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119 SYNTHI~SE DE FILTRES NUMI~RIQUES SIMULANT DES FILTRES A INDUCTANCES ET CAPACITIES par Rend BOITE et Ingduicur civil dlcctricien et m~canicien * Henri LEICH Ingdnieur civil 61ectricien Docteur en sciences appliqudes ** R~SUMI~. -- Des structures de filtres numdriques rdcursifs moins sensibles que les structures classiques peuvent ~tre oblenues par simulation de filtres analogues non dissipalifs. Les principes gdndraux de la lransposition des fiItres (LC) en dchelle sont dtabtis et la synlh~se selon Fettweis des filtres d'onde esl ddcrite. Des rdsullats numdriques pour un fiIlre passe-bas de Cauer sont prdsentds et des conclusions gdndraIes lerminent cette dtude. ABSTnACT. -- Recursive digital filters structures much less sensitive than ordinary cascade or parallel structures are obtained when imitating analogue non dissipative filters. General principles for the transposition of (L, C) ladders filters are established and the synthesis of the so-called Fettweis wave filters is described. Numerical results for a low-pass Cauer filter and final conclusions are also given. PLAN. -- $ 1 : Introduction. 2 : Sensibilitd des fillres numdriques. 3 : Recherche de structures & faible sensibilitd. 4 : Principes de transposition. 5 : Filtres numdriques d'onde. 6 : Contraintes teehno- logiques. 7 : Conclusions. Bibliographie (22 rdf.). I. INTRODUCTION Les techniques numdriques apportent une solution 61dgante h beaucoup de probl~mes de filtrage et la technologie des circuits int6gr6s complexes permet, d~s h prdsent, de consid(!rer comme trds compdtitif le traitemeut numdrique des signaux en temps rdel. L'dtude qui va suivre est consacrde au probl~me de la sensibilit6 de la rdponse en frdquence aux erreurs commises sur les param~tres qui ddfinissent cette rdponse ; notre but est la ddtermination de structures de filtres numdriques qui rdalisent une transmittance donnde avec une seusibilitd minimale. Les techniques num6riques permettent en principe de rdaliser les param~tres d'une transmittance avec une pr@ision arbitraire ; en outre, les erreurs com- mises sont parfaitement connues au ddpart et elles ne sont nullement sujettes ~ des variations ultdrieures dues ~ la tempdrature ou au vieillissement ; il est par exemple possible de rdaliser un filtre numdrique "~ diffdrence de phases pour la modulation ~ bande latdrale unique, alors que la rdalisation en technique analogique (R, C actif) s'est toujours heurtde au pro- b16me de la prdcision exigde sur les composants [1]. II est clair cependant que, si l'on souhaite r~duire le cofit de la rdalisatiou et accroitre la vitesse de calcul, il est indispensable d'utiliser les roots les plus courts possibles pour reprdsenter les coefficients d'une transmittance. Dans ce qui suit, nous admettons une representation numdrique des signaux et des coeffi- cients en virgule fixe; il va de sol que nous avons en vue tes filtres h hautes caractdristiques utilisds en tdldcommunications : il s'agit donc de rdaIisations matdrielles spdcialis@s pour lesquelles la convention de la virgule fixe apporte une grande simplification. 2. LA SENSIBILITI~. DES FILTI~ES NUMI~RIQUES Les applications envisagdes demandent en gdndral une grande s6lectivitd qui ne peut ~tre obteuue d'uue far simple que par un filtre r6cursif, dont la trans- mittance T est une fonetion rationnelle en z qui peut s'dcrire sous l'une des formes suivantes [2, 3] : N ~.a ai Z-i (1 a) T(z) i=o , N l+~biz i i--t N l @ ~r Z--1 @ ~2i Z--2 (1 b) = II K~ , '~" ho~ + hu z-: (1 c) = i:,Z 1 + ~:i z-: + ~2i z-2 ' L'expression (1 a) conduit h la synth~se par la structure directe darts laquelle on inscrit les coeffi- cients ai et hi. I1 est bien connu que cette structure exige une prdcisiou extreme sur les coefficients lorsque le degrd Nest supdrieur h 3 ou 4, et en pratique, on est amend h utiliser soit la forme factorisde (1 b) pour une synthbse par mise en cascade de blocs du second * Professeur de thdorie des circuits h la Facultd polytechnique de Mons. ** Charg6 de cours de th~orie des circuits "~ Ia Facultd polytechnique de Mons. 1/17 ANN. TI~LI~COMMUNICq 31, n ~ 3-4, 1976

Synthèse de filtres numériques simulant Des filtres a inductances et capacités

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SYNTHI~SE DE FILTRES NUMI~RIQUES SIMULANT DES FILTRES A INDUCTANCES ET CAPACITIES

p a r

R e n d B O I T E e t Ingduicur civil dlcctricien et m~canicien *

H e n r i L E I C H Ingdnieur civil 61ectricien

Docteur en sciences appliqudes **

R~SUMI~. - - Des structures de filtres numdriques rdcursifs moins sensibles que les structures classiques peuvent ~tre oblenues par simulation de filtres analogues non dissipalifs. Les principes gdndraux de la lransposition des fiItres (LC) en dchelle sont dtabtis et la synlh~se selon Fettweis des f i l t res d ' o n d e esl ddcrite. Des rdsullats numdriques pour un fiIlre passe-bas de Cauer sont prdsentds et des conclusions gdndraIes lerminent cette dtude.

ABSTnACT. - - Recursive digital filters structures much less sensitive than ordinary cascade or parallel structures are obtained when imitating analogue non dissipative filters. General principles for the transposition of (L, C) ladders filters are established and the synthesis of the so-called F e t t w e i s w a v e f i l ters is described. Numerical

results for a low-pass Cauer filter and final conclusions are also given.

PLAN. - - $ 1 : Introduction. �9 2 : Sensibilitd des fillres numdriques. �9 3 : Recherche de structures & faible sensibilitd. �9 4 : Principes de transposition. �9 5 : Filtres numdriques d'onde. �9 6 : Contraintes teehno-

logiques. �9 7 : Conclusions. Bibliographie (22 rdf.).

I . I N T R O D U C T I O N

Les t e c h n i q u e s n u m d r i q u e s a p p o r t e n t u n e s o l u t i o n

61dgante h b e a u c o u p de p r o b l ~ m e s de f i l t r age e t la

t e c h n o l o g i e des c i r cu i t s i n t6g r6s c o m p l e x e s p e r m e t ,

d~s h p r d s e n t , de cons id( ! rer c o m m e t rds c o m p d t i t i f

le t r a i t e m e u t n u m d r i q u e des s i g n a u x en t e m p s rdel.

L ' d t u d e qu i v a s u i v r e es t c o n s a c r d e au p r o b l ~ m e de

la s ens ib i l i t 6 de la r d p o n s e en f r d q u e n c e a u x e r r eu r s

c o m m i s e s su r les p a r a m ~ t r e s qu i d d f i n i s s e n t c e t t e

r d p o n s e ; n o t r e b u t es t la d d t e r m i n a t i o n de s t r u c t u r e s

de f i l t res n u m d r i q u e s qu i r d a l i s e n t une t r a n s m i t t a n c e

d o n n d e a v e c u n e seus ib i l i td m i n i m a l e .

Les t e c h n i q u e s n u m 6 r i q u e s p e r m e t t e n t en p r i n c i p e

de rda l i se r les p a r a m ~ t r e s d ' u n e t r a n s m i t t a n c e a v e c

u n e p r @ i s i o n a r b i t r a i r e ; en o u t r e , les e r r eu r s com-

mises s o n t p a r f a i t e m e n t c o n n u e s au d d p a r t e t elles

ne s o n t n u l l e m e n t s u j e t t e s ~ des v a r i a t i o n s u l t d r i e u r e s

dues ~ la t e m p d r a t u r e ou au v i e i l l i s s e m e n t ; il es t p a r

e x e m p l e poss ib le de rda l i se r u n f i l t re n u m d r i q u e "~

d i f fdrence de p h a s e s p o u r la m o d u l a t i o n ~ b a n d e

l a td r a l e u n i q u e , a lo rs que la r d a l i s a t i o n en t e c h n i q u e

a n a l o g i q u e (R, C ac t i f ) s ' e s t t o u j o u r s h e u r t d e au p ro -

b16me de la p rdc i s ion exigde su r les c o m p o s a n t s [1].

