• The Chemical Engineering Journal, 42 (1989) 119 - 133 Synthese d’un R6seau d’Echangeurs de Chaleur M. BELKEBIR, C. GUIGLION, S. DOMENECH* et L. PIBOULEAU E.N.S.I.G.C., URA-CNRS 192, Chemin de la Loge, 31078 Toulouse Ce’dex (France) (Recu le 22 dkcembre 1988; r&is6 le 2 mars 1989) 119 RfiSUMl? On analyse dans cet article un probleme de reseaux d’e’changeurs de chaleur en s’ap- puyant sur les courbes d’energie des courants chauds et froids. On presente tout d’abord une expression analytique qui determine la recuperation d ‘energie op timale en font tion de la difference de temperature minimale. Cette expression permet ensuite de develop- per un algorithme de calcul necessitant un volume de calcul moins important que les methodes mathematiques et beaucoup plus fiable que les procedures mettant en osuvre des regles heuristiques. Cet algorithme permet de traiter rapidement des exemples classiques deja etudies dans la litterature ou des cas industriels. Un ensemble de resultats est pre- sente afin de comparer diverses procedures actuellement disponibles. ABSTRACT A heat exchanger network problem based on energy curves of hot and cold streams is presented in this paper. In the first part, an analytic expression giving the optimum energy recovery as a function of the mini- mum temperature difference is derived. This expression is then used to implement an algorithm which is less cumbersome (in terms of computation times) than mathematical methods and more reliable than heuristic procedures. This algorithm can be used for rapid solution of classical examples studied in the literature or industrial problems. Finally, a set of results is presented in order to make a comparative study of available procedures. *Correspondance B adresser I cet auteur. 0300-9467/89/$3.50 1. INTRODUCTION 1.1. Position du probleme Le probleme de la synthese des reseaux d’echangeurs de chaleur se formule comme suit: on dispose de n courants chauds de temperatures initiales, de temperatures finales (inferieures aux temperatures initiales) et de debits calorifiques donnes, m courants froids, de temperatures initiales, de temperatures finales (superieures aux temperatures initiales) et de debits calorifiques donnes, enfin d’uti- lit& chaudes (vapeur) et d’utilitb froides (eau industrielle). Le but est de coupler les courants chauds avec les courants froids de facon a minimiser le cofit qui peut i3re ex- prime par la relation suivante: C=Ca+CF+Cc+C:+C~ oti CR est le cofit des echangeurs de recupe- ration (couplage des courants), CF est le cofit des echangeurs de refroidissement (utilitks froides), Cc est le cotit des echangeurs de chauffage (utilites chaudes), Cz est le cofit des utilitds froides, et Cz est le coGt des utilites chaudes. 1.2. Analyse bibliographique Pour resoudre le probleme des reseaux d’echangeurs de chaleur, plusieurs methodes ont et6 propokes, que l’on peut classer de la facon suivante. (i) Les methodes mathematiques dans les- quelles on essaie de modeliser le probleme reel dans toute sa complexitd, ce qui conduit h des calculs numeriques tres lourds surtout s’il s’agit d’un probleme de grande taille. (ii) Les methodes heuristiques qui utilisent des regles fond&es sur l’experience des inge- nieurs se caractkisent par leur simplicite, mais sont moins generales et peuvent conduire a des resultats mediocres dans certains cas particuliers. @ Elsevier Sequoia/Printed in The Netherlands
  • 120 (iii) Les methodes thermodynamiques qui ont 6th surtout developpees par Linhoff et al. [ 1, 21. Ces derniers, s’appuyant essentielle- ment sur la thermodynamique, ont developpe un algorithme qui resoud rigoureusement le probleme de recuperation d’energie pour une difference de temperature minimale donnee. 11s ont enonce les principes de pin- cement qui permettent de realiser au mieux cette recuperation d’energie dans la mesure 06 elle represente l’objectif principal. Mais, en ce qui concerne le calcul effectif d’un reseau, Linhoff et al. [l, 21 plutbt que de fournir un algorithme rigoureux et general preferent laker une large initiative 5 l’inge- nierie.. Ainsi, il nous a semble qu’un algorithme simple, fond& sur une approche thermodyna- mique serait utile, et c’est l’objet de ce de- veloppement. Avant celui-ci, nous allons rappeler les considerations theoriques fonda- mentales et necessaires. 2. ANALYSE DU PROBLI?ME L’important dans un probleme d’echan- geurs de chaleur est l’bvolution de la tempe- rature des courants chauds avec la chaleur cedee et des courants froids avec la chaleur recue. Les courbes reprbentant ces variations sont obtenues en utilisant les relations sui- vantes: q&t) = A’(t - t,‘) + C’ sitciGte = 0 si t < t,’ oh tc i (pour 1< i < N = 2n) sont les tempe- ratures initiales ou finales des 12 courants chauds, rangees par ordre croissant, A’ est la somme des debits calorifiques des courants chauds existants dans l’intervahe ( tci, tci+ ‘), C’ = qc( tci), Qc est la chaleur totale des courants chauds, et qc(t) reprbente ainsi la chaleur totale a enlever a tous les courants chauds qui sont a des temperatures inferieures ou egales h t, c’est une fonction croissante de la temperature. On a de man&e symetrique: qF(t) = B’(t - tFi) + D’ sitjGt tFM = 0 si t < tF1 oti t,’ (pour 1
  • 379 T (“C) 318,4. 257. 0 15,24 29.30 46.89 61,54 76,19 90.85 Quantiti de chaleur x 10-4 (J/S) Fig. 1. Courbes des courants chauds et froids pour le probkme 7SP3 [4]. T (“C) 379 318,4.- 257.8'. 0 15.24 29.30 46.89 61,54 76.19 90.85 QuanticC de chaleur x 10-4 (J/S) Fig. 2. Courbes des courants chauds et des courants froids (deplacbe de Qz avec AZ’, = 0) pour le pro- bkme 7SP3 [4]. non seulement la zone de couplage interdite, mais aussi la zone de couplage impossible pour les courants chauds. Ceci per-met de determiner la quantite de chaleur Qi que les utilitk froides devront prendre aux courants chauds: si Qc-QF>QZ d0l-S 121 Qk’=Qc--QF Q,=Q,-Q:=Q, (1) Q:=QF---QR=O La Fig. 3 represente les deux courbes (chaude et froide) concernant le probleme 6SPl [4] et montre la presence de la zone de couplage interdite. La Fig. 4 reprdsente la courbe chaude et la courbe froide deplacee de Qz, et elle mon- tre que la valeur Qc - QF est dkterminante. Ainsi, pour cet exemple 6SPl: Qz = 8,4131 X 10’ J Qc - QF = 1,5516 X lo6 J Qc-QF>Qz alors Q; = Qc - QF = 1,5516 X IO6 J QR = Qc - Q; = 4,7234 X lo6 J Q~=QF-QR=O Examinons maintenant le cas oppose: si Qc-QF
  • 122 T ("C) 271.8 232,a 193.8 154.8 115.8 X,8 37.8 r $3 1 3 @antit& de chaleur x 10-6 (J/S) Fig. 4. Courbes des courants chauds et des courants froids (d&placde de Qz avec AT, = 0) pour le pro- bEme 6SPl [4]. Dans le cas de l’exemple 7SP3 [4] (voir Figs. 1 et 2), on a les valeurs numeriques suivantes: Qz = 5,5155 X lo7 J Qc - Qr = -0,2113 X lo7 J Qz>Qc-QF d0I-S QF=5,5155X107J &a = Qc - Q; = 2,3463 Q; = QF - Qa = 3,1092 = 0,7629 X 108J X lo8 J X lo8 - 2,3463 X 10s J Tout cela concernait le cas ou AT, = 0. Lorsque AT, croit, la zone de couplage interdite augmente aussi et le deplacement Qz qu’il faut faire subir a la courbe froide pour faire dispara?tre cette zone augmente egalement. Mais quelle que soit la valeur de AT, et quelle que soit la valeur de Qz qui en resulte, la quantite de chaleur des utilites froides QF est toujours la plus grande des deux valeurs: Qz et (Qc - QF) et les relations (1) et (2) restent valables. Ces dernieres considerations permettent de distinguer deux sortes de problemes: le pro- bleme de seuil et le problbme de pincement. On a affair-e a un probleme de pincement, lorsque pour un AT, = 0, Qc - QF < Qz # 0, c’est-a-dire &a calculee pour AT, = 0 est inferieure a Min(Qc, Qr), ce qui implique aussi que QF # 0 et Qz # 0. En ce cas en effet, la valeur Qz est determinante. Or, un petit d&placement de AT, fait augmenter Qz d’une certaine quantitk, done diminuer QR de cette meme quantite et augmenter QF et Qg de cette mgme quantite, confor- mement aux relations (2). Considdrons pour illustrer le propos l’exem- ple 4SPl [ 41. La Fig. 5 represente la position de la courbe chaude par rapport a la courbe froide pour un AT, = 0 et elle determine Qz corres- pondant a cette position (mgme trace pour la Fig. 6 avec AT,,, = 5 K). On constate que lorsque AZ’, passe de 0 (Fig. 5) a 5 K (Fig. 6), Qz passe de 1,8561 X 10’ a 2,1601 X 10’ J, QF de 1,8561 X 10’ a 2,1601 X 105J, et QE de 6,75 X lo4 a 9,79 X lo4 J. Par contre, un probleme de seuil est defini lorsque pour AT, = 0, on est dans l’un des deux cas suivants: cas a Qc - QF < Qz = 0; etcasbQc--QQF>Qz. Considerons d’abord le cas a. Pour AT, = 0, Qz est determinante et on a d’apres (2): Q;=Qz=O QR=Qc -Qz=Qc Q:=QF-QR=QF-QC T (“Cl 260 210 160 1 Fig. 5. Courbes des courants chauds et des courants froids (d6placGe de QZ avec AT, = 0) pour le pro- bEme 4SPl [ 4 1.
