Table des matières - editions-ellipses.fr · Table des matières I Algèbre 1 1 Nombres complexes 3 1 Rappels ..... 3 1.1 Déﬁnitions et règles de calcul ..... 3

Table des matières

I Algèbre 1

1 Nombres complexes 31 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 Définitions et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Représentation d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . 31.3 Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . 41.6 Propriétés des arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7 Formules de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.8 Les complexes et la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.9 Equation du second degré az2 + bz + c = 0 . . . . . . . . . 51.10 Racines n-ièmes, n ∈ N, n � 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Passer d’une forme à une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Résoudre une équation de degré un ou deux . . . . . . . . . . . . . 74 Déterminer les racines nièmes de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Appliquer les complexes à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . 96 Démontrer des relations avec des modules . . . . . . . . . . . . . . 107 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

7.1 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.2 Exercices de perfectionnement . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Polynômes 211 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.1 Définitions : K = R ou C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2 Racine d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Factoriser un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Effectuer une division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Déterminer le reste de la division de A par B . . . . . . . . . . . . 255 Déterminer l’ordre de multiplicité de α . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Déterminer P vérifiant une propriété P1 . . . . . . . . . . . . . . . 277 Montrer que B divise A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29


415

416 TABLE DES MATIÈRES

3 Espaces vectoriels 391 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 Montrer que F est un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . 423 La famille F = (e1, e2, ..., ep) est-elle libre ou liée ? . . . . . . . . . 434 F = (e1, e2, ..., ep) est-elle une base de E ? . . . . . . . . . . . . . . 445 Déterminer une base de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 Montrer que F et G sont supplémentaires. . . . . . . . . . . . . . . 467 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.1 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.2 Perfectionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Applications linéaires 571 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.2 Noyau et image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.3 Image d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . 581.4 Projecteurs et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.5 En dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2 Montrer qu’une application est linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . 593 Déterminer Ker(f) et Im(f) en dimension finie . . . . . . . . . . . . 604 Déterminer le rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . 615 Montrer que f est isomorphisme de E dans F . . . . . . . . . . . . 62

5.1 Cas où la dimension n’est pas finie . . . . . . . . . . . . . . 625.2 En dimension finie avec dim(E) = dim(F) = n . . . . . . . . 63

6 Caractériser un projecteur, une symétrie . . . . . . . . . . . . . . . 647 Démontrer que A est inclus dans B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658 Prouver une implication, une équivalence . . . . . . . . . . . . . . 669 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9.1 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.2 Perfectionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5 Matrices 811 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

1.1 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . 811.2 Matrice d’une famille de vecteurs dans une base . . . . . . 821.3 L’espace vectoriel Mn,p(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821.4 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831.5 La multiplication dans Mn(K) . . . . . . . . . . . . . . . . 831.6 Deux utilisations de la multiplication . . . . . . . . . . . . . 841.7 Matrices inversibles dans Mn(K) . . . . . . . . . . . . . . . 841.8 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2 Montrer que E ⊂ Mn(K) est un espace vectoriel . . . . . . . . . . . 852.1 Les matrices de E sont données explicitement . . . . . . . . 852.2 Les matrices de E sont données par une caractérisation . . 85

3 Faire un calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864 Déterminer Im(f) et Ker(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.1 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

TABLE DES MATIÈRES 417

5 Donner la matrice de f ∈ L(E,E′) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896 Calculer Ap pour p ∈ N et A ∈ Mn(R) . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.1 Quelques cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2 Conjecture puis récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.3 Utilisation de la formule du binôme . . . . . . . . . . . . . 926.4 Utilisation de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.5 Utilisation d’une matrice diagonale . . . . . . . . . . . . . . 94

7 Déterminer l’inverse d’une matrice A inversible . . . . . . . . . . . 957.1 Cas où on dispose d’une relation du type P(A) = 0 . . . . . 957.2 Cas où on n’a pas de relation P(A) = 0 . . . . . . . . . . . 95

8 Déterminer le rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

9.1 Entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979.2 Perfectionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6 Systèmes linéaires 1131 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

1.1 Les opérations élémentaires sur les matrices . . . . . . . . . 1131.2 Détermination du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . 1131.3 Résolution d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131.4 Inverse d’une matrice carrée inversible . . . . . . . . . . . . 113

2 Déterminer le rang de la matrice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143 Résolution d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154 Déterminer la matrice inverse A−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.1 Par résolution d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.2 En utilisant des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.1 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.2 Exercices de perfectionnement . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7 Réduction des matrices 1231 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

1.1 Matrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1231.2 Valeurs propres ; vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . 1241.3 Diagonalisation d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . 1241.4 Matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

2 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253 Montrer que A est ou n’est pas diagonalisable . . . . . . . . . . . . 126

3.1 Utilisation de cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4 Calculer la puissance d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285 Calculer le terme général de suites récurrentes . . . . . . . . . . . 1296 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130



II Analyse 149

8 Suites 1511 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1511.2 Quelques résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1511.3 Théorèmes sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1521.4 Suites particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1521.5 Théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1531.6 Comparaison des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

