Sur l'invariant de SMALE d'un plongement

par MICHEL A. KERVAIRE 1), New York (USA)

A tou te immersion / : S ~-* R ~+q d 'une sph6re dans l 'espace euclidien S. SMALE [16] associe un 616ment c I du groupe d 'homotopie ~(V~+~,~), oh V~+r est la vari6t6 de STIEFEL des p-rep6res dans R ~+q. La d6finition de c t est rappel6e au w 3. S. SMALE d6montre que deux immersions [, g : S ~ --> R ~+q sont r6guli6rement homotopes, i .e . qu'il existe une famille d ' immersions [, : S ~ --> R ~+~ avec [0 = / , [1 --~ g, telle que l 'applicat ion tangentiel le induite d6pende cont inuement de t, si et seulement si c I ~-- %.

On va 6tudier le probl6me de earact6riser les 616ments de ~(V~+a,~) as- soci6s aux plongements (sans self-intersection) de S ~ dans R~+q.

D'apr6s [ l l ] , l ' invar iant de SMC~LE d 'un p longement f : S~-* R ~+q avec p G 2 q - - 2 est nul pour p congruent s 2, 4, 5 ou 6 modulo 8. On avait 6galement quelques r6sultats pour p = 8s et p ---- 8s q- 1. (Cf. [11], Corol- laires 5.2, 5 .3 et 5.42).) On va voir que la nullit6 de cf (pour p ~ 2q -- 2) ne d6pend pas de la classe de reste modulo 8 de p e t peut 4tre d6montr6e in- d6pendemment de la connaissance des groupes d 'homotopie stables du groupe orthogonal .

Theor~me. Pour tout plongement [ : SP-+ R ~+a, avec p <= 2 q - 2, l 'in- variant de SMALE C I de [ e s t nul.

Aut remen t dit, compte tenu du th6or6me de S. S~A~E [16], Theorem A, pour tou t p longement [ : S ~ --> R ~+~ avec p =< 2q -- 2, il existe une famille d' immersions [, : S ~ --~ R ~+r induisant une homotopie (continue) de l 'appli- cation tangentielle, tel le que

(a) 10 = / , (b) ]l(x0, X l , . . . x~) ---- (x0, xl . . . . . x~, 0 , . . . , 0 ) .

w 1. Un lemme pr~liminaire

Soit M une vari6t6 diff6rentiable ferm6e, presque parall61isable, de dimension p q- 1. Le fibr6 des vecteurs tangents s M , res t re int s M -- x 0 (x 0, un point de M) , est t r ivial par hypoth6se3). Soit T~+I un champ de (p q- 1)-rep6res

1) P e n d a n t la pr6para t ion d u pr6sen t art icle, l ' a u t e u r a 6t6 t i tu la i re d ' u n e bourse de la Na- t ional Science F o u n d a t i o n , num6ro N.S.F. - G 5863.

2) D a n s le Corollaire 5 . 4 de [11], il y a une f au te d ' impress ion . On doi t lire: Toute immersion ] : Sss ~ Rn+Ss , o~ n ~ 8s - - 5, s ~ 2, ~quivalente ~ un plongement est ~quivalente au plonge- ment standard.

8) T o u t e s les var i6 t6s consid6r6es son t connoxes .

12 8 MICHEL A. KERVAIRE

sur M -- x 0, et 0(3, T) ~ g~(SO(p Jr- 1)) l 'obs t rue t ion pour dtendre T~+z sur M . (3 est le fibrd principal assoeid au fibrd des vecteurs tangents & M. )

I)ans tou te la suite, ~q, : g~(80(p ~- 1)) -> g~(SO(p -~ q ~ 1)) ddsignera l ' homomorphisme indui t par l ' injeet ion 80(p ~- 1) -~ SO(p ~- q -~ 1) donnde pa r o)

~q (A) = E ,

A ~ 80(p -4- 1), Eq -~ matr ice unitd & q lignes et q colonnes. y~, : ~r~(SO(p -F q ~- 1)) -+ ~r~(V~+q+i.~+l) est indui t par vr qui associe

une matr ice de 30(p ~ q + 1) ses (p ~ 1) premiers vecteurs colonnes. On pose j , = ~p, o ,q, : uj,(SO(p ~- 1)) --> u~(V~+q+i ,~_F1 ) .

Lemme 1 .1 . Si p ~ 2q -- 2, alors j ,o (~ , T) = O.

Ddmonstration. On va voir t ou t d ' abord que ,q, o (3, T) est dans le noyau de l 'homomorphisme de HOrF-WHITv.HwiD J : :r~(30(r)) -+ sr~+,(S'). Soit K une t r iangula t ion de M , telle que x o soit intdrieur ~ un (p ~- 1)-simplexe de K . On plonge M T M dans un espace euclidien R ~+lv+l de grande dimen- sion. (N ~ p ~ 2.) La section T de ~ I M -- x o indui t alors une appl icat ion TO: K ~ -> V~+N+i.~+, qui est homotope ~ l 'appl icat ion constante. (K ~ ddsigne le p-squelet te de K . ) Soit T o une telle homotopie. On ddsigne par

~r : V~+2C+l,~+z --> G~+N+,,~+~ et st' : V~+zr162 --~ G~+~z+I,/r ~ G~+~V+l,~+l les project ions canoniques sur les vari~tds de GR~SSMA~N. E n uti l isant un rel~ve- men t suivant st' de l 'homotopie :r o T ~ on obt ient une section F du fibr~ principal v de groupe 30 (N) associd au fibr~ normal indui t pa r le p longement M~+Zc R ~+~r res t re in t au p-squelet te K ~. Les sections T et F fournissent une section T • F de �9 Q ~ res t re in t ~ K ~, telle que la valeur du cocycle obstruc- t ion r O v, T • F) sur chaque (p ~- 1)-simplexe de K soit nulle. Or,

0(3 (~ ~, T • F) ~- ~ , 0 ( ~ , T) ~- ~'+~,o(v, F ) .

