Sur les structures homographiques d'une surface de RIEMANN

par C. T~LE~AN

Introduction

Soit R u n e surface de RIEMA~r162 Nous considdrons des sys tbmes de p d- 1 fonct ions ana ly t iques sur R , u~ . . . . . %+~, sat isfaisant aux condit ions sui- van tes :

1. Si l 'on prolonge a n a l y t i q u e m e n t le sys tgme u = (ul . . . . , uv+l), le long d ' un chemin fermd de R , les fonctions u~ subissent une t r ans fo rma t ion homo- graphique

eu i 1 = C i U l ~ - " ' ' -~- ePA-I-i 'l~,_t. 1 , (i = 1, . . . , p ~- 1) (1)

i 6 tan t des cons tan tes complexes et ~ une fonct ion analy t ique . c i 2. Le wronskien des fonct ions u~:

u(/)

W =

. . . U ~ U 1

�9 ! U ~ ) . . U 2 U 2

u(V) 1 p- ] - i �9 �9 �9 up-{-1 U v - } - I

(2)

n 'es t nul en aucun point de R (on a ddsignd par u (h) les ddriv6es de u pa r r a p p o r t s un un i fo rmisa teur local z de R . La condi t ion W ~ 0 ne d6pend pas du choix de cet uni formisa teur ) .

3. Les fonct ions u~ n ' o n t pas d ' au t r e s singularitds que des p61es. Au point de r u e gdomdtrique, ces conditions nous disent que les fonct ions

u, associent ~ t ou t domaine s implemen t connexe de R u n e courbe de l 'espace pro jec t i f complexe s p dimensions, et ce t te courbe a en chaque point une tan- genre et un h y p e r p l a n oscula teur ddterminds.

Convenons de dire que deux tels sys t~mes u , u sont dquivalents si en t re une dd te rmina t ion ul . . . . , u~+ 1 du p remier et une dd te rmina t ion Ul . . . . . U~+l du second, dans un domaine s imp lemen t connexe de R , existe une rela- t ion de la fo rme (1). Nous appel lerons structure homographique d'ordre p de R route classe H de tels syst~mes con tenan t t o u s l e s sys t~mes dquivalents /~ l ' un d ' eux .

Dans un au t r e t r ava i l [1] nous avons considdrd le cas p ~-- 1 et nous avons ob tenu le rdsul ta t su ivan t :

Les structures homographiques d' ordre I d' une sur/ace R sont en correspondance

biunivoque avec lea/ormes dil~drentielles , quadratiques et rdguli~res de R .

C. TELerAN Sur les structures homographiques d'une surface de RrE~tANN 207

Nous rappellerons bri~vement la d6monstration de ce thdorbme et nous le gdndraliserons ensuite pour p > 1.

Nous remercions M. le Prof. G~ORCES DE I~ItAM pour les prdcieuses indica- tions donn6es.

1. Considdrons le cas la fonction analytique

p ~-~ 1 . Au syst6me u = (u l , us) on peut associer

~b- - u l

U2

qui a les propri6t6s suivantes: a) Par prolongement analytique, la fonction h subit unc transformation

homographique. b) Les ddriv6es de h et 1/h ne s'annulent en aucun point de R ; donc h n'a

pas d'autres singularitds que des p61es simples. Sur route surface R on peut trouver une telle fonction. Par exemple, on

peut considdrer la fonction w qui fournit la reprdsentation conforme de la

surface universelle de recouvrement _R de R , sur le cercle unit6 l w] < 1 ou sur le plan w, compldtd ou non par le point ~ l'infini, suivant que R est du type hyperbolique, elliptique ou parabolique.

Supposons qu'on air deux fonctions h, k satisfaisant aux conditions a), b). Soit q u n point de R et A un domaine simplement connexe contenant q. Les ddterminations hi, k~ des fonctions h, k dans A se ddduisent de deux ddter- minations particuli~res, h0, k0, par des transformations homographiques

h , - - a~h~ + bi _ o~,ko + fl, ( i = 1 2, ) (3) - - ciho + dt ' k i ~/iko -~- Oi . . . . .

ai, b i, c i, di, ai , fli, ~i, ~ ~tant des constantes complexes ~ ddterminants aidi - - bic~, ai 6i - - fliT~ non nuls. On peut couvrir la surface R par une famille de domaines A, de mani~re que chacune des ddterminations hi, k i puisse 6tre prise comme coordonnde complexe clans tout A. Pour route paire d'indices i, j on peut considdrer le schwarzien

d 2 / dh i \ 1 d {h'}ki - - dk~ ~l~ -- ~ - [ - - ~ / ~ l o g < ) ] .dh~\]2 (4)

L'expression (4) ne ddpend pas de la ddtermination h~ de h; on peut donc la dgsigner par {h}k i . En formant le schwarzien de h par rapport s une autre ddtermination k~ de k, on obtient la relation de CAYLEY [2, p. 57]

dkj 2 {h}kz -= ( - ~ t ) [{h}, , - - {k~}~,].

