IL NUOVO CIMENTO VOL. 28B, N. 2 11 Agosto 1975

Th~orie a 10 composantes de la particule de spin un ('). (Rapport gyromagn~tique quelconque.)

E. DURAND

Universitg Pa . l Sabatier, .Physi~e ThJorique - To@lo@se

(r icevuto i l 21 Gennaio 1975)

S u m m a r y . - - Corben and Schwingcr have in t roduced a pa rame te r ~t in the tensorial equat ion of Proca, in order to have an a rb i t r a ry gyro- magnet ic ra t io g = 1 + ~. In the nonre la t iv is t ic approximat ion , an in- t r insic electr ic-quadrupole moment appears in the i r theory and the coef- ficient of the t e rm wi th div E, in the Hami l ton ian , is not correct. The mat r ic ia l form of the theory suggests another formula, analogous to th is of the spin-�89 part icle . I n the nonrela t iv is t io approx imat ion one has then no electr ie-quadrupole moment and the coefficient of the te rm with d iv E is correct. One may also, in the new theory, in t roduce an electric- quadrupole moment chosen a priori, in the same manner as Young and Bludman did for the Corben-Schwinger theory .

l , - In troduct ion .

D a n s l a t h6o r i e d e PROCA (1) 1~ p ~ r t i c u l e 6s t d 6 c r i t e p a r u n q u ~ d r i v e c t e u r

~ , e t u n t e n s e u r a n t i s y m 6 t r i q u e ~E,,J o b 6 i s s a n t a u x 6 q u a t i o n s

(1)

(2) aveC

(3) 2y~mc

k - - h ~ D ~ = ~ - - i e A , , e = 2 g q / h , r , s = ] , 2 , 3 , 4 , x ~ - i e t .

(*) Pour ac~l~rer la publ ica t ion , l ' au t eu r de eet ar t ic le a agree ~ ne pas recevoir les 6preuves pour la correction. (1) A. PROCA: Compt. ~e~d. 202, 1490 (1936).

415

416 E. DURAND

C'est ce que l 'on appelle le couplage minimal avec le champ ~lectroma- gn~tique. On salt que cela correspond ~ une particule dont le rapport gyroma- gn~tique g eat ~gal ~ 1 (alors qu'fl eat ~gal k deux, dana des conditions analo- gues, pour une particule de DI~AC).

Comme les particules de spin un ont des rapports g quelconques, CORBEN et SCn~VI~GER (2) ont propos6 de completer les ~qs. (1) and (2) par un terme con tenan t un param~tre arbitraire 2 de mani~re que le rapport gyromagn4tique de la part icule soit g = 1 § 2. Leurs 4quations s'4crivent

(4)

(5)

oh

(6)

k~Jr-- .D'l/Jtr,l --~- ---~-BIr,ll/1' ---~ O,

kgzt,.~ + [D, T . - - D. ~,] = o ,

Bt,,l = O,A,-- 8,Ar

est le champ ~lectromagn~tique. CASV, (') dans le cas du couplage minimal et Y o u ~ o et BLU-DMAN (') pour

lea ~qs. (4) et (5) (compl~t~ea d'ailleurs par un terme quadripolaire) ont montr4 comment on pouvai t obtenir l 'approximat ion non relativiste de ees 4quations par une t ransformat ion analogue & celle de Foldy-Wouthuyaen. On commence d 'abord par ~]imiuer lea composantes non ~volutives ~ , et ~ , et on ~crit les ~quations sous la forme canonique avec des matrices d'ordre six.

En so l imi tan t aux termes en 1Ira', les ~qa. (4) et (5) conduisent

h (7) 2~i

avec

---- 8,~ ----- H ~

(8) H = q V § § 2-1---m P'P'-2~mqh (I § u)(S.B) §

§ ~§ (E'[S•

1 qh' @ § E) § 8 ~ , m ~ 02

_ _

qh 2

8~2m~'02

2 div E] q--

(a) H. C. COI~Bv.N et J. SCaWX~rGEI~: .Phys. l~ev., 58, 953 (1940). {s) K . M . CASE: Phys. /~ev., 95, 1323 (1954). (') J . A . YovNo et S. A. BLUDMAN: Phys. l~ev., 131, 2326 (1963).

