TD 1 Géométrieplane - lkcz.free.frlkcz.free.fr/StructureDuSite/TD1.pdf · TD 1 Géométrieplane Oncommenceraparlagéométrievectorielleeuclidienne(produitscalaireetdé-terminants)

TD 1 Géométrie plane

On commencera par la géométrie vectorielle euclidienne (produit scalaire et dé-

terminants) avant d’aborder la géométrie affine euclidienne (droites et cercles,

géométrie du triangle). L’application des nombres complexes sera étudiée ulté-

rieurement.

1 Rappels de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1 Outils de géométrie vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Les barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1 Droites et problèmes d’alignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Cercles et cocyclicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Indications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Solutions aux exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

LES origines de la géométrie remontent aux royaumes de Babylone et d’Egypte. Née de considérations pra-tiques (cf. l’architecture, les arts décoratifs, l’astronomie etc.), la géométrie se développe progressivement demanière autonome ; les archéologues ont trouvé la trace de nombreux problèmes géométriques tels que les

calculs d’aires sur des tablettes babyloniennes. Selon l’historien grec Herodote 1, la géométrie est un don du Nil : lescrues répétées du fleuve obligèrent les arpenteurs à retracer régulièrement les limites des domaines agricoles avoi-sinant, ce qui les obligea à systématiser les calculs de longueurs et d’aires. Le Papyrus Rhind atteste le savoir faireegyptien en matière d’aire.

C’est sous l’impulsion de Thalès de Milet 2 que la géométrie devient déductive : l’idée de démonstration s’imposeet repousse les limites mathématiques au-delà de la simple description. Selon Proclus, Thalès rapporta la géométriede ses nombreux voyages en Egypte. De nombreux savants prennent alors le relais. Pythagore de Samos fonde uneécole à Crotone, la fraternité pythagoricienne. Puis, vers 490 avant JC, se développe l’Ecole d’Athènes dont la figurede proue est Eudoxe et qui comptera parmi ses membres Anaxagoras, Hyppocrate et Hippias. Après le déclin dela cité athénienne à l’époque hellenistique, Alexandrie devient la nouvelle capitale intellectuelle de l’empire. L’Ecole

d’Alexandrie, fondée vars 330 avant JC, marque un véritable âge d’or de la pensée mathématique. Euclide publie lestreize volumes 3 de ses Eléments qui seront considérés pendant plus de deux mille ans comme un ouvrage pédago-gique de référence en matière de Géométrie 4 . Le savant y expose les célèbres postulats sur lesquels il fonde la Géomé-trie et démontre à partir de ceux-ci les théorèmes fondamentaux. Citons également les contributions d’Archimède de

Syracuse et d’Apollonius de Perge, autres membres de l’Ecole d’Alexandrie. Suit alors un lent déclin de l’activité ma-thématique dans le bassin méditerrranéen : l’empire romain compte de moins en moins de savants de premier plan,

1. -484-425

2. -625-547

3. Nous dirions de nos jours chapitres.

4. Newton lui-même écrira son célèbre ouvrage Philosophiae Naturalis Principia Mathematica dans le style des éléments d’Euclide.

TD 1 : Géométrie plane Lycée J.-B. Say PCSI 2010 - 2011

citons tout de même Pappus au quatrième siècle après JC. L’héritage grec fut transmis après traduction aux savantsarabes. Ces derniers développèrent de nouvelles méthodes de calculs d’aires et de volumes et contribuèrent, commenous l’avons déjà souligné, au développement de la trigonométrie.

Pythagore

L’invention de la perspective à l’époque de la Renaissance fut l’oc-casion de développer de nouvelles règles et donna naissance à la géo-

métrie projective. Le peintre italien Piero della Francesca 5 écrivit un ou-vrage en la matière inspiré des traités mathématiques (avec définitions,théorèmes, etc.) Mais la géométrie projective se développa surtout sousl’impulsion de l’architecte français Desargues au début du XVIIe siècle. Ledéveloppement par Descartes à la même époque de la géométrie ana-

lytique plongea cependant la géométrie projective dans l’oubli pendantplusieurs siècles. Descartes inventa la notion de repère et utilisa l’Al-gèbre (ie le calcul) pour simplifier les méthodes et les démonstrationsde la géométrie classique. Gauss poursuivit cette algébrisation en inter-prétant géométriquement les nombres complexes à l’orée du XIXe siècle.Ce début de siècle vit cependant le retour de la géométrie des An-ciens, celle des figures, en réaction à la géométrie analytique : la géo-

métrie projective revint en effet sur le devant de la scène grâce à Jean-

Victor Poncelet et son Traité des propriétés projectives des figures en1822.

