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Systèmes d’équations et analyse de circuits. Montage préparé par :. André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon. Introduction. - PowerPoint PPT Presentation
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Montage préparé par :Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Systèmes d’équationset analyse de circuitsSystèmes d’équationset analyse de circuits
Dans cette présentation, nous verrons comment utiliser les matrices
pour faire l’analyse d’un circuit. Nous ferons d’abord une analyse
classique par les branches et nous verrons comment diminuer le
nombre d’équations en faisant une analyse par les mailles pour ensuite
présenter une façon programmée de traduire la situation par une
équation matricielle.
Introduction
Mais tout d’abord, rappelons les notions, définitions et lois dont nous
nous servirons.
Circuit électrique
Définitions
Un circuit électrique est un ensemble
d’éléments (sources de tension, sources de
courant, résistances, etc.) reliés par des
conducteurs (fils).
Branche d’un circuit
Une branche d’un circuit est une partie
d’un circuit constituée d’un ou de
plusieurs éléments montés en série.
Maille d’un circuit
Définitions et notations
Une maille d’un circuit est un trajet fermé et conducteur.
Nœud d’un circuit
Un nœud d’un circuit est un point ou un conducteur auquel sont reliées différentes branches du circuit.
Notations
La tension à la source en volts (V) est notée E.
La différence de potentiel aux bornes d’une résistance est notée V. Elle est mesurée en volts.
L’intensité du courant en ampères (A) est notée I, avec ou sans indice.
La résistance en ohms (Ω) est notée R, avec ou sans indice.
E
V1
V2 V3
R1 R2R3
Loi d’Ohm
Dans un circuit à courant continu, l’intensité du courant est directement proportionnelle à la tension appliquée et inversement proportionnelle à la résistance. Cette loi s’écrit :
I = V/R où I est l’intensité du courant en ampères (A), V, la tension appliquée en volts (V) et R, la résistance en ohm (Ω).
On exprime souvent la loi d’Ohm sous la forme :V = RI.
Potentiel et sens conventionnelL’effet de la source est une
augmentation de potentiel (lorsque
traversée par le courant du – au +) et
l’effet d’une résistance est une
diminution du potentiel (lorsque
traversée du + au –).
On utilise ici le sens conventionnel du courant, ce qui signifie que le
courant, dans le circuit, va de la borne positive de la source vers sa
borne négative (le sens réel va de la borne négative à la positive).
Au début des études sur le courant, on pensait que le courant était dû
au déplacement de particules positives alors qu’il est dû au
déplacement d’électrons de charge négative. On peut tout aussi bien
considérer le sens réel, cela a pour effet de changer le signe des deux
membres des équations dans l’analyse d’un circuit.
Sens conventionnel
Loi des tensions de KirchhoffDans toute maille d’un circuit, la somme algébrique des différences de potentiel (incluant celle à la source) est nulle.
En appliquant la loi des tensions à la première maille, on a :
E – V1 – V2 – V3 = 0 ou V1 + V2 + V3 = E
En l’appliquant à la deuxième maille, on a :
V2 – V4 = 0 ou –V2 + V4 = 0
En l’appliquant à la troisième maille, on a :
E – V1 – V4 – V3 = 0 ou V1 + V3 + V4 = E
La troisième équation est la somme des deux premières, elle est donc superflue. Ce n’est pas une nouvelle contrainte sur les variable
E
V1
V3
V2V2 V4V4E
V1
V3
SS
Loi des courants de KirchhoffLa somme algébrique des courants dans un nœud est nulle.
I1 – I2 – I3 = 0
I1 I3
I2I2
I3I1
En appliquant cette loi au premier nœud, on obtient :
–I1 + I2 + I3 = 0
En l’appliquant au deuxième nœud,
La deuxième équation est superflue.
Autre exemple :
I1 + I2 – I3 = 0
I1
I2
I3
SS
Analyse de circuits
L’analyse d’un circuit vise à trouver les éléments inconnus de celui-ci
qui peuvent être des courants ou des tensions. Nous ne considérerons ici
que les circuits dont les inconnues sont les courants.
