Tenseurs harmoniques et groupes de mouvement d'un espace deRiemann

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    14-Aug-2016

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  • Tenseurs harmoniques et groupes de mouvement d'un espace de RIEMASN

    par G. VRANCEANU, Buearest

    On sait d'apr~s des rdsultats dus s G. DE RHAM et W. HODGE1), qu%tant donn6 un espace de RIEMANN compact orientable, le nombre des tenseurs harmoniques ind6pendants d'un certain ordre p qu'on peut eonstruire dans l'espace, est dgal au nombre de BETTI B~. D'autre part on sait, d'apr~s un th60r~me de K. u 2) que chaque tenseur harmonique est un invariant par rapport hun mouvement de l'espace. I1 y a donc une relation 4troite entre le nombre r des param~tres du groupe de mouvement d'un espace V~ compact et les nombres de BETTI de cet espace. D'autre part, comme chaque tenseur harmonique est en m~me temps un tenseur s d~riv6e extdrieure nulle, ou comme on dit encore un tenseur fermi, il y a une relation dtroite entre le nombre des tenseurs fermds invariants et le groupe G~ de 1 espace.

    Dans la premiere partie nous allons donner certaines formules qui lient les tenseurs symgtriques gauches avec le groupe de mouvement G~ de l'espace.

    Dans la seconde partie nous allons supposer que l'espace est rapportd s un syst~me de congruences orthogonales et nous allons montrer que dans le cas oh l'espace poss~de un groupe de mouvement s implement transit i / et l'on utilise les congruences orthogonales s coefficients de rotation constants3), la recherche des tenseurs harmoniques de l'espaee devient un probl~me alg6bri- que, ce qui gdndralise un r~sultat de HODGE relatff aux espaces~des groupes semi-simples.

    I

    Etant donn6 un espace de RXEMANN V., d~fini comme une vari~td diff6ren- tiable, dont la mdtrique dans un certain voisinage est donn~e par la formule

    ds 2 ~ a~jdx~dx ~ , (1)

    on salt que si l'espace V~ est compact, il peut ~tre couvert par un nombre fini de voisinages. Une certaine propridt~ est valable pour l'espace V~ compact, si elle est valable dans ehacun de ces voisinages. Consid~rons alors un tenseur sym6trique gauche quelconque ~. . . ip eovariant d'ordre p. On sait qu'on peut

    1) W. HODGE, The theory and applications o/harmonic integrals, Cambridge Univ. Press, 1952. ~) K. YANO, Curvature and BETTI numbers, Annals of Math. Studies, Princeton 1953, p.48-49. s) G. V~ANCEANU, Sur le# espaces de RIE~A~'Y, ayant leurs coe/]icicnts de rotation constants,

    C. R. Paris, t. 184, 1929, p. 386-388.

    11 Commentarli Mathematiei Helvetic!

  • 162 G. V~c~a~,r

    former avec ce tenseur un tenseur sym6trique gauche d'ordre p -t- 1

    a~q.. .~ a#~...~ a#q.. .~ A~#q...~v -- ax~ axq - . . . ox~ (2)

    qu'on appelle, la d~rivde ext~rieure du tenseur ~q. . .~. Si cette d6rivde ex- t~rieure est nulle on dit que le tenseur est fermd.

    Considdrons maintenant un vecteur contrevariant ~. On sait qu'un tel vecteur dgfmit un groupe G~ continu ~ un param~tre, la transformation in- finitdsimale de ce groupe dtant donnd par la formule

    x '~ = x ~ + ~ (3)

    oh ~ sont consid~rds comme des quantitds du premier ordre. On peut former l'aide du tenseur ~. . .~ et du vecteur ~ la d~riv~e de L~

    L~I . . .~- - Ox ~ ~ + ~,q . . . . . .~ ~ + . . . + ~ , Ox~p (4)

    et cette d~rivde est nulle si le tenseur ~ia... % admet le groupe de mouvement G 1, ou comme on dit encore, s'il est invariant par le groupe Gx, ou bien par le mouvement (3).