Le Papyrus Rhind

Signalons pour finir l’intérêt grandissant des savants pour les géométries non-euclidiennes. Le cinquième postu-lat d’Euclide affirme l’existence et l’unicité d’une droite passant par un point fixé et parallèle à une droite donnée. Aucours des siècles précédents et dès l’époque d’Euclide, de nombreux mathématiciens avaient essayé de prouver ce ré-sultat à partir des autres postulats 6 . Le jeune Lobatchevski, après d’infructueuses tentatives, décida de se dégager dufondement empirique de la géométrie en développant une géométrie imaginaire dans laquelle le cinquième postulat

5. Le peintre a étudié les Mathématiques et aurait pu en faire sa profession.

6. Citons par exemple Saccheri, Lambert, Playfair, etc.

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d’Euclide ne serait pas vérifié 7. Ces recherches, initialement conçues comme une exploration des fondements de lathéorie mathématique visant à les consolider, furent reprises par de nombreux mathématiciens tels que le hongroisBolyai ou l’allemand Riemann.

1. Rappels de cours

Les paragraphes qui suivent regroupent l’essentiel du cours de géométrie plane.

1.1. Outils de géométrie vectorielle

Le produit scalaire permet de caractériser l’orthogonalité...

Le produit scalaire

Ï Définition : soient u et v deux vecteurs de P. Si u = 0 ou v = 0, on pose u ·v = 0. Dans les autres cas, on pose

u ·v = ‖u‖‖v‖cos(u,v).

Ï Propriétés :

1. bilinéarité : ∀u,v,w ∈ P et ∀λ ∈ R , u · (v+µw) = u ·v+µu ·w et (v+µw) ·u = v ·u+µw ·u ;

2. symétrie : ∀u,v ∈ P , u ·v = v ·u ;

3. positivité : ∀u , u ·u = ‖u‖2 Ê 0 ;

4. caractère défini : Pour tout vecteur u, on ap

u ·u = ‖u‖ d’où l’équivalence suivante u ·u = 0 si et seulement

si u = 0.

Ï Produit scalaire et orthogonalité : u⊥v si et seulement si u ·v = 0.

Ï Calcul dans une bon : P est muni d’une base orthonormée B. Soient u et v deux vecteurs du plan de coordon-nées respectives (x, y)B et (x′, y ′)B . On a alors la formule suivante

u ·v = xx′+ y y ′.

Egalités et inégalités remarquables autour du produit scalaire

Ï Identités remarquables : pour tous vecteurs u et v,

‖u+v‖2 = ‖u‖2 +2u ·v+‖v‖2, ‖u−v‖2 = ‖u‖2 −2u ·v+‖v‖2 et ‖u‖2 −‖v‖2 = (u+v) · (u−v).

Ï Théorème de Pythagore : pour tous vecteurs u et v du plan P, u⊥v si et seulement si ‖u+v‖2 = ‖u‖2 +‖v‖2.

Ï Inégalité de Cauchy-Schwarz : pour tous vecteurs u et v,

|u ·v| É ‖u‖‖v‖.

De plus, on a |u ·v| = ‖u‖‖v‖ si et seulement si u et v sont colinéaires.

Ï Inégalité triangulaire : pour tous vecteurs u et v, on a ‖u+v‖É ‖u‖+‖v‖.

...alors que le produit mixte permet de caractériser la colinéarité.

7. Il développa donc une théorie axiomatique où il existe une infinité de parallèles à une droite donnée passant par un point fixé. Une tellegéométrie est qualifiée d’hyperbolique.


