Sur les germes de Shalika pour les groupes linéaires

Math. Ann. 284, 199-221 (1989) Mathematische Annalen �9 Springer-Verlag 1989

Sur les germes de Shalika pour les groupes lin6aires

J-L. Waldspurger

UFR de Math6matiques, Universit6 Paris VII, 2, Place Jussieu, F-75251 Paris Cedex 05, France

Soient F u n corps local non archim6dien de caract6ristique nulle, q le nombre d'616ments de son corps r6siduel, n u n entier > 1. On consid6re le groupe G= GL(n,F). Notons C2(G) l'espace des fonctions sur G /t valeurs complexes, localement constantes et fi support compact, q/(G) l'ensemble fini des orbites (pour la conjugaison) unipotentes de G. Si g s G, notons O(g) son orbite. Munissons chaque orbite d'une mesure invariante par conjugaison. Soient q~ e C2(G), g ~ G, U ~ q/(G). Posons

J(cp, g)= ~ ~p(h)dh, Jv(q~)= ~r o(g) u

Ces int6grales convergent absolument. Notons G reg l'ensemble des 616ments semi- simples r6guliers de G. On sait qu'il existe un ensemble {sv; U e q/(G)} de fonctions sur G reg (les ~germes de Shalika,) v6rifiant la propri~t6 suivante: pour toute ~o ~ C~(G), il existe un voisinage F~, de I clans G tel que pour tout g ~ V~ • G reg, on ait 1'6galit6

J(q~,g)= y. Su(g)Jv(qo). (1) Ue~(G)

Seuls les germes des fonctions s v sont significatifs. Le calcul exact de ces germes n'est pas facile. On d6montre ici le r6sultat

suivant. Soit f un entier > 1, divisant n, posons n' = n/fi soit F' l'extension de F non ramifi6e de degr6 f . On peut identifier le groupe G' = GL(n', F') ~ un sous-groupe de G. Soit g' e G'. Alors moyennant certaine hypoth6se sur g', les germes sv(g') pour U eql(G) sont combinaisons lin6aires des germes sv,(g'), pour U' e~ Les coefficients de ces combinaisons lin6aires sont li6s aux constantes de structure des algbbres de Hall des groupes lin6aires sur •q et F~s.

1

D6crivons plus pr6cis6ment les r6sultats et le sch6ma des d6monstrations

1.1. Notons o l'anneau des entiers de F, ~v une uniformisante, I �9 I la valeur absolue de F, K = GL(n, o) le sous-groupe compact maximal de G, I = {g = (gij) ~ K; pour

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tous i>j, g~j~vao} le sous-groupe d'Iwahori usuel, W l'algbbre des fonctions appartenant/t C~(G), biinvariantes par I.

Remarque. Quand plusieurs corps, ou plusieurs groupes, interviendront, on notera plus prrcisrment o(F), K(G) etc.., les termes en question.

La premirre 6tape est la

Proposition. II existe un ensemble {sv; Ueq/(G)} de fonctions sur K o G reg, uniquement d~termind, tel que pour toute q~EJt ~ et tout g e K n G rCg, on ait l'~galitd (1).

Cf. 2.6. Cette proposition rrsulte immrdiatement de l'explicitation dans notre situation de la drmonstration par Clozel d'une conjecture de Howe. Les fonctions Sv drpendent bien s~r des mesures utilisres pour drfinir les intrgrales orbitales. Dans la suite du paragraphe, on suppose ces mesures convenablement normalisres (cf. 2.1).

1.2. La deuxirme 6tape consiste /t prrciser les proprirtrs bien connues d'homogrnrit6 des germes su. Notons g = gl(n,F) l'algrbre des matrices n x n / t coefficients dans F, ~ = gl{n, o) la sous-o-algrbre des matrices ~i coefficients dans o. Pour U ~ qt(G), posons v(U) = (dim U)/2 (dim U est la dimension de U en tant que varirt6 sur F; on salt que dim U est paire).

Lemme. Soient X e ~, xo, x~ E F. On suppose (i) Ixol-- 1, Ixxl < 1 ;

(ii) 1 + X e K n G r~ Xo + XlX E K n G reg. Alors pour tout U E ~(G), on a l'~galitO

sutxo + x~X) = Ix~l- ~V)sv(1 + X).

Cf. 3.2.

1.3. La troisirme 6tape est le thror~me ci-dessous. C'est le rrsultat principal de l'article. On utilisera les drfinitions et notations de Zelevinsky [-Z 1 ]. Celui-ci 6tudie ce qu'il appelle les PSH-algrbres et introduit une PSH-algrbre R universelle, munie de trois sous-ensembles {x,,; meN}, {y,,; meN}, {z,,; meN}. On a Xo=Yo=Zo=l; R est l'alg~bre des polynSmes en les variables {x,,; r e> l} fi coefficients dans 7Z [Z1, thror+me 3.1]; de m~me pour {y,; m> 1}; R ~ )Q est

z l'algrbre des polynSmes en les variables {z,,; m > 1} ~t coefficients dans Q. Cette alg~bre a diverses rralisations. En particulier, R (~) ~ est isomorphe/l l'algrbre de

z Hall des groupes linraires sur le corps fini lFq [Z1, throrrme 10.3]. Soit f un entier => 1. On montre qu'il existe un unique homomorphisme d'alg~bres (mais pas d'alg+bres de Hopf) rs :R-oR tel que pour tout m E ]N, rs(Z,, ) = z,, s-

Pour tout entier r e> l , notons P(m) l'ensemble des partitions de m, i.e. l'ensemble des suites d'entiers kt=(/~ ... . ,/4) telles que /x~>0 pour tout i, et

~ # ~ = m, prises ~ l'ordre pr&. La longueur r de/~ = (/t~ . . . . ,/a,) est notre r(~). On a i = 1

sur P(m) une application de transposition/z ~ #t. Si/t = (/x ~,...,/~) E P(m), on drfinit

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les ~16ments xu, y~, zu de R par

r �9 �9

x , = 0 l x , , ' ~= Y,= __[IlYu,' , = Z#~---~=IZIt" i=

On dbfinit classiquement une bijection /a ~ U(#) de P(m) sur q1(GL(m, F)). La partition (m), resp. (I, ..., 1), correspond ~ rorbite r6gulidre, resp. ~ {~}. Pour # �9 P(m), on pose s(#, F)= sin,), v(#)= v(U(#)). Ce dernier terme est ind6pendant de F.

Enfin pour m �9 N, on pose c,,(q) = I~ (q#- 1) et pour # = (Pl . . . . . #,) �9 P(m), cg(q) j=l

= (I c.,(q). i = l

Cela 6tant, soit f u n entier > 1, divisant n. Posons n' = n/f. Soit F' rextension de F non ramifi6e de degr6 f. Identifions le F-espace F' ~t F y de telle sorte que o(F') s'identifie ~ o(F) f. On en d6duit une identification F ' " '~ F" et des plongements

F ' ~ f l ' ~ , G ' ~ G , K ' ~ K ,

off on a pos6 g '= gl(n', F') etc . . . . Soient X �9 o(F'), Ye ~', a, b ~ N. On identifie X, Y/t leurs images dans g. On

suppose (i) 0 < a < b ;

(ii) la r6duction de X dans le corps r6siduel •qs engendre celui-ci sur Fq; (iii) F'(Y) (Cg') est un corps de degr6 n' sur F'. Posons g = 1 + ~ a x + whY, g '= 1 + tob-~ Y. On consid&e g, resp. g', comme un

616ment de g, resp. g', et on a en fair g � 9 ~ , resp. g ' ~ K ' n G 'r"g.

Th~ori~me. Sous ces hypotheses, on a dans R (~IE l'~galit~ 2g

,. , y E S(/.t', F; g)q-~V<"~)cu(q)y ~ = z s ~ E s(# r, F , g )c#(q )y~ . I It e P(n) ~It e P(n')

Cf. 5.6. Le lemme 1.2 permet de se ramener au cas a =0. L'6galit6 (1) pour Get G' ram6ne A d~montrer des 6galitr entre intbgrales orbitales J(~o, g) et J(~0', g') pour des fonctions q) �9 ~ ( G ) et qr �9 ~r ') bien choisies. Celles-ci rbsultent d'une version am61ior6e d'un lemme de Kazhdan.

En principe, ce thbor6me ramdne le calcul des s(#, F; g) au calcul des s(#, F'; g'), plus un calcul dans l'alg6bre R.

1.4. Soit r u n entier > 1. Le groupe de permutations 6P~ agit dans IN*', off IN*= N - { 0 } . Soit # =( /~ .. . . . #�9 �9 N *�9 Notons St(#) le stabilisateur de/~ dans 6a~. Son nombre d'616ments ISt (/01 ne d6pend des/~i qu'~t l 'ordre prds. I1 conserve un

sens si ron considdre # comme une partition de Z #*. i = 1

Consid&ons la construction de 1.3 pour f = n. Soient X �9 o(F'), a e N. On suppose que la r6duction de X dans le corps r6siduel ]F~. engendre celui-ci sur Fq. Posons g = 1 + w"X. On a g �9 Kc3G ~g s in => 2. Supposons-le s in = 1.

Corollaire. Soient tt �9 P(n), r = r(#). Sous les hypothbses ci-dessus, on a l'Ogalit~

s(#', F; g) = q~(It')%(q)- ~ ( - 1)" +'(q" - l)n(r - 1)! [St (#){ -~.


