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Can. J. Phys 76: 403–420 (1998) © 1998 CNRC Canada
Sur les opérateurs différentiels symétrisants relatifs aux systèmes non-conservatifs
R. El Abdi et G. Gambart
Reçu le 4 juillet, 1996. Accepté le 9 janvier, 1998
R. El Abdi1 et G. Gambart. Laboratoire Génie de Production - École Nationale d’Ingénieurs de Tarbes, B.P. 1629 - 65016 Tarbes, Cedex, France.1 Auteur correspondant: télé. : 01 13 35 62 44 27 30; téléc. : 01 13 35 62 44 27 08;
courrier électronique : [email protected]
R�esum�e : Pour les syst�emes non-conservatifs r�epertori�es syst�emes �a forces suiveuses, une�etude sur les op�erateurs diff�erentiels sym�etrisants bas�ee sur une g�en�eralisation du rapport deRayleigh est propos�ee. Pour le cas de forces concentr�ees, on donne la forme g�en�erale pour lad�etermination de ces op�erateurs. Pour certains syst�emes soumis �a des forces suiveuses pourlesquels il y a non-existence de tels op�erateurs, on propose une m�ethode pour approcher les�el�ements propres (fr�equence et charge critiques), et on proc�ede �a une comparaison avec lessolutions exactes lorsqu'elles existent.
PACS Nos. : 02.00 et 03.00
Abstract: For nonconservative systems, which we call systems with follower loads, a studyis proposed concerning the differential operators which lead to a self-adjoint problem for ageneralization of the Rayleigh quotient. In the case of punctual loads, we give the generalexpression for the identiþcation of these operators. For some systems under follower loads,a new method is developed for the identiþcation of the eigenvalues (critical load and criticalfrequency) when these operators do not exist. A numerical comparison is presented when theexact solutions do exist.
1. Introduction
Les chargements de type suiveur se rencontrent tr�es fr�equemment d�es qu'on aborde une structure
�evoluant dans un milieu uide (glissement de l'eau sur la coque de bateau, �ecoulement de l'air au
contact du fuselage d'un avion). Par cons�equent, pour des structures soumises �a des forces suiveuses
les probl�emes de vibration et de stabilit�e sont d'une grande importance.
Il existe une bibliographie assez abondante concernant la stabilit�e et les vibrations de poutres sous
chargement suiveur. Beck [1], Dieneko et Leonov [2] calcul�erent la charge critique de ottement des
poutres. Simkins et Anderson [3] ont �etudi�e le cas d'une poutre de Beck support�ee �elastiquement,
tandis que Pedersen [4] s'est int�eress�e �a l'�etude analytique de la stabilit�e d'une poutre comprim�ee
sous chargement non-conservatif. Hauger [5] a �etudi�e le cas d'une poutre soumise �a une distribu-
tion uniforme (ou lin�eaire) de type suiveur. Bolotin [6] s'est pench�e sur l'instabilit�e des probl�emes
�elastiques non-conservatifs. Kounadis et Katsikadelis [7] ont �etudi�e la stabilit�e d'une poutre de Timo-
shenko avec des masses adjointes, soumise �a des forces suiveuses. R�ecemment, De Rosa et Franciosi
[8] ont �etudi�e l'in uence d'un support interm�ediaire sur la stabilit�e d'une poutre cantilever sous
forces suiveuses.
Toutes ces analyses sont bas�ees sur des approches classiques telles que la m�ethode �elastique
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404 Can. J. Phys. Vol. 76, 1998
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Z 1
0
D[ ~Y (X)] ~Y (X) dX X � xÛlÙ x 2 [0Ù l] (1a)
ne conduit pas �a une fonctionnelle bilin�eaire sym�etrique (D �etant l'op�erateur diff�erentiel associ�e �a
l'�equation diff�erentielle du syst�eme), en ce sens que
Z 1
0
D[ ~Y1(X)] ~Y2(X) dX 6�Z 1
0
D[ ~Y2(X)] ~Y1(X) dX (1b)
Pour certains syst�emes non-conservatifs, il existe des op�erateurs sym�etrisants ([17], [20]) en ce
sens que pour deux fonctions quelconques Y1 et Y2 d'essai admissibles on ait l'�egalit�e :
hD[Y1(X)]Ù T[Y2(X)]i � hD[Y2(X)]Ù T[Y1(X)]i
�A partir de cet op�erateur, Leipholz ([17]) propose un rapport de Rayleigh g�en�eralis�e qui poss�ede les
propri�et�es de stationnarit�e des valeurs propres approch�ees.
d'Euler{Bernoulli, et plus g�en�eralement sur les m�ethodes �energ�etiques, ou des m�ethodes bas�ees sur
l'emploi de diff�erences ou �el�ements þnis, lorsque les structures deviennent complexes.
Lorsqu'il s'agit de poutre �a section non-uniforme (meme sous forces suiveuses) l'approche utilisant
les matrices de transfert est plutot celle qui est fr�equemment utilis�ee (Takahashi [9]).
Parmi toutes ces m�ethodes, l'une des plus simples et qui permet d'avoir une analyse rapide de la
stationnarit�e et de la stabilit�e des valeurs propres approch�ees est sans doute la m�ethode conduisant
au quotient de Rayleigh (Strutt [10]). La m�ethode classique de Rayleigh permet pour un syst�eme
conservatif, sous chargement avec ou sans vibrations libres d�ecrivant un mouvement simple har-
monique pour lequel ni valeurs critiques ni d�eform�ee exactes ne sont connues, pour une d�eform�ee
donn�ee, de calculer les charges et fr�equences critiques associ�ees. �A moins que cette d�eform�ee ne soit
tr�es �eloign�ee de la d�eform�ee r�eelle, les valeurs obtenues doivent approcher les valeurs naturelles du
syst�eme. Bien qu'elle soit d'un grand int�eret th�eorique et facilement exploitable pour les applications
pratiques, deux principaux inconv�enients nuisent �a cette m�ethode, �a savoir qu'on ne peut avoir ni
d�eform�ees ni valeurs propres exactes du mode �etudi�e (les valeurs propres approch�ees constituants
des majorants pour les valeurs exactes (Gould [11], Weinstein [12])), et cette m�ethode ne permet pas
d'avoir des valeurs propres approch�ees pour certains syst�emes non-conservatifs.
