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H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) http://www.sacrecoeur.nantes.e-lyco.fr

Ch.6 Intégration Rappels 1 : Dérivées des fonctions usuelles

Fonction x xn, n ZZ x x x 1

x x k, k IR x ln x x ex x eu(x), u dérivable

Dérivée x nxn – 1 x 1

2 x x

–1

x2 x 0 x 1

x x ex x u' (x) eu(x)

Rappels 2 : Dérivées et opérations u et v sont deux fonctions dérivables sur I.

Fonction u + v ku uv 1

u

u

v

Dérivée u' + v' ku' u' v + v' u –u'

u2 u' v – v' u

v2

Questions-tests n°1 page 149 Calculez la dérivée de la fonction indiquée :

a) x 4x2 + 3.

b) x x + ln x. c) x 2ex –

1

x . d) x

x

x2 + 1 . e) x

3

2 x6 –

x

2 . f) x ex – x.

a) x 8x .

b) x 1

2 x +

1

x.

c) x 2ex + 1

x2 .

d) x 1(x2 + 1) – 2x x

(x2 + 1)2 = 1 – x2

(x2 + 1)2 .

e) x 3

2 6x5 –

1

2 = 9x5 –

1

2.

f) x ex – 1 .

Rappels 3 : Additivité de l'aire f est la fonction définie sur [–2 ; 3]. Sa courbe représentative est indiquée ci-contre dans un repère orthonormé (unité : 1 cm).

Notons A l'aire en cm2 du domaine colorié en rouge.

A = (Aire du triangle OAB) + (Aire du trapèze OBCD)

A = OA OB

2 +

OD (OB + DC)

2

A = 3 + 6

A = 9 cm2.

Questions-tests n°2 page 149 f est la fonction définie sur [–3 ; 4] de la manière suivante :

si x [–3 ; –1], f (x) = x + 3 ; si x [–1 ; 1], f (x) = 2 ; si x [1 ; 4], f (x) = x + 1.

a) Tracez dans un repère orthonormé (unité : 1 cm) la courbe Cf représentative de f.

b) Calculez l'aire, en cm2, du domaine délimité par Cf , la droite des abscisses et les droites d'équation x = –3 et x = 4.



a)

b) 2 + 4 + 7 3

2 =

33

2 = 16,5 cm2 .

Activité n°1 page 150 Dérivée dans un sens; primitives dans l'autre 1) Notion de primitive

Un exemple : on sait que si f (x) = x2, alors f ' (x) = 2x.

On dit alors que la fonction : x x2 est une primitive de la fonction : x 2x.

Plus généralement, une primitive d'une fonction f sur un intervalle I est une fonction F telle que F' = f. En lisant « à l'envers » le tableau donnant les fonctions dérivées des fonctions usuelles rappelé p. 149, indiquez une primitive sur I de chacune des fonctions suivantes :

a) f : x 1 I = IR.

b) f : x 2x I = IR. c) f : x 3x2 + 1 I = IR.

d) f : x 1

2 x + 4x3 I = ]0 ; +[.

1) Notion de primitive

a) x x .

b) x x2 .

c) x x3 + x .

d) x x + x4 .

2) Une seule dérivée, mais une infinité de primitives 1) Montrez que si F est une primitive de f sur I, alors, pour toute constante réelle c, la fonction G : x F(x) + c

est aussi une primitive de f sur I.

2) Indiquez cinq primitives sur IR de la fonction f : x 2x + 1.

2) Une seule dérivée, mais une infinité de primitives 1) En effet, la dérivée de G est F', c’est-à-dire f.

2) x x2 + x , x x2 + x + 1 , x x2 + x – 4 , x x2 + x + 2,3 , x x2 + x + π .

Activité n°2 page 150 Aires et primitives L'unité de longueur est le cm, l'unité d'aire

est le cm2 et les repères utilisés sont

orthonormaux. Dans chacun des cas ci-contre : 1) Calculez l'aire du domaine colorié. 2) Trouvez une primitive F de la fonction

f représentée, et vérifiez que l'aire

calculée est égale à F(b) – F(a). Rectangle

Triangle rectangle

Trapèze rectangle

1) Rectangle : 2(b – a) .

Triangle rectangle : (b – a)(b + 1)

2 =

(b + 1)2

2 car a = –1.

Trapèze rectangle :

1

2 a + 1 +

1

2 b + 1

b – a

2 =

(b – a)(b + a + 4)

4.

2) f (x) = 2, donc F(x) = 2x .

F(b) – F(a) = 2b – 2a = 2(b – a).



f (x) = x + 1, donc F(x) = x2

2 + x .

F(b) – F(a) = b2

2 + b –

a2

2 + a = (b – a)

b + a

2 + 1 .

Or ici a = –1, donc F(b) – F(a) = (b + 1)(b + 1)

2 =

(b + 1)2

2 .

f (x) = 1

2 x + 1, donc F(x) =

x2

4 + x .

F(b) – F(a) = b2

4 + b –

a2

4 + a et

(b – a)(b + a + 4)

4 =

b2 + ab + 4b – ab – a2 – 4a

4 =

b2 + 4b – a2 – 4a

4 .

1 INTÉGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE SUR UN INTERVALLE

Définition

f est une fonction continue sur un intervalle [a ; b]. Cf est sa courbe représentative dans un repère orthogonal

(O ;

OA,

OB). L'unité d'aire est l'aire du rectangle OACB.

Alors :

DÉFINITION 1

Si f est positive sur [a ; b], l'aire du domaine D délimité par la courbe Cf , l'axe des

abscisses, les droites d'équation x = a et x = b est appelée l'aire sous la courbe Cf

pour x [a ; b]. Elle est notée :

a

b f (t) dt.

Ceci se lit : « intégrale de a à b de f (t) dt ».

Remarques :

1) a

b f (t) dt peut également être noté a

b f (x) dx ou a

b f (u) du ou …

2) Par convention, on pose a

a f (t) dt = 0.

Théorème fondamental

THÉORÈME 1

Si f est continue et positive sur [a ; b], la fonction F définie sur [a ; b] par F(x) = a

x f (t) dt est dérivable sur

[a ; b] et a pour dérivée f.

Idée de démonstration : Supposons h > 0. Calculons le taux d'accroissement :

T(h) = F(x

0 + h) – F(x

0)

h .

F(x0 + h) – F(x

0) est égal à l'aire du domaine hachuré.

Or pour h « petit », f (x0 + h) est sensiblement égal à f (x

0) puisque

f est continue. D'où cette aire est sensiblement égale à h f (x0).

Donc T(h) h f (x

0)

h = f (x

0).

D'où limh 0

T(h) = f (x0).

2 PRIMITIVE D'UNE FONCTION CONTINUE SUR UN INTERVALLE

Notion de primitive

DÉFINITION 2

f est une fonction continue sur un intervalle I.

Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I et telle que :

pour tout x de I, F' (x) = f (x).

THÉORÈME 2



Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I.

Démonstration :

On se limite au cas où I = [a ; b]. Posons, pour tout x de I, F(x) = a

x f (t) dt.

D'après le théorème 1 ci-dessus, pour tout x de I, F' (x) = f (x).

Donc F est une primitive de f sur l'intervalle I.

Ensemble des primitives d'une fonction continue

THÉORÈME 3

f est une fonction continue sur un intervalle I. F est une primitive de f sur I.

1) Alors la fonction G définie sur I par G(x) = F(x) + c, où c est un réel, est une primitive de f sur I.

2) Toute primitive de f sur I est de la forme F + c, où c est un réel.

Démonstration :

1) Si F est une primitive de f sur I, alors F est dérivable sur I et F' (x) = f (x). Il est clair que la fonction G

définie sur I par G(x) = F(x) + c, où c est un réel quelconque, est dérivable sur I et que G' (x) = F' (x) = f

(x) pour tout x de I. Donc G est une primitive de f sur I.

2) Existe-t-il d'autres primitives de f sur I que les fonctions F + c, avec c réel ?

On va utiliser le fait que sur un intervalle, les fonctions constantes sont les seules fonctions ayant une

dérivée nulle. Supposons que G soit une primitive de f sur I ; alors G est dérivable sur I et G' = f = F' donc G' – F' = 0.

La fonction G – F a donc une dérivée nulle sur I et, puisque I est un intervalle, G – F est constante sur I. Il existe donc un réel c tel que sur I, G – F = c, c'est-à-dire G = F + c.

On déduit immédiatement de ce théorème que :

Sur un intervalle, deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

Primitive prenant une valeur donnée en un point donné

THÉORÈME 4

f est une fonction continue sur un intervalle I. x0 est un réel donné de I et y

0 est un réel donné. Alors, il existe

une primitive G de f sur I, et une seule, telle que G(x0) = y

0 .

Démonstration : Notons F une primitive de f sur I toute autre primitive G est définie par : G(x) = F(x) + c, avec c réel.

Pour obtenir l'égalité G(x0) = y

0 , c'est-à-dire F(x

0) + c = y

0 , il est nécessaire et suffisant de choisir c = y

0 –

F(x0), et ce choix est unique.

On dit alors que G est la primitive de f sur I qui prend la valeur y0 en x

0 .

Relation entre intégrale et primitive

THÉORÈME 4

Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b] et soit F une primitive de f. Alors :

a

b f (t) dt = F(b) – F(a).

Démonstration :

Posons G(x) = a

x f (t) dt. La relation : a

b f (t) dt = F(b) – F(a) est vraie lorsque F = G.

En effet, G(b) = a

b f (t) dt et G(a) = a

a f (t) dt = 0.

Si F est une primitive quelconque, il existe une constante c telle que F = G+ c.

Donc : F(b) – F(a) = [G(b) + c] – [G(a) + c] = G(b) – G(a) = a

b f (t) dt.

Notation : Lors du calcul d'une intégrale, si F est une primitive de la fonction f, on utilise parfois la notation :

a

b f (t) dt = [ ]F(t) b

a

3 DÉTERMINATION DE PRIMITIVES

Primitives de f + g, de kf avec k réel

Les propriétés suivantes sont utiles dans la recherche de primitives. Elles se déduisent immédiatement de la

définition d'une primitive et des opérations sur les fonctions dérivables.

THÉORÈME 4



Si F et G sont des primitives respectives des fonctions f et g sur I, alors F + G est une primitive de f + g sur

I.

Si F est une primitive de la fonction f sur I, et si k est un réel, alors kF est une primitive de kf sur I.

Primitives usuelles

Le tableau suivant est dressé à partir des résultats connus sur les dérivées. Il suffit, en effet, de « lire à l'envers » le tableau des dérivées. Dans ce tableau, c désigne un réel quelconque.

Fonction définie par f (x) = … Primitives définies par F(x) = … sur …

k (constante) kx + c IR

x 1

2 x2 + c IR

1

x2 –1

x + c ]– ; 0[ ou ]0 ; +[

xn (n entier, n –2 ou n 1) xn + 1

n + 1 + c

]– , 0[ ou ]0 , +[ si n –2

IR si n 1

1

x 2 x + c ]0 ; +[

ex ex + c IR

1

x ln x + c ]0 ; +[

u' (x)eu(x) eu(x) I

–u' (x)

u(x)

1

u(x) I

Remarque : Il est possible d'expliciter les dérivées de toutes les fonctions. Il n'en est pas de même pour les primitives.

Ainsi par exemple, la fonction f : x ex2 admet comme dérivée la fonction : x 2xex2

. La fonction f est

continue sur IR ; elle admet donc une primitive sur IR. Mais il n'est pas possible d'expliciter une telle primitive

en utilisant les fonctions usuelles.