D'apr~s [15], L e m m a l , J o ( ~ , F) ---- 0. Comme J o i , - ~ -4 -EoJ , on a J ~ , o ( v , T) ~ ::k E~-~J~ ,o (v , T) -~ O. E ~-z est un isomorphisme dans les dimensions considdr~es, donc J e , o ( v , T ) : O, d'oh la conclusion: J t % o ( ~ , r ) = o pour q ~ 1 .

Pou r en ddduire le lemme 1.1, on remarque que d'apr~s I. J~Mv, s [7], Theo- rem (4.2), (a), pour p <: 2q -- 2, l ' homomorphisme ~o, : vr~(SO(p -~ q + 1)) --> zr~(V~+q+i,~+z) se factorise en vr = H~+~ o J , oh

H,+~ : ~r~,+q+z (S "+q+z) --~ st, ( V,+q+~. ,+z)

est un invar iant de HOPF g~n4ralisd. Il r~sulte done de Jtq, o(~, T) -~ 0 que

Sur l ' invariant do S ~ E d 'un plongement 129

j ,O(v , T) -= ~2, tq, o(r , T) = H~,+lJtq.o(v, T) = O. Le lemme 1.1 est d6- montr6.

w 2. La condition (C)

Soit [:S~'--~ R ~'+a une immersion. On va d6crire une condit ion pour [, don t on verra au w 3 qu'elle entra ine pour p G 2q -- 2 la nullit6 de l ' invar iant de S M ~ E C~.

(C) I1 existe une vari6t6 /~ bord V T M diff6rentiable, orientable, de bord S T et une immersion / ' : V T+I -> R T+q+l telles que :

(Ca) La restr ict ion d e / ' au bord de V T+I est 6gale ~ l ' immersion donnge [ . (On identifie R ~+q au sous-espace x T+q+l = 0 de R T+q+l.)

(C2) / ' (V ) rencont re R ~+q or thogonalement , i . e . la res t r ic t ion s S T du fibr6 normal d e / ' coincide avec le fibr6 normal d e / .

(Ca) Le fibr6 normal de ~' est trivial.

Remarque. La condit ion (C) entra ine que le fibr6 normal vl de 1'immersion donn6e [ e s t tr ivial . I1 doit en 6tre ainsi puisque ~I tr ivial est une condit ion n6cessaire pour c t ---- 0. (Cf. par example [11], Lemme (3.4).)

Remarquons encore que si / est le p longement s tandard S ~ c R T M c R T+a, la condit ion (C) est r6alis6e avec pour V T M une h6misphbre.

On forme la vari6t6 diff6rentiable ferm6e M~+~, r6union de V ~+~ et du disque D T+~ avec identif icat ion des bords (par l 'appl icat ion identi t6 S ~ --~ ST). Comme V e s t une n-vari6t6 avee fronti6re non-vide, elle est parall61isable. (Cf. [14], L e m m a 1.3.) Done M TM est presque parall6lisable.

La restr ic t ion s S ~ = V ~, D du fibr6 t angen t ~ M est trivialle. (Suspension du fibr6 t angen t /~ ST.) Soit A~+I un champ de (p q- 1)-rep6res tangents M T+I, d6fini sur S ~. On peu t 6tendre [ ' , comme immersion, ~ un voisinage W de S ~ dans M TM, et d]' [ S ~ appliqu6e aux rep6res A~+ 1 fourni t une applica- t ion ~0 : S ~ -* V~+~+I,~+ 1.

Lemme 9.1 . II existe un dldment ~o E~T(SO(p q- 1)), tel que ].~o o = ~, et satis[aisant

qJo + o (D) = o (M) ,

oit o(M) est une obstruction pour parall~liser M , et o(D) est l'obstruction pour dtendre A~+ 1 & l'intdrieur de D ~+I.

Ddmonstration. L'appl ica t ion tangentiel le V --> G~+q+I, T+I de V dans la GaASSMA~vienne des (p + 1)-plans orient6s de R T+q+~ est homotope ~ z6ro. (En effet, cet te appl icat ion est couver te par une applicat ion V-> V~+q+l, q donn6e pa r une sect ion du fibr6 normal de f , e t H~+~(V) = 0.) E n ut i l isant le lemme de re l6vement des homotopies, on peu t construire sur V T+I un champ

130 MICHEL A, KERVAIRE

T~+~ de (p 4- 1)-rep~res tangents , te l que l ' appl ica t ion V--> V,+q+~,,+ 1 donnde pa r x -~ d f (T~+i (x ) ) soit hom ot ope & zdro. I1 s 'ensui t que la mat r ice des produi t s scalaires des vec teurs de AT+ 1 et de TT+ 1 res t re in t s S T fourni t une appl ica t ion ST--> SO (p 4- 1) don t la classe d ' homotop i e ~0 e ~T (SO (p 4- 1)) a pour image ~ pa r l ' h o m o m o r p h i s m e ?'.. On ddsignera pa r o (M) l 'obs t ruc- t ion {)(~, T) pour ~tendre T~+ 1 comme c h a m p de (p 4- 1)-rep~res t angen ts

sur M T+x. [o(M) e = , ( S O ( p 4- 1)).] On a ~o 4- o(D) = ~)(M).

