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André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Systèmes d’équationset analyse de circuitsSystèmes d’équationset analyse de circuits

Dans cette présentation, nous verrons comment utiliser les matrices

pour faire l’analyse d’un circuit. Nous ferons d’abord une analyse

classique par les branches et nous verrons comment diminuer le

nombre d’équations en faisant une analyse par les mailles pour ensuite

présenter une façon programmée de traduire la situation par une

équation matricielle.

Introduction

Mais tout d’abord, rappelons les notions, définitions et lois dont nous

nous servirons.

Circuit électrique

Définitions

Un circuit électrique est un ensemble

d’éléments (sources de tension, sources de

courant, résistances, etc.) reliés par des

conducteurs (fils).

Branche d’un circuit

Une branche d’un circuit est une partie

d’un circuit constituée d’un ou de

plusieurs éléments montés en série.

Maille d’un circuit

Définitions et notations

Une maille d’un circuit est un trajet fermé et conducteur.

Nœud d’un circuit

Un nœud d’un circuit est un point ou un conducteur auquel sont reliées différentes branches du circuit.

Notations

La tension à la source en volts (V) est notée E.

La différence de potentiel aux bornes d’une résistance est notée V. Elle est mesurée en volts.

L’intensité du courant en ampères (A) est notée I, avec ou sans indice.

La résistance en ohms (Ω) est notée R, avec ou sans indice.

E

V1

V2 V3

R1 R2R3

Loi d’Ohm

Dans un circuit à courant continu, l’intensité du courant est directement proportionnelle à la tension appliquée et inversement proportionnelle à la résistance. Cette loi s’écrit :

I = V/R où I est l’intensité du courant en ampères (A), V, la tension appliquée en volts (V) et R, la résistance en ohm (Ω).

On exprime souvent la loi d’Ohm sous la forme :V = RI.

Potentiel et sens conventionnelL’effet de la source est une

augmentation de potentiel (lorsque

traversée par le courant du – au +) et

l’effet d’une résistance est une

diminution du potentiel (lorsque

traversée du + au –).

On utilise ici le sens conventionnel du courant, ce qui signifie que le

courant, dans le circuit, va de la borne positive de la source vers sa

borne négative (le sens réel va de la borne négative à la positive).

Au début des études sur le courant, on pensait que le courant était dû

au déplacement de particules positives alors qu’il est dû au

déplacement d’électrons de charge négative. On peut tout aussi bien

considérer le sens réel, cela a pour effet de changer le signe des deux

membres des équations dans l’analyse d’un circuit.

Sens conventionnel

Loi des tensions de KirchhoffDans toute maille d’un circuit, la somme algébrique des différences de potentiel (incluant celle à la source) est nulle.

En appliquant la loi des tensions à la première maille, on a :

E – V1 – V2 – V3 = 0 ou V1 + V2 + V3 = E

En l’appliquant à la deuxième maille, on a :

V2 – V4 = 0 ou –V2 + V4 = 0

En l’appliquant à la troisième maille, on a :

E – V1 – V4 – V3 = 0 ou V1 + V3 + V4 = E

La troisième équation est la somme des deux premières, elle est donc superflue. Ce n’est pas une nouvelle contrainte sur les variable

E

V1

V3

V2V2 V4V4E

V1

V3

SS

Loi des courants de KirchhoffLa somme algébrique des courants dans un nœud est nulle.

I1 – I2 – I3 = 0

I1 I3

I2I2

I3I1

En appliquant cette loi au premier nœud, on obtient :

–I1 + I2 + I3 = 0

En l’appliquant au deuxième nœud,

La deuxième équation est superflue.

Autre exemple :

I1 + I2 – I3 = 0

I1

I2

I3

SS

Analyse de circuits

L’analyse d’un circuit vise à trouver les éléments inconnus de celui-ci

qui peuvent être des courants ou des tensions. Nous ne considérerons ici

que les circuits dont les inconnues sont les courants.

Analyse par les branches

L’analyse par les branches consiste à attribuer un courant à chacune

des branches et à établir les équations de nœuds et de mailles en

utilisant les lois de Kirchhoff.