OBJECTIF 1 : Déterminer des primitives

Fonction x xn,

n ZZ \ {0} x x x

1

x x k, k IR x ln x x ex

x eu(x),

u dérivable

Dérivée x nxn – 1 x 1

2 x x

–1

x2 x 0 x 1

x x ex x u' (x) eu(x)

Si F et G sont des primitives respectives des fonctions f et g sur I, alors F + G est une primitive de f + g sur I.

Si F est une primitive de la fonction f sur I et si k est un réel, alors kF est une primitive de kf sur I.

Exercice résolu n°A page 157 Trouver une primitive d'un polynôme Trouvez une primitive sur IR du polynôme défini par :

f (x) = x3 – 5x2 + 3x – 4.

Méthode Solution Pour trouver une primitive d'un polynôme, on utilise les résultats suivants :

Une primitive de « kxn » est « kxn + 1

n + 1 » (avec k réel et n

entier positif). Une primitive d'une somme est la somme des primitives de

chaque terme.

Fonction x3 –5x2 3x –4

Primitive sur IR 1

4 x4

–5

3 x3

3

2 x2 –4x

Une primitive de f sur IR est donc la fonction F

définie par :

F(x) = 1

4 x4 –

5

3 x3 +

3

2 x2 – 4x.

Exercice résolu n°B page 157 Trouver une primitive de x xn pour n entier négatif (n –1) Trouvez une primitive sur ]0 ; +[ de la fonction f :

x 3

2x5 – 6

x4 .

Méthode Solution Pour trouver une primitive de la fonction : x 1

xn (n 2), on peut commencer par écrire :

1

xn =

x–n, puis on utilise la formule donnant une

primitive de x xn, dans le cas où n est entier

Remarquons d'abord que la fonction :

f : x 3

2x5 – 6

x4 .

est continue sur ]0 ; +[ donc admet une primitive.



négatif différent de –1. f (x) peut s'écrire f (x) =

3

2 x–5 – 6x–4.

D'où d'après la formule donnant une primitive de xn, on obtient

une primitive de f sur ]0 ; +[ :

F(x) = 3

2

x–5 + 1

–5 + 1 – 6

x–4 + 1

–4 + 1 ,

c'est-à-dire F(x) = –3

8x4 + 2

x3 .

Exercice résolu n°C page 158

Trouvez la primitive, sur ]0 ; +[, de la fonction f : x 2x3 + 1

x + ex qui s'annule pour x = 1.

Méthode Solution Pour trouver la primitive G d'une fonction f telle

que G(x0) = y

0 :

on trouve une primitive F de f sur I ;

on écrit toutes les primitives G = F + c de f sur I, avec c réel ;

on trouve le réel c tel que G(x0) = y

0 .

Une primitive de f sur ]0 ; +[ s'écrit :

F(x) = x4

2 + ln x + ex.

Les primitives de f sont les fonctions G définies sur ]0 ; +[ par :

G(x) = x4

2 + ln x + ex + c.

Dire que G(1) = 0 revient à dire que : 1

2 + ln 1 + e1 + c = 0 ;

d'où c = –1

2 – e.

La primitive cherchée est donc la fonction définie sur IR par :

G(x) = x4

2 + ln x + ex –

1

2 – e.

Exercice n°1 page 158 Trouvez une primitive sur IR de la fonction f.

a) f (x) = 2x + 1. b) f (x) = 3x2 + x – 4.

On note F une primitive de f sur IR.

a) F(x) = 2 x2

2 + x = x2 + x .

b) F(x) = 3 x3

3 +

x2

2 – 4x = x3 +

x2

2 – 4x .


a) f (x) = 4x3 – x2 + 5

2 . b) f (x) =

3

4 x2 –

2

3 x + 4.


a) F(x) = 4 x4

4 –

x3

3 +

5

2 x = x4 –

x3

3 +

5

2 x .

b) F(x) = 3

4

x3

3 –

2

3

x2

2 + 4x =

x3

4 –

x2

3 + 4x .


a) f (x) = x2

2 –

x

3 . b) f (x) =

2x3

3 –

5x

4 + 1.


a) F(x) = 1

2

x3

3 –

1

3

x2

2 =

x3

6 –

x2

6.

b) F(x) = 2

3

x4

4 –

5

4

x2

2 + x =

x4

6 –

5x2

8 + x .




a) f (x) = 1 – 2

5 x2 + x3. b) f (x) = 2 –

x5

5 .


a) F(x) = x – 2

5

x3

3 +

x4

4 = x –

2

15 x3 +

x4

4.

b) F(x) = 2 x – 1

5

x6

6 = x 2 –

x6

30.


a) f (x) = 0,8x3 – 1,2x2 + 0,5. b) f (x) = 0,2x4 – 3,6x3 – 8,2x.


a) F(x) = 0,8 x4

4 – 1,2

x3

3 + 0,5x = 0,2x4 – 0,4x3 + 0,5x .

b) F(x) = 0,2 x5

5 – 3,6

x4

4 – 8,2

x2

2 = 0,04x5 – 0,9x4 – 4,1x2 .

Exercice n°6 page 158 Trouvez une primitive sur ]0 ; +[ de la fonction f.

a) f (x) = 1

x3 . b) f (x) = 3

x4 .


a) f (x) = x–3, d’où F(x) = x–2

–2 =

–1

2x2 .

b) f (x) = 3x–4, d’où F(x) = 3 x–3

–3 =

–1

x3 .


a) f (x) = 2

x3 + 5

x2 . b) f (x) = 3

5x4 – 7

x3 .


a) f (x) = 2x–3 + 5x–2, d’où F(x) = 2 x–2

–2 + 5

x–1

–1 =

–1

x2 – 5

x.

b) f (x) = 3

5 x–4 – 7x–3, d’où F(x) =

3

5

x–3

–3 – 7

x–2

–2 =

–1

5x3 + 7

2x2 .


a) f (x) = 3

2 x +

1

x2 . b) f (x) = 6

x4 – 1

x .


a) f (x) = 3 1

2 x –

–1

x2 , d’où F(x) = 3 x – 1

x.

b) f (x) = 6x–4 – 2 1

2 x, d’où F(x) = 6

x–3

–3 – 2 x =

–2

x3 – 2 x .


a) f (x) = 1

x –

3

x2 . b) f (x) = 4ex – 1

x .


a) f (x) = 1

x – 3

1

x , d’où F(x) = ln x –

3

x.

b) F(x) = 4ex – ln x .




a) f (x) = ex

3 –

1

2x . b) f (x) =

–2ex

3 +

3

4x2 .


a) F(x) = ex

3 –

1

2 ln x .

b) f (x) = –2

3 ex +

3

4 x–2, d’où F(x) =

–2

3 ex +

3

4

x–1

–1 =

–2ex

3 –

3

4x.


a) f (x) = –1

2x3 + x. b) f (x) = 5

3x4 – 1

2x .


a) f (x) = –1

2 x–3 + x, d’où F(x) =

–1

2

x–2

–2 +

x2

2 =

1

4x2 + x2

2.

b) f (x) = 5

3 x–4 –

1

2

1

x , d’où F(x) =

5

3

x–3

–3 –

1

2 ln x =

–5

9x3 – 1

2 ln x.

Exercice n°12 page 158 Trouvez la primitive de la fonction f qui s'annule pour x = 0.

a) f (x) = x3 + x + 1. b) f (x) = 3x3 – 2x + 5.

On note F une primitive de f sur IR, et c un réel.

a) F(x) = x4

4 +

x2

2 + x + c.

Alors F(0) = c ; or F(0) = 0, donc c = 0, et F(x) = x4

4 +

x2

2 + x .

b) F(x) = 3 x4

4 – 2

x2

2 + 5x + c =

3x4

4 – x2 + 5x + c.

Alors F(0) = c ; or F(0) = 0, donc c = 0, et F(x) = 3x4

4 – x2 + 5x .

Exercice n°13 page 158 Trouvez la primitive de la fonction f qui s'annule pour x = 0.

a) f (x) = ex – x. b) f (x) = 2ex – 1

2 .


a) F(x) = ex – x2

2 + c.

Alors F(0) = 1 + c ; or F(0) = 0, donc c = –1, et F(x) = ex – x2

2 – 1 .

b) F(x) = 2ex – 1

2 x + c.

Alors F(0) = 2 + c ; or F(0) = 0, donc c = –2, et F(x) = 2ex – 1

2 x – 2 .

Exercice n°14 page 158

Trouvez la primitive, sur ]0 ; +[, de la fonction f : x 6x2 – 3

x – 1 qui s'annule pour x = 1.


F(x) = 6 x3

3 – 3 ln x – x + c = 2x3 – 3 ln x – x + c.

Alors F(1) = 2 – 1 + c = 1 + c ; or F(1) = 0, donc c = –1, et F(x) = 2x3 – 3 ln x – x – 1 .


Trouvez la primitive, sur ]0 ; +[, de la fonction f : x 3

x2 – 5

x qui prend la valeur 2 –

1

e en x = e.




F(x) = –3

x – 5 ln x + c.

Alors F(e) = –3

e – 5 + c ; or F(e) = 2 –

1

e , donc c = 2 –

1

e –

–3

e – 5 = 7 +

2

e , et F(x) =

–3

x – 5 ln x + 7 +

2

e.

OBJECTIF 2 : Connaître une primitive de x u' (x) eu(x)

u est une fonction dérivable sur un intervalle I.

Une primitive de x u' (x)eu(x) sur I est x eu(x).

Exercice résolu n°D page 159 1) Trouvez une primitive sur IR de la fonction f : x (–2x + 3) e–x2 + 3x + 1.

2) Trouvez une primitive sur IR de la fonction g : x 2x2 ex3 + 2.

Méthode Solution 1) On essaie de se ramener à une formule de primitive

du cours : une primitive de u' eu est eu.

1) Posons u(x) = –x2 + 3x + 1. On a u' (x)= –2x + 3.

Une primitive de f sur IR est donc la fonction F

définie par F(x) = e–x2 + 3x + 1.

2) On utilise à nouveau le fait qu'une primitive de u' eu

est eu.

On fait apparaître u' (x) dans l'écriture de g(x) :

g(x) = 3x2 ex3 + 2 puis on écrit le coefficient

convenable dans la case.

2) Posons u(x) = x3 + 2.

On a u' (x) = 3x2.

g(x) = 2

3 3x2 ex3 + 2.

Une primitive de g sur IR est donc la fonction G

définie par G(x) = 2ex3 + 2.


a) f (x) = 2e2x. b) f (x) = 1

2 e 2

x

.


a) F(x) = 2 e2x

2 = e2x .

b) F(x) = 1

2

e 2

x

1

2

= e 2

x

.


a) f (x) = 2xex2. b) f (x) = 3x2ex3

.


a) F(x) = ex2.

b) F(x) = ex3.


a) f (x) = x2ex3. b) f (x) = x5ex6

.


a) f (x) = 1

3 3x2ex3

, d’où F(x) = 1

3 ex3

.

b) f (x) = 1

6 6x5ex6

, d’où F(x) = 1

6 ex6

.


a) f (x) = 0,3e0,3x. b) f (x) = 2,6x e1,3x2 – 1.


a) F(x) = e0,3x .

b) F(x) = e1,3x2 – 1 .