T I I ~ O R I E A l 0 CO:~IPOSANTE8 1)]'; LA I 'ARTICUL:E :I)E SPIN UN 417

0fl E, B S011t 1(~ champ 61eetriquc et l ' induct ion magl~6ti(lue; S sont les 3 matr ices du spin un, dolm6es plus loin d~uls (27) et

h - ~ U , �9

(9) /'~=2~i --qA~ I----1-~2~

Sur eet te expression (8) on vol t que l 'op6rateur du m o m e n t magn6t ique est

0o) ~h

Le rappor t gyromugn~t ique est donc g ---- 2(1 -b ~). On in t rodu i t ~, au lieu de 4, pour mieux computer avee la formula re la t ive {~ l'61ectron; on a ~ = 0 si g ---- 2. A la deuxi~me ligne du second membre de (8) on a le t e rme d ' in terac- t ion spin-orbit , . A la troisi~me ligne on t rouve un t e rme en div E analogue ~u te rme de DxlcwI~ de la th~orie de DIXAC. A lu derni~re ligne on a un t e rme quadrupolai re ~lectrique.

A pr /or / un tel te rme para t t acceptable puisque les part icules de spin un poss~dent effect ivement des momen t s quadrupolai res 61ectriques intrinsi~ques. Mais ici, ce t e rme est li6 au m o m e n t dipolaire magn6t ique et f l n e p eu t pus prendre une valeur arbi t ra i re ind4pendante de g. D'ail leurs, si la purt ieule ne poss~de pus de momen t quadrupolaire , il f au t en in t rodui re un (eornme nous le verrons plus loin) pour annule t ce t e rme quadrupola i re (~ nature l ,~.

Enfin un ra isonnement simple, quoique empir ique, va nous m o n t r e r que le coefficient du t e rme en div E, duns (8), est deux lois t rop grand. Si on cMcule, en effet, les valeurs quantifi~es de l '6nergie dans le potent ie l coulombien d 'une charge ponctuelle Ze et si on applique la th6orie des per turba t ions (~ Pap- p rox imat ion du premier ordre) au t e rme d ' in terac t ion spin-orbite, on t rouve, pour une part ieule de spin J ,

(11) (~W).++) = - - (2.+ I)W, ~-6 (l_}_ I)(2Z-}- 1)'

at cetf~ formule (11) est encore ru lab le pour 1 ---- 0 avec

(]2) (3Wb =: - - (2 . ~- 1) W~ ~ ~ 2 J .

Or, duns le cus 1----0, le t e rme d ' in terac t ion spin-orbite est nul et il fuut que le te rme en div E qui le remplace eonduise encore au r~sultat (12). Duns le cas consid6r~, on a

(13) div E : ~ ~( r ) , eo

418 ~. DURAND

et s~ cont r ibu t ion ~ 8W est bien (12), si le t e rme en div E de l ' t tamfl tonien s '6orit

(14) 8rr2m,qh2 c * (n ~- 1) J d i v E .

Q uand J-----�89 et ~ ~ 0 on re t rouve le t e r m e qui se d~duit de la th6orie de D ~ A r pa r la t ransformat ion de Fo ldy -Wouthuysen . Quand ~ r 0, on re t rouve la formule que l 'on dbdui t de cet te m~me th~orie compl~t~e par le terme de PAULX.

P o u r une par t icule de spin J ----- 1~ on vol t que le coefficient de div E darts (8) est deux fois t rop grand et ne convient p~s. Nous allons voir que les for- mules (4) e t (5) de CS ne sont p~s les plus naturel les quand on utilise une ~criture matr iciel le e t des formules analogues ~ celle de la part icule de spin, �89 Nous verrons aussi qu '~ l ' approx imat ion non relat ivis te la nouvelle th$orie ne pr4sente pas les d~fauts de la th$orie de CS.

5)

2. - N o u v e l l e s &luat ions .

2"1. ~ o r m e m a t r i e i e l l e de la thdorie . - In t roduisons les qua t re matr ices 2~ r, d 'o rd re 10

�9 , ~

i - - 1 �9

�9 �9 1

1

�9 �9 ~ 1 ~ �9 ~ �9 �9

2r

1

]

1 _ �9

- - 1

1

1 . ! 1 " :

~ 2

- - 1

�9 - - 1

Y,

'I'I[]~ORI:I~ A 10 COMI'O~A.NT]']S ])E I,A I 'ARTICULE D]'~ SPIN UN 4 ] 9

qui ob6issent aux conditions de Pe t iau-Kemmer ('%~)

(16) N~, N, N~ + N~ N, N~, : N~ 6,~ -I N~ 6,~,

et la matr ice colonne k~ k 10 composantes, telle que

Les 4quations tensorieUes (1) et (2) peuvent s'6crire sous la forme d 'une 6quation matricielle unique, &ordre dix,

(18) {2v,2)" + k} ~ = o .