Analyse par les branches
L’analyse par les branches consiste à attribuer un courant à chacune
des branches et à établir les équations de nœuds et de mailles en
utilisant les lois de Kirchhoff.
On transforme alors les équations de mailles en utilisant la loi d’Ohm et
on solutionne le système d’équations obtenu.
Analyse par les branchesFaire l’analyse par les branches du circuit illustré.
Équation du nœud
Il y a deux nœuds, mais ils donnent la même équation, soit :
15 – V1 + V2 – 5 = 0 ou V1 – V2 = 10.I1 + I2 – I3 = 0
Courants de branches
Attribuons un courant à chacune des branches.
Équation de la maille 1
Équation de la maille 2
Puisque V1 = 4I1 et V2 = 5I2, on a :4I1 – 5I2 = 10
5 – V2 – V3 + 18 = 0 ou V2 + V3 = 23.
Puisque V2 = 5I2 et V3 = 2I3, on a :
5I2 + 2I3 = 23
V1
V2
I1 I2
I3V2
V3
+ – + –
+
–
SS
SolutionNous devons résoudre le système d’équations :
La matrice augmentée est :
On trouve donc :
I1 = 4,87 A,
I2 = 1,89 A,
I3 = 6,76 A.
I1 + I2 – I3 = 0
4I1 – 5I2 = 10
5I2 + 2I3 = 231
4
0
1
–5
5
–1
0
2
0
10
23
1
4
0
1
–5
5
–1
0
2
0
10
23
≈L1
L2 – 4 L1
L3
1
0
0
1
–9
5
–1
4
2
0
10
23
S
≈9L1 + L2
L2
9L3 + 5L2
9
0
0
0
–9
0
–5
4
38
10
10
257SS
≈38L1 + 5L3
19L2 – 2L3
L3
342
0
0
0
–171
0
0
0
38
1665
–324
257
S
Appliquons la méthode de Gauss-Jordan.
≈L1 /342
L2 /(–171)
L3 /38
1
0
0
0
1
0
0
0
1
4,87
1,89
6,76
Interprétation des résultats
La solution est complète lorsqu’on a indiqué sur le circuit le courant dans chacune des branches. On a obtenu :
Puisque toutes les valeurs sont positives, cela signifie que le sens que l’on avait supposé pour les courants est le bon.
I1 = 4,87 A, I2 = 1,89 A et I3 = 6,76 A
4,87 A 6,76 A
1,89 A
Remarque
Il ne sert à rien de chercher à deviner le sens du courant avant d’écrire les équations. La solution du système d’équations nous l’indique. Si dans la solution un des courants est négatif, cela signifie que son sens est contraire à celui utilisé pour établir les équations. Il suffit d’être cohérent en établissant les équations.
ExerciceFaire l’analyse par les branches du circuit illustré en considérant les sens indiqués pour les courants.
Équation de N1 I1 + I2 – I3 = 0
Courants de branches
Équation de M1
Équation de M2
3I1 – 3I2 = 18
3I2 + 4I3 = 4
I1
I2
I3
Matrice échelonnée réduite
Circuit résolu
4,18 A 2,36 A
1,82 A
+ – + –
+
–
Cliquer pour la solution.
1
0
0
0
1
0
0
0
1
4,18
–1,82
2,36
Analyse par les maillesL’idée de l’analyse par les mailles est
d’isoler dans l’équation de nœud le courant
de la branche commune à deux mailles et
de substituer l’expression obtenue dans les
équations de ces mailles. Considérons le
circuit illustré ci-contre.
I1 + I2 – I3 = 0
I1 I2
I3
En isolant le courant de la branche commune, on obtient :
I2 = I3 – I1
Substituons dans les équations de mailles.
Dans 4I1 – 5I2 = 10, on obtient : 4I1 – 5(I3 – I1 ) = 10
Dans 5I2 + 2I3 = 23 , on obtient : 5(I3 – I1 ) + 2I3 = 23
+ – + –
+
–
L’équation de nœud est :
Équations des maillesPar cette substitution, on obtient un système de deux équations à deux inconnues, soit :
En appliquant directement la loi d’Ohm, on trouve alors :
5(I3 – I1 ) + 2I3 = 23, dans la deuxième maille.