Trouvez une primitive sur IR de la fonction f.

a) f (x) = x ex2 + 1. b) f (x) = (x – 2)ex2 – 4x + 5.


a) f (x) = 1

2 2x ex2 + 1, d’où F(x) =

1

2 ex2 + 1 .

b) f (x) = 1

2 (2x – 4)ex2 – 4x + 5, d’où F(x) =

1

2 ex2 – 4x + 5 .


a) f (x) = (5x – 1)e5x2 – 2x + 3. b) f (x) = ex3 – x2 (3x2 – 2x).


a) f (x) = 1

2 (10x – 2)e5x2 – 2x + 3, d’où F(x) =

1

2 e5x2 – 2x + 3 .

b) f (x) = (3x2 – 2x) ex3 – x2, d’où F(x) = ex3 – x2

.


a) f (x) = 1

e3 – 2x . b) f (x) = ex 1

e4x .


a) f (x) = e2x – 3 = 1

2 2e2x – 3 , d’où F(x) =

1

2 e2x – 3 .

b) f (x) = ex e–4x = e–3x = –1

3 ( )–3e–3x , d’où F(x) =

–1

3 e–3x .

4 EXTENSION DE LA NOTION D'INTÉGRALE

4.1 Définition de ab f (t) dt lorsque f est de signe quelconque

DÉFINITION 3

Soit f une fonction continue sur [a ; b], de signe quelconque, et soit F une primitive de f sur cet intervalle. Alors,

par définition :

a

b f (t) dt = F(b) – F(a).

4.2 Définition de ab f (t) dt lorsque a b

DÉFINITION 4

On pose : a

b f (t) dt = –b

a f (t) dt.

Remarque :

La relation a

b f (t) dt = F(b) – F(a) est également vraie lorsque a est supérieur à b.

En effet : soit a b.

Alors : a

b f (t) dt = –b

a f (t) dt = –[F(a) – F(b)] = F(b) – F(a).


Calculez les intégrales : A = 1

2 (x2 – 1) dx ; B = 0

1 (4x3 – 5x + 2) dx.

A =

x3

3 – x

2

1 =

8

3 – 2 –

1

3 – 1 =

4

3.

B =

x4 –

5x2

2 + 2x

1

0 =

1 –

5

2 + 2 – 0 =

1

2.



2 (x3 + x2 + 1) dx ; B =

1

2 1

3 (x4 – 3x2 + 5) dx.



A =

x4

4 +

x3

3 + x

2

0 =

4 +

8

3 + 2 – 0 =

26

3.

B = 1

2

x5

5 – x3 + 5x

3

1 =

1

2

243

5 – 27 + 15 –

1

5 – 1 + 5 =

1

2

242

5 – 16 =

121

5 – 8 =

81

5.

OBJECTIF 3 : Calculer une intégrale

Si f est une fonction continue sur [a ; b] et si F est une primitive de f, alors a

b f (x) dx = F(b) – F(a).

Exercice résolu n°E page 160

Calculez l'intégrale A =

1

4

1

2 x + x2 dx.

Méthode Solution

Pour calculer A = a

b f (x) dx :

On cherche une primitive F de f ; Recherche d'une primitive de f : x

1

2 x + x2.

La fonction f admet comme primitive sur l'intervalle la

fonction F : x x + x3

3 .

On utilise la formule

a

b f (x) dx = F(b) – F(a).

A =

1

4

1

2 x + x2 dx = F(4) – F(1) =

4 +

43

3 –

1 +

13

3

= 1 + 63

3 =

66

3 = 22.


Calculez les intégrales : A =

1

2

x –

1

x2 dx ; B =

1

3

1

x3 + 2

x4 dx.

A =

x2

2 +

1

x 2

1 =

2 +

1

2 –

1

2 + 1 = 1 .

B = 1

3 x–3 + 2x–4 dx =

x–2

–2 + 2

x–3

–3 3

1 =

–1

2x2 – 2

3x3 3

1 =

–1

18 –

2

81 –

–1

2 –

2

3 =

–9 – 4 + 81 + 108

162 =

176

162 =

88

81.


Calculez les intégrales : A =

1

4

5 –

1

x dx ; B =

1

2

3

x + x dx.

A = [ ]5x – 2 x4

1 = (20 – 4) – (5 – 2) = 16 – 3 = 13 .

B =

3 ln x +

x2

2 2

1 = (3 ln 2 + 2) –

1

2 = 3 ln 2 +

3

2.



2 e2x + 1 dx ; B = 0

2 x e–x

2

dx.

A =

1

2 e2x + 1

2

1 =

1

2 e5 –

1

2 e3 =

1

2 (e5 – e3) .

B = –1

2 0

2 –2x e–x

2

dx = –1

2 [ ]e–x

2 2

0 =

–1

2 ( )e–4 – 1 =

1

2 ( )1 – e–4 .

Exercice n°33 page 160 1) Calculez l'intégrale A = 0

2 (x + 1) dx.

2) Retrouvez géométriquement ce résultat en utilisant la formule donnant l'aire d'un trapèze.

1) A =

x2

2 + x

2

0 = (2 + 2) – 0 = 4 .



2) A est l’aire du domaine compris entre la droite d’équation y = x + 1,

l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 2.

Ce domaine est représenté par la zone hachurée sur le graphique ci-contre. Il s’agit d’un trapèze.

A = (1 + 3) 2

2 = 4.

Exercice n°35 page 160 On note C la courbe d'équation y = x2 dans un repère orthonormé.

Calculez l'aire du domaine coloré en rouge sur la figure.

Aide

Calculez d'abord l'aire du domaine délimité par C, la droite des abscisses et les

droites d'équations x = –2 et x = 2.

4 4 – –0

2 x2 dx = 16 –

x3

3

2

–2 = 16 –

8

3 –

–8

3= 16 –

16

3 =

32

3.

Exercice n°53 page 166 En utilisant la définition de a

b f (x) dx pour f continue et positive sur [a ; b], calculez :

a) 0

4 x dx b) 2

3 x dx c) 1

4 (2x + 1) dx.

a

b f (x) dx est égale à l’aire sous la courbe. D’où :

a) 0

4 x dx est l’aire d’un triangle rectangle, soit :

4 4

2 = 8 .

Autre méthode : 0

4 x dx =

x2

2 4

0 = 8 – 0 = 8.

4

4

0 2

2

x

y

b) 2

3 x dx est l’aire d’un trapèze, soit :

(2 + 3) 1

2 =

5

2.

Autre méthode : 2

3 x dx =

x2

2 3

2 =

9

2 – 2 =

5

2 .

40 2

2

x

y

c) 1

4 (2x + 1) dx est l’aire d’un trapèze, soit :

(3 + 9) 3

2 = 18 .

Autre méthode : 1

4 (2x + 1) dx = [x2 + x]

4

1 = 20 – 2 = 18.

4

4

6

8

0 2

2

x

y



Exercice n°111 page 171 C est la courbe représentative de la fonction x x3.

1) Calculez : J = –1

0 x3 dx.

2) Donnez alors la valeur de l'aire du domaine colorié. Expliquez. Remarque. Attention, une aire s'exprime avec un nombre positif.

1) J = –1

0 x3 dx =

x4

4 0

–1 = 0 –

1

4 =

–1

4.

2) L’aire n’est pas égale à l’intégrale car, sur [–1 ; 0], f est négative. L’aire est alors égale à l’opposé de cette intégrale :

A = –J = 1

4 unité d’aire .


C est la courbe représentant la fonction x 4 – x2

2 dans un repère

orthonormal (O ;

i ,

j ) (unité graphique : 2 cm).

Calculez l'aire, en cm2, du domaine D colorié.

La fonction x 4 – x2

2 est continue et positive sur [–1 ; 2].

D’où l’aire : A =

–1

2

4 – x2

2 dx =

–1

2

2 –

x2

2 dx =

2x –

x3

6 2

–1 = 4 –

4

3 –

–2 +

1

6 =

8

3 +

11

6 =

27

6 =

9

2 unités d’aire.

L’unité d’aire est égale à 22 = 4 cm2.

D’où l’aire : A = 4 9

2 = 18 cm2 .

Exercice n°60 page 167 Donnez une primitive de la fonction f sur l'intervalle I. a) f (x) = x + 1 I = IR. b) f (x) = 3x2 + x – 1 I = IR.


a) F(x) = x2

2 + x .

b) F(x) = x3 + x2

2 – x .

Exercice n°61 page 167 Donnez une primitive de la fonction f sur l'intervalle I.

a) f (x) = x3 + 3

4 x2 – x – 5 I = IR. b) f (x) =

2

3 x5 –

3

4 x I = IR.


a) F(x) = x4

4 +

3

4

x3

3 –

x2

2 – 5x =

x4

4 +

x3

4 –

x2

2 – 5x

b) F(x) = 2

3

x6

6 –

3

4

x2

2 =

x6

9 –

3x2

8.


a) f (x) = –1

x2 I = ]0 ; +[. b) f (x) = 2

x2 I = ]0 ; +[.



On note F une primitive de f sur ]0 ; +[.

a) F(x) = 1

x.

b) F(x) = –2

x.


a) f (x) = 1

x3 I = ]0 ; +[. b) f (x) = 3

x4 I = ]0 ; +[.


a) f (x) = x–3, d’où F(x) = x–2

–2 =

–1

2x2 .

b) f (x) = 3x–4, d’où F(x) = 3 x–3

–3 =

–1

x3 .


a) f (x) = 2x3 – 1

x2 I = ]0 ; +[. b) f (x) = 3 + 1

x2 – 5

x3 I = ]0 ; +[.


a) F(x) = 2 x4

4 +

1

x =

x4

2 +

1

x.

b) f (x) = 3 + x–2 – 5x–3, d’où F(x) = 3x + x–1

–1 – 5

x–2

–2 = 3x –

1

x +

5

2x2 .


a) f (x) = 1

2 x I = ]0 ; +[. b) f (x) =

1

x I = ]0 ; +[.


a) F(x) = x .

b) F(x) = 2 x .


a) f (x) = 1

x2 – 1

x I = ]0 ; +[. b) f (x) =

1

x3 + 4

x I = ]0 ; +[.


a) F(x) = –1

x – 2 x .

b) f (x) = x–3 + 8 1

2 x , d’où F(x) =

x–2

–2 + 8 x =

–1

2x2 + 8 x .


a) f (x) = ex I = IR. b) f (x) = 3x – 2ex I = IR.


a) F(x) = ex .

b) F(x) = 3x2

2 – 2ex .


a) f (x) = 1

x I = IR*+. b) f (x) =

–4

x I = IR*+.



On note F une primitive de f sur IR*+.

a) F(x) = ln x .

b) F(x) = –4 ln x .


a) f (x) = 1

(x – 1)2 I = ]1 ; +[. b) f (x) = 3

(3x – 2)2 I = ] 2

3 ; +[.

On note F une primitive de f sur I.

a) F(x) = –1

x – 1 =

1

1 – x.

b) F(x) = –1

3x – 2 =

1

2 – 3x.


a) f (x) = e2x I = IR. b) f (x) = 4e0,3x I = IR.


a) f (x) = 1

2 2e2x, d’où F(x) =

1

2 e2x .

b) f (x) = 4

0,3 0,3e0,3x, d’où F(x) =

40

3 e0,3x .


a) f (x) = xex2 I = IR. b) f (x) = (x + 1)e3x2 + 6x – 4 I = IR.


a) f (x) = 1

2 2xex2

, d’où F(x) = 1

2 ex2

b) f (x) = 1

6 (6x + 6)e3x2 + 6x – 4, d’où F(x) =

1

6 e3x2 + 6x – 4 .


a) f (x) = 4x3 – 3x2 + 1

x I = ]0 ; +[. b) f (x) =

1

x x I = ]0 ; +[.