  • 123 Quantite de chalrur x 10-5 (J/S) Fig. 6. Courbes des courants chauds et des courants froids (dbplacbe de Qz avec AT, = 5) pour le pro- bleme 4SPl [ 41. c’est done un cas, oti l’on peut se passer des utilites froides. Et l’augmentation de AT,, pour-vu qu’il ne depasse pas un certain seuil AT,,,,, ne creera pas une zone interdite, par consequent jusqu’i ce seuil, Qz, bien que determinante, ne varie pas et Qa, Q,“, Qg ne varient pas non plus. A titre d’illustration, considerons l’exemple 5SPl [4]. Dans cet exemple, Qz ne devient positif qu’a partir de AT, = 23,8 K. La Fig. ‘7 represente la courbe chaude et la courbe froide non deplacee (Qz = 0). Considerons maintenant le cas b. Qz n’est pas determinante et on a d’aprks (1): &:=Qc-QF QR=QF Q:=O On est done dans un cas oti on peut se passer des utilitds chaudes. Lorsque AT, augmente, Qz peut augmenter. Tant que AT, ne depasse pas un certain seuil AT,,, Qz reste inferieure 1 Qc - QF qui demeure determinant jusqu’i ce seuil et par suite Q,“, Q$? et &a ne varient pas. Ainsi, dans l’exemple 6SPl [ 41, Qz ne de- vient d&erminant qu’a partir de AT, = 36.2 K. La Fig. 8 represente la courbe chaude et la courbe froide deplacee de Qz = Qc - QF = 1,5516 X lo6 J. . 209.8 166,8 37.8 0 937 19 29 39 4 Fig. 7. Courbes des courants chauds et froids Dour le probEme 5SPl [4]. 1 0 190 2.1 I.1 A,2 5.2 62 QuantitP de chaleur Y 10-6 (J/>) Fig. 8. Courbes des courants chauds et froids (dC placbe de Qz avec AT, = AT,,) pour le probleme 6SPl [4]. Examinons enfin le cas particulier pour lequel Qc - Qr > Qz = 0. En ce cas, on observe deux seuils successifs, un premier seuil AT,,, est atteint lorsque Qz cesse d%tre nul, et un second seuil AT,,, est atteint lorsque Qz devient determinant (c’est-a-dire Qz > Qc - QF), c’est 1 partir de ce second seuil seulement que QE, QF et QR commencent a varier.
  • 124 Ainsi, dans l’exemple 2OSPl [ 31, Qz ne devient positif qu’a partir de AT, = 34 K, et ne devient determinant qu’a partir de AT,,, = 128 K. La Fig. 9 reprdsente la courbe chaude et la courbe froide non ddplacee (Qz = 0). La Fig. 10 represente la courbe chaude et la courbe froide deplacee de Qz = Qc - QF = 3,3628 X lo6 J. 3. ESTIMATION DU COirT D’UN Rl%EAU D’tiCHANGEURS DE CHALEUR Le cofit d’un reseau d’echangeurs de cha- leur peut Etre exprime par la relation suivante: NF NC =d FaiAP+ CajAj”+ CC4hAi 183.4 78,9 26.7 0 8.79 17.29 26.08 35.16 43.96 p”a”tlre de chaleur x 10-2 (J/s) Fig. 9. Courbes des courants chauds et froids pour le probleme 2OSPl [3]. 235,6 183.i. 26.7 0 8.79 17,29 26.08 35.16 43.96 guantite de chaliul x 10-2 (J/S) Fig. 10. Courbes des courants chauds et froids (d& plac6e de Qz avec AZ’, = AZ’,,). oti d est le coefficient d’amortissement, a et b sont coefficients, A est la surface d’e- change de chaleur, NR est le nombre d’e- changeurs de recuperation, NF eSt le nombre d’echangeurs de refroidissement, Nc est le nombre d’echangeurs de chauffage, 8 est le nombre d’heures de fonctionnement de l’appareillage (8370 h a 8500 h), q: est la quantite d’utilite froide, qg est la quantite d’utilite chaude, p: est le prix unitaire de l’utilite froide, et pg est le prix unitaire de l’utilite chaude. Les trois param&res essentiels du co% d’un reseau d’echangeurs de chaleur sont: la surface totale d’echange de chaleur, le nombre d’echangeurs de chaleur et la recu- peration d’energie. Pour chacun de ses trois parametres il existe des possibilitks d’estimer la valeur optimale qu’il faut considerer sous certaines conditions. 3.1. Surface totale d’tkhange de chaleur Nishida et al. [5] ont don& une estimation de la surface optimale pour une recuperation d’energie donnee, en utilisant le diagramme enthalpique. Cette estimation est bake sur l’hypothese que le coefficient de transfer?, thermique U est le mSme en tout point de la surface d’echange du reseau. Pour notre cas, cette surface optimale peut Qtre estimee a partir de la courbe des courants chauds et de celle des courants froids. On projette chaque point de brisure de la courbe chaude sur la courbe froide et vice versa. On obtient alors, face a face deux morceaux de courbes qui representent le transfert dans un echangeur de chaleur dont on peut estimer l’aire. L’ad- dition de ces aires donne la surface optimale s. si T& PC, Tg, pF repr&Sentant kS tempera- tures d’entree et de sortie des courants chauds et froids dans chaque Cchangeur de chaleur, on a:
  • 125 Ainsi, pour l’exemple 4SPl [ 41, la Fig. 11 montre les projections des points de brisures de la courbe chaude sur la courbe froide et vice versa. Pour chaque AT, donne, il existe une seule position possible des deux courbes et par suite une surface optimale correspon- dante. On constate sur les valeurs suivantes l’evolution de S en fonction de AT,: AT, (K) Surface (m*) 10 535 13,3 484 16,6 448 3.2. Nombre d’kchangeurs de chaleur La theorie des graphes [6] permet d’eta- blir une relation liant le nombre d’echangeurs a divers parametres caracterisant le reseau N=n+m+u+b--s oii n est le nombre de courants chauds, m est le nombre de courants froids, u est le nom- bre d’utilites, s est le nombre maximal de sous-reseaux &pares les uns des autres, et b est le nombre maximal de cycles indepen- dants les uns des autres. Chaque sous-reseau &pare des autres cor- respond a une possibilite de separation, 260 ; (“C) n Quanciri de chaleur x 10-5 (J/S) Fig. 11. Dktermination de la surface d’khange de chaleur pour le probleme 4SPl [4] (AT, = 5). compte tenu des don&es du probleme et du choix de AT,,,, qui a ete exploitee. Une telle possibilite, que nous appelons une co?ncidence, apparait lorsque sont reunies les conditions, purement thermo- dynamiques, qui permettent d’effectuer les uns par les autres, et avec un &cart de tempe- rature > a AT,, d’une part les refroidis- sements complets de certains des courants chauds (y compris les utilites chaudes), et d’autre part les rechauffements complets de certains des courants froids (y compris les utilitks froides). On voit que pour diminuer le nombre d’echangeurs, il faut: reduire si possible le nombre des utilitks; eviter la formation de cycles; profiter autant que possible des coin- cidences qui permettent de former des sous- reseaux &par&. 11 faut noter cependant que le minimum du nombre d’echangeurs ne correspond pas nC- cessairement au minimum des investisse- ments. Compte tenu de la difficult6 de mettre en evidence les coincidences et d’en profiter, s est generalement egal a 1. En ce cas: N=n+m+u+b-l>n+m+u-1 La valeur n + m + u - 1 peut Gtre consi- de&e comme l’optimum desirable pour N. On remarquera que tous les termes de la som- me n + m + u - 1 sont laisses inchangb lorsqu’on retranche un couplage doublement incomplet (aussi bien pour les courants chauds que pour les courants froids). Si l’on ne reussit pas a rendre s > 1, cette valeur op- timum de N ne sera atteinte que si l’on reussit h kiter toute formation de cycles, ou encore si l’on reussit 1 eviter tout couplage double- ment incomplet. Dans l’exemple 4SPl [4], avec AT, = 10 K, il vient: n=2m=2u=2 L’optimum desirable vaut 5. Si l’on consider-e la division du r-beau selon le pincement, en attibuant l’indice 1 a ce qui est au-dessus du pincement et l’indice 2 a ce qui est au-dessous, il vient: n, = Om, = lui = 1 n, = 2m2 = 2u2 = 1 L’optimum desirable vaut 1 au-dessus du pincement, 4 au-dessous, au total on retrouve