w 3. L' invariant de SMALE

L ' i n v a r i a n t de SMALE C I d ' une immers ion ] : S T --> R T+q est d~fini comme suit (cf. [16]): Soit s: S T-> R T+q une immers ion de S T dans R T+a r6gulibre- m e n t homotope au p longement s t andard , ct telle que pour un voisinage U o de a * = ( - - 1 , 0 , . . . , 0 ) e S T on ai t s l U 0 - ~ / I Uo. Soit U un voisinage

sph6rique de a* tel que U c U c U 0, et soit A~ un c h a m p de repbres t angen t ~ S ~ d6fini et cont inu sur X---= S T - - U. On in t rodu i t un diff6o- morph i sme r : E~ --> X pr6se rvan t l 'or ienta t ion, s t z -* z* la reflexion par r a p p o r t au p lan de l ' 6qua teur E~ ~, EV_. On pose

(Ad(rz)) , pour z E E~ , c l ( z ) = ((d/s))(A~(rz*)), pour z e E v -

( d / I X , - , f f -~ ds ] X ~ f t . ) c s est une appl ica t ion cont inue de S ~ dans V~+q, T. Sa classe d 'homotop ie ,

~galement notde c I est p a r d~finition l ' i nva r i an t de SMALE d e / . Soit /' l ' immers ion de W ~ S T • [ - - e , e] dans R T+q+l donnde pa r

] ' (x , t) = / (x ) 4- t n , oh n = (0 . . . . . 0, 1) ER T+q+i (ou rou te au t re immer - sion / ' : W--->R T+q+I, telle que / ' I S T x { 0 } = / s t (d/'/dt)~_ o : n ) .

L a res t r ic t ion /~ S T x {0} du fibr~ t angen t s W e s t tr ivialle. Soit AT+ 1 un c h a m p de (p 4- 1)-rep~res t angen t s h W, ddfini sur S T • {0}. L ' app l i ca - t ion prolongde d/ indui t une app l ica t ion ~ : S T -+ V~+q+I,T+I.

Le m~me proc~dd appl iqu~ au p longemen t s t anda rd fourni t une appl ica t ion (r : S T --> V~+q+l,~+ 1 .

Ddsignons pa r k : VT+q, ~ ~ VT+q+I,T+ 1 l ' app l ica t ion qui adjoin t le vec teur n s tou t p-rep~re de R T+q. On a l e

L e m m e 3 . 1 . k , (c~) = ~ - - a .

Ddmonstration. q ~ - a est ind~pendan t du choix de AT+ ~ . On p rend ra A~+I = {AT, t} sur X-----S ~ - - U.

Soit Y l ' espace ob tenu ~ p a r t i r de la rdunion disjoints de deux copies S e t S r de S ~ pa r ident if icat ion x - - x ' pour x �9 U. On a des inclusions na tu-

Sur l ' invar iant de SMA, LE d 'un p longement 131

relles i : S v -+ Y, et i ' : S r -+ Y par composi t ion avee le passage au quo- t ien t des identi tds S v -+ S , S ~ ---> S ' respec t ivement .

k o c I se f a c t o r i s e p a r y o h , off h : S v -+ Y, y : Y - + Vr+~+l.~+l, avec

I i o r (z) p o u r z ~ E ~ , h ( z ) = [ i , o r ( z , ) pour z E E v_ .

I1 est dvident que h ( S v) est homologue ~ i ( S ~) - - i ' ( S v ) , et eomme Y est (p - - 1)-connexe, h est hom ot ope ~ i - - i ' . On a done

k oc I = y oh ~ y o ( i - - i ' ) ~ y o i - - 7' o i ' = q - - a .

Ceci ddmont re le L e m m e 3.1. On r e m a r q u e r a que pour q >= 2, k , : u~(V~+~.v) -+ :r~(V~+q+l.r+l) est un

isomorphisme. (Suite exacte d ' homotop ie de la f ibrat ion Vr+q+ 1,~+1 /V~+q,v =

L e m m e 3.2 . Soit / : S v -+ R v+q une immers ion sat is /aisant dt la condit ion

(C) du w 2. S i p < 2 q - - 2 , alors c I = 0 .

Ddmonstrat ion. On appl ique le L e m m e 2.1 b~ l ' immers ion / et au p longement s t anda rd s . I1 existe des 61dments ~v0, ao ~ z t~(SO(p § 1)) tels que J , q0 = q~, ] , a0 = a , et sa t i s fa isant

q0 + o (19) = o ( M )

~0 + o ( D ) = o ( S ~ + ~ ) ,

oh o (S ~+1) est l ' obs t rue t ion pour parallbliser S v+~ . I1 s 'ensui t

~v0 - ao = o ( M ) - - o ( 8 ~+ ' ) ,

et c o m m e t , o (S v+~) = 0, en app l iquan t ~, :

q - ~ = ] , o ( M ) .

