Universit dOrlans Facult de Droit dEconomie et de Gestion

Master 1 ESA Economtrie et Statistique Applique

TD SERIES TEMPORELLES ( Polycopi dexercices )

Sessi TOKPAVI

Anne Universitaire 2006/07

SEANCE 1 & 2 EXERCICE 1 : Processus Moving Average (MA), Thorme de Wold, stationnarit et inversibilit 1. Enoncez le thorme de Wold et rappelez brivement son intrt pour la modlisation des processus linaires. 2. Donnez lordre des diffrents processus MA suivants et prcisez sils sont stationnaires ou non (justifiez la rponse la dernire question). Le processus u t est un bruit blanc et L est loprateur de retard (a) xt = (1 0.8 L)u t(b) xt = (1 0.4 L + 1.2 L2 )u t

(c) xt = (0.5) i Li u t i =0 (d) xt = (1.8) i Li u t i =0 3. En dduire une conclusion gnrale quant la stationnarit des processus MA. 4. Expliquez pourquoi lhypothse dinversibilit est souvent requise dans ltude des processus linaires stochastiques. Identifiez parmi les quatre processus prcdents, ceux pour lesquels, la vrification de cette hypothse na pas de sens. Pour les autres, prcisez sils sont inversibles ou non. EXERCICE 2 : Etude dun Processus MA(1) Soit le processus MA(1) suivant, o u t est un bruit blanc de variance note u xt = (1 + 0.7 L)u t 1. Calculez lesprance et la variance du processus xt . Le processus est-il stationnaire ? Au vu de la conclusion tire la question 3) de lexercice 1, le calcul des deux moments est-il ncessaire pour rpondre la question prcdente ? 2. Le processus est-il inversible ?2

2

3. Calculez k la fonction dautocovariance de xt et en dduire la fonction dautocorrlation totale. 4. En utilisant les quations de Yule-Walker, donnez lexpression de la fonction dautocorrlation partielle. EXERCICE 3: Etude dun Processus MA(1) suite. On considre prsent le processus MA(1) suivant : xt = (1 0.5 L)u t 1. Reprendre les questions 3) et 4) de lexercice prcdent pour ce processus 2. Ci-dessous, sont reprsentes les fonctions dautocorrlation totale et partielle des deux processus de lexercice 2 et 3. Sans se proccuper de lordre de grandeur, associez chaque graphique celle de la fonction dautocorrlation totale (et partielle) respective des processus. (a) (b)

(c) EXERCICE 4 : Moments Conditionnels

(d)

La variable xt est gnre par le processus MA(1) dcriture xt = u t + u t 1 o u t est un processus en bruit blanc de variance u . 1. Donnez les expressions des prdicteurs formuls en t pour t+1 et t+2. Prcisez2

lesprance et la variance conditionnelles ( linformation disponible en t) des erreurs 3

commises lhorizon dune priode. Quelle est lesprance non conditionnelle des erreurs une priode. 2. Calculez la MSE des prdicteurs une priode issus du processus xt . Comparez-la celle du processus MA(2) suivant xt = u t + 1u t 1 + 2 u t 2 , 1 0 et 2 0 . A quelle condition les MSE des deux processus sont-elles gales. EXERCICE 5 : Etude dun Processus MA(2) Soit le processus MA(2) suivant, o u t est un bruit blanc de variance note u xt +1 = (1 0.7 L + 0.1L2 )u t +1 1. Calculez lesprance et la variance du processus xt +1 . Le processus est-il stationnaire ? 2. Le processus est-il inversible ? justifier. x 3. On note ~t (1) la prvision une priode de xt +1 et et (1) lerreur de prvision correspondante. Calculez ces deux quantits, ainsi que lesprance conditionnelle (en x t) de e (1) . Quelle est limplication de ce rsultat en terme de proprit de ~ (1) ent t2

tant questimateur de xt +1 . 4. Dmontrez formellement que cette proprit demeure valable pour un processus

MA() .5. Calculez lerreur de prvision deux priodes et (2) et tablir la formule de la corrlation entre et (1) et et (2) .