  • 126 5. En ce cas, la division selon le pincement ne semble pas Gtre desavantageuse du point de vue du nombre des echangeurs. Dans le cas general, la division selon le pincement conduit & une augmentation de I’optimum desirable pour N egale a p - 1 oti p designe le nombre de courants (chauds ou froids) dont la varia- tion de temperature est couplee par le pin- cement. 3.3. Rkcupkration d’e’nergie L’evaluation de la quantitd maximale de chaleur &up&able pour AT, donne a et6 faite par plusieurs chercheurs, Umeda et al. [7] ont utilise le diagramme T,Q, Linhoff et Flower [ 11 ont developpd l’algorithme de ta- ble, Cerda et Westerberg [8] ont formule le probleme comme celui du transport d’dnergie. Ces chercheurs ont mis en evidence l’impor- tance du phenomene de pincement. Une ana- lyse interessante de ce phenomene exploite le concept d’exergie [ 91. Nous avons demontre une expression analytique qui donne la rC- cuperation d’energie en fonction de AT,,,. Designons par Qhl la plus grande valeur qui soit de la forme {q,(tFJ + AT,) - qF(tFj)} avec 1 < j < M, et par QN la plus grande valeur qui soit de la forme {qc(t,‘) - qc(tCi - AT,)} avec 1 < i < N. Considerons le cas oh, pour un AT, don&: Qz>Qc-QF On a, d’apres (2) Qa = Qc - Qz et nous avons remarque graphiquement que: Qz=M=dQ,,Q,) Considerons maintenant le cas ou Qz < Qc -QF. On a d’apres (1) QR = QP = Qc - (Qc - Qp) et on remarque graphiquement que: Qc-QF= M=(Q,,Q,) On deduit done que dans tous les cas: QR = Qc - Max(Q,, QN) = Qc - Max[Max{qc(tFi + AT,) - q&F’)), Max k&c’) - q&c’ - AT,)) 1 j = 1,M; i= l,N d’ou l’on deduit, en tenant compte de ce que les variations de qc et qr sont lineaires entre deux t,’ ou deux tFi condcutifs: QR = Qc - Mm {qc(tc) - qF(tF)) avec tc - tF = AT, Ces relations sont utilisees pour tracer la courbe qui represente la variation de la recu- peration d’energie en fonction de AT,. A titre d’exemple, la Fig. 12 represente la variation de l’dnergie &up&able en fonction de AT, dans le cas du probleme 2OSPl [3]. On remarque qu’il s’agit d’un probleme de seuil. De mGme, la Fig. 13 represente la varia- tion de Qn en fonction de AT, dans le cas 31.47 2,933 2.72 2,51 2.29 c’ 22,22 44.44 66,66 88,88 11’ 11 ATm (‘Cl Fig. 12. Variation de la quantitk de chaleur r&up&he en fonction de AT,,, pour le probEme 2OSPl [ 31. Quantith de chaleur rPcupCr&e (J/s) x !O-’ ‘s6’ 8 4.46. I\ 4.32 4.18 4.04 3.89 _ 0 Fig. 13. Variation de la quantitd de chaleur r&up&%e en fonction de AT, pour le probleme 4SPl [ 4 1.
  • 127 du probleme 4SPl [4]. On remarque qu’il s’agit d’un probleme de pincement. 11 est possible d’utiliser ces relations pour localiser le point de pincement qui correspond au couple de temperatures Tc, TF tel que: T,-TF= AT,,, qc(Tc) - QF(TF) = MM&,, QN) Pour le localiser, on distingue deux cas. (a) QM 2 QN En ce cas, le pincement correspond au couple de temperatures ( Tc, TF) tel: T, = t/ + AT,, TF = t,j oti j est l’indice qui permet d’avoir le maxi- mum pour qc( t,’ + AT,) - qF( tFj)} (b) QN > QM En ce cas, le pincement correspond au couple de temperatures (T,, TF) tel: Tc = tCi, TF = tci - AT, ou i est l’indice qui permet d’avoir le maxi- mum pour {q,( tci) - qF( tci - AT,)}. Ainsi pour l’exemple 4SPl [2] avec AT, = 10, on a Tc = 248,9 “C! et TF = 238,9 “C!. 4. ALGORITHME DE SYNTHfiSE DES RtiSEAUX D’tiCHANGEURS DE CHALEUR L’organigramme de l’algorithme est pre- sent6 sur la Fig. 14. Fig. 14. Organigramme de l’algorithme. (1) On fixe une difference de temperature minimale AT,. (2) On localise les temperatures du pince- ment comme cela a et6 explique ci-dessus.
  • 128 (3) On determine tout d’abord les courants qui sont situ& entierement dans la zone superieure du point de pincement ou entiere- ment dans la zone inferieure du point de pin- cement. Les courants dont l’intervalle des temperatures coupe le pincement sont divises en deux parties, l’une dans la par-tie supe- rieure et l’autre dans la partie inferieure. Nous allons expliquer en detail la maniere de traiter la zone superieure du point de pince- ment, la zone inferieure est Qtudiee de ma- niere symetrique. Dans la zone superieure, les courants chauds doivent Gtre refroidis par les courants froids, ce qui veut dire que la recupe- ration est optimale si et seulement si on n’utilise pas d’utilite froide. (4) On classe les courants chauds selon leurs temperatures finales, dans un ordre croissant, tandis que les courants froids sont classes selon leurs temperatures initiales dans le m6me ordre croissant. (5) On consider-e d’abord le premier cou- rant chaud et le premier courant froid et on pose : El est la temperature d’entree du courant chaud considere; Z$, est la temperature de sortie du courant chaud considere; qc est la quantite de chaleur portee par le courant chaud considerei Wc est le debit calorifique du courant chaud considere; TF, est la tempe- rature d’entree du courant froid considere; Z$, est la temperature de sortie du courant froid consid&; qF est la quantite de chaleur necessaire pour chauffer le courant froid considkre; WF est le debit calorifique du courant froid considdre. Ainsi, on est assure qu’est satisfaite la condition fondamentale: qui permet d’envisager le couplage total ou par-tie1 de ces deux courants. Pour le couplage, les variables disponibles sont: Tg est la temperature a laquelle on arrgtera le rechauffement du courant froid, TT: est la temperature a laquelle on com- mence a refroidir le courant chaud, Wg est le debit du courant froid pris lors du couplage WF > Wg > 0, et WE est le debit du courant chaud pris lors du couplage Wc > WY: > 0. Pour decider du couplage qui sera retenu, on calcule les valeurs 0,S et (3: qui remplace- raient ‘I& et TE, (si le couplage Ctait retenu), ceci pour s’assurer qu’est satisfaite la condi- tion fondamentale 0: - 0z > AT, qui per-met la poursuite du processus. Pour ce calcul de 0: et @, on a besoin des don&es suivantes concernant le 2eme courant chaud et le 28me courant froid: T& est la temperature de sortie du deuxieme courant chaud, et T$ est la temperature d’entree du deuxieme courant froid. Admettons que le couplage envisage soit retenu. Dans le cas oti il per-met de refroidir entie- rement le ler courant chaud, celui-ci sera elimine. On doit prendre 0: = T&. Dans le cas oti ce courant chaud est divid, il ne sera pas &nine, sa temperature finale sera inchangee, il ne pourra pas perdre la l&e place du classement, on doit prendre alors eg = PC, Dans le cas oh il ne permet pas de refroidir entierement le ler courant chaud, et oti il ne divise pas ce courant, celui-ci ne sera pas elimine, sa temperature finale deviendra T& il pourra perdre la l&-e place du classe- ment, on doit prendre alors 0: = Min(T*c, pcZ) Pour des raisons analogues, on a les relations suivan tes : eg = TE2 (courant froid entierement chauffe par le courant chaud) e”, = TFl (courant froid divise) 0% = Min(FF, T$) (dans tous les autres cas) Plusieurs cas doivent Ctre envisages pour preciser en detail la procedure. Cas 1 (voir Diagramme 1) qF> qC On calcule ce que serait T& si le courant chaud etait entierement refroidi par le cou- rant froid et sans division de celui-ci: cas 1.1 TE,, - r*, 2 AT,,, Le couplage envisage pourrait se faire, s’il etait retenu T& serait remplace par
  • TE - T*F Fl T=Cl Diagramme 1. Illustration du cas 1 de l’algorithme. 0: = I!&, T$ serait remplace par 0: = Min( T*r, Z’F,). Cas 1.1.1 e$--e;a AT,,, On retient le couplage envisage et on re- vient a l’etape 4. Cas 1.1.2 6$--O;< AT, On renonce au couplage envisage. On joue sur les variables disponibles (r*,, TE, IV:, Wg) pour retrouver un couplage permettant de satisfaire: t9s,-t$> AT, Cela conduit a distinguer deux cas. Cas 1.1.2.1 (voir Diagramme 2) T& - T& > AT, 3 TSFl Diagramme 2. Illustration du cas 1.1.2.1 de l’algo- rithme. On divise le courant froid, For sera rem- place par 88 = Ts,, et E, sera remplace par 0; = El, le courant chaud sera Blink6 du tableau et le courant froid change de debit calorifique. Cette division du courant froid permet toujours d’avoir 0: - @ > AT,, 129 puisqu’on a: es: > rS&, e; = T& et T& - T;, > AT, done es, - 0; > AT,. Cas 1.1.2.2 T&-Ts,, AT,, on impose r*, = T$r - AT, et on divise le courant froid (mbme explication que le cas 1.1.2.1). Cas 1.2 (voir Diagramme 3) T~---T*FAT, On renonce h refroidir entierement le cou- rant chaud, on calcule r*, et PC de telle sorte que la quantite de chaleur q* Cchangee soit maximale, compte tenu de la contrainte AT,: W,(T; - Ts,,) = W,(T*, - T;,) = q* T*,-PT*,= AT, T T*C Diagramme 3. Illustration du cas 1.2 de l’algorithme. Si ce couplage Ctait retenu, PC1 serait rem- place par 8 & = Min(T& To,), TE, serait remplace par fIF - E - Min(T;, T:,). Cas 1.2.1 On retient le couplage envisage et on re- vient a l’etape 4, sauf lorsqu’on est dans l’un des deux cas suivants. (a) PC < Pcz et PF < T&, alors on renonce au couplage et on traite le 28me courant froid. (b) r*, - PC1 < X (X valeur imposee). On renonce au couplage et on traite le 2hme courant froid. La condition Po - T& < X per-met d’eli- miner dans la major&! des cas la formation des boucles et d’exiger qutune quantit6 de