Cette expression (18) est tou t ~ fai t analogue/~ l%quation de Ds (couplage minimal). Quand on a un moment magn4tique anormal pour une part icule de spin ~, on compl6te l '4quation par un terme de Pauli du type Fc~,~B K'1 avec un coefficient arbitraire ~.

Pa r analogie, on peut penser que pour la particule de spin un, l '4quation (18) doit ~tre compl6t~e par un terme analogue, soit

(19) {N,D" + k + ~Nt,,]Bt'~ ~IS= O

avec

(20) Nt,~ N , N . - N , N , .

Nous admett rons que (19) est l '4quation qui d4crit la particule de spin un et de moment magn6tique anormal. Pour voir en quoi eUe cliff,re des 6qs. (4) et (5) de Corben-Schwinger, on va revenir de (19)/~ la forme tensorielle d'Univers.

2"2. •orme tensorielle d'Univers. - Avec les matrices N, de (15) on calcule als6ment les 6 matrices 2gr,,] d6finies par (20) et on t rouve que (19) se d6com- pose en deux 6quations tensorielles d 'Univers qui s'4crivent, avee p, q, r, s ----- = 1, 2, 3, 4,

ie2 _ . (21) k~rl,--D'~Uc,,l + ~ - / /~ , , ]~" : 0 ,

Si on compare (21) et (22) aux 4qs. (4) et (5) de CS on vol t que (21) cont ient le m~me terme que (4) mais avec un coefficient deux fois plus petit . Pa r centre (22) contient un terme suppl6mentaire qui ne figurait pas darts (5).

(6) Cx. P~TI/LU: Oompt. Bend., 200, 375, 1829 (1935). (6) N. K E ~ I ~ : Prec. Ray. See., A 173, 91 (1939).

420 ~. D~X~D

Afin de me t t r e ces 6qs. (21) e t (22) sous la forme canonique nous allons 61iminer les composantes non 6volutives ~4 et T~..j dont les d6riv6es tempo- relles ne f igurent pas darts les 4quations.

2"3. Eliminat ion des composantes non dvolutives de la ]onetion d'onde. - On p e u t t i rer ~a de (21) oh Pon fair r = 4, soit

(23)

et ~t~.~ de (22) off l 'on fair [r, s] = [u, v] avec u, v = 1, 2, 3, soit

e2 ie2 B ' ~ (24) kt/~'t""~ ----- - - [D"tP'~-- D"t/~ --2-kc [~P+~"'~ E,, - - tff~,,jE.] q-- ~ t .~.

P o u r 4erire ces deux derni6res 6quations, on a tenu compte de la corres- pondance

(25) B t ~ = B ~ , BE~,j = - - -~E~ C

ent re Bt,.~ e t le champ 41ectrique E~ ou l ' induct ion magn6tique B~. Les trois 6qs. (24) peuven t se me t t r e sous une forme matricielle, en int roduisant les matr ices colonne kY, O, O', telles que

(26) T --~ O = O, =

I/-f2~

et les matr ices S . du spin 1

(27) - - ! , i

B~

61

, t

. - - i i

B2 Ss

Elles s'~crivent

(28) e2 ) i @2 1 - - ~ S,,B" O' = ~ ( S . D ' ) T . . . . . 2k2v (S,.E') O.

P o u r obtenir O' en fonet ion de O, ~ , il f au t d4terminer la matr ice inverse K du coefficient de O'. P a r suite des propri4t4s remarquables des matrices S. , on t rouve

]-' (29) K = [ 2k 2 (S .B ~,) = 1 + a(S,,B") + b(S, .B') '

"rllI~'ORI~E A ] 0 COMPOSANTI ' ;S Itl ' ; I,A [ 'ARTICU[, ] , ; ])I,; S P I N U N 421

~ v ~ c

(30)

on. a, d o n e

(3~)

Y b "- Y I y --= )~sl2k~" ' a - ~ ] _ _ y : B 2, I - - y 2 B ; ' [ B 2-- B ~ B ~,

0 ' = i ie;~ ~.K(#I.D")~-- 2k ~ cK(~q,,E")O .