Cf. 6.1. Cette formule avait 6t6 conjecturee par Rogawski ERogl].

1.5. Soient f l , . . . , f i des entiers > 1. Supposons (i) pour i = 1 . . . . . t - 1, fi divise f~ + 1;

(ii) f 1 > 1 et pour i=1 . . . . , t - l , f i + t f ~ - l > l ; (iii) f , = n . Soit F~,.. . , F t la tour d'extensions de F non ramifi6es de degr6 resp. f t , . - . , f t .

Consid6rons la construction de 1.3 pour F' = F , Soient X 1 �9 o(F1) . . . . . Xt �9 o(Ft), x E o(F)* e t a 1 ... . . at �9 IN. Supposons

(iv) O<a 1 <a2 < ,.. <at ; (v) pour i = t . . . . . t la r6duction de X~ dans le corps r6siduel IF (~ fi qy, ~lbments

engendre celui-ci F" -1 ) (en convenant que IFl~ Posons g = x + w" 'X~ + . . . + m ' X t .

Corollaire. Pour tout I x �9 P(n), il existe un polyndme de Laurent S, e 7Z.[T 1, Tt- t . . . . . Tt ' Tt-1] tel que si g �9 G v~rifie les conditions ci-dessus, on ait l'~galit~

s(# t, F; g) = c,,(q)- '(q" - l)S~,(g),

off on note Su(g ) la valeur de S u au point (T t , . . . ,T t )=(qa ' ,q f'"2 . . . . , q f . . . . . ). Le polynOme S~ ne d~pend que de ta suite f l, . . . , f t . En particulier il ne dkpend ni de F ni de q.

Cf. 6.2. Ce polyn6me se calcule en principe par r6currence sur t, le cas t = 0 &ant trivial (ou si l 'on pr6f6re, le c a s t = 1 etant donn6 par le corollaire 1.4).

Soit maintenant g �9 K, supposons que la sous-alg~bre F' de g engendr6e par g soit l 'extension non ramifi6e de F de degr6 n. Quitte h conjuguer g dans G, on peut trouver des entiers f l . . . . . f , al . . . . ,at et des 616ments X1 . . . . . X t , x v~rifiant les conditions pr6c6dentes et tels que g soit l'616ment d6fini pr6c6demment. Les entiers f~ ... . . fi, at, . . . ,a t sont uniquement d&ermin6s. Le corollaire donne alors ~(en principe>> le calcul des germes au point g.

1.6. Consid6rons maintenant une extension F' de F de degr6 n. On peut encore identifier F' fi F ~ de telle sorte que o(F') s'identifie ~i o(F)", et en d6duire les m~mes plongements qu'en 1.3. Soit X une uniformisante de o(F'). Posons g = 1 + X. On a g �9 K. Les m&hodes utilis6es dans la d6monstration du th6or6me 1.3 permettent de d6montrer la

Proposition. Supposons F' totalement ram~fi~e sur F. Soit /~ = (IXl,-..,/~,) �9 P(n). Sous les hypotheses ci-dessus, on a r~galit~

s(ff, F; g ) = ( - 1)'+"q"c,(q) - t(r-- 1)! r - - 2 q - ~ Iat(~)t-1 i=1 /

Cf. 7.5. Remarquons que cette expression est non nulle.

1.7. En g6n6ral, pour F' comme en 1.6, consid6rons la sous-extension F ~ de F', non ramifi~e sur F, maximale. Soit X ~ �9 e(F ~ tel que sa r~duction engendre sur IFq le corps r~siduel de F ~ Si F ~ F, on suppose X ~ 0. Soit X une uniformisante de o(F'). Posons g = l + X ~ On a g ~ K c ~ G reg. En principe, on peut calculer les

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germes en g ~ l'aide du th6or6me 1.3 et de la proposition 1.6. En pratique cela ne semble pas facile. On peut n6anmoins d6montrer le

Coroilaire. Soient # ~ P(n), r = r(p). Sous les hypotheses ci-dessus, on a s(p t, F; g) ~ Q et (-- l)r+"s(#',F; g)>0.

Cf. 7.7. En particulier, pour route orbite U ~ q/(G) et tout sous-tore elliptique maximal T de G, la restriction de s v ~ Tes t non nulle.

1.8. Pour terminer, je me dois de signaler les points suivants. Les r6sultats ci-dessus sont faciles/t partir du travail de L. Clozel et apparaissent comme l'une de ses cons6quences. C'est B. Srinivasan qui m 'a sugg6r6 qu'il existait un rapport entre les germes de Shalika et les constantes de structure de l'alg6bre de Hall du groupe lin6aire. Le corollaire 1.7 a 6t6 d6montr6 pour r6pondre fi une question de P. Sally. Je remercie F. Digne pour une r6ponse fructueuse fi une question que je lui avais pos6e.

2

2.1. On utilise les notations de l ' introduction et de 1.1, 1.2. On munit G et K, resp. g et ~, des mesures de Haar pour lesquelles rues(K)= 1, resp. mes(0 = 1. Quand n varie, cela normalise la mesure sur tout groupe lin6aire. Tout groupe isomorphe un produit de groupes lin6aires (par exemple un sous-tore ou un sous-groupe de L6vi de G) est muni de la mesure produit. Le radical unipotent N d'un sous-groupe parabolique standard de G est muni de la mesure pour laquelle mes(Nc~K)= 1. Soit T un sous-tore maximal de G. On a une mesure quotient sur T\G invariante par translations. Si g~ T r i g reg, on normalise l'int6grale orbitale sur O(g) par

J(~o, g) = ~ tp(h- lgh)dh. T\G

Soit P un sous-groupe parabolique standard de G. On note Mp son sous- groupe de L6vi standard, Ne son radical unipotent, ou plus simplement M = Mp, N = N e . On a une d6composition M = G L ( p I , F ) • • GL(I~r,F). Soit /~ =( /~ . . . . ,#r)~P(n). L'orbite U = U(ff) est l 'orbite de Richardson de P, i.e. Uc~N est dense dans N. Pour cp ~ C~(G), on d6finit ~oP~ C~(M) par

~oP(m) = 6p(m) 1/2 ~ (p(k- lmnk)dndk, K x N

off 6 e est la fonction module usuelle. On salt l-H, proposit ion 5] que les formes lin6aires sur C~(G) d6finies par ~0 ~ ~oe(1) et ~o ~ Ju(cp) sont proportionnelles. On peut alors normaliser la mesure sur U de telle sorte que Jv(~0) = tpv(1) pour toute

~ c7(6) .

Remarque. P n'est pas en g6n6ral d6termin6 par U, car on peut permuter l 'ordre des facteurs de M. Mais la normalisation ci-dessus ne d6pend pas du choix de P. I1 suffit de le v6rifier pour une fonction tp particuli6re, par exemple ~o = l r la fonction caract6ristique de K, auquel cas qge(1)= 1 pour tout P.

2.2. Pour ~0 e C~(G) et h e G, d6finissons la fonction Ad(h)q~ e C~(G) par

[Ad(h)tp] (g) = ~o(h- ~gh)


pour tout g ~ G. On note g i l'espace des combinaisons linhaires finies yAd(h;)rpj, avec des hj ~ Ge t ~oj �9 ~vf. On note G, l'ensemble des g �9 G dont toutes les valeurs propres (dans une certaJne extension de F) ont m~me valuation; 1, la fonction caracthristique de G~; pour ~'�9 1 e la fonction caracthristique de {g�9 G; [detg[ =q-e} (on esp6re qu'il n'y a pas de confusion entre 1, et le). On note ~(G) la reprhsentation triviale de G, St(G) sa repr6sentation de Steinberg.

On ghn6ralise ces d6finitions et notations au cas d'un groupe G = G~ x ... x G,, avec Gi= GL(ni, F) pour i= 1,... ,r. Par exemple Cy(G)=C~(GO|174 lc(G)= 1r174174 I~(G~) pour (~')=(~ ..... ~)~.~, l(e)(G)= te,(GO|174 etc . . . .

Lemme. Soient P un sous-groupe parabolique standard de G, M=GL(nI, F ) x ... x GL(nr, F) son sous-groupe de L~vi standard.

(a) Soit rp �9 :g~(G). Alors q)v �9 ~,~i(M). (b) Soient E �9 et r �9 C~(G). S'il existe i �9 {1 . . . . . r} tel que n ne divise pas ~ni, on

a [le(G)lc(G)(p] e = 0. Sinon posons (~) = (dnl/n . . . . . ~nr/n) �9 7Z r. On a l'~galit~

[ 1 e(G) lc( G)ta] P = 1 (e)(M) 1 c(M)q)e.