Pour les syst�emes conservatifs, certaines m�ethodes pouvant, par convergence, conduire vers la
forme exacte des d�eform�ees (Anuta [13]) ou certaines techniques it�eratives conduisant vers une
meilleure approche des valeurs critiques exactes lorsque les syst�emes sont assez complexes furent
d�evelopp�ees (Ladeveze [14], Bodur [15], Beattie [16]). Ces m�ethodes ont pour but de donner plus
d'information sur la qualit�e num�erique des valeurs propres et des modes calcul�es par rapport �a
des m�ethodes du type Rayleigh{Ritz telles que, par exemple, la m�ethode des �el�ements þnis en
d�eplacements.
Si donc la consid�eration de syst�emes conservatifs sous charge axiale unique a une solution an-
alytique praticable au sens de l'ing�enieur, il n'en est pas de meme pour une certaine classe de
probl�emes non-conservatifs, en ce sens que ces syst�emes ne sont pas dissipatifs , mais peuvent
�echanger de l'�energie m�ecanique avec l'ext�erieur. Parmi ces syst�emes non-conservatifs on retrouve
assez fr�equemment les syst�emes �a forces suiveuses, soumis �a des mouvements p�eriodiques.
Ces syst�emes caract�eris�es par un op�erateur diff�erentiel non-hermitien, eu �egard aux conditions
aux limites, ne b�en�eþcient pas de la qualit�e de stationnarit�e des valeurs propres approch�ees par un
quotient de Rayleigh au sens classique (Leipholz [17{19]).
En effet d'une part les charges ne d�erivent pas d'un potentiel ou, ce qui revient au meme, le
produit scalaire classique hD[ ~Y (X)]Ù ~Y (X)i d�eþni par :
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Bien que les bibliographies concernant l'�etude des structures sous chargement suiveur soient abon-
dantes, tr�es rares sont celles qui s'int�eressent �a la recherche de l'op�erateur sym�etrisant ([17], [20{
23]). Si on conna�t pour certains exemples sous forces suiveuses ponctuelles l'op�erateur sym�etrisant,
on ne dispose pas de l'expression g�en�eralis�ee d'un tel op�erateur. De plus pour certains syst�emes
sous chargement suiveur uniform�ement r�eparti, il n'existe pas d'op�erateur sym�etrisant. Dans ce qui
suit, outre les propri�et�es de stationnarit�e et la propri�et�e extr�emale des valeurs critiques qui furent
d�emontr�ees pr�ec�edemment (voir [17]), on �etudie la stabilit�e du quotient de Rayleigh, on discute sur
le choix et l'unicit�e de l'op�erateur sym�etrisant. Dans le cas o�u l'op�erateur sym�etrisant existe, on
donne une m�ethode de construction d'un tel op�erateur. Dans le cas de son non-existence, on donne
une m�ethode pour approcher les fr�equences et charges propres.
2. Operateur symetrisant et rapport de Rayleigh generalise
Consid�erons les deux syst�emes suivants :
qui repr�esentent respectivement une poutre encastr�ee articul�ee soumise �a une charge axiale p de
direction constante, et une poutre biarticul�ee sous charges suiveuses r�eparties uniformes de taux g .
Lorsqu'on n�eglige l'inertie de rotation et l'in uence des efforts tranchants sur les d�eplacements,
les �equations respectives de ces deux syst�emes en variables adimensionnelles s'�ecrivent :�Y 00 00(X) + PY 00(X) � λY (X) � 0
Y (0) � Y 0(0) � Y (1) � Y 00(1) � 0
�Y 00 00(X) + G(1 � X)Y 00(X) � λY (X) � 0
Y (0) � Y (1) � Y 00(0) � Y 00(1) � 0(2)
Consid�erons deux op�erateurs diff�erentiels lin�eaires T1 et T2 tels que T1[Y (X)] � Y (X) et T2[Y (X)] �Y 00(X), et deux fonctions Y1 et Y2 v�eriþant les conditions aux limites et sufþsamment diff�erentiables
(ces fonctions seront dites admissibles et appartiendront �a ~E l'ensemble des fonctions au moins quatre
fois continument diff�erentiables et v�eriþant les conditions aux limites) et effectuons les produits
scalaires suivants :
A �Z 1
0
[Y100 00(X) + PY 00
1 (X) � λY1(X)]T1[Y2(X)] dX
pour le syst�eme (a) et
B �Z 1
0
[Y100 00(X) + G(1 � X)Y 00
1 (X) � λY1(X)]T2[Y2(X)] dX
pour le syst�eme (b).
Apr�es int�egration par parties, et en utilisant les conditions aux limites, on aboutit �a :
A �Z 1
0
[Y 00
1 (X)Y 00
2 (X) � PY 0
1(X)Y 0
2(X) � λY1(X)Y2(X)] dX
et
B �Z 1
0
[�Y100 00(X)Y2
00 00(X) + G(1 � X)Y 00
1 (X)Y 00
2 (X) + λY 0
1(X)Y 0
2(X)] dX
On remarque qu'on obtient deux int�egrales sym�etriques en Y1 et Y2. Le probl�eme (a) est dit auto-
adjoint. Le probl�eme (b) est auto-adjoint par rapport �a Y00(X).