2 Montrer qu’une suite est croissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543 Déterminer la limite de (un) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554 Montrer qu’une suite u converge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565 Montrer que u et v sont adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576 Utiliser une suite auxiliaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587 Etudier une suite récurrente linéaire d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . 1598 Etudier une suite définie par une équation . . . . . . . . . . . . . . 1609 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

9.1 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619.2 Exercices de perfecttionnement . . . . . . . . . . . . . . . . 173

9 Limites, continuité, dérivabilité 1791 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

1.1 Limites et continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . 1791.2 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1801.3 Continuité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1811.4 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1811.5 Les nouveaux théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1821.6 Dérivée n-ième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1821.7 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

2 Déterminer des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1833 Déterminer un équivalent de f en x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1844 Montrer qu’une fonction f est continue en x0 . . . . . . . . . . . . 1855 Montrer que l’équation f(x)=0 a une solution . . . . . . . . . . . . 1866 Montrer que f réalise une bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1877 Montrer que f est dérivable en x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888 Utiliser Rolle et le th des accroissements finis . . . . . . . . . . . . 1899 Utiliser l’inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . 19010 Montrer que la fonction f est convexe sur I . . . . . . . . . . . . . . 19111 Calculer la dérivée nième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19212 Etudier la fonction f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19313 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194



10 Intégrales 2131 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

1.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2132 Calculer une intégrale par une primitive de f . . . . . . . . . . . . . 2153 Faire une intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2164 Utiliser un changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2175 Calculer une intégrale de fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . 2186 Prouver des inégalités entre intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . 2197 Etudier une suite d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2208 Etudier une fonction définie par une intégrale . . . . . . . . . . . . 2219 Calculer une somme de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22210 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223


11 Développements limités 2451 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

1.1 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2451.2 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2461.3 Développements classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2461.4 Opérations sur les développements limités en 0 . . . . . . . 247

2 Développement limité de f + g, de fg . . . . . . . . . . . . . . . . 2483 Développement limité de la composée gof . . . . . . . . . . . . . . 2494 Développement limité d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . 2505 Développement de f(x) en x0 et en l’infini . . . . . . . . . . . . . . 2516 Utiliser un dl pour déterminer une limite . . . . . . . . . . . . . . . 2527 Etudier les branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2538 Etude locale d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2549 Etude de la nature d’une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25510 Utiliser une formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25611 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257


12 Séries 2711 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

1.1 Définitions et théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2711.2 Séries à termes de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . 2711.3 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2721.4 Séries particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

2 Les méthodes élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2733 Comparaison avec des séries connues . . . . . . . . . . . . . . . . . 2744 Utiliser des développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2755 Séries de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2766 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277



13 Fonctions de deux variables 2931 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

1.1 L’ensemble R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

1.2 Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2941.3 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2941.4 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

2 Déterminer l’ensemble de définition de f . . . . . . . . . . . . . . . 2973 Etudier l’existence d’une limite L en (a, b) . . . . . . . . . . . . . . 2984 Déterminer les dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2995 Etudier l’existence d’un extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3006 Déterminer l’équation d’un plan tangent . . . . . . . . . . . . . . . 3017 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302


III Probabilités 315

14 Dénombrement 3171 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3171.2 Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

2 Calculer une somme contenant des combinaisons . . . . . . . . . . 3193 Résoudre un exercice de dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . 3204 Déterminer le nombre d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 3215 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322


15 Probabilités 3351 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

1.1 Le langage des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3351.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3361.3 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

2 Calculer une probabilité par le dénombrement . . . . . . . . . . . . 3383 Calculer une probabilité grâce aux axiomes . . . . . . . . . . . . . 3394 Utiliser les probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . 3405 Utiliser le théorème des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . 3416 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342


16 Variable aléatoire 3611 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3611.2 Loi de probabilité d’une v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3611.3 Espérance d’une v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3621.4 Moment d’ordre r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3621.5 Variance d’une v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363


1.6 Lois classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3632 Déterminer la loi d’une v.a. finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3643 Utiliser le théorème des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . 3654 Calculer P(X=k), E(X) ou V(X) : cas fini . . . . . . . . . . . . . . 3665 Calculer P(X=k), E(X) ou V(X) : cas infini . . . . . . . . . . . . . 3676 Etudier une variable classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3687 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369


17 Couples de variables aléatoires 3891 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

1.1 Définitions : les variables sont supposées discrètes . . . . . . 3891.2 Indépendance de deux v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3891.3 Fonction de deux v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3901.4 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3901.5 Convergence et approximation . . . . . . . . . . . . . . . . 391

2 Représenter la loi conjointe dans un tableau . . . . . . . . . . . . . 3923 Donner la loi conjointe puis les lois de X et Y . . . . . . . . . . . . 3934 Déterminer les lois de X et de Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3945 Déterminer la loi de X+Y, XY, ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3956 Donner une évaluation d’une probabilité . . . . . . . . . . . . . . . 3967 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397


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Table des matières - editions-ellipses.fr · Table des matières I Algèbre 1 1 Nombres complexes 3 1 Rappels ..... 3 1.1 Déﬁnitions et règles de calcul ..... 3