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Corrigé Exercice 1 : CENTRALE HYDRAULIQUE.

Question 1 : Compte tenu de la nature du contact, donner le nom des liaisons 2/0LAL , 2/0

LCL et 2/0LDL .

2/0LAL et 2/0

LCL : pivot glissant d'axe ( , )A z

2/0LDL : appui plan de normale z

Question 2 : La nature du contact des liaisons en A et C est supposée maintenant comme « cylindrique

courte ». Donner le nouveau nom de la modélisation de chacune des liaisons suivantes : 2/0LAL

et 2/0LCL .

2/0LAL : sphère-cylindre (ou linéaire annulaire) de centre A et de direction z

2/0LCL : sphère-cylindre (ou linéaire annulaire) de centre C et de direction z

Question 3 : Dessiner le graphe de structure, puis le schéma d’architecture 3D de ces trois liaisons.

0 2

sphère-cylindre (ou linéaire annulaire) de centre C et de

direction z

sphère-cylindre (ou linéaire annulaire) de centre A et de

direction z

appui plan de

normale z

y

z

x

O

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Question 4 : Donner la liaison équivalente entre le bâti 0 et l’arbre 2.

2/0LAL : sphère-cylindre (ou linéaire annulaire) de centre A et de direction z :

,2/0

2/0 ,2/0

, 2/0,2/0 ( , , )

0

0

LAx

LA LAy

LALAz AzA x y z

v

V

2/0LCL : sphère-cylindre (ou linéaire annulaire) de centre C et de direction z :

,2/0

2/0 ,2/0

, 2/0,2/0 ( , , )

0

0

LCx

LC LCy

LCLCz CzC x y z

v

V

2/0LDL : appui plan de normale z :

, 2/0

2/0 , 2/0

,2/0( , , )

0

0

0

LDx P

LD LDy P

LDz

P x y z

v

v

V

NB : le torseur cinématique de la liaison appui plan a sa forme générale valable pour tout point de l'espace. Le changement de point (transfert au point A) pour la liaison en C donne :

2/0 2/0 2/0LC LC LCA CV V AC

2/0 , 2/0 ,2/0 ,2/0 ,2/0. . ( . . . )LC LC LC LC LCA z C x y zV v z L z x y z

2/0 , 2/0 ,2/0 ,2/0. . . . .LC LC LC LCA z C x yV v z L y L x

Donc ,2/0,2/0 ,2/0

2/0 ,2/0 ,2/0 ,2/0

, 2/0 , 2/0,2/0 ,2/0( , , ) ( , , )

.0

0 .

LCLC LCyx x

LC LC LC LCy y x

LC LCLC LCz C z Cz zC x y z A x y z

L

L

v v

V

Or, comme les liaisons sont en parallèle : 2/0 2/02/0 2/0Leq LA LC LD V V V V

donc : ,2/0,2/0,2/0 , 2/0

,2/0 , 2/02/0 ,2/0 ,2/0

, 2/0 ,2/0,2/0 , 2/0,2/0 (( , , ) ( , , )

.0 0

0 . 0

0

LCLCLA LDyxx x A

Leq LA LC LC LDy y Ay x

LA LDLA LCLCz A zz z Cz A xA x y z A x y z

L v

L v

v v

V

, , )y z

,2/0 ,2/0

,2/0 ,2/0

,2/0 ,2/0,2/0

2/0

, 2/0,2/0 ,2/0 ( , , )

, 2/0,2/0

, 2/0 , 2/0

0

0

0 0

0 00 . 0

0 .

0

LA LCx x

LA LCy y

LA LC LDz zz Leq

LC LDx Ay zA x y z

LC LDy Ax

LA LCz A z C

L v

L v

v v

V

On reconnait ici la forme générale du torseur cinématique

correspondant à une liaison pivot d’axe ( , )A z .

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Corrigé Exercice 2 : GALET TENDEUR DE COURROIE.

Question 1 : Dessiner le graphe de structure.

1 Pivot glissant

d’axe )z,Q(

3 2

4

Pivot glissant

d’axe )z,P(

Pivot glissant

d’axe )y,Q( Pivot glissant

d’axe )y,Q(

Question 2 : Donner la forme du torseur cinématique de la liaison 2/1L .