    D'autre part, on peut associer aux deux tenseurs ~i~...~v et ~ le tenseur sym4trique gauche d'ordre T -- 1

    bh. ..~v_~ = ~ - ~ (5) 9 "

    Cela fait, nous avons les formules

    Lbil ~v ~ = ~TIL~q...~v-~z . . . . (6)

    l Akbi~...iv-1 = ~) A~q. . .~p_~ -+- L~q...~p-~k "

    Pour la ddmonstration, on remarque que la formule (4), si l 'on utilise la for- mule (2) pour Oiminer la d~riv~e de ~i~... ~p par rapport h x k devient la seconde formule (6) si l 'on remarque que A kbq...i~_~, c'est-~-dire la ddriv6e extdrieure du tenseur (5), peut encore s'~crire

    a , 0 O Akbil...i~_~ = ~-xk(~q.. . ip_,~ ) + ~(~, . . . k~s) + ' " + ~(#~l . . . , k~ ' ) (7)

    et que nous avons ~kA~q. . . i~_ l t = - - ~kAt~q. . . ip_~ 9 (8)

    De mgme il en rdsulte facilement les premieres formules (6). Nous avons donc le thdor~me suivant:

    Etant do'and un tenseur symdtrique gauche d'ordre p ]ermd ~i~...i T, invariant

  • Tenseurs harmoniques et groupes de mouvement d 'un espace de R IE~ 163

    par rapport au mouvement ~, le tenseur associd (5) est auss i /ermd et invar iant par rapport ~ ~.

    En prenant la ddrivde covariante de la formule (5) par rapport g xt nous avons

    bil...iv_l, j = ~il...iv_li ~i,i + ~q...iv_~i,i~ i" (9)

    Nous pouvons donc 6crire la formule

    a'Jbi l . . .iv-~,, i = a'J ~i~ . .iv-2,i rl i, J -[- aSJ ~il.. .iv-.,,i, i t~ 9 (10)

    Comme le tenseur ~i,...i v est harmonique si nous avons

    a'i~il ..iv-,,i,i = 0 (11)

    il en rdsulte que le premier membre de la formule (10) est aussi nul, donc le tenseur associ4 (5) est aussi harmonique, si le tenseur

    l i t . . . ip_ , = ~6 " ~i .aSS = ~il a ' l " i k~ (12) 9 . .~V-2s i ' l , ) . . . ip -2s i ,I,, qk , l est nul.

    Consid~rons maintenant dans l'espace V~ un groupe G, et soient ~ (~ = 1 . . . . . r) les r vecteurs qui ddfinissent les transformations infinit4si- males du groupe. On salt alors que nous avons les formules

    9 0 i

    oh c~ sont les constantes de structure du groupe. Nous voulons montrer que les formules (6) peuvent se gdndraliser gun ten-

    seur symdtrique gauche quelconque ~il ~p d'ordre pet deux vecteurs i ~ et m6me gun nombre quelconque de vecteurs. En effet, on peut toujours consid4rer les tenseurs associ~s d'ordre p -- 2,

    ~il...iv_2~ ----- ~il...i v , i J~7~" (14)

    Nous allons ddmontrer en premier lieu la formule

    i L . (15) L~. . . i v_~ ---- ~ ~i~...iv_~ + ~ ..iV_l~ c~

    oh nous avons posd ~i~...iv-~ = ~i,...iv-~' V~" En effet nous avons, en accord avec les premieres formules (6)

    . . . . . ~x'

    ~ ova a~ + ~, . . .~v- ,~" ' Oxi~ + " ' " + r Oxiv_, 9

  • 164 G. vr~wc~.~cv

    On voit que dans le second membre, les termes qui ont en facteur ~ consti- tuent La~i~...~v-d sauf le dernier terme de La qui manque. Donc, dans le second membre, en dchors du terme ~La~i~...~_~i restent les termes

    .

    En changeant s avec ~" dans le second de ces termes et en tenant compte des formules (13), il en rdsulte les formules (15), ce qui constitue une g6n6ralisa- tion des premibres formules (6).

    du groupe G~ Considdrons maintenant q -f- 1 vecteurs ~, V~, . . . , ~ et considdrons le tenseur d'ordre p -- q

    = Jq (16)

    Nous avons alors la formule

    L~$(~...~v_qa~...~q --~ V~I... ~La~i~...~v-qi,...iq (17)

    + ~, . . .~_q~. . c o + + .~c~. .aq ~a 1 ' ' " ~ i l . . . ~-qO~l , ,

    Pour la d6monstration on remarque dans ce cas aussi que nous avons

    L~,~1...~_q~,...o~ V'~. . .n~ aa,...~_,~...~q , = ~x s ~

    0 + ~,...~-~,-..~ a~ [~1. . . ~]

    aT" 4- -4- ~,... ,~,... ~q ax%~ "'~"" + ~, . . . q,~h... ~q ax i , . . . .