6. On dispose dun chantillon de ralisations particulires de xt , de taille T. On confie un tudiant le soin de calculer pour une date t donne, lerreur de prvision moyenne une priode et deux priodes. Ltudiant renvoie respectivement pour les valeurs moyennes de et (1) et et (2) -0.05 et -0.02. Que pensez-vous de ces rsultats, mme si vous ne disposez pas de lchantillon en question. 7. Calculez k la fonction dautocovariance de xt et en dduire la fonction dautocorrlation totale. Quelle est la mmoire du processus ? 8. En utilisant les quations de Yule-Walker, donnez lexpression de la fonction dautocorrlation partielle. Caractriser son volution en fonction de k.4

EXERCICE 6 : Soit un processus stochastique xt satisfaisant la relation suivante, avec t un bruit blanc :xt = 0.4 xt 1 + t

Une information supplmentaire vous est donne, savoir quil sagit dun processus MA(1), soit :xt = u t u t 1

1. Calculez . 2. Les valeurs de trouves sont-elles toutes admissibles ? sinon pourquoi ? 3. Calculez 22 , 33 et reprsenter la fonction dautocorrlation partielle pour k=0, 1, 2, 3

EXERCICE 7 : 1. Etudiez la stationnarit et linversibilit des deux processus suivants : (1) xt = y t avec y t = at + b + txt = 2 y t avec y t = at 2 + bt + c + t

t est un bruit blanc de variance 2 .2. Identifiez les deux processus.

5

SEANCE 3 & 4

EXERCICE 1 : 5. Expliquez brivement pourquoi les processus AR(p) sont toujours inversibles et noncez la (les) condition(s) de stationnarit. 6. Expliquez pourquoi les autocorrlations partielles dordres suprieurs p, sont nulles pour un processus AR(p). 7. On considre prsent le processus (1) o t est un bruit blanc de variance 2 . On suppose que le processus a dbut la priode 0 telle que y 0 est la condition initiale connue. (1) y t = a 0 + a1 y t 1 + t a. En utilisant la mthode ditration Backward, exprimez y t en fonction de la squence { t }, de y 0 et des paramtres du modle (1). b. Calculez lesprance de y t en utilisant lexpression trouve en i). Sans postuler des conditions supplmentaires pour la dynamique de y t , peut-on affirmer quil est stationnaire ? Si non, donnez les deux conditions supplmentaires qui assurent la stationnarit de y t . Interprtez. c. En supposant les deux conditions vrifies, calculer la variance du processus yt . 8. Calculez les deux moments prcdents (moyenne et variance de y t ) en utilisant directement lexpression (1). EXERCICE 2 : Soit le processus AR(p) suivant, suppos stationnaire, avec t un bruit blanc de variance

2 :y t = a i y t i + ti =1 p

1. Donnez la formule de k , lautocovariance dordre k. En dduire celle de lautocorrlation totale k . 2. Vrifiez si les deux processus suivants sont stationnaires. Utilisez les rsultats de la question 1 et calculez les autocorrlations totales dordre 1, 2, et 3 pour ces processus : i.y t = 0.7 y t 1 0.49 y t 2 + t

ii.

y t = 0.8 y t 1 + t

3. Calculez pour ces deux processus, la fonction dautocorrlation partielle.

6

EXERCICE 3 : Soit y t = 1.1 y t 1 0.3 y t 2 + t 0.2 t 1 0.15 t 2 1. Le processus est-il stationnaire ? inversible ? Justifiez. 2. Calculer les coefficients dautocorrlation 1 et 2 et le coefficient dautocorrlation partielle 22 . 3. Calculez les prvisions y t (l ) , l=1, 2, 3, 4. EXERCICE 4 : Soit y t une srie temporelle donne par :y t = 0.2 y t 1 + 0.15 y t 2 + t + 0.3 t 2