On transforme alors les équations de mailles en utilisant la loi d’Ohm et

on solutionne le système d’équations obtenu.

Analyse par les branchesFaire l’analyse par les branches du circuit illustré.

Équation du nœud

Il y a deux nœuds, mais ils donnent la même équation, soit :

15 – V1 + V2 – 5 = 0 ou V1 – V2 = 10.I1 + I2 – I3 = 0

Courants de branches

Attribuons un courant à chacune des branches.

Équation de la maille 1

Équation de la maille 2

Puisque V1 = 4I1 et V2 = 5I2, on a :4I1 – 5I2 = 10

5 – V2 – V3 + 18 = 0 ou V2 + V3 = 23.

Puisque V2 = 5I2 et V3 = 2I3, on a :

5I2 + 2I3 = 23

V1

V2

I1 I2

I3V2

V3

+ – + –

+

–

SS

SolutionNous devons résoudre le système d’équations :

La matrice augmentée est :

On trouve donc :

I1 = 4,87 A,

I2 = 1,89 A,

I3 = 6,76 A.

I1 + I2 – I3 = 0

4I1 – 5I2 = 10

5I2 + 2I3 = 231

4

0

1

–5

5

–1

0

2

0

10

23

1

4

0

1

–5

5

–1

0

2

0

10

23

≈L1

L2 – 4 L1

L3

1

0

0

1

–9

5

–1

4

2

0

10

23

S

≈9L1 + L2

L2

9L3 + 5L2

9

0

0

0

–9

0

–5

4

38

10

10

257SS

≈38L1 + 5L3

19L2 – 2L3

L3

342

0

0

0

–171

0

0

0

38

1665

–324

257

S

Appliquons la méthode de Gauss-Jordan.

≈L1 /342

L2 /(–171)

L3 /38

1

0

0

0

1

0

0

0

1

4,87

1,89

6,76

Interprétation des résultats

La solution est complète lorsqu’on a indiqué sur le circuit le courant dans chacune des branches. On a obtenu :

Puisque toutes les valeurs sont positives, cela signifie que le sens que l’on avait supposé pour les courants est le bon.

I1 = 4,87 A, I2 = 1,89 A et I3 = 6,76 A

4,87 A 6,76 A

1,89 A

Remarque

Il ne sert à rien de chercher à deviner le sens du courant avant d’écrire les équations. La solution du système d’équations nous l’indique. Si dans la solution un des courants est négatif, cela signifie que son sens est contraire à celui utilisé pour établir les équations. Il suffit d’être cohérent en établissant les équations.

ExerciceFaire l’analyse par les branches du circuit illustré en considérant les sens indiqués pour les courants.

Équation de N1 I1 + I2 – I3 = 0

Courants de branches

Équation de M1

Équation de M2

3I1 – 3I2 = 18

3I2 + 4I3 = 4

I1

I2

I3

Matrice échelonnée réduite

Circuit résolu

4,18 A 2,36 A

1,82 A

+ – + –

+

–

Cliquer pour la solution.

1

0

0

0

1

0

0

0

1

4,18

–1,82

2,36

Analyse par les maillesL’idée de l’analyse par les mailles est

d’isoler dans l’équation de nœud le courant

de la branche commune à deux mailles et

de substituer l’expression obtenue dans les

équations de ces mailles. Considérons le

circuit illustré ci-contre.

I1 + I2 – I3 = 0

I1 I2

I3

En isolant le courant de la branche commune, on obtient :

I2 = I3 – I1

Substituons dans les équations de mailles.

Dans 4I1 – 5I2 = 10, on obtient : 4I1 – 5(I3 – I1 ) = 10

Dans 5I2 + 2I3 = 23 , on obtient : 5(I3 – I1 ) + 2I3 = 23

+ – + –

+

–

L’équation de nœud est :

Équations des maillesPar cette substitution, on obtient un système de deux équations à deux inconnues, soit :

En appliquant directement la loi d’Ohm, on trouve alors :

5(I3 – I1 ) + 2I3 = 23, dans la deuxième maille.

