12
SLCI Exercices d’application de cours 1/12 Systèmes Linéaires continus et invariants (asservissement linéaire) - Exercice d’application de cours Exercice 1 : Performances de différents systèmes asservis (chap. 2.3) Pour les trois systèmes suivants on donne l’entrée à laquelle on a soumis le système, et sa réponse. Donner alors les performances de chaque système (stabilité et amortissement, précision, rapidité). 1) Climatisation d’une voiture Les valeurs sont des variations par rapport à la situation stable précédente. 2) Suspension d’une motocross passant sur une marche Les valeurs sont des variations par rapport à la situation stable précédente. 3) Moteur électrique à courant continu moteur u m Tension d’alimentation N m Vitesse angulaire suspension h route Hauteur de la route h moto Hauteur de la moto climatisation θ C Consigne de température θ Température au niveau du capteur θ C (en °C) θ (en °C) h route (en cm) h moto (en cm) u m (en mV) N m (en tr/min) x 10 3

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SLCI Exercices d’application de cours 1/12

Systèmes Linéaires continus et invariants (asservissement linéaire) - Exercice d’application de cours

Exercice 1 : Performances de différents systèmes asservis (chap. 2.3)

Pour les trois systèmes suivants on donne l’entrée à laquelle on a soumis le système, et sa réponse. Donner alors les performances de chaque système (stabilité et amortissement, précision, rapidité).

1) Climatisation d’une voiture

Les valeurs sont des variations par rapport à la situation stable précédente.

2) Suspension d’une motocross passant sur une marche

Les valeurs sont des variations par rapport à la situation stable précédente.

3) Moteur électrique à courant continu

moteur um

Tension d’alimentation

Nm

Vitesse angulaire

suspension hroute

Hauteur de la route

hmoto

Hauteur de la moto

climatisation θC

Consigne de température

θ

Température au niveau du capteur

θC (en °C)

θ (en °C)

hroute (en cm)

hmoto (en cm)

um (en mV)

Nm (en tr/min)

x 1

03

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SLCI

Exercice 2 : Réalisation d’un schéma

Le grille-pain est décrit par le schéma suivant :

Hypothèses :

Chaque élément de chauffage fournit la même pain. La qualité du pain grillé peut être déterminée par sa couleur.

Le grille-pain est initialement réglé à l'aide du bouton sélecteur de couleur. Ce réglage n'a pas à être changé, sauf si on modifie les critères de qualité du toast. Quand l'interrupteur est fermé, le pain est grillé jusqu'à ce que le détecteur de couleur perçoive la couleur désirée. Alors la chaîne de retour qui peut être soit électrique soit mécanique ouvre automatiquement le contac Travail demandé :

Tracer le schéma fonctionnel remplissant les fonctions :

- d’appareil du système (éléments nécessaires au fonctionnement non régulé)- de régulateur (éléments su- de chaîne de retour (éléments permettant de collecter une information en aval du système de

régulation, et transmettant l’information à ce

Exercice 3 : Transformée de Laplace 1) Déterminer les transformées de Laplace des fonctions suivantes, nulles pour t<0

f1(t) = 3 f2f4(t) = -3.t4 f5

2) Soit un système composé de quatre

1 3 2

p 3H (p)

4.p 8.p

+=+

2H (p) =

avec a, b, Ka) Mettre les fonctions de transfert des

chacun leurs caractéristiquesb) Déterminer la sortie dans le domaine de Laplace

échelon d’amplitude E0.

Exercices d’application de cours

Réalisation d’un schéma-blocs (Grille-pain)pain est décrit par le schéma suivant :

Chaque élément de chauffage fournit la même quantité de chaleur de part et d'autre de la tranche de pain. La qualité du pain grillé peut être déterminée par sa couleur.

pain est initialement réglé à l'aide du bouton sélecteur de couleur. Ce réglage n'a pas à être les critères de qualité du toast. Quand l'interrupteur est fermé, le pain est grillé

jusqu'à ce que le détecteur de couleur perçoive la couleur désirée. Alors la chaîne de retour qui peut être soit électrique soit mécanique ouvre automatiquement le contact.

du grille-pain automatique en boucle fermée, puis identifier les éléments

d’appareil du système (éléments nécessaires au fonctionnement non régulé)de régulateur (éléments sur lesquels on peut agir afin de réguler, de modifier la sortie)de chaîne de retour (éléments permettant de collecter une information en aval du système de régulation, et transmettant l’information à ce-dernier).