On obt ien t done, sans res t r ic t ion de dimensions, sous l ' hypothbse (C):

k , (cl) = ] , D ( M ~+1) .

S i p < 2 q - - 2 , on peu t appl iquer le L e m m e 1.1, et on conclut c I = 0 . Pou r obteni r le thdor6me de l ' in t roduct ion , il res te ~ ddmont re r que si / :

Sv---> R~+q est un p longement , et si p < 2q - - 2, alors la condit ion (C) est satisfaite.

w 4. Fin de la d6monstration

] : S v -+ R ~+q d tan t un p longement , il suit de p < 2q - - 2 que le fibr6 normal de / est t r ivial . (Cf. [9], Theo rem 8.2.) Soit Fq une sect ion a rb i t ra i re du fibr6 pr incipal assoeid. (Fq est un c h a m p de q-repbres or thogonal ~ ](Sv) . )

132 MICHEL A. KERVAIRE

Par un proc~d~ connu (cf. [9]), on peut associer ~ / et Fq une c]asse

Lemme4.1 . Le plongement / : S ~-~ R T+q grant donnd, p ~_ 2q -- 2, on peut choisir Fq pour que a ( / , Fq) = 04).

De 1s rdsulte immddia tement (cf. [15], d~monstrat ion du Lemma 1) qu'il existe une varidt~ ~ bord V T+I de bord S T, et un plongement / ' : V T+I -> R T+q+l satisfaisant aux conditions (C,) , (C2), (Ca) du w 2.

Ddmonstration du lemme 4.1. La classe c~(/, FQ) admet un reprdsentant q~ : S T+q -> S ~ univoquement d~termin~ apr~s choix d 'un voisinage tubulaire de / ( S T) dans R ~+q et d 'un diffdomorphisme relat if r : (Dq, Sq-1) -> (Sq, a*) de degr~ 1. Le point a E Sq, antipode de a*, est valeur r~guli~re de ~v, et q71(a) = [(S~). (On identifie R T+q avec son image dans S ~+q par projec- t ion stdrdographique.)

D'apr~s [9], Lemma 8.1, la restriction p g 2q -- 2 implique alors que c~ (/, Fq) est contenu dans l ' image de l 'homomorphisme J : ~T (SO (q)) -+ :~T+q (Sq) de HOrF-WHITEHEADs). I1 existe donc une classe ju ~r~T(SO(q)) telle que J # : ~x (/, fiq).

D'au t re part , ~ route application ~ : S ~ -~ SO (q), on peut associer un nou- veau champ ~. Fq de q-rep~res, orthogonal ~ /(ST). I1 suffit, pour tou t x E S T de faire agir la matrice ~(x) sur les vecteurs de Fq en / (x) . Je dis que

~( l , ~-Fq) : ~( / , Fq) + a ( J~) , (*)

oh ~ d~signe dgalement la classe d 'homotopie de l 'application ~ : S ~ -~ SO (q), et o est l ' automorphisme involut i f de nT+q(S q) donnd par a(~) = (-- 1)~(e o~), avec s = (-- 1 ) q - l i q .

La formule (*) ci-dessus implique le lemme 4.1. Remarquons tou t d 'abord que a induit un automorphisme de l ' image de J .

I1 suffit de v~rifier que a(Jz~T(SO(q)) ) c J~T(SO(q ) ) . Or, on sait que

(aiq) o~x=ao~ + a ( a - - 1) [iq, iq]oHoo~. 2

(Cf. [4], formule 6.8.) On applique cette formule avec c~ = J ~ , et on utilise

H o J ~ = EqqS.~, au signe pros,

(Cf. [3], Lemma 4. ~ , : rrT(SO(q)) -+ ~r~(Sq-*) est induite par la projection de X ~ SO(q) sur son premier vecteur colonne.)

4) On compare r a ce l e m m e avec L e m m a 6 .5 e t 6 . 6 de J . MrL:~o~a [14]. 5) D a n s [9], L e m m a 8 .1 , le l e m m e res te va lab le si l ' on r emplace la s t r ic te in6galit~ d < 2 n

p o r t a n t su r les d imens ions p a r d g 2 n , la d 6 m o n s t r a t i o n r e s t a n t inchang6e. L a valldi t~ pour d g 2 n d u d i a g r a m m e utilis~ es t fournie pa r le th~or~me (77) de I. JAMES, On the. 8US~6r~SiO~, sequence. Ann. of Math . vol. 65 (1957), 74-107. C 'es t sous ce t t e nouvel le forme que le l e m m e es t appl iqu6 ici.

Sur l ' invar iant de SMALE d 'un plongomont 133

[iq, iq] = J Oiq ,

0:ztq(Sq)-+ ztq_l(SO(q)) dtant l 'homomorphisme bord de la suite exaete d 'homotopie de la fibration $O(q + 1)~SO(q) . Enfin, J f l o E q ~ - ~ J ( f l o r ) , au signe pr6s, fl ~ z~q_l(SO(q)) , ~ ~ ~ ( S ~ - 1 ) . On en conelut

a ( J ~ ) = J ( + ~ + c.~iq o qb.~) ,

c pouvant 8tre 0, -- 1 ou + 1 suivant les valeurs de p e t q. I1 existe donc une classe ~ ~ :z~(SO(q)) , telle que a ( / , Fq) = J/~ ---- a ( d 2 ) .

