TD 31 - Simplification Et Recomposition d'Une Fonction Logique

TD 31 - Simplification et recomposition d'une fonction logique Page 1/4

MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 27/05/2009

Exercice 1 : ESCALIER MECANIQUE AVEC CONTROLE D’ACCES. Reprendre l’exercice du TD 30. Question 1 : Compléter les 2 tableaux de Karnaugh des sorties M et V, et déduire leurs équations logiques

simplifiées. Question 2 : Vérifier vos résultats avec ceux déterminés par l’algèbre de Boole.

Exercice 2 : REMPLISSAGE AUTOMATIQUE D’UN RÉSERVOIR. Reprendre l’exercice du TD 30. Question 1 : Compléter le tableau de Karnaugh de la sortie 1D+, et déduire son équation logique

simplifiée. NB : On mettra un x dans les cases impossibles.

1D+ h b

m Question 2 : Vérifier votre résultat avec celui déterminé par l’algèbre de Boole.

Exercice 3 : SIMPLIFICATION ET RECOMPOSITION DE FONCTION 1. Question 1 : Développer les fonctions logiques suivantes, puis simplifier les en utilisant des tableaux de

Karnaugh :

( )

( ) ( )ac.badb.bdc.b.aW

d.c.ad.c.b.ac.b.ad.c.adcZ

++++

++=

+++++=

Question 2 : Recomposer ces fonctions logiques avec seulement des opérateurs NAND, puis avec

seulement des opérateurs NOR. En déduire les logigrammes.

V tb c

th

M tb c

th



Exercice 4 : SIMPLIFICATION ET RECOMPOSITION DE FONCTION 2. Soit la table de vérité suivante, représentant la sortie d’un système :

NB : La sortie R comporte des cas impossibles… Question 1 : Remplir le tableau de Karnaugh correspondant et déterminer l’équation booléenne de R. Question 2 : Construire le logigramme de R. Question 3 : Construire le logigramme de R avec seulement des portes logiques NAND. Question 4 : Construire le logigramme de R avec seulement des portes logiques NOR.

Exercice 5 : SERRURE DE COFFRE. Quatre responsables (A, B, C et D) d’une société peuvent avoir accès à un coffre. Ils possèdent chacun une clé différente (respectivement a, b, c et d). Le responsable A ne peut ouvrir le coffre qu’en présence du responsable B ou du responsable C. Les responsables B, C et D ne peuvent ouvrir le coffre qu’en présence d’au moins deux des autres responsables. Question 1 : Établir la table de vérité comprenant les quatre variables d’entrée a, b, c et d et la variable de

sortie S (ouvrir le coffre). Question 2 : Donner l’équation logique non simplifiée de la serrure (sortie S) en fonction des clés a, b, c et

d. Question 3 : Simplifier l’expression de S à l’aide de l’algèbre de Boole. Question 4 : Simplifier l’expression de S en utilisant un tableau de Karnaugh. Question 5 : Établir un circuit électrique relatif à la sortie S. Question 6 : Établir 2 logigrammes relatifs à la sortie S (l’un avec seulement des portes NAND et l’autre

avec seulement des portes NOR).



Exercice 6 : ADDITIONNEUR.

Présentation. Lire rapidement le cours page 12 partie 31 définitions. Lorsqu’on travaille en base 2 (code binaire), il est possible de réaliser des additions de nombres, exactement comme on additionne deux nombres en base 10 (code décimal).

