Sur les rapports entre les méthodes d’intégration deRiemann et deLebesgue

2 I I

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES Mt~THODES D'INTt~GRATION DE RIEM,~NN ET DE LEBESGUE.

Par M. T. 1. B o k s (Hilversum).

Adunanza dell ' t I aprile 192o.

]~tant donn~e une fonction f(x) d~finie entre a et b, irlt~grabte au sens de LEBES- GU~ (OU sommabte) mais non pas au sens de RIEMANN, est-il possible de tirer parti

des sommes ~-f(~,)(x~- xi_,) consid6r&s par RIEMAN~ pour obtenir la valeur nu-

m~rique de l'int~grale besgienne f(x)dx ?

La r~ponse est affirmative et le probl~me admet une grande vari&~ de solutions ainsi que M. LrBESGUE l'a signal~ le premier ').

Les travaux de M. ZOARD DE GF.OCZZ *) et de M. HAHN a) ont apport~ d'int& ressantes contributions :~ cette question.

Dans une note sur l'int~grale Riemannienne parue aux Comptes Rendus de I'A- cad6mie des Sciences de Paris 4), M. DEN JOY a indiqu~ des proc6dbs tr6s g~n~raux

pour obtenir l'int6grale de LEBESGUE de toute fonction sommable en tirant patti des sommes utilis&s dans l'int6gration riemannienne. La note fournit sans d~monstrations trois m&hodes pour atteindre ce but.

Nous nous proposons dans le prbsent travail, effectub sous la direction de M. DEN joY, de justifier la seconde m&hode et d'en &udier la port&.

Aprbs avoir rappel6 (x), d'apr~s la note des Comptes Rendus cit6e plus haut, l'~nonc~ de ce proc~d~ pseudo-riemannien qne M. DENJOY appelle integration (B), nous

~) H. LEBESGUE, Su*" les int3grales singuli~res [Annales de la Facult6 de Toulouse, s&ie 3, t. I (I-4), pp. 25-II7].

a) Z. DE GEOCZE, Sur la fonction semi-continue [Bulletin de la Soci&6 Math6matique de France,

t. 39 (I910, PP. 256-295]. 3) H. HAHN, fiber Ann~berung an LEBESGUESChen [ntegrale dutch RIEM~,IqNscbe Summe [Sitzungs-

berichte der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Klasse der Kaiserlichen Akademie der Wissen- schaften. Wien. Abteilung IP, Bd. CXXIII (i914) , pp. 713-743].

4) A. Du~jov, Sur l'intigration riemanienne [Comptes Rendus hebdomadaires des s~ances de l'Aca- d~mie des Sciences, t. CLXIX (2 "a semestre i919), pp. 2x9.22x]. '

212 T . J . BORg.

montrons qu'une fonction 6gale ~i I sur un ensemble parfait et ~l o ailleurs est int& grable (B), (2-7).

Nous substituons alors ~I l 'o#ration (B) une m&hode (B,) cornportant un peu plus d'arbitraire et se pr&aut rnieux aux raisonnements.

Nous &udions les propri&6s g~n&ales de l'int~grale (B,), (8q6), et nous &ablis- sons ensuite de deux rnani6res diff6rentes la proposition fondarnentale que toute fonction somrnable est int6grable (B). Les deux d6rnonstrations reposent l'une et l'autre sur l'ernploi d'une certaine formule auxiliaire (I7-22). Mais la premi6re utilise l a d & composition, avec une certaine approximation, d'une fonction quelconque en une somme de plusieurs fonctions dont chacune est constante sur un ensemble parfait et nuUe aitleurs, (23-28).

La seconde d6rnonstration est fond& sur la propri&6 de l'int6grale ind~finie de LEBESGVE d'adrnettre son coefficient diff&entiel pour d&iv~e sauf ~ventuellement en un ensemble de rnesure nulle, (29-37).

Nous d~duisons de cette propri&~ de l'int~gration (B,) l'existence pour toute fonction sornrnable de suites de subdivisions d~pendant d'un param&re t et dont les sommes riemanniennes correspondantes tendent vers l'int6grale besgienne sauf pour un ensemble de rnesure nulte de valeurs de t, (38-39). Nous donnons ensuite une application de l'int~gration (B,) aux s&ies trigonom&riques convergeant en tout point vers une fonction sornmable, (40-43).

L'int~grabilit6 ( B ) est plus #n&ale que la somrnabilit& Une fonction non-somrnable peut &re int~grable ( B ) (44-57). Mais une fonction

totalisable, inf6rieure en valeur absolue ~l une fonction int~grable (B~), peut ne pas &re elle-m~rne int~grable (B) . (58-65).

Les subdivisions utilis&s dans l'int~gration (Bi) d6pendent lin~airernent d'un param&re t et de la situation initiale tie la subdivision (pour t - - o ) . I1 est naturel de rechercher si, en conservant ~i la rn&hode cette propri&6 essentielle de s'appliquer ~l toute fonction sornmable, on ne peut pas consid~rer des subdivisions variant d'une ma- ni&e plus arbitraire que les premieres.

I1 en est effectivement ainsi (66-75). Une bibliographie de travaux relatifs ~l la notion rnoderne d'int~grale, et qui sont

venus ~i notre connaissance, termine ce m6moire.

I n t eg ra t i on (B).

I. Soit f une fonction d6finie sur un segment a b r0, et F la fonction poss~dant la p~riode b - - a et coincidant avec f dans le champ a ~ . x ~ b.

s) Nous conviendrons, dans le pr6sent m~moire, d'entendre par intervalle a b ou (a, b) (aver a ( b ) l'ensemble a ( x < b, et par segment a b ou (a, b), l'ensemble a L x L b.

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES M~THoDES D~I,'qTt~GRATION DE RIEMANN ET DE LEBESGUE. 2 I ~

Soit a, ~,, x , , ~ , . . . , x,_,, ~,, x, , . . . , ~., b,

avec

x~_, ~ ~, L x~, o < x, - x ,_ , , (Xo = a, x = b)

une subdivision de a b. co est suppos+ indbpendant de i. Nous appelons pas de ta sub-

division x~ le plus grand des nombres positifs x i - - x ~ _ , .

Posons : y, - - x, + t, ~, = ~, + t

et formons la somme:

s ( t ) = 2 ( y , - - y , _ x ) F ( ~ , , ) , 1

s(t) est une fonction des variables xi, ~ , t. Nous dirons que ] est intdgrable au sens (B) et que l'intdgrale de f dx au sens (B)

a pour valeur I , si la mesure de l'ensemble E(e) des nombres t vdrifiant les relations

II~ - - s (t)l > ~, o . / t < b - - a ,

tend vers zdro avec % quelque soit le nombre positif % inddpendant de o~. Teile est la d6finition 6nonc~e dans la note rappeRe plus haut. Post6rieurement

cette note et pour des raisons indiqu6es plus loin, cette d~finition a 6t6 l~g~rement

modifi6e par M. DEN JOY, comme on le verra ci-apr~s.

2. Avan t d'exposer et d'adopter cette nouvelle d6finition, nous allons n6anmoins montrer qu'une fonction f Lgale A I sur un ensemble parfait P situ~ sur ab, et A o hors

de cet ensemble, est int6grable au sens (B) et que l'int6grale (B) de f d x sur ab est

6gale A la mesure de P. Soit P, l'ensemble parfait r6unissant P e t l'ensemble obtenu en ajoutant b - - a :1

tous les nombres constituant P. Si ~ est un point de P, situ6 sur le segment a, b les intervaltes contigus A P contenus dans l'inter~alle ~, ~ - ~ - b - - a ont des

longueurs qui, rang6es par ordre de valeurs non croissantes forment une suite

u , u , . . . , u , . . . ind6pendante de ~. Si ~ est int6rieur A l'intervalle a, b et est 6tranger ~t P , il en est de m~me de ~ + b - - a. Les deux intervalles semi~ ~t P e t dont Fun a .pour extr6mit~ gauche ~, l'autre pour extr6mit6 droite ~ 7 t- b - - a

ont pour longueurs deux hombres dont la somme est un certain terme u dans la

suite u . Les intervalles contigus A P compris entre ~ et ~ 7 t- b - a sont respective-

ment 6gaux chacun aux autres nombres de la suite u . .

[Si b appartient .:t P, mais non pas a, F est ~gale ~t I en tout point de P sauf

en b, d'apr&s F(x + b - a ) - - f ( x ) si a . / x < b.

Nous supprimons les valeurs de t (en nombre limit6) telles que ~ soit en b. Nous

ne modifions par 1~ 6videmment pas la mesure de l'ensemble Is (f , t) - - I I > =].

214 T . j . n o a s .

8. Evaluons la somme:

s(t) - - F(~, + t ) (x - - Xo) + F(~., + t ) (x 2 - - x ) + . . .

a . . + V ( ~ i + t ) ( x f - - Xi__i) + ~176176 + F(~. -[- t ) (x - - x ).

Supposons que le dernier intervalle sup&ieur ~t 2 o5 et rencontr6 dans la suite u , . . . , ui, . . ait l ' i nd icep ; on a u ~ 2 o et u p + , . / 2 o ~ .

Alors d'apr~s o ~ y i - - Y i _ t = x i - - x ; _ , ~ % il est stir que dans chacun des intervalles contigus A P , , int&ieurs .4 YoY, et dont les longueurs respectives sont u , u , , . . . , up , entrent au moins deux points cons&utifs y~ de la st~bdivision choisie. (L 'un de ces intervalles u peut &re repr6sent6 dans cette suite par deux intervalles semi-contigus u',, u", dont la somme est u, et dont l 'un a son extr6mit6 gauche en Yo, l'autre son extr~mit6 droite en y,).

Nous distinguons les segments YI- , ,Y~ en deux cat6gories: I ~ les segments , situ& (enti+rement) dans un intervalle contigu ~ P . 2 ~ les segments % qui contiennent au moins un point de P .

On a:

y % + Z % = y _ y o = b _ _ a .

Si y~_,y~ est un segment %, on a F('~i)~---o. Si y~_,y~ est un segment %, on a F ( ~ i ) = o ou = I.

Ainsi s( t ) z Z ~, = b - - ~ - - _Y o .

Evaluons une limite inf&ieure de ~ - % . Il est &ident que, si q < p, rintervalle uq (ou les deux intervalles semi-contigus

u'~ et uq" qui le repr~sentent et dont les extr~mit~s &rang&es ~t P, sont respectivement Yo et y.) contient des segments a pour une longueur totale au moins ~gale ~t u - - 2 ~. Car, sl aq est l'extr+mit+ gauche de uq (ou de u'~) et si b l est l'extr+mit+ droite de uq (ou de u;), t ous l e s points de)uq (ou de u; , u~)&rangers aux intervalles ( a , a q + ~ ) , ( b 2 - ~, bq), appartiennent ~ un segment %.

La longueur totale des segments r est donc sup&ieure ou 6gale ?t

Posons

On a:

Soit

u + u , + . . . + ~,p - 2p~,.

oo

y % "x 1 - ~ . u , , - 2po,. p*l

oo "~(~) - y u, + 2~o,.

..0§

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES METHODES D'INTI~GRATION DE RIEMANN ET DE LEBESGUE. 2I j

I1 vient :

Y ~ ~ t - ~(~).

Je dis que "~ (to) tend v e r s o avec to.

En effet si to tend vers o, p croit ind6finiment d'apr6s up+, ~ 2 co..Donc le pre-

mier terme de ~ (to) savoir 2 u tend vers o. p+l

D'autre part, comme la s&ie ~t termes positifs et non-croissants u , u , , ... , up , ,..

est convergente, nous savons que pup tend vers o, quand p croit. Donc 2pro tend

vers o, puisque up ~ 2 r Donc lira ~ (to) = o.

Or~ on a:

s ( t ) ~ b - - a - - )--% < b - - a - - l - { - ~ ( t o ) .

Or, l est la somme des longueurs de tous les intervalles contigus et semi-contigus

P compris entre a ei b. Si donc I e s t la mesure de P, on a: I - - - b - - a - - I.

Mais I e s t l'int~grale au sens de LEBESGUE de la fonction donn& f, ~gale A I sur

P e t ~i o ailleurs. Donc:

O) s(t) < I + ~(to).

Donc, quelque soit le nombre positif ~, donn6 d'avance, il est possible de trouver

une valeur a (~), telle que si o~ < a (1), on a, pour toute valeur de t entre o et

b - a, s ( t ) < I + % quelle que soit la subdivision x~ de pas inf~rieur ~. to.

4. Calculons maintenant l'int6grale au sens de LF.BESGUE:

~b--a

] s(t) dr. Nous avons :

s(t) = F(~, -]- O(x, - - a) n t- . . . n t- F(~, -~- t)(b -- x_ , ) .

Donc, en prenant les int~grales au sens de LEBESGUE:

fo fo b- s ( t ) d t = ( x - - a ) F ( ~ , - - I - t ) d t n t- . . . -Jr-(b-- x ,) F(r

Or, la fonction F &ant p&iodique et de p&iode b ~ a, chaque int~grale dans le

' fO b-a second membre est ~gale ~t F ( x ) d x =_: I.

Donc :

f o b-a (2) s(t)dt - - ( b - - a ) I .

5. Posons : s(t) = I + h(t),

nous avons d6j~ obtenu h ( t ) < ~(to).

2~6 r . J . ~ons .

D'apr6s (2), on a donc:

fo b-a (3) b ( t )d t - - - o.

Nous voulons d6montrer que la fonction f ( x ) d o n n 6 e est int4grable au sens (B),

et que son int6grale (B) est I. Nous voulons donc montrer que la mesure de l'en-

semble des points t, (o ~ t < b - - a) off l'on a: ]b(t)[ ,~ ~, tend vers z&o avec ~.

Nous avons trouv6 que pour o~ ~ ~2(~), l'ensemble b(t) ~ ~ cesse d'exister. II

nous suffit d0nc de montrer que la mesure g. de l'ensemble E des valeurs de t off

b(t) ~ - ~, tend vers z f r o avec o~. Soient E' le compl6mentaire de E par rapport

au segment (o, b - - a) e t /z ' la mesure de E'. L'intbgrale

ob-~h(t) dt

est la somme des int6grales J et J ' de h( t )d t prises respectivement sur E et snr E'.

Sur E on a toujours h( t) .~ - - % donc J % - a ~.. Sur E' nous utilisons l'in6galM

bCt) < ~ (o). Don~ l ' < p.'.~ (~) < (b - - a) ~, (~). Donc:

fo b-"h(t) d t --~ J "Jr- J' ~ . - - ~ (b - - a)'~(o).

D'apr6s (3):

o < - . ~ + (b - - a ) ~ ( . , ) , b m a

ou ~,. < . - - - ~ (~) . Gr

Puisque ~ est un nombre fixe, et que ~(o 0 tend vers z&o avec ~, ~. aussi tend

vers z6ro avec co. c . Q . r . D .

