Theorémès de Connexité et Variétés Abéliennes

Theorémès de Connexité et Variétés AbéliennesAuthor(s): Olivier DebarreSource: American Journal of Mathematics, Vol. 117, No. 3 (Jun., 1995), pp. 787-805Published by: The Johns Hopkins University PressStable URL: http://www.jstor.org/stable/2375089 .

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THEOREMES DE CONNEXITE ET VARIETES ABELIENNES

By OLIVIER DEBARRE

Cet article est consacre 'a la demonstration d'un theoreme de connexite pour les varietes abeliennes, ainsi qu'a l'exposition de quelques corollaires. Les resultats analogues pour les espaces projectifs et leurs consequences sont connus depuis un moment dej"a ([FH], [FL], [F3]) et fournissent un guide qu'il n'y a qu'a suivre.

Le th6oreme principal (3.6) donne des conditions suffisantes pour que, etant donnes une variete abelienne X et deux morphismes V -? X et W -? X, 1'espace V xx W soit connexe. Les consequences de ce resultat sont nombreuses. En voici quelques cas particuliers; nous renvoyons le lecteur au texte pour des enonces plus precis.

On montre au ?4 que le groupe fondamental algebrique d'une sous-variete normale d'une variete abelienne simple X, de dimension > 2 dim (X), est isomorphe a celui de X (cela resulte de [So] lorsque la sous-variete est lisse).

On etend au ?5 certains resultats de Nori ([N]): si D est un diviseur dans une variete abelienne X, dont aucune composante n'est une variete abelienne, et qui est a croisements normaux en dehors d'un ferme de codimension 2 dans D, alors le noyau du morphisme surjectif r I(X - D) -- r, (X) est abelien libre de type fini, et l'on determine son rang.

Des resultats analogues 'a ceux de [LI] sont obtenus au ?6, comme par exemple que le groupe fondamental algebrique d'une variete normale V qui est revetement fini de degre < dim (V) d'une variete abelienne simple X, est isomorphe 'a celui de X. La meme conclusion subsiste pour un revetement qui induit une bijection ensembliste au-dessus d'une courbe, sans condition sur son degre.

On termine avec une conjecture, analogue d'un resultat demontre pour les espaces projectifs par Lazarsfeld. Nous renvoyons le lecteur au ?7 pour son enonce, un peu technique.

1. Rappels et notations. Dans tout cet article, on travaille sur un corps algebriquement clos k de caracte'ristique nulle. Une varie'te' est un schema projectif reduit de type fini sur k, pas necessairement irreductible, mais qu'on supposera toujours non vide.

Manuscript received September 8, 1993. Finance en partie par N.S.F. Grant DMS 92-03919 et le Projet Europeen Science "Geometry of Algebraic

Varieties," Contract no. SCI-0398-C (A). American Journal of Mathematics 117 (1995), 787-805.

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Comme nous ne considererons que des espaces connexes, nous ecrirons sim- plement 7ralg(X) pour le groupe fondamental algebrique d'une variete connexe X, tel qu'il est defini dans [G2], Exp. V (cf aussi [Mul, p. 169]).

Lorsque k = C, le groupe 7rll(X) est le complete du groupe fondamental topologique ir (X) pour la topologie des sous-groupes d'indices finis ([G2], Exp. XII, cor. 5.2).

(1.1) On note Pic (X) le schema de Picard de X et Pico (X) sa composante neutre. Lorsque X est normal, Pico (X)red est une variete abelienne ([GI], Exp. VI, cor. 3.2).

Soient V et X deux varietes connexes. Tout morphisme f: V -? X induit un morphismef*: 7r l (V) - 7rlg(X) ([G2], Exp. V, p. 142) et:

(1.2) f. est surjectif si et seulement si pour tout revetement etale connexe X' - X, le revetement etale V xx X' -? V est connexe ([G2], Exp. V, prop. 6.9);

(1.3) f. est injectif si et seulement si pour tout revetement etale V' -? V, il existe un revetement etale X' -? X et un V-morphisme d'une composante connexe de V XX X' dans V'. C'est le cas en particulier si tout revetement etale connexe de V est isomorphe 'a un revetement du type V xxX' -+ V ([G2], Exp. V, cor. 6.8 et remarque 6.12);

(1.4) sif est etale, alors f est injectif ([G2], Exp. V, p. 142). (1.5) Supposons V (geometriquement) unibranche, c'est-'a-dire que pour tout

point v de V, le normalise de l'anneau local Ov,v est encore local. Alors, si V' -? V est un revetement etale connexe, V' est irreductible et unibranche ([GD2], 17.5.7). D'autre part, si V -? V est la normalisation, le morphisme induit 7ralg(V) __ ralg(V) est un isomorphisme ([G2], Exp. IX, th. 4.10).

(1.6) Si X est une variete abelienne, le groupe r lg(X) est isomorphe 'a 2 dim (X) ([G2], Exp. XI, th. 2.1). Deux varietes abeliennes de meme dimension

ont donc des groupes fondamentaux algebriques isomorphes. Lorsque k = C, le groupe irl(X) est isomorphe a Z2dim (X).

(1.7) Soient X une variete abelienne, V une variete et f: V -? X un morphisme. On appelera factorisation def la donnee d'une variete abelienne X', d'une isogenie q: X' -? X et d'un morphismef': V -? X' tels quef = qf'. On dira que f est minimal si, pour toute factorisation, q est un isomorphisme. Supposons que f(V) engendre X. Le noyau du morphisme induitf*: Pico (X) -? Pic (V) est alors fini et correspond 'a une isogenie q: X' -? X 'a travers laquelle f se factorise. Le morphisme induit f': V -? X' est alors minimal.

Si V est unibranche et f: V -? X minimal, et si 7j V V est la normalisation de V, le morphisme compose f = fr est encore minimal. En effet, soit V -? X' * X une factorisation de f. Le morphisme q se factorise alors en V-g V XX X' -- V. Soit V' la composante connexe de V xx X' qui contient g(V). Par (1.5), V' est irreductible, donc egal 'a g(V). Le morphisme etale V' -? V est donc un isomorphisme; f se factorise alors 'a travers q, qui est donc un isomorphisme.