    On voit que les termes du second membre qui contiennent en facteur ~a.i~. .V~ repr6sentent les n ~ 1 -- q premiers termes de la d6riv6e de LI~ L~...~v_qh...~ q. En faisant apparaltre dans le second membre de (17 ~) cette ddrivde les autres termes du second membre de (17 ~) s'dcrivent

    ~1" ' " 12~- q ~ I ' ' " ~q ~X8 ~]O~l " " " ~ "lO( - - " " "

    - - ~q . . .~p-qh . . . s OxJq ~7r 9 9 9

    de fa~on qu'en tenant compte des formules (13) il en rdsulte les formules (17). Supposons maintenant que les vecteurs V~I . . . . V~q d6terminent un groupe

    Gq h q param~tres, invariant dans G~. En ce cas l'indice ~ dans les seconds membres des (17) peut prendre seulement les valeurs r162 . . . . . r En tenant compte d'autre part de la gauche sym~trie des ~1...~ il en r~sulte que l'on

  • Tenseurs harmoniques et groupes de mouvement d'un espace de Rm~NN 165

    peut avoir des termes non nuls seulement si dans c~ 1 nous posons ~ ~ ~1- I1 en r~sulte done que les formules (17) deviennent en ee eas

    L~,,... ,~_~,...~ = r ~ L~, , . . ,~_~,... ~ -- h~, , . . . ,~_~,...~, (17")

    oh nous avons pos6

    h0~ 61 ~ ~ ~ =%,~+ +c~.

    Nous avons donc le th~or~me:

    Etant donnd un tenseur gauche symdtrique ~il...~, d'ordre p invariant par une trans/ormation ~7~ et un groupe Gq d'ordre q ~ p, invariant dans G~ le tenseur associd (16) au groupe Gq est aussi invariant par rapport ~ ~r 8i la quantitd h~, est nulle.

    On peut remarquer que les quantit6s h~ sont nulles, si G~ est le groupe d~riv6 de G~ et si le vecteur de structure de G, est nul.

    Ecrivons maintenant les formules (14) sous la forme

    et prenons les d~riv~es ext~rieures. Nous avons en appl iquant la seconde formule (6)

    A~. . . ~_~g = v~Ak~.. . ~_, ~g + L~, . . i~_, ~t~ 9

    En tenant compte des formules (6) nous obtenons la formule

    9 = . ~7~,L/~,. . . ~_~ ~ + r/~L~,~il.., i~_~ ~ A~ ..~-,~t~ ~A~, . . ~_~, +

    + ~. . . ~_, ~ c~ .

    Consid~rons encore la d~riv6e ext~rieure d'un tenseur assoei~ /~ trois vee- teurs. Nous avons la formule

    A~. . . ~_~ ~/~ = ~ A~. . . %, ~/~ + L~. . . ~_, ~/~.

    En tenant eompte de la formule (17) et (18) nous avons

    ~r e ~ i~L A~q.. .~_~e~[J~ ~ 'le~'l~'tr ~x . . . i~_~i i t -~ "/~'/~, c~ q . . . i~_~t

    ~,~,L#~. . . ~,-, ~ ~, ~ + ~o,~L~,~,.. ~,_,, ~ + S~i , . . ~p_, ~o,~c$~,

    oh S signifie qu'on fa r la somme des termes qui s 'obtiennent par les permuta- tions eireulaires des indices e~, fl, ~.

