ASTRONOMISCHE - NACHRICHTEN. Band 248. Nr. 5951. 23.

Sur une formule des refractions normales. Par 2. Uurd’R. Je me propose, dans cet article, de dCduire une formule,

fournissant les refractions normales avec une precision assez grande pour la pratique, et cela dans toute I’Ctendue du zCnith jusqu’b l’horizon. Au lieu de partir d’une hypothkse sur la dkpendance de l’indice de rCfraction, ou de la densit6 de l’air, de I’altitude, je ne considkre que la moyenne de la fonction figurant dans I’intCgraIe qui exprime la correction de refraction. En me servant de la moyenne arithmktique, j’obtient une for- mule simple qui admet comme cas particuliers celles de Cassim’, Mayer, .‘?impson etc., mais qui offre des valeurs des rCfractions heaucoup plus prCcises. Enfin, aprks avoir modifiC cette formule par I’introduction d’une nouvelle constante, j’arrive une formule trks satisfaisante, donnant m&me pour les distances voisines de 90’ des refractions qui ne diffkrent des valeurs corrertes que de 3“ environ.

La refraction s’exprime par l’integrale bien connue

oh z dCsigne la distance zCnithale observCe, 7 la distance au centre de la l’erre (supposke spherique), p l’indice de rCfraction dc l’air, y o , po les valeurs correspondantes au point de l’atmo- sphkre ou se trouve l’observateur. Si l’on pose

on obtient la formule Il”

ou la fonction 6 croit de zero (a la surface de la Terre) i une valeur assez petite et positive (a la limite supCrieure de l’atmo- sphere). Donc la fonction k integrer change trks lentement dans l’intervalle d’intkgration qui est d’ailleurs bien Ctroit. Cela suggkre d’Cvaluer l’integrale ( I ) a l’aide de la moyenne. IWsignant par I/M la inoyenne de la fonction r /~(cos2z +6), on aura par definition

‘1; j - d(!w? V(cos2z + 6)

J I - M - loglJfl

et par consequent logpo sin z H=---

/I4 ou la rnoyenne M depend encore de la distance zenithale observke z . Ainsi les hypothkses sur la constitution physique de l’atmosphkre reviennent i iUX hypothkses concernant I’ex- pression de la moyenne A4 en fonction de z .

( 2 )

Or, 1’hypothi.se la plus triviale de ce genre consiste a prendre pour M la valeur limite dc la racine I/(cos2z+S) qu’elle acquiert au lieu d’observation, B savoir cosz, ce qui donne la formule

que l’on dCduit aussi de ( I ) a l’aide tle 13 supposition, que les rayons traversant l’atmosphkre soient des spirales logarith- miques. D’une manikre plus gCnCrale, on peut choisir M Cgal k la valeur que prend la racinc li(cos2z + S) B un certain point s i t d k 1’intCrieur de l’atmosphkre. DCsignant par c la valeur correspondante de la fonction 6 , on aura la formule

(3) = logPo. tgz

Or, la formule (3) est bien connue comme une approximation grossikre n’admise que pour le voisinage du zCnith, tandis que (4) exprime I’hypothkse de Cassini. On sait, que dans cette formule la constante c est Cgale B la valeur prise par la fonction 6 I’altitude de 8 km. Cette hauteur ne peut point &tre envi- sagee comme hauteur de I’atmosphPre mais elle peut bien jouer le rcile d’une hauteur moyenne. I1 est B remarquer, que dans les deux formules prCcCdentes le facteur logpfl peut &tre, en premikre approximation, remplace par po - I .

La formule (4) fournit, pour les distances zenithales assez grandes, des rkfractions trop faibles et c’est le contraire pour la formule (3). O n peut donc chercher k obtenir une meilleure approximation en prenant pour 11.1 la moyenne arith- ..

metique

de sorte que M = S[COSZ + )ycos2z + c)]

cos z + 1y(.os2 z + i) .

(5)

R = (6) logpf12 1 sin I

Ce n’est que la formule dc Mayer et l’on voit, que la valeur de c - ici encore - repond necessairement a une hauteur plus faihle que celle de I’atmosphkre, h savoir b peu prks de 16 km.