On peut sauter une étape de l’analyse par les branches de façon à obtenir directement ces deux équations.

Pour ce faire, considérons seulement I1 et I3 appelés courants de maille, tous deux de sens horaire.

4I1 – 5(I3 – I1 ) = 10

5(I3 – I1 ) + 2I3 = 23

I3I1

Établissons les équations de mailles en considérant que le courant dans la branche commune est soit I1 – I3 soit I3 – I1 selon la maille considérée.

4I1 + 5(I1 – I3 ) = 10, dans la première maille.

Solution du systèmeRegroupons les inconnues dans les équations du système :

On obtient :

Appliquons la méthode de Gauss-Jordan.

4I1 + 5(I1 – I3 ) = 10

5(I3 – I1 ) + 2I3 = 23

I3I1

Cela donne : I1 = 4,87 et I3 = 6,76.

9I1– 5I3 = 10

–5I1 + 7I3 = 23

9

–5

–5

7

10

23≈ L1

9L2 +5L1

9

0

–5

38

10

257SS

≈ 38L1 + 5L2

L2

342

0

0

38

1665

257≈ L1 /342

L2 /38

1

0

0

1

4,87

6,76

InterprétationOn a obtenu :

I1 = 4,87 A et I3 = 6,76 A. 4,87 A 6,76 A

1,89 AInterprétons les résultats.

Les courants de maille sont les courants de branches sauf dans la maille commune.

Dans la maille commune, le courant est I1 – I3 ou I3 – I1. Il faut déterminer laquelle de ces expressions est positive. Dans le cas présent, on a I3 > I1, par conséquent, le sens du courant dans la branche commune est le même que le courant de maille I3 et sa valeur est :

I3 – I1 = 6,76 – 4,87 = 1,89 A.

Le courant dans la maille commune doit équilibrer l’équation de nœud pour que la loi des courants soit satisfaite.

ExerciceFaire l’analyse par les mailles du circuit illustré.

Équations

3I1 + 3(I1 – I2) = 18

3(I2 – I1) + 4I2 = 4

Matrice échelonnée réduite

Circuit résolu

4,18 A 2,36 A

1,82 A

Matrice augmentée

Cliquer pour la solution.

6

–3

–3

7

18

4

1

0

0

1

4,18

2,36

ExerciceFaire l’analyse par les mailles du circuit illustré.

Équations

2I1 + 2(I1 – I2) = 14

2(I2 – I1) + 3I2 + 2(I2 – I3) = 0

Échelonnéeréduite

Circuit résolu

Matrice augmentée

14V

2Ω 3Ω 1Ω

2Ω 2Ω

14V

2(I3 – I2) + 1I3 = 14

14V

2Ω2Ω

14V

5,25A 3,5A 7A

3,5A1,75A

2Ω 3Ω 1Ω

Cliquer pour la solution.

1

0

0

0

1

0

0

0

1

5,25

3,5

7

4

–2

0

–2

7

–2

0

–2

3

14

0

14

GénéralisationConstruire la matrice des mailles du circuit illustré.

Équations

aI1 + b(I1 – I2) = E1

b(I2 – I1) + cI2 + d(I2 – I3) = E2

Remarquesd(I3 – I2) + eI3 = E3

En regroupant :

(a + b)I1 – bI2 = E1

–bI1 + (b + c + d)I2 – eI3 = E2

–dI2 + (d + e) I3 = E3

L’équation matricielle est :

• Chaque maille est représentée par une ligne.

• L’élément sur la diagonale est la somme des résistances de la maille.

• Les éléments hors diagonale sont les résistances des branches communes affectées d’un signe négatif.

E1 V

a Ω c Ω e Ω

b Ω d Ω

E3 VE2 V

12 3

a + b

–b

0

–b

b + c + d

–d

0

–d

d + e

•I1

I2

I3

E1

E2

E3

=

SS

ExerciceDans le circuit illustré, déterminer les sources de tension et leur sens pour que les courants de maille soient :

L’équation matricielle est :

3Ω

1 2 3

2Ω 4Ω

1Ω 3ΩI1 = 5 A, I2 = 1 A et I3 = 4 A.