(1.8) Soient X une variete abelienne, V une sous-variete de X, et VI,..., Vr les



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composantes irreductibles de V. On appelle sous-variete abelienne engendree par V, et on note (V), l'intersection des sous-varietes abeliennes de X qui contiennent U I1 (Vi - Vi). La variete abelienne (V) est la somme des varietes abelienness (Vi), pour 1 <i < r. On dit que V engendre X si (V) = X.

(1.9) Soient X une variete abelienne et V une sous-variete de X. On suppose qu'il existe un sous-espace lineaire L de ToX tel que To(V- v) C L pour v general dans V. Alors To(V) c L. En effet, on peut supposer que V est irreductible et contient l'origine. Pour r assez grand, l'image du morphisme somme Vr -? X est alors (V) et la conclusion decoule du fait que le morphisme induit Vr * (V) est lisse en un point general de Vr.

(1.10) Soient X une variete abelienne et V1,.. , Vr des sous-varietes de X. On dit que (VI, . . . , Vr) remplit X si, pour toute sous-variete abelienne K de X, on a:

r

S dim (ixr(Vi)) > (r - 1) dim (X/K), i=l

ou r: X -> X/K est la surjection canonique. (1.11) Soient X une variete abelienne et V une sous-variete irreductible de

X. On dit que V est ge'ometriquement non-dege'ne're'e ([R], lemma 11.12) si pour toute sous-variete abelienne K de X, on a:

dim (V + K) = min (dim (X), dim (V) + dim (K)).

En d'autres termes, si 7r : X -> X/K est la surjection canonique, 7r(V) est soit egal 'a X/K, soit de meme dimension que V. En particulier, toute sous-variete irreductible d'une variete abelienne simple est geometriquement non-degeneree. Si V est geometriquement non-degeneree, et si W est une sous-variete de X, on verifie que (V, W) remplit X si et seulement si dim (V) + dim (W) > dim (X).

2. Intersection de sous-varietes. Les premiers resultats sur l'intersection de deux sous-varietes quelconques d'une variete abelienne sont dus a Barth, qui a demontre' dans [B 1] le corollaire 2.4 ci-dessous lorsque X est simple et r = 2.

THEOREME 2.1. Soient X une variete' abelienne et VI,..., Vr des sous-varie'tes irreductibles de X. Alors le morphisme:

q: V, X ... X Vr - xr-I

(VI,. * * , Vr) -4 (2 - Vi, V13 -V1,.. * , Vr- Vi)

est surjectif si et seulement si (VI, . ., Vr) remplit X (cf. (1.10)).



790 OLIVIER DEBARRE

De'monstration. Si (VI, . . . , Vr) ne remplit pas X, il existe une sous-variete abelienne K de X telle que Zi dim(7r(Vi)) < (r - 1) dim (X/K), ou 7r : X -

X/K est la projection canonique. On a alors dim(w7rr-l(VI x ... X Vr)) <

dim((X/K)r-I), de sorte que $ n'est pas surjective.

Supposons maintenant que (VI, . . . , Vr) remplisse X. On raisonne par r6cur- rence sur la dimension de X. Supposons $ non surjective et notons Z son image. Soit a = (a2,... ar) un point general de Z. Comme EI1 dim (Vi) > dim (Xr-1) > dim (Z), il existe une sous-vari6te Fa de VI de dimension > 0 telle que:

0- '(a) = { (vl, v1 + a2, ..., v + ar) I vl E Fa }.

On a alors (Fa + ai) C Vi pour i > 2, de sorte que a + ui(Fa - Fa) C Z, oiu Ui: X -? Xr-1 est la (i - 1)ie'me injection canonique. Soit (Fa) la sous-vari6te abelienne de X engendree par Fa (cf (1.8)).

LEMME 2.2. Pour toute sous-variete' F de X, on a To(F - F) = To(F).

De'monstration. Si F1, ... , Fr sont les composantes irreductibles de F et 0 E (Fi - Fj), alors Fi - Fj C Fi - Fi + Fj - Fj C (F), de sorte que To(F - F) c

To (F). Inversement, pour tout x E F, on a To(F - x) c To(F - F), de sorte que To (F) C To(F -F) par (1.9). 0

Le lemme entrafne Ta(a + Ui((Fa))) C TaZ pour tout i > 2, c'est-a-dire Ta(a + (Fa) r-I ) c TaZ.

LEMME 2.3. Soient X une varie'te' abe'lienne et Z une sous-variete irreductible de X. On suppose que pour a ge'ne'ral dans Z, il existe une sous-variete abelienne Ka de X telle que Ta(a + Ka) C TaZ. Alors, pour tout a general dans Z, on a Z+ Ka = Z.

De'monstration. Comme les sous-vari6tes abeliennes de X (contenant 0) sont rigides dans X, la famille {Ka}aEZ est constante egale 'a K au-dessus d'un ouvert dense U de Z. I1 existe un point (a, x) lisse sur U x K en lequel la differentielle du morphisme d'addition Z x K -? (Z + K) est surjective. L'image de cette diff6rentielle est par hypothese Ta+x(Z + x), de sorte que dim (Z + K) = dim (Z), ce qui prouve le lemme. O

Pour a general dans Z, on a donc Z + (Fa)r- = Z. Comme les images de VI, ... , Vr dans X/(Fa) remplissent X/(Fa), l'hypothese de recurrence entralne Z + (Fa)r-I = Xr-1. Cela contredit notre hypothese Z + Xr-l et entraine que 0 est surjectif. C



THEORIMEtS DE CONNEXITt ET VARIETES ABELIENNES 791

COROLLAIRE 2.4. Soient X une varie'te abe'lienne et V1, .. . , Vr des sous-varie'te's irreductibles de X. On suppose que (VI,.. ., Vr) remplitX (cf. (1.10)); alorsn=l Vi

0.

Remarque 2.5. La conclusion du corollaire ne subsiste pas en general si les varietes sont reductibles: si Y est une variete abelienne simple de dimension > 2, E une courbe elliptique, C une courbe dans Y ne contenant pas l'origine, et e un point non nul de E, alors V = C x {0} et W = ({0} x E) U (Y x {e}) remplissent Y x E, mais ne se rencontrent pas.