6. Ainsi la fonc t ion f est int6grable (B), la valeur de l'int6grale (B) &~int alors ~gale s donc ~. l'int~grale de M. LESESGUE"

La proposition subsiste 6videmment pour une fonction f constante sur un ensemble

parfait et 6gale ~ z&o hors de cet ensemble. o n l'&end sans diflicuM ~ une fonction constante sur n ensembles parfaits deux

~ deux distincts, la fonction ayant une valeur propre sur chacun de ces ensembles.

7. Si f est quelconque, mais sommable, on a tonjours, en int~grant au sens de

LEBESGUE :

, ( t ) d t = (b-- a x)dx.

P Comme au paragraphe 26, on d&ompose f en une somme ~-f~ - I -% f~ &ant

- p

6gale ~i q~ sur un ensemble,parfait P , off q~ d f < (q + I)~, et f~ &ant nulle hors

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES METHODES D~INT!6GRATION DE RII:MANN ET DE LEBESGUE. 2i 7

fa b

de P : p e t P sont ainsi d6finis que ]?]dx soit inf&ieur ~t 2 (b- -a )~ . On montre

d6s lors sans difficult6 que la fonction f est int6grable au sens (B)?

D6finition (B,).

8. Dans la d6finition (B), l'hatroduction d'une fonction F, de p&iode b - - a , 6gale �9 to. entre a e t b a la fonction ~t mt%rer f, rend probl&natique, surtout" si b - a e t c b

ne sont pas Commensurab!es entre eux, qu'une fonction f int6grable (B) entre a e t b et entre b et c ,(a .< b < c), soit n&essairement int4grable (B) entre a e t c.

Pour 6viter cet inconv6nient, M. DElqjoY a 16ghrement modifi6 la d4finition (B). Nous d6finissons comme il suit l'int6gration (B) . Consid6rons une subdivision ind6finiment &endue dans les deux sens, x~, ~i,

(pour routes les valeurs entihres, positives, n6gatives, ou nulle de i), satisfaisant aux conditions :

o < x, - x,_, < x,_, L__ L__ x, ,

co &ant ind~pfindant de i. Appelant pas de la subdivision x i la borne sup&ieure des nombres x ~ - xi_ , , nous

dirons que le pas de la subdivision x i est au plus +gal ~t o . Posons

y; -'- x i + t et ~i - - ~i-JI- t

f &ant une fonction mesurable d+finie sur le segment ab, (on pourrait supposer f d+finie simplement sur l'intervalle a b), formons pour chiique valeur de t la somme

s ( f , t) - - Zf (~ i ) (Y, - - y,_,)

&endue fi toutes les valeurs de i teUes que ~i appartient au segment ab. Nous dirons que f cst intdgrable (B,) et a pour intdgrale I, si la mesure de Fen-

semble des valeurs de t~ telles que

Is(f, t ) - - I I > ~, avec ~ < t < ~,

tend vers zdro avec % quelques soient ~, ~, et ~ fixes (~ &ant petit). Autrement dit : Pour que f soit int+grable (B,) sur a b e t ait pour int6grale ( B ) le nombre I, il

doit &re possible, A tout couple de nombres positifs ( , , L) de faire correspondre un nombre positif t ) (~ , ~) tel que pour route subdivision x~ de pas inf&ieur ~. f l (~ , ~), l'ensemble des valeurs de t satisfaisant ~ ]s (f, t) - - I] D ~,, avec ~ .~ t < i5, a une mesure ~ ~2-

9. La d~finition (B,) est plus restrictive que la d6finition (B), car pour &re int& Rend. Circ. Matem. Palermo, i. XLV 0921) . - -S tampato il 2o maggio xgzz, ~8

2 1 8 T. J, B O K S .

grable (B,) une fonction doit remplir une certaine condition relative ~i l'ensemble de toutes les subdivisions (x~, E.i) de pas fini % tandis que, pour 6tre int6grable (B), il lui suffit de remplir la mdme condition pour l'ensemble des subdivisions de pas fini soumises aux restrictions suivantes:

~o la subdivision xl a un point en a et un point en b, 2 ~ les" deux subdivisions x; et E.~ sont p6riodiques et de p~riode b - - a, 3 ~ 0~ - - o, !3 = b - - a (cette derni~re restriction est simplement apparente). Donc toute fonction int~grable (B,) est int6grabl~ (B). La r&iproque est incertaine. IO. Si f est modifi6 en un point ~,, cette alt6ration n'intervient pas dans l'int6gra-

tion (,B,). Car, s i x < t < ~, il y a un nombre limit~ de valeurs de t, telles que ~. est ~gal It un des ~ . Donc l'ensemble Is(f, t ) - - I I > . , n'est modifi6 qu'en un nombre limit~ de points. Sa mesure ne change pas.

D'ailleurs le terme c h a n # f ( X ) ( y , - - y , _ , ) tend vers z6ro avec o. En cons6quence il est indifferent de supposer f nul ou non nul en a et b. I L Soit )Co (x) la fonction ainsi d~finie: fo (x) = o si x < a ou x > b, fo (x) ---f(x)

si a L x L b. Alors, -4-00

s ( f , t) = .~fo. (~i)(Y, - - Y,-,)"

'Les deux sommes s ( f , t) et S(fo, t) relatives au segment ab sont identiques. II serait indifferent pour l'intSgrabilit~ (B,) de f et de )co sur a b, et la valeur de leur int~grale (B,) correspondante, de supposer f o ( X ) - - o ~galement en a ou en b.

x2. Si f est la somme d'un nombre limitd de fonctions intdgrables (B ) sur a b, L, L, . . . , L , aont les intdgrales (B,) sont I , , Is, . . . , I , , f est intdgrable (B,) sur a b e t a pour intdgrale (B,) :

I - - I + I , + . . . + I .

En effet, f , . &ant int+grable ( B ) sur a b, et admettant le n o m b r e / pour int~- grale (B,), il est possible quels que soient les deux nombres positifs ~ et g , de trouver

u n nombre % tel que l'ensemble H,. d~fini

8 t

air une mesure inf6rieure ~i - - pour toute n

co m . O r

8 par ]s(f~, t ) - - I ] > ~ ( ~ < t < ~ ) ,

subdivision (x. , ~,) de pas inf~rieur t

s ( f , t) - - ~--f(~,)(y, - - y,_,) = ~- If, ( ~ ) -I- L (~,) + " '" "{" L(~, )] (y , - - Y,',.),

les sommations ~tant ~tendues aux termes tels que ~ soit situ~ sur le segment a b.

Donc s ( f , t ) - - s ( f , , t ) + s(f~, t ) + . . . . + S ( L , t).

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES M~THODES D~INTI~GRATION " DE RIEMANN ET DE LEBESGUE. 2I 9

Done, si I = I , + 1 2 + . . . + I , et si Is(f , t ) - - I I > ~ , ( ~ < t < ~ ) , l'une 8

au moins des diff6rences s(f.~, t ) - I m surpasse - - en valeur absolue. n

Donc l'ensemble H d6fini par Is (f , t) - - l I > z, (~ < t < [5) est inclus dans la r~union des ensembles H , , H . , . . . . , H .

La mesure de H est donc inf6rieure :i ~' si, to &ant le plus petit des n hombres

to , (%, . . . , to., le pas de la subdivision (xl , ~i) est inf6rieur ~t to.

x 8. Si f est intggrable (BI) , d'une part entre aet b, d'autre part entre bet c, les intggrales (B ) correspondantes grant I e t [,, f est aussi intdgrable (B,) entre a el c, et l'intdgrale (B,) correspondante est I -" I + I~.

Soit

fo (x) = f (x) pour a < x < c, )Co (x) ~--- o pour x / a, x ~ c,

d e m~me �9 ,

f, (x) ---f(x) pour a < x < b, f , (x) - - o pour x / a, x ~ . b,

.f, (x) - - f ( x ) pour b . ~ x < c, J2 (x) = o pour x < b, x "x~ c.

Alors, quel que soit x, f o ( x ) - - f , ( x ) + f ~ ( x ) . Or, dire que f est int6grable (B,) entre a et c, entre a et b, entre b e t c, et pos-

s~de sur ces intervalles pour int~grales (B,) respectives /-;Is, I~, c'est h dire que les

m~mes propri&6s respectives appartiennent Jo, f , et f2" Or, d'apr~s le n ~ xo, fo est int6grable (B,) entre a et c, et l'on a I --- I, + I . . Il en est done de m~me de f.

En rLsumb, si a < b < c, on a:

f ' f ( x ) d x ' - " f b f ( x ) d x + fC f (x )dx .

Cette relation signifie que, si les deux termes du second membre existent au sens

(B,), il en est de m~me du premier membre, et que les trois int6grales (B,) correspondantes sont liLes par la relation num&ique pr&6dente.

14. Par d~finition, si a < b, nous posons

f ' f ( )d i f ( ) x x ' - - - - x dx. IV t l

On en d6duit la relation + + = o qui exprime d'abord que si deux

des trois termes ont un sens, le troisi~me aussi a un sens~

I1 est ~t remarquer qu'a priori f peut &re int~grable (B, ) . sur ac sans r&re sur a b, b &ant compris entre a e t c .

~ 2 0 'V. j . B o K s .

15. Si f est intggrable (B,) sur abe t a pour intggrale I, alors k grant une constante quelconque, k f est intggrable (B,) sur abe t a pour intggrale kI.

En effet, f , (nul hors du segment a b), &ant int~grable (B.), soient e , e2 deux membres positifs quelconques. II existe un hombre positif o ' ( ~ , e,) tel que, pour toute subdivision (x~, ~i) de pas inf&ieur ~t c0'(~, e ) rensemble H des hombres t v&ifiant

~r ei ~ ~ t < ~ a une mesure inf&ieure ~ L. Is(I, t ) - Zl >

Posons f , - - ' k f . Soit s ( f , , t ) la somme ~-f , ( 'q) (y , -- y,_,) formte avec une

mf~rleur ~t ~ ' (~ ~=). subdivision (xr de pas " ' " �9 , On a quel que soit t, s ( f , , t ) - - k s ( f , t ) . Donc i'ensemble Is(f , , t)--kI]>,,,

(~ , ( t < ~) coincide avec l'ensemble H. La mesure de cet ensemble est clonc inf&ieure ,=. Donc, f, est int6grable ( B ) et a pour int~grale kI.

16. Si f ( x ) d x est intggrable (B ) sur le segment ab, f ( ~ - ) d x est intggrable (Bx) x " l

sur le segment (ka, k b), et l'on a:

f b x 1 "~ [ x \ I = / ( x ) a x = T j , o/ ,Tjax.

Nous d~montrerons l'exactitude de cette formule pour toute valeur positive de k et pour k - - - x. Elle sera dbs lors &ablie pour toute Valeur positive ou nbgative de k.

I ~ k ~ o. Par hypothbse, /t tout couple de hombres positifs (e,, ~=) correspond un uombre positif ~"(~ , r tel que si la subdivision (x;~ ~;) a un pas inf&ieur ~1 o"(~ , ~), l'ensemble H d6finie par:

5 Is(f, t ) - - I I > - k - ' k < t < k '

g a une mesure inf&ieure /t ---2.

k On a:

s( f , t) - - Z f ( ~ , ) ( y , - - y,_.),

la sommation &ant &endue aux termes pour lesquels ~ est situ6 sur le segment a b. Consid&ons la subdivision ( x ~ - - k x , , ~'~ = k~,) qui est une subdivision quelcon-

. que de pas inf&ieur ~l k o " ( , , ,=). Posons y l . - - x ;+ t , ~ , - - ~ , + t . S o i t f . - - f .

La somme s ' ( f , , t) correspondant ~t cette subdivision (x;, ~:) et au segment (ka, k b) est:

s ' ( f , , t) - - E f l ( ~ ' i + t ) (y~- - y;_,) avec

t + o u + T

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES Mt~THODES D ' INT~GRATION DE RIEMANN ET DE LEBESGUE. 2 2 1

D'apr~s cette derni~re condition et l'expression de f , ,

s ' ( f , , t ) = ~- f (~ , + ; ) . k ( y , - y , _ , )= ks ( f , ~ - ) .

Donc l'ensemble H' defini par:

Is'(f,, t) ~ kI I ~ ~,,

est idemique :l l'ensemble

,(f,

, , < t < r

t

T < T < - F �9

t Cet ensemble est form6 des points t telsque k - appartienne f i l l . Cet ensemble

a donc une mesure 6gale ~ k lois celle de H. La mesure de H' est donc inf6rieure ~2. Et cela, pour toute subdivision de pas inf6rieur ~ k o; '(~, ~). La proposition est donc &ablie pour k ~ o.

2 0 k --=- - - I . S o i t to'" (~ ~.~, ~) un nombre positif tel que, pour toute subdivision xl, ~i de pas inf6rieur /t to'"& . ,, L), l'ensemble H d6fini par

Is ( f , t) - II > ~,, - - ~ < t < -

ait une mesure inf6rieure /t ~ , avec

s(f, t) = Y f(~,)(y, - y,_,), a L ~, z" b. Posons

' - x ' ~' = - - L ; , y ; = ' + t , ' ' x+i --" -i~ +i x~ ~i - - ~i -It- t.

Alors, 0 ~ X t ~ P _ _ , x , _ , = x ,+ , - - x ~ < w " ( ~ , ~).

Soit f , (x) - - f ( - - x). Evaluons la somme

r f s'(f , , 0 = ~ f , (~ , ) (Y , - Y,_,)

&endue aux termes pour lesquels "d~ est situ6 sur le segment ( - - b , - - a ) . On a:

�9 ~; --- ~ [ / + t = - - ( ~ _ , - - t ) , a / ~-i - - t ~ b, y~ y;_, = x , + , - - x _ , .

Donc s ' ( f , , t ) - - s(f, - - t).

Donc l'ensemble H' d6fini par

Is 'U,, t) - II > ~,, �9 < t < t~,

coi'ncide avec le sym&rique de H par rapport ~l l'origine. Donc sa mesure est inf&ieure

222 T . J . BOKS.

~ quelle que soit la subdMsion (x;, 6;) de pas inf&ieur ~ o ; " ( z , , ) . Donc f ( - - x ) est int6grable (B,) sur le segment ( - - b, - - a) et a pour int6grale ( B ) sur ce segment, le nombre L Donc, en utilisant la convention du n ~ I4,

( - - x ) d x - = - - _~ f ( - - x ) d x = - - l ~- - - f ( x ) d x .

La formule est donc &ablie pour k - - - I. Elle est donc vraie quelle que soit la constante k.

Formule fondamentale.