1. Vrifiez si y t est stationnaire et expliquez brivement les implications de cette condition 2. Donner la reprsentation MA() de y t et trouver sa fonction dautocorrlation.3. Montrez quil sagit dun processus sur-paramtr, cest--dire quil peut tre reprsent par un processus plus simple. 4. Retrouvez alors les valeurs trouves pour la fonction dautocorrlation. EXERCICE 5 : (Exercice complmentaire) On considre le processus autorgressif suivant avec a 2 < 1 . t est un bruit blanc de variance 2 : yt = a0 + a 2 yt 2 + t 1. Calculez : i. vi. Et 2 ( y t ) ii. Et 1 ( y t ) iii. Et ( y t + 2 ) iv. Cov( y t , y t 1 ) v. Cov( y t , y t 2 ) les autocorrlations partielles dordre 1 et 2.

2. Dterminez lexpression de la prvision en t de y t +l et celle de lerreur de prvision correspondante et (l ) . Calculez le corrlogramme de la squence {et (l )} , cest--dire Et (et (l ) ) , Var (et (l ) ) et E (et (l ), et (l j ) ) j = 0,..., l

NB : Les sances 5 et 6 seront consacres lidentification et lestimation des processus ARMA. Elles se drouleront en salle informatique sous le logiciel SAS. Relisez le cours dIntroduction SAS de M. Sbastien RINGUEDE.

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SEANCE 5&6 Identification et Estimation des processus ARMA

EXERCICE : A) 1. Rappelez sans faire de calcul lvolution suivant k des fonctions dautocorrlation totale ( k ) et partielle ( kk ) dun processus AR(1) 2. Simulez sous SAS (pour 100 priodes) le processus AR(1) gaussien suivant : y t = 0.2 + 0.7 y t 1 + u t , avec u t tire dune normale de moyenne 0 et de variance unitaire et y 0 = 0.67 3. Quel est selon vous, lintrt de fixer la valeur initiale 0.67 (identifier 0.67 lun des moments du processus simuler). Dans le cas o on poserait y 0 = 1 par exemple, quelle prcaution faut-il prendre lors de la simulation ? 4. Graphez pour le processus les fonctions dautocorrlations totales et partielles empiriques. [Commande Identify de la proc ARIMA sous SAS]. Comparez les valeurs trouves aux valeurs thoriques espres. Que constatez-vous ? 5. En utilisant la distribution asymptotique des corrlations partielles, vrifiez que 11 0 , 22 0 et 33 0 . Vrifiez de mme que 1 0 , 2 0 et 3 0 . [en ralit SAS vous permet de rpondre graphiquement ces questions pour nimporte quelle valeur de k] 6. On veut tester lhypothse jointe suivante : H 0 : 1 = 2 = ... = k pour k=6, 12, 18. A quoi correspond lhypothse nulle ? Quelle(s) statistique(s) peut-on utiliser pour rpondre la question pose par le test ? 7. Supposez maintenant que lchantillon en face est issu dun processus inconnu. Estimer les paramtres en supposons quil sagit dun processus AR(1). [Commande Estimate de la proc ARIMA sous SAS]. Quelle proprit doit vrifier les rsidus ? 8. Le processus AR(1) simul tant inversible, il admet une reprsentation MA( ). En ralit un processus fini MA(q) suffit. Estimer les paramtres en supposant respectivement que les donnes en prsence suivent respectivement un processus MA(1) et MA(2). Les rsidus obtenus sont-ils respectivement des bruits blancs ? 9. Dans le cas o pour lun ou lautre des deux processus prcdents, les coefficients sont tous significatifs avec lhypothse de bruit blanc pour les rsidus, quel critre utilisez pour choisir le meilleur modle parmi les trois [ AR(1), MA(1) et MA(2)] 10. Conclusion : Rappeler la mthodologie de Box-Jenkins pour lidentification et lestimation des processus ARMA. B) Cas pratique : rcuprez les donnes qui vous sont fournies et utilisez la mthodologie de Box-Jenkins pour identifiez le processus suivi par le processus gnrateur.

