pp. 33-39 33

Synth se des filtres num6riques non r6cursifs coefficients quantifi6s

Francis GRENEZ IngOnieur civil mdcanicien et Olectricien Docteur en Sciences Appliqu~es * Assistant gt 1' UniversitO de Bruxelles.

Analyse

La synthkse des filtres num&iques non rkcursifs gt phase linOaire en structures directe et cascade, est examinOe au point de vue de la longueur des coefficients et du produit du nombre de multiplicateurs par la longueur des coefficients. Le problkme d'approximation en variables continues est rOsolu de manikre gt minimaliser l'estimation statistique de la longueur des coefficients, ce qui permet de comparer les structures et d'orienter le choix de l'ordre optimal. Une comparaison des structures, pour diff~rents gabarits, basOe sur le produit du hombre de multiplicateurs par la longueur des coef- ficients, montre que la forme directe est gOn&alement sup~rieure.

Sommaire

1. Introduction.

2. Structures et sensibilitOs.

3. Estimation statistique de la longueur des coefficients.

4. Variation de l'ordre du filtre.

5. Comparaison des structures.

6. Conclusions.

Bibliographie (15 r~f.).

1. INTRODUCTION

DESIGN OF FINITE IMPULSE RESPONSE DIGITAL FILTERS

WITH QUANTISED COEFFICIENTS

Abstract

The design of finite impulse response linear phase digital filters in direct and cascade structures & investi- gated with regard to coefficient wordlength and bit- multiplier product. Solving the continuous approximation problem by minimising the statistical wordlength of the coefficients provides a good insight for comparing the structures and chosing the optimal filter order. A comparison of the structures, for various tolerance schemes, shows that the direct form is generally superior with regard to the bit-multiplier product.

Les coefficients d 'un filtre num6rique doivent &re inscrits dans des registres de longueur finie et il est bien connu que cette longueur doit ~tre la plus petite possible afin de r6duire le coot de la r~alisation et d'accro~tre la vitesse de calcul du filtre, tout en res- pectant les sp6cifications. Des techniques d'optimali- sation dans l'espace discret des coefficients ont 6t6 propos6es en ce sens. Une r6duction suppl6mentaire de la longueur des coefficients peut souvent ~tre obtenue en augmentant l 'ordre du filtre, pour un gabarit donn6. Cependant, le nombre de multiplicateurs est alors plus 61ev6. D'autre part, diff6rentes structures permettent de r6aliser la m~me fonction de transfert, mais la longueur des coefficients peut varier fortement d'une structure h l'autre.

Le produit du nombre de multiplicateurs par la longueur des coefficients (que nous appellerons par la suite le facteur de m6rite P de la r6alisation) est une mesure approximative du volume de calcul relatif h chaque r6alisation, et nous l'utiliserons comme

* Service d'Electricit6 G6n6rale CP 165, Universit6 Libre de Bruxelles 50, avenue Franklin Roosevelt 1050 Bruxelles. Belgique.

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34 F. GRENEZ. - SYNTHI~SE DES FILTRES NUMISRIQUES

crit~re pour comparer diff6rentes syntheses de filtres effectuant une m~me fftche.

Ce crit~re a l 'avantage d'etre simple mais ne tient pas compte de facteurs tels que le bruit d 'arrondi et le degr6 de parall61isme [1] (lorsqu'on varie la structure) ou le nombre de d61ais [2] (lorsqu'on varie l'ordre).

Dans cet article nous traitons des filtres num6riques non r6cursifs ~t phase lin6aire synth6tis6s en structures classiques (directe et cascade) avec une arithm6tique en virgule fixe et nous examinons le probl~me de la r6alisation optimale au point de vue du produit du nombre de multiplicateurs par la longueur des coefficients.

2. STRUCTURES ET SENSIBILITIES

La fonction de transfert d 'un filtre num6rique non r6cursif ~t phase lin6aire d 'ordre N e s t :

N H(z) = ~E hnz -n ,

n=0

avec hn = hN_n.

Pour la simplicit6, nous 6crirons les 6quations dans le cas off l 'ordre N est un nombre pair et o/1 H(z) est un polyn6me r6ciproque en z-L Les trois autres cas :

N impair, hn = hu_n ,

N pair, hn = - - hN_n ,

N impair, hn ~--- l hN-n ,

se traitent de mani6re analogue. Les fonctions de transfert r6ciproqubs (hn = hN_n) seront utilis6es pour les filtres s61ecteurs de bandes tandis que les fonctions de transfert anti-r6etproques (hn = --h~v_n) conviennent pour les filtres de types diff6rentiateurs ou transformateurs de Hilbert.