208 C. T s n ~ M ~

Mais en vcr tu de (3) on a {kl}~j ~ 0, donc

{h}~ dk~---- {h}kidlc ~ .

I1 en r6sulte qu ' aux fonctions h, k on peu t associer une forme diff6rentielle quadra t ique

oJ2 = {h}kdk ~ = -- {k}hdh 2 (5)

qui ne d~pend pas des d6tcrminat ions choisies pour h, k ; c 'est donc une forme uni forme sur la surface R et en t enan t compte de la propri6t6 de r6gularit6 b), on mont re faci lement que la forme (5) est pa r tou t r6guli~re.

E n fixant la fonct ion k, on en d6duit qu'~ tou te fonct ion h on peu t associer une forme diff~rcntielle, quadra t ique et r6guli~re co~ et cet te forme ~o 2 d6ter- mine la fonct ion h s une homographie pr~s.

E n tenan t compte de la d6fmition des s t ruc tures homographiqucs donn6e dans l ' In t roduct ion , on peut 6noucer le th6or~me suivant :

Lea structures homographiques d'ordre 1 d'une sur]ace de RI~MA2r sont en correspondance biunivoque avec lea ]ormes diOdrentiellea, quadratiques et rdgu- li~rea de cette sur/ace.

2. Consid6rons ma in tenan t le cas p > 1. Associons au syst~me u---- (u~, . . . , u~+~) satisfaisant aux conditions 1% 2o et 3 o, l '6quat ion diff6rentielle, lin6aire et homogbne, d 'o rdre p + 1, a y a n t les fonctions u s comme solutions l in6airement ind~pendantcs :

0(~+1) . . . 0 r 0 U l p + x ) I

. . . u I Ul = 0 . (6)

U(P+D U z p+~ . . . p + l u . + l

Cette 6quat ion est d6termin~e dans chaque domaine s implement connexe A de R , d~s qu 'on connal t la d6terminat ion du syst~me u et la coordonn6e complexe z. Ecr ivons l '6quat ion (6) sous la forme

1 p q~Or + q~+lO = O; (7)

les coefficients q l , . . . , %+1 sont des fonct ions holomorphes dans le do- mMne A.

Les invar ian ts de l '6quat ion (7), par r appor t aux t ransformat ions du para- m~tre z et par r appor t aux t ransformat ions

0 = ~ 0 (2 = fonct ion holomorphe dans A)

Sur les s t ruc tu re s hom ogr a ph ique s d ' u n e surface de Rn~.Ma~r~ 209

sont ~videment des invariants du syst~me u et m~me des syst~mes dquivalents u. De plus, la donn~e de l'~quation (7) nous permet de d6terminer le sys-

t~me u ~ une transformation (1) pr~s. Donc l'6tude des structures homographiques de R se r6duit s l'~tude des

invariants des 6quations (7) par rapport aux transformations

=~(z ) , 0 = ~ o . (s)

Cette derni~re 6rude a dtd faite par LA~UERRE et FORSYOHT [2] et nous aUons appliquer leurs rdsultats.

On sait que dans tout domaine A de R on peut trouver une coordonn6e ~ h e t une fonction 2 telles que l'6quation (7) se transforme en une dquation

ayant qx ~ q~ = 0. Les fonctions h, ~ sont donn~es par les 6quations [2, p. 26]

{h}~ -- P

II s'ensuit que la coordonnde h

+ z (q" - q~ - q/) ' p

est d6termin6e ~ une homographie pros:

rh + ~ (9)

et pour une telle transformation, 2 est donnde par

= (~h + ~)~ . (10)

Les coordonn6es h ddfinissent donc une structure homographique d'ordre 1 sur R.