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Le produit mixte

Ï Définition : soient u et v deux vecteurs du plan P. Si u = 0 ou v = 0, on pose [u,v] = 0. Dans tous les autres cas,on pose

[u,v] = ‖u‖‖v‖sin(u,v).

Ï Déterminant et aire algébrique : soient deux vecteurs non colinéaires u et v. On considère un parallélogrammeconstruit à partir de ces deux vecteurs :

#–u

#–v

Puisque la hauteur de ce parallélogramme vaut ‖v‖|sin(u,v)|, son aire est égale à ‖u‖‖v‖|sin(u,v)| = | [u,v] |. Plusprécisément, [u,v] vaut l’aire du parallélogramme lorsque (u,v) est une base directe, [u,v] vaut l’opposé de l’aire duparallélogramme lorsque (u,v) est une base indirecte.

Ï Déterminant et colinéarité : deux vecteurs u et v appartenant à P sont colinéaires si et seulement si [u,v]= 0. Enparticulier, (u,v) est une base de P si et seulement si [u,v] 6= 0.

Ï Propriétés :

1. Bilinéarité : Pour tous vecteurs u,v,w ∈ P et ∀λ ∈R,[u,v+µw

]= [u,v]+µ [u,w] et

[v+µw,u

]= [v,u]+µ [w,u].

2. Antisymétrie : ∀u,v ∈ P, [u,v] =− [v,u].

Ï Calcul dans une bond : P est muni d’une base orthonormée B directe. Soient u et v deux vecteurs du plan decoordonnées respectives (x, y)B et (x′, y ′)B . On a alors la formule suivante :

[u,v]= x y ′− x′y =∣∣∣∣

x x′

y y ′

∣∣∣∣ .

Ï Calcul dans une base quelconque : P est muni d’une base B = (i, j). Soient u et v deux vecteurs du plan decoordonnées respectives (x, y)B et (x′, y ′)B . On a alors la formule suivante :

[u,v]=∣∣∣∣

x x′

y y ′

∣∣∣∣[i, j

].


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1.2. Les barycentres

Barycentres

Ï Définition : soient n Ê 1, A1, A2, . . . , An n points de P et n réels α1,α2, . . . ,αn tels que∑n

k=1αk 6= 0. Il existe ununique point G tel que

n∑

k=1αk GAk = 0.

Le point G est appelé barycentre du système de points pondérés (A1,α1), (A2,α2), . . . , (An ,αn ).

Ï Associativité : lorsque cela a un sens, ie lorsque les trois barycentres sont définis, on retiendra qu’avec les nota-tions suivantes,

de barycentre G︷︸︸︷(A1,α1), (A2,α2), . . . , (Ap ,αp )︸︷︷︸

de barycentre G A

, (B1,β1), (B2,β2), . . . , (Bq ,βq )︸︷︷︸

de barycentre GB

G est également le barycentre de (G A ,σA ), (GB ,σB ), où σA =p∑

k =1αk et σB =

q∑

k =1βk .

Ï Coordonnées d’un barycentre : pour tout point Ω du plan P , on a (lorsque cela a un sens)

ΩG =1

∑nk=1αk

n∑

k=1αkΩAk.

En appliquant cette formule à Ω=O, origine d’un repère R, on en déduit les coordonnées de G dans R. Si de plusR est orthonormé direct et que les points Ak sont d’affixes zk , l’affixe zG de G vaut

zG =1

∑nk=1αk

n∑

k=1

αk zk .

Ï Affixes d’un milieu et d’un centre de gravité : en particulier, dans un repère orthonormé direct, l’affixe du milieude [AB] vaut a+b

2 si A(a) et B(b). De même, le centre de gravité d’un triangle ABC a pour affixe a+b+c3 si A(a),B(b)

et C (c).

1.3. Droites

Équations paramétriques d’une droite

Ï Soient D = M0 +vect(d), où d(α,β)B et M0(x0, y0)R , et M(x, y)R .

M ∈D si et seulement si il existe t ∈R tel que

x = x0 + tα

y = y0 + tβ.

Ï Puisque les choix de d dirigeant D et de M0 ∈D sont arbitraires, la droite affine D admet une infinité d’équations

paramétriques.


