ~ _ F t t x . , . r & (x,, y,, z,) + ~=~ (-2, y=, z=) + + Rpu (x e, Ye, z~),

que l'on pourrait d'ailleurs v&ifier directement en d&omposant F et F' en ~l~ments simples par des formules analogues ~t (I5).

8. Multiplication des arguments clans la fonction ~ . - Soit n u n entier positif. La fonction

u - - ~ ( n x , ny, nz) v&ifie la relation

8 x--~ ~- 8 y~ cq z ~ - -

die admet les trois groupes de p&iodes

(a, b, c), (a', b', c'), (a", b", c")

de ~(x, y, Z). Elle a dans un parall~lbpip~de ~lbmentaire n 3 p61es simples dent le ta- I

bleau est facile ~i former; le r~sidu en chacun de ces p61es est - - . La fonction n

0 6 ) F(x, y, Z) = ~(nx, ny, nZ) - - n 2 ~ ( x - - Xo, y - - Yo, ~ - - Zo)

SUR LES FONCTIONS HARMONIQUE$ .~ TROIS GROUPE$ DE PI~RIODES. 367

est donc, quelles que soient les constantes Xo, 3%, %, une fonction harmonique admet- tant les trois groupes de p&iodes. La formule de d&omposition en 616ments simples (15), appliqu& ~i cette fonction (16), donnera la formule de la multiplication des ar- guments par n.

9. s d'un minimum pour la fonotion ~ . - La fonction ~(x, y, ~) n'est pus limit& sup&ieurement, puisqu'elle devient infinie positive en un point duns chaque pa- rall6t6pip~de 61~mentaire. Mais elle est &idemment limit& inf6rieurement et elle admet, dans chaque parall616pip~de, un minimum.

I1 serait int6ressant de connaitre les coordonn&s des points oO la valeur minimum est atteinte. Je me borne ~t remarquer que les trois d&iv&s partielles

r s'annulent 2t la fois en tousles points dont les coordonn~es sont de la forme

I I X

7at~ q-by~ "7cv

et qui ne sont pus des p61es de ~. On a en effet

~(x~ Yq-b~, Z d r - c t ) = ~(x, Y, Z)

et, comme la fonction ~ est paire,

~ ( x -[- at, y -[- bt, Z q - c~) = ~ ( - - x , - - y , - - Z).

D6rivant par rapport ,h x et appelant ~, (x, y, Z) la d~riv& 8~ (x, y, ~) ~x , on a

~ , ( x -[- at, y n t- bt, <'-[- c,) - - - - ~ , ( - - x, - - y , - - ~ ) ; et, en faisant

1 I I

x - - ;a t, y - - ~b~, Z - - ;ct, o n a

(, , .) ( ' ) ~, ya~, -2bt, yG - - - - ; ~ , Tat,' y' bt, -ct2 "

I I l Cette derni~re relation montre que, si le point de coordonn&s 7a t , 7b~, ~-c t

n'est pas un pdle de ~, la d&iv& s'annule en ce point. Le m~me raisonnement s'ap- t ! plique ~t ~ et ~.

Si nous consid6rons, par exemple, le parall616pip~de 61~mentaire Po ayant son centre en O, les centres des faces ont pour coordonn6es

__~ a b c 2' --+2' -+2 a' b' c' +Y' +T' + % -

a" b" c" + - - , + + - - , - - 2 - - 2 - ' - - 2

368 PAUL APPELL.

off les signes se correspondent; les milieux des ar&es ont pour coordonn&s

a' b b' c' + A + , + _ _ + _ _ , + c + _ _ - - 2 - - - 2 - - 2 - - 2 - - 2 - - 2

a ' a " b ' b " c ' c " + - - + - - , • + - - • 2 2 2 - - 2 - - 2 2

+ a " ~_ b" b c" _ _ - - , + - - + - - , + - - • 1 7 7

2 - - 2 - - 2 - - 2 - - 2 2

Enfin les sommets ont pour coordonn&s

- - ~ a + b + c a' b' c' a" b" c" - - T - - T - - T ' + - - + - - + T ' + - - + - - + - - - - 2 - - 2 - - - - 2 - - 2 - - 2

En tous ces points, les trois d~riv&s partidles s'annulent.

Io . Impossibi/it~ de /'existence d'un maximum de ~ en dehors des pJles, ~ Soit une

surface ferm& s entourant un volume v e t contenant dans son int&ieur n p61es de la

fonction ~. Si l'on calcule le flux

~ travers cette surface de l'int~rieur vers l'ext&ieur, on trouve par une m&hode iden-

tique ~ celle du n ~ 5,

a~ = K v - - 4n~ .

En particulier, si la surface s ne contient aucun p61e, n - - o ,

~ K v

et le flux est positif.