Transformée de Laplace (chap. 3.3.4)

1) Déterminer les transformées de Laplace des fonctions suivantes, nulles pour t<02(t) = 2.t+5 f3(t) = t2 – 3.t + 15(t) = (t2+1).e-2t f6(t) = e-t.sin(2t)

quatre sous-systèmes en série, dont les transmittances sont

b2

K .p

p 2.p=

+ ( ) ( )

2

3

1 6.p aH (p)

p 1 . p b .p

+ +=+ +

avec a, b, Kb, E0, C, e0, A0 , τ des constantes. Mettre les fonctions de transfert des quatre sous-systèmes sous forme canonique. En déduire pour

caractéristiques (gain statique, ordre et classe). dans le domaine de Laplace du sous-système 1 (H1(p)) soumis à une entrée en

2/12

) (chap. 2.4)

quantité de chaleur de part et d'autre de la tranche de

pain est initialement réglé à l'aide du bouton sélecteur de couleur. Ce réglage n'a pas à être les critères de qualité du toast. Quand l'interrupteur est fermé, le pain est grillé

jusqu'à ce que le détecteur de couleur perçoive la couleur désirée. Alors la chaîne de retour qui peut être soit

pain automatique en boucle fermée, puis identifier les éléments

d’appareil du système (éléments nécessaires au fonctionnement non régulé) ; r lesquels on peut agir afin de réguler, de modifier la sortie) ;

de chaîne de retour (éléments permettant de collecter une information en aval du système de

1) Déterminer les transformées de Laplace des fonctions suivantes, nulles pour t<0 : 3.t + 1

.sin(2t)

systèmes en série, dont les transmittances sont :

4

1 .( )

.1

1 .

b

b

K

pH p

a K

p

τ

τ

+=+

+

systèmes sous forme canonique. En déduire pour

(p)) soumis à une entrée en

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SLCI Exercices d’application de cours 3/12

3) Signaux avec retard :

a) Lequel de ces trois signaux est une rampe retardée ? b) Donner l’expression temporelle de chacun de ces trois signaux. c) Donner la transformée de Laplace de chacun de ces trois signaux.

Exercice 4 : Fonction de transfert par transformée de Laplace d’une équation différentielle (chap. 3.3.4)

1- Calculer la fonction de transfert H(p) de ce système.

2- Déterminer l’expression de S(p) pour une entrée e(t) égale à : a. une impulsion unitaire ; b. un échelon unité.

3- Déterminer la valeur de s(t) au bout d’un temps très long, dans les deux cas précédents.

Exercice 5 : Transformée inverse de Laplace (chap. 3.3.5)

A) Déterminer les limites k(0+), k(+∞) et dk

(0 )dt

+ de la fonction suivante :

( ) ( )p 5

K(p)p 1 p 6

−=+ +

B) Déterminer f(t) et g(t) (sorties temporelles) tels que :

2

3p 7F(p)

p 2p 3

+=− −

( ) ( )2

5p 5G(p)

p 3 p 2p 2

−=+ + +

C) Déterminer les transformées inverses (donc temporelles) des fonctions suivantes, qui sont des

sorties de différents systèmes :

( )2

2

KF (p)

p. 1 .p=

+ τ

( ) ( )2

44 2

K .pF (p)

p 1 . p 1=

− +

( ) ( )5 2

3p 1F (p)

p 1 . p 1

+=− +

3

2

1

-1 1 2 3 4

0 -1

t

B fB(t)

3

2

1

1 2 3 4 0

-1

t

C

fC(t) 3

2

1

-1 1 2 3 4

0 -1

t

A fA(t)

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SLCI Exercices d’application de cours 4/12

Exercice 6 : Détermination de la sortie d’un système (chap. 3.3.5)

Soit un bras de robot asservis en position dont la transmittance est ( )A

aH(p) K .

p b=

+.

a et b sont des constantes, a est en Volt et b en « s-1 »

La consigne d’entrée est un déplacement linéaire (en m) : xC(t) = V.t La valeur de sortie est le déplacement réel du bras suivant l’axe X, en m, noté : x(t) .

1) En quelle unité s’exprime KA ?

2) Quelle condition faut-il respecter pour que le système soit le plus précis possible en poursuite (le système est précis si l’écart entre sortie et entrée est nul lorsque t est très grand). Le seul paramètre réglable est KA. Déterminer alors la valeur de l’erreur de trainage minimale.

3) POUR ALLER PLUS LOIN (Bonus) : Le signal d’entrée est arrêté au bout d’une durée tf (très grande). Déterminer la sortie x(t) et retrouver le résultat précédent.

Exercice 7 : Fonction de transfert à partir de schéma-blocs (chap. 3.4)

A) Vérin électrique du 1er

ordre avec correcteur PI (proportionnel intégral) 1. Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte Y(p)/ε(p) et la mettre sous forme canonique.

2. Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée Y(p)/YC(p) et la mettre sous forme canonique.