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Équations cartésiennes d’une droite : définition par un vecteur directeur

Le repère est ici quelconque.

Ï Soient D = M0 +vect(d), où d(α,β)B et M0(x0, y0)R , et M(x, y)R .

M ∈ D si et seulement si

∣∣∣∣x − x0 α

y − y0 β

∣∣∣∣=β(x − x0)−α(y − y0) = 0.

Ï Puisque les choix de d dirigeant D et de M0 ∈ D sont arbitraires, la droite affine D admet une infinité d’équations

cartésiennes.

Ï Réciproquement, ax+by = c où (a,b) 6= (0,0) est l’équation d’une droite affine D de vecteur directeur d(−b, a)B .

Équations cartésiennes d’une droite : définition par un vecteur normal

Le repère est ici supposé orthonormé.

Ï Soient D la droite passant par M0 et de direction orthogonale à n, où n(α,β)B et M0(x0, y0)R , et M(x, y)R unpoint du plan.

M ∈ D si et seulement si M0M ·n =α(x − x0)+β(y − y0) = 0.

Ï Réciproquement, ax +by = c où (a,b) 6= (0,0) est l’équation d’une droite de vecteur normal n(a,b)B .

Calcul de la distance d’un point à une droite

P est muni d’un repère R orthonormé. Soient M0 ∈ P et D une droite affine du plan.

Ï Si D = A+vect(d), on a

d(M0,D) =| [AM0,d] |

‖d‖.

Ï Si D est d’équation ax +by +c = 0 et M0(x0, y0)R , on a

d(M0,D) =|ax0 +by0 +c |

pa2 +b2

.

Projection orthogonale sur une droite

Soient M un point plan et D une droite. Le projeté orthogonal H de M sur D est l’unique point H de D vérifiant

AH = (AM ·u)u

où A ∈D et u est un vecteur directeur unitaire de D .


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Pente d’une droite

Ï Défintion : soient R un repère orthonormé direct du plan et D une droite non parallèle à l’axe (O y). Il existe unréel p tel que pour tous points distincts A(xA , yA )R et B(xB , yB )B de D , p = yB−yA

xB−xA. Ce nombre est appelé pente de

la droite D . Une droite D est de pente p si et seulement si elle admet une équation cartésienne de la forme y = px+q

avec q ∈ R, ce qui équivaut à l’existence d’un vecteur directeur de D de la forme a(1, p)R .

Ï Propriétés : Soient R un repère orthonormé direct du plan, D1 et D2 deux droites de pentes respectives p1 etp2.

1. D1 D2 si et seulement si p1 = p2 2. D1⊥D2 si et seulement si p1p2 =−1.

Condition d’alignement

Trois points A,B et C sont alignés si et seulement si [AB,AC]= 0.

Inéquation cartésienne d’un demi-plan

Ï Soient R un repère quelconque du plan et D la droite d’équation ax+by+c = 0. Les deux demi-plans de frontièreD sont d’inéquations respectives

ax +by +c > 0 et ax +by +c < 0.

Ï Pour savoir concrètement (ie sur une figure) quels demi-plans correspondent aux inégalités > 0 et < 0, il suffitde choisir un point M0 (x0, y0)R n’appartenant pas à D et de calculer le signe de ax0 +by0 +c ; ce dernier définit ledemi-plan de frontière D contenant le point M0.

1.4. Cercles

Cercles

Soit C le cercle de centre Ω(ω= x0 + i y0) et de rayon R.

Ï Equation cartésienne : x2 + y2 −2x0x −2y0 y + x20 + y2

0 −R2 = 0.

Ï Equation paramétrique : z =ω+Rei t pour t ∈R, ou encore

x(t) = x0 +R cos(t), y(t)= y0 +R sin(t).


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Positions relatives cercles-droites

Soient C un cercle de centre O et de rayon R > 0, et D une droite du plan D .

D

O

C

D

O

C

D

O

C

Ï Si d(O,D) > R, C ∩D est vide.

Ï Si d(O,D) < R, C ∩D est réduit à deux points.