II es t c la i r c e p e n d a n t que , si l ' o n s o u h a i t e r~du i r e

le cofi t de la r da l i s a t i ou e t a c c r o i t r e la v i t e s se de

ca lcu l , il es t i n d i s p e n s a b l e d ' u t i l i s e r les roo ts les p lus

c o u r t s poss ib les p o u r reprdsenter les coef f ic ien ts d ' u n e

t r a n s m i t t a n c e . D a n s ce qu i su i t , n o u s a d m e t t o n s u n e

r e p r e s e n t a t i o n n u m d r i q u e des s i g n a u x e t des coeffi-

c i en t s en v i rgu l e f i x e ; il v a de sol que n o u s a v o n s

en v u e tes f i l t res h h a u t e s c a r a c t d r i s t i q u e s u t i l i sds

en t d l d c o m m u n i c a t i o n s : il s ' a g i t d o n c de rda I i s a t i ons

m a t d r i e l l e s spdc ia l i s@s p o u r l e sque l l es la c o n v e n t i o n

de la v i r g u l e fixe a p p o r t e u n e g r a n d e s i m p l i f i c a t i o n .

2. LA SENSIBILITI~. D E S FILTI~ES N U M I ~ R I Q U E S

Les a p p l i c a t i o n s e n v i s a g d e s d e m a n d e n t en gdnd ra l

u n e g r a n d e s6 lec t iv i td qu i ne p e u t ~tre o b t e u u e d ' u u e

f a r s i m p l e que p a r u n f i l t re r6curs i f , d o n t la t r a n s -

m i t t a n c e T es t u n e f o n e t i o n r a t i o n n e l l e en z qu i p e u t

s 'dc r i re sous l ' u n e des f o r m e s s u i v a n t e s [2, 3] :

N ~.a ai Z-i

(1 a) T(z) i=o , N

l + ~ b i z i i--t

N l @ ~r Z--1 @ ~2i Z--2 (1 b) = I I K~ ,

'~" ho~ + h u z - : (1 c) = i:,Z 1 + ~:i z - : + ~2i z-2 '

L ' e x p r e s s i o n (1 a) c o n d u i t h la s y n t h ~ s e p a r la

s t r u c t u r e d i r e c t e darts l aque l l e on i n s c r i t les coeffi-

c i e n t s ai et hi. I1 e s t b i en c o n n u que c e t t e s t r u c t u r e

exige u n e p rdc i s iou e x t r e m e su r les coeff ic ients l o r s q u e

le degrd N e s t s u p d r i e u r h 3 ou 4, e t en p r a t i q u e , o n

es t a m e n d h u t i l i s e r so i t la f o r m e f ac to r i sde (1 b) p o u r

u n e s y n t h b s e p a r mi se en c a s c a d e de b locs d u s e c o n d

* Professeur de thdorie des circuits h la Facultd polytechnique de Mons. ** Charg6 de cours de th~orie des circuits "~ Ia Facultd polytechnique de Mons.

1/17 ANN. TI~LI~COMMUNICq 31, n ~ 3-4, 1976

Page 2: Synthèse de filtres numériques simulant Des filtres a inductances et capacités

120 R. B O I T E . -- F I L T R E S N U M I ~ R I Q U E S S I M U L A N T F I L T R E S A I N D U C T A N C E S

degrd ou le d 6 v e l o p p e m e n t (1 c) p o u r une syn th6se

p a r raise en parall61e de te ls blocs.

I1 c o n v i e n t donc de c o m p a r e r ces d e u x derni6res

s t ruc tu res , e t la c o m p m a i s o n doi t p o r t e r non sur

une t r a n s m i t t a n c e d6 te rmin~e , mais sur un e n s e m b l e

cons t i tu~ p a r un g r and n o m b r e de t r a n s m i t t a n c e s :

nous u t i l i se rons fi cet effet une a p p r o c h e s t a t i s t i que .

La f igure 1 r ep r6sen t e le f o r m a t d ' u n coeff ic ient

compr i s en t re - - 2 e t § 2 ; les va leu r s n6ga t ives son t

F, Io-,I --- Io- 1 2 b

FIG. 1. - - Format d'un coefficient en virgule fixe. b

a = ~ x 2 A- ~ ~-~ 2-1. i=0

reprdsentdes p a r l eur c o m p l d m e n t h 2 et le pas de

q u a n t i f i c a t i o n v a u t q = 2 -b [4].

oh fe r ep r6sen te la f r6quence d ' 6 c h a n t i l l o n n a g e et sa

p e r t u r b a t i o n v a u t au p r e m i e r o rd re :

b a t (4) • = Z ; I• < ql2.

I1 est n o r m a l d ' a d m e t t r e l ' i n d @ e n d a n c e des

er reurs AXk : la p e r t u r b a t i o n A A t est done considOr6e

en p remi6re a p p r o x i m a t i o n e o m m e nne v a r i a b l e

gauss ienne d o n t la v a r i a n c e v a u t :

soi t un dcar t q u a d r a t i q u e m o y e n :

(6) ~aa~(q>) = P(?) 2-0/~/~.

La fouc t ion P(?) ainsi d6finie es t appelde indice de

sensibilild quadrat ique; elle p c r m e t de c o m p a r e r des

s t r uc tu r e s diffdrentes qu i rda l i sent une m ~ m e t r ans -

m i t t a n c e . A t i t r e d ' e x e m p l e , les f igures 2 e t 3 i l l u s t r en t

la f onc t i on P@) r e l a t i v e h un f i l t re passe -bas et h

un fi l tre p a s s e - b a n d e de Cauer p o u r les s t r uc tu r e s

Iogz P(~) J ~ ' -

15

10

500

J / /

�9

tOO0

Parall~le

Cascade

Bande passante

I \ i

l I ] l lP x

11

J \

i 1500 2000 2500 f (Hz~j

Domaine d'arr~t

FIG. 2. - - Indice de sensibilit6 quadratique d'un filtre passe-bas de Cauer. f<~ 1000 H z : A t < 0 , 2 d B ; f > 1200 t t z : A r > 6 0 d B ; fs = 16000 Hz.

On consid~re que l ' e r r e u r d ' a r r o n d i sur un coeffi-

c i en t X est une v a r i a b l e a lda to i re d o n t la dens i td de

p robab i l i t 6 est u n i f o r m d m e n t r @ a r t i e en t r e - - q ] 2

e t + q]2, ce qui c o n d u i t h une v a r i a n c e :

(2) a ~ = q2/12 .

L ' a f f a i b l i s s e m e n t At es t d6fini p a r :

(3) At@) = - - 20 loglo 1T(z)l z=eJo '

r = coTe = 2 ~ f ] f e ,

cascade e t p a r a l l ~ l e ; si les sensibi l i t6s son t h peu

prbs les m 6 m e s darts la b a n d e pas san t e , la s t r u c t u r e

para l lb le es t de loin la p lus sensible dans le d o m a i n e

d ' a r r~ t . Ceci s ' e x p l i q u e d ' a i l l eurs a i sdmen t : d a n s la

f o rme ( l b ) , on a ~2~= 1, Vi e t p a r c o n s d q u e n t

A:r ~ 0 : les z6ros de t r a n s m i s s i o n sou t si tu6s sur

le cercle un i t6 e t ils y r e s t e n t apr~s a r r o n d i ; ce n ' e s t

b ien stir pas le cas p o u r la s t r u c t u r e paral lble .

