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Terminale ES Intégration 1 Intégrale d’une fonction continue et positive Définition Dans un repère orthogonal (O,I,J), on appelle unité d’aire (notée u.a.) l’aire du rectangle OIKJ, où K est le point de coordonnées (1;1). I Notion d’intégrale : cas d’une fonction continue et positive Définition f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]. C est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. Le domaine situé sous la courbe C est le domaine situé entre C, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b. Définition f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]. L’intégrale de a à b de la fonction f est l’aire, en unités d’aire, du domaine situé sous sa courbe C. On la note a b f(x)dx (lire « intégrale de a à b de f »). Conséquence : Pour toute fonction continue et positive sur [a;b], a b f(x)dx est un nombre réel positif ou nul. Remarques : On dit que x est une variable muette car elle n’intervient pas dans le résultat. Ainsi : a b f(x)dx = a b f(t)dt = a b f(u)du C’est le mathématicien allemand Leibniz (1646 – 1716) qui a introduit le symbole ∫. Il s’agit d’un S, initiale du mot latin « summa » (sommation). II Propriétés f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]. Il résulte de la définition que a a f(x)dx ; Il résulte de l’additivité des aires la propriété suivante nommée relation de Chasles. Pour tous réels a, b, c tels que a b c : a c f(x)dx = a b f(x)dx + b c f(x)dx On peut utiliser l’invariance de l’aire par translation ou symétrie. Exemple : les deux polygones sont superposables par translation. Donc 0 4 f(x)dx = 4 8 f(x)dx Notion de primitives III Théorème fondamental Théorème Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b], alors la fonction F définie par F(x) = a x f(t)dt est dérivable sur [a;b] et a pour dérivée f.

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Terminale ES Intégration

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Intégrale d’une fonction continue et positive

Définition

Dans un repère orthogonal (O,I,J), on appelle unité d’aire (notée u.a.) l’aire du rectangle OIKJ, où K est le point de coordonnées (1;1).

I Notion d’intégrale : cas d’une fonction continue et positive

Définition

f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]. C est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. Le domaine situé sous la courbe C est le domaine situé entre C, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b.

Définition

f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]. L’intégrale de a à b de la fonction f est l’aire, en unités d’aire, du domaine situé sous sa courbe C.

On la note ⌡⌠abf(x)dx (lire « intégrale de a à b de f »).

Conséquence :

Pour toute fonction continue et positive sur [a;b], ⌡⌠abf(x)dx est un nombre réel positif ou

nul.

Remarques :

• On dit que x est une variable muette car elle n’intervient pas dans le résultat.

Ainsi : ⌡⌠abf(x)dx = ⌡⌠a

bf(t)dt = ⌡⌠abf(u)du

• C’est le mathématicien allemand Leibniz (1646 – 1716) qui a introduit le symbole ∫. Il s’agit d’un S, initiale du mot latin « summa » (sommation).

II Propriétés

f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b].

• Il résulte de la définition que ⌡⌠aaf(x)dx ;

• Il résulte de l’additivité des aires la propriété suivante nommée relation de Chasles. Pour tous réels a, b, c tels que a ≤ b ≤ c :

⌡⌠acf(x)dx = ⌡⌠a

bf(x)dx + ⌡⌠bcf(x)dx

• On peut utiliser l’invariance de l’aire par translation ou symétrie. Exemple : les deux polygones sont superposables par translation.

Donc ⌡⌠04f(x)dx = ⌡⌠4

8f(x)dx

Notion de primitives

III Théorème fondamental

Théorème

Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b], alors la fonction F définie

par F(x) = ⌡⌠axf(t)dt est dérivable sur [a;b] et a pour dérivée f.

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Exemple :

f est la fonction définie sur [0;2] par f(x) = 3x. f est continue et positive sur [0;2].