Ï Si d(O,D) = R, C ∩D est réduit à un point C . On dit que D est tangente au cercle en C . Le point C vérifie enparticulier D⊥(OC ).

CNS de cocyclicité

Soient A,B,C et D quatre points deux à deux distincts du plan. A,B,C et D sont alignés ou cocycliques si et

seulement si

(AB,AC)= (DB,DC) [π ].


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Positions relatives de deux cercles

En reprenant les calculs précédents, on prouverait plus précisément les assertions suivantes :

O1 O2

C1

C2

O1 O2

C1

C2

O1O2

C1 C2

O1 O2

C1

C2

O1O2

C1 C2

Ï Si O1O2 = R1 +R2, l’intersection C1 ∩C2 est réduite à un point et C2 est situé à l’extérieur de C1. On dit alors queles deux cercles sont extérieurement tangents.

Ï Si |R2 −R1| = O1O2 6= 0, l’intersection C1 ∩C2 est réduite à un point et le cercle de plus petit rayon est situé àl’intérieur de l’autre cercle. On dit alors que les deux cercles sont intérieurement tangents.

Ï Si |R1 −R2| =O1O2 = 0, les deux cercles sont égaux.

Ï Si O1O2 > R1 +R2, le cercle C1 est strictement à l’extérieur de C2.

Ï Si O1O2 < |R1 −R2|, le cercle de plus petit rayon est strictement à l’intérieur de l’autre cercle.


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2. Exercices

Les difficultés sont échelonnées de la manière suivante : aucune, , et . Certains énoncés sont tirés desannales des concours (oral et écrit) ; leur provenance n’est pas toujours précisée. Les exercices notés et sontparticulièrement délicats.

2.1. Droites et problèmes d’alignement

Le lecteur se souviendra que trois points A(a),B(b) et C (c) sont alignés si et seulement si Im((b −a) (c −a)) = 0.ce qui est équivalent à [AB,AC] = 0. Signalons au lecteur que les théorèmes de Ménélaüs et Céva sont de grands

classiques de géométrie plane.

Exercice 1.

Dans le plan P muni d’un repère orthonormé directR = (O,B), on considère les trois points A(−3,−1)R ,B(4,1)R , C (−2,3)R et le vecteur u = (1,2)B .

1. Former une équation cartésienne de la droite D

passant par A et B .

2. Former une équation cartésienne de la droite D ′

passant par C et dirigée par u.

3. Calculer les coordonnées du point d’intersectionde D et D ′.

Exercice 2. Médiatrice

Soient Aλ = (λ,0) et Bλ = (0, a −λ) pour a fixé et λ unparamètre réel.

1. Former une équation cartésienne de la médiatricede [Aλ,Bλ].

2. Montrer que lorsqueλ varie, cette médiatrice passetoujours par un point fixe.

Exercice 3. Distance d’un point à une droite

Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct R.Calculer la distance de M à D dans les cas suivants :

1. D est d’équation 2x +3y = 4 et M(1,2)R .

2. D est la droite passant par A(1,−2)R et B(−2,3)R ,et M(1,1)R .

Exercice 4. Distance entre deux droites parallèles

Calculer la distance entre la droite D1 d’équation car-tésienne x + 2y = 1 et la droite D2 de représentationparamétrique

x = 2t +1y = −t +2

Exercice 5. Pont aux ânes

Le plan P est muni d’un repère orthonormé R.

1. Former une équation cartésienne de la droite D

d’équations paramétriques

x = 1 − 2λy = 2 + λ

2. Soient A(2,1)R ,B(−1,2)R et M(3,4)R . Calculer ladistance de M à (AB).

3. Déterminer une équation paramétrique de ladroite D d’équation x = 2y −1.

4. Soient A(−1,1)R ,B(1,2)R et C (2,1)R . Calculerl’aire du triangle ABC .

Exercice 6. Projection orthogonale

Soient R = (O,u,v) un repère orthonormé du plan,D = A +vect(d) où A(2,−2)R et d(4,3)B . Déterminerla projection orthogonale sur D du point B(1,−2)R .


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Exercice 7. Calculs de distances

Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct R.

