C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, Shrie I, p. 677-680, 1998 iquations diff~rentielles/Differenfial Equations

Sur les polaires de certaines 1-formes

Patrick ROUILLB

Laboratoire de topologia, UMR 5584, univwsit6 de Bourgogne, 9, avenue Alain-Savary, B.P. 400,

21011 Dijon cadex, France

Courriel : rouilleh-bourgognt.fr

(Rqu lr 12 ftvriw 1998, awept& Ir 23 flvrirr 1998)

Ri%um& Nous knon$ons, sous certaines conditions, une propriCtk de co’incidence des branches polaires gCnCriques d’une l-forme holomorphe avec ses sCparatrices et ses polaires exceptionnelles. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris

On the polars of certain one-forms

Abstract. We state a property of the contact between the generic polar curves qf an h&morphic l-form and its sepuratrices or its exceptional polar curves. 0 Acadkmie des Sciences/ Elsevier, Paris

1. Introduction

Nous Ctudions qualitativement le pinceau des courbes polaires d’un germe a l’origine de C” de l-forme differentielle a coefficients holomorphes ; nous appelons polaire d’une l-forme holomorphe :

w = A(:]:, y)dz + B(z, y)dy

toute courbe F[a:b~ d’equation aA(x, y) + bB(z, y) = 0 avec [a : b] un Clement de CP(1). Now considerons le contact des courbes generiques de ce pinceau avec les polaires exceptionnelles et les stparatrices de w.

DEFINITION 1. - Une polaire exceptionnelle est une branche de f’(a:b) de cone tangent [(I, : h].

DEFINITION 2. - Une skparatrice d’une I-forme holomorphe w singuliere en l’origine est un representant d’un germe de courbe irreductible IT .O tel que y*w = 0 pour toute parametrisation y de I’.

Une succession E d’eclatements ponctuels elimine les points d’indetermination du germe de fonction meromorphe a l’origine don& par G : (~,y) # (C):0) H [-B(z,y) : A(z,y)]. Une composante du diviseur exceptionnel transverse aux niveaux de G est dite &critique.

DEFINITION 3. - Une branche y de r[a:~,~ est dite g&ne’rique si sa transformee stricte par E est transverse a une composante dicritique du diviseur exceptionnel ; r(u:+] est dite generique si toutes ses composantes irreductibles sont generiques.

Note prCsent6e par Bernard MALGHANGE.

0764-4442/98/03260677 0 AcadCmie des ScienceslElsevier. Paris 677

P. Rouik

Une polaire peut done Ctre exceptionnelle et gCn&ique, comme c’est le cas de I‘[l:O~ pour w = ydx + &y.

Nos r&hats portent sur tes formes loga~thmiques non-r~sonnantes, c’est-&dire admettant une

intCgrale premiere de la forme j’cl . I jr;“‘, oti les exposants complexes XI,. . . . A, sont sans relations, j coefficients dans N, et les courbes gCnCrali&es : nous appellerons ici courbes g&d-aliskes les I-formes dont la rkduction des singular&s ne fait apparaitre aucun point singulier de type selle-norud et dont le diviseur exceptionnel est un ensemble invariant du feuilletage Cclat6 (voir 121). Soit I?[~,:I,I une polaire gCnCrique et U”=, yictzbj sa d~compositi~)n en branches polaires gCn&iques. Selon F. Michel et C. Weber [5] la coTncidence C(y, 6) de deux courbes y et n paramCtr6es par ~1~ (:I:) et TJ~(:I:) d&signe le plus grand ordre en :I: de 1~~ (x) - :‘I? (.I: ) quand on fait varier Ies determinations de gr (:I:) et ~1~ (;r). Soit (k; la coyncidence de y,‘,,+] avec toute branche polaire $,+,, gCnCrique dont la transformke stricte par I3 est transverse 3 la m$me composante dicritique que la transformke stricte de $:hI.

THBORGME 4 (voir [S]). - Si in est & I~~TP courbe g&ne’ralis& awe une seufr .s~p~~r~~tr~~~ ou de rye logarithmique non-rdsonnante. Alors :

2. Idhe de demonstration

Nous supposons le lecteur familier avec les polygones de Newton de fonctions ; Briot et Bouquet [ 1 ] proposent une construction analogue pour les I-formes. A toute 1-forme :

nous associons son support combinatoire :

et une ligne polygonale B(w), bord de l’enveloppe convexe de A(w) + Iw+ x Rt appelke polygone de Briot-Bouquet de w. Remarquons que pour toute fonction f, B(clf) est le polygone de Newton de j. La correspondance entre Ies exposants de Puiseux d’une courbe et les pentes des c&3 du polygone de Newton de son kquation est bien connue ; la correspondance analogue entre les cbt& de B(w) et les exposants de Puiseux de ses skparatrices est envisagke par Briot et Bouquet.