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Le syst�eme (a) est conservatif (ni dissipation interne, ni �echange avec l'ext�erieur). Le quotient de
Rayleigh s'obtient en �ecrivant que l'int�egrale A est nulle pour Y1 � Y2 � ~Y ( ~Y �etant une fonction
d'essai admissible), ce qui revient aussi �a �egaler l'�energie de d�eformation et l'�energie cin�etique
R[ ~Y (X)] �R 1
0 [ ~Y 002(X) � P ~Y 02(X)] dXR 10
~Y 2(X) dX(3)
Ce rapport de Rayleigh R, grace �a l'introduction d'une fonction d'essai approximant le mode vibra-
toire Y1, conduit �a une valeur approch�ee de la valeur propre fondamentale λ1.
L'existence de produit scalaire sym�etrique permet de g�en�eraliser le quotient de Rayleigh et de
pr�eciser les qualit�es de cette approximation. Dans le cas g�en�eral, l'�etat de vibration d'une poutre est
repr�esent�e par le probl�eme aux limites :
�λS0[Y (X)] + FS1[Y (X)] + S2[Y (X)] � 0jUi[Y (X)]ja � 0Ù i � 1Ù4 a � 0 ou 1
(4a)
o�u S0, S1 et S2 sont des op�erateurs lin�eaires diff�erentiels qui r�egissent l'�equation du syst�eme, Ui �etant
les op�erateurs diff�erentiels qui r�egissent les conditions aux limites, et F le chargement. Remarquons
que le syst�eme (4a) conduit �a �ecrire que :
FS1[Y (X)] + S2[Y (X)] � λS0[Y (X)] ou encore S4[Y (X)] � λS0[Y (X)] (4b)
On remarque qu'il s'agit d'un probl�eme aux valeurs propres.
L'�equation de vibration du syst�eme (4a) peut de faon simple s'�ecrire :
D[Y (X)] � 0Ù jUi[Y (X)]ja � 0Ù i � 1Ù4 a � 0 ou 1 (5)
Soient V (X) et W (X) deux fonctions appartenant �a ~E, et T un op�erateur lin�eaire diff�erentiel tel que :
Z 1
0
D[V (X)]T[W (X)] dX �Z 1
0
D[W (X)]T[V (X)] dX (6)
L'�equation diff�erentielle (5) est dite auto-adjointe par rapport �a T et aux conditions aux limites (T
est dit op�erateur sym�etrisant).
L'existence de tel op�erateur et sa nature d�ependent non seulement de la nature des op�erateurs
Si(i � 0Ù2) mais aussi des conditions aux limites. On d�eþnit le rapport de Rayleigh g�en�eralis�e par
([17]) :
λR �R 1
0 fFS1[ ~Y (X)] + S2[ ~Y (X)]gT[ ~Y (X)]dXR 10 fS0[ ~Y (X)]gT[ ~Y (X)]dX
(7)
Les valeurs de λR seront r�eelles si on suppose que les deux int�egrales :
ZfFS1[ ~Y (X)] + S2[ ~Y (X)]gT[ ~Y (X)]dX
ZfS0[ ~Y (X)]gT[ ~Y (X)]dX
sont toutes deux d�eþnies-positives. Dans le cas g�en�eral, λRi est une valeur approch�ee de λi solution
de (4a) si ~Yi est voisin de Yi (pour un mode i donn�e). Ce rapport conduit �a des propri�et�es de
stationnarit�e et de stabilit�e des valeurs propres approch�ees.
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4. Stabilite des valeurs propres approchees
Un syst�eme caract�eris�e par des �equations lin�eaires est asymptotiquement stable si la partie r�eelle de
toutes ses pulsations est n�egative (Bigret [24]). L'�equation (4a) correspond �a un probl�eme �a deux
valeurs propres F et λ. Si F � 0, les valeurs de la pulsation donn�ee par :
ω � �r
λEI
µl4(15)
sont dans le demi-plan complexe n�egatif. Toutes les amplitudes des oscillations sont d�ecroissantes
dans le temps. Par analogie �a la th�eorie classique de la stabilit�e, on parlera dans ce cas de stabilit�e
3. Condition suffisante de stationnarite des valeurs propresapprochees
Pour un mode i donn�e, soient ( YiÙλiÙFi), la solution du syst�eme (4a) et T l'op�erateur sym�etrisant
relatif �a ce syst�eme. Posons ~Yi � Yi + εu o�u ε est un r�eel et u(X) une fonction admissible. ~Y sera
donc elle aussi une fonction admissible. Posons
J (ε) �Z 1
0
f�λiS0[ ~Yi(X)] + FiS1[ ~Yi(X)] + S2[ ~Yi(X)]gT[ ~Yi(X)]dX (8)
J (ε) �Z 1
0
f�λiS0[ ~Yi + εu] + FiS1[ ~Yi + εu] + S2[ ~Yi + εu]gT[ ~Yi + εu]dX (9)
Ce qui donne : (en utilisant les propri�et�es de T)
J (ε) �Z 1
0
f�λiS0[Yi] + FiS1[Yi] + S2[Yi]gT[Yi]dX +Z 1
0
2εf�λiS0[Yi] + FiS1[Yi]
+ S2[Yi]gT[u]dX +Z 1
0ε2f�λiS0[u] + FiS1[u] + S2[u]gT[u]dX (10)
Comme ( YiÙλiÙFi) est solution du syst�eme (4a), on aboutit donc �a :
J (ε) �Z 1
0ε2f�λiS0[u] + FiS1[u] + S2[u]gT[u]dX (11)
D'o�u
d[J(ε)]
dε � 2εZ 1
0
f�λiS0[u] + FiS1[u] + S2[u]gT[u]dX (12)
C'est-�a-dire�����d[J(ε)]
dε
�����ε�0
� 0 (13)
Il a donc stationnarit�e pour ~Yi � Yi . D'un point de vue pratique, lorsqu'on sait que le probl�eme
est auto-adjoint par rapport �a l'op�erateur T , les valeurs propres sont approch�ees en annulant la
fonctionnelle :
F (λÙFÙ ~Y ÙTÙ ) �Z 1
0
f�λS0[ ~Y (X)] + FS1[ ~Y (X)] + S2[ ~Y (X)]gT[ ~Y (X)]dX (14)
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Fig. 1. Comportement des valeurs propres dans le plan complexe.