1. Calculer la distance de M à D dans les cas suivants :

1.a. D est d’équation 2x − y = 3 et M(2,3)R .

1.b. D est la droite définie par D = M0 + vect(d) oùM0(1,−1)R , M(4,−3)R et d(2,3)B .

2. Soient D et D ′ d’équations respectives 5x+y−5 = 0et 3x+2y −4 = 0. Déterminer l’ensemble E des pointsM tels que

d (M ,D ′) =p

2d (M ,D).

Exercice 8. Une famille de droites

Pour tout λ ∈R, on considère la droite d’équation

(Dλ) : (1−λ2)x +2λy = 2+4λ

dans un repère orthonormé direct R.

1. Montrer qu’il existe un point Ω équidistant detoutes les droites Dλ.

2. Quelle interprétation géométrique en donner ?

Exercice 9. Posé à Centrale

Soient A,B,C trois points du plan non alignés et

B C

P

Q

R

I

J

K

A

P,Q ,R trois points alignés situés respectivement sur(BC ), (C A) et (AB). Montrer que les points I , J et K dé-finis par

AI = AQ + AR

BJ = BR + BP

CK = CP + CQ

sont alignés.

Exercice 10. Théorème de Ménélaüs

Soit ABC un vrai triangle du plan. On oriente lesdroites (AB), (AC ) et (BC ) respectivement de A vers B ,de A vers C et de B vers C . On note R = (A,AB,AC). Onconsidère trois points P ∈ (BC ),Q ∈ (AC ) et R ∈ (AB)distincts des sommets du triangle ABC . L’objectif estde prouver le théorème de Ménélaüs : P,Q et R sontalignés si et seulement si

PB

PC×

QC

Q A×

R A

RB= 1.

1. On note p, q et r les abscisses dans R des pointsP,Q et R. Ecrire les coordonnés de P,Q et R en fonc-tion de p, q et r .

2. EcrirePB

PC×

QC

Q A×

R A

RB

en fonction de p, q et r .

3. Calculer Det(PQ,PR) en fonction de p, q,r etDet(AB,AC).

4. Conclure.

Exercice 11. Droites concourantes

Soient ABC un vrai triangle, I , J et K les barycentressuivants :

I : (B,2) , (C,1)J : (C,2) , (A,1)K : (A,1) , (B,4)

Etablir que les droites (AI ), (B J ) et (CK ) sont concou-rantes.


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2.2. Cercles et cocyclicité

Le lecteur rentiendra les théorèmes de l’angle inscrit et de l’angle au centre. Les conditions nécessaires et suffi-

santes de cocyclicité sont également à connaître. Le lecteur se souviendra du théorème relatif à l’intersection de

deux cercles du plan et saura tirer profit des relations angulaires liées aux cercles. La notion de puissance d’un

point par rapport à un cercle est classique et l’exercice correspondant est plus que recommandé.

Exercice 12. Autour de la puissance

Cet exercice expose la notion de puissance d’un point

par rapport à un cercle. On étudie d’abord quelques

propriétés classiques liées à la définition de la puis-

sance avant d’aborder la détermination d’un lieu géo-

métrique.

1. Puissance d’un point par rapport à un cercle. SoientO un point du plan, R > 0, C le cercle de centre O et derayon R et M un point du plan. Soit D une droite pas-sant par M dont l’intersection avec C contient deuxpoints P et Q éventuellement égaux. On cherche àprouver que MP ·MQ est indépendant de la droite D .

1.a. Soit P ′ le point diamétralement opposé à P surC . Etablir que

MP ·MQ = MP ·MP′.

1.b. En déduire que

MP ·MQ =OM2 −R2

et donc que MP ·MQ est indépendant de la droite D .Ce réel est noté PC (M) et appelé puissance de M parrapport à C .

1.c. A quoi correspondent les ensembles de pointsdéfinis par :

PC (M) = 0 ?, PC (M) < 0 ? et PC (M) > 0 ?

2. Etude d’un lieu géométrique. Soient O1,O2 deuxpoints du plan, R1 > 0, R2 > 0, C1 le cercle de centreO1 et de rayon R1 et C2 le cercle de centre O2 et derayon R2.

