Tenseurs

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lments de Calcul TensorielI Les Tenseurs II Les Oprateurs Diffrentiels

J.C. Charmet 2002

I Les TenseursI-1 I-2 I-3 I-4 I-5 Dfinition des Tenseurs Oprations sur les Tenseurs Symtrie et Antisymtrie Tenseurs Identit et dAntisymtrie Produits Scalaire et Vectoriel

I-1 Dfinition des TenseursTenseur : Oprateur liant dans un mme repre deux grandeurs physiques en un mme point dun espace de dimension du v M u = T(M) v Le Rang dun tenseur caractrise son nombre dindices T(0) Tenseur de Rang 0 : Scalaire d0 =1 composante T(M) T(1) Tenseur de Rang 1 : Vecteur d1 composantes Ti(M) T(2) Tenseur de Rang 2 : Matrice d2 composantes Tij(M) T(n) Tenseur de Rang n : Matrice dn composantes Tijn(M) Ses composantes dans un repre donn ne dpendent que du M

=

I-2 Oprations sur les TenseursAddition tensorielle (+) : Tenseurs de mme Rang C(n) = A(n) + B(n) Produit tensoriel () C(n+m) = A(n) B(m) Cijnn+m = Aijn Bijmd

Cijn = Aijn + Bijn

Produit Contract () sur lindice k C(n+m-2) = A(n) B(m) Cijn+m-2 =

Aijk...n Bijkmk=1

La contraction peut seffectuer sur plusieurs indices, chaque contraction diminuant de 2 le rang du tenseur contract rsultant Convention des indices muets Un indice de contraction, indice rpt dit muet, implique la sommation sur lensemble des valeurs {1d} prises par cet indice C(2) = A(2) B(2) Cij = AikBkj = AikBkj = Ai1B1j + Ai2B2j + Ai2B3jk=1 3

I-3 Symtrie et AntisymtrieSymtrie par rapport au couple dindices l,r C(t) symtrique {l,r} C(t) antisymtrique {l,r} Cijlrt = Cijrl...t Cijlrt = -Cijrl...t

Symtrie complte le couple dindices , {1..t} C(t) symtrie complte C(t) antisymtrique complte Cijt = Cij...t Cijt = (-1)PCij...t

P tant la parit de la permutation {ijt} {ijt} Exemple : {1.24.5.6.79} {1.27.5.4.69} Paire P = 0 modulo 2 {1.24.5.6.79} {1.26.7.5.49} Impaire P = 1 modulo 2

Les proprits de Symtrie et dAntisymtrie sont intrinsques Elles se conservent par changement de repre

I-4 Tenseurs Identit et dAntisymtrieTenseur Identit (2) (2) =1 0 0 0 1 0 0 0 1

Tenseur dAntisymtrie (3)ijk = 1 si {i,j,k} permutation paire du groupe {1,2,3} ijk = -1 si {i,j,k} permutation impaire du groupe {1,2,3} ijk = 0 si au moins 2 indices gaux

ij = 1 si i = j ij = 0 si i j le repre

(6) = (3) (3) a pour composantes :

ijkpqr = Det

ip iq ir jp jq jr kp kq kr

ijkpqr = ip(jqkr-jrkq)-jp(iqkr-irkq)+kp(iq jr-irjq) (4) Contraction {i,p} ijkiqr = jkqr = ijkiqr = jqkr-jrkq = Det jq jr kq kr ijkijr = jkjr = ijkijr = 2kr ijkijk = jkjk = ijkijk = 2kk = 6 6

(2) Contraction {i,p} {j,q}

(0) Contraction {i,p} {j,q} {k,r}

Det(T(2)) = 1 ijkpqrTipTjqTkr

I-5 Produits Scalaire et VectorielProduit Tensoriel de deux Vecteurs u1 u = u2 u3 v1 v = v2 v3

C(2) = u v =

u1v1 u1v2 u1v3 u2v1 u2v2 u2v3 u3v1 u3v2 u3v3

Cij = uivj

Produit Scalaire de deux Vecteurs

u v = ukvk = Ckk = Tr( u v )

Produit Extrieur de deux Vecteurs 0 u1v2-u2v1 u1v3-u3v1 0 u2v3-u3v2 P(2) = u v - v u = u2v1-u1v2 u3v1-u1v3 u3v2-u2v3 0 Produit Vectoriel de deux Vecteurs w=u v