La formule (6) est naturellenient plus prCcisc que (4), cependant elle offre encore, B partir d’une certaine distance zenithale, des valeurs trop faibles ce qui impose de gCnCraliser I’expression (5) de la manikre suivante

p cos z + q 1qcos2 2 + r ) M = ___ P+$7

( 7 )

oil l’on suppose p > q . Alors, kcrivant p l q = n > r , on arrive h la formule

( I + TL) logPo sin z H = ~

I2 cos z + V(cos22 + c) ’

Par un choix convenablc des constantes c, 18 , on tire de (8) une formule beaucoup plus satisfaisante que celle de Mayer, mais les Ccarts dans le voisinage de I’horizon ne sont pas encore negligeables. J’ai donc t lrhk de les diminuer, en ajoutant au numerateur et de m&me au dCnominateur de la fraction (7) une petite ronstante, de sorte que

2 9

40 7 595 T 408

n cosz + )ycosaz + c) + p M = (9) 1 + n + u

C‘ela pose, j’ai choisi les deux constantes de la manikre, que l’allure des valeurs de R pour les petites distances z6nithales ne se perturbe pas. Cette exigence entraine pour p, CT une relation facile A dkduire. Si I’on veut par exemple que pour z = l; la valeur de A4 tirCe de (9) soit Cgale 8. celle calculCe de (7), on obtient la condition cherchCe sous la forme

I t n P u = _ _ - - -

12 cosl; + I/(cos2( + < )

En somme on a donc la formule (I + z +a) logpO sinz

( 1 1 ) R = p + n cos z + y(cos2z + c)

dont je wih m’otcuper dans re qui suit. Mais d’abord je vou- drais encore mettre en Cvidence, que les raisonnements prCc6- dents peuvent &tre aussi un peu modifi6s. A savoir on a Cvidemment

ct posant

ia formule ( I ) devient 6’ = S/( I + 6)

(I“

’ V(I-6‘) . dp H =

I k i g n o n s maintenant par r/M‘ la moyenne de la fraction

I/(, -” ) pour avoir etg2z +-6‘

(hi peut donc comme prCcCdeniment faire I’hypothkse

laquelle entraine

(4‘)

OU

ctgz+y(ctg2Z+C’) 2 I[( I - r ’ )

2 V ( I -c’).logpo ctgz + I/(ctgZz + c’)

n’ ctgz + V(ctg2z + c’) ( I + 97’) ]’(I - c’)

M’ = - - - -

c.e qui donne

(6‘) K = -

ou enfin

M‘ =

de qorte que -

R = ( I +?/’) - ~f(1-c’)-l0gpo n’ c tgs + C’(ctg2z + c’) .

La formule (4’) correspond comme (4) A l’hypothkse de Casszru, tandis que (6’) est pratiquement Cquivalente 8. (6) c-e qui a CtC signal6 dCjB par Radaul). RCcemment la formule (6’) a Ct6 dCduite par M. H. C. PLummer2) et j’ai montrd dans un travail antCrieur 3), qu’elle exprime, en premikre approximation, l’hypothkse que les rayons lumineux passant par l’atmosphkre terrestre soient des hyperboles dont I’un des foyers se trouve a u centre de la Terre. Quant i la formule (8‘), il est aisC de voir, qu’elle se rCduit a la forinc (8) et je me borne donc B la remarque, qu’elle comprend comme a s spCcial la formule de Szmpsnn. On n’a qu’8. poser 72‘ = R, L-‘ = I - R2, oh K < I est trks voisin de I’unitk.

J’arrive maintenant i Cvaluer numiriquement les constantes figurant dans la formule finale ( I I ) . Pour rendre possible la comparaison des rCfractions calculCes avec leurs valeurs obserdes, indiqukes dans la S a m m l u n g v o n H i l f s - t a f e l n d e r H a m b u r g e r S t e r n w a r t e ? , j’ai adopt6 pour la constante de la r6fraction la bdeur de Rauschingeer

a = 601153. 1,’indice de rCfraction po est l ib i cette constante par la relation

Po2 - I a = ”CL0”-

ce qui donne

Pour me rapprocher des valeurs observCes, j’ai pris

Ces valeurs portdes dans la formule (8), on constate, qu’elle est absolument prCcise tant que z 5--45’, tandis que pour les distances z6nithales plus grandes, les rkfractions calculCes sont trop fortes. On peut donc diminuer les rCfractions pour 1es grandes distances zCnithales, en remplacant (8) par ( I I ) , et en m@me temps garder leurs valeurs correctes pour s<45’, si I’on choisit par exemple l; = 40’. En prenant

p=0 .00212~0 on tire de (10) les valeurs

po= 1.00029176 l o g ~ o = o . o o o z 9 ~ 7 2 .