D~monstration. (a) Posons N =Ne . Soient W ( = W(G)) le groupe de Weyl de G, W e le sous-ensemble des 616ments w � 9 W de longueur minimale dans leur classe W(M)w. On a une d6composition en r6union disjointe

K = [[ (Kc~N)K(U)wI. w e W p

Pour ~p �9 ~f~(G) et m �9 M, on en d6duit l'6galit6

tpe(m) = Y, mes((KnN)K(M)wI)6p(m) l j: w E W p

x ~ cp(w- t k - lk ' - lmnk'kw)dndk'dk. K(M) x (K~N) x N

Dans chaque terme l'int6grale sur Kc~N disparait dans l'int6grale sur N. Pour w �9 W e et m �9 M, posons

~o,~(m) = 6p(m) 1/2 J q~(w-lmnw)dn. N

Alors ~0e(m) est combinaison lin6aire d'int6grales

~o~,(k- ~mk)dk. K(M)

Comme cpw est biinvariante par un sous-groupc ouvert de M, l'int~grale ci-dessus est combinaison lin~aire de termes [Ad (k~)q~w] (m) pour des ki ~ K(M) bien choisis. Alors cp e est combinaison lin6aire de fonctions Ad(k~)cp~. Or pour w �9 We, on a w- x I(M)w C I(G). Comme ~p �9 Jr(G), cela implique q~ �9 ~ (M) . Alors par d6finition de ~i(M), on obtient cpe�9 ~i(M).

(b) Les fonctions le(G), I~(G) sont invariantes par conjugaison et leurs valeurs en g ~ G ne d6pendent que de la partie semi-simple de g. On en d6duit

pour tous cp �9 C~(G), m �9 M. Prolongeons/t la clSture alg~brique de F la valuation qui vaut 1 sur l'uniformisante m. La fonction 1 e(G)lc(G) est la fonction caract~risti-

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que de l 'ensemble des 616ments de G dont toutes les valeurs propres ont valuat ion E/n. Soit m = (m 1 . . . . . mr) E M. Si [1 e(G)lc(G)] (m) = 1, la va lua t ion de det (ml) est ~n~/n pour tout i = 1, ..., r. C o m m e det(m~) ~ F*, ce terme doit ~tre entier. On en d6duit la premi6re assert ion de (b). Supposons que pou r tout i = 1,. . . , r, n divise End, O n voit alors que [lt(G)lc(G)] (m)= [l~e)(M)lc(M)](m ) pour tout m ~ M. D'ofi la conclusion. [ ]

2.3. Rappe lons que toute repr6sentat ion admissible de longueur finie zt de G admet un caractbre t r~ qui est une forme linbaire sur C~(G), dont la restriction ~ G reg est d6finie par une fonct ion localement constante encore not6e trn. On note (trTt, ~0)~ la valeur de ce caract~re en la fonct ion q~ e C~(G).

Lemme (Clozel). Soit zc une representation admissible irr~ductible tempdrde de G. Supposons

(i) t rn n'est pas identiquement nulle sur rensemble des dldments elliptiques r~guliers de G;

(ii) il n'existe pas de caractkre ;t non ramifid de F* tel que rc---St(G)| det. Alors pour route q~ E ~ , on a l'dgalitk (trTt, lc~0)~=0.

Ddmonstration. La repr6sentat ion rt, &ant tempbr6e, intervient dans une induite uni ta i re , / t par t i r d 'un certain sous-groupe parabol ique P de G, d 'une repr6sen- ta t ion de carr6 int6grable de Mp. Or une telle induite est irr6ductible (c'est une propri6t6 sp6cifique des groupes lin6aires). Son caract6re est ~ suppor t dans l 'ensemble des 616ments de G conjugu6s h u n 616ment de P. L 'hypoth6se (i) implique alors P = G et ~ de carr6 int6grable. Sizc poss6dait un vecteur non nul invar iant pa r I, elle serait n6cessairement de la forme exclue par (ii). D o n c rc ne poss6de pas de tel vecteur.

D 'apr6s I-C1], pou r ~o ~ C~(G), on a l'6galit6

( t r re, lc~O)~ = Y~ (trr~N, zeq / ' )u , P

off la s o m m e por te sur les sous-groupes parabol iques s tandards de G; off on a pos6 pour simplifier N =Ne, M = Me; off zN d6signe la repr6sentat ion de M dans le module de Jacquet de z relatif ~i N; o/l enfin z e est une certaine fonct ion sur M v6rifiant la propri6t6 suivante: posons M = GL(nl, F) x ... x GL(n,, F), il existe une fonct ion r~, sur tl~ telle que pou r tout m=(m~ . . . . ,m, )~M, on ait re(m) = z~,(Idet(m0l . . . . . Met(mr)l). Fixons P = MN. Pour q~ e ~f', on a 9 e ~ :g~i(M) ( lemme 2.2.a). Posons cpe=~Ad(mj)~0y avec des m~sM, ~o~e~f(M). O n a zeq~ e = ~Ad(m~)(ze~0~). Les dis tr ibut ions caract6res &ant invariantes pa r conjugaison, on obt ient

(trrc~, T~pq)P)M = 2 (trrcm Zeq~)M. J

C o m m e rc n 'a pas de vecteur non nul invar iant pa r I, rc~ n 'a pas de vecteur non nul invar iant pa r I(M) [Ca, th~or~me 3.3.3]. C o m m e ~,~0j e o~(M), on en d6duit

(trrc N, ~p~oj) M = 0.

Cela p o u r tout j, et tout P. La conclusion en r~sulte. [ ]

2.4. Dans ce pa rag raphe et le suivant, on modifie nos nota t ions pou r consid6rer le cas des produi ts de groupes lin6aires.


Proposition. Soient n~ . . . . . n, des entiers > 1, G = GL(n 1, F) x ... x GL(n,, F), ( ~) = ( f l . . . . . :r) e 7l:, ~p ~ M'i( G), gEG reg. On suppose v~rifi~es la condition ( i ) e t rune des conditions ( i i ) ' , ( i i ) " suivantes:

(i) I c:)(g ) = 1~(g) = 1; (ii)' soient P un sous-groupe parabolique standard de G, M = M , . Posons

M = M 1 x ... x M r et pour tout i= 1, . . . , r, Mi = GL(nil , F) • ... x GL(ni,: F). Sup- posons que pour tous i = l , . . . , r , j=- i . . . . . ri, on air: nl divise :inij. Alors (tr St (M), (1 (r - - - - - 0;

(ii)" SOUS les m~mes hypothkses, (trY(M), (lt:)lcg)P)M = 0. Alors J(q~, g) = O.

Remarques . (a) Avec les notations de (ii)', suppons qu'il existe i, j tels que n i ne divisr pas :fn~j. Alors les conclusions de (ii)' et (ii)" sont automatiques d'apr6s le lemme 2.2.b.

(b) Soit Z un caract6re non ramifi6 de G Ei.e. Zlto)=lto~, off ici (0)=(0, . . . ,0)~Zr]. D'apr6s le lemme 2.2.b, X est constant sur le support de (lte)l~p) e. On peut done dans (ii)' remplacer St(M) par St(M)| Z.

(c) D'apr6s [vD] th6or6me 2, dans la situation de (ii)', on a

(tr St(M), (l~e)lc~p)e)M = ( tr Ind~ St(M), l(e)lc<p)~.

Ce terme d6finit une forme lin6aire en ~p invariante par conjugaison. (d) Utilisons la formule de la remarque pr6c6dente. Comme le caract6re d'une

repr6sentation ne d6pend que de sa semi-simplifi6e, et que la semi-simplifi6e de Ind~ St(M) ne d6pend que de la classe d'association de P, on en d6duit que la condition (ii)' ne d6pend que de la classe de conjugaison de M, i.e. des partitions (n~l ..... ni~,) s P(ni).

(e) M~mes remarques pour rassertion (ii)".

D~monstrat ion (d'apr6s [C1, proposition 2]). On raisonne par r6currence sur le rang rg(G). Si ce rang est nul, i.e. si G = F*', routes les formes lin6aires intervenant darts l'6nonc6 sont proportionndles ~ cp ~ cp(g). La conclusion s'ensuit.

On suppose maintenant rg(G)>0 et que la proposition est vraie pour les groupes G' tels que rg(G' )<rg(G) . Soient g e t ~p satisfaisant A (i) et (ii)'. On peut supposer tp e ~Vf(G). En effet 6crivons tp = ~ Ad(gk)cpk avec des gk ~ G, ~Pk ~ M'(G).

k

Posons tp'= Y,~Pk" Les hypoth6ses comme la conclusion de l'6nonc6 ne font intervenir que des distributions invariantes par conjugaison. La validit6 de l'6nonc6 pour ~p' implique done sa validit6 pour ~p. Mais ~p'e Jr(G).

Supposons done ~p s ~f(G). Si g n'est pas elliptique, quitte fi conjuguer g, il existe un sous-groupe parabolique standard propre Q de G tel que g s MQ. Posons G ' = M e, G '=G' I x ... xG'r et pour i=1 . . . . . r, G'i=GL(n'il, F ) x ... x GL(n'ir~,F). Comme au lemme 2.2.b, les hypoth6ses (i) et g ~ G' impliquent que n~ divise :~n'~; pour tout couple i, j. Notons (:') la suite des entiers :~n'iin~ ~ convenablement

ordonn6e. On a ( : ' ) eZ" , off r '= ~. r~.' Les termes G', (:'), ~pa, g v6rifient les i = 1

hypotheses de la proposition (grace au lemme 2.2.a), les conditions (i) (cf. d6monstration du lemme 2.2.b) r (ii)'. En effet soit P u n sous-groupe parabolique standard de G' v6rifiant l'hypoth6se de (ii)' relative/t G', (:'). Posons M = M e. On

Sur les germes de Shalika pour les groupes lin6aires 207

doit montrer:

( t r St(M), [1 ~e,~( G')Ic(G')q~o]P)M = O .