  • 130 chaleur minimale soit khangee entre les deux courants. Cas 1.2.2 0S,-6; AT, Cas 2 (voir Diagramme 4) qF AT, On retient le couplage envisage et on re- vient a l’dtape 4. Cas 2.1.2 e”,--e;< AT, On renonce au couplage envisage. On joue sur les variables disponibles pour trouver un couplage permettant de satisfaire: es,-e+ AT, Cas 2.2 T::- El < AT, On renonce a rechauffer entierement le courant froid. On calcule T& TT: comme dans le cas 1.2. Si le couplage etait retenu, T& serait rem- place par 0: = Min(T*,, T&). T& serait rem- place par f3t = Min(T$, TF,). Cas 2.2.1 eS,-e;>AT, On retient le couplage et on revient a l’e- tape 4, sauf lorsqu’on est dans l’un des deux cas particuliers suivants (a) r*, < T&et T$ < T&. (b) r*, - per < X (mzme explication qu’au cas 1.2.1). Cas 2.2.2 eS,-e: AT, 5. EXEMPLE D’APPLICATION Nous presentons en detail l’application de la procedure sur l’exemple classique 4SPl. (1) On fixe AT, = 10 “C. (2) On localise le point de pincement com- me nous l’avons deja indique, on obtient: T, = 248,9 “C et TF = 238,9 “C (3) On determine les courants chauds et les courants froids existants dans les deux zones definies par le point de pincement. Dans la zone superieure, on a seulement le courant froid no2 qui sera rechauffe par l’utilitk chaude (voir Diagramme 5). Diagramme 5. Illustration du traitement de la zone superieure au pincement.
  • 131 Dans la zone inferieure, on a deux courants chauds et deux courants froids. (4) On effectue le classement des courants qui fournit la hierarchic suivante: Courants chauds Courants froids numero 1 numero 2 numero 2 numero 1 On considere le courant chaud 1 et le cou- rant froid 2. On a alors (voir Diagramme 6): P,, = 248,9 “c T:, = 115,6 “C! 7& = 137,8 “c r’,, = 238,9 ‘=C! WC = 1058 J h-i “C WF = 6087 J h-i “C q, = 1,17 X lo6 J h-i q, = 0,75 X IO6 J h-’ On est dans la zone inferieure du pince- ment et dans le cas oh qc > qF (qui se traite d’ailleurs comme le cas qF > qc dans la zone superieure du pincement). T; = T$,, - $ = 178,l “C C F2 T Diagramme 6. Illustration de la premiere &ape du traitement de la zone infkieure au pincement. On vdrifie si PC - e1 > AT,, ce qui est le cas. @ (au lieu de 0:) = Max(TE, T!$) (au lieu de Min) =Tz= 178,l “C! (T$ = 160 “C) 0; (au lieu de SE) = r”,, = 160 “C On vdrifie si 19: - 13; > AT, (ce qui est le cas), done on retient ce couplage, le courant froid sera elimine du tableau et on revient a l’etape 4 qui donne le nouveau classement ci-apres : Courants chauds numero 1 numero 2 Courant froid numero 1 On a alors (voir Diagramme 7): TE,, = 178,l “C! T$, = 160 “C T& = 137 8 “C 3 TF1 = 60 “C WC = 10548 J h-’ “C WF = 76215 J h-‘“C qc = 0,42508 X lo6 J h-’ qF = 0,7621 J h-l On est dans le cas ou qF > 4c pF=?$l- g = 122,6 “C! 1 II 178.1 F1 Diagramme 7. Illustration de la deuxigme &ape du traitement de la zone infkieure au pincement. On verifie si T& - G > AT, (ce qui est le cas) eE, = T& = 160 “C 0: = Min 122,6 “C On verifie si 0: - @ > AT, (ce qui est le cas). On retient ce couplage, le courant chaud sera &rninC du tableau et le courant froid change de temperature de sortie. On revient alors a l’etape 4 qui conduit au classement: Courant chaud Courant froid numero 2 numero 1 11 vient alors (voir Diagramme 8) T& = 160 “C r’,, = 122,6 “C Tscl= 93,9 “c! T;, = 60 “C W, = 8792 J h-i “C WF = 7621 J h-l “C Qc = 0,586 X lo6 J h-’ qF = 0,477O X lo6 J h-’
  • 132 Diagramme 8. Illustration de la troisihme htape du traitement de la zone infhrieure au pincement. On est dans le cas oh qc > qF. T;= T$ -g = 105,7 “c WC On verifie si (Tg - el) > AT,,, (ce qui est le cas). 11 ne reste qu’une partie du courant chaud 2 qui sera refroidie par l’utilite froide. Ainsi, le reseau final est present4 sur le Diagramme 9. Nous avons trait4 de nombreux exemples issus de la litterature afin de valider la proce- dure que nous proposons. A park de la syn- these des reseaux, nous avons calcule le cotit avec les don&es analogues a celles des autres auteurs. Les resultats consign& dans le Ta- bleau 1 pour huit exemples classiques mon- trent un accord tres satisfaisant avec les di- verses methodes mises en oauvre. Diagramme 9. RBseau final. TABLEAU 1 Comparaison des cotits ($/an) Problgme Ce travail Grossman et Sargent [ 1 ] Nishida et al. [ 3 ] Muraki et Hayakawa [2] 4SPl 11379 5SPl 38783 6SPl 35021 7SP3 1,03849 x lo6 8SPl 31189 lOSP1 44147 2OSPl 23887 14SPl 22932 13590 13590 13590 38288 38713 38713 35010 35010 35010 1,199158 x lo6 - 1,1812 x lo6 41228 - 38303 44160 - 43803 23482 - - 24423 - -
  • 133 6. CONCLUSION Nous nous sommes interesds aux condi- tions qui, dans la synthese d’un rbeau d’e- changeurs, provoquent soit la diminution de l’aire totale d’echange, soit la diminution du nombre d’echangeurs, soit l’augmentation de l’energie &cup&e. En particulier, nous avons obtenu une expression analytique de la recuperation optimale d’energie sous la contrainte imposee par un Qcart de tempbra- tures minimum de part et d’autre de la surface d’echange. Cela nous a permis de mettre au point un algorithme de synthese qui, malgre sa sim- plicite, s’est revele Gtre aussi efficace que les algorithmes necessitant des calculs numdri- ques beaucoup plus importants. Cet algo- rithme nous parait done particulierement adapt6 aux cas oti le nombre de courants a rechauffer ou a refroidir est Clew+. 7. ANNEXE Selon l’usage en tours dans les revues specialides, nous avons design6 des problemes classiques de reseaux d’echangeurs par des sigles de la forme NSPM oti S vaut pour “stream” (courant), P vaut pour “problem” (probleme), N est le nombre de courants, chauds ou froids, concernks, et M est un numero qui permet de distinguer les divers problemes qui ont un mdme nombre de courants. Precisons que habituellement les donnees qui definissent un probleme rencontre sous un tel sigle comprennent: temperatures d’entree et de sortie des courants; debits calorifiques des courants; temperatures d’en- tree et de sortie des utilitks; coefficient de transfer-t thermique pour chaque couplage possible; et expressions permettant d’evaluer le cofit de chaque solution envisagee. Le lecteur interessd par les don&es relati- ves aux problemes que nous considerons, les trouvera dans les refs. 3 et 4. BIBLIOGRAPHIE B. Linhoff et J. A. Flower, Synthesis of heat exchanger networks, AZChE J., 24 (4) (1978) 633. B. Linhoff et E. Hindmarsh, The pinch method for heat exchanger networks, Chem. Eng. Science, 38 (5) (1982) 745. I. E. Grossmann et R. W. H. Sargent, Optimum design of heat exchanger networks, Comput. Chem. Eng., 2 (1978) 1. M. Muraki et T. Hayakawa, Practical synthesis method for heat exchanger network, J. Chem. Eng. Jpn., 15 (2) (1982) 137. N. Nishida, S. Kobayashi et A. Ichikawa, Optimal synthesis of heat exchange systems, Chem. Eng. Sci., 26 (1971) 1841. C. Berge, The’orie des graphes et ses applications, Ed. Dunod, Paris, 1963. T. Umeda, J. Itoh et K. Shiroko, Chem. Eng. Prog., 75 (1978) 70. J. Cerda et A. W. Westerberg, Synthesizing heat exchanger network having restricted stream/ stream matches using transportation problem formulation, Chem. Eng. Sci., 38 (1983) 1723. J. P. Gourlia, Analyse exergetique de la distilla- tion, in P. Le Goff (ed.), Energe’tique Zndustrielle, Vol. 3, Tech. Dot., Paris, 1982.
Please download to view
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
...

