Dynamique des Structures EPFL – ENAC – IIC – IMAC

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Points : / 20 Note : / 6

Test de Dynamique des Structures

Dr. Pierino Lestuzzi Semestre automne - 2015

Informations

� Temps à disposition : 1h00 � Matériel autorisé : résumés du cours et 2 pages de résumé personnel. � Vous pouvez obtenir la note maximale sans faire la question BONUS.

Question 1: [3 pts]

On considère le portique à deux étages de la Figure 1. On s’intéresse aux oscillations du plancher supérieur. Le plancher intermédiaire est de masse négligeable.

Figure 1. Portique à deux étages

E = 40 000 MPa ; I = 1.5 109 mm4 ; H = 3 m ; M = 9’000 kg

1. Dessiner le système fondamental masse-ressort.

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2. Déterminer la pulsation propre de la structure. Soient :

- Keq,1 : la rigidité équivalente des trois colonnes de l’étage inférieure

1 3 3 3

3 12 272.éq

EI EI EIK

H H H- = + =

- Keq,2 : la rigidité équivalente des trois colonnes de l’étage supérieur

2 3 3

12 242.éq

EI EIK

H H- = =

Etant donné que Keq,1 et Keq,2 sont en série, la rigidité équivalente s’écrit donc:

1��� = 1���,� + 1���, ⇒��� = ���,� ∙ ���,���,� + ���, = 216��17��

Avec les données (E = 40 000 MPa ; I = 1.5 109 mm4 ; H = 3 m ; M = 9’000 kg) on obtient:

���,� = 6 ∙ 10��/�; ���, = 5.33 ∙ 10��/�

��� = 2.82 ∙ 10��/�

�� = ���� ! = 56 "#$ %!

Question 2: [5 pts]

Pour déterminer les caractéristiques d’une structure en portique simple, on décide d’effectuer un essai de vibration libre. Avec un vérin hydraulique on applique une force horizontale de 1.2kN. Le portique se déplace alors de 1.8cm. On relâche le portique et on enregistre ses déplacements. Au retour de la première oscillation après 1.5 secondes, on enregistre un déplacement de 1.5cm.

Figure 2. La structure étudiée

Déterminer:

1. La pulsation amortie du portique (ν)

La période des oscillations amorties est T = 1.5s ; La pulsation amortie du portique vaut donc :

& = 2'( = 4.189 "#$ %!

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2. Le décrément logarithmique (δ)

+ = ,- . /0/01�2 = ,- .1.81.52 = 0.182 3. Le coefficient d’amortissement (ζ)

3 = +2' = 0.1822' = 0.029 4. La pulsation propre du portique (ωn)

& = ��41 5 3 ⇒�� = &41 5 3 =

4.190.999 = 4.194 "#$ %!

5. L’amplitude du déplacement après 5 cycles

/6 = ./�/726 ∙ /7 = .1.51.82

6 ∙ 1.8 = 0.7238�

Question 3: [7 pts]

Considérez le cadre représenté à la Figure 3. Le cadre a une rigidité totale Keq et un amortissement ζ=0.15. La masse peut être considérée comme étant concentrée sur la traverse. Les fondations du cadre sont soumises à un déplacement /9:;< = /97 ∙ sin:�;<.

Figure 3. Cadre simple soumis à des déplacements de fondation

/97 = 208� ; � = 4.5 "#$ %! ; ��� = 4.1 ∙ 106� �! ; � = 3250@A

1. Calculer le déplacement maximal en tête de colonne.

Il s’agit d’un mouvement de la fondation, le déplacement maximal se détermine donc en utilisant

l’expression de la transmittance.

ωC = D���m = D4.1 ∙ 1063250 = 11.232 rads

λ = ζωC = 0.15 ∙ 11.232 = 1.685 rads

ωωC = 4.511.23 = 0.40 J 1

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La transmittance se calcule donc ainsi :

RL =D1 + 4λωωCM

D.1 5 ωωC2 + 4 λωC ∙ ω

ωC= �1 + 4 ∙ 1.69 ∙ 4.511.23MD.1 5 4.511.232

+ 4 1.6911.23 ∙ 4.511.23= 1.188

xOPQ = xR7RL = 20 ∙ 1.188 = 23.75cm

2. Donnez deux solutions de modification constructive possible pour réduire le déplacement maximal en tête de colonne.

On peut envisager plusieurs solutions constructives qui se soldent par une réduction du

déplacement maximal en tête de colonne

1) Augmenter la rigidité de la structure en augmentant l’inertie des poteaux du cadre

(renforcement)

2) Réduire la masse de la structure en utilisant des matériaux plus résistants (p.ex.

polymères par exemples)

3) Changer le système statique (p.ex. isoler le sol de la structure en remplaçant les

encastrements à la base des colonnes par des appuis à rouleau, comme cela a été fait

pour le LA City Hall)

3. On propose d’augmenter l’amortissement de 0.15 à 0.5 sans changer la rigidité ni la

masse de la structure. Est-ce une bonne idée ?