    Consid6rons maintenant la d6riv6e ext~rieure du tenseur (16). On peut 6erire 6videmment

    Az,~,..~_q~,~...o~ -= ~ A~, . . i~ i ,~ . . .~ + L~,~,..~_~,~,~...o~. (18 ~)

  • 166 G. V~cEx~v

    ]l s'agit maintenant de montrer que nous avons les formules

    - - ~' 9 9 ~ A k ~ . +~S, 9 Ak~i l .. ip_qo~l.. Ctq-- ~X 1 9 .. ip_qt l . . . " . 9 . Jq Ilcl. " " ~ ic~l ~' I ip_q kJ . . . .~q

    9 . . cO (19) + . . . + 1 n,ii=IL ,l + S , , .

    oh S signifie qu'on fa r la somme des termes correspondants k toutes les com- binaisons qui s 'obtiennent de ~z . . . . . ~r en associant ~ chaque paire c~r ~ les autres n -- 2, c% (s ~ i, j) de fa~on que ~i, ~j, ~,~ . . . . ~q_~ s'obtiennent de c~ 1, c%, . . . , c% par une permutat ion paire.

    Pour la d6monstration on suppose que la formule (19) est v6rifi6e pour q -- 1 vecteurs. En ce cas, en tenant compte de la formule (18') et des for- mules (17) il en r6sulte que la formule (19) est aussi v6rifi6e pour q vecteurs. En effet, il est facile k v6rifier que dans le second membre de (18') intervien- nent les termes du second membre de (18) qui contiennent la d6riv6e ext6-

    dans rieure At et les d6riv6es de LIE. En ce qui concerne les termes en %v (18') ils s'dcrivent

    i ~ CO ~-~i l . . . ip_qkqC~a. . .O~ q C~la 2 ip_q c q (19') ~OL 1 ~i lb . , ip_q ikqo~i , . .cK q {X2oL 3 CQ ~- ~ i l . . . kfft~...q alO~ q

    oh S signifie qu'on fait la somme par rapport ~ tous les couples formds avec %, ~z . . . . . ~q. Mais le premier terme peut aussi s'dcrire

    ~ ~il. . . tp_q kec~z o~. . . O~q co

    et il est facile k voir que la formule (19') coincide avec la somme S de la for- mule (19).

    Les formules (17) et (19) peuvent donc 6tre consid6rdes comme une g6ndrali- sation des formules (6) et nous avons le th6or~me suivant :

    Etant donnd un groupe G~ et un tenseur symdtr ique gauche ~. . . ~ les d i [ -

    /6 rents tenseurs (16) assoc ids au groupe, sa t i s /ont aux /o rmules (17) et (19).

    ddterminent un groupe Gq. En ce Supposons maintenant que ~ . . . . ~/~q cas l'indice ~ dans les formules (19) peut prendre seulement les valeurs ~. D'autre part, en tenant compte de la sym6trie gauche du tenseur ~t... ~ il r6sulte que la formule (19) s'6crit, dans le cas oh ce tenseur est ferm6 et in- variant,

    A ~ ~ix... i1~_ q olz... ~xq = - - ca z $i~... r ~ a~... ~ '+- 9 "" ( - - 1) qc~ ~,... r ~ a,-" ~q-, (20)

    q les 6rant les composantes du vecteur de oh nous avons pos6 co, t ~ ce~i, %t structure du groupe Gq.

    Nous avons done le th6or~me:

  • Tenseurs harmoniques et groupes de mouvement d 'un espace de RIEMANN 167

    Etant donnd un tenseur gauche symdtrique ~. . .~ /ermd et invariant par

    rapport au groupe Gq le tenseur associd (16) est aussi /ermd, si le vecteur de struc- ture du groupe G q est nul.

    On salt que tous les groupes simples ou semi-simples de m6me que les groupes qui coincident avec leur groupe d6riv6 ont le vecteur de structure nul. I1 en r6sulte donc que si l 'espace V~ poss~de un groupe s q parambtres k vecteur de structure nul et si nous avons un tenseur ferm6 invariant ~/~... tq, les quantit6s

    ~q (20')

    sont des constantes, ce qui construe une g6n~ralisation dans le cas d 'un espace V~ compact du thdorbme de BOCHNER, qui correspond au cas q = 1.