Synth`ese d'un R'eseau d'echangeurs de Chaleur

by m-belkebir

on

Report

Category:

Documents

Download: 0

Comment: 0

212

views

Comments

Description

Download Synth`ese d'un R'eseau d'echangeurs de Chaleur

Transcript

  • The Chemical Engineering Journal, 42 (1989) 119 - 133 Synthese d’un R6seau d’Echangeurs de Chaleur M. BELKEBIR, C. GUIGLION, S. DOMENECH* et L. PIBOULEAU E.N.S.I.G.C., URA-CNRS 192, Chemin de la Loge, 31078 Toulouse Ce’dex (France) (Recu le 22 dkcembre 1988; r&is6 le 2 mars 1989) 119 RfiSUMl? On analyse dans cet article un probleme de reseaux d’e’changeurs de chaleur en s’ap- puyant sur les courbes d’energie des courants chauds et froids. On presente tout d’abord une expression analytique qui determine la recuperation d ‘energie op timale en font tion de la difference de temperature minimale. Cette expression permet ensuite de develop- per un algorithme de calcul necessitant un volume de calcul moins important que les methodes mathematiques et beaucoup plus fiable que les procedures mettant en osuvre des regles heuristiques. Cet algorithme permet de traiter rapidement des exemples classiques deja etudies dans la litterature ou des cas industriels. Un ensemble de resultats est pre- sente afin de comparer diverses procedures actuellement disponibles. ABSTRACT A heat exchanger network problem based on energy curves of hot and cold streams is presented in this paper. In the first part, an analytic expression giving the optimum energy recovery as a function of the mini- mum temperature difference is derived. This expression is then used to implement an algorithm which is less cumbersome (in terms of computation times) than mathematical methods and more reliable than heuristic procedures. This algorithm can be used for rapid solution of classical examples studied in the literature or industrial problems. Finally, a set of results is presented in order to make a comparative study of available procedures. *Correspondance B adresser I cet auteur. 0300-9467/89/$3.50 1. INTRODUCTION 1.1. Position du probleme Le probleme de la synthese des reseaux d’echangeurs de chaleur se formule comme suit: on dispose de n courants chauds de temperatures initiales, de temperatures finales (inferieures aux temperatures initiales) et de debits calorifiques donnes, m courants froids, de temperatures initiales, de temperatures finales (superieures aux temperatures initiales) et de debits calorifiques donnes, enfin d’uti- lit& chaudes (vapeur) et d’utilitb froides (eau industrielle). Le but est de coupler les courants chauds avec les courants froids de facon a minimiser le cofit qui peut i3re ex- prime par la relation suivante: C=Ca+CF+Cc+C:+C~ oti CR est le cofit des echangeurs de recupe- ration (couplage des courants), CF est le cofit des echangeurs de refroidissement (utilitks froides), Cc est le cotit des echangeurs de chauffage (utilites chaudes), Cz est le cofit des utilitds froides, et Cz est le coGt des utilites chaudes. 1.2. Analyse bibliographique Pour resoudre le probleme des reseaux d’echangeurs de chaleur, plusieurs methodes ont et6 propokes, que l’on peut classer de la facon suivante. (i) Les methodes mathematiques dans les- quelles on essaie de modeliser le probleme reel dans toute sa complexitd, ce qui conduit h des calculs numeriques tres lourds surtout s’il s’agit d’un probleme de grande taille. (ii) Les methodes heuristiques qui utilisent des regles fond&es sur l’experience des inge- nieurs se caractkisent par leur simplicite, mais sont moins generales et peuvent conduire a des resultats mediocres dans certains cas particuliers. @ Elsevier Sequoia/Printed in The Netherlands
  • 120 (iii) Les methodes thermodynamiques qui ont 6th surtout developpees par Linhoff et al. [ 1, 21. Ces derniers, s’appuyant essentielle- ment sur la thermodynamique, ont developpe un algorithme qui resoud rigoureusement le probleme de recuperation d’energie pour une difference de temperature minimale donnee. 11s ont enonce les principes de pin- cement qui permettent de realiser au mieux cette recuperation d’energie dans la mesure 06 elle represente l’objectif principal. Mais, en ce qui concerne le calcul effectif d’un reseau, Linhoff et al. [l, 21 plutbt que de fournir un algorithme rigoureux et general preferent laker une large initiative 5 l’inge- nierie.. Ainsi, il nous a semble qu’un algorithme simple, fond& sur une approche thermodyna- mique serait utile, et c’est l’objet de ce de- veloppement. Avant celui-ci, nous allons rappeler les considerations theoriques fonda- mentales et necessaires. 2. ANALYSE DU PROBLI?ME L’important dans un probleme d’echan- geurs de chaleur est l’bvolution de la tempe- rature des courants chauds avec la chaleur cedee et des courants froids avec la chaleur recue. Les courbes reprbentant ces variations sont obtenues en utilisant les relations sui- vantes: q&t) = A’(t - t,‘) + C’ sitciGte = 0 si t < t,’ oh tc i (pour 1< i < N = 2n) sont les tempe- ratures initiales ou finales des 12 courants chauds, rangees par ordre croissant, A’ est la somme des debits calorifiques des courants chauds existants dans l’intervahe ( tci, tci+ ‘), C’ = qc( tci), Qc est la chaleur totale des courants chauds, et qc(t) reprbente ainsi la chaleur totale a enlever a tous les courants chauds qui sont a des temperatures inferieures ou egales h t, c’est une fonction croissante de la temperature. On a de man&e symetrique: qF(t) = B’(t - tFi) + D’ sitjGt tFM = 0 si t < tF1 oti t,’ (pour 1
  • 379 T (“C) 318,4. 257. 0 15,24 29.30 46.89 61,54 76,19 90.85 Quantiti de chaleur x 10-4 (J/S) Fig. 1. Courbes des courants chauds et froids pour le probkme 7SP3 [4]. T (“C) 379 318,4.- 257.8'. 0 15.24 29.30 46.89 61,54 76.19 90.85 QuanticC de chaleur x 10-4 (J/S) Fig. 2. Courbes des courants chauds et des courants froids (deplacbe de Qz avec AZ’, = 0) pour le pro- bkme 7SP3 [4]. non seulement la zone de couplage interdite, mais aussi la zone de couplage impossible pour les courants chauds. Ceci per-met de determiner la quantite de chaleur Qi que les utilitk froides devront prendre aux courants chauds: si Qc-QF>QZ d0l-S 121 Qk’=Qc--QF Q,=Q,-Q:=Q, (1) Q:=QF---QR=O La Fig. 3 represente les deux courbes (chaude et froide) concernant le probleme 6SPl [4] et montre la presence de la zone de couplage interdite. La Fig. 4 reprdsente la courbe chaude et la courbe froide deplacee de Qz, et elle mon- tre que la valeur Qc - QF est dkterminante. Ainsi, pour cet exemple 6SPl: Qz = 8,4131 X 10’ J Qc - QF = 1,5516 X lo6 J Qc-QF>Qz alors Q; = Qc - QF = 1,5516 X IO6 J QR = Qc - Q; = 4,7234 X lo6 J Q~=QF-QR=O Examinons maintenant le cas oppose: si Qc-QF
  • 122 T ("C) 271.8 232,a 193.8 154.8 115.8 X,8 37.8 r $3 1 3 @antit& de chaleur x 10-6 (J/S) Fig. 4. Courbes des courants chauds et des courants froids (d&placde de Qz avec AT, = 0) pour le pro- bEme 6SPl [4]. Dans le cas de l’exemple 7SP3 [4] (voir Figs. 1 et 2), on a les valeurs numeriques suivantes: Qz = 5,5155 X lo7 J Qc - Qr = -0,2113 X lo7 J Qz>Qc-QF d0I-S QF=5,5155X107J &a = Qc - Q; = 2,3463 Q; = QF - Qa = 3,1092 = 0,7629 X 108J X lo8 J X lo8 - 2,3463 X 10s J Tout cela concernait le cas ou AT, = 0. Lorsque AT, croit, la zone de couplage interdite augmente aussi et le deplacement Qz qu’il faut faire subir a la courbe froide pour faire dispara?tre cette zone augmente egalement. Mais quelle que soit la valeur de AT, et quelle que soit la valeur de Qz qui en resulte, la quantite de chaleur des utilites froides QF est toujours la plus grande des deux valeurs: Qz et (Qc - QF) et les relations (1) et (2) restent valables. Ces dernieres considerations permettent de distinguer deux sortes de problemes: le pro- bleme de seuil et le problbme de pincement. On a affair-e a un probleme de pincement, lorsque pour un AT, = 0, Qc - QF < Qz # 0, c’est-a-dire &a calculee pour AT, = 0 est inferieure a Min(Qc, Qr), ce qui implique aussi que QF # 0 et Qz # 0. En ce cas en effet, la valeur Qz est determinante. Or, un petit d&placement de AT, fait augmenter Qz d’une certaine quantitk, done diminuer QR de cette meme quantite et augmenter QF et Qg de cette mgme quantite, confor- mement aux relations (2). Considdrons pour illustrer le propos l’exem- ple 4SPl [ 41. La Fig. 5 represente la position de la courbe chaude par rapport a la courbe froide pour un AT, = 0 et elle determine Qz corres- pondant a cette position (mgme trace pour la Fig. 6 avec AT,,, = 5 K). On constate que lorsque AZ’, passe de 0 (Fig. 5) a 5 K (Fig. 6), Qz passe de 1,8561 X 10’ a 2,1601 X 10’ J, QF de 1,8561 X 10’ a 2,1601 X 105J, et QE de 6,75 X lo4 a 9,79 X lo4 J. Par contre, un probleme de seuil est defini lorsque pour AT, = 0, on est dans l’un des deux cas suivants: cas a Qc - QF < Qz = 0; etcasbQc--QQF>Qz. Considerons d’abord le cas a. Pour AT, = 0, Qz est determinante et on a d’apres (2): Q;=Qz=O QR=Qc -Qz=Qc Q:=QF-QR=QF-QC T (“Cl 260 210 160 1 Fig. 5. Courbes des courants chauds et des courants froids (d6placGe de QZ avec AT, = 0) pour le pro- bEme 4SPl [ 4 1.