On prendra ~ ---- -- 2. D'aprSs (*), on a a ( / , ~.F~) ---- o~(1, Fq) - - a(J,~) -~ O. Le ehamp $. Fq rdpond aux exigences du lemme 4.1. Reste ~ d6montrer

la formule (*). Soit s : S ~-+ R ~+q le plongement s tandard ( s (S ~) c R~+I), et Aq le

champ (x, t~+~ , . . . , t~+q), oh t~ = (~,~ . . . . . ~,~+q). Consid6rons a ( s , ~. A~), oh ~ : S ~ ---> $ 0 (q) est l 'application de la formule (*). On a vu dans [9], 1.8, page 349, que a ( s , ~. A~) ---- a ( J ~ ) . I1 faut donc d6montrer

~(l , ~-Fq) = cr t , Fq) + ~(s, ~.A=) . (**)

Des voisinages tubulaires de l (S~) et s (S ~) 6tant ehoisis, ainsi qu 'un dif- f6omorphisme relatif r : (D~, S~-z) --> (S~, a*), on eonsid~re les repr6sentants canoniques 9~, 9 de ~(~, ~Fr ~(l , F~), et W~ de ~(s, ~. A~).

Pour construire une homotopie entre 9~ et 9 + ~ , on par t de l 'homo- topie triviale h : S ~r x I --> Sr donn6e par h(z, t) --~ 9 (z). Le point a ~ ~ (antipode de a*) est valeur r6guli~re pour h, et h -~ (a) = O est diff6omorphe

S ~ x I p a r l e plongement [' (x, t) ---- ( ] (x) , t ) dans R ~+~ x I . Soit y u n point int6rieur de O et c : I -+ R ~w x I un chemin diff6rentiable, de point final y , dont le point initial se t rouve dans R ~+r ----R ~+a x {0}, tel que c ( I ) ~ O----- {y}. On peut encore supposer que pour s voisin de 0, on a c(a) = (c (0), s) , et qu 'en son point final, c rencontre O orthogonalement. On se sert alors de c et d 'un champ de rep~res normaux A c (I) pour d6finir un plongement s ' : D ~+z x I - + R ~+~ x I , tel que s ' l {0} x I = c , et l ' image de D~+ z x I ne rencontre pas O except6 en un voisinage sph6rique U de y sur leque] D ~+z x {1} est appliqu6 par le diff6omorphisme a ' l D ~+z x {1}. Soit zV la vari6t6 obtenue par r6union de Q -- U et d (S~ x I) apr~s avoir arrondi les angles le long de la fronti~re de U. (Cf. [14], Appendix.) Le champ de q-rep~res normaux sur O - U s '6tend sans difficult6 sur N . On peut m~me supposer que la restriction de ee champ g s ' (S ~ x {0}) ----s(S~) est le champ banal form6 de la normale ~ s(S ~) dans R ~+~ et des (q -- 1)-vec- teurs t~+~ . . . . , t~+~.

Comme N e s t connexe, fl existe sur N u n chemin diff6rentiable joignant un

10 CMH vol. 34

134 M w ~ r r A. KEXVAIR~

point de s (S r) ~ un poin t de [(Sr) x {1} ~ Q qui rencont re le bord de N o r thogona lemen t en ses extr6mit6s et n ' a pas d ' a u t r e poin t c o m m u n avec ce bord. Soit T u n vois inage tubula i re de ce chemin dans N , et H : D r x I --> T un diff6omorphisme. L ' app l i ca t ion ~ : (S r , a*) -+ (SO(q), E) ddtermine une appl ica t ion ~ o r = ~' : (D r, S ~-~) ---> (SO (q), E ) , oh E est la mat r ice unitd. On remplace alors le c h a m p /:q de q-repUtes sur N par Fq, dgal ~ /:~ sur N - - T et dgal s ~'(H-~z).Fq(z) pour z e T . La varidt6 N munie du champ F~ fourni t une homotop ie entre ~ et q + ~ . D ' o h la formule (**).

w 5. Remarques

Soit / : S ~--> R ~+q un p longement . Pour que c I soit nul, il est ndcessaire que le fibrd no rma l de / soit t r ivial .

Or, out re ]e cas p _< 2q - - 2 que l 'on v ien t d '6tudier , on sait que le fibrd normal de / est t r iv ia l pou r q _< 3. (Bien connu pour q ~ 2. R6sul ta t r~cent de W. S. MAssEY [13] pou r q =--- 3.) I1 est donc na ture l de se demande r si l ' i nva r i an t de SM~_L~ d ' u n p]ongement / : S ~ --> R r+q avec q < 3 est toujours nul.

J ' i gno re t o t a l e m e n t quelle est la s i tua t ion pour q = 2 ou 3. On t rouve ra ei-dessous quelques rdsultats , ob tenus en col laborat ion avec J . ]VhL_WOR, con- cernant le cas q ---- 1.

On commence par un probl~me de groupes d ' homotop ie :

Probl~me I . On sait [2] que Zs , (SO(N)) et 7~8s+1(S0(/~)) sont cycliques d'ordre 2. (N > 8s + 3.) Soient es~ et %~+1 les gdndrateurs de ces groupes. Les dldments ~s~ = Jes~ et c%,+1 = Jes ,+l sont-ils nu[s? (J : u~(SO(N)) --~ ~tr+~ (S ~) est l'homomorphisme de HOt'F-W~_ITEHEAD.)