2.a. Déterminer le lieu L des points M du plan véri-fiant :

PC1 (M) =PC2 (M).

2.b. Dessiner L lorsque O1O2 = 3a, R1 = 2a et R2 = a

où a > 0.

Exercice 13. B.A.BA sur les cercles

Déterminer la nature et les caractéristiques des en-sembles d’équation cartésienne . . .

1. C1 : x2 + y2 −4x −6y +λ= 0, où λ ∈ R.

2. C2 : x2 + y2 −2λx −2λy +λ2 = 0, où λ ∈ R.

3. C3 : x2 + y2 +λx −4λy +2λ2 = 0, où λ ∈ R.

Exercice 14. Cercle inscrit

Déterminer un cercle tangent aux trois droites d’équa-tions respectives :

y = 2x +1, y =−2x +7 et y =−1

2x.

Exercice 15. Trois cercles tangents

Soient C , C ′ deux cercles tangents extérieurement, derayons respectifs R, R′. Une de leurs tangentes com-munes D est tangente à C en A et tangente à C ′ en A′.On note d = A A′.

1. Montrer que d2 = 4RR′ .

2. Soit C ′′ un troisième cercle tangent extérieurementà C et C ′, et tangent à D . Montrer que

1p

R′′=

1p

R+

1p

R′.


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2.3. Triangles

Parmi les configurations géométriques s’étudiant facilement à l’aide des nombres complexes, citons les triangles

équilatéraux. Les exercices suivants permettrons au lecteur néophyte de s’initier à l’équilatéralité où le nombre

« magique » est j . Il ne faut négliger les exercices les plus simples comme démontrer que les médianes d’un triangle

sont concourrantes.

Exercice 16. Une propriété des triangles équilatéraux

Soit ABC un triangle équilatéral. On considère le re-père orthonormé d’origine I le milieu de [AB], danslequel A = (−a,0) et B = (a,0).

1. Quelles sont les coordonnées de C dans ce repère ?

2. Former une équation cartésienne de (AC ) et (BC ).

3. Montrer que si M est un point à l’intérieur du tri-angle, la somme des distances de M à chaque côté dutriangle est constante.

Exercice 17. Autour de l’orthocentre

Soit ABC un triangle. On note A′,B ′ et C ′ les pieds deshauteurs respectivement issues de A,B et C . On noteH l’orthocentre de ABC .

1. En développant AB ·A′H= 0, démontrer que :

A′A ·A′H =−A′B ·A′C.

2. Etablir que AH ·AA′ = AB ·AC′ = AC ·AB′.

3. Démontrer que HA ·HA′ = HB ·HB′ = HC ·HC′.

Exercice 18. Formule de Héron

Soit ABC un triangle de côtés a,b,c et de demi-périmètre p = a+b+c

2 . Montrer que la quantité

A =√

p(p −a)(p −b)(p −c)

est égale à l’aire du triangle ABC .

2.4. Barycentres

Le lecteur se souviendra de l’associativité des barycentres, de leurs propriétés et en particulier des fonctions vec-

torielles et scalaires de Leibniz. L’égalité de la médiane est souvent utile dans ce contexte. On se souviendra égale-

ment des méthodes employées pour l’étude des cercles d’Apollonius.

Exercice 19. Etude d’un lieu géométrtique

Soient A 6= B et k ∈ R∗+. Déterminer l’ensemble L des

points M du plan vérifiant :

MA ·MB = k.

Exercice 20. Un lieu géométrique

Soient A 6= B et k ∈ R. Déterminer en fonction de k

la nature géométrique de l’ensemble L des points M

tels queM A2 +2MB2 = k.

Exercice 21. Etude d’un lieu

Soient ABC un triangle équilatéral du plan. On noteA′,B ′ et C ′ les milieux respectifs des segments [BC ],[AC ] et [AB]. Pour tout point M du plan, on pose :

f (M) = MA ·MB+MA ·MC+MB ·MC.

On note G le centre de gravité de ABC . L’exercice apour but de déterminer puis de tracer l’ensemble L

des points M vérifiant f (M) = 0.