Posons P'=PNQ. C'est un sous-groupe parabolique standard de G, v~rifiant l'hypoth6se de (ii)' relative ~t G, t ~, et tel que M e, = M. D'o~

(tr St(M), [1 ~o(G)I c(G)cp]P')M = 0. (2)

D'apr~s le lemme 2.2.b, on a El~t~(G)lc(G)q~]t" = I(,,)(M)I~(M)~o P', l-lte,)(G')lc(G')~pQ]l' = lt,~,)(m)l~(M)(~0e) P, pour certaines suites (r (~'). On v6rifie ais6ment que (~ )= (~'). On sait que (~oe) v= cp P'. On en d6duit que (2) est bien l'6galit6 cherch6e. Maintenant on peut appliquer l'hypoth+se de r6currence ~ G', (~'), ~o e, g. WoO JG'(~oe, g)= 0. Mais J~(~o, g) est proportionnel fi JG'(tpQ, g) [Ko, lemme 5.5]. D'ofi Ja(~o,g)=0.

Posons ~0' = l(e~l~q~. Pour g' ~ G, on a

~J(~o,g'), si l~(g')= l(o(g' )= 1, J(~0', g') = ~0, sinon.

D'apr6s ce qui pr6c6de, on a donc J(~p', g') = 0 pour tout g' ~ G ~g non elliptique. Soit rc une reprbsentation admissible irr6ductible tempbr6e de G. Si trn est nulle sur l'ensemble des 616ments elliptiques de G, la formule de Weyl calcule (trTt, ~o')~ en fonction des J(~p',g') pour g' non elliptique. Donc (trrt, ~o')G=0. Si trn est non identiquement nulle sur l'ensemble des 616ments elliptiques r6guliers de G, deux cas se pr6sentent. Sin est de la forme St(G)| avec ~ non ramifi6, on a (trn, q~')~ = 0 d'apr6s l'hypoth6se (ii)' pour P = Get la remarque (b). Sirc n'est pas de cette forme, on remarque que qr l~qr avec ~o"= I~e)q~Yg(G ). On applique le lemme 2.3 (gen6ralis6 fi un produit de groupes lin6aires) et on obtient (trn, qr Donc (trn, cp')a = 0 pour toute repr6sentation n admissible irr6ductible temp6r6e de G. D'apr~s [ K a l ] th6or6me0, cela implique J(~o',g')=0 pour tout g'~G ~g. En particulier J(~o, g) = 0.

Maintenant supposons que ~o v6rifie (ii)" au lieu de (ii)'. D'apr6s les remarques (a) et (b), on peut supprimer dans (ii)" l'hypoth~se de divisibilit6 et y remplacer ~(M) par n'importe quel caract+re non ramifi6 ~ de M. Soient maintenant Pe t M comme dans (ii)'. I1 r6sulte de [Rod] ou [Z2] que trSt(M) est combinaison lin6aire de distributions tr Ind~tze, pour certains sous-groupes paraboliques standards Q de M e t certains caract6res non ramifi6s de M e. En utilisant (ii)" pour les sous- groupes paraboliques QNe de Get la formule d'induction 6voqu6e ~ la remarque (c) on v6rifie la relation ( t r St(M), (l(e)l~q~)e)M = 0. I.e. ~0 v6rifie (ii)' et la conclusion s'ensuit. []

2.5. Lemme. Soient n 1 . . . . , n, des entiers >= 1, G= GL(n~, F) • • GL(n,, F), P u n sous-groupe parabolique standard de G, M = M e. La forme lin~aire sur ~/t ~ d~finie par q~-~(tr~(M),(l~o~l~o)P)~ est combinaison lin~aire des formes Jv pour U parcourant l'ensemble des orbites de G induites d'orbites unipotentes de M.

Remarque. On peut remplacer dans l'6nonc6 ~(M) par St(M).

D~monstration. On raisonne par r6currence sur rg(G). L'assertion est triviale pour rg(G) = 0. Supposons rg(G)> 0 et le lemme vrai pour les groupes G' tels que rg(G')


< rg(G). Soient P, M comme dans l'6nonc6 et ~V(G) l'ensemble d'orbites qui y est d6crit.

Supposons P4=G. Soit ~0~r supposons Ju(q~)=0 pour tout U e q/t'(G). On veut montrer qu'alors ( t r t (M), (l(o~lc~o)v)u = 0. Comme dans la d~monstration pr6c6dente, on peut supposer q~oCg(G). Alors (1~0~1c~o) e = l(0)(M) I c(M)q9 Pet q~v~zgi(M ) d'apr6s le lemme 2.2. Par hypothdse de recurrence (trll(M), l(o)(M)lc(M)q~V)u est combinaison lin6aire des j~(q~e) pour U ~ ~/(M). Soient U~ q/(M), Q un sous-groupe parabolique standard de M dont U soit l'orbite de Richardson, Q '= QNI,, et U' l'orbite de Richardson de Q'. Alors

Or U' est l'orbite induite de U, donc Jv~,(~p) = 0 par hypoth6se, et dvU(cp P) = 0. On en d6duit (trY(M), (lo)lcq~)V)M =0.

Supposons maintenant P = G. D'apr& la proposition 2.4, il existe pour tout sous-groupe parabolique standard Q de G une fonction s o telle que

J(go, g) = Y. so(g ) (tr ~(M), (1 (o)lCgo)o)~t ff

off ici M = M e, pour toute ~p e ~'f~ et tout g e G '"g tel que lto~(g ) = l~(g) = 1. Notons ~ o le sous-espace des q ~ telles que Jv(~o)=0 pour tout U~qI(G) tel que U ~= { 1 }. D'aprds ee qui a d6j/L 6t6 d6montr6, pour ~p ~ ~ o , l'6galit6 ci-dessus devient

J(tp, g) = s~(g) (trY(G), 1(0)1 ~q~)~. (3)

L'6galitd (1) de l'introduction devient

J(go, g) = s~a}(g)J{~}(~p), (4)

pour g s V~. D'apr~s le corollaire 4.5 ci-dessous, les formes lin6aires J~ sur ~f~ sont lin6airement ind6pendantes. On peut donc choisier q)o~ ) f o telle que j{~(~po)4= 0. On sait que le germe s{~} est non nul ([-H, proposition 6.b], ~Rog2]). Pour tout voisinage V de 1, on peut donc choisir gv ~ Vc~ V~,onG ~ tel que l(o)(gv) = lc(gv) = 1 et s{~}(gv) 4= 0. Les 6galit6s (3) et (4) pour go ~ impliquent so(gv) 4= 0. Maintenant pour

o ~o e gcf , posons V= V~,. Alors (4) et (5) impliquent

(trY(G), 1 ~o)1 ,q~)a = s~(gv)- ~s~}(gv)J~}(~o).

En particulier si J{~}(~p)=0 [i.e. si Jv(~p)=0 pour tout U~q/(G)], on a (tr l(G), l(o)l~a)~=0. []

2.6. D6monstration de la proposition 1.1. On reprend les notations originelles. La proposition 2.4 et le lemme 2.5 impliquent que pour g~ G ~* v6rifiant l(o)(g ) = l,(g) = 1, la forme lin6aire (p ~ J(cp, g) sur ~ est combinaison lin~aire des formes du pour U ~ q/(G). L'existence des fonctions s~ r~sulte de l'inclusion K C (g ~ G; l(o)(g) = lr = 1 }. Leur unicitd r6sulte de l'ind6pendance lindaire des J e (corollaire 4.5 ci-dessous). []

3

3.1. Posons d=GL(n ,F . ) , ~=gl(n, Fa). Soit 2~P(n), posons 2=(21 . . . . ,3,,) avec ),1 > ... >)` ,>0. Notons ]~ le sous-groupe parabolique standard de G de sous-


groupe de L6vi GL(21,IFq)x... x GL(2,, Fq); tSa son <<alg6bre de Lie~ dans ~; Ka resp. Ix, leurs images r6ciproques darts K, resp. 1; r resp. q}a, ~Px, les fonctions caract6ristiques de K a, resp. Ix, Pz; Mx le sous-groupe de L6vi standard de P~; Na le radical unipotent de Pa et ~p~ la fonction caract6ristique de Nx. Si besoin est on 6crira plus pr6cis6ment Pa(F~), Kx(F) etc . . . . Le groupe Ka est un sous-groupe parahorique de G, et rpa e ~f~.

Pour #~P(n), notons J~,=Jv(~,q (noter la transposition). On introduit la matrice carr6e

A = (J,,(~o~))~, ~,+v<n}.

Pour g e K n G '~ notons s(g), resp. J(g), la matrice colonne indic6e par P(n) dont le 2-i6me coefficient est s(2~,F; g), resp. J(goz, g). La proposition 1.1 se r6crit

J(g) = As(g). (5)

3.2. D6monstration du lemme 1.2. Soient X, Xo, x, comme dans l'6nonc6, posons g = X o + X , X , g ' = l +X , notons T l e commutant de g dans G; T e s t aussi le commutant de g'. Soit 2 ~ P(n). On a l'6galit6

J(cp a, g) = ~ goa(h- ~gh)dh. T\G

Fixons h ~ G. On a les 6galit6s

qg a(h- l gh) = ~ z(h- l gh) = ~ a(h- 1xl Xh) .