COROLLAIRE 2.6. Soient X une varie'te' abe'lienne et V et W deux sous-varie'te's irreductibles de X. Alors V + W = X si et seulement si (V, W) remplit X (cf. (1.10)).

COROLLAIRE 2.7. Soient X une varie'te' abe'lienne et V et W des sous-varietes irreductibles de X. On suppose que V est geometriquement non-degeneree (cf: (1.11)); alors V + W est soit e'gal a' X, soit de dimension dim (V) + dim (W).

De'monstration. Lorsque dim (V) + dim (W) > dim (X), il decoule de (1.11) et du corollaire 2.6 que V+ W = X. Supposons r = dim (X) - dim (V) - dim (W) > 0; soit C une courbe qui engendre X. La somme W' de W et de r copies de C est alors de dimension dim (W) + r, et le premier cas entraine V + W' = X, de sorte que dim (V + W) > dim (X)-r = dim (V) + dim (W). o

COROLLAIRE 2.8. Soient X une varie'te abelienne et V une sous-variete' irreductible de X telle que (V, V) remplisse X (cf. (1.10)). Alors le morphisme canonique 7 Il (V) -+ 7r,(X) est surjectif. Lorsque k = C, il en est de meme du morphisme irj(V) -+ 7rl(X).

Demonstration. Soit X' -* X une isogenie. Par (1.2), il s'agit de montrer que la sous-vari6te V XX X' de X' est connexe. Cela resulte du fait que deux quelconques de ses composantes irreductibles remplissent X', donc se rencontrent par le corollaire 2.4. Lorsque k = C, soit F le Z-module libre 7rl (X) (1.6). Pour tout entier n > 0, le morphisme compose 7r, (V) - F -- rF/nF est alors surjectif, de sorte que le conoyau Q de 7rI(V) -r F est un groupe abelien de type fini qui verifie Q = nQ pour tout n > 0. Il est donc nul, ce qui termine la demonstration du corollaire. o

Remarque 2.9. Sous les hypotheses du corollaire, le morphisme d'inclusion V c-> X est minimal au sens de (1.7).

3. Theoremes de connexite. Dans un second article ([B2]), Barth s'est ensuite interesse a la connexite de l'intersection de deux sous-varietes, soit dans une variet6 abelienne, soit dans l'espace projectif, obtenant ainsi des resultats qui seront ensuite generalises et appliques par Fulton et Hansen dans [FH] dans le



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cas de l'espace projectif (cf [F3] et [FL] pour des compte-rendus). Notre but est d'obtenir des resultats analogues dans le cas des varietes abeliennes.

(3.1) Soient X une variete abelienne, et V et W deux sous-varietes irreductibles de X. On dira que le couple (V, W) satisfait 'a la condition (*) si, pour toute sous- variete abelienne K de X, on a:

a) si K ' X, alors dim(ir(V)) + dim(ir(W)) > dim (X/K);

b) si ir(V) # X/K, alors dim(ir(V)) + dim (W) > dim (X);

c) si ir(W) #7X/K, alors dim(V) + dim(ir(W)) > dim(X);

oU ir: X -? X/K est la surjection canonique. Lorsque X est simple, cette condition se reduit 'a l'inegalite dim (V) + dim (W) > dim (X).

Nous commencons par un resultat technique, dont la demonstration repose sur des idees de Mumford telles qu'elles sont exposees dans [FL], p. 42.

PROPOSITION 3.2. Soient X une variete abelienne, V, W et Y des variete's irreductibles normales, f: V -* X et g: W -? X deux morphismes et p: Y -? V x W un morphisme e'tale. On pose V' = f(V) et W' = g(W) et on suppose que (V', W') satisfait a la condition (*) de (3.1). Soient b le morphisme (f,g): V x W -- V' x W' et m: V' x W' -- X le morphisme defini par

m(v', w') = v' - w'. Alors le morphisme p = mqp se factorise en Y -h X_ - X, oU X' est une varie'te' abe'lienne, q une isoge'nie, et ou les fibres de h sont connexes.

De'monstration. La partie a) de la propriete (*) entrafne que (V', W') remplit X (cf (1.10)), de sorte que ,u est surjectif (theoreme 2.1); considerons sa factorisation

h X,q de Stein Y -h X_ - X, oCU X' est normal, q fini surjectif, et oCu les fibres de h sont connexes. La demonstration repose sur le lemme suivant:

LEMME 3.3. On garde les notations de la proposition, mais on suppose seulement que dim (V') + dim (W') > dim (X). Soient D un diviseur de X et Z un diviseur irreductible de Y ve'rifiant p(Z) = D sur lequel ,u ne soit pas lisse. Alors, soit il existe une sous-varite' abe'lienne non nulle K de X telle que D + K = D, soit (apres e'change de V et W si ne'cessaire) p(Z) = V x Wo, ou Wo est un diviseur de W tel que dim (V') + dim(g(Wo)) < dim (X).

De'monstration. Soit z un point general de Z; on pose p(z) = (v, w) et a = A(z). Le morphisme Z -? D induit par ,u est lisse en z, de sorte que l'image de la differentielle Tz,u: TzY -? TaX contient TaD. Comme Tz,u n'est pas surjective, son image est donc TaD.

Comme p(Z) est un diviseur dans V x W, on peut supposer par exemple que la projection p(Z) -? V est surjective. Le morphisme V -? V' induit par f est alors lisse en v, donc l'image de la differentielle de Op en z contient TV' (V') x {0}, oCu




v' =f(v). Soit Fa la projection dans V' de m-1 (a) n qp(z); pour v' general dans Fa, on a alors:

TaD = Tztt(TzY) D T(v',v-a)m(Tv'(V') X f O}) = Ta(V' + a - v') D Ta(Fa + a - v').