asymptotique. Un syst�eme charg�e par des forces conservatives correspond �a un probl�eme aux limites
auto-adjoint (�a op�erateurs hermitiens) et entra�ne l'obtention d'une fonctionnelle potentielle d'o�u
d�erivent les forces ext�erieures. Puisque les valeurs propres d'un probl�eme auto-adjoint sont toujours
r�eelles, il est clair qu'un cas d'instabilit�e pour un syst�eme de ce genre se produira lors du passage
par z�ero de l'une de ces valeurs propres. On parlera donc d'une perte de stabilit�e par divergence
(mouvement ap�eriodique qui tend �a �eloigner le syst�eme de sa position d'�equilibre) (þg. 1a).
Quand le param�etre F varie de fa¾con continue, ω varie aussi continuellement. Pour certaines valeurs
de F, ω prend des valeurs imaginaires. Quand F cro�t, les parties r�eelles de deviennent positives
et appara�t donc une instabilit�e (þg. 1b). La valeur critique de F est d�etermin�ee par l'apparition
des ces fr�equences limites ayant une partie r�eelle positive. C'est le cas pour les syst�emes non-
conservatifs non-amortis, o�u le probl�eme aux limites est non auto-adjoint. Dans ce cas, les valeurs
propres r�eelles de d�epart peuvent �evoluer en se rapprochant l'une vers l'autre jusqu'�a se confondre
puis devenir complexes. Ce ph�enom�ene correspond �a une instabilit�e de nature diff�erente de celle
du cas conservatif. Parmi ces deux pulsations complexes, l'une poss�ede une partie r�eelle positive,
ce qui conduit �a des oscillations d'amplitude croissante. On parle alors de ottement. En fait, la
progression vers l'instabilit�e de ces syst�emes est identiþ�ee comme �etant de type pathologigue .
On peut retrouver ces deux types de perte de stabilit�e en �etudiant le rapport de Rayleigh.
En effet reprenons le syst�eme (4a) auto-adjoint par rapport �a un op�erateur T. Comme pr�ec�edemment,
posons ~Y � Y +εu (Y solution du probl�eme associ�ee �a F et λ) et soient F et λ les param�etres associ�es
�a cette fonction. Posons :
~F � F + ρÙ ~λ � λ + β (16)
Soit H la fonctionnelle d�eþnie par :
H( ~Y (X)) �Z 1
0
f�~λS0[ ~Yi(X)] + ~FS1[ ~Yi(X)] + S2[ ~Yi(X)]gT[ ~Yi(X)]dX (17)
(H ne d�ependant que de ~Y pour ~F et ~λ donn�ees). Apr�es d�eveloppement, on obtient (en utilisant le
fait que (λÙFÙY ) est solution, et les propri�et�es de T) :
H( ~Y ) �Z 1
0
ε2f�(λ + β)S0[u] + (ρ + F)S1[u] + S2[u]gT[u]dX
+ εZ 1
0
f�βS0[Y ]T[u] � βS0[u]T[Y ] + ρS1[Y ]T[u] + ρS1[u]T[Y ]gdX
+Z 1
0
f�βS0[Y ]T[Y ] + ρS1[u]T[Y ]gdX (18)
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Fig. 2. Courbe des fr�equences et charges critiques pour une poutre encastr�ee-libre sous chargement uni-
form�ement r�eparti suiveur.
5. Propriete extremale de la valeur propre fondamentale
Montrons que la valeur propre fondamentale r�ealise le minimum des rapports de Rayleigh g�en�eralis�es
sur l'espace ~E, c'est-�a-dire que si ( Yi) est une famille de modes propres associ�es aux valeurs propres
(λi) solutions du probl�eme aux valeurs propres �λS0[Y ] + FS1[Y ] + S2[Y ] � 0, alors quelque soit la
fonction admissible ~Y , le rapport de Rayleigh :
λR �
R 10 fFS1[ ~Y (X)] + S2[ ~Y (X)]gT[ ~Y (X)] dX
R 10
S0[ ~Y (X)]T[ ~Y (X)] dX(22)
Ce qui peut encore s'�ecrire :
H( ~Y ) � ε2A + εB +Z 1
0
f�βS0[Y ]T[Y ] + ρS1[Y ]T[Y ]gdX (19)
Quand ~Y tend vers Y (ε avoisinant 0) H ( ~Y ) tend vers H ( Y ). En posant ρ � δF et β � δλ on
aboutit �a
lim(ε ! 0)δF
δλ �
R 10 S0[Y (X)]T[Y (X)] dXR 10 S1[Y (X)]T[Y (X)] dX
(20)
Le rapport δFδλ n'est rien d'autre que la pente de la courbe de fr�equence ( FÙλ). Le point de perte de
stabilit�e ( ottement) se caract�erise par l'�egalit�e :
δF
δλ � 0Ù pour Y solution de (4a) (21)
Pour la tige encastr�ee-libre soumise �a une force uniform�ement r�epartie suiveuse, (21) traduit bien
cette perte de stabilit�e par ottement (þg. 2).