On p e u t aussi u t i l i se r la sens ibi l i t6 q u a d r a t i q n e

p o u r une e s t i m a t i o n de la l o n g u e u r des m o t s n6ces-

ANN. T~LI~COMMUNIC., 31, I1 ~ 3-~, 1976 2/17

Page 3: Synthèse de filtres numériques simulant Des filtres a inductances et capacités

R. B O I T E . - - F I L T R E S N U M I ~ R I Q U E S S I M U L A N T F I L T R E S A I N D U C T A N C E S 121

15

10

Iog=p(@)/V" ~-

Parall~le

Caw.ade

I

~ ~ ~S~ ~i~ ~ ~

1000 ~,,oe ~soe 2000 25~176 ~ 3000 4000 5000

F I G . 3 . - - I n d i c e d e s e n s i b i l i t 6 q u a d r a t i q u e [ d ' u n f i l t r e p a s s e - b a n d e d e C a u e r .

fs = 16 000 Hz, n = 16.

f(Hz)

saires darts c h a q u e cas p o u r sa t i s fa i re les sp6cifica-

t ions ; ce t t e l o n g u e u r es t de t o u t e 6v idence li6e h la

r6serve p. que l ' on a pu m 6 n a g e r p e n d a n t l ' a p p r o x i -

m a t i o n en t r e la ca rac t6 r i s t i que id6ale e t les sp6cifi-

ca t ions (Fig. 4). Si ( b e s t le d o m a i n e de f r6quences

darts l eque l l ' a f f a ib l i s semen t est spdcifi6, e t si la

cond i t ion s u i v a n t e es t v6rifi6e :

(7) m a x ~raAf < ~z]2,

les spdcif ica t ions s e ron t sa t i s fa i tes avec une trbs fo r te probabi l i t6 .

Les r6su l ta t s du t a b l e a u I re la t i f h une co l lec t ion

de fi l tres passe -bas c o n f i r m e n t la v a l e u r de ce t t e

m d t h o d e d ' e s t i m a t i o n p o u r la s t r u c t u r e cascade [5].

Le n o m b r e d ' d l f m e n t s b ina i res de la pa r t i e d6ci-

ma le s t r i c t e m e n t n fcessa i res bNEC est d6 te rmin6 p a r

ca lcul d i rec t fi p a r t i r de l ' exp re s s ion (1 b) dans l aque l l e

on subs t i t ue les coeff icients a r rond i s ; on obse rve une

A f D A

AfB P

LAf

/ /DA $ - - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , ' l / l l l l / l l l l / l l l 7/"z r-)/~- ~",;,//H . . . . . . . .

fc fd l / I / )

fe

Fro. 4. - - Sp6cification et approximation id6ale pour un filtre passe-bas.

3/17 A~N. T~L]~CoMrauNIc., 31, n ~ 3-4, 1976

Page 4: Synthèse de filtres numériques simulant Des filtres a inductances et capacités

122 R. BOITE. -- FILTRES NUMI~BIQUES SIMULANT FILTRES. A : I N D U C T A N C E S

TABLEAU I fs : fr6quence d'dchantillonnage; fc : fr6quence de coupure; fa : ddbut du domaine d'arr~t; Afnp : sp6cification

dans la bande passante; Atox : sp6cification dans le domaine d'arr~t ; N~e : r~serve duns la bande passantc.

f~(Hz)

16 000 16 000 16 000 16 000 16 000 16 000

f~(Hz)

4 000 2 000 1 000

100 I00 100

fa(Hz)

4 800 2 400 1 200

120 101 100,1

Afnp (dB)

0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

At~A (dB)

60 60 60 60 60 60

Degr6 (n)

7 8 8 8

14 19

min P~rs (dB)

0,157 0,163 0,138 0,126 0,107 0,125

bEST bNEC

8 7 9 8

12 11 18 17 23 22 26 24

concordance excellente entre bEs T calcul6 ~ l 'a ide

du crit6re (7) et bNE C et des r6sultats semblables ont

6t6 obtenus pour des filtres passe-bande.

I1 faut signaler ici une possibilit6 tr6s int6ressante :

dans beaucoup de cas, la longneur des mots peut

encore ~tre diminu6e de 2 ou 3 616ments binaires

grfice h une opt imal isa t ion de la s t ructure cascade

dans l 'espace diseret des coefficients [6].

3 . B E ~ H E B G H E D E S T R U G T U B E S A F A I B L E S E N S I B I L I T ~

Lorsque l 'on examine les ordres de grandeur de

bNE C dans le tab leau I, on constate que l 'on est bien

loin des tol6rances admises g6n6ralement pour les

filtres ~ inductances et capacitds ; celles-ci sont en

effet de l 'ordre du pour cent, ce qui, pour un coeffi-

cient voisin de 1, correspond h b - - 6 (q/2 = 1/128).

On est donc en droit de supposer qu' i l existe proba-

b lement des s t ructures de filtres numdriques beaucoup

moins sensibles que celles qui rdalisent sgpar6ment

chaque paire de p61es et de z6ros de la t ransmi t tance .

Une voie h suivre pour la recherche in tu i t ive de

structures h faible sensibilit6 consiste h essayer

d ' imiter , dans la mesure du possible, les filtres ana-

logiques non dissipatifs, en vei l lant toutefois h ne

pas aceroitre le vo lume de calcul impliqu6 par la s t ruc ture cascade. Les filtres h inductances et capa-

cit6s Ionc t ionnant ent re terminaisons r6sistives jouis-

sent en effet d 'une propri6t6 ex t r~mement impor tan te

qui a 6t6 rappelde par Orchard dans une courte

note [7].

Considdrons la figure 5 qui sch6matise un tel filtre

et posons :

(8) S2~ El2 R1 '

1 / Af(6)) = - - loge [$21(6))] = ~ loge ~1

R,

h(-- P) I d- f(p) ( f _ p) jlp=j~ ~

~ 82

FIG. 5. - - Filtre (LC) termind sur des r6sistances.

off f, g e t h sont des polyn6mes caract6ris t iques qui

cons t i tuent la matr ice de rdpar t i t ion associ6e h un

quadrip61e non dissipatif fonc t ionnant entre les rdsis-

tances R 1 et Rz [8]. Les racines de f(p) fournissent

les p61es d 'affaibl issement 6)ooi et elles sont norma- lement imaginaires pures ; celles de h(p) correspondent

aux zdros de l 'affaiblissement, 6)0z: ceux-ci sont

r6partis darts la bande passante et les racines de h

sont doric aussi de pr6f6rence imaginaires pures, ce

que permet le caract6re non dissipatif du quadrip61e.

La propridt6 rappel6e par Orchard r6sulte alors de

la passivit6 du quadrip61e : duns la bande passante,

l 'affaibl issement d6fini par (8) ne peut pas devenir

n6gatif et par cons6quent aux fr6quences r off il

est nul, sa d6rivde par rappor t h un param6tre quel-

conque X~ du quadrip61e dolt ~tre nulle :

5A~[ = (9) OX-~[~=r 0 , u , u

A u t r e m e n t dit, un filtre (L, C) terrain6 par deux

r6sistances est insensible au premier ordre aux fr6-

quences off l 'affaibl issement est nul ; de plus, on peut

conjecturer que la sensibilitd reste faible dans tou te

la bande passante, sur tout si l ' ondula t ion tolfrde pour

A~(to) est peti te.

L ' idde originale de la t ransposi t ion des 6quations

des filtres analogiques non dissipatifs pour la syn-

th~se des ffitres num6riques est due h A. Fet tweis [9] ;

cet te idde avai t germ6 h la suite de ses t r a v a u x sur

les rdseaux ~ t ransfer t r6sonnant [10], dont le prin-

cipe avai t pu ~tre mis h contr ibut ion pour la synth6se

de filtres sans inductances [11].

4. P R I N C I P E S D E T R A N S P O S I T I O N

4.1. I n v a r i a n c e de l a r 6 p o n s e e n r 6 g i m e

s i n u s o i d a l .

Outre le maint ien des propridtds de faible sensi-

bilit6 du filtre analogique original, la proc6dure de

t ransposi t ion doit pr6server les sp6cifications sur

l 'affaibl issement ; les antres caract~rist iques telles que

le ddlai de groupe, la r6ponse transitoire. . . , ne sont

pus envisag6es duns cet te dtnde.

ANN. T~L~C0M~tUNIC., 31, n ~ 3-4~ 1!)76 4/17

Page 5: Synthèse de filtres numériques simulant Des filtres a inductances et capacités

R. B O T T E . -- F I L T R E S N U M I ~ R I Q U E S S I M U L A N T F I L T R E S A I N D U C T A N C E S 123

Pour un syst6me "h temps continu, l ' ampl i tude de

la fonction de r6ponse en rdgime sinusoidal est donn6e

par :

(10) AC(O) ) = ]H(p)]p=j~,

et pour un syst~me "h temps discret par :

(11) AD((O ) = IT(z)[ z=eJ~T.