Pour la forme directe, on 6crit la fonction de trans- fert de la mani~re suivante :

N/Z-1 H(z) = z -N[2 [hu[ 2 + Y~ hn(z -n+Nl2 + zn-N]2)],

n=0

et le nombre de multiplicateurs de la structure est N [ 2 - k 1 (ou N[2 si on normalise les coefficients

l 'unit0. La r6ponse en fr6quence est :

H ( f ) = e - jN~f G ( / ) ,

ota G ( f ) est une fonction r6elle :

G ( f ) = h N ] 2 q - 2 Y~ hncos - - n 2n f , n=0

et f est la fr6quence r6duite f = ~ T]27:. Les coeffi- cients 6tant normalis6s 5. l'unit6, la longueur totale des mots (signe compris), pour une repr6sentation

en virgule fixe, sera not6e :

L = l q - b ,

off q = 2 -b est le pas de quantification. Pour une structure donn6e, l'indice de sensibilit6

quadratique est d6fini par [1, 3] :

i = 1 [ OCi / '

Ofa les ci sont les coefficients de la structure. Pour la forme directe, on trouve :

N/2 S2(f) = 1 + 4 ~] cos 2 2 n n f ,

n=l

expression qui ne d6pend que de l 'ordre N, et qui est quasi uniforme lorsque N e s t suffisamment grand [4], comme on peut le voir sur la figure 1 c.

Si le filtre est r6alis6 par une structure cascade, avec des cellules sym6triques du 2 e et du 4 e ordre pour pr6server la lin~arit6 de la phase (marne apr~s quantification) sans augmenter le nombre de multi- plicateurs, la fonction de transfert est factoris6e comme suit [5] :

N1 H(z) = K 1] (1 -k biz -1 ~- z -2) •

i=1 N2 17 (I + CSz -1 + djz -2 + csz -3 + z-4),

j=l

et la partie r6elle de la r~ponse en fr6quence est :

N~ G ( f ) = K II (b~

i=1 + 2cos 2n f ) • N, II (dj § 2cj c o s 2 n f + 2 c o s 4 n f ) ,

j=l

avec 2 N1 -k 4 Nz = N. Chaque cellule sera r6alis6e en structure directe et le nombre de multiplieurs est de N]2 (sans compter le facteur K). La fonction de sensibilit6 peut ais6ment ~tre obtenue ~t partir de l'expression de G ( f ) et est fortement non uniforme comme on peut le voir sur la figure 2 c pour un filtre passe-bas. La sensibilit6 est beaucoup plus grande dans la bande passante que dans le domaine d'arr~t, ce qui est dfi h la pr6sence des quadruplets de z6ros complexes r6alis6s par les sections du 4 e degr6 [6]. Les valeurs des coefficients bi , cj et dj ne sont pas born6es et d6pendent de la position des z6ros de H(z) dans le plan z. Quelques 616ments binaires (g6n6ralement 2 ou 3) sont done n6cessaires au codage de la partie enti6re des coefficients, et la longueur totale des mots (signe compris) sera not6e :

L = l + b e + b ,

off 2 be-1 est le poids de l'616ment binaire le plus significatif. Nous appellerons cette structure la forme cascade I.

Une autre structure (forme cascade II) peut ~tre obtenue en utilisant des cellules du 2 e ordre au plus. II faut alors prendre quelques pr6cautions pour garantir la lin6arit6 de la phase apr6s quantification,

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F. GRENEZ. - SYNI'HESE DES FILTRES NUMI~RIQUES 35

et on 6crira la fonction de transfert sous la forme :