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Comme le suggkre le cas des fonctions (voir [4]), par exemple w = d( y’ - 2:~“y~ - 4:~“y + :I? - z7), la preuve du thkokme repose sur la comparaison du polygone de Briot-Bouquet d’une 1-forme avec le polygone de Newton de ses courbes polaires (en pointilk sur la figure).

Cet exemple nous invite & suivre la dkmarche suivante : nous prouvons que le c&C de plus grande pente -y/p de B(w) correspond B I’, une skparatrice :y = WC~‘/~ + . . de w :

LEMME 5 (voir [S]). - Soit w une l-f&me de type courbe g&ne’rulis&e et f = 0 une e’quution riduite de ses skparatrices : B(w) et B(df) sent identiques.

Compte tenu des contributions de B au polygone de Newton de aA(.z. 11) +b1?(:r:, ?I), nous Climinons les branches gCnCriques $a :bl de co’incidence 1)/q < (1, avec l?. Pour cela nous montrons la proposition suivante par rkcurrence sur le nombre minimal iz; d’kclatements nkessaires pour dksingulariser w. en traitant le cas IL’ = 1 2 I’aide d’un calcul d’indice.

PROPOSITION 6 (voir IS]). - Soit w = A&r: + Bdy une lTforme de ape logurithmique non rPsonnunte et B(w) son pol?;gone de Brio-Bouquet. Tout ccitP de pente -l/11 de B(w), avec p E N, comporte en un de ses sommets une contribution de 13.

De la notion de c&C principal introduite par J. Cano dans [3] rksulte un &once semblable pour les courbes gkn&ralides n’ayant qu’une seule skparatrice.

Ce processus se rCp&e pour tous les exposants de la sCrie de Puiseux d’une skparatrice I’ en utilisant la mkthode de Newton, ce qui est autorisk d’aprks le lemme suivant :

LEMME 7 (voir [S]). - Si w est de type co&e gPnPrulis&, si le c&e tungent de ses skpuratrices ne contient pas [0, 11 et si F(:E, ?j) = (:I.‘” ( ;q) UVPC rn E N, alors F*u est de type courhe g&Pralise’e.

Remarque. - Dans le cas des courbes gCn&alisCes, la propriktt (*) entraine la propriCt6 (-k*).

3. Motivations

Le thCor&me 4 rkpond B des questions de R. Langevin sur la courbure des feuilles de feuilletages holomorphes en dimension 2, au voisinage d’un point singulier. Au passage, nous amkliorons un thkorkme de M. Merle [7] : pour ce faire, nous introduisons des invariants polaires pour les l-formes f:,(w) et w,(w). et nous dkmontrons :

TH~OR~ME 8 (voir [S]). - Si w est une l~forme de type courbe ge’ntralise’e ne posskdant qu’une seule skparatrice I‘, alors le Qpe topologique de I‘ est dPterminC par les invuriants polaires v~,(w) et m,,(w).

Enfin, nous complktons un rCsu1tat de H. Maugendre (voir [6]) :

TH~OR~ME 9 (voir [9]). - Soient WI et w2 deux 1:jkrne.s de type courbe gt!nne’rulise’e d$inies duns un voisinage de (0.0) duns 43’. Supposons que WI (resp. ~2) ne poss2de qu’une seule skparatrice en (0,O) 71 (resp. y2) et que :

- les c&es tangents de yl et yz sont tmnsverses, - la courhe .I = { (:I:. y) 1 w1 A w2(:r. y) = 0) est Lisse en (0,O).

Alors WI 014 w2 est lisse et le Qpe topologique de 71 Uys en (0, 0) est celui de .r:( y” -:I:“) = 0, oti a < h.

RCftkences bibliographiques

II] Briot C., Bouquet J.C., Recherche sur let fonctions d&inks par des equations diffkrentielles. J. 6cole Polytech. 21 (1886) 134-198.

[2] Camacho C.. Lins Neto A., Sad P., Topological invariants and equidesingularisation for holomorphic vector fields, J. Differ, Geom. 20 (1984) 143-174.

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P. RouilE

[3] Cano J., An extension of the Newton-Puiseux polygon contruction to give solution of pfaffian forms, Ann. Inst. Fourier 43 (1) (1993) 125-142.

[4] Kuo T.C., Lu Y.C., On analytic function germs of two complex variables, Topology 16 (1977) 299-310. [S] Le D.T, Michel F., Weber C.. Sur le comportement des polaires associees aux germes de courbes planes, Compos. Math. 72

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[6] Maugendre H., Topologie de germes de courbes planes a lieu jacobien Ike, C. R. Acad. Sci. Paris t. 320 SCrie I (199.5) 325-328.

[7] Merle M., Invariants polaires des courbes planes, Invent. Math. 41 (1977) 103-J I I.

[8] RouillC P., Courbes polaires et courbure, These. 1996. [9] RouillC P., On the contact between two holomorphic one-forms in dimension two, manuscrit, 1997.

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