B) Schéma-blocs complexe : Déterminer la fonction de transfert H(p) = Y(p)/X(p) en fonction des constantes a, b et c sous forme de fraction

polynomiale en p. Puis la mettre sous forme canonique.

Aide : On conseille de passer par la méthode directe (écrire l’équation de sortie) plutôt que par la manipulation de

schéma-blocs.

Y(p) X(p) a b

p

a

1

1 .c p+ε(p)

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SLCI

Exercice 8 : Modélisation d’une enceinte chauffante Le système représenté ci contre est chargé de maintenir la température d’une enceinte.Le chauffage est assuré par un thermique. Une vanne permet de réguler le débit dans l’échangeur. On note α(t) l’angle d’ouverture de la vanne, q(t) le débit dans l’échangeur, température en sortie de l’échangeur, température de l’enceinte.

On donne les modèles de connaissance qui régissent le système :

• q(t)=k0.α(t) (loi de fonctionnement de la vanne donnant le dd’ouverture de la vanne).

• 11 1 1

d (t)(t) . k .q(t)

dt

θθ + τ = (loi de transfert de chaleur dans l’échangeur)

• 2 2 1

d (t)(t) . k . (t)

dt

θθ + τ = θ (loi de transfert de chaleur da

On suppose que toutes les conditions initiales sont nulles. L’entrée du système est l’angle d’ouverture de la vanne α(t) et la sortie, la temp

Q.1. Traduire dans le domaine de Laplace les équations du modèle de connaissance. En déduire les différents modèles de comportement et les fonctions de transfert associées.

Q.2. Représenter le système par un schémadéfinis.

Afin de réguler la température, on choisit de motoriser la vanne. On installe un capteur dans l’enceinte qui permet de mesurer la température et la de traduire en une tension umodéliser le capteur par un gain pur Kconsigne uc(t) issue d’un transducteur de fonction de transfert T(p). En fonction de cet écart amplifié par un correcteur de gain Kl’architecture du système.

On donne la fonction de transfert du moteur (asservi) qui est :

Q.3. Représenter par un schéma-bloc le système régulé dont l’entrée est la température

Q.4. Quelle doit être la fonction de transfert du transducteur de façon à annuler l’écart température de consigne et la température de l’enceinte sont égales ?

Q.5. Quelle est alors la fonction de transfert totale du systèmegain statique ? Le système est

Exercices d’application de cours

Modélisation d’une enceinte chauffante (chap. 3 complet

Le système représenté ci contre est chargé de maintenir la température d’une enceinte. Le chauffage est assuré par un échangeur thermique. Une vanne permet de réguler le

(t) l’angle d’ouverture de la vanne, q(t) le débit dans l’échangeur, θ1(t) la température en sortie de l’échangeur, θ(t) la

modèles de connaissance qui régissent le système :

(t) (loi de fonctionnement de la vanne donnant le débit en fonction de l’angle

(loi de transfert de chaleur dans l’échangeur)

(loi de transfert de chaleur dans l’enceinte).

On suppose que toutes les conditions initiales sont nulles. L’entrée du système est l’angle α(t) et la sortie, la température de l’enceinte θ(t).

Traduire dans le domaine de Laplace les équations du modèle de connaissance. En déduire les différents modèles de comportement et les fonctions de transfert associées.

Représenter le système par un schéma-bloc faisant intervenir les 3 blocs précédem

Afin de réguler la température, on choisit de motoriser la vanne. On installe un capteur dans l’enceinte qui permet de mesurer la température et la de traduire en une tension umodéliser le capteur par un gain pur Kmes=0,02). La tension umes(t) est comparée à la tension de

(t) issue d’un transducteur de fonction de transfert T(p). En fonction de cet écart amplifié par un correcteur de gain Kc, la vanne s’ouvre ou se ferme. Le schéma ci

On donne la fonction de transfert du moteur (asservi) qui est : m

(p) KM(p)

U (p) 1 .p

α= =

bloc le système régulé dont l’entrée est la température

Quelle doit être la fonction de transfert du transducteur de façon à annuler l’écart température de consigne et la température de l’enceinte sont égales ?

Quelle est alors la fonction de transfert totale du système ? Quel est son ordr? Le système est-il précis ?

5/12

chap. 3 complet)

ébit en fonction de l’angle

On suppose que toutes les conditions initiales sont nulles. L’entrée du système est l’angle

Traduire dans le domaine de Laplace les équations du modèle de connaissance. En déduire les différents modèles de comportement et les fonctions de transfert associées.

bloc faisant intervenir les 3 blocs précédemment

Afin de réguler la température, on choisit de motoriser la vanne. On installe un capteur dans l’enceinte qui permet de mesurer la température et la de traduire en une tension umes(t) (on peut

(t) est comparée à la tension de (t) issue d’un transducteur de fonction de transfert T(p). En fonction de cet écart

, la vanne s’ouvre ou se ferme. Le schéma ci-dessous précise

( )(p) K

U (p) 1 .p= =

+ τ

bloc le système régulé dont l’entrée est la température θc(p).