17. Nous allons maintenant d6montrer que toute fonction sommable int6grable au sens de LEBESGUE OU int6grable (L)] est int~grable (B,).

Nous d6montrerons d'abord la formule su ivante : Si G(x) est une fonction sommable sur ab, et nulle bors de ab, si la

(x;, 6,) satisfait aux conditions

xi_, ~" 6i / x~, o < x, - - x,_, < o,

et si l'on pose .4-o0

s(G, t ) = ~ G(~, ) (y , - y,_,)

avec y~ = xe -o r- t, ~ - - ~; -]- t, on a la relation :

[c'est-s

subdivision

avec ,~2 ~ i, les intdgrales dtant prises au sens de Lv.B~.S~UV.. Quand t varie de ~ A ~, il n'y a qu'un nombre limit6 de valeurs de i pour les-

quelles "~ p6n&re sur le segment ab. Ces valeurs d e i v&ifient les in~galit& + 6 1 / ' b , ~ + 6 ~ a . Pour les autres valeurs de i, on a G ( ~ i ) = o , quelque

soit t. Pour une valeur donn& de i, la fonction G(~i)(y ,. - -y ;_ , ) est sommable d'apr~s

~ = 6; -['- t, Yi - - Yi-, " - xi - - x,_,. Donc s(G, t) &ant pour ~ < t <~ [5, la somme d'un nombre limit6 de fonctions

sommables, est sommable. On a:

1(=, ~)----- s(G, t ) d t - - X G ( ' , h ) ( y , - y , _ , ) d t

= 5_.(x,- + oat= y ( , , - G(u) du.

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES MI~THODES D~INT~GRATION DE RIEMANN ET DE LEBESGUE. 223

Darts cette somme l'int~grale de ta fonction G(u)sur l'intervatle (~+E . , , [~+~,) . figure avec le coefficient ( x ; - x~_,). Appelons ~, l'intervalle (~ Jr. E.~, [~ + ~) . Pour que l'intervalle % empi&e sur ~i+,, il faut que }+~,>~-0r-{;+,, donc l~--a~>~i. , --{i . Cette condition sera r&lis~e quelque soit i d&s que 2 to ~ ~ - - ~. D~s lm's , les. intervalles ~r~ recouvrent tout te champ des valeurs de u et en particulier le segment ab.

L'int~grale de la fonction G ( u ) sur une partie de (a b)figurera donc dans J(=, .~) avec un coefficient 6gal ~ la somme des longueurs xi ~ x~_, 6tendue aux indices i des intervalles ~ qui ont e n ' c o m m u n la partie consid6r~e.

Consid6rons sur l'axe des u une subdivision quelconque contenant tous l e s points 0t-Jr-~i, [~-J-E., et en outre a et b.

Les points de cette subdivision s6parent une suite d'intervalles , . Alors, quetque soit i, l'extr~mit6 d'un intervalle % n" est jamais int&ieur ~ un

intervalle % et chaque segment % est la r~union d'un certain nombre de segments ~ deux A deux adjacents.

Calculons le coefficient de l'int6grale de G(u)du &endue ~t un certain intervalle ~r.

Posons que le premier intervalle ~ contenant cet intervalle ~r soit ~e et que le dernier qui contient encore ~r soit ~ .

Le coefficient de l'int6grale de G(u)du prise sur ~ sera donc:

q

E (Xi - - X i - l ) ~ Xq ~ ,Xp_ I . P

Appelons A l'extr~mit6 gauche de l'intervalle ~ consid&6, B son extr~mit~ droite. Nous avons ~par hypoth6se

Donc

o u

D'apr~s

il vient

(~ - - x ) - (~ , - x~_ , ) < ~ - ~ - ( x - x ; _ , ) < (~ ,+ , - x ) - - (~p_, - x , _ , ) .

Mais, quel que soit i

Donc, - - 2 0 ~ ~ - - ~ - - ( X - - Xp_1) ~ 2ta.

224 T.J. BOKS.

On peut donc 6crire

avec ]~ < I.

Le coefficient de ]'int6grale de G(u)du prise sur , est donc [ 3 - ~ Jr_ 2~.to.

Donc en ajoutant les valeurs des int6grales de G(u) sur tousles segments ~ dont

la r~union forme a b, on a:

O~ ou

o~ ~ I . La formule est donc d6montr&.

=fb

I8. REMARQ.UE : Quand .G(u) ne prend pas les deux sigues, la formule pr&~dente

se r~duit ~t:

~s(G, t)dt = ( ~ - - ot + 2~r G ( . ) d . .

Seconde d6monstration.

x9. Le raisonnement suivant a l'avantage de se transformer commod~ment pour s'appliquer ~ des subdivisions (y~, ~,~) dont la variation par rapport ~t t n'est plus li-

n~aire. Supposant g(x) sommable entre a et b e t nul hors de ce segment, nous voulons

&aluer

s(g, t)dt = ~-g(~ , ) (y , - y,_,)dt.

On a:

~ y g ( ~ , ) ( y , - y,_,)dt = ~ g ( ~ , + t)(x, -- x,_,)dt

- - Y (x, - - x,_,) ff.+~, g(u)du.

La fonction g est sommable. Posons

f a x = g ( , ) a , , .

Alors : i ~ la fonction G (u) est continue

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES M~THODES D~INTEGRATION DE RIEMANN ET DE LEBESGUE. 225

2 ~ G ( x ) - - o pour x / a .

f 3 ~ ~ ( x ) = g ( u ) d , = Or,

~+~i ~, g (,) a

La somme i ~valuer devient

pour x ~ . b.

. = ~ (~ + ~i) - o ( = + ~,).

done :

~ - G([~ + ~ , ) (X , - - Xi__l) - - ~ G( /~ + ~17) (Xi - - X•__l).

20. La fonction continue G(x) &ant int~grable au sens de RtE~t~NN, on a, sui- rant le th~or6me de la moyenne :

~+x, G(u)du = G(~ + ~3(x, -- x,_,) ~+xi_,

avec x,_, ~ ~ L_ x,

Donc G(~ + ~,)(X, - - X,_,)

diff&e de

xi~l

d'une quantit~ au plus 6gale i

I~ (9 + ~,) - G (9 + il)l(x, - x,_,). Or,

G(} + ~,) - - G(D + ~.;3 J~+a', g(u)du -- a,.,,~+~,_, Ig(u)ldu

avec g~ % I. nonc :

6(t~ + ~,)(x, - x,_,) = 6 ( . ) d . + co Ig(-)ld..

2I . Soit p le plus grand des indices i tels que ~ + x;_, L a, et q ~le plus petit des indices i tels que i ' - { - x i ~ b.

Alors si i / p - - i, on a pour 0c ~ t ~ 9, ~ -t- t ' , ~ %_, + 9, donc ~ -{- t ~ a et g ( ~ . i - { - t ) = o . De m~me si i~q- l t - i , et si o:~t, ~. i+t>o~+xq. Donc ~i + t ~> b, et encore g(~,i _J/_ t) - - o.

Done

~(g, t ) = Y g ( ~ i ) ( , , i - x,_,)= Y g ( ~ 3 ( ~ , - x,_,) et

,(e, t)dt ~ [G(~ + ~,) - - G(~ + ~,)](0,, - x,_,) P

Rend. Circ. Matem. Palermo, t. XLV 092~) . - Stampato il 20 maggio ~921. 29

226 T . J . BOKS.

22. O r , o n a :

f+x 8'o~ fr lg du

f j a

d'apr~s ~ -~- xp_, <~ a. De m~me :

G ( . + - x,_,) = + Ig(.)la. P

avec ~ < I.

En retranchant ces deux relations, on trouve a:

s(g, t)dt = J~+~q G(u)du q- [g(u)ldu

avec ~ ~ x.

Mais d'apr6s b ~ ~ -~- x ~ ~ -]- xq, dans l'intervalle (~ -[- x , ~ -]- xq), G(u) est constante et ~gale ~t L Donc:

s(g, t)dt -- (f~ -- ~) g(u)du + 2~o [g(u)[du

avec ] ' ~ ~. c. o_. v. D.

Toute fonction sommable est int~grable (B,).

2 8. Nous allons maintenant d6montrer que la fonction f ~gale ~t t sur un ensemble parfait P situ~ sur le segment a bet ~i o hors de cet ensemble est int6grable

(B~) et a pour int6grale la mesure de P. La d~monstration est enti~rement, analogue ~l celle du n ~ 3 pour la d~finition (B).

Soient c et d les extr+mit~s de P, (c peut &re en a et d e n b, ind~pendamment

l'un de l 'autre); u , u2, . . . , les intervalles contigus de P [tous int&ieurs ~l c d], la

lengueur u ne croissant jamais avec n. Soient, pour une valeur quelconque de t, q et r les deux entiers d~finis par

y ~ _ , < c ~ y q , y , _ , ~ _ ~ d < y , . On a d - - c < y , - - y q _ , < d - - c - ] - 2 % et

r

s(f, t) - - [ Y f ( ~ , ) ( y , - y,_.). q

Si nous distinguons, comme dans la d6monstration analogue relative ~i la d6fini-

tion (B), (n ~ 3), les segments (y,_,, y,) pour q ~ i ~ r en deux categories ~, et ~ ,

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES MI~THODES D~INTt~GRATION DE RIEM.ANN ET DE LEBESGUE. 227

les segments % &ant entiSrement situ~s dans un intervalle contigu ~t P, et

ments % contenant au moins un point de P, on a s(h, t ) / ~-~2, les seg-

d--~ < ~ I + X % = Y , - - Y q - - , "< d - - c + 2C0.

Soit Up le dernier des intervalles u I , u~, . . . . sup6rieur h 2o~. O n a "

E * > U -3f- U2 -~- .. . -3v U p -- 2 p to. Done :

p

et, si [ e s t la mesure de P~

s([, t ) = Y < z + (o,), en posant :

00

Sf.u,, + 2(I) + I)to - - ~,0o), p+l

~,(to) tend vers z&o avec to.

Soit s ( f , t ) = I - } - h ( t ) , on a donc h ( 0 < ~, (co), et d'ailleurs, d'apr~s la formule fondamentale (n ~ 17) (G - - f est ici non n6gatiO:

' f ~h ( t )d t - - (9 - - ~t -{- 2 ~ o ) I - - ([5 - - ~ t ) [ > - - 2toI.

De cette in~galit~ et de la pr&~dente h ( 0 ,~ ~, (~o), on d6duit comme au n ~ 3

que l'ensemble H des points t, v&ifiant : lh(t)l > ~, ~ ~ t .~ } a une mesure tendant

vers z&o avec c0. D'apr~s b ( t ) - - s ( f, t ) ~ I, f est int~grable (B,) et son int~grale ( B , ) est ~gale ~t son int~grale besgienne.

0. 4. La m~me proposition est &idemment encore vraie pour une fonction f constante et 6gale h k sur une ensemble parfait et ~gale ~t z&o hors de cet ensemble.

Son int~grale ( B ) est alors kin, m &ant la mesure de l'ensemble parfait.

24 bis. P , P~, . . . , P &ant sur le segment ~b des ensembles parfaits deux /t deux distincts, si f est constante sur chacun d'eux et nulle en dehors de leur r6union,

alors, d'apr~s le principe d u n ~ I2, f est int~grable ( B ) et son int6grale (B,) entre a et b e s t 6gale /t son int6grale (L).

25. f &ant une fonction sommable, soit t~ un nombre sup~rieur ~t [[(x)ldx.

Evaluons une limite sup6rieure de la mesure 8- de l'ensemble H form6 des nombres t v&ifiant les inLgalit6s:

Isff, t)J > Me, off M est un nombre positif quelconque.

= < t / ~ 9,

~2~t T.j . BoKs.

On a, f &ant nulle hors de ab :

+ o o

I~U, t)l / y V(*,)I(y, - y , - , ) = s(Ifl, t). - - o o

Donc:

f~,s(.f, t)]dt / ~s( t f , , t)dt.

Suivant la formule fondamentale ( I7) la derni6re int6grale est inf&ieure

f (9 - ~ + 2~)j~ If(x)ldx < ( 9 - ~ + 2~)~.

Donc l'ensemble H o6 Is(f, t)l > M~, a une mesure inf&ieure ~ M

26.' Ayant &abli ces lemmes, passons maintenant ~ la d6monstration que toute fonction f.(x) sommable sur un segment a b est int~grable (B) , avec ~galit6 des int~- grales (L) et ( B ) sur ce segment.

Nous raisons donc f ( x ) - -o , quand x est ext&ieur au segment ab. Formons une progression arithm&ique ind6finie dans les deux sens de raison po-

sitive ;~ :

. . . , - - n ) , , - - ( n - - O ) . , . . . , - -X , o, X , . . . , ( n - - I ) X , n~,, . . . .

L'ensemble E des valeurs de x situ6es sur le segment a be t telles que nk l f < (n + 07,, o6 ne s t positif, n~gatif ou nul, est mesurable, puisque la fonction f est sommable.

Soit ~, la mesure de E. . Sur E nous posons f n), + ) ,0 (x). On a:

o ~ 0. (x) < i.

Soit e un nombre positif, d6pendant de n e t tel que la s6rie (In[-I- i ) l . ~ ait

une somme inf~rieure ~t un nombre positif donn6 - - . 2

On peut, dans E , d&erminer un ensemble, parfait P , do, nt la mesure diff6re de celle de E de moins de ~ .

Les points de E &rangers :l P. forment un ensemble Q . Mais puisque sur E , donc sur Q O., on a [J] < (In I Jr- i)~, l'int6grale sur Q. de

la fonction If] est inf&ieure ?t (In[ 7 t - I ) ) , ~ . Donc l'int6grale (L) de [fl sur la r6union des Q,, de tout indice positif, n6gatif,

ou nul est inf+rieure ~t - - 2

Puisque la fonction f e s t int+grable (L), il est possible, suivant L~F.sGtm, en d6-

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES MI~THODES D~INTgGRATION DE RIEMANN ET DE LEBESC, IJE. 229

signant par R N la riSunion des ensembles E N_, -1- E N_= --J r- . . . , et par RN la r&u- nion des ensembles EN+ ' -}- EN+ = -Jr- "'" de choisir N, positif et si grand que

2 N --N

N peut se calculer connaissant ). e te .

Soit Q l'ensemble r~unissant EN, R_N et les ensembles Q. d'indice compris en-

tre J N e t -It- N indnsivement, ( tousles autres Q. sont compris dans RN et R N ). Alors

QIfl d x < ~.

Le compl~mentaire de (2 rdativement au segment a b est l'ensemble parfait P constitu& par la r&union des ensembles deux k deux distincts

P-N, P-N+,, �9 �9 �9 , P_, , Po, P , , �9 �9 �9 , PN_,, PN-

27. Consid&ons deux fonctions auxiliaires,

I ~ la fonction ?N ~gale ~ i3, sur l'ensemble parfait P~ ( - - N L i M N) et 6gale o sur Q.