D~s lors il est absurde d'admettre que la fonction ~ puisse &re maximum en un

point M o distinct d'un de ses p61es; car s'il en &ait ainsi, ~ devrait diminuer quand on

s'~loigne de Mo; sur la surface de la sphere, d n ne serait jamais positif et le flux r ~t

travers la sphere de l'int~rieur vers l'ext~rieur serait n~gatif, ce qui est en contradiction

avec le r6sultat pr&~dent.

x z. Oas partioulier ob le parall~l@ipMe ~l~mentaire est rec tang le , - En prenant ['ori- gine au centre du parall~l~pip~de et des axes parall~les aux ar&eg nous pouvons poser

a = 2 ~ , b = o , c = o

a ' = o , b ' - - - 2 ~ , c ' = o

a " = o, b " - - o , c ' " ~ 2 " ] ' ;

les faces du parallbl~pip~de ont alors pour ~quations

x = + z ,

Dans ce cas, les constantes B, C, C', A', A" , B" sont nulles, comme nous l'avons

montr6 dans le tome VIII des Acta: la forme quadratique f(x~ y, a[) ne renferme que

SUR LES FONCTIONS HARMONIO_UES )~ TROIS GROUPES DE PI~RIODES. 369

des carr~s :

f ( x , y, ~ ) = T 7 x - ~ - 7 - [ - ~ * '

La fonction Z (x, y, ~) est alors paire par rapport it cbacune des variables x, y,

s+par~ment : il en est de m~me de ~(x, y, r qui est 6gale ~t Z - - f . On a donc

~ ( - - x, y, K) - - ~r(x, - - y, ~) = ~(x, y, - - K) - - ~(x, y, ~).

Dons ce eas, la fonction ~ reprend les m~mes valeurs en deux points sym&riques par rapport .-t l 'une des faces du parall~l~pipbde ~l~mentaire Po de centre O. La relation

+ 2% y, = y,

donne en effet, en changeant x de signe,

y, y,

et les deux points x, y, ~; 2 ~ - - x , y, ~[ sont sym&riques par rapport ~t la face x - - ~ . O~riv~os partiollos de ~. ~ Soit m un entier quelconque, la relation

~ (2 ,n~ - - x, y, ~:) - - ~(x, y, ~)

donne, en d~rivant par rapport ~t x,

- - ~ , ( 2 m ~ - - x, y, ~) : ~ , ( x , y, ~) et, en faisant x - - m ~,

.~.(m% y, ~ ) - - - ~ , (m% y, K).

La quantit+ ~, (m % y, ~) est donc nulle en dehors des p61es, et la dgrivge ~'' s'annule

en tousles points des plans

x ~ o~ x - - q- a~ x - - yJ2 2 ot, . . .

q u i ne sont pas des p6les. De m~me, r , s'annule en tous les points des plans ~3,

y = o , y = + ~ , y = -}- 2~, . . .

et ~' en t ous l e s points des plans

~ : = o , ~ = _+~,, ~ : = + 2 7 , . . .

qui ne sont pas des p61es.

En particulier, dons le parall+l+pip~de bl~mentaire Po ayant 0 comme centre, ~ de- vient infini ~. l 'origine; r,~. s'annule sur les faces x ~ _-1- ~ et en tous les points du plan x - - o autres que O; r, s 'annule sur les faces y - - -4- ~ et en tous les points "~- y

du plan y ~ o autres que O; ~'' . s'annule sur les faces ( - - fl:: T et en tousles points du plan ~ - - o autres que O. On peut dire aussi qu'en tous l e s points de la surface

du parall+l+pip~de +l+mentaire de centre O, la d6riv~e d n ' prise normalement/ t cette

surface, est ~gale h z6ro.

8urfaaes clo n i v e a u , - Si l 'on construit les surfaces de niveau

(x, y, c,

ces surfaces, pour C = ~-oo se r~duisent ~ des points plac6s an p61e 0 et aux p61es homologues (a~, b,, c,). Quand C d~croit, les surfaces sont d'abord des surfaces fer-

Rend. Cir~. Matera. Palermo, t. X X l l (~9o6).--Stampato i l ~ o t tobre ~ o 6 . 47

370 PAUL APPELL.

m~es, toutes 4gales, entourant les pdles et admettant pour plans de sym&rie les faces et les plans de sym6trie du parall414pipbde Po et des homologues. Ces surfaces se soudent ensuite, par des points coniques, aux centres des faces du parall616piphde Po et des homologues, puis dies coupent orthogonalement les faces de ces parall416piphdes,

comme il rfsulte de ce que d-n est nul sur ces faces. Les lignes de force partent des

p61es et, sauf quelques lignes exceptionnelles situ~es dans les plans de sym&rie, sortent du parall416piphde correspondant, ayant le pdle comme centre, par les sommets. C'est donc, vraisemblablement, aux sommets que la fonction ~ est minimum.

OOvoloppement en sdrio teigonomOteique.- La fonction particulibre que nous consi- d6rons ici &ant p6riodique par rapport ~ x, y, K s6par~ment, peut 4tre d6velopp6e en s6rie trigonom4trique. Son d4veloppement se d4duit facilement de ceux que j'ai donn~s dans le m4moire: ~cDdveloppements en sdries trigonomdtriques de certaines fonctions pdrio- cliques vdrifiant l'dquation a F - - o ,~, cit6 plus haut. On a en eliot, d'aprhs les notations

de ce m6moire (page 36, n ~ 6) K

y, 0 = y, 5 -

2/ B' C"'~ puisque K est actuellement ~gal ~t - - ~ if- ~ q ~ t "

Paris, I *r septembre 19o6.

P A U L APPELL.