Notons ~ la fonction caract6ristique de x~-1~ et (p~ celle de {7 e G; ~ ( ? ) = 1 et det(?) e o • }. On a les 6galit6s

�9 a(h- ~x~Xh) = ~'a(h- 1Xh) = ~'~(h- ~g'h) = tp'~(h- ~g'h).

D'ofi l'6galit6

~(~, g) = ~(r g').

Remarquons que r e ~f. Introduisons la matrice carr6e A'= (J~(tp~))~. ~e(,), et la matrice colonne J'(g') de 2-i6me coefficient J(tp~, g'). D'apr6s ce qui pr6c6de, on a J'(g') = J(g). D'apr6s la proposition 1.1, J '(g')= A's(g'). D'ofi, grace ~ (5)

As(g) = A's(g').

Soient 2, # ~ P(n), P u n sous-groupe parabolique standard de G d'orbite de Richardson U(ff), N = Ne. On a

J~(go~)=(go~)e(1)= ~ ~o'~(k- ~nk)dndk. K x N

Soient k e K, n e N, on a les 6galit6s

go'~(k- ~nk)= ,~'~(k- ink)= cP'~(k- l(n - 1)k) = ~ ( k - 1 X l ( n - - 1)k)

= ~ ( k - ~[1 + x~(n- 1)3k) = ~o~(k- 111 + x~(n- 1)3k).

L'application n ~-~ 1 + x~(n- 1) est un isomorphisme de N de jacobien [x~l dim~. On calcule ais6ment dim N = v(/~). Alors

Jz(ga~)= [x~l-~'~ ~ go~(k- lnk)dndk = [x~[-~(zqJz(rp~). K x N


Notons D la matrice diagonale de/~-i6me coefficient diagonal ]x~l-~'), On obtient alors les 6galit6s A = A'D, puis

A(s(g) - Ds(g')) = O .

D'apr6s le corollaire 4.4 ci-dessous, A est inversible. D'ofi s(g)=Ds(g') et la conclusion du lemme. []

4

4.1. Introduisons comme en 1.3, et comme Zelevinsky, la PSH-alg6bre universelle R. Elle est gradu6e: R = Q Rm. On peut identifier Rm au groupe abblien engendr6

mEN par les caract6res des repr6sentations irrbductibles de ~m=GL(m, lFq) sous- quotients de la reprbsentation induite

I n d ~ l ,

of f /~ , d6signe le sous-groupe de Borel standard de d~, et ~ la repr6sentation triviale du sous-groupe diagonal. Le produit scalaire usuel [Z 1, 6.1] munit R (~){E

z d'une forme hermitienne ( , ) qui est ind6pendante de q. Soit H(q)= Q H~(q)

men l'alg6bre de Hall des groupes lin6aires sur Fq : H~(q) est le C-espace vectoriel des fonctions sur ~,, invariantes par conjugaison, ~ support dans l'ensemble des 616merits unipotents. L'application de restriction pq :R (~ ff~--}H(q) est un isomor-

z phisme d'alg6bres de Hopf [Z 1, th6or6me 10.3.a]. Le produit scalaire naturel ( , ) sur H(q) se rel6ve par p~ en une forme hermitienne ( , ) q sur R @{E, qui d6pend de q. z

4.2. Proposition. Soient 2, # ~ P(n). On a lYgalit~

J~(q~) = c~(q)- l c,~(q)c~(q) ( xa, y , ) q .

On renvoie/t 1.3 pour la d6finition des termes ci-dessus et /l 3.1 pour les notations utilisges au cours de la d6monstration.

D~monstration. Soient P u n sous-groupe parabolique standard d'orbite de Richardson U(/gt), N = Np. On a

Jz(g0a) = (g0a)e(1) = S qJ~(k- lnk)dndk. K x N

Pour g e K, notons ~ sa r6duction dans d. Pour k e K, n �9 N, on a

gax(k_lnk) = (0 , si nf~Nc~K, ~pa(~-l~), si n � 9

Remarquons que {~; n � 9 Etant donn6e la normalisation de nos mesures, on obtient

j/t((~. ) = 1~]- 11~1-1 E /P~.(g- 1rig)

Sur [es germes de Shalika pour les groupes l~n6aires 211

On peut dans cette somme remplacer x par h- Ixh, puis sommer sur h, ~t condition de multiplier par 1(71-l. En posant

~p~(x)= Y~ ~ ( g - ' x g ) , V~"(x)= y. ~p~(g-~xg),

on obtient

J~(~oz)= IGI-21N.I-' E ~(x)~'~(x) xE(~

off le produit scalaire est le produit scalaire usuel des fonctions sur G. Notons 1(/~) la fonction constante 6gale fi 1 s u r / ~ , et e(/l~) la fonction caract6ristique de 1 darts/l~,. Avec les notations de I-Z 1, proposition 8.2], on a

~p~ = IPxlis., ~(1(~)) , ~p~'~= IPulir%, ~(e(Mu)).

On a i 5 ~(l(Ma))eR, et m~me is. ~(l(/~t~))=xa [Z1, proposition 9.6]. On a is. , ~(e(M~)) e H(q), et, d'apr6s [Z 1, tla6or6me 10.3.b],

i~.,~ (e(h4u)) = q- Opq(y.),

off, si ~=( /~ .. . . ,#~), on a pos6 O= ~ pi(p~- 1)/2. Alors ~=1

( isr t ( 1 (/l~ z)), is., ~ (e(Mu)) ) = (P~ [i~.,, ( 1 (A~ a))], i~r (e(~-Iu)) )

= q- O(pq(Xz), Pq(Y.)) = q-~(x~, y.)~.

D'ofi

On calcule

appliquer le lemme 4.3 ci-dessous pour obtenir la formule de l'6nonc6. []

4.3. Lemme. Pour route partition It~ P(n), on a l'~galit~ lP.[ = q~"- ~)/2c~(q).

4.4. Carollaire. La matrice A est inversible.

J.(~ox) = q-~lgl- 11Nr.I- IIP~[ IP.I (xx, y.)q.

I_~l=q o', oil o'= ~ pi#~, d'ofl I~ lqe=q "~"-~/2. II reste fi l <i< j < r

[]

Ddmonstration. D'apr6s la proposition 4.2, A est le produit de matrices diagonales inversibles et de la matrice de ().,~t)-i6me coefficient (xa, y.)q. Or {xx; 2~P(n)}, {yu; ~ P ( n ) } sont deux bases de R., et le produit scalaire ( , ) q sur R. est non d6g6n6r~. []

4.5. CoroUaire. Les int~grales orbitales Jv pour U e ql(G) d~finissent sur J f des formes linkaires lin~airement ind~pendantes. []

5.1. On a besoin de deux lemmes pr61iminaires d'approximation. Rappelons que si g e K, on note ~ sa r6duction dans d. De m~me si X E f, on note 3~ sa r6duction dans g-


Lemme. Soient g, g' ~ K. Posons c = c,(q). Supposons (i) gC=g'C= 1:

(ii) g=g'. Alors il existe k ~ K tel que E=I et k - l g k = g '.

Ce lemme est utilis6 impficitement darts [Ka 2]. Voir aussi [He, lemme 5.6].

D~monstration. I1 suffit de d6montrer l'assertion suivante: soit r u n entier > 1; supposons g-g'~m:~; alors il existe X e f tel qu'en posant k = l +t~'X, on ait k - l g k - g ' ~ m r + ~ f . Soient done r > l , Y~f, supposons g'=g+vorY. Soit X~f, posons k = 1 + wrx. L'6quation k - l g k - g' e w" + ~ 6quivaut

g X - X g - YE mr.

D6finissons l'endomorphisme 6 de g par 6(Z)=~,Z~ -~. L'6quation ci-dessus 6quivaut/t

(6 -- I)_X = ~ ' g - l . (6)

C--1

Posons Q(T) = Z T~. Comme cest premier ~ q, Q(T) et T - 1 sont premiers entre i = 0

eux dans FelT]. II existe done Q1, Q2 ~F~[T] tels que

1 = QI (T) (T- - 1) + Q2(T)Q(T).

Je dis qu'en posant ~ '= Q1(~)(~'~-I), l'6galit6 (6) est v6rifi6e (ce qui aeh6ve la d6monstration). En effet

(b - - 1)O 1 (6)(~" ~ - 1) = ]~g- 1 _ _ Oz(b)Q(g)(~y ~- t), et il suffit de d6montrer: Q(6)(I:g-1)=0. Or on a

C--1 g ,~ = (g + ~vr y)c -_ g, + v~" y, gi yg~- X - i modw,+ t[.

i = 0

D'apr6s (i), cela implique

i.e. Q(6)(~'g-')=0. []

c - 1

E g~g~ i = 0

5.2. Lemme. Soient X , X ' ~ L Supposons O) X et X ' sont conjuguds par un ~l~ment de G;

(ii) ~ est nilpotent r~gulier; (iii))7 =_~'. Alors il existe k ~ K tel que ~=1 et k - l X k = X '.