Attention : Le symbole de l’addition est « + », et, lorsqu’on travaille en base 2, il ne faut surtout pas le confondre avec le symbole de la fonction logique OU (qui peut être considérée comme une somme logique de nombres binaires). Addition traditionnelle en base 10. En base 10, il y a dix symboles pour représenter les chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Lorsque l’addition est simple et qu’il n’y a pas de retenue (retenue égale 0)

S’il y a une retenue

- On additionne d’abord les deux chiffres de la colonne la plus à droite (colonne de poids faible). - On inscrit le résultat de la colonne (somme), et s’il y a une retenue, on la reporte en haut de la colonne qui précède. - On additionne ensuite les deux chiffres de cette colonne et la retenue reportée trouvée précédemment. - On inscrit le résultat de cette colonne (somme), et s’il y a une retenue, on la reporte en haut de la colonne qui précède. - On recommence ainsi jusqu’à arriver à la colonne la plus à gauche des nombres (colonne de poids fort).

On a l’habitude de faire cela, et on n’y prête plus grande attention. Si on désire additionner en base 2, la procédure est exactement la même. Addition en base 2. En base 2, il n’y a que deux symboles pour représenter les chiffres : 0 et 1.

Le tableau ci-contre présente en parallèle la correspondance entre les deux bases :

Lorsque l’addition est simple et qu’il n’y a pas de retenue (retenue égale 0)

S’il y a une retenue, elle ne peut valoir que 1

Si maintenant, on s’intéresse à l’addition de deux nombres de quatre chiffres binaires tels que représenté ci-dessous

Si on généralise à n’importe quelle addition de deux nombres de quatre chiffres binaires, on peut la

représenter comme ci-après

On applique ta même méthode vue dans l’addition en base 10, en commençant par la colonne la plus à droite, puis en allant

progressivement vers ta colonne la plus à gauche.



D’après ce qui précède, il apparait qu’il n’est pas nécessaire d’étudier le système complet composé des quatre colonnes en même temps, mais qu’on peut étudier comment fonctionne un sous-système composé d’une seule colonne, n’importe laquelle, qu’on peut noter « colonne i » avec 1 ≤ i ≤ 3 (car la colonne 0 est différente des autres (puisqu’elle a une retenue toujours égale à 0). On peut donc noter l’addition de la « colonne i » comme ci-contre :

Addition de 2 mots binaires de 1 bit. Soient 2 mots binaires A et B ne comportant qu’un seul digit (respectivement a et b) et S leur somme (A+B). Le mot binaire S peut alors s’écrire à l’aide de 2 digits :

• le digit de poids le plus faible, noté s, • le digit de poids le plus fort, la retenue r.

Question 1 : Établir la table de vérité et donner les expressions logiques de s et r en fonction de a et b. Question 2 : Établir le logigramme de r et s en utilisant uniquement un opérateur OU EXCLUSIF et un

opérateur ET.

Addition du bit n°i dans un additionneur n bits. Soient :

On a évidemment i1iii nrba =++ − avec in nombre binaire constitué des deux digits ir et is .

Question 3 : Établir la table de vérité et donner les expressions logiques NON SIMPLIFIEES de ir et is en

fonction de ia , ib et 1ir − .

Question 4 : Simplifier à l’aide de l’algèbre de Boole, et écrire is en utilisant deux opérateurs OU

EXCLUSIF, et ir en utilisant deux opérateurs ET, un opérateur OU et un opérateur OU

EXCLUSIF. Question 5 : Établir le logigramme de ir et is en utilisant uniquement deux opérateurs ET, deux

opérateurs OU EXCLUSIF et un opérateur OU.

Addition de 2 mots binaires de 2 bits. Question 6 : Établir le logigramme d’un additionneur 2 bits (A = a1a0 et B = b1b0), en utilisant les résultats

précédents.

Addition de 2 mots binaires de 4 bits. Question 7 : Établir le logigramme d’un additionneur 4 bits (A = a3a2a1a0 et B = b3b2b1b0), en utilisant

les résultats précédents.

• ia le bit n°i du nombre binaire A (A s’écrit « na ... ia ... 01aa »)

• ib le bit n°i du nombre binaire B (B s’écrit « nb ... ib … 01bb »)

• is le bit n°i de la somme S=A+B (S s’écrit « ps ... is … 01ss »)

• 1ir − est la retenue provenant de l’addition au rang i-1

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