Lea six autres 6quations que l'on peut t irer de (21) et (22) apr~s y avoir port6 l 'expression (23) de ~ t et avec

2y~ (32)

prennent la forme

[D. , D~] = - - ieBr,,.~ ,

h h ~ (33) - - - ~ , ~ = qVkrJw

2rti 4rt2m

�9 { k 2 ~ , ~ , - - D , ~ D " ~ t . , I + ~ B E . ~ . - - ~ E ~ ~keD,~E,,u ~=~

h h ~ (34) 2~i ~tkYru4J = qV~E,.41---~rt-2 m �9

~c ~ E"E'~~ I"

Pour ~crire ces ~quations sous 1~ forme matricielle, on in t rodui t les m~- trices (26) et (27) ainsi que lea neuf matrices r162 d6finies par

(35) g , , = ~,,, ~ . . - ~ , s , .

Ces neuf matrices d " ont des 616merits tous nuls saul r u n d 'eux, 6gal i~ un, sur la u-ii~me colonne et la v-i~me ligne. Elles fe rment un syst~me t emple t pour les matrices d'ordre trois. Pour 6crire (33) sous 1~ forme matricielle, on utilise les relations

(37) D . D ' ~ . , ~ = [D,~ D'JT- t~ . ,~WD'D. ,~ . ,~ { s ( S . B )O}~,-k-{( ,,.D D )O},~,

E " (38) D,~ ,,}It = [D,., E .]~"-4- E , , D , ~ " =

E - { ( e . , ~ - D ' ) T } =

= {i(S.rot E ) T } . + {~'..(~"E') T} : + {(d ' . .E 'D ' ) T } : .

4 2 2 ~.. DURA ND

En portant (36)-(38) darts (33), on obtient

(39) h_h_~,~= q V ~ k~--e(8.B~)--~, ,~D"D o - (~B") O + 2~i 4g~m

+ ~c ( S . E ' ) O ' + ~kc [$'..E"D" + i (S 'rot E) + ~. .(~'~, ')]~} .

Pour 6crire (34) sous la forme matrieielle, on utilise les relations

(40)

(41)

(42)

(43)

D.T~..~ = { - i(S. D')O'}. ,

Bt..,YJ~ = {i(S. B") ~J}~ ,

E. D'~.,~ = {(~..E'D")O}.,

En portant (40)-(43) dans (34), on obtient

h h ~ (44) - - - - ~,0 = qVO

2~i 4 ~ m - - k2~p + ik(S,~D,,)O ~ - -~ (SuB")~I s -

e2 ).2 l

Enfin en rempla~ant, darts (39) et (44), la matrice O' par son expression (31), on obtient deax 6quations m~tricielles qui ne contiennent plus que O et ~ , soit

(45)

(46)

h h2

2 ~ b t ~ = q V ~ - - 4 ~ m "

s2 (8~B.) + (S~E~)K(S~E ~) 0 + �9 k ~ - e ( S ~ B " ) - (8 .~D'D' ) - - y

+ ~ [~.~ + ~(s rot E) + e.~(o-E,)- (s.~,)~(s.D,)] ~}, h 2 f f e~t

--27rib ~,0 = qVO 4 ~ m i [ k ' - ' 2 " ( S . B ' ) - - (S.D")K(S.D") +

3. - L ' a p p r o x i m a t i o n n o n r e l a t i v i s t e .

Dans tout ce qui pr6c6de les ealculs sont rigoureux. Dans ce qui suit, on va n6gliger les termes en 1/m s, 1/m 4, etc. On peut faire alors K--~ 1 dans (45) et (46). On rassemble ensuite les deux 6quations matrieielles (45) et (46),

'I'}II;iOYtl'F, A l 0 CO.MPOSAN'r 'Es O:Ig I , A PAIVrI(?L'LF, D],] S P I N [JN 423

d 'ordre trois, c n u n e 6(lm~tion m~tricicllc unique d 'ordrc in t rodui t les matrices

S. .1 (47) q~'= : T I ,~(') = i o l ' ~" �9 a . l '

(~s) �9 I ;,.,I �9 U(=)[, liU(,) I U(a ~ �9

six. Pour ccla, on

Ces trois matr ices ~ , qui peuven t s'~crire ~ , = a . @ U(,), off a. sont les matr ices de P A ~ d~ordre deux, ob~issent aux m~mes relat ions que les matr ices de PAULL :Elles c om mute n t avec les matr ices S ~ .

Avec ces matr ices (47) e t (48) e t en r e m p l a ~ n t ~'~o p a r son expression (35), on obt ient l '6quat ion

h ' [ 1 (49) h ~,~,= qV---- k'~,-- (~, i~2)(.D.D" ('~ ~ ---- eS.B) 2=i 4='m ~ + + --

'2

el ( I,Rt.,~,.)~_ ~., (. , . ) + ~ , B.D.--~ ,~. ~. _ ~o S. )(E'D + B'D ~) - -

_ _ eA ~ ,~ ( ' ) . q ( s ) l ~ " E * % ie2 U(,)(.S(".[E • D]) ~ 3 ~ . - , ,~ - - , + 2ke

e~ l ~.)(i(S(" E) div E)]} ~ ' + ~ ~ (/7(,)+ -rot + .