Aide

Écrire f (x) sous une autre forme.


a) f (x) = 4x2 – 3x + 1

x , d’où F(x) = 4

x3

3 – 3

x2

2 + ln x =

4x3

3 –

3x2

2 + ln x .

b) f (x) = –2

– 1

2 x

( )x2 , d’où F(x) = –2

1

x =

–2

x.

Exercice n°73 page 167 Voici six fonctions. Associez trois de ces fonctions à leur primitive respective.

f1 (x) = 5x2 + 10x – 1

f2 (x) =

–1

x2

f3 (x) = 10(x + 1)

f4 (x) =

2

x3

f5 (x) = (x + 1)2

f6 (x) = 2(x + 1)

f1' (x) = 10x + 10 = f

3 (x), donc f

3 a pour primitive f

1.

f2' (x) =

2x

x4 = f4 (x), donc f


2.

f5' (x) = 2 1 (x + 1) = f

6 (x), d’où f


5.



Exercice n°98 page 170 Primitive imposée Pour les fonctions f suivantes, déterminez la primitive F, sur IR, telle que F(x

0) = y

0 .

a) f (x) = x2 + 1 x0 = 2 y

0 = 1

b) f (x) = e3x x0 = 0 y

0 = 2

c) f (x) = e–4x + 1 x0 =

1

4 y

0 = 5

d) f (x) = xex2 x

0 = 1 y

0 = e

a) F(x) = x3

3 + x + c, où c où c est un réel.

D’où F(2) = 8

3 + 2 + c =

14

3 + c.

Donc F(2) = 1 si, et seulement si, 14

3 + c = 1, soit c =

–11

3 .

Finalement F(x) = x3

3 + x –

11

3.

b) F(x) = 1

3 e3x + c, où c où c est un réel.

D’où F(0) = 1

3 + c.

Donc F(0) = 2 si, et seulement si, 1

3 + c = 2, soit c =

5

3 .

Finalement F(x) = 1

3 e3x +

5

3.

c) F(x) = –1

4 e–4x + 1 + c, où c où c est un réel.

D’où F1

4 =

–1

4 + c.

Donc F1

4 = 5 si, et seulement si,

–1

4 + c = 5, soit c =

21

4 .

Finalement F(x) = –1

4 e–4x + 1 +

21

4.

d) F(x) = 1

2 ex2

+ c, où c où c est un réel.

D’où F(1) = e

2 + c.

Donc F(1) = e si, et seulement si, e

2 + c = e, soit c =

e

2 .

Finalement F(x) = 1

2 ex2

+ e

2.

Exercice n°99 page 170 Pour les fonctions f suivantes, déterminez la primitive sur I dont la courbe représentative passe par le point A donné.

a) f (x) = 2x2 – 3 I = IR A(2 ; 4)

b) f (x) = 5

x I = ]0 ; +[ A(1 ; 3)

c) f (x) = 6

x2 I = ]– ; 0[ A(–2 ; 4)

a) F(x) = 2

3 x3 – 3x + c, où c où c est un réel.

D’où F(2) = 16

3 – 6 + c =

–2

3 + c.

Donc F(2) = 4 si, et seulement si, –2

3 + c = 4, soit c =

14

3.

Finalement F(x) = 2

3 x3 – 3x +

14

3.

b) F(x) = 5 ln x + c, où c où c est un réel.

D’où F(1) = c.

Donc F(1) = 3 si, et seulement si, c = 3.

Finalement F(x) = F(x) = 5 ln x + 3 .



c) F(x) = –6

x + c, où c où c est un réel.

D’où F(–2) = 3 + c.

Donc F(–2) = 4 si, et seulement si, 3 + c = 4, soit c = 1.

Finalement F(x) = –6

x + 1 .

Exercice n°100 page 170 Coût total Une entreprise fabrique un bien de consommation.

Le coût marginal, en euros, en fonction de la quantité q fabriquée est Cm(q) = 3q2 – 120q + 1 250.

On pourra assimiler le coût marginal à la dérivée du coût total. Calculez le coût total C(q) sachant que C(0) = 10 000.

La fonction C est la primitive de la fonction Cm qui s’annule pour q = 10 000.

D’où C(q) = q3 – 60q2 + 1 250 q + 10 000 .


x 0, F(x) = 0

x t3 dt. Déterminez F' (x).

F' (x) = x3 .


x 1, F(x) = 1

x t2 ln t dt. Déterminez F' (x).

F' (x) = x2 ln x .


x 2, F(x) =

2

x du

u. Déterminez F' (x).

F' (x) = 1

x.


Donnez le sens de variation de F sur l'intervalle I. F(x) = –10

x t2 dt I = [–10 ; +[.

F' (x) = x2, d’où F' (x) 0 sur I, et donc F est croissante sur I.

Exercice n°84 page 168 Considérons la fonction f, définie sur [1 ; +[ par :

f (x) = 2x ln x

et la fonction g, définie sur [1 ; +[ par :

g(x) = x2 ln x.

1) Calculez g' (x). 2) Déduisez-en une primitive de f sur [1 ; +[.

1) g' (x) = 2x ln x + x2 1

x = 2x ln x + x .

2) f (x) = g' (x) – x, donc une primitive F de f sur [1 ; +[ est définie par F(x) = g(x) – x2

2 = x2 ln x –

x2

2.

Exercice n°91 page 169 F et G sont des primitives de f sur IR. On sait que F(1) = 3 ; G(1) = 5 et F(2) = 4. Calculez G(2).

Comme F et G sont des primitives d’une même fonction f, alors G = F + c, soit G – F = c, où c est un réel.

Donc c = G(1) – F(1) = 5 – 3 = 2, et G(2) = F(2) + c = 4 + 2 = 6 .

Exercice n°93 page 169 Tangente à la courbe d'une primitive F est une primitive de f sur [–2 ; 7]. On sait que f (1) = 4 et F(1) = 3.

1) Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de F au point d'abscisse 1 ?

2) Écrivez une équation de cette tangente. 1) F' (1) = f (1) = 4.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de F au point d'abscisse 1 est 4 .



2) Une équation de cette tangente est de la forme y = 4x + p.

Comme F(1) = 3, alors la tangente passe par le point A(1 ; 3), d’où 3 = 4 1 + p, et p = –1.

Donc une équation de la tangente est y = 4x – 1 .

Exercice n°96 page 169 Ci-contre a été dessinée la courbe représentative d'une fonction F définie

sur [–2 ; 5].

L’une des trois courbes suivantes représente la fonction f dont F est une

primitive. Trouvez laquelle en justifiant votre réponse.

F' (2) = F' (5) = 0.

Donc, on doit avoir f (2) = f (5) = 0.

Autre méthode :

x –2 2 5

F(x)

F' (x) = f (x) + 0 – 0

Seule la courbe C3

convient.

Exercice n°97 pages 169-170 Cherchez l'intrus a)

b)

c)

Les trois dessins ci-dessus représentent chacun deux fonctions f et g. Dans deux d'entre eux, l'une des fonctions est une

primitive de l'autre. Dites lesquels en justifiant votre choix.

Cg étant, dans chaque dessin, une droite non parallèle à (Ox), ce sont les fonctions g qui sont susceptibles d’être des

primitives des fonctions f.

Dans le dessin c), f (x) > 0 sur ]– ; –1[, alors que sur cet

intervalle g est décroissante.

D’où g n’est pas une primitive de f.

Les dessins corrects sont a et b .

x – –1 +

f (x) + 0 –

g(x)

–2

Vérification : a) x – 0,5 +

f (x) – 0 +

g(x)

b) x – 3 +

f (x) + 0 –

g(x)

Exercice n°101 page 170 1) Expliquez pourquoi la fonction :

f : x –1

x2 + 4

possède des primitives sur IR.

2) On désigne par F la primitive de f sur IR, nulle en 0.

a) Étudiez le sens de variation, puis le signe de F.

b) Donnez une équation de la tangente à l'origine à la courbe représentative de F.



1) f est une fonction rationnelle. Le dénominateur x2 + 4 ne s’annule pas sur IR ; donc f est continue sur IR, et donc elle

y possède des primitives. 2)

a) F' (x) = f (x) = –1

x2 + 4 , d’où F' (x) < 0, donc F est strictement décroissante sur IR.

De plus F(0) = 0, d’où le signe de F(x) :

b) La tangente passe par le point O(0 ; 0) et a pour coefficient directeur F' (0) = f (0) = –1

4 .

D’où son équation : y = –1

4 x .

Exercice n°103 page 170 C(q), coût total de fabrication d'une quantité q d'un produit, est la somme du coût variable C

V(q) qui dépend de la

quantité de produit fabriqué, et du coût fixe CF qui est une constante (loyer, EDF, …), c'est-à-dire :

C(q) = CV

(q) + CF .

Dans une entreprise, le coût marginal en euros assimilé à C' (q), est égal à :

300q2 – 200q + 50.

On sait de plus que CV

(0) = 0.

1) Calculez le coût total C(q) en fonction de la quantité q et du coût fixe CF .

2) Quelle est la valeur du coût fixe CF si le coût total de fabrication de 20 unités est de 901 000 euros ?

1) C(q) = 300 q3

3 – 200

q2

2 + 50q + C

F = 100q3 – 100q2 + 50q + C

F.

2) C(20) = 800 000 – 40 000 + 1 000 + CF = 761 000 + C

F .

C(20) = 901 000 si, et seulement si, CF = 901 000 – 761 000 = 140 000 .

Exercice n°104 page 170 Coût marginal ; coût total Partie A Étude d'une fonction

1) Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; 700] par :

f (x) = 0,04x + 100 + 540 000

x2 .

a) On note f ' la dérivée de la fonction f. Vérifiez que :

f ' (x) = (x – 300)(x2 + 300x + 90 000)

25x3 .

b) Étudiez les variations de la fonction f.

2) Dessinez la représentation graphique de la fonction F dans un repère orthogonal (O ;

i ,

j ), où 1 cm représente 50

unités sur l'axe des abscisses et 1 cm représente 20 unités sur l'axe des ordonnées.

Partie A Étude d'une fonction 1)

a) f ' (x) = 0,04 + 540 000 –2x

x4 = 1

25 –

1 080 000

x3 = x3 – 27 000 000

x3 .

(x – 300)(x2 + 300x + 90 000)

25x3 = x3 + 300x2 + 90 000x – 300x2 – 90 000x – 27 000 000

25x3 = f ' (x).

b) Pour x2 + 300x + 90 000 ; on a Δ = 90 000 – 360 000 = –270 000.

x 0 300 700

x – 300 – 0 +

x2 + 300x + 90 000 + +

f ' (x) – 0 +

f (x)

118

6 326

49



2)

Partie B On rappelle que le coût marginal C

m de la fabrication d'une quantité d'un produit est le coût de fabrication d'une unité

supplémentaire de ce produit. On considère que, dans la situation étudiée dans cette partie, le coût marginal est la dérivée de la fonction coût total C de la fabrication.

Une entreprise fabrique au plus 700 unités d'un produit. Elle ne peut fabriquer moins de 100 unités : le coût total de

fabrication de ces 100 premières unités est de 16 000 euros.

Le coût marginal Cm de fabrication de ce produit est décrit sur l'intervalle [100 ; 700] par la fonction f étudiée dans la

partie A. On a donc C

m(x) = f (x) pour x [100 ; 700].