    I I

    Supposons maintenant que l'on considbre dans l'espace de Riemann V~ un systbme de n congruences orthogonales. Cel~ signifie que la mdtrique (1) a 6t6 6crite sous la forme canonique

    ds 2 : (dsl)* + " " A- (ds") ~ (21)

    et que nous avons des formules de la forme

    ds a ,~dx i, dx i #~ads~, a i --~ (~, ai ~ a i ~ (21') = = h i I~b ~ h i h~, aii : #a#a

    et l 'on dit d'apr~s Rzccr et LEv~-CIvITA que #~(a = 1 , . . . , n) sont les para- m~tres des n congruences orthogonales et 2 a (a ---- 1 . . . . . n) sont les moments. On dit aussi que ds ~ sont les diffdrentielles des arcs des congruences, car si toutes les ds a sont nulles, sauf une, disons ds 1, alors nous avons un d6place- ment sur la premiere congruence.

    Supposons maintenant que nous ayons une transformation (3) de l'espaee V~, donc que sont vdrifides les formules

    ~aiJ ~k _~_ a sj Ors Ors La~ = Ox x ~ + a~--Oxj = O. (21 ~)

    En tenant compte des formules (21') on peut dcrire ces formules sous la forme

    a a ~ a Lai~ --= h i Lh i ~- h i Lh i -~ 0 (22)

    oh nous avons posd

    Lh~ -- ~ h~ 0x*

  • 168 G. V~c~.~rc

    En multipl iant par /t~,/t~ et en sommant nous obtenons les formules

    e i b #~L2~ /t0L1 i + = 0 (23)

    Supposons maintenant que l'espace V. poss6de un groupe de mouvement simplement transit i f G d6fini par les n vecteurs V~ (a = 1 . . . . , n). Nous avons alors des formules de la forme (13) oh c~p (c~, fl, ~ = 1 . . . . . n) sont les constantes de structure du groupe. En ce cas on peut choisir un syst6me de congruences orthogonales dans l'espace V. qui soient en m6me temps in- variantes par rapport au groupe G., done de fagon s avoir

    L~2t - a2t 04 axJ '~ + 2~' ~ = o. (24)

    II est facile s voir que lee congruences (4) ainsi d6finies forment elles aussi par les vecteurs #~ un groupe simplement transit i f H , et on peut s'arranger de fagon que H . poss~de les mSmes constantes de structure que G,, car les deux groupes sont r~ciproques ~) et les coefficients de rotat ion de RIccI des n con- gruences (;t) sont des constantes d~finies par les formules

    b c r~ = 89 + c~ + c~). (24")

    Consid~rons maintenant un tenseur gauche sym6~rique ~q...~, et soient ~,. . . ~p ses eomposantes sur les congruences (4). Nous avons alors les formules

    Si l 'on consid~re maintenant les d~riv~es ext~rieures, il est facile ~ voir qu'on obtient les formules

    A~i , . . . tp ---- A~x. . " ~p t~: " ' " 2~'v X~iv * oh nous avons pos6

    A~ .... ~_ a~. . .~ 0~. . .~ _ 0~. . .~ 08 a 08 ax " " " 0 8ap

    + ~1 ~ w~,a + + ~al tW~a -- ~1a.. wt ~a, 1aW~ ,a (25) . , . 9 " " . . . . ap a~as - - " " ' - - . . . p_ les termes n~gatifs du second membre de (25) provenant du terme g~ndral

    w / - - ~ax. . .as -x / . . .aq -xa . . .a l~ asaq

    oh s < q. En ee qui eoncerne les quantit~s w~ elles sont les coefficients des covariants bilindaires A s ~ des formes ds ~ et nous avons

    As a =- ~d~ a - - d~8 ~ : w~dsb (~8 ~ . (26)

    x) G. YRX~CCZXNU, Sur les espacea de R r ~ ayant leura coeIticients de rotation conatanta, C. R. 189, 1929, 13, 386 et Lefons de g~omktrie d i /#rent ie l le , vol. I , 1947, p. 291.

  • Tenseurs harmoniques et groupes de mouvement d 'un espace de R m ~ 169

    Autrement dit A s a sont les d~riv~es extdrieures des ds% exprim~es ~ l'aide des formes ds 1 . . . . . ds n. On voit done que la condition pour que le tenseur ~. . .~ soit ferm~ est donn~e dans le syst~me des congruences (2) par la con- dition A~. . . ~v -~ 0. D'autre part en consid6rant la d~riv~e de LIE du ten- seur ~. . . ~v nous avons les formules

    L~. . . ~ -- ~k + ft...av#a~L;t~ " " " + ~a~...1#~vL~ ~" "~iv.