  • 123 Quantite de chalrur x 10-5 (J/S) Fig. 6. Courbes des courants chauds et des courants froids (dbplacbe de Qz avec AT, = 5) pour le pro- bleme 4SPl [ 41. c’est done un cas, oti l’on peut se passer des utilites froides. Et l’augmentation de AT,, pour-vu qu’il ne depasse pas un certain seuil AT,,,,, ne creera pas une zone interdite, par consequent jusqu’i ce seuil, Qz, bien que determinante, ne varie pas et Qa, Q,“, Qg ne varient pas non plus. A titre d’illustration, considerons l’exemple 5SPl [4]. Dans cet exemple, Qz ne devient positif qu’a partir de AT, = 23,8 K. La Fig. ‘7 represente la courbe chaude et la courbe froide non deplacee (Qz = 0). Considerons maintenant le cas b. Qz n’est pas determinante et on a d’aprks (1): &:=Qc-QF QR=QF Q:=O On est done dans un cas oti on peut se passer des utilitds chaudes. Lorsque AT, augmente, Qz peut augmenter. Tant que AT, ne depasse pas un certain seuil AT,,, Qz reste inferieure 1 Qc - QF qui demeure determinant jusqu’i ce seuil et par suite Q,“, Q$? et &a ne varient pas. Ainsi, dans l’exemple 6SPl [ 41, Qz ne de- vient d&erminant qu’a partir de AT, = 36.2 K. La Fig. 8 represente la courbe chaude et la courbe froide deplacee de Qz = Qc - QF = 1,5516 X lo6 J. . 209.8 166,8 37.8 0 937 19 29 39 4 Fig. 7. Courbes des courants chauds et froids Dour le probEme 5SPl [4]. 1 0 190 2.1 I.1 A,2 5.2 62 QuantitP de chaleur Y 10-6 (J/>) Fig. 8. Courbes des courants chauds et froids (dC placbe de Qz avec AT, = AT,,) pour le probleme 6SPl [4]. Examinons enfin le cas particulier pour lequel Qc - Qr > Qz = 0. En ce cas, on observe deux seuils successifs, un premier seuil AT,,, est atteint lorsque Qz cesse d%tre nul, et un second seuil AT,,, est atteint lorsque Qz devient determinant (c’est-a-dire Qz > Qc - QF), c’est 1 partir de ce second seuil seulement que QE, QF et QR commencent a varier.
  • 124 Ainsi, dans l’exemple 2OSPl [ 31, Qz ne devient positif qu’a partir de AT, = 34 K, et ne devient determinant qu’a partir de AT,,, = 128 K. La Fig. 9 reprdsente la courbe chaude et la courbe froide non ddplacee (Qz = 0). La Fig. 10 represente la courbe chaude et la courbe froide deplacee de Qz = Qc - QF = 3,3628 X lo6 J. 3. ESTIMATION DU COirT D’UN Rl%EAU D’tiCHANGEURS DE CHALEUR Le cofit d’un reseau d’echangeurs de cha- leur peut Etre exprime par la relation suivante: NF NC =d FaiAP+ CajAj”+ CC4hAi 183.4 78,9 26.7 0 8.79 17.29 26.08 35.16 43.96 p”a”tlre de chaleur x 10-2 (J/s) Fig. 9. Courbes des courants chauds et froids pour le probleme 2OSPl [3]. 235,6 183.i. 26.7 0 8.79 17,29 26.08 35.16 43.96 guantite de chaliul x 10-2 (J/S) Fig. 10. Courbes des courants chauds et froids (d& plac6e de Qz avec AZ’, = AZ’,,). oti d est le coefficient d’amortissement, a et b sont coefficients, A est la surface d’e- change de chaleur, NR est le nombre d’e- changeurs de recuperation, NF eSt le nombre d’echangeurs de refroidissement, Nc est le nombre d’echangeurs de chauffage, 8 est le nombre d’heures de fonctionnement de l’appareillage (8370 h a 8500 h), q: est la quantite d’utilite froide, qg est la quantite d’utilite chaude, p: est le prix unitaire de l’utilite froide, et pg est le prix unitaire de l’utilite chaude. Les trois param&res essentiels du co% d’un reseau d’echangeurs de chaleur sont: la surface totale d’echange de chaleur, le nombre d’echangeurs de chaleur et la recu- peration d’energie. Pour chacun de ses trois parametres il existe des possibilitks d’estimer la valeur optimale qu’il faut considerer sous certaines conditions. 3.1. Surface totale d’tkhange de chaleur Nishida et al. [5] ont don& une estimation de la surface optimale pour une recuperation d’energie donnee, en utilisant le diagramme enthalpique. Cette estimation est bake sur l’hypothese que le coefficient de transfer?, thermique U est le mSme en tout point de la surface d’echange du reseau. Pour notre cas, cette surface optimale peut Qtre estimee a partir de la courbe des courants chauds et de celle des courants froids. On projette chaque point de brisure de la courbe chaude sur la courbe froide et vice versa. On obtient alors, face a face deux morceaux de courbes qui representent le transfert dans un echangeur de chaleur dont on peut estimer l’aire. L’ad- dition de ces aires donne la surface optimale s. si T& PC, Tg, pF repr&Sentant kS tempera- tures d’entree et de sortie des courants chauds et froids dans chaque Cchangeur de chaleur, on a:
  • 125 Ainsi, pour l’exemple 4SPl [ 41, la Fig. 11 montre les projections des points de brisures de la courbe chaude sur la courbe froide et vice versa. Pour chaque AT, donne, il existe une seule position possible des deux courbes et par suite une surface optimale correspon- dante. On constate sur les valeurs suivantes l’evolution de S en fonction de AT,: AT, (K) Surface (m*) 10 535 13,3 484 16,6 448 3.2. Nombre d’kchangeurs de chaleur La theorie des graphes [6] permet d’eta- blir une relation liant le nombre d’echangeurs a divers parametres caracterisant le reseau N=n+m+u+b--s oii n est le nombre de courants chauds, m est le nombre de courants froids, u est le nom- bre d’utilites, s est le nombre maximal de sous-reseaux &pares les uns des autres, et b est le nombre maximal de cycles indepen- dants les uns des autres. Chaque sous-reseau &pare des autres cor- respond a une possibilite de separation, 260 ; (“C) n Quanciri de chaleur x 10-5 (J/S) Fig. 11. Dktermination de la surface d’khange de chaleur pour le probleme 4SPl [4] (AT, = 5). compte tenu des don&es du probleme et du choix de AT,,,, qui a ete exploitee. Une telle possibilite, que nous appelons une co?ncidence, apparait lorsque sont reunies les conditions, purement thermo- dynamiques, qui permettent d’effectuer les uns par les autres, et avec un &cart de tempe- rature > a AT,, d’une part les refroidis- sements complets de certains des courants chauds (y compris les utilites chaudes), et d’autre part les rechauffements complets de certains des courants froids (y compris les utilitks froides). On voit que pour diminuer le nombre d’echangeurs, il faut: reduire si possible le nombre des utilitks; eviter la formation de cycles; profiter autant que possible des coin- cidences qui permettent de former des sous- reseaux &par&. 11 faut noter cependant que le minimum du nombre d’echangeurs ne correspond pas nC- cessairement au minimum des investisse- ments. Compte tenu de la difficult6 de mettre en evidence les coincidences et d’en profiter, s est generalement egal a 1. En ce cas: N=n+m+u+b-l>n+m+u-1 La valeur n + m + u - 1 peut Gtre consi- de&e comme l’optimum desirable pour N. On remarquera que tous les termes de la som- me n + m + u - 1 sont laisses inchangb lorsqu’on retranche un couplage doublement incomplet (aussi bien pour les courants chauds que pour les courants froids). Si l’on ne reussit pas a rendre s > 1, cette valeur op- timum de N ne sera atteinte que si l’on reussit h kiter toute formation de cycles, ou encore si l’on reussit 1 eviter tout couplage double- ment incomplet. Dans l’exemple 4SPl [4], avec AT, = 10 K, il vient: n=2m=2u=2 L’optimum desirable vaut 5. Si l’on consider-e la division du r-beau selon le pincement, en attibuant l’indice 1 a ce qui est au-dessus du pincement et l’indice 2 a ce qui est au-dessous, il vient: n, = Om, = lui = 1 n, = 2m2 = 2u2 = 1 L’optimum desirable vaut 1 au-dessus du pincement, 4 au-dessous, au total on retrouve