Liaison pivot glissant d’axe ( , )P z : 2/1

,2 1 , 2 1( , ) ( , , )

0 0

0 0

/ /z z MM P z x y zv

V

Question 3 : Donner la forme du torseur cinématique de la liaison 3/1L .

Liaison pivot glissant d’axe ( , )Q z : 3/1

, 3/1,3 1( , ) ( , , )

0 0

0 0

/ z MzM Q z x y zv

V

Question 4 : Donner la forme du torseur cinématique de la liaison 2/3L .

Liaison pivot glissant d’axe ( , )Q y : 2/3 ,2 3 , 2 3

( , ) ( , , )

0 0

/ /

0 0

y y M

M Q y x y z

v

V

Question 5 : Déterminer la forme du torseur cinématique, au point Q , de la liaison équivalente eqL entre 2

et 1. Préciser son nom.

Seul le graphe des liaisons nous permet de voir clairement si les liaisons sont en parallèle ou en série.

La liaison 2/1L est en parallèle avec les 2 liaisons en série 2/3L et 3 1/L , donc :

2/1 2/3 3/12/1Leq

V V V V

Attention : pour écrire l’égalité et/ou la somme des éléments de réduction des torseurs, il faut impérativement qu’ils soient exprimés au même point !

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Nous allons donc exprimer tous les torseurs au point Q.

Le changement de point (transfert au point Q) pour la liaison 2/1L donne :

Q 2/1 P 2/1 2/1 , 2/1 ,2/1 ,2/1 , 2/1V V .z . .z . .x .z z P z z z PQP v b y b v

Donc ,2/1

2/1

,2/1 , 2/1,2 1 , 2 1 ( , , )( , ) ( , , )

0 0 0 .

0 0 0 0

/ /

z

z z Pz z M Q x y zM P z x y z

b

v v

V

Les 2 autres torseurs sont déjà écrits au point Q.

Il est très important de bien connaître les zones de validité de la forme des torseurs cinématiques des liaisons usuelles afin d’éviter de faire des calculs inutiles lorsque l’on « déplace » ces torseurs d’un point à un autre.

Donc : 3/1

, 3/1,3 1 ( , , )

0 0

0 0

/ z QzQ x y zv

V et 2/3 ,2 3 , 2 3

( , , )

0 0

/ /

0 0

y y Q

Q x y z

v

V

Donc comme 2/1 2/3 3/12/1Leq

V V V V :

,2/1

,2 3 , 2 32/1

,2/1 , 2/1 , 3/1,3 1( , , ) ( , , )( , , )

0 . 0 0 0 0

0 0 0 0/ /

0 0 /

zLeq

y y Q

z z P z QzQ x y z Q x y zQ x y z

b

v

v v

V

,2/1

,2 3 , 2 32/1

,2/1 , 2/1 ( , , ) , 3/1,3 1 ( , , )

0 . 0 0

0 0 / /

/

zLeq

y y Q

z z PQ x y z z QzQ x y z

b

v

v v

V

2/1

, 2/1 , 3/1 ( , , )

0 0

0 0

0

Leq

z P z QQ x y zv v

V

On reconnait ici la forme générale du torseur cinématique correspondant à une liaison glissière de direction z .

Question 6 : En déduire le schéma cinématique « minimal » 3D en prenant la même orientation que le schéma d’architecture donné ci-dessus.

y

z

x

O

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Corrigé Exercice 3 : MACHINE DE TRACTION-TORSION.

Question 1 : Donner le graphe de structure entre le galet 11a et le support 14a. Puis, donner sans démonstration le graphe de liaison entre ces deux clases d’équivalence.

Question 2 : Compléter le graphe partiel de liaison ci-dessous, en indiquant le nom des trois liaisons.

Question 3 : Donner (sans justification) le nom de la liaison équivalente entre 11a et le bâti 0.

Liaison équivalente entre 11a et le bâti 0 : liaison sphérique à doigt de centre aP et de rotation interdite 0( , )aP X .

Question 4 : Déterminer (en le justifiant) la liaison équivalente entre la plaque 12 et le bâti 0.

0/14 14 /11 ,14 /11

,0/14( , ) ( , , ) ( , ) ( , , )

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

a a a y a a

z aM Pa Zo Xo Yo Zo M Pa Yo Xo Yo Zo

V V

,11 /12

11 /12 ,11 /12 , 11 /12

, 11 /12( , , ) ( , , )

0

0

x a

a y a y M a

z M aM Ia Xo Yo Xo Yo Zo

v

v

V

NB : Ces 3 torseurs sont déjà écrits au point A !