Cette derni~re fonction est p~riodique en r avec

une p6riode % = 2"~]T : il dolt donc en ~tre de m~me

pour Ac(~O), et la subst i tut ion

(12) z = e pT ,

dtablit ef fect ivement nne correspondance entre le

cercle unit6 du plan z et chaque s e g m e n t :

( j t '~e , j(k + 1)~e) ,

(k entier quelconque) de l 'axe imaginaire du plan p.

Ceci implique une t r ansmi t t ance H(p) rat ionnelle

e n e pT, ce qui ne convient ~v idemment pas h u n

r6seau h constantes localis@s (R, L, C). Heureusement

la t ransformat ion de Richards

(13) s - - x + j g - - th p T / 2

permet de tourner cet te difficult6; elle subst i tue h

chaque segment (jk~%, j ( k § 1)t%) de l ' axe jo) du

plan p la total i td de l 'axe j g du plan s ; Ia combinaison

de (12) et (13) fourni t la t ransformat ion bilin6aire

bien connue :

(14) s = ( 1 - z 1)/(1 + z-x).

Ainsi tou t filtre non dissipatif dont la t r ansmi t t ance

est rat ionnelle en s et qui fonct ionne entre termi-

naisons rdsistives est un candidat h la t ransposi t ion

envisagde. Pour que les spdcifications sur l 'affaiblis-

sement soient prdserv6es, il suffit de tenir compte

de la distorsion de l 'axe des fr6quences qui rdsulte

de (13) :

(15) g = tg o~TI2 tg ~/2 .

La figure 6 illustre la prddistorsion qu' i l faut faire

subir aux fr6quences caraetdrist iques du filtre ana-

logique avan t de r6soudre le probl6me d 'approxi-

2

yd

yc

y= tg r

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I

,,

~c ~a

C~ co

",,r / 2

Fro. 6. - - Distorsion de l'axe des fr6quenccs introduite par la transformation bilin~aire.

mat ion dans le plan s.

Les correspondances entre les plans p, s e t z sont

rdsumds sur la figure 7.

Une premi6re possibilitd consiste h t ransposer un

filtre h 616ments-unit6, dont on connai t le caract6re

non dissipatif ; la t r ansmi t t ance d 'un tel filtre est en

effet rat ionnelle en s [12] ; eependant , on mont re que

pour un m6me degr6, un filtre "& dldments-unit6 prd-

sente de moins bonnes caractdrist iques qu 'un filtre

(L, C) en 6ehelle.

En rdalit6 il est possible de par t i r d 'un filtre cons-

t i tu6 par des 6ldments d ' imp6dances Ls ou 1]Cs; par

extension de langage, ces 61dments seront appeIds

inductances ou capacitds darts le plan s et l 'on dira

que l 'on effectue la synth~se darts le plan s. Plus

gdndralement, on peu t utiliser comme filtre original

tout rdseau consti tud par des 616ments-unit6, des

inductances, des capacit6s, des t ransformateurs et

des gyrateurs darts le plan s.

4.2. Contraintes diverses .

Le filtre obtenu par t ransposi t ion dolt ~tre stable

et phys iquement r6alisable ; il dolt contenir un nombre

minimal d 'opdrateurs, et on m e t t r a l ' accent sur le

nombre de mul t ip l i eu r s ; enfin il dolt garder les

propridt6s de faible sensibilitd du filtre original.

La stabilitd est prdserv6e, car la t ransformat ion

bilindaire 6tablit une correspondance entre le demi-

plan de gauche du plan s e t l ' int6rieur du cercle unit6

du plan z.

La t ransposi t ion fourni t un syst~me h temps diseret

ddcrit par un graphe constitu6 par des addit ionneurs ,

des mult ipl ieurs et des 616ments h ddlai ; la r6alisa-

bilitd physique consiste h pouvoir lui associer un

programme de caleul, c 'est-h-dire un syst~me de

r~eurrences lindaires pour d~terminer les variables

assocides aux nceuds h l ' ins tan t (n + 1)T, eonnaissant

leurs valeurs h l ' ins tan t nT. Un tel p rogramme est

mis en d~faut lorsque le graphe cont ient une boucle

exempte d'dl6ments 'h ddlai : en effet, quelle que soit

l 'organisat ion des ealeuls, on t rouve que la va leur h

un ins tant n T d 'une variable associde h uu nceud

quelconque de cet te boucle est fonction implici te

d'elle-m~me. II faut donc interdire la pr6sence de

boucles sans d61ai dans le graphe du filtre num6rique

obtenu par transposit ion.

Le mul t ip l ieur est l 'opdrateur le plus complexe

d 'un filtre numdrique : il importe d 'en minimaliser

le nombre qui ne devra i t pas, en principe, excdder

le nombre de param6tres qui d6finissent la t rans- mit tance.

4.3. Transpos i t i on des 6quat ions en t ens ions et courant s .

Aux tensions et aux courants du rdseau original,

on subst i tue les transforTndes de signaux h temps

5/17 ANN. TI~LI~COMMUNIC., 31, *l os 3-4, 1976

Page 6: Synthèse de filtres numériques simulant Des filtres a inductances et capacités

124 R. B O I T E . -- F I L T R E S N U M 1 5 , R I Q U E S S I M U L A N T F I L T R E S A I N D U C T A N C E S

jco (p)

jwe/2

- J~e/2

(z) ((~ = ~e /2)

o

s = th pT /2

(=) (s) ' 'l (o) = We/2)

( w = O )

1 - z - ' v S - l + #

~ ( o ~ = O) u leo =tOe)

L X

FIo. 7. - - Correspondanee entre les plans p, s e t z.

discret U(z) et I(z); ces grandeurs sont lides par les relations en s daus lesquelles on a op~r~ la substi-

tu t ion (14). La figure 8 il lustre la t ransposi t ion d 'une induc-

t a n c e ; le rdsultat est un graphe dans lequel on peut

exemple simple est donn6 h la figure 9. Quelle que soit la repr6sentat ion choisie, on observe l 'existence de boucles qui associent l ' imp6dance d 'une branche s6rie avec l ' admi t t ance d 'une branche shun t (ou l ' inverse) ; par cons6quent, quel que soit le type de

"[ _Z-I U(s)= Ls . I (s ) U(z) = L i ~ - l i ( z )

I (s) -"-o

Uls) I , t L I (z) O

U(z) o

F I G . 8 . - - T r a n s p o s i t i o n d ' u n e i n d u c t a n c e .

observer un parcours sans d6lai entre le nmud origine I(z) et le nceud de sortie U(z) ; ce parcours rdsulte du fait que la t r ansmi t t ance U/I a m6me degr6 en z

au num6ra teur et au d6nominateur . La t ransposi t ion d 'une capacit6 condui t h une

s t ructure ident ique qui pr6sente donc aussi un par- cours sans d61ai entre U(z) et I(z) ; quan t h la r6sis-

tance, sa t ransposi t ion est imm6diate. I1 existe de nombreuses fa~ons de reprdsenter le

graphe de fluence associd h un filtre en 6chelle ; un

filtre, il y aura des boucles sans d61ai dans le graphe

du filtre num6rique. On peut conclure de cette analyse que la t rans-

posit ion directe d 'un filtre (L, C) en 6chelle est impos- sible par la subs t i tu t ion bil in6aire (14). Or, toute autre subs t i tu t ion fait correspondre au cercle uni t6 du plan z, non plus l 'axe imaginaire du plan s, mais une certaine courbe S dist incte de cet a x e ; il faudra donc r6soudre le problbme d ' approx imat ion le long de S e n y disposant les raeines des polynSmes f et h.

ANN. T~L~COMMUNIC., 31, n o' 3 4 , 1976 6/17

Page 7: Synthèse de filtres numériques simulant Des filtres a inductances et capacités

R . B O I T E . - - F I L T R E S N U M I ~ R I Q U E S S I M U L A N T F I L T R E S A I N D U C T A N C E S 125

1 Z~ 1 Z~ 4

Rs l~ l~

Y= I= Y, 14

0 'LItR" UL

1 E ~ =

- 1 U~ 1 1 1 U, 1 UL

1 1

FIG. 9. - - Graphe de fluence associ6 ~t un filtre en 6chelle.