(1) N~ N~

H(z) : K ' H (1 +b~z -x + z -z) H (1 +gjz-t)(gj§215 i=I j=l

Ng II (I § b1~z -i § bo,~z -~) (bo~+blkz-1§ k=l

avec 2 N ; + 2 N ~ + 4 N ~ : N, en s6parant les z6ros sur le cercle unit6, sur l'axe r6el, et les z6ros complexes en dehors du cercle unit6. La r~ponse en fr6quence G ( f ) et la sensibilit6 correspondante S(f) peuvent 6tre ais6ment obtenues 5- partir de cette expression de H(z). La fonction de sensibilit6 est donn6e 5. la figure 3 r pour un filtre passe-bas, et pr6sente la m~me allure que pour la forme cascade I, mais est plus faible dans le domaine des basses fr6- quences comme on pouvait l'esp6rer par l'utilisation de sections du 2 e ordre. Mais le principal avantage de cette structure r6side dans le fait que les coef- ficients de (1) sont maintenant born6s :

[b,[, Ig, l, [b~l, b0~ ~< 2,

de sorte que la longueur totale des mots sera (be = 1) :

L = 2 + b .

Le prix 5- payer pour cela est le nombre de multi- plieurs de la structure :

! t !

N1 + 2N~ § 4 N ~ ,

qui sera sup6rieur 5. N[2 dans tous les cas pratiques.

3. ESTIMATION STATISTIQUE DE LA LONGUEUR DES COEFFICIENTS

Nous supposons que les sp6cifications sont donn6es sous la forme d'une r6ponse id6ale D(f) et d'une fonction de tol6rance A(f). I1 s'agit donc de trouver un filtre dont la r6ponse en fr6quence s'inscrit dans le gabarit :

(2) D ( f ) - A(f ) ~< G ( f ) ~< D(f) § A(f),

pour f e F, off F est un sous-ensemble de l'axe des fr6quences [0 ; 0,5]. Ce probl6me d'approximation est tout d 'abord r6solu en supposant une pr6cision infinie sur les coefficients du filtre (ou plus exactement la pr6cision de l 'ordinateur utilis6). La contrainte de quantification est introduite ensuite en arrondissant les valeurs continues, ou par une procddure de recherche dans un espace discret.

En consid6rant que les erreurs d'arrondi ont une densit6 de probabilit6 uniforme entre - - q [ 2 et § q/2 et une variance q2[12, on peut associer 5- chaque solution continue G ( f ) une estimation sta- tistique de la longueur des coefficients comme suit :

(3) Lst~t= 1 + b~ + bstat,

(4) b~tat=--log~ [~/Fx2 min A( f ) -]G( f ) -D( f )[ ] feF S ~ '

= max b ( f ) . fEF

Dans cette expression, A(f) - - I G ( f ) - - D(f)] est la marge de s6curit6 entre la solution continue et les sp6cifications, et est pond6r6e par la fonction de sensibilit6 S(f). On prendra x = 2 de sorte que la probabilit6 pour que les sp~cifications~ restent satis- faites apr6s arrondi des coefficients 5- bst~t bit (partie fractionnaire) sera de 95 %.

Une telle approche a 6t6 utilis6e dans [7] pour comparer diff6rentes structures (cascade, parall61e, coupl6e, en variables d'onde) de filtres num6riques r6cursifs.

Rappelons que, dans l'expression (3), be = 0 pour la forme directe et be = 1 pour la forme cascade II.

En plus de sa valeur d'estimation de la longueur de mot n6cessaire 5- l 'arrondi, la longueur statistique (3) est une caract6ristique int6ressante de la synth6se et permet de comparer diff6rentes structures.

II est bien connu [8] que pour un ordre du filtre et une structure donn6s, il existe un ensemble de solutions G ( f ) qui satisfont les contraintes (2) et la longueur statistique des coefficients peut varier enti6- rement d'une solution 5- l'autre. I1 est donc n~cessaire de trouver un moyen de caract6riser une synth~se par une estimation statistique unique et bien d6finie, pour des sp6cifications, une structure et un ordre donn6s. Ce rdsultat est atteint en r6solvant le probl6me d'approximation de mani6re 5- minimaliser l'estima- tion statistique (4) pour la structure choisie. La solu- tion G ( f ) obtenue de la sorte sera alors unique et statistiquement optimale au point de vue de la longueur des coefficients.

Cette minimalisation de l'estimation statistique est obtenue efficacement au moyen de l 'algorithme d'6change de Remez [9], par une modification du programme de calcul de McCle;lan, Parks et Rabiner [101.