    Supposons maintenant que l'espaee V, poss~de un groupe simplement tran- sitif G,~ et que les congruences (;t) sont invariantes par ce groupe. En ce cas comme nous avons montrd plus haut quc L~;t~ sont toutes nulles et w~ sont dgales aux constantes c~c de la structure du groupe G,, les 6quations (26') nous disent que le tenseur ~. . . i v est invariant par le groupe G~, si les eom- posantes ~a~...~v sont routes des eonstantes et la formule (25) nous dit que le tenseur ~a~...ap est en mgme temps ferm6 si nous avons les conditions

    c I c ! ! c l ~la~...ap a,a-4-''" ~ ~a,.../ ava--~la...apcaxa~--"'--$a~.../a a~_,a~: O. (27)

    NOUS avons donc le th6orbme:

    Etant donnd un espace V,~ possddant un groupe simplement transiti/ G,, la recherche des tenseur8 gauches symdtriques /ermds et invariants, se rdduit dt la recherche des solutions des dquations algdbriques (27).

    Considdrons maintenant les ddrivdes covariantes, ~.. .~v,a du tenseur ~, . .av . En tenant compte que les composantes ~a~...a v sont des constantes et que les coefficients de la connexion dans le systbme des congruences (~t) sont y~r nous avons

    ~a~ a~ __ ~/ . . I ! . . . . a .av~a,a + + ~a, (271) - - " " " . . . I~apa

    et il est facile /~ voir que l 'on peut exprimer les formules (27) aussi sous la forme

    ~, . . .~ , ~ - - ~a...~, ~ -- . . . - - ~,...~, ~ = 0 .

    En tenant compte que dans un syst~me de congruences orthogonales les com- posantes du tenseur m~trique sont 8~ il en rdsulte qu'en posant dans les for- mules (27') ax = aet en contractant on obtient comme conditions pour que le tenseur soit harmonique

    ~1=,... a~rla + ~1. . .~r / ,~ + "'" + ~... 1~,~I = O. (28)

    Les conditions (27) et (28) repr6senten~ done les conditions n~cessaires et suffisantes pour que le tenseur ~, . . .~ soit harmonique.

  • 170 G. V~cE~-~u

    On voit aussi qu'une condition suffisante est que

    ~al .. ap,~ = 21. . t . . ~ t 9 .~y~l . + . + .~ . . . /y~. = 0 (28 ' )

    En tenant eompte des formules (24") nous obtenons

    a Cat C1'

    oh c Ies t ce qu'on appelle le vecteur de structure du groupe Gn et les dquations (28) s'~crivent en tenant compte des formules (24")

    ~/...avct ~- ~as...avc~] + . . . + ~aa....s c~ -~ 0 (29)

    oh l'indiee a est plus petit que 8. Nous avons done le thdor~me:

    Etant donnd un espace V, compact orientable possddant un groupe simplement transitif G,~ la recherche des tenseurs harmoniques revient ~ la recherche des solu- tions des dquations algdbriques (27) et (29).

    Supposons maintenant que nous ayons un vecteur harmonique dont les composantes sur les congruences (2) sont ~. Ce vecteur est fermd si nous avons conform6ment aux dquations (27)

    ~,ch = 0 (30)

    ces 6quations ne possddant pas des solutions si le groupe G, coincide avec son groupe d6riv6. I1 n 'y a done plus de vecteur harmonique et nous avons le thdor~me :

    Etant donnd un espace V,~ compact ~ groupe G~ qui co'incide avec son groupe ddrivd, le hombre de BETTI B 1 est nul.

    Si le groupe d6riv6 de G~ est un groupe G,_m(~>0) les dquations (30) pos- sbdent m solutions. En tenant compte que les dquations (29) s'~crivent

    ,$1Cl = 0 (30') il en r~sulte qu'une des solutions des 6quations (30) nous donne un vecteur harmonique si son produit sealaire avee le vecteur c 1 est nul. Nous avons le thdorbme suivant :

    Le nombre de BETTI Bx d'un espace V~ compact ~ groupe G, possddant un groupe ddrivg G,_,, est dgal g~ m -- 1 ou ~ m.