On deduit alors de (1.9) que Ta(a + (Fa)) C TaD. Si dim (Fa) > 0, le lemme 2.3. entralne qu'il existe une sous-variete abelienne non nulle K de X telle que D+K = D. Si Fa est fini, le morphisme qp(Z) -k D induit par m est generiquement fini. On a donc dim(qp(Z)) = dim (D) < dim (V' x W') - 1. Mais la projection p(Z) -? V est surjective; une fibre generale est donc un diviseur de W dont l'image par g est de codimension > 1 dans W'. De tels diviseurs sont en nombre fini, de sorte que p(Z) = V x Wo, oiu Wo est l'un de ces diviseurs, et dim (V') + dim(g(Wo)) = dim (D) < dim (X).

Revenons 'a la proposition. Supposons q ramifie; par le theoreme de purete ([Z]), il existe un diviseur irreductible D' de X' contenu dans le lieu de ramification de q. Posons D = q(D'). Soient Z une composante irreductible dominante de

h-'(D') et y * Y-h-+ V1 x W' la factorisation de Stein de bp; soient aussi G une composante de (mq')-1 (D) qui contienne h'(Z), et Z' une composante irreductible dominante de h'-1 (G). Comme (mq')*Oyi = [t*Oy, le morphisme mq' se factorise

en Y'h X1 -- X, avec h = h"h'. Alors h(Z') = D'; de plus, qp(Z') = q'(G) est un diviseur de V' x W'. Le lemme 3.3 entrafne que la composante neutre K du stabilisateur de D est non nulle.

Le premier paragraphe de la demonstration du lemme 3.3 montre que pour z' general dans Z', l'application tangente 'a ,t en z a pour image Tg(zI)D. I1 s'ensuit

que la composee Y --- X A X/K n'est pas lisse sur Z'. Comme dim(ir(V')) + dim(ir(W')) > dim (X/K) (condition (*)), et que le stabilisateur du diviseur D/K est fini, le lemme 3.3 entraine que l'on a (apres echange de V et W si necessaire) p(Z') = V x Wo, otu Wo est un diviseur de W tel que dim (ir(V')) +dim(7rg(Wo)) < dim (X/K).

Par construction, Op(Z') = V' x g(Wo) est un diviseur de V' x W', de sorte que:

dim (W') = dim(g(Wo)) +1

< dim(irg(Wo)) +dim(K)+1

< dim (X/K) - dim(ir(V')) + dim (K) + 1

= dim (X) - dim(ir(V')) + 1.

Comme 7r(V') :'X/K, cela contredit la partie b) de la condition (*) et termine la demonstration de la proposition. o



794 OLIVIER DEBARRE

Le theoreme suivant generalise un resultat de Barth ([B2], Satz 2).

THEORtME 3.4. Soient X une varie'te' abe'lienne simple, V une varie'te irreductible, f: V -* X un morphisme et W une sous-varie'te' irreductible de X. On suppose que dim (f(V)) + 2 dim (W) > 2 dim (X). Alors f 1(W) est connexe et, si V est de

plus unibranche, le morphisme canonique (f- 1(W)) X Il (V) est surjectif:

Remarque 3.5. La premiere conclusion du theoreme ne subsiste pas lorsqu'on suppose seulement dim(f(V)) + dim (W) > dim (X), comme le montre l'exemple suivant du' a Barth ([B2]): soient X' une variete abelienne simple de dimension 7 et V' une sous-variete de X' lisse connexe de dimension 3. I1 existe un sous- groupe fini G non trivial de X' tel que Vn (v1 + -y) soit vide pour tout element non nul -y de G. On pose X = X'/G et on note V l'image de V' dans X par la projection canonique p: X'-* X. Alors V est lisse et il existe une sous-variete irreductible W' de X' de dimension 5 (intersection complete de deux hypersurfaces), telle que V n p(w') soit reunion de Card (G) courbes disjointes. On remarquera que l'inclusion V c-- X n'est pas minimale au sens de (1.7) (cf corollaire 3.9). La meme construction donne des exemples avec X simple de dimension quelconque, V lisse de dimension [(dim (X) - 1)/2] et W de dimension [[3 dim (X)/2]/2]. La borne du theoreme est donc la meilleure possible.

Demonstration du theoreme. On peut supposer W 'X, auquel cas (f(V), W) satisfait a la condition (*) de (3.1). On note 7v V - V et 7w W W les

normalisations. Soit V x WAh X' * X la factorisation du morphisme (, (v,) (fn7v(D) - g7w(iv)) fournie par la proposition 3.2. On note G le noyau de q, on choisit un point ib de V, un point 10 de W, et on definit des morphismes f': -* X' et g' W -- X' par f'(v) = h(v, wo) et g'(w) = h(b, w bo) -h(E, w ). L'image du morphisme (v, wv) H-+ h(v, wv) - f'(v) + g'(w) est alors contenue dans le noyau (fini) de q, donc est reduite a 0. On a donc:

h(v), w) = f'(v) - g'(w).

Remarquons que f- I (W) est l'image par n7vprl de (qh)- 1 (0) = h-1 (G). I1 suffit donc de montrer que prlh-'(G) est connexe. Pour tout -y E G, l'ensemble prl h-1 (y) = f' -(g'(W) + -y) est connexe. Par le corollaire 2.4, l'intersection de f'(V), g'(W)+ y et g'(W) est non vide, de sorte que prl h- I (-y) rencontre prl h1- (0). Cela entraine que prl h- 1 (G), donc aussi f - 1 (W), est connexe, ce qui termine la demonstration du premier point du theoreme.

Supposons maintenant V unibranche. Soit ir: V' -* V un revetement etale connexe; V' est alors irreductible (1.5). Par (1.2), il s'agit de montrer que f -(W) x v V' est connexe. Or cela resulte du premier point, puisque cet ensemble est (f-xr)- 1 (W). O




Le theoreme suivant (analogue de [FL], th. 4.1) montre que, moyennant des hypotheses supplementaires sur les singularites des varietes, on peut obtenir des resultats plus forts.