2 o la fonction din d+finie par:

f ( x ) = ?N(x) + diN(x). On a:

r

+:v(x) = f sur Q, et +N(x) - - ),0(x) avec o . / 0 ( x ) < I, s u r P .

Si nons appelons /, I N et JN respectivement les fnt6grales (L) sur le segment a b des fonctions f , ?N, et diN, on a:

I - - IN + J N. Mais :

,Io. , I v ae

(i) Donc:

II - INt < ~ + X (b - - a).

D'autre part, l'in6galit6

f bl+N(X)laX < * + X ( b - a)

~3o T, j. B o ~ s .

I entraine, suivant la formule du ~ 25, oCl l'on donne "l M la valeur ~ I/~ -= x(a - a)

et ~ t~ la valeur ~ 4- ;~(b ~ a), cette consequence que, si K est l'ensemble des valeurs des t v&ifiant :i la lois

(2) Is(+N, t)t >//e -I- x(b - - a) et ~ , ( t < ~,

la mesure de K, est inf&ieure ~t ([~ - - ~ 4- 2 o 0 1/~ - q-- ~. (b - - a). Or, ~N &ant constante sui" l'ensemble parfait P~ ( - - N . ~ i L N ) et nulle hors

de P, 92v est int~grable (B,) sur ab et son int~grale ( B ) est I N .

Doric, quelques soient les deux hombres ~o et ~'o positifs, donn& d'avance, i[ est

~'o (puisque N d~pend possible de trouver un nombre f~ d~pendant de %, et N, ou - ~'o k et z, tel que l'ensemble K, d6fini par ~ t ~ , de ), et de ~), d~pendant de %, ,

0 ) - I~(~N, t) - I,r > to,

a une mesure inf&ieure ~i ~'o, quel que soit o, inf&ieur ?t fl(r r ~', r Soit K la r~union des ensembles K et /42. Alors, en tout point &ranger ~. K,

on a

I~ I $ (+N, t)l / / r + ) ' (b - - a))

2 ~ Is (~N, t) - - 11 .< t o + , 4- x (b - - a), cette derni~re relation &ant obtenue en combinant les relations ( i ) et (3).

Done, puisque s ( f , t ) - - s ( ~ N , t)~t_ S(+N, t), on a en tout point &ranger ~t K:

Is( f , t) - - I] ~ IS(~N, t)l + IS(+N, t) - - I I < t ~ + Z + ),(b - - a) + l& -Jr- ).(b - - a).

28. Supposons .to < fl (c o, ~'o, 2,, ~). Alors la mesure de K est inf&ieure h

(9 - - , + 2,o)1/~ + x (b - - a) + ~" < 2 (~ - - ~)1/-~ + x (b - - a) + ~'o,

si en outre:

Si donc nous nous donnons deux nombres positifs ~ et ~ , et si nous choisissons 8t les nombres positifs eo, o, z, ;~ tels que

i ~ t o + ~ + ~ (b - - a) + r + ~, (b - a) < ~,

2 o 2 (~ - ~)r + ~(b - a) + ~'o < ~,,

nous pouvons calculer un hombre fl(r e2) au plus ~gal fi t~--~ [e t ~l fl(~o, ~ , )', ~)] ' 2

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES /VI~THODES D~INTI~GRATION DE RIEMAN'N ET DE LEBESGUE. t 231

tel que, si to < ~ ( , , e ) , l'ensemble I s ( f , 0 - - II > %, ~ < t < i~, a une mesure inf&ieure ~i , .

Donc la fonction sommable quelconque f est int6grable (B,) et son int6grale (B,) est ~gale ~. son int~grale besgienne.

Seconde ddmonstration.

29. Nous allons donner une seconde d~monstration de.l'identit6 des int6grations

(L) et ( B ) pour une fonction sommable, la nouvelle d~monstration s'appliquant im-

m6diatement ~t la fonction sommable la plus g~n&ale, sans que l'on ait besoin d'effec-

tuer sur celle-ci une d&omposition pr~alable en fonctions plus simples. Nous nous appuierons sur le th6or6me fondamental dfl ~ M. LEBESGUE, que l'in-

t6grale (L) de f ( x ) d x entre a et x poss~de f ( x ) pour d~riv6e en tout point de ab

sauf 6ventuellement en un ensemble de mesure nulle.

Nous utilisons en outre cette propri6t6 que si t~(F) d6signe le maximum des int4-

grales (L) de [fl d x sur tous les ensembles de mesure ~. situ6s sur a b, ? (is.) tend vers

z6ro avec is. 6).

j'" )a Soit f ( x ) une fonction sommable, nulle hors de a b et soit F ( x ) - - f ( x x

l'int~grale (L) entre a et x. Si ~ a , on a donc F ( x ) = o ; si x_~_b, on a:

f f( F ( x ) - - x ) d x - - I. "

8o. Consid6rons l'ensemble H(, , to) des points x o

tions o < Ix - - Xo] < to, on a:

(I)

l

tels que, s i x v6rifie les rela-

F(x) - - F(xo) = f ( X o ) + 8'~, (a'~ < ,). X - - X o

Cette condition impoz6e ~ x o 6quivaut ~ la suivante. Les relations:

x ~ xo ~ x' avec o ~ x' - - x ~ co entrainent:

F(x ' ) - - F ( x ) _~ f(Xo ) + ~ , avec 8~ < x. X r ~ X

6) En eflet, si m,~ est la mesure de r e n s e m b l e n -~- I ~ If] ~ n, et si l~, ~-- m, -]- m , + , + ...,

l ' int6grale de 13', d x sur tout ensemble de mesure inf~:rieure/t ~ , est inf6rieure ~t ( l t - J l - l ) m u - q - ( n - ~ - 2 ) m n + t . 3 v ...

qui tend vers z~ro quand n croit puisque la condi t ion de sommabil i t6 est pr6cis~ment la convergence

de la s6rie n m , , .'

232 T . j . B O K S . . . . . • . . . .

Appelons H o l'ensemble des points o~ F ' ( x ) = f ( x ) . Entre a et b, H o a pour mesure b - a; hors du segment ab, F &ant constant,

on a F' = J - - - o.

Donc H o comprend tousles points x < a, x ~ b; de m~eme, H(~, co) comprend tousles points x / a - - to, x ~ b + co.

Si, ~ restant fixe, ~ < ~ , tout point de H(~, f i ) e s t dans H(~, ~ ) , car si la condition ( I ) est satisfaite pour to = ~ , la condition ( I ) est :i fortiori satisfaite pour to = ~, . Donc, quand ~ d&roit, ~ restant fixe, H(~, ~) ne perd jamais de points.

Je dis que l'ensemble H ( 0 r&nissant tousles H ( g ~.) contient H o. En effet, si en un point x , la d&iv& de F(x) existe et vaut f ( x ) , il existe un

.nombre ga, d~pendant de x, et de ~, tel que, les conditions (I b~) sont V&ifi&s quand on y rempiace to par ~ , x o par x~.

Doric, le compl~mentaire R(~)' de H(~-), formt~ par tous les points de l'axe des x &rangers 3. H ( 0 , est contenu dans le compl~mentaire R o de H o.

R o est situ~ sur le'segment a b e t est de mesure nulle. II en est donc de m~me de R(e).

De m~me que H(~) est la r~union de tousles H(~, ~), son compl~mentaire R(Q est l'ensemble commun 3. tous les R(~, ~), R(~, fl) &ant l'ensemble de tous les poin'cs de l'axe des x &rangers 3. H(~, ~).

Comme R(~, ~) d&roit en m~me temps que ga, la mesure de R(Q est la iimite de la mesure de R (g ~). Doric si ~. (~, g~) d&igne la mesure de R(~, ~), ~,.(~, fl) tend v e r s o avec ft.

Soit ~, la fonction ~gale 3. i sur l'ensemble H ( g to) et fi o sur R(~, co); de m~me soit + - - I ~ ~.

On a d? = I sur R(~, to) et + = o hors de R(~, ~o). 8L D&ignons, pour chaque valeur de t, par ~,(t) la longueur totale des inter-

valles Y l - Y~-, pour lesquels le point ~ appartient :l l'ensemble R(e, to). On a:

X(t) - - X + ( ~ ; ) ( Y , - Y,-,)" Formons

f' f' X(t)dt -- X +(~ , ) (Y , - Y,-,)"

La fonction + &ant sommable~ on a, d'apr~s la formule fondamentale ( I7) et

la remarque 0 8 ) :

Mais + &ant ~gal 3. I sur R(~, to) et 5 o ailleurs, son int~grale (L) est ~.(g to).

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES MI~THODES D'INTi~GRATION DE RIEMANN ET DE LEBESGUE. 2 j~

Done,

f ~x(t)d

en supposant toujours

positif donn&

t = (~ - - ~ + 2 a,,,) ~ ( , , to) < 2 (~, - =) ~(. , , ,,,)

to < ~ - ~ ~ nous est donn& Soit ~, un second nombre 2

2 ~ z ~ ' < ~, + ~ - - - - - (~ - ~).

Faisons ~2 - - 1/~ - - "~,, ~2 est positif en supposant ~, < I.

Alors l'ensemble K des vahurs de t, telhs que ~ < t < ~ et X(t) ~> 1/~,,, a une

mesure infdrieure d 2 (~r ~.)g~,, pour co , ( a, (e, .t~,), valeur qui entraine/~(~, t o ) , ~ , . Nous supposons d&ormais t ~tranger ~ K. 39-. Nous avons, d'apr~s ~? n t- + -~- I,

s(f , t) --- ~-- ~?('0,)f(n.)(y, - - y,_,) -I- ~-- +(~,)f(~,)(Yi - - Y,_,).

Consid6rons d'abord ie premier terme du second membre. Par d~finition de H(~, @, si Xo est dans ce dernier ensemble, on a l e s rela-

tions (~ b'~). Donc pour tous les points "~ situ~s dans H(~, ~) on a:

F ( y , ) - F(y,_,) - - f ( ~ , ) ( y ~ - y~_,) + 8ii(y , - - yi_,).(~ % O.

Observons de plus, que si le segment (y~_,, y~) est sans points communs avec ab~ on a :

2:(~,) - e(y,_,) = o, f ( , , ) = o,

donc dans ce cas 8i---o. Reud. Circ. Malem. Palermo, t. XLV (192i).--Stampato il ao maggio 1921, ~o

Donc

Choisissons le nombre a tel que pour 0~ < a , , / , (g c o ) < ~ . a, est une fonction de e et de ~,. Nous &rivons ~ - - f a (e, ~,).

Nous supposons d~sormais to ~ fa . ~2 &ant un hombre positif quelconque, cherchons la mesure ~ . ' = ~.'(e, ~,, "n2) de l'ensemble desvaleurs de t, off pour une subdivision (x~, ~i) donn~e l'on a �9 < t < ~, ).(t) > ~, + ~ .

Puisque

~ X(t)dt < 2(~ - - ~)~.(~, o 0 < 2(1~ - - 00~,,

si co ~ f~(r ~,), e tque ).('t) n'est jamais n~gatif, on a les in~galit~s suivantes:

f?

234 T. 1. uoas .

Done, quelque soit '~i situ6 dans H(~, ~) ou non:

~?(',h)[F(y,) - - F(y,_,)] --- ~(~,) f(~,)(y , - - y,_,) + a,~?(~,)(y i - - y,_,).

Car, si ~; est dans H(~, @, ~(~i) est ~gal ~i i, et l'6quation est identique • la relation ci-dessus; si ~. est &ranger ~i H( , , @, ~(.~) est par d~finition 6gal h z6ro.

On a donc toujours:

Z ~.(~' , ) f ( '~,)(Y,- Y,_~) - - zX- ~("~,)[F(Y,) - - F(y,_~)] -- y S , e?(~,)(y, - - y,_,).

D'autre part :

Z ~ ( ' , ~ , ) [F (y , ) - F(y,_.)] = Z [F(y;) - - F(y _ , ) ] - X + (~,)[F(y,) - - F (y ;_ , ) ] .

Les termes F(yl) - - F(y~_,) sont nuls, pour Yi ~ a et pour y~_, ~ b. La premibre somme du second membre est donc

1' , F(b) - - F(a) - - f ( x ) d x - - L

Donc:

X ~ ? ( ~ , ) [ F ( y , ) - - F(y ,_ , )]-- - I - - ~-+(~,)[F(y,)-- F(y,_,)].

Doric :

s(f, t ) - - I - - y 8 , , ~ ( ~ , ) ( y , - y,_,) - - Y + ( ~ , ) [ F ( y , ) - - F(y,_i) ]

+ ~ +('~,)f(~,)(Y - - y,_,).

88. Dbsignons par ).7.,, Y~, ~--3 respectivement le second, le troisibme et le qua- tri6me terme du second membre de cette derni6re formule.

Quand le segment (y~_.,),~) est ext6rieur au segment a b~ 3i = o, donc, d'apr~s

est inf6rieur ~t la somme des longueurs des segments (y~_,, y~) ayant au moins un point communavec le segment a b, donc!

IZ,[ < ~(b - - a + 2~o) .Q 2~(b - - a)

b - - a 2

en supposant ~ ~ -

34. Evaluons

On a: = 5 - + - F ( y , _ 3 ] .

F(y , . ) - - F(y,_,)--fy[]f(u)d..

SUR LES RAPPORTS ENTRE LEg METHODES D~INTI~GRATION DE RIEMANN ET DE LEBESGUE. 235

Donc :

fy/ Yi

]F(yl) - - F(y,_,)[ 11 [f(u)[du. - - !

Donc :

s lY2t _ Y + (-4,) IJ(,)l d,. --!

Puisque +(x) est nul sur H(~, ~) et ~ga/ ~t i sur R(~, ~), ]es termes de la dernibre somme ne peuvent avoir une valeur diff6rente de z~ro, que si ~ est situ6 sur R(z, co); la longueur totale des segments (Yi-,, Y,) off "oi appartfent ~ R(r o 0 est par d~finition ),(t).

Le second membre est l'int6grale j [ f ( u ) [ d u &endue 3. un champ form~ de seg-

ments (y._,, yr dont la longueur totale est ),(t). Or, t &ant suppos~ &ranger fi K, on a ~ ( t ) ~ / / ' 7 , . Donc, ]~-=1 est, pour ces

valeurs de t inf&ieure ou ~gale au maximum des int~grales [f(~)ldu &endues aux

ensembles E de longueur 1/'~], maximum que nous avons d&ign~ par p(I/~-), (29). Ce nombre tend v e r s o avec ~ .