8

SEANCE 7

Exercice1 : On considre le processus (1 L4 ) yt = c + ut , o c et sont des constantes et ut

un processus en bruits blancs de variance u . 1- A quelle(s) condition(s) ce processus est inversible ? 2- A quelle(s) condition(s) est-il stationnaire ? 3- Calculer Et 2 [ yt ] , Et 4 [ yt ] , Et [ yt + 4 ] , Et 2 [ yt + 4 ] . 4- Calculez Cov( yt , yt 1 ) , Cov( yt , yt 4 ) , ainsi que les 56- autocorrlations partielles 11 et 44Exercice 2 : Soit xt = (1 0.6 L)(1 0.4 L4 )ut , ut est un bruit blanc de variance gale 2.0. Quels sont les 6 premiers coefficients dautocorrlations totales de xt ? Sans la calculer, pouvez-vous dcrire sa fonction dautocorrlation partielle ? Exercice 3 : On considre le processus MA saisonnier suivant sur donnes trimestrielles : xt = (1 0.6 L)(1 0.3L4 )ut ut est un bruit blanc de variance gale 1.0. 1- Quelle est la valeur des coefficients de corrlation x (k ) = corr ( xt , xt k ) , k = 1,...,10 ? 2- Quelle est la mmoire de ce processus ? 3- Est-il stationnaire ? 4- Donnez la valeur des quantits suivantes : E[ xt ] , V [ xt ] , Et [ xt +12 ] , Vt [ xt +12 ] , Et [ xt +1 ] et Vt [ xt +1 ] ? Exercice 4 : Sur une srie constitue de 200 observations, on a calcul les 12 premiers coefficients dautocorrlations totales et partielles. Ils vous sont indiqus ci-aprs. Quel processus slectionneriez-vous ? Autocorrelations 1 : -0.3197042 -0.2070592 0.0246393 0.0067892 0.0152394 0.0169965 7 : -0.0577921 0.0029184 -0.0234394 0.0140073 -0.0047081 0.0967007 Partial Autocorrelations 1 : -0.3197042 -0.3444795 -0.2205285 -0.1889114 -0.1295193 -0.0787624 7 : -0.1269198 -0.1114012 -0.1618641 -0.1509490 -0.1781872 -0.0355190

2

Exercice 5 : Le thorme de Wold affirme que toute variable stationnaire est la somme de variables indpendantes identiquement distribues desprance nulle et de variance 2 . En consquence, il est impossible de prvoir lvolution future dune variable stationnaire. Que pensez-vous de cette dernire affirmation. Construisez un exemple simple illustrant votre propos.

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SEANCE 8

(Racines Unitaires, tests DF et ADF)Exercice1 : racine unitaire

Soient les processus suivants en y , x , v et z , avec y , x , v et z des bruits blancs :y t = 0.2 y t 1 + 0.35 y t 2 + txt = 0.7 xt 1 + 0.35 xt 2 + t vt = vt 1 + 2vt 2 + tv z

y

(1) (2) (3) (4)

x

z t = 0.1 y t + 0.05vt 1 + t Ces quatre processus sont-ils stationnaires ? Quel est leur ordre dintgration ?