Ddmonstration. Pour aa, ..., a, ~ F, notons

X(ax . . . . . a,) = ali l i] i 0 " h.


et simplement X ~ = X(0, ..., 0). Quitte/l conjuguer x et x ' par un m~me 616ment de K, on peut supposer ~ = ~ ' = , ~ ~ On va d6montrer l'assertion suivante: il existe a 1 . . . . . an�9 et k e K tels que E = I et k - i X k = X ( a l . . . . . an). Cela d6montre le lemme. En effet les a, sont d6termin6s par le polyn6me caract6ristique de X. En appliquant l'assertion/l X et X', et gr$ce/l l'hypoth6se (i), on obtient k, k' �9 K tels que ~= ~" = 1 et k - 1Xk = k' - 1X'k', d'ofi X' = k ' k - t X k k ' - 1

D6montrons l'assertion. I1 suffit de prouver: soient r un entier >1, al , . . . , an �9 too, supposons X = X(a l . . . . , an) modmrI; alors il existe a~ ... . . a' n �9 too et Y�9 ~ tels qu'en posant k = 1 + tOrY, on ait k - I X k _ X(at, . . . . . an) m o d t o , r+ 13. Soient donc r> l, al . . . . . a, etOo, supposons X==-X(al . . . . . an) modm'[, soit Z � 9 tel que X = X ( a l . . . . ,an)+mrZ. Soient Ye[, k = l + t C Y . On a

k - 1 X k = X - t O ~ [ Y , X] = X(a I . . . . . a , )+ m ' ( Z - [ Y , X]) modtr 1[.

Notons Vle sous-espace de fi form6 des matrices dont tousles coefficients non nuls sont sur la premi6re colonne. C'est un suppl6mentaire de l'image de l'application ad(~'~ D'apr6s l'hypoth6se )~= ~0, on peut choisir Y�9 ~ tel que Z - [ ~ X] �9 11. Fixons un tel Y. Pour i=1 .. . . . n, notons a', la somme de a~ et du (i, 1)-i6me coefficient de tOr(z--I-Y, X]). On obtient alors k -aXk=X(a '~ , . . . ,a'n)modto'+lf . Cela ach6ve la d6monstration. []

' F ' 5.3. Soient f , n, comme en 1.3, X, Y v6rifiant les conditions (ii) et (iii) de 1.3, et b un entier >1. Posons g = l + X + w b Y . On a geK ' . On pose pour simplifier q ,=ql . Notons t s : P ( n ' ) ~ P ( n ) l'application ainsi d6finie: si 2' = (2] ... . . 2'~) e P(n'), t f(2') = (2'1 f , ..., 2'~f).

Lemme. Soient 2 �9 P(n), h �9 G. Supposons h - l gh �9 K x. Alors (i) 2 appartient d l'image de ty;

(ii) h �9 G 'K I.

C'est une version affin6e du lemme 3 de [-Ka2].

Ddmonstration. Posons g '= h- lgh. Soit Q le polyn6me caract6ristique de g'. C'est aussi celui de g. Donc ses coefficients sont dans o et sa r6duction Q est le polyn6me caract6ristique de ~, i.e. de 1 +.~. D'apr6s la condition (ii) de 1.3, on a Q = Q~', od ~.o e s t u n polynBme irr6ductible de degr6 f . D'autre part comme g ' � 9 Kx, Q est le polyn6me caract6ristique d'un 616ment de P~. Posons 2 = (21 ... . . 2r), alors ~ est de la forme ~=~1,- - - ,0~ o6 ~, est un polyn6me de degr6 2,. En comparant les deux expressions, on voit que 2, est divisible par f pour tout i = 1 ... . . r, d'o6 (i).

Soit k �9 K. A la suite de Kazhdan, on d6finit la partie Fr k,, resp. Fr k,, de k de la faqon suivante. Posons c=c~(q). C'est la partie premiere/t q de I~1 (lemme 4.3). Soit C un entier > 1 tel que q e _ 1 modc. On pose k~ = lim k q'" (cette limite existe), k~ = kk7 1. On a k~, k~ �9 K, ces 616ments commu-

m--~ oo

tent entre eux et commutent ~ k. On a ~ = 1, donc k~ et ~ sont semi-simples. Posons x = 1 + X. On ales 6galit6s g'~ = h - lg,h, g~ = x~. Donc ~', et ~ ont mSme polyn6me caract6dstique. Etant semi-simples, il existe 71 �9 d tel que g'~=?~-lx~y~. Comme g ' � 9 Kl , on a g'~ �9 Ka et ~'~ �9 Pi. Consid6rons le drapeau {0} C V~ C... C V" =F~ de sous-espaces stabilis6s par P2. Rappelons qu'on a identifi6 ~ et F~',. Les 2, 6tant divisibles par f pour tout i, on voit que les Vi sont en fait des sous-Fu de


F]:. Pour i = 1,..., r, posons V~ = ~1V~ Comme g~ stabilise V~', 2~ stabilise V~. D'apr6s l'hypoth+se (ii) de 1.3, on a 2, = 1 + X et ce terme engendre Fq, sur lFq. Doric Vii est un sous-Fr de U~',. Alors (V[)i~{1 ...... ~ et (Vi)i~{ 1 ...... } sont des drapeaux de sous-F~,-espaces dont les suites des dimensions sont 6gales. Donc il existe Y2 E G' tel que ?2V~= ~' pour tout i. Posons ?=72Y~. Alors y stabilise les ~, donc 7~/3a. Comme 7~ ~ ~', 72 commute ~ 2~ et on a ~'~=?-i~,~. Soit k ~ K~ tel que /~=~. Consid6rons les 616ments g', et k- ~xfl. Ils v6rifient les hypoth6ses du lemme 5.1. Donc il existe k' ~ K tel que ~' = 1, g'~ = k'- ~k- ~xflk'. Posons k" = kk' et h' = hk"- ~. On a h'- Ixfl ' = k"g'fl"- ~ = x,, i.e. h' commute ~ x~, lequel engendre F'. Donc h' e G'. D'autre part k"r et h=h'k". Cela d6montre la deuxi6me assertion de l'6nonc6. [ ]

5.4. Soient maintenant X, Y, a, b v6rifiant les conditions (i), (ii), (iii) de 1.3. Posons g = l +tC'X+m~Y, g ' = t ~ - " Y , et

Y= ~_, s(#t,F;g)q-"V~Uqcu(q)yu, y '= ~, s(fft, F';g')c,,(q')yu,. ~ P ( n ) lt' ~P(n')

On a y ~ R n @ ~ , y ' r Z 7t

Lemme. (i) Soit 2 ~ P(n). Si 2 n'appartient pas ~ l'image de Q, on a l'dgalitd

<xa, y>a=O-

(ii) Soient 2 'e P(n'), 2 = re(2'). On a l'@alitd

<x~, y>~ = <x~,, y%,.

D~monstration. D'apr6s le lemme 1.2, les termes ye t y' ne changent pas si darts les d6finitions on remplace a par 0 et b par b - a. On peut donc supposer a = 0. Soit

e P(n). D'apr6s la proposition 4.2, on a

(xa, Y>~=c,(q)ca(q) -~ E s(#t,F;g)J~,(q)a), l~ ~ P(n)

i.e. d'apr6s (5)

<xa, y)q = cn(q)ca(q)- 1j(cpa, g). (7)

Notons T le commutant de g dans G, Z le centre de G. On a

J(~a, g) = I ~oa(h- lgh)dh = mes (Z \ T) - I ~ q)~(h- lgh)dh. T\6 Z~6

D'apr6s le lemme 5.3.i, cette expression est nulle si 2 n'appartient pas ~ l'image de t r. D'ofi (i).

Soit maintenant 2'r supposons 2=t~(Z). L'intSgrale ci-dessus est support darts Z\G'Ka (lemme 5.3.ii). Comme ~ est biinvariante par K~, obtient

J(tp~, g) = mes(Z\ T) - ~ mes (K~) ~ r ~gh). h ~ G,/(ZK.~)~ G'

Notons T' le commutant de g dans G'. En fait T'= T. L'extension F' 6tant non ramifi6e sur F, on v&ifie que (ZK~)n G' = Z'K~,, off Z' = Z(G'), Ka, = Ka,(F'), et que mes(Z\T)=mes(Z ' \T ' ) . Enfin r Alors

J(tp~, g) = mes(Z' \ T ')- 1 mes(Kx) ~ tp~,(h- ~gh), hcG'/Z'K,.t ,


d'ofi en r emon tan t le calcul

JG(~o a, g) = mes (Kz) mes(Kz,) - 1jG'(q~,, g).

On calcule

mes(Kz) = [G : Pal - 1 = c2(q)c,(q)-I

( lemme 4.3), et du mSme

mes(Ka,) = ca,(q')cn,(q')- 1.

D'au t r e part , c o m m e I + X 6 o ( F ' ) • le l emme 1.2 mon t re que s (p ' ,F ' ;g ' ) =s(p ' , F ' ; g) pou r tout p '~ P(n') (rappelons qu 'on a suppos6 a = 0 ) . On d6montre alors la relat ion analogue de (7)

<xz,, Y ' )r = c.,(q')cv(q')- ij~'((p~,, g).