85. Consid&ons enfin ~-3" On a

IZ,I Z; = Y y,_,). La fonction f &ant sommable il en est de m~me de ~bf~ d'aprbs + - - o ou z. Donc, suivant la formule fondamentale ( t7) et l'hypothbse 2 ~ ~ } - - %

?--~t < , ( ~ - ~) +(,)[f(,)ld,.

+(u) est nul en dehors d~ R(g ~ ) , si o~ < a ( ~ , .~,) la mesure de R(~, ~) est in- f&ieure ~ ~ .

L'int~grale du second membre est donc ins ou ~gale ~ ?(~,). Donc :

~ y ;d t < 2(i~ - ~)~(~,).

Soit ~." la mesure de l'ensemble J des valeurs de t comprises entre ~ et i~, et off:

y , __, > r

On a:

donc

~36 v. 1. ~o~s .

et

86, Les ensembles K et ] r~umis ont une mesure totale au plus t~gale ;i

2(~ - - ,,)[r + r

En r~sum/~ si co < a (r "~,), 200 < b - a, 2ea < [ ~ - �9 et si t, compris entre

~, est &ranger ~i ] e t :l K, on a :

is(,;, o - ii _z 15,1 + lY:I + 122,t < 2 -- + +

Supposons donn~s deux nombres positifs quelconques ~.~ et L . Nous pouvons choisir , et ~, tels que

I ~

et en m~me temps :

2 ~

2 ,(b - - a) + p (r + r < ,, ,

2 ( ~ - ~)[f-;- + r < ,~.

b - - a

2 Dbsignons par f~ (~ , L) le plus petit des trois hombres 2 , u (~, .~,),

alors l'in~galitfi Ca < f l (L , L) ,entralne is([, t) - - I1 . ~ ~ sauf ~ventuellement pour des valeurs de t formant entre ~ et ~ un ensemble de mesure inf&rieure ~. ~ .

La fonction f est doric int6grable (BI) et son int~grale est L 37. Nous avons vu (n ~ I4) que si ~, est int~grable ( B ) , f et f-/--if, sont ~t la

fois int~grables ( B ) ou non int~grables ( B ) , et clans le premier cas, la difference des int6grales ( B ) d e f et de f + q~ est ~gale ~t celle de ?. Cette m~me proposition sera en particulier exacte quand ~ sera sommable, puisqu'alors ? est int~grable (B,).

Plus sp&ialement, on ne modifie ni l'existence ou la non-existence ni la valeur, si elle existe, de l'int~grale (B,) de f sur un segment ab, quand on modifie indif f& remment f aux points d'un ensemble de mesure nulle.

Suites de subdivisions (y~, ~i)-

38. Soit f ( x ) une fonction sommable quelconque. Nous avons &abli que la mesure de l'ensemble ~ < t , ( f3, [s([', t ) - I 1 > ~ tend vers z~ro, avec le pas ~o de la subdivision quelque soit ~, positif, donn~ d'avance.

Donnons nous deux suites de nombres positifs ~ et ~" telles que x ~ L tend vers

z~ro, quand n croit et 2 ~ la serie ~'. est convergente, par exemple ~'. = '-~I . Alors

il est possible de trouver un nombre % tel que, si co ~ ~ , l'ensemble des valeurs de t off l'on a - - n < t • n, Is(f, t) - - I I > L a une mesure inf~rieure ~ ~'.

Pour chaque valeur de n, choisissons~ une subdivision particulibre

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES M~THODES Dr DE RIEMANiq ET [3E LEBESGUE. 237

quelconque D, ind~finie dans les deux sens et de pas inf~rieur h %. Appelous s ( f , t) la somme s (t', t) correspondant ~. la subdivision D~. Alors la mesure de l'ensemble E off l'on a:

- - n < t < n , Is (f, t ) - -I I>~-,

est inf~rieure ~. e' . . Je dis que s,( f , t) tend vers I quand n crolt, quelque soit t, sauf peut-&re pour

des valeurs de t formant un ensemble de mesure nulle. En effet, s i t appartient ~t un nombre limit~ d'ensembles E,,, soit p le plus grand

des indices de ces ensembles. Alors quelque soit n sup&ieur ~t p e t ~t Itl, on a:

Is. f f , t) - zl L ,~

Doric s ( f , t) tend vers I, quand n croit. C'est donc dans le seul cas ot~ t appartient ~t une infinit6 d'ensembles E , que s ( f , t) peut ne pas tendre vers I.

Mais dans ce cas, t appartient quelque soit p, h l'ensemble Hp form~ par la r~u-

nion de Ei , Ep+i, . . . . t Or, la s&ie .~' &ant convergente, la m~sure de Hp est au plus ~gale k ep-t-~p+, -3 t- "'"

et tend vers z&o, quand p crolt ind~finiment. Donc l'ensemble E des points t off s.() c, t) ne tend pas vers I quand n crolt est

c0ntenu dans un ensemble Hp, dont la mesure est aussi petite que l'on veut. Donc E est de mesure nulle. Nous aboutissons donc au th~or~me suivant qui contient plusieurs des r~sukats de M. HAHN [Sitz. Bet. der Wiener Ak. der Wiss., Math. Nat. Klasse, Bd. I23, II ~, I, I914):

Etant donnee une fonction sommable f ( x ) nulle bors de rintervalle a, b, et dont l'intr besgienne entre a e t b est I, il est possible de dr une suite de hombres positifs: % , % , . . . , % , . . . tendant vers z~r tels que, si D , ou (x~, ~7) est une subdivision quelconque de l'axe rgel, indgfinie clans les deux sens et de pas infgrieur ?t % , si de plus

-+-o0

S (f, t) "~ X f ( ~ i ) ( y i - - y,_,),

avec y~ ~ x~i -t- t, ~ = ~7 21- t, la fonction s (f , t) de la variable t, ~end vers I quand n croft, sauf dventueUement pour certaines valeurs de t formant un ensemble de mesure nulle.

Ce dernier ensemble E d6pend du choix de la suite des subdivisions D , mais quelque soit le choix fait, pourvu que le pas de D soit inf&ieur ~t %, la mesure de E est z6ro.

II est peu probable que la suite D puisse &re fix6e ind6pendanie de f (par exem-

pie en posant x" " i "-- ~; --- - , les p. &ant des entiers sup&ieurs h I), de ma- P , . . . p .

238 T . j . uoKs.

ni6re que, pour toute fonction f sommable, s,,(f, t) ten& vers /, sauf pour des valeurs de t formant un ensemble de mesure nuM.

89. Si l 'on a une infinitg dgnombrable de fonctions sommables f~, . . . , f p, . . . , f e grant nulle bors d'un intervalle (ae, bp) (on pourrait m~me s'offranchir de cette re-

f2 striction, pourvu que Ifpldx ffit fini) et want pour int@'ale I~ entre at, et bp, on

d&ermine pour fp une suite d&roissante et positive o,f, o,{, . . . , o~, . . . , analogue la suite % relative h f. Soit f l le plus petit des nombres %', o~2, . . . , o~,~, et D

une subdivision queIconque de pas inf&ieur i~ a . Alors, qudque soit t, dtranger it certain ensemble de mesure nulle, la fonction de t,

) Z L ( " " s t : ~ ; ) ( - - " Y; Yi-,)

tend, quand n crdt, vers Ip, pour chaque valeur de l'entier p, inddpendant de ne t de t.

Applical:ion aux sdrtes trigonomdtriques.

4 o. Soit une s&ie trigonom&rique partout convergente

f ( O ) = a o + A + A ~ - 1- . . . + A + . . .

avec A , - - a c o s n 0 + b s inn0 . Supposons que la fonction f ( 0 ) soit sommable. M. DE LA VALL~E Pousst~ a montr6 que dans ce cas on a:

I r ' ~

ao = ljo f(O)dO,

l'int6grale &ant prise au sens de M. LEBESGUE 7).

Nous allons appl!quer ~t la fonction f ( 0 ) la m&hode d'int6gration (B,). Appelons f , (0) la fonction 6gale , ' t f s i o ~ 0 ~ 2 , % et nulle pour 0 ~ o

0 7~ 2~. ~N~ O US avorls

I F ~= ao - - ~-~l,.to f ,(O)dO.

et

Quelle que soit la subdivision x~ de pas inf&ieur fi % il r&ulte du th6orSme de

7) M. DENjoY, vient de d&erminer une nouveUe m&hode d'int6gration permettant de calculer les co6fficients de la s&ie trigonom&rique convergente la plus g6n6rale dont la somme est r (Comptes remus hebdomadaires des s&inces de l'Aead6mie des Sciences, Mars, Avril, Mai I92I ).

SUR LES R A P P O R T S ENTRE LES M ~ T H O D E S D ' I N T ~ G R A T I O N DE RIEbIANN ET DE LEBESGUE. 239

M. I)E La VALLI~E POUSS~ et de la propri&4

sous les conditions et notations:

~" t O. fondamentale de lmt%rale ( B ) que,

o < x -- xr < % l imx i i=oo

- - oo, l i r a x , . - - - ~ c ~ ,

x,_, ~ ~, ~ x, , y, = x, + t, ~, = ~, + t, o ~ ~, < 2~,

+ o o

s ( f , , t) = ~ - - f , ( ' ~ , ) ( y , - y,_,), --oo

et quels que soient les hombres 0~, 9, ~- fixes, le dernier au,ssi petit qu'on le veut, l'en-

semble des valeurs de t v&ifiant o~ ~ t ~ ~ et Is(f,, t) - - 2 ~ ao] ~ ~, a pour mesure un nombre tendant vers z&o avec oJ.

41. Appliquons ce r6sultat ~ la subdivision x i --- ~____ -n~'2w" de pas 6gal ~ --n'2~

On a alors

s( f , , t ) - - ? ~ f , ( 2 ~ . ~ _lt_t) ,

s( f , , t) est &idemment p&iodique en t et de p&iode 2 ~ . n

Mais comme la fonction f a la p&iode 2 =, on a quelqne soit t:

�9 2~:'~ ~ .[2i~r t ) s ( f , , t) --- - ~ ,.v..t ~ n - -]-

42. Donc, la mesure de l'ensemble E ddfini par ~ ~ t ~ 9,

ao ( 7 ) ( " - ' )] - - -n- (t) + f t + - } - . . , - - [ - f t + n 2,x ~ ~

tend vers zdro, quand n croit, quelques soient ~, ~, ~ inddpendants de n. Nous remarquons que, si la fonction f , est int6grable au sens de RtEMASN,

int6grable (R) il est possible de trouver un nombre N d6pendant de ,, mais non t, et tel que l'on a pour n ~ N, quelque soit t,

- - , < a o - - 7 ( t ) + f t + - ~ - . . . - ] - f t q n 2v: < ~ .

o u

de

En effet, le membre interm6diaire &ant p&iodique en t et

peut supposer o / t ~ 2___~. n

Or, d'aprbs la condition d'int+grabilit~ (R), quelques soient

de p6riode 2 ~z - - , o n n

t , t , . . . , t saris-

240 T . J . BOKS.

277 faisant aux conditions o ~ t ~ -~-, la somme

tend vers

fo 2~f(O)dO = 277a o.

)] 277 /r

D0nc, si f est int6grable (R) , l'ensemble E cesse d'exister i~ partir d'une valeur

N d e n.

Si f est seulement int6grable ( L ) , la mesure de E tend vers z6ro, quand n croit.

48- On peut encore pr6senter autrement ce r~sultat, en utiiisant le d6veloppement de f(0).

En effet,

=nao+n ,4 + ~ , G + . . . + n G , + . . . . D'ofi

~--~[f(t) + f(t + ~-) + .,. + f(t + ~--~-- I 2 " ; ~ ) ] - a o

=,4,, + ~42, + . . . + ~ G + . . . .

Donc, quelques soient ~ et G posififs donn6s d'avance, (nous raisons ~ ~ o, ~ 2~), il est possible de trouver un nombre N(~,, ~-2) tel que pour n > N, Fen-

semble des valeurs de t, pour lesquelles o ~ / t ~ 2~ et

1~4,, + ~42, + . . . + ~ G + . . . 1 > ~,,

a une mesure inf6rieure ~ G"

L'int6grabilit6 (B,)plus g6n6rale que la sommabilit6.

44. Nous avons montr6 que la d6finition ( B ) de l'int6grale ~ t au moins aussi

g~n&ale que celle de M. LEJ3ESC.UE; nous allons prouver qu'elle permet d'int~grer cer-

taines fonctions non-sommables, (et non-totalisables). Si f est une fonction impaire, int6grable (B) , on aura

f_[ " f ( x ) d x ~-- o,

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES MI~THODES D~INTI~GRATIO'N DE RIEMANN ET DE LEBESGUE. 24I

d'apr~s la formuie du changement de la variable d'int6gration x en - - x (n o i6)

la convention d u n ~ I4. En effet

et

x x - - - - - - x d x - - - - x x - - - - x x.

(n ~ I6) (n ~ i4)

Done, si une fonction impaire est int6grable (B1) , son int~grale (BI) entre deux limites oppos~es ne pent ~tre que z~ro. '

Nous aUons montrer, qu'il existe des fonctions impaires, int6grables (BI) e~ non sommables.

45. Soit ] '(x) une fonction d~finie dans un intervalle (--a , a) (a > o), et i ~ impaire [en particulier f (o ) = o] 2 ~ ddcroissante clans cbctcun des intervalles ( - - a, o) et (o, a), 3 ~ telle que xf (x) - -q~(x) , fonction positive et paire, soit bornde darts l'intervalle

( - - a, a), nulle et continue pour x = o. La fonction f ( x ) est int6grable au sens de RtBMANN dans tout segment ne con-

tenant pas l'origine. Supposons-la non-sommable (alors ni x)dx, ni f ( x ) d x

ne tendent vers des limites, quand , positif tend vers o). Nous allons montrer que f e s t intigrable (B,) darts rintervalle ( - - a, a). Son in-

t~grale (B,) est alors n~cessairement z6ro, comme nofis venons de le montrer. 46. I1 n'est pas moins #n6ral de supposer que la fonction f est 6gale ~. o pour

x - - a et pour x - - - - a . En effet, si une s + est sommable, f et f-}-,J? sont ou non en m~me

temps int6grables ( B ) , (n ~ 37).

f[~ Si - - o les int6grales (B,) des deux fonctions f et f ' + + entre

- - a et ~t_ a sont +gales.

Posons + --- - - f ( - - a) pour x < o , et + - - - - f ( a ) pour x > o , +(o)-~--o.

f JI-+ devient une nouvelle fonction fx remplissant toutes les conditions impos+es /t f .

De plus f, (a) - - o, f , ( - - a) - - o. Enfin f et f , sont en m~me temps int6grabie (BI) ou non, et dans le premier

cas leurs int6grales (B,) sont 6gales.