v�eriþe la propri�et�e du minimum suivante :
8 ~Y 2 ~EÙ λ1 � min ~Y2 ~EλR � λR (23)
o�u λ1 est la plus petite des valeurs propres associ�ee au mode propre Y1. En effet, consid�erons le
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Sachant que V1 et W1 sont deux formes bilin�eaires sym�etriques, la diff�erence entre (28) et (30)
conduit �a :
(λi � λj)W1( YiÙYj) � 0 si λi 6� λj (31)
Si Yi et Yj sont associ�es aux valeurs propres λi , λj alors :
W1( YiÙYj) � 0 si i 6� j (32)
Ce qui entra�ne
V1( YiÙYj) � 0 si i 6� j (33)
probl�eme aux valeurs propres associ�e aux conditions aux limites et dont Y est solution : �S0[Y ] +
FS1[Y ] + S2[Y ] � 0. Soient
V1(uÙY ) �Z 1
2
fS2[u]T[Y ] + S2[Y ]T[u] + F(S1[u]T[Y ] + S1[Y ]T[u])gdX
W1(uÙY ) �Z 1
2
fS0[u]T[Y ] + S0[Y ]T[u]gdX
(24)
V1 et W1 sont deux formes bilin�eaires sym�etriques. On a :
V1(uÙY ) � λW1(uÙY ) �Z 1
0
f(S2[u] + FS1[u] � λS0[u])T[Y ]gdX
+Z 1
0
f(S2[Y ] + FS1[Y ] � λS0[Y ])T[u]gdX
�) V1(uÙY ) � λW1(uÙY )
� 2Z 1
0
f(S2[Y ] + FS1[Y ] � λS0[Y ])T[u]g � 0 (25)
Donc
8u 2 ~E on a V1(uÙY ) � λW1(uÙY ) � 0 (26)
Choisissons Y � Yi (Yi mode propre associ�e �a λi) (le chargement F �etant þx�e) on aura :
8u 2 ~EÙ V1(uÙYi) � λiW1(uÙYi) � 0 (27)
Choisissons u � Yj (Yj mode propre associ�e �a λj) on aura :
V1( YjÙYi) � λiW1( YjÙYi) � 0 (28)
�A partir de (26), choisissons Y � Yj , on aura :
8u 2 ~E on a V1(uÙYj) � λW1(uÙYj) � 0 (29)
Dans (29), prenons u � Yi , on aura :
V1( YiÙYj) � λjW1( YiÙYj) � 0 (30)
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Fig. 3. Orthogonalit�e de D[Y (X)] par rapport au plan ( P).
Dans le rapport de Rayleigh (�equation (22)), ~Y la fonction d'essai admissible peut s'�ecrire sous la
forme d'une s�erie inþnie de modes propres
~Y (X) �X
i
aiYi(X) (34)
Cette d�ecomposition est admise, car il s'agit d'un probl�eme aux valeurs propres (voir (4b)). Le
rapport de Rayleigh s'�ecrira :
λR �
R 10 fFS1[
Pi aiYi] + S2[
Pi aiYi]gT[
Pi aiYi] dX
P10 S0[P
i aiYi]T[P
i aiYi] dX(35)
Ce qui s'�ecrit aussi :
λR �
Pi
Pj aiaj
R 10 fFS1[Yi] + S2[Yi]gT[Yj] dX
Pi
Pj aiaj
R 10 S0[Yi]T[Yj] dX
(36)
En utilisant (32) et (33) on aboutit �a :
λR �
Pi a2
i
R 10 fFS1[Yi] + S2[Yi]gT[Yj] dXP
i a2i
R 10 S0[Yi]T[Yj] dX
(37)
Or,
FS1[Yi] + S2[Yi] � λiS0[Yi] (38)
L'�equation (37) devient alors :
λR �
Pi a2
i λiR 1
0 S0[Yi]T[Yi] dXP
i a2i
R 10 S0[Yi]T[Yi] dX
(39)
Notons Y1 le mode associ�e �a la plus petite des valeurs propres λ1. On a :
λR � λ1 +
Pi a2
i (λi � λ1)R 1
0 S0[Yi]T[Yi] dXP
i a2i
R 10 S0[Yi]T[Yi] dX
(40)
L'op�erateur sym�etrisant T est choisi de telle sorte que S0[ ~Y ]T[ ~Y ] dX soit d�eþnie positive pour toute
fonction appartenant �a ~E. On en conclut (puisque λi � λ1) que λR � λ1.
6. Choix de l’operateur symetrisant
Lorsqu'il existe, l'op�erateur T n'est pas toujours unique. Consid�erons les deux syst�emes (c) et (d)
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412 Can. J. Phys. Vol. 76, 1998
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ci-dessous qui repr�esentent respectivement une poutre encastr�ee-articul�ee excit�ee et non charg�ee, et
une poutre articul�ee sous l'effet du seul chargement p suiveur :
�Y 00 00(X) � λY (X) � 0
Y (0) � Y 0(0) � Y (1) � Y 00(1) � 0
�Y 00 00(X) + PY 00(X) � 0
Y (0) � Y 00(0) � Y 00(1) � Y 000(1) � 0(41)
On donne deux op�erateurs sym�etrisants pour chacun des deux syst�emes:
| pour le cas (c) : T[Y (X)] � Y (X) et T[Y (X)] � Y 00 00(X)
| pour le cas (d) : T[Y (X)] � Y 00 00(X) et T[Y (X)] � Y 00(X).
Le choix de l'op�erateur T est dict�e par la propri�et�e extr�emale de la valeur propre fondamentale
(in�egalit�e (23)); pour une fonction d'essai donn�ee, on choisira l'op�erateur T sym�etrisant qui conduira
vers la plus petite des valeurs propres obtenues (toutes sup�erieures �a la valeur propre exacte), car
celle-ci s'approche le plus de la valeur minimale exacte.