Cela pr6sente deux inconvdnients majeurs :

a) lorsque les z6ros de f ne sent pas imaginaires

purs, la synth~se d 'un filtre de Cauer exige des cel-

lules de Brune ;

b) l ' a rgument d 'Orchard n 'es t plus applicable

puisque les z6ros de l 'affaibl issement ne correspondent

plus h un fonc t ionnement en r6gime sinusoidal clans

le plan s (ou p).

Ainsi la subst i tu t ion s - - - - 2 z - 1 ( 1 + z-l) -1 pro-

pos6e par Martinelli , peut t ransposer un filtre passe-

bas polynomial en un graphe r6alisable, mais la

propri6t6 de faible sensibilit6 est perdue [13].

D 'aut res subst i tut ions ont cependant 6t6 envisagdes

par Bru ton [14]; elles pr~sentent des avantages et

des inconv~nients divers et elles m6ri tent un examen

plus approfondi.

4.4. Transpos i t ion des 6quat ions en var iables d'onde.

Pour tourner les difficult~s rencontrdes dans la

section prdc6dente, on peut songer h t ransposer en

bloc les dip61es et les quadrip61es d6finis par leurs

6quations en variables d 'onde. En ehaque accbs, on

subst i tue anx grandeurs U et I les ondes de tension

ineidente et r6tI~chie A et B ddfinies par les relations :

(16) A = U-~- R l ,

B = U - - R I ,

oh R est la r6sistance de r~f~rence associ6e h l'acc~s.

Tout syst~me analogique qui ob6it aux ~quations du

r fseau 6crites en variables d 'onde prdsente entre le

nceud origine et le nceud de sortie une t r ansmi t t ance

ident ique /i celle du filtre original fonc t ionnant entre

ses terminaisons r6sis t ives; si dans ee syst6me on

effeetue la subst i tut ion (14), on obt ien t le graphe

d 'un filtre num6rique.

Nous mont rons dans le chapitre V que la t rans-

position peut 8tre condui te de fa~on ~ assurer un

nombre minimal de mult ipl ieurs et h 6viter les boucles sans ddlai.

5. F I L T R . E S N U M ~ R I Q U E S D ' O N D E

L'ut i l i sa t ion des relations (14) et (16) pe rmet la

t ransposi t ion de chaque 616ment d 'un filtre ana-

logique. Pour chaque ace,s, les ondes incidente (A)

et r6fl6chie (B) seront d6finies par rappor t ~ une

r6sistance de r6f6rence R fonction de l'~16ment

considdr6 : les s t ructures num6riques obtenues seront

ainsi ind6pendantes de la valeur des 616ments [15];

il est clair que cet te proc6dure impl iquera des con-

t raintes pour l ' in terconnexion ties 616ments transpos6s.

5.1. Tab leau de t ranspos i t ion des 616ments.

A ti tre d 'exemple , l ' inductance L qui ob6it h

l 'dquat ion U - - Lsl, fourni t pour R L la relat ion :

B(z) -- - - z -1 A(z).

La s t ructure associ~e est donnde dans la figure 10 ;

une proc6dure semblable condui t h la t ransposi t ion

des dip61es 616mentaires rdpertorids dans le m~me

tableau.

Certains multip61es ~l~mentaires peuven t aussi ~tre

transpos6s [15]; ainsi l'616ment unit6, de d61ai T[2 et d ' imp6dance caract6rist ique R, a pout- 6quations :

B 1 : = A 2 z - 1 1 2 ,

B2 = A1 : - 1 1 2 .

La s t ructure associde est prdsent6e ~ la figure 11.

7/17 AN.~. TI;:LI~COMMUNIC., 31, n ~ 3-4 , 1 9 7 6

Page 8: Synthèse de filtres numériques simulant Des filtres a inductances et capacités

1 2 6 R. BOITE. -- FILTRES NUM]~RIQUES SIMULANT FILTRES A INDUCTANCES

Eloment analogue

L

Structure d'onde

A - I B

C

I I o

R

o

A B

A B 0 0 C "~ 0

i=eiR

o I~ o

A o ~ D Bo=0

1C

A~_~__I~ O - - 0 ~ 0

^ ,-~ ,= r~ t~ ~ e e ~ A ---,, R ~ o R

" - ' - k " ) ~ ~ L-'! "'-'u = oB

e ~

o 0 o - 1 quelconque 2e

R o A

2 e ~ --'- o B

quelconque

quelconque

quelconque

Fro. 10. - - Transposition des dip61es 616mentaires.

(18)

a v e c

et

Les ondes d6finies a u x acc~s (1, 2, ..., n) a u x q u e l s

son t associ6s les r~s is tances de r6f6rences ( R 1 , .. Rn)

son t donn~es p a r :

A k = Uk + R k l k

( 1 7 ) , k = 1 . . . . . n

B~ = U~ - - R k I ~

La mise en paral l~le de ces n accbs (Fig. 12 a)

i m p l i q u e des c o n t r a i n t e s sur les t ens ion e t e o u r a n t

a u x ace , s qu i se t r a n s f o r m e n t en c o n t r a i n t e s sur

les va r i ab l e s d ' onde , fi s avo i r :

B k = A o - A k , k = 1, 2 , . . . , n ,

A o = ~ o~kAk , k=t

(19) ~k = 2 k Gi , Gf = liB,.

Les re la t ions (18) e t (19) ddf in issent un mult ip61e

appel6 a d a p t a t e u r para l lb le , symbol i s6 h la f igure 12 b.

De (19) on t i r e :

k = l

et e n s u r e :

1 o

1'o R, Tz2

AI o

o2

R o 2'

B io

Fro. 11. - - El6ment unit6.

o B 2

R

O A 2

2'

n 13'

--1 A3 B2 A2

W-Y

b c

FIG. 12. - - Adaptateur parall~le.

5.2. RSgles de connexion des 616ments.

C o m m e les rds is tances de rdfdrence son t en p r inc ipe

t ou t e s diff~rentes, l ' i n t e r c o n n e x i o n des d ldments ex ige

une a d a p t a t i o n a u x acc~s in t e r connec t4s p o u r r e n d r e

c o m p a t i b l e s les ondes inc iden tes et rdfl~chies [15].

n--I A o : 2 A n + ~ o ~ k ( A k - - A n ) .

k=t

L'accbs n e s t alors appeM accbs d6pendan t . U n e

rda l i sa t ion de l ' a d a p t a t e u r para l l~ le h t ro is acc~s off

l 'acc~s 3 est d 6 p e n d a n t es t r ep rdsen tde h la f igure 12 c.

De m~me, les c o n t r a i n t e s qu i rd su l t en t de la raise

ANN. T~L~COMMUNIE., 31, n ~ 3-4, 1976 8 /17

Page 9: Synthèse de filtres numériques simulant Des filtres a inductances et capacités

R . B O I T E . - - F I L T R E S N U M I ~ R I Q U E S S I M U L A N T F I L T R E S A I N D U C T A N C E S 127

en s6rie de n acc~s (Fig. 13 a) s ' 6 c r i ven t :

Bk= A k - - Bk A o, a v e c

A o ~] Ak ,

les rds is tances de r6f6rence des d e u x acc~s c o m m u n s

d o i v e n t 8tre i den t iques e t l ' o n d e r6fi6chie h u n acc~s

d e v i e n t l ' o n d e i nc iden t e de l ' a u t r e ace , s . L ' e x a m e n

des s t ruc tu re s des d ivers a d a p t a t e u r s m o n t r e que

l ' on a ainsi er66 une bouc le sans d6lai.

2' 2 /R,\ lo ----o R]

0 ~,~ //f'---'o 1 ~ -

i~ R~A1 - - , o - -

A n B n

b

A, =

B]

A 3

A2

b-~oB2

i i i = o B~

C

FIG. 13. - - Adaptateur sSrie.

et

Be = 2 Re R~.

Elles d6f in issent l ' a d a p t a t e u r sdrie symbol i s6 fi la

f igure 13 b. On a aussi :

B~:= 2 , 1r

ce qui p e r m e t de d6finir un acc~s d 6 p e n d a n t p a r la

r e l a t ion : n - - t

Bn= -- A o - ~ B~. i=1

La f igure 13 c i l lus t re une r6a l i sa t ion de l ' a d a p t a t e u r

s6rie fi t ro i s acc~s.