Pour x ∈ [0;2], F(x) = ⌡⌠0xf(t)dt est l’aire, en unités d’aire, du

triangle OAB avec A(x;0) et B(x;f(x)). Ainsi, F(x) = x×3x

2 =

32

F est dérivable sur [0;2] et F’(x) = 32

×2x = 3x = f(x)

IV Primitives d’une fonction sur un intervalle

Définition

f est une fonction définie sur un intervalle I. Dire que F est une primitive de f sur I signifie que F est dérivable sur I et que F’ = f.

Exemple :

La fonction F : x 13x3 + 5 est une primitive sur � de la fonction f : x x²

En effet, F est dérivable sur � F’(x) = 13

×3x² = x².

Propriété :

f est une fonction définie sur un intervalle I et qui admet une primitive F sur I. 1. L’ensemble des primitives de f sur I est constitué par les fonctions G définies sur I par

G(x) = F(x) + C où C décrit �. 2. Il existe une primitive de f sur I et une seule telle que G(x0) = y0 où x0 est un nombre

réel donné de I et y0 est un nombre réel donné.

Remarque

Si f est une fonction continue et positive sur [a;b], alors x ⌡⌠axf(t)dt est la primitive de

f sur [a;b] qui s’annule en a.

Calcul de primitives

V Fonctions continues et primitives

Théorème

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Exemple :

La fonction inverse est continue sur ]0; + ∞[, donc elle admet des primitives sur ]0; + ∞[.

Or, on sait que pour tout x > 0, ln’(x) = 1x donc les primitives de x sont les fonctions

x � ln(x) + C avec C ∈ �.

Remarque :

La fonction x � exp(-x²) est continue sur �, donc elle admet des primitives sur �, mais on n’en connait pas de primitive « explicite ».

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VI Formulaire de primitives

Ces formules s’obtiennent par lecture inverse des formules connues de dérivées. Par la suite, C désigne un nombre réel. Primitives de fonctions usuelles

f est définie sur I

par f(x) = Les primitives de f sur I

sont définies par F(x) = …. L’intervalle I = ….

k (avec k ∈ �) kx + C �

x 12

x² + C �

xn (n ∈ �) 1

n + 1xn+1 + C �

1x ln(x) + C ]0; + ∞ [

- 1

1x + C ]- ∞;0[ ou ]0; + ∞[

1

x x 2 + C ]0; + ∞ [

ex ex + C �

Primitives et opérations sur les fonctions

u est une fonction dérivable sur I.

Fonction f Primitives de f sur I Conditions sur u

uu' 12

u² + C

u’u²

- 1u + C u(x) ≠ 0 sur I

u‘eu eu + C

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Intégrale d’une fonction de signe quelconque

VII Calcul d’une intégrale

Cas d’une fonction continue et positive

Propriété :

f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b] et F est une primitive de f sur [a;b].

⌡⌠abf(x)dx = F(b) - F(a)

Cas d’une fonction continue et de signe quelconque

Définition

f est une fonction continue sur un intervalle [a;b]. L’intégrale de a à b de f est le nombre réel F(b) – F(a) où F est une primitive de f sur

[a;b]. On note encore ⌡⌠abf(x)dx.

Pour calculer ⌡⌠abf(x)dx on détermine d’abord une primitive F de f sur [a;b] et on écrit :

⌡⌠abf(x)dx = [F(x)]a

b = F(b) – F(a)

Exemple :

I = ⌡⌠

-2

5

1

4x - 2 dx =

1

8x² - 2x

-2

5

= 18

×5² - 2×5 –

1

8×(-2)² - 2×(-2)

I =258

- 10 – 12

- 4 = 25-10×8 - 1×4 – 4

8 = -

918

VIII Valeur moyenne

Définition

La valeur moyenne d’une fonction f continue sur un intervalle [a;b] (avec a < b) est le nombre

µ défini par : µ = 1

b - a⌡⌠

abf(x)dx

Interprétation graphique : cas où f est positive sur [a;b]

Dans un repère orthogonal, C est la courbe représentative de la fonction f.

Alors ⌡⌠abf(x)dx = µ(b – a)

Donc l’aire du domaine situé sous la courbe C est égale à l’aire du rectangle (en vert ci-contre) de dimensions µ et (b – a).