On sai t que J e s # 0 et J e 9 # 0 . E n outre , es~+l~-- es~ ~ pour t ou t s ~ 1, oh Vs, est le g6ndra teur de ZrS,+l(S s~) ~ Z 2 . Donc si Jes~ est nul, alors Jcs~+l l ' es t aussi. (Cf. [12], L e m m a 1.2.)

On v a voir que ce problbme est en re la t ion avec les probl~mes su ivan t s :

Problbme 2. Soit / : S ~ -+ R ~+1 un plongement. L'invariant de SMALE C l de / est-il nul ?

Considdrons la r6gion born6e V v+l de R v+l don t le bord est / (Sv) . Soit Z ~+~ la vari6td diffdrentiable ob tenue s pa r t i r de la rdunion dis jointe V ~+1 ~ D r+l p a r ident if icat ion de x r S r avec / (x) e V ~+~, pour t o u t x e S ~. La varidt6 2: r+~ est une sphbre d 'homotopieS) , e t un r a i sonnement

~) Dans co qui suit, <(sphere d'homotopie~> signifie: Vari6t6 diff6rentiable ayant le type d'ho- motopie d'une sphere. Ces vari6t6s ont 6t6 6tudi6es par J. Mv.No~ [14].

Sur l ' invariant de SMALE d'un plongement 135

analogue ~ celui de la ddmonstrat ion du Lemme 3.1 montre que

cl = o ( z ~§ - o ( S ~ + 1 ) , (5 . l )

oh 0(2:v+1), o(S ~+~) e ~ ( S O ( p - t - 1)) sont les obstructions pour parall~liser 2:~+1 et S v+l respectivement.

Soient ~(27~+1), ~(S ~+~) e z%+~(Bso(v+~)) les classes d 'homotopie des appli- cations tangentielles de 2: ~+~ et S ~+1. On a

~ ' t ' (~ ~~ : D(,~P+I) , ~T(S p§ ~-- {)(SP+I) , ( 5 , 2 )

oh O:z%+I(Bso(v+~))--> z~(SO(p + 1)) est l'isomorphisme bord de la suite exacte d 'homotopie du fibrd classifiant pour SO(p q- 1).

Probl~me 3. A-t-on ~(2:~+1) ~-- ~(S~+~), quelle que 8oit la sphere d'homo- topie X ~+1 ?

Les formules (5.1) et (5.2) mont ren t qu 'une rdponse affirmative au Pro- blame 3 entralne une rdponse affirmative au Probl~me 2.

On va voir que le Probl~me 3 est dquivalent au

Probl~me 4. Toute sphere d'homotopie .Z T M est-elle une ~-varidd ? (C'est-~- dire : Toute sphere d 'homotopie plongde dans un espace euclidien d'assez grande dimension admet-elle un fibrd normal trivial ?)

Remarque: D'apr6s les rdsultats de M. HIRSCH [5], 2:~+1 est une g-vari6td si et seulement si l 'on peut immerger 2:v+~ dans R ~§

(3)-* (4). Si ~(2:)~--~(S), alors aussi ~)(2:)--~ o(S). Done t , ~ ) ( 2 : ) = 0 , i. e. 2: est une u-varidtd.

(4)--> (3). Si la sphere d 'homotopie 27~+~ est une ~-varidt6, tout plonge- m e n t ] : 2:v+~ --> R ~+~+~ avec N --> p -k 2 induit un fibrd normal trivial. I1 s 'ensuit que la suspension du fibrd tangent (sa classe de S-dquivalence) est trivialle. Done t*o (Z) ---- 0. Par suite (exacte) : ~}(Z) e Im A, off

A : ~+~(S TM) -* ~ ( S O ( p q- 1)).

Pour p impair, ~ $ ] 0 ( , ~ !~ ~ Z(Z ~+~) = Z(S TM) = r et Ker ~b, ~ I m A = 0. Done o (2: TM) ~-- ~)(Sv+~).

Pour p pair, S ~+~ parall~lisable, o(S ~+1) = 0, et Im A ~ 0. Done o (2:,+~) = o = ~ (S '+~) .

Pour p pair, S v+~ non paralldlisable, Im A est isomorphe ~ Z~, engendr6 par Air+ 1 = o(Sv+~). Si o(2: v+~) dtait diffdrent de o(Sv+~), on aurai t o(2: TM) = 0, done Z v+~ parall61isable. Or, la semi-caraetdristique Z*(Z v+l) de 2:v+~ vau t 1. D'aprbs [8], Theorem 9.3, une varidtd de dimension p + 1 dont la semi-caraetdristique vau t 1 ne peut 8tre parallblisable que s'il existe

136 MICHEL A. KERVAIRE

dans ~ + 3 ( S ~+~) un dl~ment d ' invar i an t de HOPF 1. D'apr~s J. F. ADAMS [1], ceci implique S ~+1 parall~lisable. On a donc o (Z ~+1) = o (S TM) dans ee eas dgalement.

Comme a : ~+l(Bso(v+l)) ~ z~ (SO(p + 1)) est un isomorphisme, on a aussi ~(Z v+l) = T(Sv+I).

Rdsultats connus (pour au t an t que je sache) :

Th6orbme 5 .1 . Pour p # 88, Ss + 1, route sphere d'homotopie de dimen- sion p @ 1 eat une ~r-varidtd.