Supposons done d~sormais f ( x ) - - o pour x / - - a et x ~_~ a.

47. Soit (x~, ~i) Une subdivision ind+finie dans les deux sens et ~ un hombre au moins 6gal au pas suppos+ fini des x~.

A 6tam un nombre positif, trbs grand, nous formons les intervalles ~uivants :

Rend. Circ. Matem. Palermo, t. XLV ( t 9 2 t ) , - - S t a m p a l o il 21 maggio 192i. 31

.242 T . J . B O K S .

! I t I ~ autour de chaque point x i un intervalle (x l , x l ) , ayant pour milieu x i e t dont

la demi-longueur est le plus grand des deux nombres xi --d x.,_, et x~+,A-- xl '

2 ~ autour de chaque point {i un intervalle (~i, ~'i') ayant pour milieu {, et dont

X i ~ Xi_ I la demi-longueur vaut A

t t ^ t I1 est ~t remarquer qu'il peut se fake que x i ~ / x i ' ' - et; de mcme, que .v'~ ~ x~_,

(bien entendu ces deux in~galit& ne peuvent pas &re %rifi&s en m8me temps). Si

X" X" X' < i-, on a n&essairement x.,_l - - xi_ = > (x i - - x i _ , ) ( I -]- A). Si x'i < i-, on a n&essairement (x, - - xi_,)(I -}- A ) < x~+, - - x~.

Mais on a toujours:

x ' . = ~ at ,. x x i_ , P o s o n s

y, = x, + t, ~i -'- ~, + t,

P

Yi - - x' ' ' i + t , ~, - - ~ i "Jr - t ,

y'[ - - x " " = , + t ,

dolt rester compris entre ~ et ~.

Nous exduons de l'intervalle o~ ~ les valeurs de t, pour lesquelles le point o est dans r i l 'un au moins des intervalles (Yi, 3'i') ou ('~,, "d'~ i J, c'est :~ dire les valeurs de t pour

lesquelles existe au moins une valeur de i v&ifiant, soit

y'; ~ o ~ y ~ ' , donc - - x"i ~ t ~ - - x'i, soit

Pt t

48. Quelle est la longueur totale des intervalles form& par les valeurs exclues de

t, et que nous appellerons intervalles-t exclus ? Ces intervalles sont:

1 ~ les. parties communes A l'intervalle ~[~ et aux intervalles ( - -x"~ , - - xl) ,

2 ~ les parties communes ~t l'intervalle ~ } et aux intervalles ( ~ "" - -

Consid&ons d'abord les premieres. D'

Pourqu'un intervalle ( - - x ~ , - x l ) a i t nne partie commune avec ~}, ou bien

qu'un intervalle (x'~, x'~') ait une partie commune avec l'intervalle ( - - } , --~ ~) il faut

qne l'on ait ~ la lois x'i' ~> - - } et x~ < - - ~. Soient r et s respectivement le plus petit et le plus grand indices des intervalles

x' x") empi&ant sur ( - - } , - - ~ ) . i ' i , "

On a : - [~ < x;' et x; 'p z ~ --[~ quelque soit l'entier p positif, et de m~me t X~

x") d'indice i tel que r < i < s I1 n'est pas n6cessaire que tous les intervalles ( x i , . i .

empi~tent sur ( - - ~, - - g ) .

SUR L E g R A P P O R T S E N T R E LES MI~THODES D ' I N T I ~ G R A T I O N DE R I E M A N N E T DE L E B E S G U E . '~4~'

Mais il est s~r que la contribution des intervalles (xl, x'~')dans la longueur totale

des intervalles-t exclus de 0% ~ est inf&ieure ou au plus 6gale ~i la longueur totale

des intervalles d'indice i tel que r ~ i .~ s, augment& de partie de ( - - ~ , X'r' ) et

(x'~, - - ~ ) , ces derni6res longueurs &ant d'ailleurs chacune inf&ieure ~t 2~o A "

Pour calculer la contribution des intervalles pour lesquels r <[ i ~ s, nous &rivons :

" x' , ~ 2 xl ~ xi-~ .Of_ :2 xi+r ~ x; x , . ~ ~__ d d

Donc:

d , - , , x , , ~ x r x , ~ x r + ~ 4 x , - - x r S - ( x " - - xl) < 2 - .3 c- 2 "~ "~ 4 ~ + . i d d d d

Donc les intervalles (xl, x'i' ) donnent darts la longueur totale des intervalles-t exclus

de ~, ~ une contribution inf&ieure ~t

2 ~

(5 - - ~ + ~ - 4 ~~

4 A + 7

Consid&ons les intervalles4 exclus provenant des ~i~,'~'. I ! ~IF " z" ~, et que ~;' , / x,_x, on a .r-, z" ~. Puisqu'on a x r , m ._

�9 D'autre part, puisque x' 2 x - - ~ et que " "x x' S + l - - - - $ + I - -

intervalles ( ~ _ , , ~_,)e t (~,+2, sont donc ext&ieurs ~t ( - - [~, - - ~ ) ,

Donc les intervalles (~'i, ~;') donnent clans la longueur totale des intervatles-t exclus

de ~, [3 une contribution inf&ieure

s+x s + t Xi ~ X i_ l = 2 X s + I ~ Xr_ i y (~',' - ~',) < 2 y .4 .4

r r

2 0 ~ - ~ + ~ - - - - - x , - - x r 4 o~ = 2 x'+' x ' + 2 x r x ' - ~ + 2 ~ < + 2

La longueur totale des intervalles-t exclus est donc inf6rieure

2r

6 .4 + 8 ~ = .4 2 ( ~ ) + ~ - ~ �9

Si nous supposons donc ~o - - 8 - - et A ~ 2, la longueur totale des intervalles-t

oxclus est inf6rieure h 8 ~ - - x Nous d6signerons par K l'ensemble de ces valeurs A '

de t exclues.

~44 T .J . Bo~a .

49- Supposant que t a une valeur non-exclue, donc &rangbre ~ K nous allons consid&er diverses esp&ces de termes de

"4-O0

s (f , t ) = ~ - f ( ~ , ) (y, - - y,_,). _00

I ~ Le point z6ro ne coi'ncide avec aucun point yz, donc il y a un ent ierp d~fini

par les conditions Yp-i < o <~ yp. Consid6rons le terme d'indice p :

f('%)(Yp -- Yp_,). On a:

~(5 ) , f( '%)(yp - - yp_,) - - ~ I.yp - - yp_,).

! 0 Le point z6ro ne tombe pas dans l'intervalle (~p, ~p), sinon la pr&ente valeur

de t aurait 6t+ exclue, donc:

151 > ~p - - ~p yp - - yp-' 2 - - A

Or, par hypoth&e ~(x) tend vers z~ro quand x tend vers z~ro. Soit 0 (o 0 le maximun de ~(x), quand x satisfait a la condition Ixl < o~; [0 (~)

tend vers z~ro, avec co]. On a:

(i) f(*i,)(Yp -- Yp-,) -- 8'oA0(60) avec 8' o' < I . '

Par consequent, A 6tant ind6pendant de 60, le terme d'indice p tend v e r s o a v e c 60.

2 ~ Quelque soit i diff6rent de p, puisque la fonction f est d~croissante autour de tout point distinct de l'origine et que z6ro est ext6rieur au segment (Yi-,, Y~) on a:

f(Y,)(Y, --Y,-,) < ~ f ( ~ , ) ( Y , - Yr ( f ( Y , - , ) ( Y , - Yi-l).

De m~me :

f ( Y 3 ( Y , - Y,-.) < .,~,-ff'f(x)dx < f ( y , _ , ) ( y , - y,_,).

Donc :

f ( ~ ; ) ( y , - y,_,) f ( ~ f ( x ) d x ~ , [ f ( y , _ , ) - - f ( y~ ) ] ( y , - y~_,) avec 8~ < I.

i peut avoir toutes les valeurs enti~res except~e p. On a donc:

p-i [yp_~ ~_. f (~)(y~- y~_,)- f (x )dx - - t . , Q q t l ~ a

(~) p_,

= 8' 3- [ f (y ,_ , ) - - f ( y ; ) ] ( y ~ - y~_,) avec 8 '~ ~ I. ~oo

gUR LE3 RAPPOR:'S ENTRE LEg M~THODEs D'INT~GRATION DE RIEMANN ET DE LEBESGUE. 245

(3) Lf(.~,)(y , -- y,_,) -- f(x)d x

= 8" 2 if(Y,-,) - - f(Y,)](Y, -- Y,-,), avec /)§

En ajoutant les relations (i) , (2), et (3), nous obtenons:

~p,2 < I.

(4) -"~J('~') ( Y ' - y'-') -- f ( x ) d x - f (x)dx t i#~r _-= 8' 0 A0(0 0 + 8 ~-'[f(y,_,) 2__ f(y,)](y,_ y,_,).

avec 8 * < i, et en d~signant par Y ' une somme off manque uniquement le terme correspondant A i - " p.

5 o. Consid~rons d'abord les deux int~grales figul~ant dans la relation (4). Changeons dans la premiere la variable x en-x; f(x) &ant une fonction impaire,

il vient :

Des deux limites positives - -y ,_ , et yp de l'int~grale &ant l'une et l'autre i-nf~- rieures A co, on a 9 ( x ) < 0 (~0) datis tout l'intervalle ( --y~_, , yp), on peut donc &rire :

j r ' dx YP 9(X)dx if_i[ ~X- I lg y,_, �9 Y,-,f(x) = f_y,_, x < 0(~ - , - - 00~ YP--"

Posons :

Nous avons :

I

I + 8" Y~ - - Y,_,

sinon le point z&o dont la distance A yp est ~videmment y, (y;, y';).

De m6me,

+ I -- y~ -- y ' - ' < A, - - y , _ ,

F 1# sinon le point z&o serait dans l'intervalle (y~_,, y~_,). D'ofl :

I ~ A - - I et --~A--I. /J.

serait dans l'intervalle

246 "r. j, BOKS.

e t

Donc,

f~P f(x)dx=-8'O(oOlg,(A-- i) Yp-x

avec a, 2 < I.

5I. En rdsumg :

s(f , t) - - _ ~ f ( ~ , ) ( y , - y,_.) - - a'O(0Olg (A _ i ) + a 'AOOa )

-Jr- a X ' If(Y;-,) - - f(Y,)](Y, = Y;-,),

ou enfin, en remarquant que l o g ( A - i ) ~ A e t en posant:

U(t) = ~-'[fy,_.) - - f (y , ) ] (y , - - Yi-i), (i # p), Is(f, t)l < 2 A O ( o ) + U(t).

On suppose t situ~ hors de l'ensemble K exclu, de mesure inffrieure ~ 8 [~ - - ~ A

52. gtudions maintenant la somme U(t). Posons

u, (t) --= [f(y,_.) - - f (v , ) ] (y, - - y~_.),

Formons :

o n a : .4-oe

v(t) = y ' u,(O.

J "-- f e U( t )d t ,

E &ant le compl~mentaire de K par rapport fi = }, donc l'intervalle ~, ~ diminu6 des intervalles - - x" <" t<" x' - " J - - - . - - i ' -~j < t < - - 4}. Cherchons la contribution du terme u i( t) dans cette int6grale J.

Cette contribution est l'int6grale J i - - / _ ur le long d'un champ E, consti- i

tub par E, d'ofl l 'on retranche les valeurs de t pour lesquelles ui( t ) ne figure pas ~dans U(t), c'est ~l dire pour lesquelles

On a Yi-x "~ o < [ y , , ou - - x; . < t < - - x~_~.

J = Y_L.

58. Comme u, (t) est positif, quand z&o n'est pas compris entre Yi-. et yl , et a

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES MI~TItODES D'INTI~GRATION DE RIEMANN ET DE LEBESGUE. 247

fortiori, quand t est ext&ieur ~i l'intervalle ( - - x " i ' - x L 3 , on 2:

r x t r ~ o ~

J_-' 2 < u,( t )dt -1- u,(t)dt. oo x~_!

OU u,(t) --- (x, - - x,_,)[f(y,_.) - - f ( y , ) ] ;

avec y~ = x, + t, y,_, = Xi__ I + t,

Un calcul trbs simple, fond+ sur des changements de variables dvidents et sur

l ' i den t i t 6 f ( - - u) = - - f ( u ) , nous donne:

+ x'-').fx ' - ( u ) d u . Ji < (X i - - Xi--I)Qj

Ces deux derni~res int6grales sont positives, d'apr~s o ~ x ' / - - x i ~ x~ ' - -x i_ '

e t o < X,__ I - - X~__ I < X i - - X;__ l �9

54. Pour limiter sup&ieurement ces deux int+grales, nous utilisons la remarque suivante :

(x) dtant une fonction dgfinie pour o < x < a, nulle et continue d l'origine, sore-

tout intervalle (~, a), si ~ est positif, l" intdgrable- f s + ( x ) - 7 tend vers Kgro mable dans

avec to, si l'on suppose ,( < ~ < "((I + A) et o < 8 - - y < to, A dtant un hombre inddpendant de to et de T.

En effet, d'aprbs lira .~ (z) - - o (x ~ o), quelque soit z positif donn6 d'avance, x~o

nous pouvons trouver un nombre positif ~ d+pendant de , et de A [~ = ~(*, A)] tel que, si o < x < ~,(*, A), on a

I+(x)l < l g ( I .ql_ A)" Alors, I ~ Si ~ < ~ (~, A), on a:

f v s dx e 8 + (x) 7 < lg ( i q- A) lg T <~"

- - P/~ +.(x) ~ - = g" (u) &ant con- la fonction ' dx 2 ~ Si ~ ~ ~ (~, A), d'ofi 7 ~> I + A t / u

tinue par rapport ,~ u sur le segment de "~ (:, A) ~ a, il est possible, puisque la con- tinuit~ sur un segment est uniforme, de d~finir un nombre fl, d@endant uniquement

de s e t de i_t_ A ' t ' (donc de e et de A) et tel que, sous tes conditions I + ~ ~ y ~ 8 7 1

et o < 8 - - y ~ , on ait:

Ig(~) - - g('r)l < ~.

248 T , J . B O K S .

Or~ P s d x

g(a) - g(v) = J , + ( 0 x @

Ceci m o n t r e q u e les conditions ~, < 8 < "f(~ + A), o < a - - y < ~(~, A) en-

tralnent

55. Je dis que, en vertu de cette propri&6, il existe un nombre ~ (~, A) t e l que si o ~ fl , , toute int6grale

' t__ x ,

t / j t x . x l ' - - t

est inf&ieure A r En effet~ si nous posons dans le

et f . . . . ' '-': f ( ) d u u

~1 x i - - f i t

r! premier cas y - - x~ -- xi, ~ . _ - - X rr

dans les deux et dans le second cas "1' = xi_, - - xi_~, 8 - - x i - - xi_,, nous avons

cas o < . r < ~ , ~ - Y < c ~ et en o u t r e - - < ~ I + A .

