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Ch 8 : additions soustractions – synthèse JA

Synthèse : Additions et soustractions

Sujet 1 : Bordeaux- 1998

Voici l’énoncé d’un problème posé à des élèves de CE2 :Luc a 213 euros dans son porte-monnaie. Il a 68 euros de plus que son ami Paul. Combiend’argent à Paul ?

Et trois productions d’élèves :

André : 213 + 68 = 281Paul a 281 euros dans son porte monnaie

Camille : ? + 68 = 213200 + 68 = 268150 + 68 = 218145 + 68 = 213

Paul a 213 euros dans son porte-monnaie

Eric : 213 - 68

255Paul a 255 euros dans son porte-monnaie

a) résoudre le problèmeb) 1. Parmi les trois élèves, André, Camille et Eric, quel est celui (ou ceux) qui semble(nt) avoir unecompréhension correcte de l’énoncé ? Pourquoi ? 2. Pour le ou les autres indiquer une cause vraisemblable permettant d’interpréter l’erreur decalcul d’Eric.

c) 1. Proposer deux façons différentes et vraisemblables d’interpréter l’erreur de calcul d’Eric 2. proposer à Eric un nouveau calcul qui permettra au maître d’éliminer au moins une des deuxinterprétations précédentes.

Sujet 2 : Besançon – 1999

Les nombres pour prévoir et vérifier.1. A quel cycle et au cours de quelle année de ce cycle les trois situations figurant en annexe 2sont-elles proposées ? Justifier cette réponse.

2. Les trois situations proposées ne sont pas dans l’ordre d’apparition dans le manuel dont ellessont extraites. Elles correspondent aux étapes 16, 32, 85 d’un ouvrage qui en comporte 95.Rétablir cet ordre et justifier.

3. Pour chaque étape, donner toutes les solutions possibles permettant d’atteindre le nombrecible.

4. Quels sont les objectifs visés par la demande suivante : « écris toutes les solutions trouvéesdans la classe » ?

5. Citer deux variables didactiques relatives à la mise en œuvre de ces trois situations et justifierla réponse.

6. on considère la situation A de l’annexe 2. Citer deux savoirs mathématiques du cycle concerné,nécessaires à la résolution du problème.

7. Rédiger une situation d’évaluation à proposer aux élèves, à la suite de l’étape A, en précisant lesobjectifs évalués.

8. concevoir une situation construite sur le modèle « du compte est bon » pour un autre cycle.

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ANNEXE : tiré du « nouvel objectif calcul, Editions Hatier)

Activité préparatoire : jeu « le compte est bon »

Activité préparatoire : jeu « le compte est bon »

Activité préparatoire : jeu « le compte est bon »

80

50 60 20 10 30 40

Règle du jeu :Un jeu de cartes nombres. Le maître choisit sixcartes et un nombre cible. Le gagnant est celuiqui atteint ou approche le plus près possible lenombre cible. On peut additionner ouretrancher les nombres écris sur trois cartes.

Dessine une croix sur les trois cartes que tu choisispour atteindre le nombre cible.Complète l’égalité obtenue : 80 = ….Ecris toutes les solutions trouvées dans la classe

Règle du jeu :Un jeu de cartes nombres. Le maître choisit sixcartes et un nombre cible. Le gagnant est celuiqui atteint ou approche le plus près possible lenombre cible. On peut additionner, soustraireou multiplier les nombres écris sur deux cartes.

36

6 40 4 9 6 30

Dessine une croix sous les deux cartes que tu choisispour atteindre le nombre cible.Complète l’égalité obtenue : 36 = ….Ecris toutes les solutions trouvées dans la classe

Règle du jeu :Un jeu de cartes nombres. Le maître choisit sixcartes et un nombre cible. Le gagnant est celuiqui atteint ou approche le plus près possible lenombre cible en additionnant les nombres écrissur trois cartes.

12 13 5 21 4 18

Dessine une croix sur les trois cartes que tu choisispour atteindre le nombre cible.Complète l’égalité obtenue : 30 = ….Ecris toutes les solutions trouvées dans la classe

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Correction: Additions et soustractions

Sujet 1 : Bordeaux- 1998

1) Si Luc a 68 euros de plus que son ami Paul alors Paul a 68 euros de moins que Luc. Donc Paula 15 euros (213 – 68= 145)

2. a) Camille et Eric semblent avoir une bonne compréhension du problème Camille cherche la somme qui ajoutée à 68 (ce que Luc a en plus de Paul) va donner 213 (lasomme que possède Luc).Ce qu’elle représente par cette addition à trous : ? + 68 = 213Le point d’interrogation représente le nombre cherché.