On peut sauter une étape de l’analyse par les branches de façon à obtenir directement ces deux équations.
Pour ce faire, considérons seulement I1 et I3 appelés courants de maille, tous deux de sens horaire.
4I1 – 5(I3 – I1 ) = 10
5(I3 – I1 ) + 2I3 = 23
I3I1
Établissons les équations de mailles en considérant que le courant dans la branche commune est soit I1 – I3 soit I3 – I1 selon la maille considérée.
4I1 + 5(I1 – I3 ) = 10, dans la première maille.
Solution du systèmeRegroupons les inconnues dans les équations du système :
On obtient :
Appliquons la méthode de Gauss-Jordan.
4I1 + 5(I1 – I3 ) = 10
5(I3 – I1 ) + 2I3 = 23
I3I1
Cela donne : I1 = 4,87 et I3 = 6,76.
9I1– 5I3 = 10
–5I1 + 7I3 = 23
9
–5
–5
7
10
23≈ L1
9L2 +5L1
9
0
–5
38
10
257SS
≈ 38L1 + 5L2
L2
342
0
0
38
1665
257≈ L1 /342
L2 /38
1
0
0
1
4,87
6,76
InterprétationOn a obtenu :
I1 = 4,87 A et I3 = 6,76 A. 4,87 A 6,76 A
1,89 AInterprétons les résultats.
Les courants de maille sont les courants de branches sauf dans la maille commune.
Dans la maille commune, le courant est I1 – I3 ou I3 – I1. Il faut déterminer laquelle de ces expressions est positive. Dans le cas présent, on a I3 > I1, par conséquent, le sens du courant dans la branche commune est le même que le courant de maille I3 et sa valeur est :
I3 – I1 = 6,76 – 4,87 = 1,89 A.
Le courant dans la maille commune doit équilibrer l’équation de nœud pour que la loi des courants soit satisfaite.
ExerciceFaire l’analyse par les mailles du circuit illustré.
Équations
3I1 + 3(I1 – I2) = 18
3(I2 – I1) + 4I2 = 4
Matrice échelonnée réduite
Circuit résolu
4,18 A 2,36 A
1,82 A
Matrice augmentée
Cliquer pour la solution.
6
–3
–3
7
18
4
1
0
0
1
4,18
2,36
ExerciceFaire l’analyse par les mailles du circuit illustré.
Équations
2I1 + 2(I1 – I2) = 14
2(I2 – I1) + 3I2 + 2(I2 – I3) = 0
Échelonnéeréduite
Circuit résolu
Matrice augmentée
14V
2Ω 3Ω 1Ω
2Ω 2Ω
14V
2(I3 – I2) + 1I3 = 14
14V
2Ω2Ω
14V
5,25A 3,5A 7A
3,5A1,75A
2Ω 3Ω 1Ω
Cliquer pour la solution.
1
0
0
0
1
0
0
0
1
5,25
3,5
7
4
–2
0
–2
7
–2
0
–2
3
14
0
14
GénéralisationConstruire la matrice des mailles du circuit illustré.
Équations
aI1 + b(I1 – I2) = E1
b(I2 – I1) + cI2 + d(I2 – I3) = E2
Remarquesd(I3 – I2) + eI3 = E3
En regroupant :
(a + b)I1 – bI2 = E1
–bI1 + (b + c + d)I2 – eI3 = E2
–dI2 + (d + e) I3 = E3
L’équation matricielle est :
• Chaque maille est représentée par une ligne.
• L’élément sur la diagonale est la somme des résistances de la maille.
• Les éléments hors diagonale sont les résistances des branches communes affectées d’un signe négatif.
E1 V
a Ω c Ω e Ω
b Ω d Ω
E3 VE2 V
12 3
a + b
–b
0
–b
b + c + d
–d
0
–d
d + e
•I1
I2
I3
E1
E2
E3
=
SS
ExerciceDans le circuit illustré, déterminer les sources de tension et leur sens pour que les courants de maille soient :
L’équation matricielle est :
3Ω
1 2 3
2Ω 4Ω
1Ω 3ΩI1 = 5 A, I2 = 1 A et I3 = 4 A.