THEORtME 3.6. SoientX une variete abe'lienne, V et W deux varie'tes irreductibles etf: V -* X et g: W -* X deux morphismes. On suppose que V est unibranche, que f est minimal au sens de (1.7), et que (f(V), g(W)) satisfait a la condition (*) de (3.1). Alors V xx W est connexe. Si on suppose de plus W unibranche, et si on note t le plongement V xx W c-* V x W et ,u: V x W X le morphisme (v, w) I-> (f(v) - g(w)), alors la suite:

alg t* alg 1VX 1 *I ag 71 (V XX W) - (ri (XW)- 7r1 N(X) 0

est exacte.

Remarques 3.7. 1) La premiere conclusion ne subsiste pas lorsqu'on ne fait aucune hypothese sur les singularites de V, comme le montre l'exemple de Barth (remarque 3.5).

2) La condition (*) est satisfaite dans chacune des trois situations suivantes:

a) le morphisme f est surjectif et g(W) engendre X;

b) les sous-varietesf(V) et g(W) sont geometriquement non-degenerees (cf (1.11)) et dim(V)+dim(W) > dim(X);

c) la variete abelienne X est simple et dim (V) + dim (W) > dim (X).

3) La partie a) de la condition (*) est evidemment necessaire; en revanche, je pense qu'on devrait pouvoir demontrer le theoreme sans supposer b) et c).

Demonstration du theoreme. Soient 7v V > V et 7w W -* W les nor-

malisations et V x W X --* X la factorisation de ,u o (7vI, 71w) fournie par la proposition 3.2. Par (1.7), le morphisme V -* V -* X est encore minimal, de sorte que q est un isomorphisme; V XX W est alors l'image de h-1(0) par une application continue, donc est connexe. Cela montre le premier point.

LEMME 3.8. Soient X une varie'te abe'lienne, V une variete irreductible unibranche et f: V -* X un morphisme minimal au sens de (1.7) dont l'image engendre X. Alors, le morphisme canonique Xrll(V) I r (X) est surjectif

De'monstration. Si X' -* X est une isogenie, ce qui precede, applique a f et a l'isogenie X' -* X, montre que V XX X' est connexe; le lemme decoule alors de (1.2). o

Le lemme entraine que le morphisme rlalg(V x W) * 7ralg(X) est surjectif. -D'autre part, V XX W est la fibre en 0 de pj, de sorte qu'on a bien un complexe.



796 OLIVIER DEBARRE

Pour montrer 1'exactitude en a,g (V x W), on peut supposer V et W normales par (1.5) et (1.7). On se donne un revetement etale connexe p: Y V x W, on pose Z = V xx W et on suppose que le revetement etale induit p (Z) -- z a une section. Par [G2], Exp. V, prop. 6.11, il s'agit de montrer qu'il existe un revetement etale X' -- X et un morphisme (V x W) xx X' -- Y au-dessus de V x W. Comme Y est irreductible normale (1.5), la proposition 3.2 fournit un diagramme commutatif:

h Y -*X'

/1

l

Vx W - X

ou les fibres de h sont connexes et ou q est une isogenie, dont on note K le noyau et k le degre. Les morphismes p et h se factorisent a travers un morphisme p: Y -- (V x W) xx X', qui, puisque (V x W) xx X' est connexe (par le premier point, puisque V x W est unibranche), est etale surjectif ([G2], Exp. V, prop. 3.5); on peut donc ecrire h = h'p et p = p'p. D'autre part, p-I(z) = h-1 (K) a k composantes connexes Y,... , Yk et les composantes connexes de p /-1 (Z) = h'- 1 (K) sont p(YI), ... , p(Yk), avec p 1 (p(Yi)) = Yi pour tout i. Or par hypothese, un des revetements etales p-' (p(Yj)) -* p(Yi) a une section; c'est donc un isomorphisme par [G2], Exp. I, cor. 5.3. Comme V x W et p-I (P(Yi)) sont connexes, cela prouve que p est un isomorphisme ([G2], Exp. I, cor. 10.10) et son inverse est le morphisme cherche. o

COROLLAIRE 3.9. Soient X une varie'te abe'lienne, V une varie'te' irreductible unibranche, f: V -- X un morphisme et W une sous-variete' irreductible unibranche de X. On suppose que (f(V), W) satisfait a la condition (*) de (3.1) et que l'inclusion W )-* X est minimale au sens de (1.7). Alors f - '(W) est connexe et le morphisme canonique X l -(W)) Ir lg(V) est surjectif:

DeTmonstration. Le morphisme lr(W) -X w(X) est surjectif par le lemme 3.8. I1 suffit alors d'appliquer le theoreme 3.6 a W >-+ X etf. o

4. Groupe fondamental des sous-varietes. Comme dans [FL] ?5, nous appliquons le theoreme de connexite a 1'etude du groupe fondamental des sous- varietes d'une variete abelienne.

PROPOSITION 4.1. Soient X une variete' abe'lienne, V une variete irreductible unibranche et f: V -- X un morphisme non ramife'. On suppose que f(V) est geometriquement non-dege'ne'ree (cf (1.11)) et de dimension > 2 dim (X). Alors il existe une variete' abe'lienne X', une isoge'nie q: X' - X et un plongement f': V -- X' tels quef = qf'.




De'monstration. Soit f: V f X' 4 X une factorisation de f avec f' minimal (1.7). On suit la demonstration de [FL], p. 46: le theoreme 3.6 s'applique (remarque 3.7) et entraine que V xXi V est connexe. Comme f' est non ramifie, la diagonale AV est ouverte dans V xx, V. Etant aussi fermee, on a Av = V xx, V, de sorte que f' est injective. On conclut en remarquant qu'un morphisme non ramifie injectif est un plongement ([GD1], 8.11.5 et [GD2], 17.2.6). c

COROLLAIRE 4.2. Soient X une varite' abe'lienne et V une sous-varie'te irreductible unibranche geometriquement non-degeneree (cf. (1. 11)) de X de dimension >

dim (X). Alors, le morphisme canonique xl,(V) 7r lg(X) est un isomorphisme.