On note C(x) le coût total de la fabrication de x unités.

1) Montrez que pour tout x [100 ; 700] :

C(x) = 16 000 + 100

x Cm

(t) dt.

2) Calculez le coût total C(x) pour x [100; 700].

Partie B 1) C est la primitive de C

m prenant la valeur 16 000 pour x = 100. D’où :

C(x) = 100

x f (t) dt + 16 000.

2) C(x) =

0,02t2 + 100t –

540 000

t x

100 + 16 000

C(x) = 0,02x2 + 100x – 540 000

x – 4 800 + 16 000

C(x) = 0,02x2 + 100x – 540 000

x + 11 200 .



Exercice n°138 page 173 Aire sous la courbe de deux manières C est la courbe représentative de la fonction : x 2x + 1.

1) Calculez directement l'aire sous la courbe pour x appartenant à [0 ; 2], c'est-à-dire

l'aire du trapèze OABC.

2) a) Donnez à présent la valeur de cette aire à l'aide d'une intégrale I.

b) Calculez I. 3) Comparez les résultats obtenus aux questions 2) et 3).

1) 2 (1 + 5)

2 = 6 unités d’aire .

2) a) Comme 2x + 1 > 0 sur [0 ; 2], alors I = 0

2 (2x + 1) dx .

b) I = [ ]x2 + x 2

0 = 6 – 0 = 6 .

3) On obtient bien sûr le même résultat.

Exercice n°139 page 174 Calculez l'aire sous la courbe de la fonction carré, pour x appartenant à [0 ; 1].

La fonction carré est continue et positive sur [0 ; 1].

D’où l’aire : A = 0

1 x2 dx =

x3

3 1

0 =

1

3 – 0 =

1

3 unité d’aire.


C est la courbe représentant la fonction x 4 – x2

2 dans un repère

orthonormal (O ;

i ,

j ) (unité graphique : 2 cm).

Calculez l'aire, en cm2, du domaine D colorié.

La fonction x 4 – x2

2 est continue et positive sur [–1 ; 2].

D’où l’aire : A =

–1

2

4 – x2

2 dx =

–1

2

2 –

x2

2 dx =

2x –

x3

6 2

–1 = 4 –

4

3 –

–2 +

1

6 =

8

3 +

11

6 =

27

6 =

9

2 unités d’aire.

L’unité d’aire est égale à 22 = 4 cm2.

D’où l’aire : A = 4 9

2 = 18 cm2 .

Exercice n°141 page 174 Tracez la courbe C représentant la fonction f et calculez l'aire sous la courbe pour x appartenant à l'intervalle I.

f (x) = 1

x I = [2 ; 3].

Comme 1

x > 0 sur [2 ; 3] ; alors l’aire est :

2

3

1

x dx = [ln x]

3

2 = ln 3 – ln 2 = ln

3

2 unité d’aire .


f (x) = ex I = [0 ; 3].



Comme ex > 0 sur [0 ; 3] ; alors l’aire est :

0

3 ex dx = [ex]

3

0 = e3 – 1 unités d’aire .


f (x) = e–x I = [–1 ; 1].

Comme e–x > 0 sur [–1 ; 1] ; alors l’aire est :

–1

1 e–x dx = [ ]–e–x

1

–1 =

–1

e – (–e) = e –

1

e unités d’aire .

Exercice n°145 page 174 Deux courbes pour une aire La figure de gauche donne la représentation graphique d'une fonction f, et la figure de droite, celle d'une

primitive de f sur IR.

Avec ces seuls renseignements, donnez l'aire sous la

courbe f pour x appartenant à [1 ; 2]..

Notons F la primitive donnée par la courbe de droite.

Comme f > 0 sur [A ; 2], alors l’aire est :

1

2 f (x) dx = F(2) – F(1) = 4 – 2 = 2 unités d’aire .

5 LINÉARITÉ, POSITIVITÉ, RELATION DE CHASLES

5.1 Linéarité de l'intégrale

THÉORÈME 7

f et g sont des fonctions continues sur l'intervalle [a ; b]. Alors :

a

b (f + g)(t) dt = a

b f (t) dt + a

b g(t) dt.

On dit que l'intégrale de la somme est la somme des intégrales.

Démonstration : Notons F et G des primitives respectivement de f et g sur [a ; b] ; alors F + G est une primitive de f + g sur

[a ; b].

Donc a

b (f + g)(t) dt = (F + G)(b) – (F + G)(a) = F(b) + G(b) – F(a) – G(a).

Or, a

b f (t) dt + a

b g(t) dt = F(b) – F(a) + G(b) – G(a) ; d'où le résultat.

THÉORÈME 7

f est une fonction continue sur l'intervalle [a ; b] et est un réel quelconque. Alors :

a

b f (t) dt = a

b f (t) dt.



Démonstration :

Notons F une primitive de f sur [a ; b] ; alors F est une primitive de f sur [a ; b],

donc a

b f (t) dt = F(b) – F(a) = [F(b) – F(a)] = a

b f (t) dt.

Remarque :

Si = –1 on obtient : a

b –f (t) dt = a

b f (t) dt.

5.2 Positivité

THÉORÈME 9

f est une fonction continue sur un intervalle [a ; b].

si f 0 sur I, alors a

b f (t) dt 0 ; si f 0 sur I, alors a

b f (t) dt 0.

Démonstration :

Si f 0, a

b f (t) dt est une aire, donc un nombre positif.

Si f 0, alors –f 0. Donc a

b –f (t) dt 0.

Or , a

b –f (t) dt = –a

b f (t) dt (remarque ci-dessus).

Donc a

b f (t) dt peut s'écrire : –a

b –f (t) dt, et donc a

b f (t) dt 0.

THÉORÈME 10

f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b].

Si f g sur [a ; b], alors a

b f (t) dt a

b g(t) dt.

Démonstration : Dire que f g sur un intervalle [a ; b] signifie que la fonction f – g est négative sur [a ; b], ou que g – f est

positive sur [a ; b]. En appliquant le théorème 9 à la fonction g – f, et compte tenu de la linéarité, nous

obtenons aussitôt le théorème 10. Remarque : Interprétation en termes d'aires

Graphiquement, l'interprétation de la propriété précédente par des aires, pour des fonctions positives, est illustrée par la figure ci-contre.

5.3 Relation de Chasles

THÉORÈME 11

f est une fonction continue sur un intervalle I.

Alors, quels que soient les réels a, b et c de I :

a

c f (t) dt = a

b f (t) dt + b

c f (t) dt.

Démonstration : Notons F une primitive de f sur I ; alors :

a

c f (t) dt = F(c) – F(a)

et a

b f (t) dt + b

c f (t) dt = F(b) – F(a) + F(c) – F(b) = F(c) – F(a).

D'où le résultat. Remarque : Interprétation en termes d'aires

Lorsque f est positive et lorsque les réels a, b, c sont tels que a b c, la

relation de Chasles traduit l’additivité des aires : l’aire de la réunion de deux domaines adjacents est la somme des aires de chacun d’eux.



Exercice n°115 page 172 Indiquez le signe de chaque intégrale sans chercher à calculer cette intégrale.

a)

1

2

x2 – 3x

x2 + 2 dx b)

0

1

x – 4

x2 + x + 1 dx.

a) x2 – 3x

x2 + 2 =

x(x – 3)

x2 + 2

x – 0 3 +

x – 0 + +

x – 3 – – 0 +

x2 + 2 + + +

x2 – 3x

x2 + 2 + 0 – 0 +

x2 – 3x

x2 + 2 < 0 sur [1 ; 2] et 1 < 2, donc

1

2

x2 – 3x

x2 + 2 dx est négative .

b) Étudions le polynôme x2 + x + 1. On a = 1 – 4 = –3, donc x2 + x + 1 > 0 sur IR.

x – 4 +

x – 4 – 0 +

x2 + x + 1 + +

x – 4

x2 + x + 1 – 0 +

x – 4

x2 + x + 1 < 0 sur [0 ; 1] et 0 < 1, donc

0

1

x – 4

x2 + x + 1 dx est négative .

Exercice n°116 page 172 Indiquez le signe de chaque intégrale sans chercher à calculer cette intégrale.

a) 0

5 e–x2

dx b)

3

41

2

ln dt t t

a) e–x2 > 0 sur [0 ; 5] et 0 < 5, donc 0

5 e–x2

dx est positive .

b) t 0 1 +

t 0 + +

ln t – 0 +

t ln t – 0 +

t ln t < 0 sur

1

2 ,

3

4 et

1

2 <

3

4 , donc

3

41

2

ln dt t t est négative .

Exercice n°44 page 163 Q.C.M. – Une seule réponse exacte Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. Identifiez-la en justifiant votre réponse.

1) L’intégrale –1

1 x3 dx est égale à :

a) –1

2 b) 0 c)

1

2 .

2) On pose I =

ln 2

ln 3

dx

ex – 1 et J =

ln 2

ln 3

ex

ex – 1 dx. Alors le nombre I – J =

a) ln 2

3 b) ln

3

2 c)

3

2 .

3) On pose, pour x 1, F(x) = 1

x t et + 1 dt. Alors F' (x) =

a) t et + 1 b) x ex + 1 c) x ex + 1 – e2.

1) Réponse exacte : b .

Car –1

1 x3 dx =

x4

4 1

–1 = 0.

2) Réponse exacte : a .

Car I – J =

ln 2

ln 3

1 – ex

ex – 1 dx = –ln 2

ln 3 dx = ln 2 – ln 3 = ln

2

3 .

3) Réponse exacte : b .

Voir le théorème fondamental, paragraphe 1.2.




En utilisant la linéarité, calculez le nombre A = 0

4 (x2 + 2x – 5) dx – 0

4 (x + 1)2 dx.

A = 0

4 (x2 + 2x – 5) – (x + 1)2 dx

A = 0

4 (x2 + 2x – 5 – x2 – 2x – 1) dx

A = 0

4 –6 dx

A = [–6x] 4

0

A = –24 – 0

A = –24 .


En utilisant la linéarité, calculez le nombre A = 1

2 x3 + 1 dx + 1

2 ( )x3 + 1 – x3 + 1 dx.

A = 1

2 x3 + 1 dx + 1

2 ( )x3 + 1 – x3 + 1 dx

A = 1

2 x3 + 1 + ( )x3 + 1 – x3 + 1 dx

A = 1

2 x3 + 1 dx

A =

x4

4 + x

2

–1

A = (4 + 2) –

1

4 + 1

A = 6 – 5

4

A = 19

4.

Exercice n°123 page 172 On sait que a

b f (x) dx = 3 et a

b g(x) dx = –5. Calculez :

a

b [2f (x) – 3g(x)] dx.

a

b [2f (x) – 3g(x)] dx = 2a

b f (x) dx – 3a

b g(x) dx = 2 3 – 3 (–5) = 6 + 15 = 21 .

Exercice n°124 page 172 En utilisant la relation de Chasles, calculez les nombres suivants :

a) A = 0

1 ex dx + 1

10 ex dx. b) B =

1

2

dt

t +

2

5

dt

t .

a) A = 0

1 ex dx + 1

10 ex dx

A = 0

10 ex dx

A = [ex] 10

0

A = e10 – 1 .

b) B =

1

2

dt

t +

2

5

dt

t

B =

1

5

1

t dt

B = [ln t] 5

1

B = ln 5 – 0

B = ln 5 .



Exercice n°129 page 172 Le graphique ci-contre représente la droite d'équation y = x. On se pose la question de

savoir si l'aire de la zone hachurée est égale à –1

1 x dx.