Nous avons donc un premier r~sultat : A toute structure homographique H d'ordre p on peut assoeier une structure

d'ordre 1. On peut donc associer ~ H une /orme di~drentielle quadratique o~ s. Supposons qu'on a choisi dans chaque domaine simplement connexe A de

R, comme coordonn6e, une ddtermination d'une des fonctions h assocides la structure H. Cette structure sera d~finie, dans chaque A, par une 6quation diff6rentie]le

+ l'v -~ l ) q30~'-2 " ~ . . . - + - q , + z O ~ O . (11) 0(~+z~

La thdorie de LAOU~RRE et FO~SYOHT nous donne les invariants de l'6qua- tion (11) par rapport aux transformations (9), (10): pour chaque m(3 ~< m ~< p + 1) on peut construire l'expression [2, p. 32]

[ ~ 3 ( _ 1)' (m (m 2), m, (2m -- s - - 2), ] ~o,, ~- l i ! - (m = s)i (-2m CZ-3) T s! q~)-" dh'n' (12)

Ls=O - - _ _

14 Commentarii Mathematic| Helvetici

210 e. a ' s ~

qui est nn invar ian t par r appor t aux t ransformat ions (0), (10), done

Donc: ~,, ~ oJm, (m : 3 . . . . . p ~- 1) .

Etant donnde une structure homographique H d'ordre p sur une sur/ace de RIEMAIVZr R , on peut lui associer p /ormes di~&entielles rdguli&es o~2 . . . . e%+ 1 d'ordres 2 . . . . . p -[- 1.

On sait que les invar iants w2 . . . . . ~%+1 ddfinissent compl~tement l 'dqua- t ion diffgrentielle (7), car la connaissance de co~ nous permet de rdduire l 'dqua- t ion (7) s la forme (11), don t les coefficients q3 . . . . . q~+l peuven t 6tre d~duits des formules (12).

Done : Les structures homographiques d'ordre p d'une sur/ace R sont en correspon-

dance biunivoque avec les syst~mes (w2, . . . , ~ de p / o r m e s di~&entielles, rdguli&es d'ordres 2, 3 . . . . , p ~- 1 de R .

4. Si nous considdrons des syst~mes u satisfaisant seulement aux conditions 1 o, 3 o, alors les zdros du wronskien (2) seront des p61es d 'ordres m pour les

formes eom. Supposons qu 'on a par exemple une surface R fermde et soit C u n e courbe

algdbrique plane a y a n t R pour type conforme. Si Ul, u2, u3 sont des coordon- ndes homog~nes d ' un point de C, alors u ~- (u 1, us, ua) est un syst~me qui satisfait aux conditions 1 ~ 3 o, mais le wronskien (2) s 'annule aux points d' in- flexion et de rebroussement de C. Si le genre de C n 'es t pas nul, alors ce syst~me ne peut jamais satisfaire s la condit ion 20, car une courbe de genre g :~ 0 a au moins un point d ' inflexion ou un point de rebroussement .

5. Supposons la surface R fermSe et de genre g > 1. Soit A une diff6ren- tielle ab61ienne de premiere esp~ce de R . On peu t reprSsenter tou te forme diff~rentielle, r6guli6re win, d 'o rdre m, sous la forme

r m ~ q~mA m ,

oh ~0~ est une fonct ion rat ionnel le sur R, ayan t des p61es d 'ordre m au plus dans les 2 ( g - 1) z6ros de A. D'apr~s le th6or~me de RI~.~AN~c-RocH, la fonct ion ~ d6pend de

2 ( g - - 1 ) m - - g ~ - 1 = ( 2 m - - 1 ) ( g - - 1)

constantes complexes arbitraires. Done les structures homographiques H d'ordre p d 'une sur]ace /ermde de genre

g > 1 ddpendent de ~ + 1

(g - 1) _r ( 2 m - 1) = (p~ + 2 p ) (g - 1) m ~ 2

constantes complexes arbitraires.

Sur los s t r u c t u r e s h o m o g r a p h i q u e s d ' u n e sur face de Rn~M~'~N 211

Pour g ~- 1, les fonctions ~m doivent 8tre des constantes , donc les s truc- tures H ddpendent de p cons tan tes arbi t ra i res .

P o u r g ~ 0, on n ' a pas d ' au t r e s formes corn rdguli~res que celles ident ique- men t nulles. Dans le cas w~ ~ 0, l 'dquat ion ( l l ) s 'dcri t

0 (p+I) = 0

et poss~de les solutions l indairement ind6pendantes 1, h, h 2 . . . . , h~; ces fonctions sont uniformes sur R et d~finissent une appl ica t ion de R dans l 'espace pro jec t i f complexe s p ~- 1 dimensions, l ' image de R dtant la. courbe nor- male bien connue.

B I B L I O G R A P H I E

[1] C. TELEMAN, 0 clas~ de ]unctii multi]orme pe o supralat~ riemanniand. Studi i si Cercet[tri Ma temat i ce , Nr. 1-2, 1957.

[2] E. J . WILCZYNSKI, Projective differential geometry o/ curves and ruled sur]aces. Leipzig 1906.

(Re~u le 25 juin 1958)