5.3. Transposition des filtres LC en ~chelle.

La t r a n s p o s i t i o n des fil tres LC en dchelle (Fig. 9),

o b t e u u e par l ' i n t e r c o n n e x i o n d 'd l~ments de la f igure 10,

dol t v~ri f ier la c o m p a t i b i l i t 6 d ' d c o u l e m e n t des ondes ;

de plus, la s t r u c t u r e o b t e n u e ne sera p h y s i q u e m e n t

r6al isable que si le g r aphe ne c o n t i e n t aucune bouc le

sans ddlai. Ce t t e derniSre c o n d i t i o n en t r a ine des

r e s t r i c t ions sur l ' a s soc ia t ion des a d a p t a t e u r s qui son t

uti l isds pour la t r an spos i t i on des fi l tres en 6chelles [16].

Soi t d e u x a d a p t a t e u r s a rb i t r a i r e s connectds en t r e

e u x (Fig. 14) ; en accord a v e c les r~gles de connex ion ,

C e p e n d a n t elle p e u t fitre 61imin6e si le coeff ic ient ~n

associ6 fi Fun des acc6s c o m m u n s p e u t fitre choisi

6gal fi un, ce qui i m p l i q u e p o u r un a d a p t a t e u r parall61e

n --1

i = t

et p o u r un a d a p t a t e u r sdrie

n - - I

i - - I

On en d~dui t p o u r l ' a d a p t a t e u r paral l~le la r e l a t ion

n - - t

B n = ~ o~ A i , i = t

et p o n r l ' a d a p t a t e u r s6rie

I1--1

B n = Z (-- Ai ) . i= l

Dans les d e u x cas, l ' o n d e r6fl6chie Bn est ind6pen-

d a n t e de l ' onde i n c i d e n t e An et la bouc le sans d61ai

est ainsi suppr im6e . On r e m a r q u e que la r~s is tance Rn sera pos i t i ve d~s que les au t res rds is tances R i le s e ron t

et que l ' on a en ou t r e : n - - I

~ = 1 , i 1

O U :

n t

Z ~ , = l , i=1

ce qu i p e r m e t encore de d6finir un acc~s d~pendan t .

~ q

Rn Rn ,1

FIG. 14. - - Conuexion de deux adaptateurs.

9/17 ANN. T~LI~:COMMI~NIC., 31, n o" 3 -4 , 1 9 7 6

Page 10: Synthèse de filtres numériques simulant Des filtres a inductances et capacités

128 R. B O I T E . -- F I L T R E S N U M E R I Q U E S S I M U L A N T F I L T R E S A I N D U C T A N C E S

--. o A2

B! c

, t ~ 1 _ . 0 B2

A

F I ~ . 15. - - S p d c i f i c a t i o n s e t a p p r o x i m a t i o n i d d a l e p o u r u n f l l t re p a s s e - b a s . n = 3 e t ~a = 1.

A(dB)

80

60

40

0,2

0,1

J

J /

A(dB)

69

/ / / / / / / / / / / / / / / / /~

~ / 2 ~ 1 , 7 1 1 4

b

FIG. 16. - - S t r u c t u r e d u f i l t re LC.

7 r ~

/

3 ~ r ~

ANN. T~L~COMMUNIC., 3 | , n aa 3-4, 1976 ] 0 / 1 7

Page 11: Synthèse de filtres numériques simulant Des filtres a inductances et capacités

La figure 15 reprdsente un adap ta t eu r h trois acc&s avec ~3= 1 et pour lequel l'acc6s 2 est ddpendant .

Le fait de fixer un des param&tres (an ou ~n = 1) ne diminue en rien le nombre de degrds de libert6 du filtre, car on dispose d ' un param6tre suppl6- mentaire Rn qui sera calculd pour 61iminer la boucle sans d~lai.

5.4. Exemple de transposition.

1 s .,,,...._ C,

C

Soit un filtre num6rique d 'onde dont les sp6cifi- cations sur l 'affaiblissement sont pr6sentdes h la

figure 16. La s tructure du filtre LC dont l 'affaiblis- sement vdrifie ces spdcifications transform6es darts

le plan s par (15) est donn6e h la figure 17.

5.5. Sensibilit6 des filtres d'onde.

L'analyse des filtres d 'onde est bas6e sur le calcul

de la matrice (le t ransfer t t [19] ; par un ra i sonnement semblable h celui qui a 6t~ d~velopp6 pour les filtres (LC) [8], on peut d6finir les polyn6mes f(z), h(z) et g(z). La matrice de rdpart i t ion [s] est donn6e par :

1 k f( )7 (22) Is] = g~) Lf(z ) T h , ( z ) J "

Le facteur k = R1/R2, off R 1 et R~ sont les r6sis- tances de terminaison, rdsulte de l 'u t i l i sa t ion des ondes de tension au lieu des ondes de puissance [8]. La matrice de t ransfer t est

1 [ :k g,(z) h (z )~ . (23) It] = f ~ :]:: h,(z) g(z)J

C3

L2 L4 L~ Ls

C= C4 C6 -- Cs

"l'~, Ic, ~, Cs C9

R. BOITE. -- FILTRES NUM~RIQUES SIMULANT FILTRES A INDUCTANCES 129

Af

69

11 [ i - 0 1 1 ,1547

b

1 2 3 4 5 6 7

C 1,248 0,1183 1,686 0,7261 1,257 0,9825 1,398

• 1,281 0,8891 • 0,7523

2,568993 1,244613 1,163158

0,4449

0,9816

1,513271

0,9959

Fro. 17. - - S t ruc ture du filtre d 'oude.

L'appl icat ion des r6gles de connexion condui t h la s t ructure du filtre d 'onde de la figure 18. Les r~sis- tances de rdfdrence associ6es aux acc6s communs h

deux adapta teurs y sont calculdes pour 61iminer les boucles sans ddlai. La figure 16 repr6sente la courbe d'affaiblissement du filtre d 'onde.

Le symbole , correspond h la t ransformat ion du polyn6me :

X ( z ) = ~ q~z - 1 , i=o

e l l

X , ( z ) = z - n X ( z - a ) .

11/17 ANN. TI~L~EOMMUNIE., 31, n os 3-4, 1976

Page 12: Synthèse de filtres numériques simulant Des filtres a inductances et capacités

130 R. B O I T E . -- F I L T R E S NUMI~RIQUES SIMULANT F I L T R E S A I N D U C T A N C E S

Z-~ ,-~ Z-~ Z-~ Z-~

Fro. 18. - - Courbes typiques de sensibilitY. ~ = 0,444785 eel-- 0,502534 ~62= 0,574999 ~21=0,285697 e2~=0,868416 e71=0,452391 cr =0,275835 ~r 0,365384 ~s2 = 0,696047 cta1=0,442834 cr ~9x--0,635166 c%2=0,683819 ~ = 0,450621 G~ = G 1 ~- C~ ; G~ - - 1 / ( L 2 - r C ~ ) ; R 6 : R~ d- R~ .

G 7 : G 6 ~ C a ; G s : 1 ] ( L ~ -~ (?,4) ; R 9 = R 7 -~- R s .

GlO = G 9 -}- C ~ ; G ~ = 1 ] ( L e -}- C 6 ) ; R ~ = RIO ~ R ~ .

G~a - - G ~ -}- C 7 ; G~4 = I / ( L s ~- C s ) ; R I ~ = R~3 -}- B ~ .

Le signe sup6rieur dans (22) et (23) est utilis6 si f(z) = f,(z) et le signe infdrieur si f ( z )= - - f , ( z ) .

Les polyn6mes f, h e t g sont relids par la relat ion :

(24) g(z) g,(z) = h(z) h,(z) + h f(z) f , (z ) ,

et g(z) est tel que son coefficient de degrd le plus 6lev6 vau t 1.

L'affaiblissement des filtres d 'onde est ddfini p a r :

(25) Af(~o) = - - 20 loglo[~/k-lsgl(Z)]z=eJ~] ,

avec s21(z ) = f(z)/g(z) .