1. Etablir que ∀M ∈P , f (M) = 3MG2 + f (G).

2. En déduire que L est soit vide, soit réduit à unpoint, soit un cercle.

3. Montrer que L est un cercle en recherchant lespoints M vérifiant f (M) = 0 appartenant au cercle dediamètre [BC ].

4. En déduire une construction de L .http://lkcz.free.fr 13

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Exercice 22. Etude d’un lieu géométrique

Soit ABC un vrai triangle du plan. On note I le mi-lieu de [BC ]. Une droite variable passant par I et quel-conque coupe (AB) en E et (AC ) en D. On note M lepoint d’intersection des droites (CE ) et (BD).

A

B CI

E

M

D

L’objectif de l’exercice est de déterminer par une mé-

thode analytique le lieu des points M. On décide de tra-

vailler dans le repère cartésien R = (A,AB,AC).

1. Montrer qu’une droite passant par I et rencontrant(AB) et (AC ) possède une équation cartésienne dansR de la forme

y = mx +1−m

2

où m ∈R. Réciproquement, à quelle condition portantsur m les droites (DB) et (CE ) sont-elles bien définies ?

2. Calculer les coordonnées dans R des points D etE . A quelle condition M est-il défini ?

3. En déduire que les coordonnées de M sont

(m −1

1+m,

1−m

1+m

),

où m décrit une partie M de R que l’on précisera.

4. Montrer que M se trouve sur une droite ne dépen-dant pas de m.

5. Lorsque m décrit l’ensemble M , quel ensemble depoints M décrit-il ?

Exercice 23. Cercles d’Apollonius

Soient A et B deux points distincts et k ∈ R. Détermi-ner la nature de l’ensemble L des points M vérifiant :

M A

MB= k.

Exercice 24. Détermination d’un lieu géométrique

Soient R = (O, i, j) un repère orthonormé direct duplan P . On note ∆ la droite d’équation x + y = 1.

1. Soit M0 (x0, y0)R . Calculer les coordonnées du sy-métrique M1 du point M0 par rapport à ∆.

2. Déterminer la nature de l’ensemble L des pointsM0 tels que les symétriques M1, M2, M3 de M0 par rap-port aux droites ∆, (Ox) et (O y) soient alignés.

Exercice 25. Posé à Centrale en PC

Soient A,B et C trois points du plan tels que

AB = 3, AC = 4 et BC = 5.

Déterminer l’ensemble L des points M du plan telsque :

‖7MA+5MB+4MC‖ = ‖2MA−MB−MC‖ .


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3. Indications

1.

RAS.

2.

On trouve λx + (λ−a)y + a2

2 −λa = 0.

3.

RAS.

4.

Formulaire...

5.

RAS.

6.

RAS.

7.

RAS.

8.

Considérer Ω(1,2)R .

9.

Utiliser le déterminant et travailler dans le repère(A,AB,AC).

10.

La droite (BC ) est d’équation x + y = 1.

11.

Travailler dans le repère R = (A,AB,AC).

12.

Chaslez par O au 1.2. On trouve une droiteperpendiculaire à (O1O2) lorsque O1 6=O2 au 2.

13.

RAS.

14.

Commencer par rechercher un point équidistant destrois côtés.

15.

1. Faire un dessin et appliquer Pythagore dans letriangle rectangle OO′H , où O et O′ sont les centresrespectifs de C et C ′, et H le projeté orthogonal de O′

sur (O A).

2. Appliquer trois fois le résultat précédent.

16.

RAS.

17.

Tout repose sur la relation de Chasles.

18.

L’aire du triangle ABC vaut A = bc sin(A)2 . Utiliser alors

la formule d’Al-kashi

a2 = b2 +c2 −2bc cos(A)

afin de calculer le sinus en fonction des longueurs a,b

et c.

19.

Considérer le milieu I de [AB].

20.

On trouve parfois un cercle.

21.

On trouve un cercle.

22.

On trouve M((m −1)/(m +1),(1−m)/(m +1))R

23.

On trouve un cercle si k > 0.

24.

On pourra en rechercher une équation cartésienne. Ontrouve un cercle.

25.

On trouve un cercle.


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