Th6ori~me 5 .2 . Toute sphere d'homotopie de dimension 9 ou 10 eat une zt- varidtd. Pour p -=- 8s avec s > 1, lea deux propositions suivantea sont dquiva- lentea. Pour p = 8s + 1, la proposition (b) entraine (a).

(a) Toute sphdre d'homotopie Z v+l eat une zt-varidtd (b) J % # O. On se t rouve ramen6 au Problbme 1. A l 'except iondescas p = 8 s ou p = 88-4- 1 a v e c u n s > 2 , o n a d o n c ,

en ve r tu des remarques qui pr6c~dent :

Corollaire 5 .1 . Avec la restriction ci-deasus pour p, tout plongement / : S v --> R T M eat rdgulidrement homotope au plongement standard.

Corollaire 5 .2 . Avec la m~me restriction pour p , le /ibrd tangent dt toute sphere d'homotopie X ~+1 eat donnd par le m~me dldment de z%+ 1 (Bso(v+i)) que le /ibrd tangent de la sphdre ordinaire.

Ce corollaire s 'appl ique en par t icul ier aux sphbres de MrL~r don t les di- mensions sont favorables.

Ddmonstration du thdor~me 5.1. / : 2: v+i --> R v+~+~ dtant un p longement dans un espace euclidien de grande

dimension (2V > p -4- 2), et v le fibr6 principal normal de groupe SO (N), soit F~ une section de v res t re int ~ 2 7 - x ~ L 'obs t ruc t ion o(v, Fzr pour dtendre F~ (comme section de v) sur 2: T M est un 61dment de

H "+~ (~'+~; ~ A S O ( N ) ) ) = ~ , ( S O ( N ) ) . On connait ~ ( $ O ( N ) ) pour /V > p -}- 2. (Cf. [2].) Les valeurs sont

Z~ Z~ 0 Z 0 0 0 Z pour

p ---- 0 1 2 3 4 5 6 7 modulo 8

respect ivement . (p > 1.) Le thdorbme 5.1 (qui revient ~ affirmer que o(v, Fzr ---- O) est donc banal

pour p --~ 2, 4, 5, 6 modulo 8.

Sur l'invariant de SMALl. d'un plongement 137

On a exclu p - - 0, 1 modulo 8. I1 reste donc ~ examiner le cas oh p : 4 k - - 1. Pour ces valeurs de p , o(v , Fzr est un ent ier au signe pr~s. On salt que

pk[27 4k] -= a k. (2]c - - 1) !o(v , Fs) ,

oh Pk e H*k(X4k; Z) est la classe de Pon t r j ag in de Z 4k en dimension 4k , et a k ~-- 1 -4- s i n2 (kz /2 ) . (Cf. [10], L e m m a (1.1).)

Comme l ' index de 2744 est lid s Pk par

1(274k) -~ 8kP~ ~ P ( P l , . . . , Pk-1) ,

(formule de l ' index, F. HIRZEBRUCH [6], H a u p t s a t z 8 .2 .2 . ) , et que H i (2: 44) ~-- 0

pour 1 _< i --< 4k - - 1 ent ra ine I ( Z 4k) ~ 0, P ( P l . . . . , Pk-1) ---= 0, il s 'en- suit Pk ~ 0. (s, ~ 0 . ) Done aussi o(v, Fs) --~ 0. Le thdor~me 5.1 est dd- montrd.

Ddmonstrat ion du thdor~me 5.2. La premiSre asser t ion ddcoule des su ivantes e t d e J e s =/=0, J ~o ~ 0.

(b)--> (a): Soit 2: T M une sphSre d 'homotop ie et [ : 27v+1__> Rv+N+I un

p longement . (N > p A- 2.) Soit F N une section du fibrd pr incipal normal v I res t re in t s 27- - x o. Considdrons l 'obs t ruc t ion t)(v, F~v) e u ~ ( S O ( N ) ) ~ Z , pour p--~ 88 ou 8 s ~ 1. O n s a i t q u e Jo (v1 , F N ) = O . ( C f . [ 1 5 ] , L e m m a 1.) Donc si J e ~ & 0 , il s ' ensui t o(v I , F ~ ) & e~. Doric o(v I , F ~ ) ~ - 0 . Aut re- men t dit , 2: T M est une ~r-varidtd.

(a)--> (b): On ddmont re la contraposi t ion. Supposons J % ----- 0. D 'apr~s [15], L e m m a l, il existe une var le t6 presque parall~lisable M T M et un plon- gement / : M v+* -+ R v+~+l avee une section F~ du fibrd pr incipal normal vt res t re int s M - - x0, tels que o (v~, F~) : %. On simplifie M T M pa r chirur- gie. (Cf. J . MIL~r [14], w 5.) Le rdsul ta t est une sphere d ' homotop i e Z~o +1 plong~e dans R v+s+~, et l ' appl ica t ion caract~ris t ique du fibrd normal est e~. Cette sphere d ' homotop i e 2:0 v+l n ' e s t donc pas une g-varidtd. D ' o h le th~or~me 5.2.

E n re la t ion avec le Probl~me 2 ( invar iant de S M ~ d ' u n p longemen t / : S �9 ---> Rv+~), on a le

Problgme 5. Soi t / : Sv---> R ~+~ une immers ion et h : Sv---> S ~ u n di//do-

morphisme de degrd 1. A- t -on Cioa = cr ?