De'monstration. Par la remarque 2.9, l'inclusion t: V >-+ X est minimale. Soit 7r: V' - V un revetement etale connexe; V etant irreductible et unibranche, il en est de meme de V' (1.5). La proposition precedente s'applique au morphisme non ramifie V' V X, qui se factorise donc en:

V/ 1

{q

V X

ou ii est un plongement et q une isogenie. Le morphisme induit V' V xxX' est alors un plongement etale. Comme V xx X' est connexe (theoreme 3.6), c'est un isomorphisme ([G2], Exp. I, cor. 5.2). Par (1.3), ceci montre l'injectivite du morphisme 7rll(V) 7rllI(X); celui-ci est d'autre part surjectif par le corollaire 2.8.

E

Remarques 4.3. 1) J'ignore si la restriction sur les singularites de V est necessaire.

2) Sommese a obtenu dans [So] des resultats tres complets sur les groupes d'homotopie relatifs d'une sous-variete lisse d'une variete abelienne complexe X. Les bornes qu'il obtient font intervenir un entier k tel que le fibre normal soit k-ample. Ses resultats s'enoncent aisement lorsque X est simple: si V est une sous-variete lisse de X, alors -rq(X, V) = 0 pour q < 2 dim (V) - dim (X) + 1.

5. Le probleme de Zariski pour les varietes abeliennes. Soient X une variete abelienne et D un diviseur de X. Le probleme de Zariski est l'etude du groupe fondamental algebrique de X - D. En suivant la demarche de [F1], on va voir qu'il est possible de retrouver certains cas particuliers des resultats tres generaux de [N].



798 OLIVIER DEBARRE

On dira que le diviseur D de X est a croisements normaux en codimension 1 s'il existe un sous-schema ferme Z de D de codimension 2 dans D tel que D - Z soit un diviseur 'a croisements normaux dans X - Z.

THEORtME 5.1. Soient X une variete abe'lienne de dimension > 1 et D un diviseur de X a croisements normaux en codimension 1. On suppose qu'aucune composante de D n'est une varie'te abe'lienne; alors le noyau du morphisme cano-

alg alg able nique 7r, (X-D) -- 7r- (X) est abelien.

Remarque 5.2. Le resultat ne subsiste pas si une composante de D est une sous-variete abelienne K de X. En effet, notons alors E la courbe elliptique X/K; on a des surjections:

Ker(7r l (X - D) r aig X)) Ker (7r-I(X-K)

Ker(7ralg(E - {O}) 3 7ralg(E))

Le groupe fondamental algebrique de E - {0} est isomorphe au complete profini de Z * Z, dont le noyau du morphisme canonique vers 7ralg(E) c; n'est pas abelien.

De'monstration du the'oreme. Soient V une variete irreductible normale et f: V -* X un revetement Galoisien de groupe G, dont le discriminant est contenu

dans D. I1 existe une factorisation f: V f X' 4 X, oiu q est une isogenie et oiu f' est un revetement Galoisien de groupe G' C G, minimal au sens de (1.7). Le diviseur D' = q- '(D) de X' est encore 'a croisements normaux en codimension 1. Soit B une composante irreductible de D'. Nous allons montrer que f'-' (B) est irreductible.

Soit B -* B la normalisation. On verifie 'a l'aide du lemme d'Abhyankar ([G2], 3.6, Exp. X) que (B XX, V)red est non singulier en codimension 1. Comme V est normale, que f' est minimal surjectif et que B engendre X', il resulte de la remarque 3.7 et du theoreme 3.6 que B xx' V est connexe. Comme il est de plus de Cohen-Macaulay, ce schema est irreductible ([HI]). I1 en de meme pour sa projection f' -(B) sur V.

Les composantes de D' se rencontrant deux 'a deux, il en est de meme de leurs images inverses dans V. Le lemme d'Abhyankar entraline que les inerties correspondantes commutent deux 'a deux ([S]). Elles engendrent donc un sous- groupe abelien I de G'. Posons X" = V/I. Le morphisme f' se factorise en

V -- X" X' et f" est alors non ramifie en codimension 1, donc non ramifie d'apres le theoreme de purete. Comme f' est minimal, f" est un isomorphisme



THEOREMtS DE CONNEXITE ET VARIITJS ABELIENNES 799

et I = G'. On a un diagramme commutatif:

GTll (X -D) )>G

U U

7ral (XID'-D) G'

D'autre part, 7r- (X -D') contient le noyau N du morphisme canonique alg alg

7xI (X-D) -- 7r, (X) ([G2], cor. 6.7, Exp. V). I1 s'ensuit que l'image de N dans G est contenue dans G', donc est abelienne.

Nous avons donc montr6 que pour tout sous-groupe ouvert distingue r de

71g(X - D), le groupe N/(N n r) est abelien. Comme N est ferme, il s'identifie 'a lim N/(Nn r) ([Bo], III, ?7, n?2 , prop. 3). C'est donc un groupe abelien. E

r

Lorsque k = C, Nori montre dans [N] que le noyau du morphisme -I (X - D) -x Wi(X) entre groupes fondamentaux topologiques est abelien de type fini, et

que son centralisateur est d'indice fini. On peut preciser son resultat de la fagon suivante.

PROPOSITION 5.3. Sous les hypotheses du the'oreme, et lorsque k = C, le noyau N du morphisme canonique rI(X - D) -i7rni(X) est abelien libre de type fini.

Remarque 5.4. Soient D1, . . ., Dr les composantes irreductibles de la normalisation de D, et ki le cardinal du noyau du morphisme Pic (X) -* Pic (Di). Alors le rang de N est Zi ki. Lorsque les composantes du diviseur D sont normales, le rang de N est donc egal a r; Nori montre que l'extension:

0 _ Zr - 7rI (X-D) - 7r I(X) -- 0,

est centrale et que sa classe correspond au r-uplet des classes fondamentales des composantes de D via l'isomorphisme H2(7rI(X), Zr) H2(X, Zy.