N o u s sommes dans les conditions d u n ~ 54, en posant q , ( u ) = u f ( u ) = ~(u). Soit a (,., A) le hombre d~sign~ ci-dessus par f~(~, A) et correspondant ~l l'ac-

ception q~ (u) de la fonction + (u). On a donc, quel que soit i, J~ < 2 ~(x i - - x , _ , ) , pour o, ,~ ~ .

D'ailleurs, si le segment (~i-, , Yi) est, quelque soit t compris entre ~ et ~, ext~- rieur au segment ( - - a , a), on a ui(t ) = o, donc en ce cas

P L = f u, ( O i t = o.

i

oo

Donc ~-_Ji se r~duit A la somme des Ji correspondant aux indices i telsque, pour

au moins une valeur de t comprise entre ~ et ~, on ait • la fois - - a ~ y i et

Yi-, ~ a . II faut donc, d'apr6s Y i ~ + x i et Y i - , ~ ~ que - - a < ~ + x i et

a > 0 ~ + x i _ , , ou ~ la fois x = , ~ a - - ~ et x i . ~ - ( a + ~ ) . La plus grande valeur p des indices i est telle que x~_, ~ a - - ~ ~ / x p . Leur plus petite valeur q relnplit les conditions xq ~ - - (a + ~) _~ xq_,. En somme, J i I o pour i ~ p et pour i ~ q , et J i ~ 2 ~ ( x i - x i _ , ) , si pL.~i_~_q,

c o % a . Donc: oo

J = Y L < 2 (xp - x_,). --OQ

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES METHODES D'INT~GRATION DE RIEMANN ET DE LEBESGUE. 249

Or d'apr~s x~--x~_,<to, x--x,<to, on a x~--x_,<2a+~--o~-i-2to<2(a-{-~--~),

d'apr~s to < 8

E~ ~sumb, si ~ < u (~, .4) on a:

P

J JeU(t) dt < 4~(a + [~ - - ~).

56. Soit F l'ensemble des points de E off U(t)> ]/~. Alors si ~. est la mesure de I', U(t) n'6tant jamais n%atff, on a

On a donc, sur l'intervalle ~ , U(t)/l/-~ en dehors d'un ensemble H de valeurs de t, r~unissant, les intervalles K et l'ensemble F.

57. La mesure de H est inf~:rieure ,h 8 ~ + 4 l/~ (a-4_ [~ - ~) si to ~ ~ (~, A).

D'autre part on a toujours (5I) sur E (compl~mentaire de K par rapport ~t ~ ) :

done, sur H : Is(f, t)l < 2A0(o) + U(t),

Is(f, t)l < 2A0(,~) + ~ .

Cela 6tant, donnons-nous deux nombres positifs quelconques ~ et ~ . Nous choisirons too, ~ e t A, fonctions de g et ~ , tels que

i ~ 2.4 0 (~o) + r ~,

2 ~ 8 ~ + 4 l/~-(a + i~ - - ~) < ~ .

Par exemple, nous prenons 1/~" inf~rieur au plus petit des deux nombres L et 2

8(a nt--~ ~), A sup~rieur ~t ~6(~ ~) puis too assez petit pour que 0(too) < 4A

Alors ~ (~, A) se calcule il l'aide de ~, et de ~ (.54); de m~me que co o. Nous d~si-

gnons par co(e, ~2) le plus petit des nombres ~ - - ~ 8 ' to~ ~ "

Cela pos6, l'ensemble des valeurs de t v~rifiant Is(f, t)l > ~ avec ~ < t < ~, a une mesure inf~rieure ~l e , quand to est inf~rieur ~ co ( e , e).

Doric la function f est int~grable ( B ) sur l'intervalle ( ~ a, a) et son int~grale (B,) est o.

Rend. Circ. Ma~em. Palermo, t. XLV (192I) . - -Stampato il 2I maggio 1921 3~

2jO T . j . BOKS.

Fonct ions total isables, ma i s non in tdgrables (B,).

58. Les conditionsque f ( x ) soit impaire et que x f ( x ) soit continu et nul ~ l'ori-

gine suffisent-elles pour que f ( x ) soit int6grable ( B ) ? Nous aUons voir qu'il n'en est .rien en donnant un exemple d'une fonction satis-

faisant aux deux premi&es conditions, int6grable m4me au sens habituel entre - - a

et a, mais non int6grable (B) . d fortiori cette fonction est non sommable sur le

m4me champ.

59. Soit fo(x) = ~(x____) une fonction remplissant les conditions de l'&ude pr&6- x

dente, ? (x) d6finie d e - a ~. + a , est paire, continue et nulle ~t l'origine, fo(x) est d&roissante dans tout intervalle ne contenant pas l'origine~ mais n'est pas sommable

sur le segment ( ~ a, a). Enfin nous supposons fo (x) nul hors de l'intervalle ( - - a , a). Nous pouvons d&erminer de proche en proche une suite de'nombres d&roissants,

positifs, a = a,~ G, " ' , G , .... tels que, si l'on pose:

(i) on ait

r , . d

+ " ' "

En effeb soit G queLconque, inf&ieur ~ G ~ et

, ( ' f o ( X ) a X = . , .

D'apras fo(X) > fo(a) pour o > x > a, on a u > o. Puisque

croit ind6finiment quand ~ tend vers z6ro par valeurs positives~ (fo est non sommabte

par hypothhse il est possible de choisir a 3 tel que

De m~me, ayant d6fini G, a~ . . . ~ G, nous pouvons trouver un nombre positif

a.+, tel que

f,[ ~ fo (x )dx - - u > n(u , --[- tt_~ -~- . . . . - ~ u ), - F I

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES Mt~THODES D~INT~GRATION DE RIEMANN ET DE LEBESGUE. 2 J I

variable. I1 est ais~ de voir que

En effet,

puisque le premier membre croit ind~finiment quand a + ,

a crolt ind~finiment avec n. an-l_ !

crolt ind6finiment, d'apr~s

f ~ )a fSw - - - X X

an+ !

tend vers z6ro, n &ant in-

/

u,>n(u, ,_ ,+u, ,_~+ . . . + u , ) > n u , et u > o .

Or, d'apr s lira ~ Xfo(X)= o, "n est gal

' s dx ~n :t

X + !

~ &ant inf&ieur au maximum de ~ ( x ) - - X [ o ( X ) entre an+ , e t a .

Doric u n - - ~ . lg a donc- an u ~ A,, avec .,4 n "-- - - . a n § t a , , + , ~-.

D0nc a. crolt ind6finiment avec n.

6o. Soit f (x) une fonction impaire, telle que, pour a.+, ~ x < a

f (x) = fo (x) sin (b. x + 0%) ;

alors, pour - - a s < x ~ - - a.+, , on a

f (x) - - f o ( X ) sin ( - - b x + o~ ).

Nous prendrons b. entier et tel que, quand n croit

I ~ an+ , b tend vers z6ro, 2 ~ a nb n crolt ind6finiment. Plus pr&is6ment, nous choisissons b 6gal A la valeur enti~re A une unit6 pros

par exc~s de F t ~ b crolt ind6finiment, d'apr~s a n + !

I t / ~ - - . f ( a , , + , ) , a§

et le rapport de b n A 1/~(a"+') tend donc vers I.

Alors la premiere condition:

lira a+ , h = o

est 6videmment remplie, puisque ~(x) tend vers z&o, quand x tend vers z6ro.

Je dis que la seconde condition peut aussi &re remplie, en imposant A la suite

a, une nouvelle condition.

tS~ T . J . ~OKS.

En effet, a , a~, . . . , a,, &ant suppos/es choisis, la relation ( i ) ne limite a ..... que

dans le sens de la croissance. Nous pouvons donc prendre a + , assez petit pour que

a+ , < a~. Alors on a:

a b n ~ a . ~ - - - - an+~

qui crolt indgfiniment avec n.

61. Consid~rons la subdivision

. > Cfo(a+,) ,

et formons la somme

2 i= ,

oo

s ( f , t) - - ) - - f (~ , ) (y , - - y,_,)(~, - - ~, -4- t, y, - - x, + t). - - o o

2 ~ Ii est 6vident que s ( f , t) est une fonction p6riodique de t de p~riode -~2-. L'en-

semble [s(f, t)[ > i que nous allons 6tudier poss~dera la m6me p6riode. La mesure

is. de cet ensemble E sur. une pattie quelconque ,e - - ~ - / t < ~ + ~ de l'axe

r6el sera ind6pendante de ~. ~, sera le quotient par b de la mesure ~ de E dans le

champ o L t < 2 ~ . 0

Inversement, si ron pose t - - ~ + ~ avec - - ~ ~ / 0 < =, les valeurs de 0 for-

ment un ensemble dont la mesure est ind6pendante de ~ et vaut b n~, , donc g..

Ainsi la mesure de l'ensemble is(f , t)[ ~> i, o l ' t < 2~ est ~gale A la mesure 0

de l'ensemble des nombres 0, tels que Is(f , t)] > I, t - - b ' ~ / 0 < ~.

Cherchons la mesure de cet ensemble de valeurs de 0.

62. Les ~ se divisent en trois groupes caract6ris6s par les conditions respectives

su ivan tes I ~ 2 ~ ~/l 't~i[ < a , 3 ~ _ _

t~tudions successivement ces trois cas.

I ~ Cherchons la mesure des valeurs de 0 pour lesquelles

- - an+, < ~i < an+,. D'apr~s

et 0

t - - - - -

on a: 2 i ~ 0

- a.+, + < an+,,

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES M~THODES D~INT~GRATION DE RIEMANN ET DE LEBESGUE. 2j:~

OH

--a,+,b ~ 2 i ~ . + O < a . + b.

Or, quand n croit ind6finiment, a.+, b tend vers o, donc A partir de la valeur N de n telle que aN+ ~ b N < ~r, i ne peut avoir que la valeur z&% puisque 0 est

compris entre ~ ~ et ~. Le premier cas est donc r&lis6 uniquement par no et sous la condition

- - a . + , b . < O < a +,b..

Donc la mesure de l'ensemble des valeurs de 0 pour lesquelles un des ~ tombe dans l'intervalle ( - - a + , , a.+,) est inf~rieure ~l 2 a + , b ~t partir de la valeur N'de n.

2 ~ Consid&ons les "~ tels que a . + , / I ~ , 1 < a. .

D'abord nous formons la somme Y f ( ~ , ) ( y , - y~_,) relative aux indices i tels

que a+ , L ' ~ ; < a . Nous d6signons cette somme par ~ - .

Nous trouvons

2 ~ 27~ - �9

- - i f - ~ , f o (~,) (b,, "~, ~-lf(~,)(y, - Y,_,) = ~ ~',f('~,) = sin -n t- %)

d'apr~s

Or, si l'entier s est tel que

__ 2 ~ sin (0 + %) Z , f o ('a ,)

2i~ 0 b + b . "

a"+' "~ --~. < a" d a"+' + b. =,~(s + I)

nons avons d'une part, la fonction fo(X) &ant d&1"oissante pour x > o:

2= 2~ 2 s , ~ l ~[,o~~ +... ,,o(~ ~ ,, f." ~'[,o( ~~ ( .,-~i > .,L(x)ax=..>~ a+,+~ +'"+L a,.,+7~l];

d'autre part:

2 ~ 2 ~ 2 s ~ ~ l 2 ~

> ~b( , . . + ~ ) , ... ,~o(,+. + ~ ) ] puisque dans chacun des intervalles (accrus de leur extr~mit6 gauche) s~par& par les

254 T . J . BOIIS.

points

existe un point ~ Doric

2~ 2s~ 2~(s + I ) a . + , ~ F , . . . , ~ . + , T " -' b ' ~"+ '+ ~

et un seul.

(0

(2)

2= 2,~ 8= Z,fo(~<) - - u + 8--D~fo(a.+i) avec , ,~ I,

2 , '~ f . _ - - u -3 V 8 p ( n ) , en posan t ? ( n ) ~--- ~ - / o ( a . + x ) .

Or, b &ant la valeur entiSre par exc~s de ]/~-~+'~), nous avons an+i

p. ~ ( a.+, ) < r ).

Donc [~(n) tend vers z6ro~ quand n crolt. D'apr6s f (~ , ) = sin (0 + %)fo(t,), nous avons:

Y,S(~ , ) (y , - y,_,) = [.,, + ,~, P (~)] sin (0 + ~o). Les termes pour lesquels - - a . ~ ~i ~ - a+, donnent pareiUement la somme:

Y , f ( ~ , ) ( y , - -y ;_ , ) = - - [u, + 8 p(n)] sin ( - - 0 --}- ~ ) avec 8: < I.

Donc :

~ - -1- ~-= = 2 u,, sin 0 cos % + 2 8 l~ (n) avec 8 = < I.

Nous ferons d~sormais % = o. 3 ~ Consid~rons les valeurs de i telles que l~il D a .

Les termes pour lesquels ~i ~ a donnent une contribution 5-3f(~Xyi--y~_,) qui

est en valeur absolue int&ieure A 5-.,fo('41)(Y~--Y;_,); mais la somme .~[.3fo(~7)(y,--y,_,) diminu6e de son premier terme est inf&ieure A

f~ a n

Donc

O r ,

y,_,)t < f~ + So(a.) a n

= (u _,. + u : + . . . -}- u,) --J- fo(a ) ~ .

fo(a ) _ ~(a,,)_ b. a. b

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES MO.THODES D'INTI~GRATION DE RIEMANN ET DE LEBESGUE. 2 j ~

tend vers z&o, quand n crolt, donc:

1~3f(~)(Y~ -- Y~-,)I ~ ~- + ~.' ( l i m , - - o).

Les termes pour lesquels ~ ~ - - a ont une somme ~--4 v+rifiant aussi l'in6galit+ pr&6dente.

6 3. On a en r6sum6, si a . + , b ~ [ 0 ] . ~ = .

2~u. ~,, s (f, t) - - 2 u sin 0 + ~ -{-

avec l im , ' = o e t 3~ < I.

Soit ~ un nombre positif tr6s petit et fixe. A partir d'une certaine valeur N, de n, on a d'une part a+,b ~ ~, d'autre part

2 2

u > sin ~ ' n > sin ~ ' I*s < i.

Soit 0 un nombre quelconque v&ifiant les condkions:

2 i = + 0 Alors s i t - - O n a :

n

Is(f, t ) l > 2 u s i n ~ = - - - - - i > I. n n

Donc la mesure de l'ensemble o ~ t < 2 re, Is (f, t)l > i, relatif ~. la subdivision

2ir~ tend vers 2= quand n croit. x i = ~ ; - - b '

D o n c f n'est pas int6grable ( B ) .