Toutes ces relations conduisent/L l'6galit6 (ii). [ ]

5.5. C o m m e R (~)I1~ est une alg6bre de po lyn6mes en les variables (z,~),,__> 1, il existe Z

un e ndomorph i sme z: de l 'alg6bre R ~)11~ tel que r:(Zm) = z,,: pour tout m. En fait z

z : d6finit un endomorph i sme de R. Pou r le voir, in t roduisons l 'alg6bre ~ des s6ries formelles/~ coefficients dans Jg en les variables (T/)i~q. On peut identifier R ~i la sous-alg6bre de ~ form6e des s6ries de degr6 born6 invariantes pa r pe rmuta t ions de l 'ensemble d' indices N. Pou r m >__ 1, z m s'identifie/l ~ T/m [Z 1, p ropos i t ion 5.3].

i e N

O n peut d6finir un endomorph i sme z} de ~ pa r z}(T/) = T/: pour tout i. I1 est clair qu'il conserve R et envoie z m sur zm: pour tou t m. Sa res t r ic t ion / l R e s t donc l ' endomorph i sme cherch6.

Lemme. Soit z e R,, (~) IE. Z

(i) Soit 2 ~ P(n). Supposons que 2 n'appartient pas fi l'image de t f . Alors

(x~,~:(z))~=O. (ii) Soient ~' ~ P(n') et 2 = t:(2'). On a l'~gatitO

<x~, ~:(z)>. = <x., ~>~,.

Les relations ( i ) et ( i i ) caract~risent T:(z).

D~monstration. La derni~re assert ion est claire car {xa; 2 e P(n)} est une base de R, ~ ) C .

Z

Par lin6arit6, on peut supposer z = z,,, off #' = (p~ . . . . , #;) ~ P(n'). Alors "c:(z) = z~,, off/~ = (#'1 f , .... P'rf). Soit 2 = (21 . . . . . 2~) ~ P(n). D'apr6s [-Z 1, proposi t ions 10.9.c et 3.17.c]

(xa, z~,)q = qI,'~:_ 1 IM"' hi, i =

off M" ' x est l 'ensemble des tableaux (aij), 1 < i <= r, 1 <__ j <= s tels que aij e N, ~. a~i-- #'~f pour tout i = 1 , . . , r, Y~ a~2 = 2~ pour tout j = 1 . . . . . s, et pou r tout i, il n 'y a 1 i


qu 'un terme non nul parmi les a~j, j = 1 . . . . . s. Pou r i = 1 . . . . . r, no tons m[0 l 'unique ~16ment de 1 . . . . . s tel que a~mo 4: 0. Alors a . . , ) = / ~ f et on volt que M ~' ~ s'identifie l 'ensemble des applications m: { 1 . . . . , r} ~ { 1 . . . . . s} telles que pour tout j = 1 . . . . , s, 2~= ~ #~f. Si l 'un des 2~ n'est pas divisible par f , M " ' a = 0 , d'ofi (i). Si

i; re(i)= j

maintenant 2 = ti(2' ), on voit que M ~' z = M ~'' ~'. O r on a comme ci-dessus l'6galit6

(xz,, z,,>r = (q'"~ - 1) IMU"a'l. i

En se rappelant que q ' = qS, on obtient (ii). [ ]

5.6. Les lemmes 5.4 et 5.5 dSmontrent le th6or~me 1.3. [ ]

6

6.1. Plaqons-nous dans la si tuation du corollaire 1.4. D'apr~s le th6or6me 1.3, on a l'Sgalit6

Y, s~' , F; g)q- ~#')c~(q)y~ = z.[s({ 1 }, F' ; 1)cl(q~)yl] . ~e P(n)

On a Yl = z l et trivialement s({1}, F ' ; 1)= 1. Le membre de droite ci-dessus vaut done (q" - 1)z,. Pou r # e P(n), posons r = !"(#) et (u = ( - 1)' +"n(r - 1) ! [St (#)l - 1. Le corollaire 1.4 r6sulte de l'6galit+ ci-dessus et du

Lemme. On a l'~galit~ z, =

D~monstration. Posons

= ~ rny,,T,~- 1. D'apr6s m = > l

= r ' ( - T)Y( - T ) - 1, d'ofi

(.Yu" #eP(n)

Z ( T ) = E z,. T I - 1 , Y(T)= E y, .T", Y'(T) m > l m > O

[Z1, proposi t ion 3.16], on a l'6galit~ Z(T)

= E (-1r -~ Z m,y.(-r) ~-~, e '> 1 m l . . . . . m e > 1

t '

off, dans la somme, on a pos6 # = ( m l . . . . ,me), t r= Z mi. D'ofl i = l

z . = • ( - 1 ) e+" E mlYu. g> l m~,...,m~>= l; a=n

Soit/~ = (~1 . . . . . /#) e P(n). Le coefficient de Y. dans la somme ci-dessus est le produi t de ( - 1) r+" et de la somme S, sur les r-uplets (ml . . . . . mr) conjugu6s h (/~i . . . . . #r) par Faction de 5a~, de ml. On a l e s 6galit6s

$=lSt(#) l -x E #,~m=lSt(/~)1-1 Y. # , l { w e ~ ; w(1)=i}l w e-9~r i = 1

=[St ( /~ ) l - l ( r -1 ) ! ~ / h = n ( r - 1 ) ! l S t ( # ) 1 - 1 . [ ] ; = 1


6.2. Pla~ons-nous dans la situation du corollaire 1.5. Posons

g '= 1 +zC'2-~X2 + ... +tu~ ' -~ 'X t .

En raisonnant par r6currence sur t, on peut supposer que pour tout # e P ( n / f O , il existe un polyn6me P , eZl-Tl, T~- 1 . . . . ,7;,_ 1, T~_= ~3 tel que

s(#', F 1 ; g') = c,,(q:')- l(q,, _ 1)eu(g').

La somme

2 S(# t, Fx; g')cu(q/')Yu pEP(n/f t)

est done le produit de q " - 1 et de la valeur au point (qs,(,~-,,) .. . . , qS,-~(a,-,~)) du polyn6me Q = Y. Puyu, qui appartient ~ R @Z[T1 ..... T,- 11]. On peut d6finir

psP(n[f l) Z r:~(Q) et le d6composer dans la base {Yu; # e P(n)}; i.e. introduire pour tout # e P(n) un polyn6me P'~e7Z[T1 ..... Tt-2 ~] tel que

r / , (Q)= E P'~Y," geP(n)

Mais on peut appliquer ~ g e t g' le th6or6me 1.3 relatif/~ l'extension F1/F. On d6duit alors de ee qui pr+c~de l'6galit6

s(kt', F; g)= ( q " - 1)cu(q)- t q~,~(u,)p~(g,),

pour tout g e P(n). Posons

P ~,( TI . . . . . Tt)= r?(u~) P'u( rz r l - f ' , T3 T, - f 2 . . . . . Tt r l - f ' - ,).

Les d6finitions impliquent l'6galit6

q"' ~o'q n'u(g') = P u(g ) .

Le polynSme Pu v6rifie les conditions du corollaire 1.5. []

7

7.1. Plaqons-nous dans la situation de la proposition 1.6: F' est totalement ramifi6e sur F, X est une uniformisante de F', g = 1 +X. Quitte /t modifier l'identification o(F')~o(F)", on peut supposer (et on supposera) X=3~ ~ (cf. d6monstration du lemme 5.2).

Lemme. Soient 2eP(n) et h e G. Supposons h - X gh ~ K a. Alors h e F' • K a.

D~monstration. Posons Y = h - a X h . Le polynbme caract6ristique de Y est 6gal fi celui de X. Donc celui de ?" est 6gal/l celui de X, i.e./t T ". Donc t" est nilpotente. Supposons Y"-a=0 . Alors Y" - l e to f et det(Y"-~)em%. Or det(Y "-1) =de t (X ~- 1 )e~"- 1o • Contradiction d'o6 ~'"- x 4=0. Alors Y, comme .~, est un nilpotent r6gulier. I1 existe 7 e G tel que 1"= ? - 1~?. Soit {0} ( V1 ( . . . ( 11, = ~ le drapeau de sous-F~-espaces stabilis6 par P~. Posons Wi=?V/. Comme Yef~, ~" stabilise V~ pour tout i. Donc .~ stabilise W~. Mais, .~ 6tant r6gulier, il n'y a qu'un seul sous-espace de dimension dim W~ qui est stabilis6 par ~ . D'apr6s notre


hypoth6se J~ =.~~ c'est V/. D'ofi V i = 7 V~ pour tout i, i.e. ~ E P~. Soit k I E K~ tel que ~1 =% posons Y' = k 1Yk? 1. Alors ~-' = J~. On peut appliquer le lemme 5.2: il existe k2 ~ K tel que ~2 = 1 et k2 Y'k2 1 = X. Posons k = k2kl, h' = hk- 1. Alors h'- 1Xh, = X, d'ofi h' ~ F' • De plus k E K~ et h = h'k. []

7.2. Lemme. Soit 2 ~ P(n). On a l'~galit~

d(qga, g) = c~(q)c,(q)-l.