Selon la courbe de Rf (page 33 du polycopié respectivement Résumé du cours 4), la

transmittance et par conséquent le déplacement maximal en tête de colonne ne varient que

marginalement en passant d’un amortissement de 0.15 à 0.5. Ainsi, les moyens nécessaires

pour augmenter le coefficient d’amortissement de la structure de 0.15 à 0.5 ne sont pas

proportionnés par rapport à la réduction de déplacement maximal obtenu.

D’un autre côté, si ω/ωn devient >1.41 (changement du système ou des mouvements de la

fondation) en passant d’un amortissement de 0.15 à 0.5, la transmittance augmentera. Dans

ce cas, cette mesure constructive conduirait à un plus grand déplacement maximal. Il

s’impose donc d’être prudent avec la modification de l’amortissement.

En somme, ce n’est pas une bonne idée d’augmenter l’amortissement de 0.15 à 0.5.

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Question 4: [5 pts]

Suite à une erreur de manipulation d’une grue, un chargement de masse M2 percute le haut d’un portique en cours de construction avec une vitesse V (Figure 5). Le chargement reste en contact avec le portique après le choc. Les oscillations engendrées se font uniquement dans la direction x.

On négligera la masse des colonnes devant celle de la traverse (M1).

Figure 4. La structure étudiée

V = 17.5 m/s ; E = 210 000 MPa ; I = 7.5 108 mm4 ; H = 3.5 m ; M1 = 4000 kg ; M2 = 5500 kg

Donnez l’équation du mouvement du portique en considérant un amortissement de ζ = 0.1.

Soit Keq la rigidité équivalente de la structure :

��� = 2 ∙ 12���� = 8.82 ∙ 10��/�

La pulsation propre du système après le choc est donné par :

�� = D ��� � + = D 1.97 ∙ 10�4000 + 5500 = 95.33 "#$ %!

La réponse du portique est donnée par :

( ) ( )( )( ) cos sintx t e C t D tl n n-= +

Avec : , = 3 ∙ ��T;- = 4�� + , = ��41 5 3 La vitesse est obtenue en dérivant x(t) par rapport au temps :

/U:;< = :V- 5 W,<TXYZ cos:-;< 5 :V, + W-<TXYZ sin:-;<

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Les coefficients C et D sont déterminés en utilisant les conditions initiales x(0) = 0 = C et

/U:0< = \]\^1\] ∙ _ = :V- 5 W,< = V-.

Ce qui donne :

W = 0T;V = ∙ _: � + < ∙ -

L’équation du mouvement devient donc :

/:;< = TXYZ ∙ _: � + < ∙ - sin:-;< Avec : , = 3 ∙ �� = 4.55 "#$ %! T;- = ��41 5 3 = 95.852 "#$ %!

Ce qui donne finalement :

/:;< = 0.106 ∙ TX`.a�MZ ∙ sin:95.85;< BONUS [2 pts]

Une masse M tombe d’une hauteur h sur un plateau infiniment rigide de masse m équipé d’un système (Figure 3). La masse M reste solidaire du plateau après l’impact.

Figure 5. La structure étudiée

Deux étudiants A et B se penchent sur ce problème afin de déterminer le déplacement maximal du système. L’étudiant A calcule le déplacement maximal en considérant que le plateau subit une force échelon égale au poids de la masse M. L’étudiant B calcule le déplacement maximal en considérant la réponse du plateau à la charge d’impact (choc mou). Lequel des deux étudiants a fait la bonne modélisation du problème ? Justifiez.

L’étudiant B donne une modélisation correcte. L’étudiant A néglige l’effet dynamique du choc

entre les masses. De plus, les caractéristiques du système oscillant sont modifiées après le choc

(masse total = M+m, ce qui fait changer ω).