    En effet supposons que nous avons choisi les transformations infinit~simales X~] du groupe G, de fagon que X~f (~ = m ~- 1 . . . . . n) soient les transfor-

    h =0(h 1, . m) e t leveeteurc tes t~ga l mations de G,_~. En ee cas C~b . . . .

  • Tenseurs harmoniques et groupes de mouvement d'un espace do RIEM~NN 171

    C~. Comme chaque vecteur (~1 . . . . . ~ , 0 . . . . . 0) est fermi, ee vecteur est harmonique si nous avons

    ~hc~ o, (c~ ~ (h , m) (30") = =%h) , = 1 . . . ,

    et lenombre deBETTr est 6gal s m- - 1 si ch(h= 1 . . . . . m) nesont pas toutes nulles, autrement il est dgal h m. I1 en rdsulte en particul ier que le nombre de BETTI B1 est dgal ~ m, si le vecteur de structure du groupe Gn est nul.

    Cherchons maintenant les tenseurs fermds du second ordre. I ls doivent satis- faire aux dquations (27), qui en ce cas s'dcrivent

    ~lbclac ~- ~I~C~b -k ~1~c~ ~-- 0 . (31)

    Pour que le tenseur soit harmonique il faut qu'i l satisfasse aussi aux formules

    ~lbC! + ~a~ 0 (a < s) . (32)

    On peut maintenant remarquer que l 'on peut toujours satisfaire aux formules (31) en posant

    :Io =

    oh a h sont des constantes quelconques, donc il en existe une infinit~ de ten- seurs ferm6s du second ordre.

    Pour qu 'un tel tenseur soit harmonique il faut qu'il satisfasse aux formules (32) qui s'dcrivent

    an(C~bC] + h b Ca, Cas ) = 0 . (32')

    I1 faut donc que ce syst~me poss~de des solutions dans ah. Supposons que nous avons une solution ~b" On peut toujours par une trans-

    format ion orthogonale ~ coefficients constants rdduire le tenseur ~b s la forme canonique oh toutes les composantes sour nulles sauf ~12 . . . . . ~2r 2q, oh 2q ~< n. Nous allons supposer que 2q < n. En ce cas si dans les dquations (31) les indices b, c var ient de 2q -~ 1 ~ n, nous avons les conditions

    2s-~ 0 ( f l , ?>2q) 2s ~ 0 , ~2s--1 2S C/37 ~2s--1 2s CB?

    oh s est un indice fixe ayant les valeurs 1 . . . . . q. Cela nous dit qu'on dolt avoir c~ = 0 (h ~< 2q) donc les op~rateurs X~/ (fl > 2q) forment un sous- groupe /~ n - - 2q parambtres du groupe Gn. Nous avons done le thdorbme:

    Une condition ndcessaire ~our qu'un espace Vn dt groupe simplement transitif G~ poss~de un tenseur harmonique d'ordre 2 et de rang 2q, est que le groupe G, poss~de un sous-groupe Gn_2q.

  • 172 O. V~c~

    Supposons cette condition v~rifide et supposons aussi que le groupe G,_2q est un sous-groupe invariant. En ce cas on peut supposer dans les 6quations (31) que les indices a, b, c ont des valeurs plus petites que 2q + 1 et les for- mules (32) s'6crivent

    ~]b c] ~- ~asC b$ : O, ~asC~, : O. (33)

    On voit que les dquations (31) sont identiquement vdrifides si les op6rateurs Xa / (a = 1 . . . . . 2q) forment un groupe ab6hen et les (33) sont alors vdrifides s i c I = 0. Nous avons donc le th6orbme:

    Une condition su]fisante pour que l'espace V~ poss~de un tenseur arbitraire harmonique du second ordre et de rang 2q est que le groupe G, possdde un sous- groupe invariant G,_~q, un groupe compldmentaire G2~ abdlien et que le vecteur de structure de G,, soit nul.