La sensibilit6 de At au coefficient xi d 'un mul t i - plieur est donnde p a r :

(26)

5x~ -- 8,6859 2k ~ + Re ~ loge s21 (z) =ej~

- 8 , 6 8 5 9 eJ l

off Re[a] est la part ie rdelle de a et

1 bk 1 (27) k bxi- • x-~ [171.

b/ et 5g sont calculds en rempla~ant Les termes 5x--~. bx~.

la matrice de t ransfer t de la cellule off in te rv ien t le

param~tre xi par une matr ice de ddriv6es [19] :

1 bx~ bx~ ~f 5x-~ 5h, 5g ]"

bxi ~ i

Quclques courbes typiques de sensibilit6 du filtre

de ]a figure 18 sont prdsentdes h la figure 19 ; deux

d 'en t re elles consid6rent des coefficients (~a2 et c%2) qui fixent les p61es d'affaiblissement.

La comparaison de ces courbes montre que dans la bande passante, les sensibilitds sont maximales

darts le voisinage de la fr6quence de coupure (Fig. 19 b); de plus, dans cette rdgion et dans le domaine d'arr~t,

les sensibilit6s aux coefficients :r et ~e2 sont dotal- nantes (Fig. 19 c).

On sait que dans le cas des filtres LC, les fr6quences de r6sonances sont ajustdes i n d 6 p e n d a m m e n t ; un

tel rdglage est impossible pour les filtres num6riques car chaque p61e d 'affaiblissement n 'es t fix6 que par

uu seul coefficient ~j . La sensibilit6 aux coefficients ~j est comparable

pour les filtres num6riques d 'onde et cascade. En effet, on peut 6crire :

bAt bA~ b~o j (28) 5~j -- b~0oi b~j '

avec ?oJ = 27:Tfoj et off foJ est la frdquence du pSle d 'affaiblissement associ6 h ~j .

Pour les filtres cascade on t rouve [19] :

(29) 5~~176 1 b~j = 2 sin ~oJ ' I Jl ~ 2 ,

et pour les filtres d 'onde :

~%Jt 2 o < ~ j < l (30) b~j -- sin~0j '

Apr6s comparaison de (29) et (30) et si on t ient compte de la reprdsentat ion des coefficients ~1 en grandeur et signe (signe, parties enti~re et fract ion- naire), on peut conclure que le coot pour la r6alisation des pSles d 'affaiblissement sur le cercle unit6 est tr6s

ANN. T~L~COMMUNIC., 31, n ~ 3-4, 1976 12/17

Page 13: Synthèse de filtres numériques simulant Des filtres a inductances et capacités

R . B O I T E . - - F I L T R E S N U M / ~ R I Q U E S S I M U L A N T F I L T R E S A I N D U C T A N C E S 131

aA.~L 8xj

3 / 2

l

- 3

/

,' .~ \. l " - - " ' \ I

wa

1,5 0

- 1 0 ~ ~ . _ ~ . ~

- 2 0 , \

- 3 0 . ~

- 4 0 . ~ | ,,

- 5 0

- 6 0 "

1,6 (~

h A l 6x j

100

- 1 0 0

- 2 0 0

- 300 ~

-~oo i l

Jl! - 5oo ! !

.i

',,,\ !, , \

I ; ~" \ , \

] i l ,7 2 - - [ ; -

Fro. 19. - - Courbes obtenues apr~s optimalisation.

- - - - : ~ 3 1 ; - " : r162 ; . . . . . . : ~(s] ; . . . . : c~62 �9

- - : i d d a ] ; . . . . . : 6 6 1 d m e n t s b i n a i r e s .

voisin pour les deux types de filtre num6rique.

Les ordres de grandeur des sensibilit~s mon t r en t

bien que les coefficients les plus cri t iques sont ceux

qui fixent les p61es d 'affaiblissement.

Pour l ' exemple consid6r6, les effets de l 'a r rondi

des coefficients sont pr6sent6s au tableau II.

T A B L E A U I I

Nombre de ehiffres

10 9 8 7 6

sp6cifications

Ondulation maximale

dans la bande passante

0,18 0,188 0,192 0,193 0,275 0,211 1

Affaiblissement minimal

dans le domaine d'arr~t

70,1 69,8 69,5 68,9 64 62,8 69

Si l 'on rdduit 61dment binaire par 6]dment binaire

la longueur des coefficients, les spdcifieations sont

r ap idement viol6es dans le domaine d'arrfit, alors

qu'elles sont respect6es dans ]a bande passante. Pour

pouvoir diminuer la longueur de t o u s l e s roots, il faut

done minimaliser les effets des coefficients ~ 1 .

La m6thode utilisde consiste h quant i f ier le coeffi-

cient qui fixe le p61e d 'affaibl issement le plus voisin

de la frdquence de coupure h sa valeur arrondie avec

le nombre de chiffres choisis (6 par exemple).

Oll recommence alors le problbme d ' approx imat ion

avec un pble d 'affaibl issement fix6 (qo0= 1,72768).

On fixe ensuite le deuxibme p61e d 'affaibl issement et

ainsi de suite j u squ ' au momen t off t o u s l e s coeffi-

cients ~j sont ~ leur valeur quantifide.

La figure 20 repr~sente la eourbe d 'affaibl issement

id6ale du nouveau filtre d 'onde et la courbe obtenue

apr~s l 'a r rondi de tous les coefficients h 6 ehiffres.

L 'ondula t ion maximale dans la bande passante est

de 0,737 dB et l 'affaibl issement minimal dans le

domaine d 'arr~t de 69,02 d B ; les sp6eifications sont

respect6es.

La m~me m6thode, utilis6e pour des coefficients

5 chiffres, donne une ondulat ion maximale darts la

bande passante de 1,09 dB et un affaiblissement

minimal dans le domaine d'arr&t de 69,5 dB ; Ies

sp6cifications sont viol6es darts la bande passante.

Cependant, la forme partieuli~re des courbes de

sensibilit6 pe rmet de t rouver un ensemble de var ia-

tions des coefficients qui diminue l 'ondula t ion darts

la bande passante sans modifier le compor temen t

dans le domaine d'arr~t. On t rouve pour l ' exemple

eonsid6r6 :

A~,I = 2 - 5 ,

A~71 = - - 2 - 5 .

t ' o n d u l a t i o u maximale de la bande passante est

13/17 , ~ N ~ . T E L f : I : o x I ~ l u x [ c . , 3 L , n "~ 3 - 4 , 1 9 7 6

Page 14: Synthèse de filtres numériques simulant Des filtres a inductances et capacités

132 R. B O I T E . -- F I L T R E S N U M I ~ R I Q U E S S I M U L A N T F I L T R E S A I N D U C T A N C E S

A(dB)'

80

7O

0,6, 0,5 0,4

0,3

O,2 0,1

0

I %

l II ~ ~%% I %%%

, \

!A / \ ';/' ' V

ell

n l I1! II i I J J!

I

'0

qJ l I i

J r

I

/

3 f

FIG. 20 .

t , /

main tenan t de 0,99 d B e t l 'affaibl issement minimal

du domaine d 'arr~t de 69,6 dB.

Par rappor t h l ' a r rondi ordinaire, la rdduction de

la longueur des roots est donc de 3 chiffres, ce qui

est apprdciable. Cette mdthode, qui diminue les effets

de la grande sensibilitd des coefficients ~ j , pe rmet de

t i rer le plus grand profi t de la faible sensibilitd des

ffitres d"onde dans la bande passante.

6. C O N T B A I N T E S T E C H N O L O G I Q U E S

Dans ce paragraphe, les probldmes concrets sou-

levds par la rdalisation des filtres d 'onde sont abordds.

Ces probldmes sont lids au p rogramme de calcul des

filtres d 'onde ddduits des filtres LC en dchelle et ils

se reprdsentent dans la rdalisation des adapta teurs

s~rie et paralldle [20].

Dans les schdmas thdoriques des figures 13 et 14,

il n 'es t tenu aucun compte des conditions de syn-

thdse, de fonc t ionnement rdel du filtre d 'onde et des

contraintes dues h la rdalisation des multiplieurs.

I1 y a trois m~thodes de synth~se des filtres d 'onde

su ivant que le calcul des r~sistanees de r6fdrence

destind ~ dliminer les boucles sans d~lai est effectud

de la gauche vers la droite, de la droite vers la gauche

ou s imul tandment de la gauche et de la droite vers

le centre du filtre ; ces trois mdthodes sont illustrdes h la figure 21.

L ' examen de ces trois mdthodes mont re qu' i l rant

disposer de trois types d ' a d a p t a t e u r s : ouver t

gauche, ouver t h droite et gdndral.