  • 126 5. En ce cas, la division selon le pincement ne semble pas Gtre desavantageuse du point de vue du nombre des echangeurs. Dans le cas general, la division selon le pincement conduit & une augmentation de I’optimum desirable pour N egale a p - 1 oti p designe le nombre de courants (chauds ou froids) dont la varia- tion de temperature est couplee par le pin- cement. 3.3. Rkcupkration d’e’nergie L’evaluation de la quantitd maximale de chaleur &up&able pour AT, donne a et6 faite par plusieurs chercheurs, Umeda et al. [7] ont utilise le diagramme T,Q, Linhoff et Flower [ 11 ont developpd l’algorithme de ta- ble, Cerda et Westerberg [8] ont formule le probleme comme celui du transport d’dnergie. Ces chercheurs ont mis en evidence l’impor- tance du phenomene de pincement. Une ana- lyse interessante de ce phenomene exploite le concept d’exergie [ 91. Nous avons demontre une expression analytique qui donne la rC- cuperation d’energie en fonction de AT,,,. Designons par Qhl la plus grande valeur qui soit de la forme {q,(tFJ + AT,) - qF(tFj)} avec 1 < j < M, et par QN la plus grande valeur qui soit de la forme {qc(t,‘) - qc(tCi - AT,)} avec 1 < i < N. Considerons le cas oh, pour un AT, don&: Qz>Qc-QF On a, d’apres (2) Qa = Qc - Qz et nous avons remarque graphiquement que: Qz=M=dQ,,Q,) Considerons maintenant le cas ou Qz < Qc -QF. On a d’apres (1) QR = QP = Qc - (Qc - Qp) et on remarque graphiquement que: Qc-QF= M=(Q,,Q,) On deduit done que dans tous les cas: QR = Qc - Max(Q,, QN) = Qc - Max[Max{qc(tFi + AT,) - q&F’)), Max k&c’) - q&c’ - AT,)) 1 j = 1,M; i= l,N d’ou l’on deduit, en tenant compte de ce que les variations de qc et qr sont lineaires entre deux t,’ ou deux tFi condcutifs: QR = Qc - Mm {qc(tc) - qF(tF)) avec tc - tF = AT, Ces relations sont utilisees pour tracer la courbe qui represente la variation de la recu- peration d’energie en fonction de AT,. A titre d’exemple, la Fig. 12 represente la variation de l’dnergie &up&able en fonction de AT, dans le cas du probleme 2OSPl [3]. On remarque qu’il s’agit d’un probleme de seuil. De mGme, la Fig. 13 represente la varia- tion de Qn en fonction de AT, dans le cas 31.47 2,933 2.72 2,51 2.29 c’ 22,22 44.44 66,66 88,88 11’ 11 ATm (‘Cl Fig. 12. Variation de la quantitk de chaleur r&up&he en fonction de AT,,, pour le probEme 2OSPl [ 31. Quantith de chaleur rPcupCr&e (J/s) x !O-’ ‘s6’ 8 4.46. I\ 4.32 4.18 4.04 3.89 _ 0 Fig. 13. Variation de la quantitd de chaleur r&up&%e en fonction de AT, pour le probleme 4SPl [ 4 1.
  • 127 du probleme 4SPl [4]. On remarque qu’il s’agit d’un probleme de pincement. 11 est possible d’utiliser ces relations pour localiser le point de pincement qui correspond au couple de temperatures Tc, TF tel que: T,-TF= AT,,, qc(Tc) - QF(TF) = MM&,, QN) Pour le localiser, on distingue deux cas. (a) QM 2 QN En ce cas, le pincement correspond au couple de temperatures ( Tc, TF) tel: T, = t/ + AT,, TF = t,j oti j est l’indice qui permet d’avoir le maxi- mum pour qc( t,’ + AT,) - qF( tFj)} (b) QN > QM En ce cas, le pincement correspond au couple de temperatures (T,, TF) tel: Tc = tCi, TF = tci - AT, ou i est l’indice qui permet d’avoir le maxi- mum pour {q,( tci) - qF( tci - AT,)}. Ainsi pour l’exemple 4SPl [2] avec AT, = 10, on a Tc = 248,9 “C! et TF = 238,9 “C!. 4. ALGORITHME DE SYNTHfiSE DES RtiSEAUX D’tiCHANGEURS DE CHALEUR L’organigramme de l’algorithme est pre- sent6 sur la Fig. 14. Fig. 14. Organigramme de l’algorithme. (1) On fixe une difference de temperature minimale AT,. (2) On localise les temperatures du pince- ment comme cela a et6 explique ci-dessus.
  • 128 (3) On determine tout d’abord les courants qui sont situ& entierement dans la zone superieure du point de pincement ou entiere- ment dans la zone inferieure du point de pin- cement. Les courants dont l’intervalle des temperatures coupe le pincement sont divises en deux parties, l’une dans la par-tie supe- rieure et l’autre dans la partie inferieure. Nous allons expliquer en detail la maniere de traiter la zone superieure du point de pince- ment, la zone inferieure est Qtudiee de ma- niere symetrique. Dans la zone superieure, les courants chauds doivent Gtre refroidis par les courants froids, ce qui veut dire que la recupe- ration est optimale si et seulement si on n’utilise pas d’utilite froide. (4) On classe les courants chauds selon leurs temperatures finales, dans un ordre croissant, tandis que les courants froids sont classes selon leurs temperatures initiales dans le m6me ordre croissant. (5) On consider-e d’abord le premier cou- rant chaud et le premier courant froid et on pose : El est la temperature d’entree du courant chaud considere; Z$, est la temperature de sortie du courant chaud considere; qc est la quantite de chaleur portee par le courant chaud considerei Wc est le debit calorifique du courant chaud considere; TF, est la tempe- rature d’entree du courant froid considere; Z$, est la temperature de sortie du courant froid consid&; qF est la quantite de chaleur necessaire pour chauffer le courant froid considkre; WF est le debit calorifique du courant froid considdre. Ainsi, on est assure qu’est satisfaite la condition fondamentale: qui permet d’envisager le couplage total ou par-tie1 de ces deux courants. Pour le couplage, les variables disponibles sont: Tg est la temperature a laquelle on arrgtera le rechauffement du courant froid, TT: est la temperature a laquelle on com- mence a refroidir le courant chaud, Wg est le debit du courant froid pris lors du couplage WF > Wg > 0, et WE est le debit du courant chaud pris lors du couplage Wc > WY: > 0. Pour decider du couplage qui sera retenu, on calcule les valeurs 0,S et (3: qui remplace- raient ‘I& et TE, (si le couplage Ctait retenu), ceci pour s’assurer qu’est satisfaite la condi- tion fondamentale 0: - 0z > AT, qui per-met la poursuite du processus. Pour ce calcul de 0: et @, on a besoin des don&es suivantes concernant le 2eme courant chaud et le 28me courant froid: T& est la temperature de sortie du deuxieme courant chaud, et T$ est la temperature d’entree du deuxieme courant froid. Admettons que le couplage envisage soit retenu. Dans le cas oti il per-met de refroidir entie- rement le ler courant chaud, celui-ci sera elimine. On doit prendre 0: = T&. Dans le cas oti ce courant chaud est divid, il ne sera pas &nine, sa temperature finale sera inchangee, il ne pourra pas perdre la l&e place du classement, on doit prendre alors eg = PC, Dans le cas oh il ne permet pas de refroidir entierement le ler courant chaud, et oti il ne divise pas ce courant, celui-ci ne sera pas elimine, sa temperature finale deviendra T& il pourra perdre la l&-e place du classe- ment, on doit prendre alors 0: = Min(T*c, pcZ) Pour des raisons analogues, on a les relations suivan tes : eg = TE2 (courant froid entierement chauffe par le courant chaud) e”, = TFl (courant froid divise) 0% = Min(FF, T$) (dans tous les autres cas) Plusieurs cas doivent Ctre envisages pour preciser en detail la procedure. Cas 1 (voir Diagramme 1) qF> qC On calcule ce que serait T& si le courant chaud etait entierement refroidi par le cou- rant froid et sans division de celui-ci: cas 1.1 TE,, - r*, 2 AT,,, Le couplage envisage pourrait se faire, s’il etait retenu T& serait remplace par
  • TE - T*F Fl T=Cl Diagramme 1. Illustration du cas 1 de l’algorithme. 0: = I!&, T$ serait remplace par 0: = Min( T*r, Z’F,). Cas 1.1.1 e$--e;a AT,,, On retient le couplage envisage et on re- vient a l’etape 4. Cas 1.1.2 6$--O;< AT, On renonce au couplage envisage. On joue sur les variables disponibles (r*,, TE, IV:, Wg) pour retrouver un couplage permettant de satisfaire: t9s,-t$> AT, Cela conduit a distinguer deux cas. Cas 1.1.2.1 (voir Diagramme 2) T& - T& > AT, 3 TSFl Diagramme 2. Illustration du cas 1.1.2.1 de l’algo- rithme. On divise le courant froid, For sera rem- place par 88 = Ts,, et E, sera remplace par 0; = El, le courant chaud sera Blink6 du tableau et le courant froid change de debit calorifique. Cette division du courant froid permet toujours d’avoir 0: - @ > AT,, 129 puisqu’on a: es: > rS&, e; = T& et T& - T;, > AT, done es, - 0; > AT,. Cas 1.1.2.2 T&-Ts,, AT,, on impose r*, = T$r - AT, et on divise le courant froid (mbme explication que le cas 1.1.2.1). Cas 1.2 (voir Diagramme 3) T~---T*FAT, On renonce h refroidir entierement le cou- rant chaud, on calcule r*, et PC de telle sorte que la quantite de chaleur q* Cchangee soit maximale, compte tenu de la contrainte AT,: W,(T; - Ts,,) = W,(T*, - T;,) = q* T*,-PT*,= AT, T T*C Diagramme 3. Illustration du cas 1.2 de l’algorithme. Si ce couplage Ctait retenu, PC1 serait rem- place par 8 & = Min(T& To,), TE, serait remplace par fIF - E - Min(T;, T:,). Cas 1.2.1 On retient le couplage envisage et on re- vient a l’etape 4, sauf lorsqu’on est dans l’un des deux cas suivants. (a) PC < Pcz et PF < T&, alors on renonce au couplage et on traite le 28me courant froid. (b) r*, - PC1 < X (X valeur imposee). On renonce au couplage et on traite le 2hme courant froid. La condition Po - T& < X per-met d’eli- miner dans la major&! des cas la formation des boucles et d’exiger qutune quantit6 de