Les courants sont connus, en substituant et en effectuant le produit, on obtient :

Le circuit résolu est :

3Ω

1 2 3

2Ω 4Ω

1Ω 3Ω

14V 10V 25V

Cliquer pour la solution.

3

–1

0

–1

7

–3

0

–3

7

•I1

I2

I3

E1

E2

E3

=

3

–1

0

–1

7

–3

0

–3

7

•

5

1

4

14

–10

25

=

S

GénéralisationConstruire la matrice des mailles du circuit illustré.

Équations

a(I1 – I2) + c(I1 – I3) = E1

a(I2 – I1) + bI2 + d(I2 – I3) = E2

Remarquesc(I3 – I1) + d(I3 – I2) + eI3 = E3

En regroupant :

(a + c)I1 – aI2 – cI3 = E1

–aI1 + (a + b + d)I2 – dI3 = E2

–cI1 – dI2 + (c + d + e) I3 = E3

L’équation matricielle est :

• Chaque maille est repré-sentée par une ligne.

• L’élément sur la diagonale est la somme des résistances de la maille.

• Les éléments hors diagonale sont les résistances des branches communes affectées d’un signe négatif.

E1 Va Ω

c Ω

b Ω

d Ω

E3 V

E2 V

1

2

3e Ω

a + c

–a

–c

–a

a + b + d

–d

–c

–d

c + d + e

•I1

I2

I3

E1

E2

E3

=

SS

ExerciceDans le circuit illustré, déterminer les sources de tension et leur sens pour que les courants de maille soient

L’équation matricielle est :

3Ω

1

2

3

2Ω 4Ω

1Ω 3ΩI1 = 6 A, I2 = 2 A et I3 = 4 A.

Les courants sont connus, en substituant et en effectuant le produit, on obtient :

Le circuit résolu est :

3Ω

1

2

3

2Ω 4Ω

1Ω 3Ω

10V

10V

18V

Cliquer pour la solution.

SS

3

–2

–1

–2

9

–4

–1

–4

8

•I1

I2

I3

E1

E2

E3

=

3

–2

–1

–2

9

–4

–1

–4

8

•

6

2

4

10

–10

18

=

Procédure d’analyse par les mailles

1. Numéroter les mailles et attribuer un courant de sens horaire à

chacune des mailles du circuit.

2. Écrire la matrice des mailles.

Chaque ligne et chaque colonne est associée à une maille.

Chaque élément de la diagonale est la somme des résistances de la

maille correspondant à la ligne de cet élément.

Les éléments hors diagonale sont la somme, affectée d’un signe

négatif, des résistances communes à la maille représentée par la

ligne et à celle représentée par la colonne.

Procédure d’analyse par les mailles3. Écrire la matrice des tensions.

La constante de l’équation de la maille Mi est la somme algébrique des sources de tension traversée par le courant Ii . Les sources traversées de la borne négative à la borne positive sont affectées du signe positif et celles traversées de la borne positive à la borne négative sont affectées du signe négatif.

4. Résoudre le système d’équations linéaires résultant.

5. Interpréter les résultats selon le contexte (donner le circuit résolu).

Exercices additionnelsAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle pour les sciences de la nature, Section 2.4, p. 54 numéros 12 à 15.

Bibliographie

BOYLESTAD, Robert L,(1979), Analyse de circuits, introduction, Montréal, ERPI,

716 p.

JACKSON, Herbert W.(1987), Circuits électriques, courant continu, Traduction de

Introduction to Electric Circuits 6 édition, Montréal, Éditions Reynald Goulet, 424 p.

OUELLET, Carol (2000), Électricité et magnétisme, Québec, Éditions du Griffon

d’argile, 368 p.

RIDSDALE, R.E. (1980), Circuits électriques, Montréal, McGraw-Hill, 797 p.

ROSS, André (2003), Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, Applications en sciences

de la nature, Québec, Éditions du Griffon d ’argile, 445 p.

ROSS, André (1999), Mathématiques appliquées aux technologies du Génie

électrique 1, Québec, Éditions du Griffon d ’argile, 427 p.