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Tangentes & Nombre dérivéTangentes & Nombre dérivé
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1 § Approche intuitive d’une tangente.
Voici la courbe de la fonction f définie sur R par : 22
1)( 2 xxxf
La courbe de cette fonction
passe par le point A (- 2 ; 2)
Tangentes & Nombre dérivéTangentes & Nombre dérivé
On s’intéresse aux droites qui passent par le point A .
En voici 9 ! Parmi toutes ces droites, une seule a le droit de se nommertangente à la courbe au point d’abscisse 2 … Laquelle ?
Tangentes & Nombre dérivéTangentes & Nombre dérivé
Cette droite est la seule qui suit la courbe au voisinage du point A.
Pour bien montrer cette notion, voici un zoom du voisinage du point A.
Tangentes & Nombre dérivéTangentes & Nombre dérivé
On admet :
il ne peut y avoir au plus qu’une seule tangente pour une courbeen un point donné. Par contre, il peut ne pas y avoir de tangente en un point. La tangente est une droite qui suit la courbe au voisinage d’un point,cette droite peut couper la courbe en plusieurs points.
Voici quelques situations qui illustrent ces notions.
Tangentes & Nombre dérivéTangentes & Nombre dérivé
Plusieurs tangentes par courbe mais une tangente par point …
Tangentes & Nombre dérivéTangentes & Nombre dérivé
Aucune tangente en un point donné …
Voici la courbe de la fonction f définie sur R par : 12
1)( 2 xxxf
2 demi-tangentes …mais
aucune tangente !
Tangentes & Nombre dérivéTangentes & Nombre dérivé
Une tangente peut couper une courbe en plusieurs points …
Tangentes & Nombre dérivéTangentes & Nombre dérivé
2 § Nombre dérivé et tangente.
On a admis que pour une courbe, il y a une seule tangente en un point A de lacourbe donné. Cette tangente est donc caractérisée uniquement par son coefficientdirecteur. En effet, cette droite doit passer par le point de la courbe fixé.
Mais comment déterminer ce coefficient directeur ? …
Pour cela, intéressons nous aux droites (AM) où M est un point quelconquede la courbe.
Soyons plus précis :
A est le point de coordonnées
M est le point de coordonnées
)(; 00 xfx
)(; xfx
Tangentes & Nombre dérivéTangentes & Nombre dérivé
Le coefficient de la droite (AM) est :
0
0 )()(
xx
xfxf
xx
yya
AM
AM
Mais que se passe-t-il quand
M se rapproche de A ?
Tangentes & Nombre dérivéTangentes & Nombre dérivé
Tangentes & Nombre dérivéTangentes & Nombre dérivé
Ainsi, la position limite de cette droite quand M se rapproche de Areprésente la droite tangente à la courbe au point d’abscisse x0 .
Il en vient que le coefficient directeur de la tangente est :
0
0 )()(lim
0 xx
xfxfxx
Si la courbe de f admet une tangente au point d’abscisse x0 , on dit que
la fonction f est dérivable en x0 et on note f ‘ (x0) le nombre dérivé en x0 .
On a :
)(')()(
lim 00
0
0
xfxx
xfxfxx
Tangentes & Nombre dérivéTangentes & Nombre dérivé
x0
tangente de coefficient directeur
f ‘ (x0)
Tangentes & Nombre dérivéTangentes & Nombre dérivé
Exemple :
Déterminer le nombre dérivé de la fonction f suivante au point d’abscisse x0 = 2.
22
1)( 2 xxxf
1
2
1lim
2
221
lim
2
221
lim2
2221
lim2
)2()(lim
22
2
2
2
22
xx
xx
x
xx
x
xx
x
fxf
xx
xxx
Exemple :
Déterminer le nombre dérivé de la fonction f suivante au point d’abscisse x0 = 2.
Le nombre dérivé de la fonction f au point d’abscisse x0 = 2 est donc : f ‘ (2) = 1.
Tangentes & Nombre dérivéTangentes & Nombre dérivé
La tangente au point d’abscisse 2 à la courbe de f a donc pour coefficient directeur 1. Comme cette droite passe par le point A de coordonnées (2 ; - 2) ,l’équation de la tangente est donc : y = x – 4.