Des exemples sont donn6s aux figures 1, 2 et 3 pour les trois structures envisag6es. L'estimation statistique optimale est 5- ondulation constante 5. la figure 1 b, mais non aux figures 2 b e t 3 b. Les pro- bl6mes d'approximation des figures 2 et 3 sont en fait d6g6n6r6s (au sens de la programmation lin6aire) et le maximum de b ( f ) est atteint en un point off la marge de s6curit6 est la plus grande possible. Les points de d6g~n~rescence ( f = 0 dans les exemples) d6finissent donc les zones critiques quant 5- la quanti- fication des coefficients.

On a pu v6rifier sur de nombreuses applications que la longueur statistique optimale est une bonne estimation de la longueur r6elle n6cessaire aux coef- ficients arrondis pour les probl6mes non d6g6n~r6s (b( f ) /t ondulation constante). Pour les probl+mes d6g6n6r6s, la valeur statistique est g6n6ralement sup6- rieure (de 1 /~ 3 616ments binaires) /t la valeur r6elle.

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36 F. GRENEZ. - SYNTHESE DES FILTRES NUMI~RIQUES

G { f )

7

b f f )

6,

. . . . . . . . 1

S t f ) 1jO

+ ~ 0 j 2 T

01 01,1

. . . . . . . . . . t i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

i t

t r t l

?-7 I i

| ,|

t t I

L . . . . . . . . J ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t

I I ( h i

0+2 Oj3 0,4 f 0 ,5

(C)

Fro. 1. - - Filtre passe-bas d'ordre 34 (filtre de garde pour syst6me MIC) en forme directe.

a) Sp6cifications et r6ponse en fr6quence. b) Estimation statistique de la longueur des coefficients (partie

fractionnaire). c) Fonction de sensibilit6 pour la forme directe.

Les sp6cifications sont les suivantes : bande 1 0,009375 ~< f<~ 0,09375 D = 1,0004 A = 0,0288 bande 2 0,09375 < f~< 0,10625 D = 0,9654 A = 0,0638 bande 3 0,14375 < f < 0,2375 D = 0 A = 0,0562 bande 4 0,2375 ~< f < 0,2625 D = 0 A = 0,01 bande 5 0,2625 < f~< 0,5 D = 0 A = 0,0562

Lowpass fil ter ( N = 34} in direct f o rm ( P C M guard f i l ter) .

a) Tolerance scheme and frequency response. b) Statistical wordlength (fractional par t ) . c) Sensitivity funct ion f o r the direct-form.

The specifications are :

band 1 0.009375 < f ~ 0.09375 D = 1.0004 band 2 0.09375 < f < 0.10625 D = 0.9654 b a n d 3 0.14375 <~ f < 0.2375 D = 0 band 4 0.2375 <~ f <~ 0.2625 D : 0 b a n d 5 0.2625 < f < 0.5 D = 0

A = 0.0288 A = 0.0638 A = 0.0562 A = 0.01 A = 0.0562

I ) 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G ( f ) i

t 1jO

0j99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 + 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I I

- 0~001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c a )

lO! b ( f )

4 0

S ( f )

30

20

10

J

q f

P I i 0 j19

1 , i ( b )

0+27

cc)

5

0105

0 , 0 4

0,03

ojo2

O, O l

= u f O, ~ 5

FIG. 2. - - Filtre passe-bas d'ordre 35 en forme cascade I. a) Sp6cifications et r6ponse en fr6quence. b) Estimation statistique de la longueur des coefficients (partie

fractionnaire). c) Fonction de sensibilit6 pour la forme cascade I.

Les sp6cifications sont les suivantes : 0 < f < 0,I9, D = 1, A =0,01, 0,27<~f~< 0,5, D = 0 , A =0,001.

Lowpass fil ter ( N = 35) in cascade-form L

a) Tolerance scheme and frequency response. b) Statistical wordlength (fractional par t ) . c) Sensitivity function f o r the cascade-form L

The specifications are : O <~ f <~ 0.19 D = 1 A = 0.01

0.27 <~ f <~ 0.5 D = 0 A = 0.001

est de 6 616ments binaires pour l 'exemple de la figure 1,

et de 9 616ments binaires pour Ies figures 2 et 3.