On v a voir que la rdponse est a f f i rmat ive si p g 2q - - 2 en ve r tu du thdo- r~me des w167 1-4, et dgalement si p e s t une dimension pour laquelle le Pro- bl6me 2 a d m e t une rdponse aff i rmat ive. (Donc en ve r tu du Corollaire 5.1, pour p :/=88, 8 s + 1 avec s > 2 . ) Dans ce deuxibme cas la rdponse au Problbme 5 est a f f i rmat ive sans res t r ic t ion sur q.

On p e u t regarder h cornme un p longement h : S v --> R v+~. L ' inc lus ion u :

138 MICHEL A. KERVAIRE

R v+l --> R ~+q indui t une appl ica t ion v : V~+s,v-~ Vv+q,~, et on a C.o h : v ,(c~). On v a d~mont re r que

cto h = c,. § C, oh �9 ( 5 . 3 )

I I s ' ensui t que Cto h = c t si 1.) p < 2q - - 2, car alors C,o h : 0 en ve r tu du thdorbme de l ' in t roduc t ion ; 2.) p # 8 s e t p # 8 s § 1 avec s > 2 , car alors e n v e r t u du Corollaire

5 .1 , on a c h ----- 0, donc aussi Cuo h = v . (ch) : O. Res te ~ d6mont re r la formule (5.3). Soit W : S ~ • [ - - e , e], et / ' :

Wv+l-+ R v+q+a l ' immers ion donnde pa r / ' ( x , t) = ( / (x) , t ) . Soit A~+ 1 la res t r ic t ion ~ S v • {0} d ' un c h a m p de (p § 1)-repbres t angen t s ~ W (qui es t parallblisable), d[' indui t une appl ica t ion q : S v - + V ~ q _ q 4 . 1 , ~ + 1 . Le m6me a r g u m e n t appl iqud au p longement s t anda rd fourni t a : S v - + Vph_qq_l ,~q_ I . On aVU ( L e m m e 3 . 1 ) que k , c t = q J - a .

Soit h ' : W--> W le diff6omorphisme donnd par h ' ( x , t) = ( h ( x ) , t ) , et r dh' (A~+I) . soit Av+ 1 - ~

E n ut i l i sant ci-dessus Av+ 1 au lieu de A~+t, on obt ien t ~v' et a ' : S v--* V~+q+i,~,+l. I1 exis te une appl ica t ion O : S v-+ S O ( p § 1), donnde pa r la mat r ice des produi ts sealaires des vecteurs de Av+ ~ et Av+~, telle que

On en conclut :

k , Cto a = cf r - - a = qJ - - (r r § a ' - - a ,

= q9 - - a § ctr - - a ,

= k . c t § k ,C.oh = k . ( c t § C.oh) �9

Pour q > 2, k . es t un i somorph i sme et (5.3) s 'ensui t . Pour q = 1, le mgme principe de d~mons t ra t ion s 'appl ique , en fa isant appel s un champ de normales s f (Sv) .

B I B L I O G R A P H I E

[1] J . F. ADAMS, On the nonexistence o/elements o/HOPF invariant one. Bull. Amer. Math. Soc. 64 (1958), 279-282.

[2] R. Boa'r, The stable homotopy o] the classical groups. Ann. of Math., 70 (1959), 313-337. [3] P. J . HILTOn, A note on the P.homomorphism in homotopy 9roups o] spheres. Proc. of the

Cambridge Phil. Soe., 51 (1955), 230-233. [4] P. J. HIr.TO~, On the homotopy groups o] the union o/spheres. Journal of the London Math.

Sot., 30 (1955), 154-172. [5] M. HIRSCH, Immersions o/manilolds. Trans. Amer. Math. Soc. 93 (1959), 242-276. [6] F. HmZEBRUCH, Neue topologische Methoden in der algebraischen Geometrie. Springer (1956). [7] I. JAMES, On the iterated suspension. Quart. Journal of Math., 5 (1954), 1-10.

Sur l ' invariant de S~ALE d'un plongement 139

[8] M. KERVAIRE, Relative characteristic classes. Amer. Journal of Math., vol. L X X I X (1957), 517-558.

[9] M. KERVAIRE, An interpretation of G. WHITEHEAD'8 generalization of the HOFF invariant. Ann. of Math., 69 (1959), 345-365.

[10] M. KERVA~E, On the Po~rrRYAOIN classes o/ certain 50(n)-bundles over manifolds. Amer. Journal of Math., vol. L X X X (1958), 632-638.

[11] M. KERVAIRE, Sur le fibrd d une sphere immerg~e dans l'espace euclidien. Comment. Math. Helv., 33 (1959), 121-131.

[12] M. KERVAIRE, Some non-stable homotopy groups o/LIE groups. Illinois J. of Math., k paraltre. [13] W. S. MASSEY, On the normal bundle of a sphere imbedded in euclidean space. Proc. Amer.

Math. Soc. (k paraltre). [14] J . MILNOR, Di]/erentiable mani/olds which are homotopy spheres (~ paraltre). [15] J. MIL:~OR and M. KERVAIRE, BERNOULLI numbers, homotopy groups and a theorem o]

ROHLIN. Proc. Int . Math. Congress. Edinburgh (1958). A paraitre. [16] S. SMALE, The classi]ieation o/immersions o/ spheres in euclidean spaces. Ann. of Math., 69

(1959), 327-344.

(Re~u le 28 septembre 1959)