Exercice2 : Test de Dickey-Fuller

On recherche la prsence de racine unitaire dans une variable quelconque. Pour ce faire, un test de Dickey-Fuller est effectu sur diffrents sous chantillons et sous diffrentes conditions. 1. Rappelez la logique de ce test (y compris quation estime sous sa forme gnrale et hypothses testes). Dterminez chaque fois si la variable x peut tre considre comme stationnaire aux seuils de risque exigs (bien entendu, vous indiquerez clairement les valeurs critiques des tests, avec 4 chiffres aprs la virgule). 2. 115 observations, avec constante, au seuil de risque de 5%. La statistique calcule est gale -2.3714 ; 3. 61 observations, sans constante (ni trend), au seuil de risque de 1%. La statistique calcule est gale -0.0047 ; 4. 37 observations, avec constante et trend, au seuil de risque de 10%. La statistique calcule est gale -3.1987;Exercice3 : Test de Dickey-Fuller Augment

On procde un test de Dickey-Fuller Augment sur la srie de la masse montaire (M3) en France pour la priode 1978 :4-2000 :2 (en frquence trimestrielle). On utilise le critre pmax (ou kmax). 1. Expliquez les diffrences du test de Dickey-Fuller Augment par rapport au DickeyFuller standard. Posez la rgression ralise dans le cadre du test de Dickey-Fuller Augment si la srie M3 suit un AR2. 2. Expliquez clairement le principe du critre pmax. 3. Expliquez clairement le principe du test de Ljung-Box (objectif, hypothses, statistique calcule, loi). Le tableau qui suit reproduit les rsultats obtenus. Apparaissent, dans lordre, le nombre de retard, le SL associ au test de Ljung-Box, le SL associ au test de student du dernier M3 retard, et la statistique calcule de DF.

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4. Quel est le nombre de retard retenu pour tester la stationnarit de la variable M3 dans le cadre du test ADF (dans les questions 4 et 5, vous considrez les cas avec et sans trend) ? 5. La masse montaire est-elle stationnaire 5% ? Critre Pmax, variable M3Avec constante lag SL(Qstat) SL(t_lag) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0.81993 0.44524 0.61509 0.65896 0.69968 0.69824 0.69593 0.68742 0.56154 0.34256 0.24577 0.25677 0.20986 0.20398 0.33500 0.07044 0.19548 0.46649 0.97446 0.59093 0.34794 0.00056 0.00145 0.00675 0.00098 0.00087 StatADF 1.92446 1.64869 1.47757 1.15702 0.98069 1.10861 1.12702 1.07427 0.98576 1.13675 1.27658 1.12786 1.09876 Avec constante et trend lag SL(Qstat) SL(t_lag) StatADF 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0.81579 0.45435 0.62589 0.66486 0.69253 0.68610 0.69143 0.68605 0.55041 0.54678 0.49278 0.44526 0.27897 0.21241 0.36084 0.09123 0.25193 0.40418 0.93556 0.60654 0.37039 0.00054 0.00056 0.00034 0.00027 0.00100 0.87886 0.90213 0.98871 1.16431 1.27215 1.24601 1.25302 1.24183 1.23908 1.27865 1.42786 1.56754 1.21080

NB : Les sances 9 et 10 auront lieu en salle informatique. On programmera sous SAS, le critre Pmax.

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Master 1 ESA

Anne Universitaire 2005-2006Contrle Sries temporelles

Exercice1 : 1- La fonction dautocorrlation totale dune srie temporelle est donne comme suit :k

k )) k

)

1 -.36457k

2 XXXXX XXXXX

3 XXXXX

4 XXXXX

5 -.13273

6

0.089443 0.100631 0.114326 0.116154 0.116156 0.116514 7 0.12924 -.16093 8 0.22162 9 10 -.22858 11 0.15280 12 -.16012

k ))