  • 130 chaleur minimale soit khangee entre les deux courants. Cas 1.2.2 0S,-6; AT, Cas 2 (voir Diagramme 4) qF AT, On retient le couplage envisage et on re- vient a l’dtape 4. Cas 2.1.2 e”,--e;< AT, On renonce au couplage envisage. On joue sur les variables disponibles pour trouver un couplage permettant de satisfaire: es,-e+ AT, Cas 2.2 T::- El < AT, On renonce a rechauffer entierement le courant froid. On calcule T& TT: comme dans le cas 1.2. Si le couplage etait retenu, T& serait rem- place par 0: = Min(T*,, T&). T& serait rem- place par f3t = Min(T$, TF,). Cas 2.2.1 eS,-e;>AT, On retient le couplage et on revient a l’e- tape 4, sauf lorsqu’on est dans l’un des deux cas particuliers suivants (a) r*, < T&et T$ < T&. (b) r*, - per < X (mzme explication qu’au cas 1.2.1). Cas 2.2.2 eS,-e: AT, 5. EXEMPLE D’APPLICATION Nous presentons en detail l’application de la procedure sur l’exemple classique 4SPl. (1) On fixe AT, = 10 “C. (2) On localise le point de pincement com- me nous l’avons deja indique, on obtient: T, = 248,9 “C et TF = 238,9 “C (3) On determine les courants chauds et les courants froids existants dans les deux zones definies par le point de pincement. Dans la zone superieure, on a seulement le courant froid no2 qui sera rechauffe par l’utilitk chaude (voir Diagramme 5). Diagramme 5. Illustration du traitement de la zone superieure au pincement.
  • 131 Dans la zone inferieure, on a deux courants chauds et deux courants froids. (4) On effectue le classement des courants qui fournit la hierarchic suivante: Courants chauds Courants froids numero 1 numero 2 numero 2 numero 1 On considere le courant chaud 1 et le cou- rant froid 2. On a alors (voir Diagramme 6): P,, = 248,9 “c T:, = 115,6 “C! 7& = 137,8 “c r’,, = 238,9 ‘=C! WC = 1058 J h-i “C WF = 6087 J h-i “C q, = 1,17 X lo6 J h-i q, = 0,75 X IO6 J h-’ On est dans la zone inferieure du pince- ment et dans le cas oh qc > qF (qui se traite d’ailleurs comme le cas qF > qc dans la zone superieure du pincement). T; = T$,, - $ = 178,l “C C F2 T Diagramme 6. Illustration de la premiere &ape du traitement de la zone infkieure au pincement. On vdrifie si PC - e1 > AT,, ce qui est le cas. @ (au lieu de 0:) = Max(TE, T!$) (au lieu de Min) =Tz= 178,l “C! (T$ = 160 “C) 0; (au lieu de SE) = r”,, = 160 “C On vdrifie si 19: - 13; > AT, (ce qui est le cas), done on retient ce couplage, le courant froid sera elimine du tableau et on revient a l’etape 4 qui donne le nouveau classement ci-apres : Courants chauds numero 1 numero 2 Courant froid numero 1 On a alors (voir Diagramme 7): TE,, = 178,l “C! T$, = 160 “C T& = 137 8 “C 3 TF1 = 60 “C WC = 10548 J h-’ “C WF = 76215 J h-‘“C qc = 0,42508 X lo6 J h-’ qF = 0,7621 J h-l On est dans le cas ou qF > 4c pF=?$l- g = 122,6 “C! 1 II 178.1 F1 Diagramme 7. Illustration de la deuxigme &ape du traitement de la zone infkieure au pincement. On verifie si T& - G > AT, (ce qui est le cas) eE, = T& = 160 “C 0: = Min 122,6 “C On verifie si 0: - @ > AT, (ce qui est le cas). On retient ce couplage, le courant chaud sera &rninC du tableau et le courant froid change de temperature de sortie. On revient alors a l’etape 4 qui conduit au classement: Courant chaud Courant froid numero 2 numero 1 11 vient alors (voir Diagramme 8) T& = 160 “C r’,, = 122,6 “C Tscl= 93,9 “c! T;, = 60 “C W, = 8792 J h-i “C WF = 7621 J h-l “C Qc = 0,586 X lo6 J h-’ qF = 0,477O X lo6 J h-’
  • 132 Diagramme 8. Illustration de la troisihme htape du traitement de la zone infhrieure au pincement. On est dans le cas oh qc > qF. T;= T$ -g = 105,7 “c WC On verifie si (Tg - el) > AT,,, (ce qui est le cas). 11 ne reste qu’une partie du courant chaud 2 qui sera refroidie par l’utilite froide. Ainsi, le reseau final est present4 sur le Diagramme 9. Nous avons trait4 de nombreux exemples issus de la litterature afin de valider la proce- dure que nous proposons. A park de la syn- these des reseaux, nous avons calcule le cotit avec les don&es analogues a celles des autres auteurs. Les resultats consign& dans le Ta- bleau 1 pour huit exemples classiques mon- trent un accord tres satisfaisant avec les di- verses methodes mises en oauvre. Diagramme 9. RBseau final. TABLEAU 1 Comparaison des cotits ($/an) Problgme Ce travail Grossman et Sargent [ 1 ] Nishida et al. [ 3 ] Muraki et Hayakawa [2] 4SPl 11379 5SPl 38783 6SPl 35021 7SP3 1,03849 x lo6 8SPl 31189 lOSP1 44147 2OSPl 23887 14SPl 22932 13590 13590 13590 38288 38713 38713 35010 35010 35010 1,199158 x lo6 - 1,1812 x lo6 41228 - 38303 44160 - 43803 23482 - - 24423 - -
  • 133 6. CONCLUSION Nous nous sommes interesds aux condi- tions qui, dans la synthese d’un rbeau d’e- changeurs, provoquent soit la diminution de l’aire totale d’echange, soit la diminution du nombre d’echangeurs, soit l’augmentation de l’energie &cup&e. En particulier, nous avons obtenu une expression analytique de la recuperation optimale d’energie sous la contrainte imposee par un Qcart de tempbra- tures minimum de part et d’autre de la surface d’echange. Cela nous a permis de mettre au point un algorithme de synthese qui, malgre sa sim- plicite, s’est revele Gtre aussi efficace que les algorithmes necessitant des calculs numdri- ques beaucoup plus importants. Cet algo- rithme nous parait done particulierement adapt6 aux cas oti le nombre de courants a rechauffer ou a refroidir est Clew+. 7. ANNEXE Selon l’usage en tours dans les revues specialides, nous avons design6 des problemes classiques de reseaux d’echangeurs par des sigles de la forme NSPM oti S vaut pour “stream” (courant), P vaut pour “problem” (probleme), N est le nombre de courants, chauds ou froids, concernks, et M est un numero qui permet de distinguer les divers problemes qui ont un mdme nombre de courants. Precisons que habituellement les donnees qui definissent un probleme rencontre sous un tel sigle comprennent: temperatures d’entree et de sortie des courants; debits calorifiques des courants; temperatures d’en- tree et de sortie des utilitks; coefficient de transfer-t thermique pour chaque couplage possible; et expressions permettant d’evaluer le cofit de chaque solution envisagee. Le lecteur interessd par les don&es relati- ves aux problemes que nous considerons, les trouvera dans les refs. 3 et 4. BIBLIOGRAPHIE B. Linhoff et J. A. Flower, Synthesis of heat exchanger networks, AZChE J., 24 (4) (1978) 633. B. Linhoff et E. Hindmarsh, The pinch method for heat exchanger networks, Chem. Eng. Science, 38 (5) (1982) 745. I. E. Grossmann et R. W. H. Sargent, Optimum design of heat exchanger networks, Comput. Chem. Eng., 2 (1978) 1. M. Muraki et T. Hayakawa, Practical synthesis method for heat exchanger network, J. Chem. Eng. Jpn., 15 (2) (1982) 137. N. Nishida, S. Kobayashi et A. Ichikawa, Optimal synthesis of heat exchange systems, Chem. Eng. Sci., 26 (1971) 1841. C. Berge, The’orie des graphes et ses applications, Ed. Dunod, Paris, 1963. T. Umeda, J. Itoh et K. Shiroko, Chem. Eng. Prog., 75 (1978) 70. J. Cerda et A. W. Westerberg, Synthesizing heat exchanger network having restricted stream/ stream matches using transportation problem formulation, Chem. Eng. Sci., 38 (1983) 1723. J. P. Gourlia, Analyse exergetique de la distilla- tion, in P. Le Goff (ed.), Energe’tique Zndustrielle, Vol. 3, Tech. Dot., Paris, 1982.
Fly UP