7. Determination de l’operateur symetrisant
La d�etermination de l'op�erateur sym�etrisant n'est pas simple. Si dans certains cas (conservatifs) on
peut le d�eterminer, dans d'autres cas son non-existence impose la recherche d'une autre m�ethode
pour approcher les valeurs propres.
7.1. Cas de systmes conservatifsReprenons le cas conservatif (a) de la barre encastr�ee-articul�ee sous l'action de la charge p guid�ee.
Pour simpliþer, analysons ce cas en statique. L'�equation diff�erentielle associ�ee �a un tel syst�eme est
(voir (2)):�Y 00 00(X) + PY 00(X) � 0
Y (0) � Y 0(0) � Y (1) � Y 00(1) � 0(42)
La solution exacte s'�ecrit :
Y (X) � sin(p
PX) �p
P cos(p
PX) � (p
PX) +p
P avec P veriþantp
P � tan(p
P) (43)
L'�energie potentielle Ep d'un tel syst�eme s'�ecrira :
Ep �Z 1
0
(1Û2)f( Y 00(X))2 � P( Y 0(X))2gdX (44)
dont la variation est
δEp �Z 1
0
fY 00(X)(δY (X))00 � P( Y 0(X)(δY (X))0)gdX
Ce qui, par int�egration, conduit �a :
δEp �Z 1
0
fY 00 00 + PY 00g(δY ) dX + [Y 00(δY )0]10 � [fY 000 + PY 0g(δY )]1
0 (45)
Si Y et P sont des solutions du probl�eme pr�ec�edemment cit�e, le terme sous l'int�egrale est nul. D'autre
part, δY est une variation de Y satisfaisant les conditions aux limites. Donc þnalement on aboutit
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Tableau 1. Exemples de syst�emes sous forces suiveuses.
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�a δEp � 0, c'est-�a-dire que le couple solution ( Y ÙP) rend stationnaire l'�energie potentielle. Pour
l'�equation (42) l'op�erateur sym�etrisant est l'op�erateur identit�e. Le produit scalaire :
Z 1
0
fY 00 00 + PY 00gY dX est �egal �aZ 1
0
fY 002 �PY 02gdX (46)
qui n'est rien d'autre que le double de l'�energie potentielle.
Pour les syst�emes conservatifs, l'op�erateur sym�etrisant est l'op�erateur identit�e qui conduit au
rapport de Rayleigh classique.
7.2.1. Cas de forces ponctuelles
Le tableau 1 donne des exemples de syst�emes �a force suiveuse. Les 1e, 2e, 4e, 6e, 7e, 8e et 10e
cas sont des syst�emes non-conservatifs. Parmi ces cas int�eressons nous �a ceux soumis �a une force
ponctuelle P. Ces syst�emes ob�eissent �a l'�equation diff�erentielle Y 00 00(X) + PY 00(X)� λY (X) � 0.
L'op�erateur sym�etrisant T diff�erentiel est lin�eaire par rapport �a Y , (Y suppos�ee etre d�erivable
jusqu'�a l'ordre 4). La lin�earit�e de T d�ecoule de la lin�earit�e de l'op�erateur D qui r�egit l'�equation
diff�erentielle et des propri�et�es du produit scalaire Ú, Ü. En effet, si on prend trois fonctions admis-
sibles et deux r�eels a, b, on �ecrit :
Or les seuls op�erateurs lin�eaires diff�erentiels par rapport Y sont de la forme :
T[Y (X)] �4X
i�0
Cidi( Y (X))
dXi(47)
ou
T[Y (X)] �4X
i�0
Cidi( Y (1 � X))
dXi
Les diff�erentes conditions aux limites classiques que l'on peut rencontrer pour une poutre sont soit
(encastr�ee-libre), (encastr�ee-articul�ee), (articul�ee-articul�ee), (articul�ee-libre) ou (encastr�ee-encastr�ee)
sous force ponctuelle ou r�epartie (voir tableau 1). Les syst�emes non-conservatifs sous charge
ponctuelle correspondent aux cas 1 et 7. Pour tous ces cas, l'op�erateur T est d�etermin�e (en util-
isant l'approche polynomiale (47)) et r�ealise la sym�etrie par rapport �a chaque terme des int�egrales
d�eþnies pour deux fonctions d'essai Y1 et Y2, p. ex. :
Z 1
0
fY 00 00
1T[Y2]gdX �Z 1
0
fY 00 00
2T[Y1]gdX
Z 1
0
fY 00
1 T[Y2]gdX �Z 1
0
fY 00
2 T[Y1]gdX (48)
Z 1
0
fY1T[Y2]gdX �Z 1
0
fY2T[Y1]gdX
7.2. Cas de systèmes non-conservatifs
hD[ ~Y1]ÙT[a ~Y2 + b ~Y3]i � hD[a ~Y2 + b ~Y3]ÙT[ ~Y1]i� haD[ ~Y2] + bD[ ~Y3]ÙT[ ~Y1]i� haD[ ~Y2]T[ ~Y1]i + hbD[ ~Y3]ÙT[ ~Y1]i� hD[ ~Y1]ÙaT[ ~Y2]i + hD[ ~Y1]ÙbT[ ~Y3]i� hD[ ~Y1]ÙaT[ ~Y2] + bT[ ~Y3]i
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Fig. 4. Minimisation du r�esidu.