)

k

0.117717 0.118847 0.120578 0.123794 0.127125 0.128586

a- Dterminez un intervalle de confiance 95% pour k , avec k=2,3,4 et 5. b- On vous prcise quil sagit dun processus MA(2). Quelles sont les autocorrlations totales (manquantes) qui devraient se situer hors de lintervalle de confiance associ. Justifiez votre rponse. 2On considre deux processus indpendants : xt MA(2) et y t MA(1) (les bruits blancs respectifs, nots u t et vt sont orthogonaux). a- Quelle est la mmoire de xt et y t ? b- On dfinit z t = xt + y t . Quelle est la mmoire de z t ? (calculez les corrlations ( z t , z t 1 )...( z t , z t j ) ) c- En dduire le processus suivi par z t . Exercice2 : Sur une srie temporelle de longueur 125, quatre estimations ont t ralises, avec les rsultats suivants (Entre parenthses, les cart-types des paramtres estims. Q(.) est la statistique de Ljung-Box pour les rsidus issus des estimations) (a) : y t = 2.26492 0 .01683 y t 1 (0.35273) (0.00379) (b) : y t = 0.83774 - 0.00708 y t 1 + 0.72513y t -1(0.27333) (0.00274) (0.28549) (0.00283) (0.05989)

Q(24) = 232.99 Q(24) = 29.17

(c) : y t = 0.86443 - 0.00721 y t 1 + 0.77765y t -1 0.06987y t -2(0.09126) (0.08982)

Q(24) = 24.62

1- A quel type de problme, ces diffrentes estimations apportent-elles une rponse ? Commentez-les rsultats de lestimation (a) et concluez (si possible) sur la nature du processus suivi par y t . 2- On peut opposer les deux dernires rgressions la premire. Quel est le test qui leur est associes. Rappelez le principe du test (Equations, hypothses testes, statistique et seuil thorique).

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3- Commentez les rsultats des rgressions (b) et (c) et conclure quant la nature du processus suivi par y t . Exercice3 : Pour modliser le logarithme de la diffrence premire de lindice de la production industrielle observ sur une priode de 122 points, Enders (Applied Econometrics Time Series, 1995, pp. 109) slectionne quatre reprsentations possibles. Les rsultats sont donns dans le tableau qui suit :

p=1 q=0

p=2 q=0 0.011 (3.31) 0.456 (5.11) 0.258 (2.89)

p=1 q=1 0.012 (2.63) 0.887 (14.9)

p=1 q=1, 4 0.011 (2.76) 0.791 (9.21)

p=1 q=2 0.012 (2.62) 0.887 (13.2)

01 2 1 2 4SSR AIC SBC Q(12) Q(24) Q(30)

0.011 (4.14) 0.618 (8.54)

-0.484 (-4.22)

-0.409 (-3.62)

-0.483 (-4.19) -0.002 (-0.019)

0.0156 -503.3 -497.7 23.6 (0.008) 28.6 (0.157) 40.1 (0.082)

0.0145 -506.1 -497.7 11.7 (0.302) 15.6 (0.833) 22.8 (0.742)

0.0141 -513.1 -504.7 11.7 (0.301) 15.4 (0.842) 22.7 (0.749)

0.315 (3.36) 0.0134 -518.2 -507 4.8 (0.898) 9.3 (0.991) 14.8 (0.972)

0.0141 -511.1 -499.9 11.7 (0.301) 15.3 (0.841) 22.6 (0.749)

(.) T-stat pour la nullit des coefficients Q(.) Stat de Ljung-Box pour lanalyse de lautocorrlation dans la srie des rsidus (.) P-value correspondant la Stat de Ljung-Box. Quel modle allez-vous retenir (expliquez votre dmarche, en particulier quels tests, quels degrs de libert, quels seuils de risque,) ?

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CORRIGE CONTROLE SERIE TEMPORELLE 1 EXERCICE 1 : 1 a- Intervalle de confiance 95% pour k , avec k=2,3,4 et 5.