6 4. Nous allons montrer que, moyennant une condition suppl&nentaire impos6e

aux a, x)dx a un sens, selon les conventions habituelles ( f est dans ce cas

matisable).

Ea fonction f &ant impaire, il nous suffit de montrer que I = f (x)dx a un

sens.

Posons

I. = f ( x ) d x . + !

Pour que I existe, il s et il suffit

i ~ que la s~rie I soit convergente,

2 ~ que le maximum o de x)dx pour a + , ~ x ~ a , tende vers z~ro, ,a a n + l

quand n croit.

256 T . j . BOtr

O n a :

f ( x ) d x -'- ~( b x d x - - - - + l z X a n + l b n 11~

U.

Puisque ~(x) n'est jamais croissant, on sait que cette intr est en valeur ab- X

solue inf&ieure, quelque soit x ~ a + , , ~

~_ (a,,t,). /"~ a,,+,b do s i n u d u , ~ 2 1 / ~ .

Donc % tend vers z4ro. Pour que la s6rie / soit convergente, il suffit de choisir les a assez rapidement

d&roissants pour que la sbrie 1/~(d~,+,) soit convergente. Cela est possible puisque ~(x) tend vers z6ro avec x. Aux conditions impos6es ~t G+,, supposant connus a , G, " " , a, , savoir

u, > n ( u _ , -1 t- . . . --{- u,), a.., < a. ~,

nous ajoutons celle-ci: I

< 7 ' I

alors }II ~ 4" 2" "

La s6rie est donc convergente, f ( x ) est totalisable. Et la fonction f ( x ) n'est pas int6grable (B,) sur l'in'tervalle ( - - a , + a) bien-

qu'elle soit d'une part int6grable au sens habitue! (et par suite) totalisable darts ce champ, d'autre par t impaire avec une valeur absolue constamment inf&ieure ~ ceUe

d'une fonction impaire int6grable (B) . Ceci montre que les mesures p.(~), p.'(~) des ensembles f ~ 2 , f ~ _ ~ ne

sont pas seules ~t intervenlr dans la condition n&essaire et suffisante pour qu'une fonc-

tion f soit int6grable (B) . La r~partition de ces ensembles joue un r61e essentiel dans cette" condition in-

connue.

On prouve ais6ment que f ? ( x ) s i n b, x d x croit ind6finiment avec n. Donc 65.

f ( x ) n'est pas d~veloppable en s6rie trigonom&rique dans le champ - - ~r ~ x ~ ~. �9 I t " * ~ " ] I1 serait mteressant de chercher si la somme de route serle mgonomemqr e con-

vergente est ou non int6grable (B,), tout au moins quand on emploie exclusivement des subdivisions p4riodiques (xi, ~i) admettant pour p6riode une pattie aliquote de 2 z;.

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES METHODES D~INTI~GRATION DE RIEMANN ET DE LEBESGUE. 257

Gdndralisation de l'intdgration (B,).

66. Jusqu'ici nous avons suppos~ que la subdivision mobile (Yi, "~i) varie lin~ai- rement avec le param&re t.

Posons maintenant :

y , - - ) . ( x ~ , t), ~0, - -X(~, , t), off ~,(x, t)

est une fonction continue par rapport :'t l'ensemble des deux variables x et t, croissante

en x et t s~par&nent, et dont tes deux d&iv&s par rapport A x~ et t sont

I ~ continues,

2 ~ toujours positives ~-~ = o, - ~ - - o exclus .

Nous allons montrer que, si f est sommable entre ae t b, nulle bors de ab et si son intggrale besgienne entre a et b est ggale it I, alors quand on pose:

S( f , t ) = ~__. f (~)(y~- y~_,), --co

l'ensemble ~ ~ t ~ ~, IS(f, t) - - [] ~ ~, a une mesure tendant vers ~dro avec % sous les seules conditions o < x , - - x i _ . < % x ~ _ Z ~ , ~ x , , l imx,---Jr- oo, l i m x ~ - - - - ~

i~+oo i~--exr

(co ind~pendant de i, xi, ~.i ind~pendants de t).

67. Nous nous bornerons ~t d~montrer la formule:

y f ( ~ ) ( y , - - y~_,)dt = (~ - - ~) f ( x )d ,x n u 8~ (~), (8~ < ~),

(~) &ant une certaine fonction tendant vers z&o avec % ind@endante du choix des x~ et ~ , calculable connaissant seulement les fonctions f ( x ) et ),(x, t).

Ayant &abli ce lemme on ach~verait la d~monstration comme aux paragraphes

26-28 par exemple.

68. f ( x ) &ant d~finie sur l'intervalle a b et ~gale ,~ o hors de a b il est inutile de s'occuper des termes pour lesquels ~ est toujours sup&ieur ~ b, ou toujours inf& rieur ~ a.

Les in~galit~s ;~(~i, ~) ~> b e t ~.(~, ~) > a d&erminent les valeurs exclues de i.

Soient a et b les valeurs de x d&ermin&s par les relations ),(a,, ~ ) = a, ~,(b, ~) = b.

Nous Supposons a / x~ et x~_, ~ b . Nous d~signerons respectivement par p et q la plus petite et la plus grande va-

leur de i satisfaisant ?t ces conditions, o n a:

% _ , < a / x ~ et x _ . / b < x .

Rend. Cite�9 Matem. Palermo, t. XLV (i92 O, - -S tampato il 2~ maggio ~92i. t3

258 T. 1. BOriS.

Observons que a, ~ xp_, -}- % b ~ xq - - to.

Si i<p, -~ ,=X({ , , O ~ X ( x , , } ) < X ( a , , } ) < a , et de meme si i>q, ~,>b. Done,

4-oo q

S([, t ) - - Zf(~,)(y,_. - - -y ,_,)= ~ f ( ~ , ) ( y , - y,_,).

69. Or :

f(~,)(y, - - y,_,)-- f(~,)[X(x,, t) - - k(x,_,, t)] --fl.~,) " t)(x, X i _ l ) c3 ~i J

en appliquant la formule des accroissements finis .~ la fonction )., ~'~ &ant un nombre compris entre x~_, et x~.

Dans le champ

0 ), (x, t) o3 ), (x, t) a - - o L x L b , + % ~ L t L ~ , Ox ' c)t

sont par hypoth6se continus et positifs. Ils restent doric compris entre deux nombres positifs A et B (A <~ B) ind+pendants de x et de t.

D6signons par a x, A t deux accroissements donn6s ~t x et ~. t et par A u l '~crois- sement correspondant s un par une fonction u de x et de t. Alors, A tout hombre positif ~.~donn+ d'avance, on peut faire correspondre un nombre positif ~ tel que si

laxl < ~, IAt{ ,~ ~, on a:

aO ), aOx

II existe donc une fonction positive ~(to) tendant vers z&o avec ~ et telle que les in6galit~s :

entrainent c)),({;, t) c)).(~.,, t)

La fonction ,(co) est ind6pendante d e ~'~, de ~ et de t. Elle se calcule connais-

s a m X(x, t), a i , b , ~, [~, et la variable co. Doric :

y,_,) = f (~,) ~ (x, - x,_,) "-t- ~,f (~,)~ (to) (x, - x,_,). f (~ , ) (y ,

70. Je dis que [('~,)dt et f ( ~ ) ~ - [ d t sont sommables.

D'apr~s A ~ _-52-% B, il suffit de montrer la premi&e proposition. v %

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES Mt~THODES D~INT~GRATION DE RIEMANN ET DE LEBESGUE. 2~9

Or~ I

f(~,)dt -- f('t,)d~ i " ff~i "

Ot

(~ reste invariable, tandis que t et "~ croissent Pun et l'autre). c3~;

Donc, if/- ttant suptrieur ~l ,4 ( ~ o) et f (~ , )d~ , ttant sommable, f (~,)dt et

- O~dt f ( '~)~-~ le sont aussi. II en est donc de m~me de S( f , t )d t qui est la somme d'un

hombre limit~ de termes f('or -- yr t. 7I" Nous pouvor~ donc ~crire l'~galit~ ci-apt~s off tousles coefficients differentials

sont sommables :

f[f(~0,) (y,- y,_,)dt= f ~ f ( ~ , ) ~ ( x , - x . ) d t - J r ~ ~J(~,),(to).(x,--x,_,)dt.

Donc :

( 0 s ( f , Oat = y f ( ~ , ) ( y , - y,_,)at P

l --- f ( ~ , ) ~ - 3 x , - x,_,)dt + 8o~(~ ) ~. I f (~,) l (x , - xr (8o ~ ( I ) . d a P

fa b

Soit ] --- ~f(u)l d u, on a:

L/(m,)ldt _2f• ~ ]

If(~,)lo~ ~ < V(u)ldu = -~ Or

(puisque f (u) est nul hors du champ a b). Donc :

P

d'apr~s b - - a, < xq - - %_, < 'b, - - a, + z ~.

Donc le dernier terme de la relation ( i ) tend vers z~ro avec co. Soit maintenant

O n a:

(3)

2~

~6o T . j . u o v : s .

72. Je dis que G(~i) est continu en ~i" En effet :

,..,I ~(~,~) e~ t

N0us effectuons comme il suit le changement de variable: Ayant pos~ ~.(~, t)-----~, nous laissons fixe ~ (i fixe), t et "~ varient alors simultan~ment et croissent continu- ment ensemble par hypoth6se, t e s t donc pour chaque valeur de ~ une fonction d& terrain& de "4~; t - - ~ . ( ~ , ~) , et 8" est une fonction continue de ~i et ~ ~t la fois, puisqu'il en est ainsi de ).(x, t) en x et t. La fonction

c9~,_ 2, = ~ ( L , t)

c~t

est continue en ~ et t. Nous y rempla~ons t par [~.(~.~, ~ ) . Par ce changement ta fonction q~(E,, t) devient donc une fonction + ( ~ , ~i), continue en ~ et ~i.

On a donc: /"k(~;,~)

Or, + (x, y) &ant continu clans le champ born6 a~x/b , , X(a, ~)~/y~/X(b, ~) il correspond, d'apr~s le caract6re uniforme de ta continuitY, ~t chaque nombre positif

donn6 d'avance, un nombre positff ~, tel que, si ]• et lay[ sont inf&ieurs A ~,

]+ (x n t- a x, y + Ay) - - + (x, Y)I < *.

En outre ~ peut &re si petit que l'on a encore

]X (x -a t- A x, *0 - - X (x, ~)1 < s et ]), (x o r- A x, }) - - X (x, [3)] ~ ~.

Donc, pour ]A ~;I < ~:

~(~, + ~,) = ] /(~,)+ (~, + ~ , , ~,)a~,

- / r(.)[~(~,, .) + a,,.]su (avec 8' , ~'=, 8"~ ' < I).

Donc

�9 J ~-(~i, t3) p k(~i,~) § J P

+ / f(,O[+(~,, ,,) + a",]a,, + /~< '~ ' a '' q(,,)d,,. d ~(~ i,=) '-/~.(~i, ~)

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES M~THODES DIlNT~GRATION DE RIEMANN ET DE LEBESGUE. 261

Les trois int6grales du second membre sont infiniment petites avec % les deux premi6res parce que l'intervalle d'int6gration est inf6rieur h ,, la troisi6me parce qu'elle contient , en facteur.

Quelque soit donc le hombre positif , ' donn~ d'avance, il est possible de trouver un hombre ~' tel que si late] ( ~ ' , on a:

IG(~, + at,) - 6(~,) < ~'.

La fonction G(ti) est donc continue.

78. Donc:

~ "' ~(x)d~ = G(~7)(x; - x , , ) , ~vec t',' < xi_i < X i i--I

et par suite:

c g < ) ( ~ i - x,_,) = --~,F'_ 6(x)dx + (x, - - x , _ , ) [ G ( t , ) - - CgT) ] .

Or~

G(t,) - - G(~'r =- a'r (~) avec

~ (.l) tendant vers ztro avec ca, qui surl~asse I t , - t;'l. Donc :

et

S(f, t)dt------ --!

74. Or, puisque

L xi

G ( t , ) ( X , - - Xi__l) - - - - " G ( ) ~ ) d x ' + ~[ i (X , - - Xr I~-I ({1)), --I

G ( t , ) ( x , - x,_,) = 6(x)dx + ~'(% -- xp ,),, ( o ) ; --I

Dans le dernier terme x q - xp_, est inf&ieur A b - a - ] - 2 o i . La relation (3)devient donc:

G(x)dx + ~[~(~,) J + ~,(oO](b,--a, + 2~l);

Oil a."

f pCq --!

~12 ~ I .

, & < i ) .

-- -- f ( ' a , ) ~ d t ;

d'apr~s la formule de l'&hange de l'ordre des integrations darts les int~grales doubles de fonctions somn]ables, la derni~re expression vaut:

dt f(~i)--~Td~. , "- dt f (~ , )d~ , . - tlZ(xp_l,t)

262 T.J. BOKS.

Or~ ) , (%_, , t) ~ X ( x > , , ~) < k (a , ~) = a

et ),(xq, t) > ), (xq, =) > ) , ( b , =) = b,

donc la derni~re int6grale vaut, d'apr6s f ( x ) --- o pour x < a et pour x ~ . b,

75. En r~sum~, nous avons:

f' ] S( f , t )d t = (~, - - ~ ) I q t- 8(b - - a -[- 20,) r + r .

Donc l'int~grale

f ~lW(f, t) - - I ld t

tend vers z&o avec co. Les sommes riemanniennes form&s avec les subdivisions yF-~ . (x l , t), ~ - - ) . ( ~ , t)

poss~dent donc dans le cas des fonctions sommables la m&ne propri&~ fondamentale 0 7 ) que les sommes s(f , t) relatives aux subdivisions y~ - - x~ + t, ~: - - ~, + t.

Ce lemme &ant &abli, on en d6duit sans difficult6 l'int6grabilit6 (B,), de toute fonction sommable, au moyen des sommes riemanniennes fournies par la subdivision g&n&ale y. - - )~(x~, t), .~ - - ) . (~ , t).

On modifie la subdivision (x~, ~i) dont on fait tendre le pas vers z&o, mais la fonction ) , h e change pas d'une subdivision ~t la suivante (~ moins que ses d&iv&s partielles cependant ne restent comprises entre des nombres positifs fixes).

I1 y aurait lieu de se demander s'il n'est pas possible de laisser c))~(x, t) c) t s'an-

nuler sur un ensemble (x, t) d'aire nulle.

Hilversum, Mars I92O.

T. J. BoKs.

SUR LES RAPPORTS ENTRE LES M/~THOI)ES D'INT/~.GRATION DE RIEM&NN ET DE LEBESGUE, 263

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Documents

Sur les rapports entre les méthodes d’intégration deRiemann et deLebesgue