1) Calculez cette intégrale. 2) Calculez géométriquement l'aire de la zone hachurée. 3) Pourquoi, dans ce cas, l'intégrale n'est-elle pas égale à « l'aire sous la courbe » ?

1) –1

1 x dx =

x2

2 1

–1 =

1

2 –

1

2 = 0 .

2) L'aire de la zone hachurée est : 2 1 1

2 = 1 unité d’aire .

3) Parce que la fonction ne reste pas positive sur [–1 ; 1].

Exercice n°130 page 172 Intégrale d'une fonction affine par morceaux La fonction f est représentée ci-contre sur l'intervalle [–1 ; 3].

Calculez de tête l'intégrale –1

3 f (x) dx.

–1

3 f (x) dx = –1 –

1

2 +

1

2 +

1

2 =

–1

2.

Exercice n°132 page 173 Intégrales et suites

La suite (un)n IN

est définie par : un = n

n + 1 ex dx.

1) Calculez la somme Sn = u

0 + u

1 + … + u

n .

2) Donnez une interprétation géométrique de Sn .

1) Sn = 0

1 ex dx + 1

2 ex dx + … + n

n + 1 ex dx = 0

n + 1 ex dx = [ ]ex

n + 1

0 = en + 1 – 1 .

2) Sn est l’aire sous la courbe de la fonction exponentielle, pour x [0 ; n + 1].

Exercice n°133 page 173 Comparaison d'intégrales Sans les calculer, comparez les intégrales I et J suivantes :

a) I = 0

1 x2 dx J = 0

1 (x2 + 2) dx.

b) I = 0

1 e–x2

dx J = 0

1 (e–x2

– x) dx.

c) I =

1

2

1

x dx J =

1

2

1

x + 3 dx.

a) Pour tout x [0 ; 1], x2 < x2 + 2 et 0 < 1, donc I < J .

b) Pour tout x [0 ; 1], e–x2 – x e–x2

et 0 < 1, donc J I .

c) Pour tout x [1 ; 2], 1

x + 3 <

1

x et 1 < 2, donc I < J .

Exercice n°135 page 173 1) En utilisant les inégalités 0 x2 x vraies pour tout x de [0 ; 1], montrez que :

0

1 e0 dx 0

1 ex2

dx 0

1 ex dx.

2) Déduisez-en un encadrement de 0

1 ex2

dx.

1) Comme 0 x2 x, alors e0 ex2 ex, car la fonction exp est croissante sur IR.

Puis 0

1 e0 dx 0

1 ex2

dx = 0

1 ex dx car 0 < 1.

2) 0

1 e0 dx = 0

1 dx = [x]

1

0 = 1 – 0 = 1.

0

1 ex dx = [ex]

1

0 = e – 1.

D’où 1 0

1 ex2

dx e – 1 .



Exercice n°175 page 179 Dites si la propriété indiquée est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. f désigne une fonction continue sur IR.

1) a IR, 0

1 f (x) dx = 0

a f (x) dx + a

1 f (x) dx.

2) a IR, b IR, a

b f (x) dx = 0

a f (x) dx – 0

a f (x) dx.

1) Vraie , en raison de la relation de Chasles.

2) Vraie , en raison de la relation de Chasles et de : –0

a f (x) dx = a

0 f (x) dx .

Exercice n°186 page 183 La courbe C ci-contre représente une fonction f dérivable sur IR. La droite

(OA) est tangente en A(1 ; e) à la courbe C.

On note f ' la fonction dérivée de f et on appelle F la primitive de f sur IR telle

que F(0) = 0.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquez si elle est vraie ou fausse. Il n'est pas demandé de justifier les réponses. a) L'équation f (x) = 0,1 possède une seule solution dans IR.

b) f ' (1) = f (1). c) 2

4 f (x) dx < 5.

d) –1

0 f (x) dx < 0.

e) 1

3 f ' (x) dx < 1.

f) La fonction F est croissante sur IR.

g) F(5) > F(6).

h) La fonction f ' est croissante sur l'intervalle [1 ; 2].

a) Faux , elle en possède au moins deux.

b) Vrai , car f (1) = e et f ' (1) = le coefficient directeur de la droite (OA) = e

1 = e.

c) Faux , car 2

4 f (x) dx = l’aire sous la courbe, pour x [2 ; 4] et que grâce au quadrillage, on peut lire que cette aire

est supérieure à 5.

d) Non , car pour tout x [–1 ; 0], f (x) > 0.

e) Vrai , car 1

3 f ' (x) dx = f (3) – f (1) = f(3) – e qui paraît bien être inférieur à 1.

f) Vrai , car sa dérivée f est positive.

g) Faux , car F est croissante sur IR.

h) Faux , car sur [1 ; 2], f est concave, donc f ' est strictement décroissante.

Exercice n°187 page 183 Indiquez la réponse exacte sans justification. On donne ci-contre, dans un repère orthonormé la courbe C

f

représentative d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle

[–6 ; 6].

La droite (T) d'équation y = x + 3 est tangente à la courbe Cf au

point I de coordonnées (0 ; 3).

1) Le nombre dérivé de f en 0 est :

a) 0 b) 1 c) 3.

2) On pose J = –2

0 f (x) dx. On peut affirmer que :

a) –2 < J < 0 b) –4 < J < –2 c) 2 < J < 4.

3) On appelle F une primitive de f sur l'intervalle [–6 ; 6].

a) F est croissante sur l'intervalle [–3 ; 2] ;

b) F est décroissante sur l'intervalle [–1 ; 5] ;

c) F est croissante sur l'intervalle [–1 ; 5].

4) En unités d'aire, l'aire sous la courbe pour x appartenant à [–2 ; 0] est égale à :

a) –2

3 f (x) dx b) –2

0 f (x) dx c) ––2

0 f (x) dx.

1) La tangente (T) à la courbe Cf au point d’abscisse 0 a pour coefficient directeur 1, soit f ' (0) = 1.

Réponse b .

2) f est positive sur [–2 ; 0], donc –2

0 f (x) dx 0.

Réponse c .

3) x –6 –4,5 –2 5,5 6



F' (x) = f (x) + 0 – 0 + 0 –

F(x)

Réponse c .

4) f est positive sur [–2 ; 0], donc –2

0 f (x) dx est l'aire sous la courbe pour x appartenant à [–2 ; 0] en unités d'aire.

Réponse b .

Exercice n°188 page 183 Indiquez la réponse exacte sans justification. On considère la fonction f définie sur IR par :

f (x) = x e–x.

La courbe représentative de f est tracée dans le repère ci-contre :

1) Pour tout réel x, f ' (x) est égale à :

a) –xe–x b) e–x c) (1 – x)e–x.

2) La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 0 a

pour équation : a) y = x b) y = 2x c) y = –x.

3) Une primitive F de f est définie sur IR par :

a) F(x) = 1

2 x2 e–x b) F(x) = –(1 + x)e–x c) F(x) = –xe–x.

4) La valeur de 0

2 f (x) dx est :

a) négative b) inférieure à 1 c) supérieure à 3.

5) La valeur de –1

0 f (x) dx est :

a) égale à 0

1 f (x) dx b) négative c) égale à

–1

4 .

1) f = uv avec u(x) = x

v(x) = e–x , alors f ' = u' v + v' u avec u' (x) = 1

v' (x) = –e–x , soit f ' (x) = 1e–x + (–e–x) x = (1 – x)e–x.

Réponse c .

2) Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 0 est f ' (0) = (1 – 0)e–0 = 1.

Réponse a .

3) Avec F(x) = –(1 + x)e–x, on a F' (x) = –e–x + (–e–x) (–(1 + x)) = –e–x + e–x + xe–x = xe–x = f (x).

Réponse b .

4) f est positive sur [0 ; 2], donc 0

2 f (x) dx est l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de f, l’axe des

abscisses, et les droites d’équations x = 0 et x = 2.

Cette aire est inférieure à 4 carreaux, et 1 unité d’aire est égale à 4 carreaux.

Réponse b .

5) f est négative sur [–1 ; 0], donc –1

0 f (x) dx est négative aussi.

Réponse b .

6 AIRE DU DOMAINE COMPRIS ENTRE DEUX COURBES THÉORÈME 12

Soient f et g deux fonctions continues et positives sur [a ; b], de courbes représentatives Cf

et Cg , telles que f g sur [a ; b].

Notons A l'aire du domaine compris entre Cf et C

g .

Alors A = a

b [g(x) – f (x)] dx.

Démonstration :

f 0 et g 0 sur [a ; b], donc par définition de l'intégrale :

A = a

b g(x) dx – a

b f (x) dx, donc A = a

b [g(x) – f (x)] dx par linéarité.

Exercice n°167 page 177 Les fonctions affines f et g sont définies par :

f (x) = 3x + 4 et g(x) = x + 1.



1) Tracez les droites Df et D

g représentant f et g.

2) Coloriez le domaine limité par Df , D

g et les droites d'équation x = 1 et x = 3.

3) Calculez l'aire de ce domaine. 4) Retrouvez graphiquement le résultat précédent. 1) 2)

3) Pour tout x [1 ; 3], f (x) – g(x) = 2x + 3, alors f (x) – g(x) > 0, soit f (x) > g(x).

D’où l’aire demandée : A = 1

3 [ f (x) – g(x)] dx = 1

3 (2x + 3) dx = [x2 + 3x]

3

1 = (9 + 9) – (1 + 3) = 14 unités d’aire .

4) Le domaine est un trapèze, d’où A = 5 + 9

2 2 = 14 unités d’aire.

Exercice n°168 pages 177-178 Les fonctions f et g sont définies sur IR par :

f (x) = x2 et g(x) 2 – x2.

1) Dans le même repère, dessinez les courbes représentant f et g.

2) Déterminez les abscisses a et b des points d'intersection de ces courbes ainsi que la position relative des deux

courbes sur l'intervalle [a ; b]. 3) Calculez l'aire du domaine compris entre les deux courbes. 1)

2) f (x) = g(x) équivaut à : x2 = 2 – x2, soit x2 = 1, soit encore x = –1 ou x = 1 .

f (x) > g(x) équivaut à : x2 > 2 – x2, soit x2 > 1, soit encore x < –1 ou x > 1.

Pour tout x [–1 ; 1], g(x) > f (x) .

3) D’où l’aire demandée :

A = –1

1 [g(x) – f (x)] dx = –1

1 (2 – 2x2) dx =

2x –

2

3 x3

1

–1 =

2 –

2

3 –

–2 +

2

3 = 4 –

4

3 =

8

3 unités d’aire .

OBJECTIF 4 : Calculer l'aire du domaine délimité par deux courbes

Soient f et g deux fonctions continues et positives sur [a ; b], de courbes représentatives Cf et C

g

telles que f g sur [a ; b].

Notons A l'aire du domaine compris entre Cf et C

g .

Alors A = a

b [g(x) – f (x)] dx.



Exercice résolu n°F page 161 (O ;

i ,

j ) est un repère orthonormal (unité graphique 1,5 cm).

f est la fonction x x2.

g est la fonction x 1

2 x.

Cf et C

g désignent les courbes représentatives de ces fonctions.

Calculez l'aire A en cm2, du domaine colorié.

Méthode Solution

Pour calculer l'aire de D, on vérifie que g f

et on applique la formule donnant l'aire du domaine délimité par deux courbes.

Sur l'intervalle [1 ; 2], on a : g f.