7.2.2. Cas de forces r�eparties
Dans ce cas, D[ ~Y (X)] s'�ecrira :
D[ ~Y (X)] � ~Y 00 00(X) + G(1 � X)Y 00(X) � λ ~Y (X) (49)
Si pour certains cas (6e cas) on peut trouver un op�erateur sym�etrisant, pour d'autres cas (2e, 4e, 8e
et 10e cas du tableau 1), on ne peut trouver un tel op�erateur, dont l'existence d�epend des conditions
aux limites; la forme polynomiale de T ((47)) ne permet pas de d�eterminer T r�epondant aux �egalit�es
(49) suivantes (c'est le cas pour les exemples 2, 4, 8, 10) :
Z 1
0
fY100 00T[Y2]gdX �
Z 1
0
fY200 00T[Y1]gdX (49a)
Z 1
0
f(1 � X)Y 00
1 T[Y2]gdX �Z 1
0
f(1 � X)Y 00
2 T[Y1]gdX (49b)
Z 1
0
fY1T[Y2]gdX �Z 1
0
fY2T[Y1]gdX (49c)
Dans ce cas pour approcher les valeurs propres, on propose une m�ethode utilisant le R�esidu de
l'�equation diff�erentielle r�egissant le syst�eme �etudi�e.�Etant donn�ee l'�equation de vibration d'un syst�eme suivante :
D[Y (X)] � 0Ù 0 Ú X Ú 1
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Fig. 5. Valeurs exactes des couples (GÙ λ).
jUi[Y (X)]ja � 0Ù i � 1Ù4Ù a � 0 ou 1
on appellera R�esidu de l'�equation diff�erentielle le scalaire :
Q �Z 1
0
(D[Y (X)])2 dX (50)
Il est �evident que pour la solution Y (X) de l'�equation diff�erentielle, le r�esidu est nul partout. Si une
fonction approch�ee ~Y tend vers la solution Y (X), le r�esidu tendra vers z�ero. Dans ce qui suit, on
�etudiera la liaison entre le r�esidu Q (valeur quadratique moyenne) et le calcul des valeurs approch�ees.
Pour une solution approch�ee not�ee ~Y (X) on a :
D[ ~Y (X)] 6� 0Ù 0 Ú X Ú 1 (51)
jUi[ ~Y (X)]ja � 0Ù i � 1Ù4Ù a � 0 ou 1
Posons :
~Y (X) � α ~Y1(X) + (1 � α) ~Y2(X)Ù α 2 [0Ù1] (52)
o�u ~Y1 et ~Y2 appartiennent �a ~E. Lorsque α varie de 0 �a 1, ~Y (X) parcourt l'intervalle [ ~Y1(X)Ù ~Y2(X)].
Dans ce cas, le r�esidu est non-nul et s'�ecrit :
Q �Z 1
0
(D[ ~Y (X)])2 dX (53)
Ce r�esidu d�epend de G, de λ et de ~Y (X). Si pour la solution exacte ce r�esidu est nul, il s'agit de
minimiser ce r�esidu. Autrement dit, il faudrait choisir ~Y (X) (donc de d�eterminer α puisqu'on se
donne ~Y1(X) et ~Y2(X)) telle que :
∂Q
∂G� 0 et
∂Q
∂λ� 0 (54)
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Reprenons le cas de la tige de P �uger sous chargement uniforme r�eparti
jUi[ ~Y (X)]ja � 0 () ~Y (0) � ~Y 00(0) � ~Y (1) � ~Y 00(1) � 0
Ici Q sera �egal �a :
Q �
Z 1
0
(D[ ~Y (X)])2 dX �Z 1
0
( ~Y 00 00(X) + G(1 �X) ~Y 00(X)� λ ~Y (X))2 dX (55)
La minimisation de Q par rapport �a G et λ conduit �a :
∂Q
∂G� 2
Z 1
0
(D[ ~Y (X)])(1 � X) ~Y 00(X) dX (56)
et
∂Q
∂λ� �2
Z 1
0
(D[ ~Y (X)]) ~Y (X) dX
C'est-�a-dire :
∂Q
∂G� 0 ()
Z 1
0
(D[ ~Y (X)])(1 � X) ~Y 00(X) dX � 0 (57)
et
∂Q
∂λ� 0 ()
Z 1
0
(D[ ~Y (X)]) ~Y (X) dX � 0
On remarque que minimiser le r�esidu revient �a faire un produit scalaire par rapport �a (1�X)Y 00(X) et
par rapport �a Y (X). Si nous discr�etisons une fonction en un vecteur �a N composantes, on remarquera
que minimiser le r�esidu revient �a ce que le vecteur D[Y (X)]soit �a la fois orthogonal au vecteur
(1�X)Y 00(X) et �a Y (X) donc au plan (P ) form�e par ces deux vecteurs (þg. 3). Pour l'exemple de la
tige de Pf�uger, prenons les deux fonctions d'essai suivantes :
~Y1(X) � Sin(πX)Ù ~Y2(X) � Sin(2πX)
Les �equations (57) conduiront �a :
G �
R 10 ( ~Y 00 00(X)� λ ~Y (X))(X � 1) ~Y 00(X) dX
R 10 (1� X)2( ~Y 00(X))2 dX
(58)
et
G �
R 10 ( ~Y 00 00(X)� λ ~Y (X)) ~Y (X) dXR 1
0 (X � 1) ~Y 00(X) ~Y (X) dX(59)
On d�eterminera alors les valeurs de α qui satisfassent �a la fois les �equations (58) et (59) . La solution
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Fig. 6. Courbe des fr�equences dans l'espace (QÙ GÙ λ) avec sa projection sur le plan (GÙ λ).
du probl�eme de minimisation (58{59), nous donne une famille de couples λ et G associ�ee �a une
famille de fonctions propres approch�ees.