= C(2) tC(2)

w = u v = (3) { u v } {

=

u2v3 u3v2 u3v1 u1v3 u2v1 u1v2

w1 P23 w = w2 = P31 w3 P21

wi = ijkCjk

II Les Oprateurs DiffrentielsII-1 II-2 II-3 II-4 II-5 Le Gradient La Divergence Le Rotationnel dun Vecteur Les Rotationnels dun Tenseur de Rang 2 Le Laplacien

II-1 Le GradientGradient dun Scalaire (x) d =Graddx x1 x2 x3 Gradient dun Vecteur u(x) du =Gradudx u1 x1 u2 x1 u3 x1 u1 x2 u2 x2 u3 x2 u1 x3 u2 x3 u3 x2

Grad =

Grad u =

Gradient dun Tenseur de Rang 2 (2)(x) Gijk = Grad(3)T (2)

dT (2) =Grad(3)T (2) dx Tij = xk

II-2 La DivergenceDivergence dun Vecteur u(x) uk u1 u2 u3 Divu = = + + xk x1 x2 x3

Divergences dun tenseur de Rang 2 (2)(x)Divergences des Vecteurs Ligne Divergences des Vecteurs Colonne

DivD

(2)

Tij = = xj

T11 T12 + + x1 x2 T21 T22 + + x1 x2 T31 T32 + + x1 x2

T13 x3 T23 x3 T33 x3

DivG

(2)

Tij = = xi

T11 T21 + + x1 x2 T12 T22 + + x1 x2 T13 T23 + + x1 x2

T31 x3 T32 x3 T33 x3

DivD(2) = DivGt(2) DivG(2) = DivDt(2)

(2) = t(2) symtrie DivD(2) = DivG(2)

II-3 Le Rotationnel dun VecteurOprateur Nabla et Gradient Divergence x1 = x2 x3 u1 u = u2 u3tGrad

u = u =

Div u = u = Tr( u ) = Tr(Grad u ) 0tGrad

u1 x1 u1 x2 u1 x3 u1 x2 u32

u2 x1 u2 x2 u2 x3 u3 x1 u3 x2

u3 x1 u3 x2 u3 x3 u1 x3 u2 x3

Tenseur Rotationnel Rot u =u u1 x3

u - Grad u = x 1 - x 2 2 1 - xu31

u

u2 x1 u2 x3

0

0

Pseudo Vecteur Rotationnelu3 x2 u1 x3 u1 x2

- x

- x -

u2 u3 x1 u2 x13

Rot u = u

=

Rot u = u = (3) { Gradu } {

u ijk k [Rot u ]i = xj

II-4 Rotationnels dun TenseurGradient dun tenseur de Rang 2 (2)(x)

(2) TTij x k

F=

Grad(3)T(2)

Fijk =

Pseudo Rotationnels dun tenseur de Rang 2 (2)(x)Rotationnels des Vecteurs Ligne Rotationnels des Vecteurs Colonne

= [RotD T ]lk = kij = RotD T =T13 x2 T23 x2 T33 x2 T12 x3 T22 x3 T32 x3 T11 T13 x3 - x1 T21 T23 x3 - x1 T31 T33 x3 - x1tRot

Tlj xi

= [RotG T ]kl = kij = RotG T =T31 x2 T11 x3 T21 x1 T21 x3 T31 x1 T11 x2 T32 T22 x2 - x3 T12 T32 x3 - x1 T22 T12 x1 - x2

Tjl xi

T12 T11 x1 - x2 T22 T21 x1 - x2 T32 T31 x1 - x2

T33 T23 x2 - x3 T13 T33 x3 - x1 T23 T13 x1 - x2

D

= RotGt = RotDt

tRot

= t symtrie RotD = tRotG

G

II-4 Le LaplacienLaplacien dun Scalaire (x) =Div(Grad) 2 2 2 2 + + =Div(Grad) = xk xk = x12 x22 x32 Laplacien dun Vecteur u(x) 2u1 2u1 + + 2 2 x1 x2 2ui 2 2 u = DivD( Gradu ) = x x = u2 + u2 + k k x12 x22 2u3 2u3 x12+

2u1 x32 2u2

Laplacien et Rotationnel u = klm m [Rot u ]k xl [Rot (Rot u)]i=ijk

x22

x32 2u3 + x32

Rot (Rot u ) = Grad(Div u ) - u2ui =[Grad(Divu )]i -[ u ]i xjxj

2 2uj um =( - ) um il jm im jl xj klmxl xjx1 = xixj

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