Or, comme les 3 liaisons sont en série : 0/14 14 /11 11 /120/12Leq

a a a a V V V V

donc : ,11 /12

,14 /11 ,11 /12 , 11 /120/12

,0/14 , 11 /12 ( , , )

0x aLeq

y a a y a y Pa a

z a z Pa aPa Xo Yo Zo

v

v

V

On reconnait ici la forme générale du torseur cinématique correspondant à une liaison sphère-plan (ou

ponctuelle) de normale 0( , )aP X .

Pivot d’axe

0( , )aP Z

14a 11a 12

Pivot d’axe

0( , )aP Y

Cylindre-Plan (ou linéaire rectiligne) de

ligne de contact 0( , )aI Y et de normale 0X

0

Pivot d’axe

0( , )aP Y

Sphérique de centre ?

Sphérique de centre ?

11a

14a

11a

14a

Graphe de

structure

Graphe de

liaison

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Question 5 : Tracer le graphe de structure entre la plaque 12 et le bâti 0.

Question 6 : Déterminer alors (en le justifiant) la liaison équivalente entre la plaque 12 et le bâti 0.

,0/12

0/12 ,0/12 , 0/12

,0/12 , 0/12( , ) ( , , )

0Lax

La La Lay y M

La Laz z MM Pa Xo Xo Yo Zo

v

v

V ,0/12

0/12 ,0/12 , 0/12

,0/12 , 0/12( , ) ( , , )

0Lbx

Lb Lb Lby y M

Lb Lbz z MM Pb Xo Xo Yo Zo

v

v

V

Le changement de point (transfert au point Pa) pour la liaison en Pb donne :

Lb LbPa 0/12 Pb 0/12 0/12 , 0/12 , 0/12 ,0/12 ,0/12 ,0/12

V V P . . . . . .Lb Lb Lb Lb Lb Lby Pb z Pb x y z

Pa b v Yo v Zo r Yo Xo Yo Zo

LbPa 0/12 ,0/12 , 0/12 , 0/12 ,0/12

V . . . ( . ).Lb Lb Lb Lbz y Pb z Pb x

r Xo v Yo v r Zo

Donc ,0/12 ,0/12 ,0/12

0/12 ,0/12 , 0/12 ,0/12 , 0/12

,0/12 , 0/12 ,0/12 , 0/12 ,0/12( , ) ( , , ) (

0 .

.

Lb Lb Lbx x z

Lb Lb Lb Lb Lby y M y y Pb

Lb Lb Lb Lb Lbz z M z z Pb xM Pb Xo Xo Yo Zo Pa

r

v v

v v r

V

, , )Xo Yo Zo

L’autre torseur est déjà écrit au point Pa.

Comme ces 2 liaisons sont en parallèle : 0/12 0/12 0/12Leq La Lb V V V

Donc ,0/12 ,0/12 ,0/12

0/12 ,0/12 , 0/12 ,0/12 , 0/12

,0/12 , 0/12 ,0/12 , 0/1 ,0/12( , , ) ( ,

0 .

.

La Lb Lbx x z

Leq La La Lb Lby y Pa y y Pb

La La Lb Lb Lbz z Pa z z Pb xPa Xo Yo Zo Pa Xo Yo

r

v v

v v r

V

, )Zo

Ce qui impose ,0/12

0bz

et ,0/12

,0/12 , 0/120/12

, 0/12 ( , , )

0

0

x

Leqy y Pa

z PaPa Xo Yo Zo

v

v

V

On reconnait ici la forme générale du torseur cinématique correspondant à une liaison cylindre-plan (ou

linéaire rectiligne) de ligne de contact 0( , )aP Y et de normale 0X .

Question 7 : Justifier finalement l'appellation "dispositif anti-rotation du vérin".

Cette liaison interdit la rotation autour de l’axe vertical 0Z du corps de vérin 1 (solidaire de 12) par rapport

au bâti 0.

0 12

Sphère-plan (ou ponctuelle) de

normale 0( , )aP X

Sphère-plan (ou ponctuelle) de

normale 0( , )bP X