Ceci peut s 'expliquer en observant les courbes b ( f )

des figures 2 b et 3 b : l ' es t imat ion statistique est d6termin6e par le max imum unique de la fonct ion b ( f ) et est par cons6quent t rop pessimiste globalement. Ainsi, la longueur n6cessaire des coefficients arrondis

4. VARIATION DE L'ORDRE DU FILTRE

On peut esp6rer r6duire la longueur des coefficients en augmentan t l 'ordre du filtre. La no t ion de longueur

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F. GRENEZ. - SYNTHESE DES FILTRES NUMt~RIQUES 37

1=01 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G(f} i I

1,0 : . . . . . . I 1

0 j 9 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t t t

I

I OjO01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i i i

i I i = ', l l i

- 0)001 ............................................................................................. l a )

10" b(f)

4 0 -

$(f)

30

20

10

I I I I

(b} ~ 1

E I ' t

0119

:10

Oj05

0104

"0 ,03

"0102

-Ox01

I I 0~27 f 0 j5

( c )

FIG. 3. - - Filtre passe-bas d'ordre 37 en forme cascade II. a) Sp6cifications et r6ponse en fr6quence. b) Estimation statistique de la longueur des coefficients (partie

fractionnaire). c) Fonction de sensibilit6 pour la forme cascade II. Les sp6cifications sont identiques ~t celles de la figure 2.

Lowpass filter (N = 37) in cascade-form II. a) Tolerance scheme and frequency response. b) Statistical wordlength (fractional part). c) Sensitivity function for the cascade-form H. Same specifications as in fig. 2.

statistique des coefficients permet d'aborder cette question de maniere plus pr6cise.

L'estimation statistique optimale est r6duite par un accroissement de l'ordre tant que le probl6me d'approximation reste non d6g6n6r6. Dans ce cas, en effet, la marge de s6curit6 entre la solution continue et les sp6cifications est am61ior6e sur tout le domaine F par une augmentation de l'ordre. Par contre, pour les probl6mes d6g6n6r6s, l'estimation statistique croit g6n6ralement avec l'ordre, ce qui indique qu'une telle op6ration n'est pas avantageuse.

Consid6rons la solution non d6g6n6r6e de la figure 1 a. On voit ais6ment que la marge de s6curit6 dans

la bande no 4 ne peut quasiment pas &re am61ior6e en choisissant un ordre plus grand. En effet, le pro- blame devient d6g6n6r6 pour N = 35 et l'estimation statistique va croitre 16g6rement ~t cause de la varia- tion de la sensibilit6. De mame, aux figures 2 et 3, la marge de s6curit6 poss6de sa valeur maximale 5. f = 0 et ne peut done &re accrue. Une allure typique de la variation de l'estimation statistique L~tat avec l'ordre du filtre est donn6e /t la figure 4 a pour un

1 0

9-

8-

7-

6-

,bit flOfl

*~\\ ~ L s tat \ �9

\ \

\

" X ,, L+t, L

3'0 3'1 3'2 3~3 314 3'5 N ~

( a )

facteur de merite

150-

1 2 5 -

100-

x \

\

\ x

"~ Popt ~ - 4 . . . . . + "

3'0 a'l 3 2 3'3 3t4 3'5

~ s t a t

Ihl

FIG. 4. - - Filtre diff6rentiateur passe-bas en forme directe. a) Longueur des coefficients. b) Facteur de m6rite en fonction de l'ordre du filtre.

Les sp6cifications sont les suivantes : 0 ~< f ~ < 0,04, D ( f ) = 10f , A ( f ) = 0 ,1 f , 0,12 ~< f ~ < 0,5, D ( f ) = 0 , A ( f ) = 0,009549.

Lowpass differentiator in direct-form. a) Coefficient wordlength. b) Bit-multiplier product in function of the filter order.

The specifications are : O ~ f < ~ 0.04 O ( f ) = l O f A ( f ) = O . l f

0.12 <~ f <~ 0.5 D ( f ) = 0 A ( f ) = 0.009549

diff6rentiateur passe-bas en structure directe. L'esti- mation statistique d6crolt rapidement depuis l'ordre minimal ( N = 30)jusque l'ordre N = 32 pour lequel

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38 F. GRENEZ. - SYNTHI~SE DES FILTRES NUMI~RIQUES

le probl~me d 'approximation devient d6g6n6r6 (nous appellons N = 32 l 'ordre de transition), et Lstat croit ensuite lentement. Des allures similaires sont observ6es pour les formes cascade mais de 16g~res d6viations peuvent &re caus6es par des variations de la sensibilit6 d 'un ordre h l 'autre.