    Supposons maintenant qu'on veut que le tenseur harmonique soit de rang 2, donc q = 1. En ce cas les dquations (31) et (32) s'dcrivent

    ~1~(c~ + c~) = o , ~1~cl + ~1~c~ = o

    =0, h =0 (~,~=3, . . n) ~21C2 - j - ~12C~2 = 0 , C12 CO~ B 9 ,

    done X l f et X2] forment aussi un groupe. En tenant eompte des valeurs de cl, c2 nous avons les conditions

    ~ 0 c I = - - c ] . C(x I = 0 , CO( 2 = , ~

    Nous avons donc le th~or~me:

    Une condition ndcessaire et suf/isante pour qu'un espace V,~ ~ groupe simple- ment transiti] G,, poss~de un tenseur harmonique du second ordre de rang 2 est que la structure du groupe Gn soit de la ]orme

    (X IX2) = aX 1 @ bX~, (XgXr) = c~rXr (~, 8, ? , q > 2) (34)

    (X1X~,) = ao, X1 + bo, X2 -[- m~Xq, (x2Xo,) = co, X 1 -- a~,X~ + nqaXc,

    ~ 0. I1 en r~sulte donc que si un espace V~ ferm6 orientable poss~de le groupe simplement transitff (34) le nombre de B~.TTI B 2 est au moins ~gal h l'unit6.

    Supposons maintenant que le groupe G, est un groupe semi-simple. On sait qu'en ee cas le tenseur symdtrique

    Chk = Ch~Ck#

    n'est pas d~g~n6r~ et si le groupe (7. est un groupe fermi, le tenseur ca~ est d4fini ndgatif. Si l 'on suppose ee tenseur r~duit h la forme canonique -- ~

  • G. VI~NCEANU Tonseurs harmoniquos et groupes de mouvcmont d 'un espaco de RIEMANN 173

    les constantes de structure c~ sont gauches sym~triques dans chaque paire d'indices. En tenant compte des formules (24"), il en r~sulte 27~ ~ = c~. On dit alors que l'espace V n est l'espace reprdsentatif du groupe semi-simple Gn. Nous avons done le th6or~me.

    La ddtermination des tenseur8 harmoniques d'un espaee V,~ reprdsentatif d'un groupe semi-simple /erred se rdduit ~ la recherche des solutions des dquations (27) et (29) avec c I = 0 et c~ gauches symdriques dans chaque paire d'indicesl).

    En tenant compte du fair qu'un groupe G~ semi-simple coincide avec son groupe d6riv4e, il en r6sulte, d'apr~s un thdor~me ddmontr6 plus haut, que l'espace a le premier nombre de BETTI B 1 nul, ce qui est bien connu. De m6me, pour ddmontrer que le nombre B 2 est aussi nul, on observe qu'en multipl iant

    a et en sommant par rapport ~ c e ta nous avons en les 6quations (31) par car tenant compte de la gauche symdtrie des %~

    Chl~b, + 2~Iae~.cL = O. (35) D'autre part en tenant compte des identitds de LIE, nous avons

    b c t b 2~/aClceha = ~laCalCsh

    dont le second membre est nul en vertu des formules (32) et du fair que nous avons c /= 0. Les formules (35) se rdduisent done aux premiers termes et comme le d6terminant [ca~ I est diffdrent de zdro, il en rdsulte ~br done le nombre B 2 est aussi nul.

    Supposons maintenant qu'on consid~re les tenseurs ferm4s du troisi~me ordre. Dans ce cas les formules (27) et (29) s'dcrivent

    ~1~,oclvz + ~c,1oclv~ + ~a,,IClvz - - ~ic~oC1,, - - ~1,,,~e1~ - - ~c,l,~el~ = 0 (36)

    + aa,,ca: = o.

    Si le groupe G~ semi=simple est fermd et le tenseur ca~ a dtd rdduit ~ la forme canonique -- 0~ il est facile ~ voir que ces dquations admettent la solution ~1b~ = %1c, car les premieres dquations (36) sont vdrifi~es k cause des identit~s de LIE du groupe G~ et les secondes h cause du fair que c~, ~ 0. I1 en rdsulte d'une mani~re tr~s simple le rdsultat connu que le nombre B a ~ 1. D'autre part le calcul direct de tous les nombres de BETTI des groupes simples fair par HODGE montre clue pour chaque groupe simple B a = 1 donc nous avons B a = l, pour l'espace V~ k groupe G~ semi-simple et qui est le produit de [ groupes simples.

    Re~u le 20 fdvrier 1958

    1) W. HODG~. montre dans son livre, Harmonic integrals, p. 255, que los conditions suffisantes (28') sont aussi n6cessaires dans le cas d 'un espace V n repr6sentatif d 'un groupe G n semi-simple

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