Eric semble interpréter correctement le problème en posant la soustraction : 213 – 68 dont lerésultat correspond directement à la somme que possède Paul.

b) L’origine de l’erreur de compréhension d’André est sûrement due à l’interprétation qu’il fait dumot « de plus » qui l’induit immédiatement vers l’addition des deux nombres proposés dansl’énoncé.

3. a) voici les deux interprétations possibles de l’erreur de calcul d’Eric.

1 ère interprétation : à chaque rang, il soustrait toujours un chiffre plus petit à un chiffre plusgrand. Ainsi au rang des unités, il fera « 3 pour aller à 8 » au lieu de « 8 pour aller à 3 ». de mêmepour les chiffres des dizaines. Finalement il aura calculer 268 – 13.

Il s’agit de l’erreur la plus courante, au cours élémentaire, dans la technique de la soustraction.

2 ème interprétation : il oublie de considérer les retenues de la soustraction quand il change de rangdans les chiffres.

b) afin que le maître puisse avoir une idée exacte de l’erreur d’Eric, il doit proposer unesoustraction pour laquelle le résultat n’est pas le même avec les deux interprétations proposées ci-dessus.Si on lui propose 213 – 47, l’erreur faite dans le cas de la première interprétation donne 234 etcelle faite dans le cas de la deuxième interprétation donne 76.

Sujet 2 : Besançon – 1999

1. Les situations figurant en annexe peuvent être proposées au cycle 2 et plus précisément dans ladernière année de ce cycle (CE1) : les nombres sont tous inférieurs à 100 et les trois opérations àutiliser (addition, soustraction et multiplication) ne sont toutes abordées qu’au CE1.

2. La première activité est la C car elle ne mobilise qu’une opération, l’addition de trois nombres.D’autre part les nombres proposés sont tous inférieurs à 20.La deuxième activité est la A car elle s’appuie sur des nombres de dizaines associés à l’addition etla soustraction.La dernière activité est la B qui met en jeu les trois opérations et une variété de nombre plusimportante.

3. L’ensemble des solutions est :

On considérera comme identiques les écritures qui mettent en jeu la commutativité del’addition. Exemple : 60+50-30 est identique à 60 -30+50.

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Ch 8 : additions soustractions – synthèse JA

Pour l’activité A Pour l’activité B Pour l’activité C80 = 50+20+10

40+30+1060+50-3060+40-2060+30-1050+40-10

36 = 30+640-46 x 69 x 4

30 = 4+5+215+12+13

4. L’objectif est ici que les élèves perçoivent qu’il n’existe pas une seule solution et que plusieursdémarches existent.De plus, pour trouver toutes les solutions, les élèves ne peuvent pas se limiter à une seuleopération et sont obligés d’utiliser toutes les opérations disponibles. Par ailleurs, ils ne peuventpas négliger certains nombres et sont amenés ainsi à construire d’autres relations entre cesnombres.

5. Dans chaque situation il est possible de modifier :- le nombre de cartes proposées aux enfants- le nombre de cartes que doivent utiliser les élèves pour réaliser leur calcul- les opérations disponibles

6. Pour la résolution de la situation A, il est nécessaire d’avoir vu l’addition et la soustraction et deconnaître certaines de leurs propriétés (associativité, commutativité)La connaissance des diz60 = ..…+…….+ …….aines peut également être utile.

7. Proposition d’évaluation à la suite de l’activité A :Objectif visé : calculs additifs et soustractifs sur les dizainesConsignes :

Calcule : 10 + 30 + 4080 – 40 + 20

Pour chaque ligne, complète l’égalité en trouvant les trois nombres parmi les suivants :

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 60 = ..…+…….+ …….60 = ..…-…….- …….60 = ..…-…….- …….On pourrait aussi reprendre un exercice du type le compte est bon, semblable à celui de l’activitéA.

8. pour la fin du cycle 3, on peut proposer sur le même modèle une situation où l’on introduiraitla possibilité d’utiliser la division et où l’on modifierait la nature des nombres (introduire desgrands nombres et des nombres décimaux)