C=0.0055113 T l = 1.7851.

u=0.0027668 I + n to=z.78787. En ddfinitive, la formule ( I I ) s‘bcrit

rl sinz K =

p + n cos z + Ir(cos2z + c)

et en Cvaluant toutes les constantes [2.22467] sinz

0.002123 + [0 .25166] cosz + i/(cos2z + 0.0055113) ( 1 2 bis) K = -- - _.. -. . ._

oh j’ai Ccrit A =[logA] et de m@me pour n. Voici le tableau des rkfractions normales P observkes,

empruntCes aux Tables de I’Observatoire de Hambourg (tables inodifiCes de Poulkovo), des valeurs K calculCes de la

’) Redicrches sur la thborie des r6fractions astronornlclues, Annalrs de 1’0l)srrv;~toire de Paris 16, 1). B. 1 - 1 14 (18x2). 2, O n Astronomical Refraction, h l N 92, p. 25-30 (1931). *) S u r la thiorie de la rCfraction astrononiique, A N 247.345-350 (1933). ‘) Puld. par M. R. Sclrnrr a Haml)ourg 1916. Crs t:ilrles sont fondCcs sur Ics Tnldes de r6fraction de I’OtscrvatoIre de Poulkovo (St. P&xs-

1)ourg. 1905) et supposent a=601153 c-e qui correspond a 1;r t e m p h t u r e tic, 0°C e t a 121 prrssinn Imronri-triquc de 760 mm de nierc-ure ;I(,’

409 5 9 5 I

+51 12.3 + 56 '9.4

4 ' 0

formule ( 1 2 bis) et de leurs diffkrences. J'y ai ajoutC aussi les rkfractions C , calculdes d'apres la thCorie de Radau et publikes par la C o n n a i s s a n c e d e s T e m p s . Le tableau montre une concordance trks satisfaisante entre les valeurs c:alculCes par notre formule et celles observkes. On voit de plus, que 1es dcarts P- H sont du meme ordre que les diffbrences P- C', dc sorte que notre formule n'est pas moins exacte que la thCorie de Rt2 da u .

R e n i a r q u e . Dans le travail cite, ill. Plummer propose pour les refractions normales une formule du type

(13) 2L4, 2 4

ctgz + (ctg*z + r l ) ctgz + V(ctg2z + c2) H = +

et fait voir seulement, qu'elle est en parfait accord avec les rCfractions de Bessel ce qui ne donne pas la possibilitC d'une cornparaison directe avec les tables modernes des refractions. Or, on peut regarder l'expression (13) comme moyenne arith- mktique pondCree des deux quantitks de la forme (6') et il serait intCressant dc perfectionner encore l'accord de la formule ( I 3) avec l'observation, en remplapnt chacune des deux fractions par I'expression plus gCndrale (8') ou bien par l'ex- pression Cquivalente (8). Par la on n'obtiendrait qu'une formule ldgkrement plus compliquCe, inais d'une extreme Clasticitk.

30° , 34:70 45 1 60.05

70 163.82 60 103.79

75 80 XI 82 83 84 85

87 86

88

221.04

364.6 406.8 459.3 526.1

329.9

613.4 73 I .6 898.0 145.0

89 1'534.1 89O3oli I8 17.8

90 12194.4 89 45 11092.1

R P-R 34'!70 O?OO

-

60.05 0.00

103.76 1 +0.03 163.76 +006 220.94 1 +o.Io 329.8 +o I

364.5 +O.I 406.9 - 0.1

459.5 - 0 . 2

526.4 -0.3 613.9 0 5 732.3 0.7 898.8 - 0.8 '44.7 f 0.3 531.0 1 + 3 . I 814.4 1 +3.4

196.8

c 1 P-c -

34169 +or01 60.04 fo.01 103.76 +0.03 163.78 +0.04 221.00 +0.04 329.8 +O.I

364.5 +O.I 406.8 0.0

459.3 0.0 526.1 0.0

613.5 -0.1

731.8 --0.2 898.8 - 0.8

537.0 i -2.9 820.9 ~ -3.1

146.6 - 1.6

__ - 196.0 , - 1.6

Praha, Observatoire astronomique de la Haute Ecole Polytechnique ?'cheque, 1932 Nov. 2. Hora'R