2 2 Loi asymptotique de k : k ~ N (0, k ) , avec k donne par la formule de Bartlett. On en dduit successivement : k ~ N (0,1) k

1 = Pr ob[ Z / 2

k Z 1 / 2 ] k

1 = Pr ob[ Z / 2 k k Z 1 / 2 k ] avec Z 1 / 2 = Z / 2 = 1.96 2 pour = 5% On en dduit lIC pour k : IC95% ( k ) = 2 k ;2 k donnes : IC95% ( 2 ) = 2 2 ;2 2 = [ 0.201262;0.201262] IC95% IC95% IC95%3 3

[

]

Les valeurs de k tant donnes, on trouve directement les IC pour les valeurs de k

[ ( ) = [ 2 ( ) = [ 2 ( ) = [ 245

;2 3 ;2 4 ;2 5

4 5

] ] = [ 0.228652;0.228652] ] = [ 0.232308;0.232308] ] = [ 0.232312;0.232312]

b- tester la nullit de k revient vrifier si k se situe ou non lintrieur des intervalles de confiances ci-dessus calculs. Si le processus est un MA(2) les seules autocorrlations non nulles sont 1 et 2 . Par consquent 1 (resp. 2 ) doit se situer hors de lintervalle IC95% ( 1 ) (resp. IC95% ( 2 ) ). Les valeurs de k pour k diffrents de 1 et 2 doivent prendre des valeurs lintrieure de lIC respectif associ. 2a- Mmoire de xt et yt Par dfinition, un processus MA pur dordre q une mmoire gale q (lordre de la dernire autocorrlation non nulle) On en dduit que la mmoire de xt est gale 2 et celle de yt gale 1. (point besoin ici de faire des calculs).

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b- Mmoire de zt = xt + yt Calcul de k pour zt . xt MA(2) xt = ut + 1ut 1 + 2ut 2 yt MA(1) yt = vt + 1vt 1 zt = xt + yt = ut + 1ut 1 + 2ut 2 + vt + 1vt 1

k = E (zt zt k ) car E ( zt ) = 0 parce que E (ut ) = 0 et E (vt ) = 0 k = E [(ut + 1ut 1 + 2ut 2 + vt + 1vt 1 )(ut k + 1ut k 1 + 2ut k 2 + vt k + 1vt k 1 )] k = E [(ut + 1ut 1 + 2ut 2 + vt + 1vt 1 )(ut k + 1ut k 1 + 2ut k 2 + vt k + 1vt k 1 )] (2)Il est ais de remarquer que pour k=1,

1 = E 1ut 12 + 1 2ut 2 2 + 1vt 12

[

]]

car les bruits sont orthogonaux E (ut vt k ) = E (ut k vt ) = 0

1 = E 1ut 12 + 1 2ut 2 2 + 1vt 12

[

1 = 1 (1 + 2 ) u 2 + 1 v 2pour k=2 :

2 = E 2 ut 2 2 2 = 2 u 2

[

]

pour k>2, on remarque quil ny a aucun terme commun dans les deux facteurs de lgalit 2, do k est nulle pour k>2. Les seules autocorrlations non nulles sont donc 1 et 2 . zt = xt + yt est alors de mmoire 2. NB : les rsultats sont identiques un signe prs, si vous crivez les processus comme suit : xt MA(2) xt = ut 1ut 1 2ut 2 et yt MA(1) yt = vt 1vt 1 c- Processus suivi par zt = xt + yt . Il sagit dun processus MA(2). EXERCICE 2 : 1- Telles que prsentes, les trois estimations ont des spcifications qui sont celles utiles pour effectuer des tests de stationnarit de type DF -(a)- ou ADF -(b) et (c). Commentaire du (a) : Cest une estimation autorgressive dordre 1 en diffrence, affrente au test DF. Toute conclusion quant la stationnarit ou non du processus yt doit passer avant tout par lanalyse des rsidus. Si cest un bruit blanc, on peut conclure quant la stationnarit ou non. Dans le cas contraire aucune conclusion robuste ne peut tre faite. La statistique de Ljung-Box pour le jeu dhypothse :H 0 : 1 = 2 = ... = 24 = 0 contre H 1 : il existe au moins un i 0

conduit la Stat Q(24)=232.99 qui sous H0 suit un 2 (24 2) = 2 (22) . On a :