Dans ce cas la þgure 4 nous donne une courbe ferm�ee, form�ee de quatre parties qui coupent les
axes G � 0 et λ � 0. Or la courbe exacte (voir [17]) ne comporte que deux parties (þg. 5). Les
calculs indiquent que les valeurs de Q les plus faibles sont obtenues pour les branches 1 et 3. Si
nous traons la courbe (QÙGÙλ) en trois dimensions (þg. 6), nous remarquons que les parties de la
courbe de l'espace dont la projection est la plus petite (Q est minimum) correspondent aux parties
ext�erieures (branches 1 et 3), et donc correspondent bien �a celles de la þgure 5. Ici nous approchons
la famille de modes propres exactes seulement par une combinaison lin�eaire des modes 1 et 2. Cette
combinaison sufþt pour donner de tr�es bonnes valeurs lorsqu'on s'int�eresse au premier mode (G1Ùλ1)
[G1 approch�e � 18Ù4 pour le cas statique; λ1 approch�e � 99Ù2 quand G � 0] (þg. 4 et 5). Pour
bien approcher les modes plus �elev�es il faudrait prendre une base de fonctions d'essai de dimension
sup�erieure �a deux.
8. Conclusion
Une �etude sur l'op�erateur sym�etrisant a �et�e pr�esent�ee. Elle s'est focalis�ee sur ses propri�et�es, et plus
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particuli�erement sur sa stabilit�e, sur son non-unicit�e et sur le choix d'un tel op�erateur lorsqu'il n'est
pas unique.
Si l'on savait d�ej�a que pour les syst�emes conservatifs l'op�erateur sym�etrisant est l'op�erateur
Identit�e lequel conduit �a la meme d�emarche que celle d�eduite de l'emploi des m�ethodes
�energ�etiques, il n'en est pas de meme pour les syst�emes non-conservatifs.
En effet, pour les syst�emes non-conservatifs sous charge suiveuse ponctuelle, on donne une
m�ethode de construction de tels op�erateurs.
Dans le cas des syst�emes non-conservatifs sous charge suiveuse uniform�ement r�epartie, dans cer-
tains cas on ne peut prouver l'existence d'un tel op�erateur. Dans ce cas, une m�ethode g�en�erale bas�ee
sur l'�etude du r�esidu permet d'avoir un outil simple pour approcher les vraies valeurs propres.
References
1. M. Beck. Z. Angew. Math. Phys. 3, 225 (1952).2. K.S. Deineko et M. Ia. Prikl. Mat. Mekh. 19, 738 (1955).3. T.E. Simkins et G.L. Anderson. J. Sou. Vib. 39, 359 (1975).4. P. Pedersen. Int. J. Solids Struct. 13, 445 (1977).5. W. Hauger. Ing. Arch. 35, 221 (1966).6. V.V. Bolotin. Moscow. 1961 Traduit en anglais. Nonconservative problems of the theory of elastic stability.
Pergamon Press Inc., New York. 1963.7. M. Kounadis et J.T. Katsikadelis. J. Sou. Vib. 62, 131 (1979).8. M.A. De Rosa et C. Franciosi. J. Sou. Vib. 137, 107 (1990).9. I. Takahashi et T. Yoshioka. J. Sou. Vib. 171(2), 255 (1994).
10. J. Strutt. (Lord Rayleigh). The theory of sound. 2i�eme �edition. Vol. I. Arts. 88, 99. Dover, New York. 1945.11. S.H. Gould. Variational methods for eigenvalue problems. Mathematical exposition No. 10. 2i�eme �edition.
University of Toronto Press. 1966. pp. 30{40.12. A. Weinstein et W. Stenger. Theory and ramiþcation. Academic Press, New York. 1972.13. A.E. Anuta Jr. Comput. Struct. 8(6), 955 (1984).14. P. Ladeveze et J.P. Pelle. J. Mec. Theor. Appl. 3(5), 689 (1984).15. I.N. Bodur et R.D. Marangoni. Int. J. Solids Struct. 19(12), 1099 (1983).16. C. Beattie et D.W. Fox. Siam J. Matrix Anal. Appl. 10(1), 80 (1989).17. H. Leipholz. Mech. Res. Commun. 1(2), 67 (1974).18. H. Leipholz. Mech. Res. Commun. 5(2), 45 (1978).19. H. Leipholz. Direct variational methods and eigenvalue problems in engineering. Noordhoff International
Publishing. 1975. pp. 30{40.20. M. Bredehft et W. Hauger. Mech. Res. Commun. 6(2), 105 (1979).21. H. Leipholz. Mech. Res. Commun. 1, 245 (1974).22. H. Leipholz. Ing. Arch. 43, 255 (1974).23. H. Leipholz. Mech. Res. Commun. 2, 119 (1975).24. R. Bigret. Vibrations des machines tournantes et des structures. Tome 3. Technique et Documentation,
Paris. 1980.25. H. Leipholz et P. Madan. Ing. Arch. 44, 347 (1975).
Identit�e lequel conduit �a la meme d�emarche que celle d�eduite de l'emploi des m�ethodes« »
Notations
E, Module de Young.
I , Moment quadratique.
l, Longueur de la poutre.
x, Abscisse d'un point de la d�eform�ee.
X, (xÛl) Abscisse adimensionnelle.~E, Espace des fonctions admissibles.
µ, Masse lin�eique.
p, Charge de compression longitudinale.
P, ( pl2ÛEI ) Charge norm�ee.
y(x), Fl�eche au point x de la d�eform�ee.
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420 Can. J. Phys. Vol. 76, 1998
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Y (X), Fl�eche adimensionnelle �a l'abscisse X.~Y (X), Fonction d'essai approximant la solution exacte Y (X).
g , Charge r�epartie uniforme longitudinale.
G, (gl3ÛEI ) Charge r�epartie adimensionnelle.
ω, Pulsation temporelle.
λ, (µω2l4ÛEI ) Carr�e adimensionnel de la pulsation.
Y (n)(X), D�eriv�ee ne par rapport �a la variable d'espace.
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