Quelle doit être la fonction de transfert du transducteur de façon à annuler l’écart ε(p) quand la

? Quel est son ordre ? Que vaut son

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SLCI Exercices d’application de cours 6/12

Exercice 9 : Réponse temporelle d’un système du 1er ordre (chap. 4.3)

Exercice 10 : Réponse temporelle d’un système du 2e ordre (chap. 4.4)

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SLCI

Exercice 11 : Identification temporelle d’un système En vue d’identifier 3 systèmes différents, on les soumet à une entrée en échelon que l’on nommera sortie (nommée s(t)) suit alors les variations définies par les trois graphes ciPour chaque graphe : - écrire l’équation temporelle de l’e - donner la fonction de transfert du système.

A quel instant se produit le dépassement le plus important

(grâce aux abaques)

Exercices d’application de cours

Identification temporelle d’un système (chap. 5

En vue d’identifier 3 systèmes différents, on les soumet à une entrée en échelon que l’on nommera ) suit alors les variations définies par les trois graphes ci-dessous.

écrire l’équation temporelle de l’entrée e(t) ; donner la fonction de transfert du système.

A quel instant se produit le dépassement le plus important ? Donner les valeurs relative et absolue de ce dépassement.

7/12

chap. 5)

En vue d’identifier 3 systèmes différents, on les soumet à une entrée en échelon que l’on nommera e(t). LA

? Donner les valeurs relative et absolue de ce dépassement.

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SLCI Exercices d’application de cours 8/12

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SLCI Exercices d’application de cours 9/12

Exercice 12 : Étude harmonique : tracé de diagrammes de Bode (chap. 6)

A) Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode puis l’allure des diagrammes de Bode des systèmes suivants (les tracés sont à effectuer pages suivantes, sur graphes semi-logarithmiques) :

Graphe 1 : 1

10F (p)

p= ; 1

10G (p)

1 0,1.p=

+ ; puis ( )1

100I (p)

p. 1 0,1.p=

+

Graphe 2 : 2 2

100F (p)

p p1

20 400

=+ +

Graphe 3 : ( ) ( ) ( )3 2

1 0,1. 1 0,1.( ) 10. 10.

. 1 . 1 0,01.. 1 1,01. 0,01.

p pF p

p p pp p p

+ += =+ ++ +

Graphe 4 : ( )

4 3

1 0,1.( ) 10.

pF p

p

+=

B) Considérons le système dont le schéma-bloc est le suivant, avec des tensions ui(t) en Volt :

B-1) Tracer l’allure de u3(t) si u2(t) = 5.u(t) (échelon de valeur 5V)

B-2) Tracer l’allure de u3(t) et u2(t) si u2(t) = 5.sin(10.t).u(t). Préciser les limites de ce tracé

pour certaines valeurs du temps. On s’aidera des tracés de la partie A).

B-3) Tracer l’allure de u3(t) et u1(t) si u1(t) = 5.sin(100.t).u(t). Préciser les limites de ce tracé pour certaines valeurs du temps. On s’aidera des tracés de la partie A).

F1(p)

G1(p) U1(p) U2(p) U3(p)

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SLC

I E

xercice

s d’a

pp

licatio

n d

e co

urs

10/12

(rad/s)

(rad/s)

0,1 1 10 100

-40

-20

0

20

40

0

-180

180

0,1 1 10 100

-180

-90

90

(rad/s)

(rad/s)

1 10 100 1000

-40

-20

0

20

40

0

-180

180

1 10 100 1000

-180

-90

90

GRAPHE 1 GRAPHE 2

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SLC

I

40

80

120

0

-40

GRAPHE 3 GRAPHE 4

Gain (dB)

Exe

rcices d

’ap

plica

tion

de

cou

rs

(rad/s)

0,1 1 10 100

-80

-120

0

-180

+90

Déphasage (°)

11/12

(rad/s)

0,1 1 10 100

-180

-270

-360

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SLCI Exercices d’application de cours 12/12

Exercice 13 : Étude harmonique : identification de fonctions de transferts grâce à leurs réponses harmoniques (chap. 6)

Pour les quatre diagrammes de Bode suivants, tracer les diagrammes de Bode asymptotiques puis identifier les fonctions de transfert correspondantes (pour le second ordre faiblement amorti, on ne cherchera pas la valeur précise de z mais seulement une estimation).