De'monstration de la proposition. Soit k le nombre maximum de composantes irreductibles de l'image inverse de D par une isogenie X' -- X. On verifie que ce nombre est fini et qu'il se calcule comme dans la remarque ci-dessus. Les inerties etant cycliques, la demonstration du theoreme montre que tout quotient fini de N (donc aussi N) peut etre engendre par k elements. Soit q: X' -) X une isogenie telle que D' = q-1(D) ait k composantes. On verifie que N est isomorphe au noyau N' du morphisme 7rw(X' - D') -- 7r(X'). D'autre part, il existe une surjection de N' sur le noyau de H1 (X' - D', Z) -- H1 (X', Z). Un argument classique de dualite



800 OLIVIER DEBARRE

montre que ce dernier est isomorphe au conoyau du morphisme H2(X', Z) H2dim(D')(DI,Z) c Zk, qui envoie -y sur (di(-y),... ,dk(-y)), oiu d.,.. , dk sont les classes fondamentales des composantes de D'. Soit m un entier; on note D" l'image inverse de D' par la multiplication par m. Les composantes de D" sont les images inverses de celles de D', donc leurs classes sont divisibles par mi2. De nouveau, N' est isomorphe au noyau N" du morphisme -xi (X' - D") -+ -l(X') et il ressort de ce qui precede qu'il existe une surjection de N" sur Zk/(m2,... ., m2).

Ceci etant vrai pour tout m, il existe une surjection de N sur Zk. Comme N est engendre par k elements, il est isomorphe a Zk. O

6. Revetements des sous-varietes des varietes abeliennes. Suivant toujours [FL], on s'interesse maintenant aux varietes qui sont revetements finis ramifies de petit degre d'une sous-variete d'une variete abelienne simple. Pour enoncer notre resultat, dont la demonstration est calquee sur celle du theoreme principal de [GL], nous utiliserons la notion de degre' local d'un morphisme fini f: V -* W en un point v E V, telle qu'elle est definie dans [GL] et [Mu2]. Intuitivement, c'est le nombre de feuillets def qui se rejoignent en v. On le note ef(v).

THEIORtME 6.1. Soient X une varie'te' abe'lienne simple, W une sous-varite' lisse de X, V une variete irreductible normale etf: V -- W un revetementfini de degre' d. On suppose le morphisme compose' V -- W c-* X est minimal au sens de (1.7). Alors il existe un point v E V tel que:

ef(v) > min(d,2dim(W) - dim(X) + 1).

Demonstration. Pour tout entier 1, l'ensemble:

R= {v E V I ef(v)> l}

est ferme dans V ([GL], lemma 1). De plus, comme W est lisse, le theoreme 2.2 de [L2] (cf aussi [GL], p. 58), entraine que R, est soit vide, soit partout de codimension < 1 dans V. I1 s'agit de montrer que Rl est non vide pour 1 < min(d - 1,2 dim (W) - dim (X)). Nous procedons par recurrence sur 1. On a Ro = V; on suppose que Rl11 est non vide, et on en choisit une composante irreductible R. La projection V XX R -+ R est finie, de sorte que la diagonale AR

est une composante irreductible de V xx R. Comme:

dim(R) > dim(V)-(l-1) > dimr(V)-2dim(W)+dim(X)+1 > dim(X)-dim(V),

le theforeme 3.6 entraine que V XX R est connexe. Si V XX R = AR, alors R C Rd- I C Rl, ce qui permet de conclure. Sinon, il existe une composante irreductible



THEOREMtS DE CONNEXITE ET VARIETES ABELIENNES 801

T de V xxR distincte de AR, qui rencontre la diagonale. Comme dans [GL], p. 57, on conclut que pour tout point (v, v) de TnAR, on a ef(v) > 1, c'est-a-dire v E Rl.

E

COROLLAIRE 6.2. Soient X une varie'te abe'lienne simple, W une sous-variete lisse de X, V une varie'te irreductible unibranche etf: V -+ W un revetementfini de degre d < 2 dim (W) - dim (X). Alors, le morphisme canonique 7rig(V) -rll(X)

est injectif et son image est isomorphe a irx(X).

De'monstration. Par (1.5), on peut supposer V normale. Toute isogenie X' X induit une injection aIg (X') -

1 (1.4) dont l'image est isomorphe 'a 7r1 (1.6). On peut donc supposer que le morphisme compose g: V -- W c-* X est minimal. Soit wr: V' -- V un revetement etale connexe; V etant irreductible et

normale, il en est de meme de V' (1.5). Soit V' -g-+ X' -P X une factorisation de gir avec g' minimal (1.7). Posons W' = g'(V'), et notons f': V' -+ W' le rev'tement induit et d' son degre. Le theoreme s'applique 'af' et il existe v' E V' tel que:

ef, (v) > min (d', 2 dim (W') - dim (X') + 1).

Comme p et ir sont etales et que d est le degre de f, on a:

ef (vd) = epf (v') = efr(v') = ef (7r(v')) < d.

Comme d < 2dim(W) - dim(X), il s'ensuit que d > d', donc que:

deg (ir) < deg (pIwi) < deg (p).

Or ir se factorise 'a travers le morphisme etale V xx X' -- V, qui est de meme degre que p. Comme V xx X' est connexe (theoreme 3.6) donc irreductible (1.5), le morphisme induit V' -- V xxX' est un isomorphisme. Par (1.3), cela demontre le corollaire. E

Remarque 6.3. La conclusion du corollaire ne subsiste en general pas sans hypothese sur les singularites de V, comme le montre la construction de [FL], note (2), p. 56.

COROLLAIRE 6.4. Soient X une variete abe'lienne simple, W une sous-varie'te lisse de X, V une varie'te irreductible etf: V -- W un revetementfini de degre' d. Si VI et V2 sont deux sous-varie'tes de V telles que:

dim (VI) + dim (V2) > 2 dim (X)-dim (V) + d- 1,



802 OLIVIER DEBARRE

alors vi nv2 =/ 0. En particulier, tout morphisme de Vdans une variete'de dimension < 3 dim (V) - 2 dim (X) - d est constant.

De'monstration du corollaire. La demonstration suit celle de [LI], remarque 2.3. On peut supposer V normale, VI et V2 irreductibles, et d < 3dim(W) -

2dim(X). Par le theoreme 6.1 et le resultat de [L2] utilise plus haut, il existe une sous-variete irreductible R de V de codimension < d - 1 telle que f soit bijective au-dessus de f(R). Le corollaire 2.4 entralne alors que f(VI), f(V2) et f(R) se rencontrent, donc aussi VI, V2 et R. La derniere assertion en resulte immediatement: si V -- T est surjectif et si dim (T) > 0, il suffit de prendre pour VI l'image inverse d'un diviseur et pour V2 l'image inverse d'un point hors de ce diviseur. o

La demonstration du theoreme suivant suit celle d'un resultat analogue de Lazarsfeld.