Les courants sont connus, en substituant et en effectuant le produit, on obtient :
Le circuit résolu est :
3Ω
1 2 3
2Ω 4Ω
1Ω 3Ω
14V 10V 25V
Cliquer pour la solution.
3
–1
0
–1
7
–3
0
–3
7
•I1
I2
I3
E1
E2
E3
=
3
–1
0
–1
7
–3
0
–3
7
•
5
1
4
14
–10
25
=
S
GénéralisationConstruire la matrice des mailles du circuit illustré.
Équations
a(I1 – I2) + c(I1 – I3) = E1
a(I2 – I1) + bI2 + d(I2 – I3) = E2
Remarquesc(I3 – I1) + d(I3 – I2) + eI3 = E3
En regroupant :
(a + c)I1 – aI2 – cI3 = E1
–aI1 + (a + b + d)I2 – dI3 = E2
–cI1 – dI2 + (c + d + e) I3 = E3
L’équation matricielle est :
• Chaque maille est repré-sentée par une ligne.
• L’élément sur la diagonale est la somme des résistances de la maille.
• Les éléments hors diagonale sont les résistances des branches communes affectées d’un signe négatif.
E1 Va Ω
c Ω
b Ω
d Ω
E3 V
E2 V
1
2
3e Ω
a + c
–a
–c
–a
a + b + d
–d
–c
–d
c + d + e
•I1
I2
I3
E1
E2
E3
=
SS
ExerciceDans le circuit illustré, déterminer les sources de tension et leur sens pour que les courants de maille soient
L’équation matricielle est :
3Ω
1
2
3
2Ω 4Ω
1Ω 3ΩI1 = 6 A, I2 = 2 A et I3 = 4 A.
Les courants sont connus, en substituant et en effectuant le produit, on obtient :
Le circuit résolu est :
3Ω
1
2
3
2Ω 4Ω
1Ω 3Ω
10V
10V
18V
Cliquer pour la solution.
SS
3
–2
–1
–2
9
–4
–1
–4
8
•I1
I2
I3
E1
E2
E3
=
3
–2
–1
–2
9
–4
–1
–4
8
•
6
2
4
10
–10
18
=
Procédure d’analyse par les mailles
1. Numéroter les mailles et attribuer un courant de sens horaire à
chacune des mailles du circuit.
2. Écrire la matrice des mailles.
Chaque ligne et chaque colonne est associée à une maille.
Chaque élément de la diagonale est la somme des résistances de la
maille correspondant à la ligne de cet élément.
Les éléments hors diagonale sont la somme, affectée d’un signe
négatif, des résistances communes à la maille représentée par la
ligne et à celle représentée par la colonne.
Procédure d’analyse par les mailles3. Écrire la matrice des tensions.
La constante de l’équation de la maille Mi est la somme algébrique des sources de tension traversée par le courant Ii . Les sources traversées de la borne négative à la borne positive sont affectées du signe positif et celles traversées de la borne positive à la borne négative sont affectées du signe négatif.
4. Résoudre le système d’équations linéaires résultant.
5. Interpréter les résultats selon le contexte (donner le circuit résolu).
Exercices additionnelsAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle pour les sciences de la nature, Section 2.4, p. 54 numéros 12 à 15.
Bibliographie
BOYLESTAD, Robert L,(1979), Analyse de circuits, introduction, Montréal, ERPI,
716 p.
JACKSON, Herbert W.(1987), Circuits électriques, courant continu, Traduction de
Introduction to Electric Circuits 6 édition, Montréal, Éditions Reynald Goulet, 424 p.
OUELLET, Carol (2000), Électricité et magnétisme, Québec, Éditions du Griffon
d’argile, 368 p.
RIDSDALE, R.E. (1980), Circuits électriques, Montréal, McGraw-Hill, 797 p.
ROSS, André (2003), Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, Applications en sciences
de la nature, Québec, Éditions du Griffon d ’argile, 445 p.
ROSS, André (1999), Mathématiques appliquées aux technologies du Génie
électrique 1, Québec, Éditions du Griffon d ’argile, 427 p.