La longueur r6elle des coefficients strictement n6ces- saire ~t l 'arrondi Lr ainsi que la longueur minimale des coefficients Zopt apr~s optimalisation dans l 'espace discret [11, 12] sont 6galement donn6es ~ la figure 4 a. Les facteurs de m6rite correspondants Ps~at et Port sont donn6s ~t la figure 4 b ~t Popt atteint sa valeur minimale pour l 'ordre de transition N = 32 qui fournit par cons6quent la synth6se optimale pour la forme directe.

Ces affirmations ne peuvent bien stir ~tre absolues, mais semblent de bonne pratique, et l 'ordre de tran- sition constitue toujours un rep6re int6ressant lors du processus de synth6se, au moins en donnant une estimation de la valeur au-del/~ de laquelle il n 'est pas avantageux d 'augmenter l 'ordre, et ceci avant que toute proc6dure d'optimalisation soit entreprise dans un espace discret.

Pour la plupart des specifications, une r6duction appr6ciable du facteur de m6rite est obtenue en per- mettant ~t l 'ordre de varier (et l 'ordre optimal d6pend de la structure choisie). Pour certains probl6mes, il peut cependant arriver que la d6g6n6rescence appa- raisse, pour une structure donn6e, d6s l 'ordre minimal n6cessaire au respect des sp6cifications. L 'ordre optimal est alors certainement tr6s proche de l 'ordre minimal.

Signalons qu 'une augmentation de l 'ordre s'av6re 6galement favorable pour les fittres num6riques r6cur- sifs [13]. Une &ude en ce sens [14] a montr6 que pour la classe restreinte des filtres r6cursifs passe-bas de Cauer en structure cascade, l 'ordre optimal (pour

le facteur de m6rite relatif h l 'arrondi simple) &ait sup6rieur d'environ 10 ~ /~ l 'ordre minimal. La notion de d6g6n6rescence du probl~me d 'approximation pour les filtres non r6cursifs nous permet d 'obtenir des conclusions plus g~n6rales : il apparalt en effet clairement que l 'accroissement optimal de l 'ordre d6pend du type de sp6cifications et de la structure envisag6s.

5. C O M P A R A I S O N DES STRUCTURES

Nous pouvons maintenant tenter de comparer les structures directe et cascade, sur la base de la longueur des coefficients et du facteur de m6rite. Nous consi- d6rons six gabarits diff6rents repr6sentatifs de pro- bl6mes de filtrage habituels. Les r6sultats sont ras- sembl~s au tableau I.

Pour chaque exemple et chaque structure nous avons calcul6 l 'estimation statistique optimale Lstat ainsi que la longueur r6elle des coefficients arrondis Lr et le facteur de m6rite correspondant Pr . Les ordres N consid6r6s au tableau I sont les ordres minimaux n6cessaires au respect des sp6cifications.

Les exemples A et B sont des filtres passe-bas bande passante 6troite tandis que les exemples C et D ont une bande passante tr6s large. La forme directe est certainement la meilleure r6alisation p o u r ces quatre exemples, quel que soit le crit6re. Pour les exemples E et F, qui sont des filtres s61ecteurs de bande, on constate que les trois structures sont semblables au point de rue de la longueur des coef- ficients. Les r6sultats du tableau I se rapportent 5. l 'ordre minimal et h l 'arrondi simple et, comme mentionn6 plus haut, une am61ioration sensible des

TABLEAU I Comparaison des structures/Comparison of the structures

N : ordre du filtre ; Lstat : estimation statistique ; Lr : longueur r6elle des coefficients arrondis ; Pr : Lr x nombre de multiplieurs.