La rdalisation de l ' adap t a t eu r sdrie h 3 accds ouver t

droite avec l 'accds 3 ddpendant sera seule prise en

cons iddra t ion; on t rouve les autres types d ' adap ta -

teurs par un ra isonnement semblable.

Les dquations de l ' adap t a t eu r sdrie ouver t h droite

(~2= 1) s o n t :

B 2 = - - A 1 - - A 3 ,

B 1 = A l - ~ I ( A I - ~ A 2 ~ - A s ) ,

B 3 = __ B 1 - - A 2 ,

avec : ~2 = Ri/(R1 + B3) ,

et R 2 = R i + R 3 .

Au ddbut du calcul, on connai t le signal d 'entrde A 1

ainsi que les variables A 3 (sortie des dldments h ddlai

z -1) ; le filtre d 'onde fonct ionnant de l 'entrde vers la

sortie, on peut calculer le signal de sortie B s de la

premidre cellule, qui devient le signal d 'entrde de la

cellule suivante et ainsi de suite jusqu 'h la dernidre

cellule pour laquelle on connai t alors A i , A s e t A3,

ce qui pe rmet de calculer ses trois sorties B i , B s e t

B 3. On peut alors faire le calcul de proche en pro-

che de la sortie vers l 'entrde du filtre d 'onde.

La connaissance du signal A s de l ' adap t a t eu r est

donc une fonction de la s t ruc ture du filtre d 'onde et

on suppose que ce signal est connu k pdriodes d 'dchan-

t i l lonnage aprds tes s ignaux A 1 et A 3.

Si on t ien t compte que la rdalisation d 'un mult i -

plieur pipe-line [21] entra ine l 'exis tence obligatoire

d 'un ddlai associd h la mul t ip l ica t ion, on obt ient le

schdma de la f gu re 22 a pour l ' adap t a t eu r sdrie

ouver t h droite. La figure 22 donne les trois schdmas

de l ' adap t a t eu r sdrie et la figure 23 ceux de l ' adap-

t a t eu r parall~le.

ANN. T~L~COMMUNIC., 31, n ~ 3-4-, 1976 1 4 / 1 7

Page 15: Synthèse de filtres numériques simulant Des filtres a inductances et capacités

R. BOITE. -- F I L T R E S N U M E R I Q U E S SIMULANT F I L T R E S A I N D U C T A N C E S

R1 1 L 2

I e (.-,,a) C f C2 Yext I R 2

1 3 3

A, =:e (2:

B~ 0

a

= [ I ~ I . I

('~ll C~2J J ~ ~ J~J2t h 2 I ~ 0~31 0f32

1 2 3

: OB2 =Yext

G2

= o A ~ = 0

A~ = e C # [

B, ~ l

I I _ I

t I ~ t it ,J21 /J22 ~31 C~32

I I I 1 2 3

-'- oB2 = Vext

G2

- oA= =0

AI = e c

B~ C

I : I I _ I I

J I I I I 1 2 3

FIG. 21. - - S y n t h ~ s e d ' un ]~ f i l t r e n u m 6 r i q u e d ' o n d e .

a) m o d u l e L C h s i m u l c r ;

b) s y n t h ~ s e d e l ' e n t r d e v e r s la s o r t i e : G 1 = 1 J R 1 , G 2 = 1 J R 2 , G a = C 1 , e4 = I J R 4 = G 1 ~- G 3 , R 5 = L , R 6 ~ 1 ] G 6 = R a -}- R 5 , G 7 = C u , a2z = 1, ~ 2 2 = 1

G 1 B 4 2 G s a l l G1 __ G3 , ~21 R4 + B5 , a31 Ga § G7 + G2 ,

2 G 2

%2 : Ga § G7 § G2 ;

c) s y n t h ~ s e d e la s o r t i e v e r s l ' e n t r d e : G1 = l / n , , G~ : 1/n2, G3 = C~, G, = l / n , : G2 + C3, R 5 : L , R 6 : 1 ] G 6 : R a + R 5 , G 7 = C , , a31 : 1 , ~21 : 1

2 G 1 2 G 6

aH Gz ~ G6 -k G 7 ' az2 = G z ~- G 6 -}- G; '

R5 G2 ~22 - - R4 AV R 5 , a32 : G2 -k G 3 ;

d) s y n t h ~ s c d e l ' e n t r 6 e e t d e la s o r t i e v e r s le c e n t r e :

G z = l l R 1 , G 2 = l / R 2 , G a : C z , G 4 = C 2 ,

G 5 = l l R 5 = G 1 ~ G a , G6 = 1 / R o : G 2 ~- G 4 .

~12 : t , a13 : 1 ;

G1 ~21 2 ~5 a l l G 1 ~ G 3 ' R 5 -I- R 6 ~- R? '

2 R s G 2 ~22 /~5 -~- R6 ~- R 7 ' ~32 G2 ~ G4

0 B2 = Yext

15/17 a ~ . TI~LI~COMMUNIC.~ 31, n ~ 3-4, 1976

Page 16: Synthèse de filtres numériques simulant Des filtres a inductances et capacités

134 R . B O I T E . -- F I L T R E S N U M I ~ R I Q U E S S I M U L A N T F I L T R E S A I N D U C T A N C E S

al b3

/

(k+ 11

a3 b3

a z ~ a = 10)

"i,t ii (

B! (0) c

aa ba

B:~, (k+ 1)

- 1

Z ~ ~ ( k ) A 2

Bi(O)

(k+ 1) Q

[

0

[k+

B1

tk+

i

a t a �9 A~ ( 1 ) !11 B~

b'--I ~ ~ ' i ~_

B, I ~ ,J-. t t , - ~ t

I IK (1) II " I I I (1)

_ L_~_JL~__J _

Fie. 22. - - Adaptation s~rie. a) ouvert & droitc, b) ouvert & gauche, c) g6ndral.

7 . C O N C L U S I O N S

Les schdmas des divers adapta teurs mon t r en t que

l 'organisat ion du p rogramme de calcul des filtres

d 'onde ndcessite l ' in t roduct ion de ddlais suppldmen-

taires dont le nombre d@end de la s t ructure m~me

du filtre d 'onde. Une dtude particuli6re doit donc

~tre entreprise pour chaque filtre d 'onde, h l ' inverse

des filtres numdriques cascade dont la s t ructure

rdcurrente n 'exige en fait que la raise au point d 'uue

cellule du second degrd universelle.

I1 est clair que l ' int~r~t essentiel des filtres d 'onde

est leur faible sensibilit6, qui permet une synth6se

avec des coefficients plus courts et par consequent

une r6alisation phys ique en principe moins cofiteuse ;

a3 b3 I G3 I t / (k)

(o- :~ F~-;c-] - I(~L~'I-,'~- ~)

[G <k, k S !,,

a3 G 3 b3

a A - - ~ - L ~ a 2 (o) (k) "FG, II G~J ~" ~ A 3 (I) I~ B 3

. , , L (k) (k-~ r ~ . . . . q ..t , l I (o)

F %-- - , - ,~ " - I I ~ ', I (k) !~ b

I - ~ ~ 1 ;x _ ~ l , ' "

(1) I I 1 ' B,r = I l ~ ( ~ } ~ l / I Bz

~ J (Fj

i 2 _ ' al

(o)

(1)

11)

B~

. . . . . ,I . i . I o ~ ,

"7:i\ Fro. 23. - - Adaptation parall~le.

a) ouvert & droite, b) ouvert a gauche, c) g~n~ral.

en outre il a m~me dtd moutr~ que cet te faible sensi-

bilitd implique dans une certaine mesure de bonnes

caractdrist iques de brui t [17] et ceci pe rmet de l imiter

la longueur des mots qui reprdsentent les variables

internes. Cependant , il faut bien admet t r e que ces avautages

peuven t ~ventuel lement 6tre remis en quest ion par

une complexitd de rdalisation et de mise au point

beaucoup plus ddlicatcs que pour une s t ructure r~cur-

rente telle que celle des filtres cascade.

I1 semble donc qu 'une voie impor tan te de recherches

est d 'essayer de ddvelopper de telles s t ructures rdcur-

rentes pour les filtres d 'onde [22].

Manuscril recu le 22 ddeembre 1975.

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