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Q(24) = 232.99 > 95% (22) = 33.92 , on rejette H0, donc la srie de rsidus nest pas un

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bruit blanc. Par consquent, on peut pas conclure quant la stationnarit ou non de yt . 2- Il sagit du test ADF. Principe (Voir TD). 3- Commentaires des rsultats de la rgression (b) et (c). Rgression (b) : Test de Ljung-Box sur la srie des rsidus :H 0 : 1 = 2 = ... = 24 = 0 contre H 1 : il existe au moins un i 0

Q(24) = 29.17 < 95% ( 21) = 32.67 , on accepte H0, donc la srie de rsidus est un bruit

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blanc. On peut conclure quant la stationnarit ou non de yt . Test de Stationnarit : H 0 : = 0 contre H 1 : < 0 0.00708 = 2.5839 > C (5%,125) = 2.8845 on accepte H0, la srie nest pas 0.00274 stationnaire. t = La significativit des autres coefficients se mesure grce la stat traditionnelle de Student. Ainsi, la constante et le coefficient du terme autorgressive dordre 1 sont statistiquement diffrents de zro (les calculs sont vidents !!!) Rgression (c) : Test de Ljung-Box sur la srie des rsidus :H 0 : 1 = 2 = ... = 24 = 0 contre H 1 : il existe au moins un i 0 Q(24) = 24.62 < 95% ( 20) = 31.41 , on accepte H0, donc la srie de rsidus est un bruit2

blanc. On peut conclure quant la stationnarit ou non de yt . Test de Stationnarit : H 0 : = 0 contre H 1 : < 0 0.00721 = 2.5477 > C (5%,125) = 2.8845 on accepte H0, la srie nest pas 0.00283 stationnaire. t = Quant aux autres coefficients, la constante et le coefficient du terme autorgressif dordre 1 sont statistiquement diffrents de zro, alors que le coefficient du terme autorgressive dordre 2 est non significatif. Nature du processus suivi par yt : Tout ce quon peut dire, cest que cest un processus intgr au moins dordre 1. Si le test de stationnarit sur la srie en diffrence conduit la stationnarit de cette dernire, il sagirait alors dun ARI(2) , cest--dire processus intgr dordre 1 avec erreur autorgressive dordre 2.

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EXERCICE 3: Dmarche suivre pour slectionner le meilleur modle : Etape 1 : Analyse des rsidus ; la srie des rsidus de chaque modle est-elle un bruit blanc ? On carte les modles pour lesquels cette proprit nest pas valable. Aucun calcul faire, car les p-value correspondant au test de Ljung-Box sont donnes. Au risque de 5% , on carte le modle 1 car la p-value correspondant au test :H 0 : 1 = 2 = ... = 12 = 0 contre H 1 : il existe au moins un i 0

est gale 0.8% 2 le coefficient i est significatif. Dans le cas contraire, il ne lest pas. i

Le modle 5 est cart cette tape, car t =2

2 < 2 . Ily a donc une variable superflue 2

dans ce modle (le terme moyenne mobile dordre 2). Pour les autres modles tous les coefficients sont significatifs (les calculs sont faciles faire !!!). On a la fin de cette tape, trois modles concurrents : modles 2, 3 et 4. Etape 2 : utilisation critre AIC, BIC pour les discriminer. AIC(modle 4)=-518.2< AIC(modle 3)=-513.1< AIC(modle 2)=-506.1 BIC(modle 4)=-507< AIC(modle 3)=-504.7< AIC(modle 2)=-497.7 Aussi bien pour le critre AIC, que pour le critre BIC, le meilleur modle est le modle 4 Conclusion : le modle (parmi la classe des modles retenus) qui apparat le mieux appropri pour filtrer la srie est le modle 4. Il y a donc un effet saisonnier dans la srie, capt par la variable moyenne mobile dordre 4.

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