Ddmonstration. On a

J(q~,g)= I q~a(h-lgh)dh=mes(Ka) F'~\6

d'apr6s le lemme pr6c6dent. On a mes(K~)= [d:Pd-1, qu'on calcule grace au lemme 4.3. []

7.3. Pour un entier m> 1 et #eP(m), notons Z~ ou plus pr6cis6ment zu(q) l'616ment de R Q C tel que Pq(Z~) soit la fonction caract6ristique de l'orbite

z unipotente de GL(m, Fq) associ6e/t la partition p. On note simplement :~m = ~(cm)-

Posons y = ~ s(#', F; g)c,(q)yu. # �9 P(n)

Lemme. On a l'~galitd y = q " - l (q_ I)Z,"

Ddmonstration. I1 suffit de d6montrer l'6galit6

(x~, y)q = q"- ~(q- 1)(x~, Z,)q

pour tout 2 e P(n). On calcule le membre de gauche grace ~ la proposition 4.2, l'6galit6 (5) et le lemme 7.2. On obtient

(x~, y)q = 1.

On calcule le membre de droite grace ~t [Z 1, th6or6me lO.3.b, proposition lO.l.b et 10.23. On obtient

q~-l(q--1)(xa, z~)q=qn-l(q--J)(Zn, j(~)q=l. []

7.4. Pour un entier m> 1 et #=(Pl , . . . ,#,)~P(m), posons

~u=(--l)m+~(r--1) '( r - i=1~ q-~') ( l - q - ~)-'lSt(#)l- 1

Lemme. Pour m > 1, on a l'dgalitd

X,~ = Y ~ ,Y ~ . # e P ( m )

D~monstration. Un calcul analogue ~ celui de la fin de la d6monstration du lemme 6.1 montre que pour #=(Pl . . . . . p,), ~ est la somme, sur les r-uplets (ux, ..., u,) conjugu6s /t (#~,...,#,) par un 61~ment de 6e,, de ( - 1 ) " + ' ( 1 - q - ~ ) ( 1 - q - ~ ) -1. L'6galit6 fi d6montrer se r~crit

Z . = Z . , (8)

Sur les gerrnes de Shalika pour les groupes lin6aires 219

od

-- ~ (--1) ~+~ Z (1--q-" ')(1--q- ' )- lY. , r = 1 u i . . . . . Ur_- > 1 ; a = m

off dans la somme, on pose a = u 1 + ... +ur, u=(u l . . . . . u,). On raisonne par r6currence sur m. Pour m = 1, Z1 =Yl. Supposons m > 2 et la

formule (8) vraie pour tout entier m' < m. Posons

~, ~ (_l)m+, 1)- -,n = ~. Y.~ E (1 _q- .~ ) ( l__q- ly . , r = 2 Ur>- i u l . . . . . u r - l > = l ; a = m - u r

off cette fois or--Ua + . . . + ur 1, u----(ui, ..., ur 1)- On a l'6galit6

3 = ( - I F + . 1(1 _ q - m)( 1 _ q - 1)- ly m nu ~ . .

On peut 6crire

m - - 1

~,,-- ~ (-1)~+ly~ ~ (--1) m-~+' ~ (1-q-" t ) (1--q- ' ) -~y. . v>= 1 r = 1 u l . . . . . ur > -- 1 ; a = m - - v

On peut se limiter fi sommer sur v c {1 . . . . , m - 1 } et r c {1 .. . . . m-v}. Alors

r a - 1 m - I

~ m = s ( - - 1 ) v + l Y v ~ ' ~ m - v : E ( - -1)V+lyvZm-v , v = l v = l

d'apr~s l'hypothSse de r6currence. Pour tout entier v > 1, notons (1 ~ la partition (1 .. . . . 1) de v. Grgtce fi [ZI , th6orSme 10.3.b], on obtient

r a - - 1

~ ' m : ( - - 1 ) m + t ( 1 - - q - m ) ( 1 - - q - t ) - l q m ( r a - l ) / 2 X ( l ' ) -t- E (--1)V+tqV(V-1)/2Z(l~')Zm-v" v = l

(9)

Pour/~ 6 P(m), fixons un nilpotent n~ de gl(m, Fq) de partition associ6e #, et notons ~ , 1'ensemble des sous-espaces V non nuls de F~ n, stables par nu, tels que la restriction de n~/L V soit nulle et que 1'image de n~ dans F~/V soit r6guli~re. Pour tout sous-espace V de ~'q, posons

c(V)=~(-l)'~+lq'~(m-1)/2(1-q-m)(l-q-1)-l, si d im(V)=m, ( ( - - l ) V + l q v(v-1)/2 , si dim(V)=v<m.

Exprimons le membre de droite de l'expression (9) dans la base {Zu; ~ s P(m)}. D'apr~s [Z1, proposition 10.1.b], le coefficient de X~ est egal/t

E c(V). 0o) v e ~',,

Pour que ~ soit non vide, il est n6cessaire que/~ soit de la forme

(1, ..., 1 ,m--a) .

a

Supposons # de cette forme et d 'abord 1 < a < m - 2 . L'ensemble ~e- est form6 du noyau de n~, de dimension a + 1, et des hyperplans de ce noyau suppl6mentaires de l'image de (n,) m-"- 1. Ceux-lfi sont de dimension a, et en nombre qa. On v6rifie que la somme (10) est nulle. Si maintenant #=(lm), ~ est form6 de E~q et de tous ses


hyperplans, qui sont en nombre (qm-1)(q-1) - *. On v4rifie encore que l'expression (10) est nulle. Enfin pour/ , =(m), ~,:~ est r6duit au noyau de n,, qui est de dimension 1 (<m). La somme (10) vaut 1. Cela d6montre bien l'6galit6 X.,= ~ , . []

7.5. Les lemmes 7.3 et 7.4 d6montrent la proposition 1.6. []

7.6. Posons formellement Xo = (1 - q- 1)- 1 et d6finissons

z(T) = E Xm Tin, Z,(T)= E z,,Tm/m" m>O m > l

Lemme. On a l'~galitd

z(T) = (1 - q- 1)-, exp (Z,(T) - Zi( q -1T)).

Ddmonstration. La d6monstration du ]emme 7.4 montre que pour tout m > 1, on a l'6galit6 m-

Xm=(--1)m+l(1--q-")(1--q-~)-lY, , + E (--1)~+Xy~zm-~" v = l

Cela s'6crit aussi

(--1)mq-m(1--q-1)-ly, ,= ~, (--1)~y,z~-~. v = O

Cette 6galit6 reste vraie pour m = 0. En la multipliant par T" puis en sommant sur m e N , on obtient

(1 - q - ~ ) - l Y ( - q - ~ T ) = Y ( - T)z(T)

[cf. lemme 6.1 pour la d6finition de Y(T)]. D'apr~s [Z1, proposition 3.16], on a l'6galit~ Y ( - T ) = exp(-Zi(T)). D'ofl l'6galit6 de l'~nonc6.

7.7. Plaqons-nous dans la situation du corollaire 1.7. Posons

y = ~, s(#t,F;g)q,(q)y~,, (11) u ~ Pfn)

f = [F~ n '= [F ' :F~ En appliquant le th~or6me 1.3 ~t l'extension F~ on obtient une expression y = zfly~ Le terme yO est calcul6 par le lemme 7.3. On obtient alors

y = q" - :(q: -- 1 )T, f (Zn,(q:)) . (12)

Posons

~:z(q f, T)= Y zS(Zm(qf))T =, zsZi(T)= ~_, z~z,,)Tm/m = ~ z. ,yT"/m. m=>O m > l m ~ l

Comme zf est un homomorphisme d'alg6bre, le lemme 7.6 implique

zyx(q f, T) = (1 - q - S) - 1 exp [zsZi(T) - zs-Zi( q - ST)].

Les f coefficients intervenant dans z rZ i (T ) - z :Z i ( q - T) sont des rationnels __>0. On en d6duit: zf(X.,(qS)) est combinaison lin6aire ~ coefficients rationnds =>0 des z~, pour 2eP(n). On calcule ais6ment le coefficient de z.. C'est i f - t 0 - q - f ) - 1(1 -q - " ) , qui est >0.

Sur les germes de Shalika pour les groupes lineaires 221

Pour un entier m > 1 et 2 ~ P(m), posons

z ~ = • c(#,2)(- l )m+'~r)y~. r~P(m)

Je dis que c(#, ,~) s ]1'4 et c(/A (m)) > 0. Pour 2 = (m), les assertions r6sultent du lemme 6.1. Soit 2 = (21 . . . . . ,~,) avec r => 2, posons 2' = (21 . . . . ,2 ,_ t), m' = m - 2,. En raisonnant par r6currence sur m, on peut supposer c(ff, 2') e IN pour tout #' e P(m'). Alors

za=za'zar= [ r ' ~ " " c(//' 2 ' ) ( - 1)"+'tr [ J L" ~',~,,z" c(v, 2,)(--1)a'+'t~)y,].

N o t o n s (#', v') ~ P(n) la <<r6union, des partitions ~' e P(m') et v ~ P(2,). On remarque que r((//, v)) = r(//) + r(v). Alors

z~= E (-1)*+'~r~Y~EC(V',2')c(v,2,) /tcP(n)

off la deuxi~me somme est prise sur l e s / / ~ P(n'), v ~ P(2,) tels que (#', v) = #. On en d~duit l'assertion concernant c(~, 2).

Ecrivons z:[Z.,(q:)]= E (-l)"+'(r)OrYr- ~tcP(n)

On d6duit de ce qui pr6c6de que 0 r ~ Q et 0 r > 0 pour tout # ~ P(n). De (11) et (12) on dbduit alors le corollaire 1.7. [ ]

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Regu le 29 octobre 1987

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Sur les germes de Shalika pour les groupes linéaires