Donc, en unités d'aire, on a :

A = [f (x) – g(x)] dx =

1

2

x2 –

1

2 x dx.

On donne d'abord le résultat en unités d'aire,

puis en cm2 en tenant compte des unités

graphiques.

D'où A =

x3

3 –

1

2 x2

2 2

1 =

8

3 – 1 –

1

3 –

1

4 =

5

3 –

1

12 =

19

12 unités d’aire.

Or une unité d'aire égale (1,5 1,5) cm2 = 2,25 cm2,

donc A = 19

12 2,25 = 3,562 5 cm2.

Exercice n°36 page 162 (O ;

i ,

j ) est un repère orthonormal (unité graphique 2 cm).

Calculez l'aire, en cm2, du domaine colorié avec f (x) = x et g(x) = x2.

Sur l'intervalle [0 ; 1], on a : g f. Donc l'aire, en unités d'aire, du domaine colorié est :

0

1 (x – x2) dx =

x2

2 –

x3

3 1

0 =

1

2 –

1

3 – 0 =

1

6 .

L'unité d'aire vaut 22 = 4 cm2, donc l'aire du domaine colorié est : 4 1

6 =

2

3 cm2 0,67 cm2.

Exercice n°37 page 162 Calculez, en unités d'aire, l'aire du domaine colorié avec f (x) = 1 – x2 et

g(x) = 1

2 (x + 1).

Cherchons les abscisses des points d’intersection de C

f et C

g .

Pour cela, résolvons l’équation f (x) = g(x) qui équivaut aux suivantes :

1 – x2 = 1

2 (x + 1)

–x2 – 1

2 x +

1

2 = 0



2x2 + x – 1 = 0.

= 1 + 8 = 9 ; il y a deux racines : –1 – 3

4 = –1 et

–1 + 3

4 =

1

2 .

Sur l'intervalle [–1 ; 1], on a : g f.

Donc l'aire, en unités d'aire, du domaine colorié est :

1

22

1

11 1 d

2x x x

=

1

22

1

1 1d

2 2x x x

=

–x3

3 –

x2

4 +

x

2

1

2

–1 =

–1

24 –

1

16 +

1

4 –

1

3 –

1

4 –

1

2 =

7

48 –

–5

12 =

27

48 =

9

16.

Exercice n°38 page 162 Calculez, en unités d'aire, l'aire du domaine colorié avec f (x) = x2 et

g(x) = 1

x .

Sur l'intervalle [0 ; 1], on a : f g.

Donc l'aire, en unités d'aire, du domaine colorié est :

12

1

2

1dx x

x

=

ln x –

x3

3 1

1

2

=

0 –

1

3 –

–ln 2 –

1

24 = ln 2 –

7

24 0,4.


On considère dans un repère orthonormal la droite d d'équation y = 1

2 x et

la droite d' d'équation y = x + 1.

Calculez de deux manières, en unités d'aire, l'aire du domaine D colorié

sur la figure : 1) En utilisant le calcul intégral ; 2) En utilisant la formule donnant l'aire d'un trapèze.

1) Sur l'intervalle [0 ; 1], on a : 1

2 x x + 1.

Donc l'aire, en unités d'aire, du domaine D colorié est :

0

2

x + 1 –

1

2 x dx =

0

2

x

2 + 1 dx =

x2

4 + x

2

0 = (1 + 2) – 0 = 3 .

2) (1 + 2) 2

2 = 3 .

Exercice n°40 page 162 (O ;

i ,

j ) est un repère orthonormal, unité 1 cm.

On considère la courbe C d'équation y = x2 + 3 et la courbe C' d'équation y = 4 – x2.

1) Calculez les abscisses des points d'intersection de ces deux courbes. 2) Calculez l'aire du domaine délimité par ces deux courbes (colorié en rouge sur la figure).

3) Calculez l'aire du domaine délimité par les courbes C et C' les droites d'équations x = 1 et

x = 2 (colorié en bleu sur la figure).



1) Résolvons l’équation x2 + 3 = 4 – x2 qui équivaut aux suivantes :

2x2 = 1

x2 = 1

2

x = –1

2 ou x =

1

2 .

Les abscisses des points d'intersection de ces deux courbes sont –1

2 et

1

2.

2) Sur l'intervalle [ –1

2 ;

1

2 ], on a : x2 + 3 4 – x2.

Donc l'aire, en unités d'aire, du domaine colorié en rouge est :

1

2 221

2

(4 ) ( 3) dx x x = 1

221

2

1 2 dx x =

x –

2

3 x3

1

2

–1

2

=

1

2 –

2

3

1

2 2 –

–1

2 –

2

3

–1

2 2 =

2

2 –

2

3 2 =

6 – 2

3 2

= 4

3 2 =

4 2

6 =

2 2

3 .

L'unité d'aire vaut 12 = 1 cm2, donc l'aire du domaine colorié en rouge est : 2 2

3 cm2 .

3) Cherchons l’abscisse du point de C d’ordonnée 7.

Pour cela, résolvons l’équation x2 + 3 = 7 qui équivaut aux suivantes :

x2 = 4

x = –2 ou x = 2.

Sur l'intervalle [1 ; 2], on a : 4 – x2 x2 + 3.

Donc l'aire, en unités d'aire, du domaine colorié en bleu est :

1

2 [ ]x2 – (1 – x2) dx = 1

2 (2x2 – 1) dx =

2

3 x3 – x

2

1 =

16

3 – 2 –

2

3 – 1 =

10

3 +

1

3 =

11

3 .

L'unité d'aire vaut 12 = 1 cm2, donc l'aire du domaine colorié en bleu est : 11

3 cm2 .

Exercice n°41 page 162 On considère, dans un repère orthonormal (unité : 1 cm), la courbe C d'équation

y = x et la courbe C' d'équation y = 1

x , pour x > 0.

Calculez l'aire du domaine D coloré en rouge.

Aide

Décomposez D en deux domaines convenablement choisis.

Sur l'intervalle [ 1

2 ; 1], on a : x

1

x , et sur l'intervalle [1 ; 2], on a :

1

x x.

Donc l'aire, en unités d'aire, du domaine colorié en rouge est :

1

1

2

1dx x

x

+

1

2

x –

1

x dx =

ln x –

x2

2 1

1

2

–

x2

2 – ln x

2

1 =

–1

2 –

–ln 2 –

1

8 –

(2 – ln 2) –

1

2 =

–3

8 + ln 2 –

3

2 + ln 2 =

2 ln 2 – 15

8 .

L'unité d'aire vaut 12 = 1 cm2, donc l'aire du domaine colorié en rouge est : 2 ln 2 – 15

8 cm2 .

Exercice n°43 page163 Vrai ou faux Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifiez votre réponse. 1) Si f est une fonction continue, lorsque l'on connaît une primitive de f sur un intervalle, toutes les autres s'en

déduisent par ajout d'une constante.

2) Si f est continue sur [a ; b], alors : a

b f (x) dx = a

b f (t) dt.

3) Si f est continue et positive sur [a ; b], alors : a

b f (x) dx 0.

4) Le nombre a

b f (x) dx n'est jamais négatif puisque c'est une aire.



5) f et g sont continues sur [2 ; 3], avec f g. Alors l'aire entre les courbes Cf et C

g , pour x [2 ; 3], est égale à

2

3 (f (x) – g(x)) dx.

1) Vrai . Voir le théorème 3.

2) Vrai . Voir la remarque 1 du paragraphe 1.1.

3) Vrai , car, dans ce cas, a

b f (x) dx est une aire, donc un nombre positif ou nul.

4) Faux , car a

b f (x) dx n'est pas toujours une aire : par exemple, lorsque a < b et f strictement négative sur [a ; b] ;

on a alors : a

b f (x) dx < 0.

5) Faux , car lorsque f g, l'aire est égale à : 2

3 ( )g(x) – f (x) dx.

Exercice n°169 page 178 On considère la fonction f définie sur ]0 ; +[ par :

f (x) = 2x – 3 + 8

x2 .

C est la courbe représentative de f dans un repère orthonormal et D est la

droite d'équation y = 2x – 3.

1) Étudiez la position de C par rapport à D sur ]0 ; +[.

2) Calculez l'aire du domaine hachuré.

1) Pour tout x ]0 ; +∞[, f (x) – (2x – 3) = 8

x2 > 0.

Donc sur ]0 ; +∞[, C est au-dessus de D .

2) C étant au-dessus de D sur [2 ; 5], l’aire entre les deux courbes est égale à :

2

5 [ f (x) – (2x – 3)] dx = 8

2

5

1

x2 dx = 8

–1

x 5

2 = 8

–1

5 –

–1

2 =

–8

5 + 4 =

–8

5 +

20

5 =

12

5 unités d’aire .

7 VALEUR MOYENNE DÉFINITION 5

f est une fonction continue sur l'intervalle [a ; b] (avec a < b).

La valeur moyenne de f sur [a ; b] est le réel 1

b – a a

b f (t) dt.

Nous admettrons que, f étant une fonction continue sur l'intervalle [a ; b], il existe un réel c de [a ; b] tel que f (c) est

égal à la valeur moyenne de f sur [a ; b].

On a alors : a

b f (t) dt = (b – a) f (c).

Remarque : Interprétation en termes d'aires Supposons que f soit positive sur [a ; b]. L'égalité ci-dessus signifie que l'aire

sous la courbe entre a et b est égale à l'aire du rectangle colorié en bleu.

Exercice n°149 page 175 Calculez la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle I.

a) f (x) = 3x2 – 1, I = [1 ; 3]. b) f (x) = x3, I = [0 ; 1].

a) = 1

3 – 1 1

3 (3x2 – 1) dx =

1

2 [ ]x3 – x

3

1 =

1

2 (24 – 0) = 12 .



b) = 1

1 – 0 0

1 x3 dx =

x4

4 1

0 =

1

4 – 0 =

1

4.


a) f (x) = 3

x I = [1 ; 4]. b) f (x) =

1

x I =

1

2 ,

3

2.

a) = 1

4 – 1

1

4

3

x dx =

1

3 [ ]6 x

4

1 =

1

3 (12 – 6) = 2 .

b) = 1

3

2 –

1

2

1

2

3

2 1

x dx = [ln x]

3

2

1

2

= ln 3

2 – ln

1

2 = ln

3

2

1

2

= ln 3 .

Exercice n°42 page 163 Questions sur le cours Complétez comme il convient. 1) Si f est une fonction continue et positive sur [a ; b], en unités d'aire, l'aire sous la courbe pour x [a ; b] est égale à

…… . 2) Toute fonction continue sur un intervalle I admet une …… sur I.

3) Si F et G sont des primitives de f sur l'intervalle I, alors il existe un réel c tel que, pour tout x de I, G(x) = …… .

4) Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors une primitive sur I de x u' (x) eu(x) est …… .

5) Si f est continue sur [a ; b] et si F est une primitive de f sur [a ; b], alors a

b f (t) dt = …… .

6) Si f et g sont continues sur [a ; b] et si :

x [a ; b], f (x) g(x), alors a

b f (x) dx …… a

b g(x) dx.

7) La fonction f est continue sur [a ; b]. Alors sa valeur moyenne sur [a ; b] est égale à …… .

1) Si f est une fonction continue et positive sur [a ; b], en unités d'aire, l'aire sous la courbe pour x [a ; b] est égale

à : a

b f (x) dx .

2) Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I.

3) Si F et G sont des primitives de f sur l'intervalle I, alors il existe un réel c tel que, pour tout x de I, G(x) = F(x) + c .

4) Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors une primitive sur I de x u' (x) eu(x) est x eu(x) .

5) Si f est continue sur [a ; b] et si F est une primitive de f sur [a ; b], alors : a

b f (t) dt = F(b) – F(a) .

6) Si f et g sont continues sur [a ; b] et si : x [a ; b], f (x) g(x), alors : a

b f (x) dx a

b g(x) dx.

7) La fonction f est continue sur [a ; b]. Alors sa valeur moyenne sur [a ; b] est égale à : 1

b – a a

b f (x) dx .

Exercice n°45 page 163 Q.C.M. – Au moins une réponse exacte Pour chaque affirmation, plusieurs réponses peuvent être exactes. Identifiez-les en justifiant votre réponse.

1) Une primitive sur IR de x e–x est :

a) x e–x b) x –e–x c) x –1

ex .

2) L'intégrale 0

1 e2x + 1 dx est égale à :

a) e3 – 1 b) 1

2 e3 –

1

2 e c) 0,5(e – 1)(e2 + e).

3) La valeur moyenne sur [1 ; 3] de la fonction : x 1

x est égale à :

a) 1

2 ln 3 b) ln 2 c) ln 3.

4) 0

1 x dx 0

1 x2 dx =

a) 0

1 x3 dx b)

1

2

1

3 c)

1

6 .

1) Réponses exactes : b et c .

Car une primitive de e–x est –e–x = 1




Car 0

1 e2x + 1 dx =

1

2 e2x + 1

1

0 =

1

2 (e3 – e) = 0,5e (e2 – 1) = 0,5e (e – 1)(e + 1) = 0,5 (e – 1)(e2 + e).

3) Réponses exactes : a et c .

Car la valeur moyenne est : 1

3 – 1

1

3

1

x dx =

1

2 ln 3 = ln 3.


Car 0

1 x dx 0

1 x2 dx =

x2

2 1

0

x3

3 1

0 =

1

2

1

3 =

1

6 , alors que 0

1 x3 dx =

x4

4 1

0 =

1

4 .


a) f (x) = e–x I = [–2 ; 0]. b) f (x) = x

(x2 + 9)2 I = [–1 ; 1].

a) = 1

0 – (–2) –2

0 e–x dx =

1

2 [ ]–e–x

0

–2 =

1

2 (–1 + e2) =

e2 – 1

2.

b) = 1

1 – (–1)

–1

1

x

(x2 + 9)2 dx = 1

2

–1

2

1

x2 + 9 1

–1 =

1

2

–1

10 –

–1

10 = 0 .

Exercice n°153 page 175 1) Calculez la valeur moyenne V

m de la fonction f :

f : x 2x + 3 sur [0 ; 2]. 2) a) Trouvez un réel c tel que f (c) = V

m .

b) Retrouvez c graphiquement.

1) Vm

= 1

2 – 0 0

2 (2x + 3) dx =

1

2 [ ]x2 + 3x

2

0 =

1

2 (10 – 0) = 5 .

2) a) f (c) = 5 équivaut à : 2c + 3 = 5, soit à : c = 1 .

b) On cherche l’abscisse c du point d’ordonnée 5 de la droite d’équation y = 2x + 3.

Exercice n°154 page 175 f est la fonction définie sur IR par f (x) = 3x2 + 2x.

Trouvez c dans [0 ; 2] tel que f (c) soit la valeur moyenne de f sur [0 ; 2].

Valeur moyenne de f sur [0 ; 2] : 1

2 – 0 0

2 (3x2 + 2x) dx =

1

2 [ ]x3 + x2

2

0 =

1

2 (12 – 0) = 6.

f (c) = 6 équivaut : 3c2 + 2c = 6, soit 3c2 + 2c – 6 = 0, ou :

c = –2 – 76

6 =

–1 – 19

3 ou c =

–1 + 19

3 avec = 4 + 72 = 76.

Or c [0 ; 2], donc c = –1 + 19

3.

Exercice n°158 page 175 Prix moyen Une entreprise achète une machine 5 000 euros ; elle peut la revendre au bout de t années au prix de :

V(t) = 5

0,5t + 1 pour 0 t 8,

où t est exprimé en années, et V(t) en milliers d'euros.

1) a) Au bout de combien d'années la machine aura-t-elle perdu 50 % de sa valeur à l'achat ?

b) Quelle est sa valeur de revente au bout de 4 ans ?



2) Calculez la valeur moyenne du prix de revente dans la période [0 ; 4].

1) a) La machine ne vaudra plus que 2 500 euros, c’est-à-dire 2,5 milliers d’euros. 5

0,5t + 1 = 2,5 équivaut à : 2,5(0,5t + 1) = 5, soit à : 0,5t + 1 = 2, soit encore à : t = 2.

La machine aura perdu 50 % de sa valeur à l'achat au bout de 2 années

b) V(4) = 5

0,5 4 + 1 =

5

3 1,667.

La valeur de revente sera donc d’environ 1 667 € .

2) 1

4 – 0 0

4 V(t) dt =

1

4 5

0

4

1

0,5t + 1 dt =

5

4 [2 ln (0,5t + 1)]

4

0 =

5

4 (2 ln 3 – 0) =

5

2 ln 3 2,747.

La valeur moyenne du prix de revente dans la période [0 ; 4] est environ 2 747 € .

Exercice n°160 page 176 Des chocolats Un artisan propose des chocolats « faits maison ». Il en fabrique de 1 à 18 kg par jour.

Le coût de fabrication des chocolats exprimé en euros est modélisé par la fonction f

définie sur [1 ;18] par :

f (x) = 2x + 100e–0,2x.

Pour l'artisan, la valeur moyenne du coût de fabrication d'un kilogramme de chocolats est donnée par la valeur moyenne de f sur [1 ; 18].

Déterminez une valeur approchée, arrondie à un euro près, de ce coût moyen.

m = 1

18 – 1 1

18 (2x + 100e–0,2x) dx =

1

17 [ ]x2 – 500e–0,2x

18

1 42.

Le coût moyen est environ 42 € .

Exercice n°164 page 176-177 Valeur moyenne d'une action Le cours d'une action cotée en bourse, exprimé en dizaines d'euros, est modélisé par une fonction f définie sur [1 ; 13]

par f (x) = 2x + 4 – 8 ln x où x représente le nombre de mois écoulés à partir du 1er décembre 2011.

1) Étudiez les variations de f sur [1 ; 13]. 2) Au cours de l'année 2012, quand sera-t-il judicieux pour un investisseur d'acheter des actions ? Calculez sa dépense

arrondie à un euro près. 3) a) Vérifiez que la fonction F définie sur [1 ; 13] par F(x) = x2 + 12x – 8x ln x est une primitive de f.

b) Calculez la valeur moyenne de f sur [1 ; 13] (donnez sa valeur exacte puis sa valeur approchée à 1 euro près).

Commentaire. En économie, on prend souvent cette valeur moyenne comme approximation de la valeur moyenne de l'action au cours de l'année 2012.

1) Pour tout x [1 ; 13], f ' (x) = 2 – 8

x =

2(x – 4)

x .

x 1 4 13

2 + +

x – 4 – 0 +

x + +

f ' (x) – 0 +

f ' (x) 6

0,91

9,48

f (1) = 6 f (4) = 12 – 8 ln 4 = 12 – 16 ln 2 0,91

f (13) = 30 – 8 ln 13 9,48

2) Lorsque le cours sera minimum, c’est-à-dire lorsque x = 4, le 1er avril 2012 .

La valeur sera alors de f (4) 0,910 dizaines d’euros, soit environ : 9,10 € .

3) a) Pour tout x [1 ; 13], F' (x) = 2x + 12 – 8

1 ln x + x

1

x = 2x + 12 – 8 ln x – 8 = 2x + 4 – 8 ln x = f (x).

b) m = 1

13 – 1 1

13 f (x) dx =

1

12 ( )F(13) – F(1) =

325 – 104 ln 13 – 13

12 =

312 – 104 ln 13

12 =

26 (3 – ln 13)

3 3,770.

La valeur moyenne de f sur [1 ; 13] est environ 38 € .

Exercice n°166 page 177 Évolution des exportations Soit f la fonction de la variable réelle définie sur [0 ; 10] par :

f (x) = 90

2 + e–x .

Partie A 1) Montrez que la fonction f est strictement croissante sur [0 ; 10].



2) Calculez f (0) et f (10).

3) Déduisez des questions précédentes que l'équation f (x) = 44 admet exactement une solution dans l'intervalle

[0 ; 10]. Donnez un encadrement de cette solution par deux entiers consécutifs.

4) a) En utilisant un logiciel de calcul formel, donnez une primitive de f sur [0 ; 10].

b) Montrez que 0

2 f (x) dx = 45 ln

2e2 + 1

3.

Partie A

1) Pour tout x [0 ; 10], f ' (x) = 90 1

2 + e–x , et f ' (x) = 90 –( )–e–x

(2 + e–x)2 =

90e–x

(2 + e–x)2 .

D’où f ' > 0 sur [0 ; 10], et donc f est strictement croissante sur [0 ; 10].

2) f (0) = 90

3 = 30 et f (10) =

90

2 + e–10 44,999.

3) f est continue et strictement croissante sur [0 ; 10], avec f (0) < 44 < f (10).

D’où, d’après la propriété des valeurs intermédiaires, l’équation f (x) = 44 admet exactement une solution dans

[0 ; 10].

À la calculatrice on obtient f (3) 43,9 et f (4) 44,6, soit f (3) < 44 < f (4). D’où 3 < < 4 .

4) a) F(x) = 45 ln (2ex + 1) .

b) 0

2 f (x) dx = F(2) – F(0) = 45( )ln (2e2 + 1) – ln 3 = 45 ln

2e2 + 1

3 .

Partie B Soit g la fonction de IN vers IR définie par :

g(x) = 90

2 + e–x .

La fonction g modélise l'évolution des exportations d'une entreprise, x étant le temps écoulé en années depuis le

01/01/2010 et g(x) étant le montant des exportations en millions d'euros pour l'année correspondante.

1) Quel est le montant des exportations de l'entreprise au 01/01/2010 ? 2) En quelle année les exportations dépasseront-elles 44 millions d'euros ?

L'entreprise peut-elle espérer que ses exportations dépasseront 45 millions d'euros sur l'une des onze années 2010 à

2020 ?

3) On admet que la moyenne des exportations réalisées les n premières années est donnée par In =

1

n 0

n f (x) dx.

Quelle est la moyenne des exportations des deux premières années ? Partie B 1) g(0) = 30.

D’où le montant des exportations est de 30 millions d’euros .

2) Il faut déterminer le plus petit entier x tel que g(x) > 44.

D’après la partie A, f (t) > 44 équivaut à t > .

D’où x 4.

Les exportations dépasseront 44 millions d’euros en 2014 .

g(11) = f (11) 44,999 6 < 45.

D’où les exportations ne dépasseront pas 45 millions d’euros entre 2010 et 2020.

Remarquons que : pour tout x > 0, f (x) = 90

2 + e–x < 90

2 = 45.

3) I2 =

1

2 0

2 f (x) dx =

1

2 ( )F(2) – F(0) =

45

2 ( )ln (2e2 + 1) – ln 3 =

45

2 ln

2e2 + 1

3 37,350.

D’où la moyenne des exportations des deux premières années est voisine de 37,35 millions d’euros .

Remarquons qu’avec g(0) + g(1)

2 , on pouvait avoir très facilement la valeur exacte.

C’est pour n plus grand que l’approximation par In est intéressante.

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