THEORtME 6.5. Soient X une varie'te' abe'lienne, V une varie'te' irreductible unibranche et f: V - X un morphisme. On suppose qu'il existe une sous-variete irreductible Z de f(V) telle que (Z,f(V)) satisfasse a la condition (*) de (3.1) et que le morphisme induit f (Z) -- Z soit une bijection ensembliste. Alors, le morphisme canonique alg(V) a 1lg (X) est bijectif

Remarque 6.6. Le theoreme reste vrai lorsque Z est localementferme'e, pourvu quef soit fini (cf [F2], p. 151).

De'monstration. Le morphismef est minimal. Soit Z la normalisation de Z; on pose Z' = Z xx V. Nos hypotheses entralnent que le morphisme induit Zed -+ est fini et birationnel; c'est donc un isomorphisme par le theoreme principal de Zariski ([GDI], 8.12.10.1). Le morphisme 7r,agZrd 7r Ig(' etnsujci (1.2), l'intersection de l'image du morphisme:

alg > alg alg() X a

avec {1 } x 7r I l(V) est reduite at {(1, 1)}. Comme cette image est le noyau du morphisme canonique Irla(Z x V) - r (theoreme 3.6), il s'ensuit que le

morphisme 7r1, (V) -? 7r, (X) est injectif. I1 est d'autre part surjectif par le lemme 3.8, ce qui conclut la demonstration. E

On termine ce chapitre avec la demonstration d'un resultat analogue 'a un theoreme de Ein sur les revetements des espaces projectifs. C'est une consequence directe de resultats puissants de Kawamata et Mori, mais je pense qu'il devrait exister une demonstration plus simple 'a base de connexite.



THEOREMES DE CONNEXITE ET VARIETTS ABELIENNES 803

THEOREME 6.7. Soient X est une varie'te abe'lienne simple, V une varie'te lisse etf: V -? X un revetementfini ramifie'. Alors la ramification de f, c'est-ai-dire le faisceau canonique de V, est ample.

Remarque 6.8. Le theoreme 3.6 entralne que la ramification de f rencontre toute courbe de V.

De'monstration. Par [KI], th. 13, il existe une sous-variete abelienne Y de X, un morphisme fini W -- X/Y avec r,(V) = dim (W), et des revetements etales Y -? Y et Y x W -> V. Comme X est simple, on a soit Y = X, auquel cas f est etale, ce qui contredit l'hypothese; soit Y = 0, et r,(V) = dim (V), de sorte que V est de type general. Le theoreme decoule alors du resultat suivant. a

THEOREME 6.9. (Kawamata). Soit V une varie'teprojective lisse de type ge'ne'ral qui ne contient pas de courbe rationnelle. Alors Kv est ample.

De'monstration. On suit [Ko]. Par [M], th. 1.4, soit V contient une courbe rationnelle, soit Kv est nef. Dans le second cas, il decoule de [CKM], (9.3), que le systeme lineaire imKvl est sans point base pour m > 0, donc definit un morphisme 0bm generiquement fini sur son image. Si 0bm est fini, Kv est ample; sinon, il contracte une courbe C, qui verifie alors C Kv = 0. Soit H un diviseur tres ample sur V; son image qm(H) est contenue dans une hypersurface de degre r, de sorte qu'il existe un diviseur effectif E tel que rmKv -H + E. On a donc C E < 0. I1 existe E rationnel positif tel que le diviseur KV+EE soit log-canonique ([KMM], lemma 0-2-15). Comme (Kv +EE) . C < 0, le theoreme du cone (loc.cit., th. 4-2-1) entralne qu'il existe un rayon extremal et un morphisme de contraction (loc.cit., th. 3-2-1) g: V -- W, auquel on peut appliquer [K2], th. 1: le lieu des points oiu g n'est pas un isomorphisme est recouvert par des courbes rationnelles.

E

7. Conjecture. Une demonstration de la conjecture suivante permettrait d'utiliser les resultats de Lazarsfeld ([LI], th. 2.1, prop. 3.1), et entralnerait en particulier notre theoreme 6.1 sur les indices de ramification.

CONJECTURE 7.1. Soient X une varie'te abe'lienne simple, V une varie'te' lisse etf: V -? X un revetementfini, minimal au sens de (1.7). On definit unfaisceau localement libre E sur X comme le dual du noyau de la trace Trv/x f f -Ov Ox. Alors E est ample.

La conjecture est vraie lorsque X est une courbe elliptique. En effet, par un theoreme de Hartshorne ([H2]), il suffit de demontrer que tout faisceau inversible L quotient de E est de degre > 0. Soit L un tel faisceau; on a alors:

0 < h?(X, Ev 0 L) = ho(X,f*Ov 0 L) - h?(X, L) = ho(V,f*L) - ho(X, L) .



804 OLIVIER DEBARRE

Cela entraine en particulier hO(V,f*L) > 0. Si deg (L) < 0, alors deg (f*L) < 0 et f*L est donc trivial. On a alors hO(V,f*L) = 1 et ho(X,L) = 0, donc L f Ox, ce qui contredit l'injectivite de f*. On a donc deg (L) > 0.

On peut voir cette conjecture comme une forme forte d'un theoreme de connexite: supposons E ample; si W est une variete irrfeductible de dimension > 0 et si g: W -? X est un morphisme fini, alors g*E est ample, donc HO(W, g*EV) = 0. Si on pose W' = V xx W, cela se traduit par h?(W', (9w') = ho(W, Ow) = 1, qui est evidemment plus fort que la connexite de W' (assuree par le theoreme 3.6).

DEPARTMENT OF MATHEMATICS, UNIVERSITY OF IOWA, IOWA CITY, IA 52242

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Theorémès de Connexité et Variétés Abéliennes