Exemples N

A) Filtre de garde pour syst~me MIC 28 Sp6cifications donn6es ~_ la figure 1

B) Diff6rentiateur passe-bas 30 Sp6cifications donn6es h la figure 4

C) Diff6rentiateur ~t large bande 0~<f~< 0,5 D(f) = f 21

A(f) = 0,01 f

D) Transformateur de Hilbert 0,05~<f~< 0,5 D = 1 19

A = 0,025

E) Filtre passe-bas 34 Sp6cifications donn6es ~t la figure 2

F) Filtre passe-bande 0~<f~<0,1 D = 0 A=0,002

0,2~<f~< 0,35 D = i A = 0,02 28 0,425 ~< f~< 0,5 D = 0 A = 0,002

Forme directe Forme cascade I Forme cascade II

Lstat Lr Pr Lstat Lr Pr Lstat

9,10 9 126 16,07

10,92 11 154 18,39

12,59 13 130 17,65

9,52 8 72 13,98

14,05 14 238

15,00 15 210

14,72

17,24

15

17

17

13

13

17

210

238

170

117

221

238

12,40

14,83

15,42

11,62

12,58

15,56

Zr

12

14

16

12

13

16

P~

216

224

320

216

312

336

ANN. T~L~COMMUNIC., 34, n o 1:2, 1979 6/7

F. GRENEZ. - SYNTHESE DES FILTRES NUMrSRIQUES 39

synth6ses peut &re obtenue en fa isant varier l ' o rd r e et en op t imal i san t les coefficients dans un espace discret [11, 12] ; cependant , la compara i son g6n6rale qui r6sulte du tab leau I reste valable.

On peut mont re r [12] que la forme cascade II s2 contente des coefficients les plus cour ts apr6s op t ima- l isat ion pour les filtres s61ecteurs de bande comme les exemples E et F, mais cet avantage d ispara i t dans le facteur de m6rite 5. cause du nombre exag6r6 de mult ipl ieurs . D ' a u t r e par t la forme cascade I fourni t (apr6s opt imal i sa t ion) un facteur de m6rite 16g6rement inf6rieur 5. celui de la forme directe pour le filtre passe-bande F.

En effet, pour ce filtre, les quadruple t s de z6ros complexes se t rouvent dans le domaine du p lan z o~ la grille des posi t ions r6alisables pou r ces z6ros est la p lus dense [6], et la sensibilit6 est pa r cons6quent plus faible. En dehors de ce cas part icul ier , la s t ructure directe appa ra i t comme g6n6ralement plus favorable au po in t de vue du facteur de m6rite. Cette af f i rmat ion serait cor robor6e par la consid6rat ion du brui t d ' a r r o n d i qui est la rgement sup6rieur dans les formes factoris6es ainsi que par la n6cessit6 de p lacer des facteurs d '6chel le entre les cellules d ' u n e structure cascade afin d '6vi ter les d6passements de capacit6.

N o s r6sultats conf i rment donc, mais apr6s op t ima- l i sa t ion de chacune des structures dans le cas de filtres 5. phase lin6aire, les conclusions qui ont 6t6 obtenues [15] 5. par t i r de valeurs empir iques appro- ximatives pour les longueurs des coefficients et des var iables internes in tervenant dans les diverses r6a- l isat ions de filtres non r6cursifs.

6. C O N C L U S I O N S

Nous avons examin6 la synth6se des filtres num6- riques non r6cursifs 5- phase lin6aire r6alis6s pa r la s tructure directe et pa r deux formes diff6rentes de structure cascade garan t i s san t la lin6arit6 de la phase apr6s quantif icat ion. La sensibilit6 de la s tructure envisag6e est prise en consid6rat ion d6s le p robl6me d ' a p p r o x i m a t i o n en var iables continues, en minimal i - sant l ' e s t ima t ion stat is t ique de la longueur des coef- ficients. Cette es t imat ion stat is t ique op t imale est une caract6ris t ique int6ressante de la synth~se et peu t servir eff icacement pou r compare r diverses structures.

Une augmenta t ion de l ' o rd re du filtre pe rme t souvent un gain impor t an t sur la longueur des coef- ficients ainsi que sur le facteur de m6rite. La var ia t ion de l ' e s t imat ion stat is t ique avec l ' o rd r e du filtre et l ' a ppa r i t i on de la d6g6n6rescence du probl6me d ' a p p r o - x imat ion sont des rep6res utiles dans la recherche de l ' o rd r e opt imal .

Une compara i son des trois structures mon t re que la forme directe est g6n6ralement celle qui fourni t le meil leur fac teur de m6rite. La forme cascade II, avec des cellules du 2 e o rdre au plus, condui t , dans certains cas, 5. des coefficients plus courts mais n6ces- site un plus g rand nombre de mul t ip l ica teurs et, de ce fait, n ' es t pas comp6ti t ive.

Manuscr i t recu le 15 septembre 1978, acceptO le 20 novembre 1978.

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