Neue veranderliche Sterne. Von H. Riipmiaer. In tier Vierteljahrsschrift 67.131 (1932) wurde hereits

erwbhnt, da8 die Durchmusterung der Ernostarplatten am 13linkkomparator die Auffindung von 64 vcriindcrlichen Sternen ernidglichte. Funf Sterne aus dieser Liste wurden bereits angezeigt und inzwischen von anderer Seite bestltigt. Zwei davon wurden endgultig benannt : T X Ursae majoris und S X C h u r n venaticorum. Die drei anderen sind 32 I . 193 I ,

3y.1932 und HD -t- 46"1759. Ferner wurden zahlreiche bekannte Veranderliche und auch einige schon von anderen Ikobachtern verdbchtigte Sterne m u entdeckt. Die folgende IAte cnthalt weitere 45 verdbchtige Sterne, fur die, wenn sie nicht in tler 1). D. enthalten sind, Ortskartcn beigegeben sintl. IXc Be- mcrkungen uber die Art des Lichtwechsels sind am Schlusse angefugt. Die Ableitung genauer Elemente des 1,ichtwechsels mu8te einstweilen zuruckgestellt werden, bis aystematische Aufnahnien, Ixsondcrs fur die kurzperiodischen Verhdc r - lichen, vorliepen. L

z Vorlaufigc ' 2 1 Helligkeits- j 8 1x55 P Hrzeichnung I I l a / grenzen --__ - I 2m3 - < 1.3'" 12.5 - (13 x.4- 9.0

12.5- <I3 12.5 - y13 1 2 . 5 - 13.0 1 2 . 5 - <13 1 2 . 0 - 13.0

12.0- 13.0

10.5 - i13 12.0- 13.0

10.0- 10.7 12.5 - <13

10.0- 12.0

17' 25.1933 Ursae maj. 18 26.1933 Ursae maj. 1 9 ~ 27.1~33 Ursae maj. 20 ~8.1y3~5 Ursae maj. 2 1 . 29.1933 Canum ven. 2 2 : 30.1033 Canum ven. 231 31.1933 Ursae maj. 24; 3 2 . 1933 Canum ven. 2 5 ; 33.1933 Canuni ven. 26' 34. I 933 Canuni ven. 271 35.1933 Virginis 28'402.1929 Canum ven. z y 36.1933 Canum ven. 30 37.1933 Canum ven. 31 I 38.1933 Canum ven. 32 39.1933 Canum ven. 33 40.1933 Canuni ven. 34; 41.1933 Canum ven. 351 42.1933 Canum ven.

3 7 ~ 44.1 y 3 3 Canum ven. 381 45.1933 Arietis 39' 46.1933 Tauri

41: 48.1933 l a u r i 421 49.1933 Tauri 43 39.1932 Aurigae 44 50.1933 Ursae maj. 451 51.1933 Tauri

I

I 36; I 43. I 933 Canum ven.

40, I 47, I 933 l'auri

I J 41 5 1 1 48 34 I J 50 '7 1 1 57 6 12 5 33

I2 7 I 6 I 2 8 54

I 2 5 42

I2 I 1 24

1 2 15 2

I 2 22 5 0 I2 22 59 12 2 5 '7 12 2 5 24 I2 26 32 12 27 35 1 2 Z X 16 I 2 30 32 I ? 5 2 34 7 3 I4 2.3

.3 '5 5 3 21 '3

26 20

I 2 13 j 2

1 2 20 38

3 27 2 0 +27 0.0

6 3 26 +45 32.11 10 58 30 +45 10.0 3 30 I + 2 2 30.9~

3 28 39 + 2 2 20.01

IIelligkeits- grenzen

zmo - ( 1 3 ~ 12.c- 12.7

9.0- 10.0

1 2 . 5 - < I 3

I 2.3 - J 2.8 12.0- < I 3

12.5 - <13 1 1 . 0 - 12.0

11.0- 1 2 . 0

12.0- <13

12.0- c-1.3 9.5 - 10.1

9.0 - 9.8 11.0- 12.0

12.0- 13.0

12.5- (13 12.0- < 1.3

11.5- 12.5

1 2 . 5 - (13 9.5- 1 0 . 1

1 1 . 5 - 12.3 8.6- 9.3

1 2 . 5 - 13.0

11.0- (13 9.4- 10.0

12.0- 13.0 12.5- (13 1 2 . 0 - 13.0 9.6- 1 0 . 3 12.0- 1 3 . 0

11.0- 12.0

a ) L2j0524

'9"