Effectuons main tenan t la t ransformat ion canonique

(50)

ave0

1 O - -

(51)

et en t enan t compte de

1

(52) T~I T-* = -- ~I, , T~, T-I = -- ~l, , T~, T -I = - ~1.

Sur P6quat ion des ondes obtenue, on effectue une nouvelle t ransformat ion , du type Foldy-Wouthuysen . Les calculs sont les m6mes qu 'en th6orie de Dn~AC saul que la matr ice ~3 remplace la mat r ice 74 de DmAc. Comme on p a r t d ' un te rme impair (qui an t icommute avec ~3) en 1/m et que l 'on se l imite aux te rmes en l[m ~ une seule t ransformat ion suffit. Cela rev ient s implement ~ ne conserver

424 m. DURAND

que les termes pairs, eontenant ~ , et U~,~. On obtient ainsi

h h ~ f

Lk eri~e(S(')'[E• D ] ) - ).e ]} + ~ ( i ( 8 ( ~ ) . r o t E ) + d i v E ) ~ ,

off ~ est la nouvelle fonetion d'onde. En faisant apparaitre les op4rateurs P . = p ~ - - q A . avcc p~ ~ (h/2~i)~.

et el1 ne conservant que trois des 6 composantes (les 3 autres correspondant rantiparticule) on peut 6crire l'6q. (53) sous la forme canonique

h (54)

~ v e o

(55) H = qV + me t + 1 _ P~t ~ - - q h (1 + ~)(S.B) + 2m 2z~m

1 . 8g2m2e~

oh l 'on remplace ~ par 1 + 2u. On voit, sur (55)~ que l'op~rateur du moment magn6tique de la particule

s'4erit qh

(50) d~ = ~ (1 + ~)S .

Lo rapport gyromagn4tique est done g = 1 + 2 = 2(1 + u). Si on com- pare (55) g la formule (8) d6duite de la th6orie de Corben-Schwinger, on voit qu'fl n 'y a pas de terme quadrupolaire 61ectrique parasite. De plus le coef- ficient du terme en div E est en accord uvec la formule g6n6rale (14) (quand J----l).

4. - I n t r o d u c t i o n d 'un t e r m e quadrulmla ire ~lectr ique.

YOUNO et BLUDMAN (4) ont montr6 comment on pouvait introduire un terme quadrupolaire ind6pendant dans 1~ th6orie de Corben-Schwinger. Za m~me m6thode peut 6tre utflis6e avec nos formules (21) et (22). Elles s'bcrivent alors

idt (57) k~, - - Do~,,, + ~-~ Bcr.j ~" + ~,~(~rB t'') ~- O,

(58) k~t,.~ + [D,~o- -D.Tr] + ~-~ [~Ilt,,~B~j - TE.,jB~j] + ieQ~ T,(~,Bt~oj ) = 0 ,

off Q est un nombre r6el, sans dimension, caract6risant le moment quadrupolaire.

' I ' II] : :(H' ,IE A [ ( | ( ' ( )MI ' ( )SANTJ 'L~ l)l'] L A [*AI'~TICI'IA'] I ) E ~ [ ' I N UN 423

Sur ees 6qs. (57) et (58) on I )eut Ol)6rer e o m m c d a n s los S e c t i o n s p r6-

c6dcnts . Ol l 41imine les c o m p o s a n t e s n o n 6 v o l u t i v e s T4 e t ~/Jf.~ de l a f o n c t i o n

d ' o n d e . Pu i s on r a s s e m b l e les 5 q u a t i o n s o b t c n u e s d a n s u n e 4 q u a t i o n m a t r i -

cielle u n i q u e d ' o r d r e six. E n f i n on e f fec tue u n e t r a n s f o r m a t i o n d u t y p e F o l d y -

W o u t h u y s e n qu i 41imine los t e r m e s i m p a i r s . On t r o u v e a lors , q u ' g 1 ' app ro -

x i m a t i o n non r e l a t i v i s t e , on o b t i e n t e n c o r e (54), m a i s a v e c

(59) H = termes de (55) qQ Idiv E - F 1 }

L e d e u x i ~ m e t e r m e de l a p a r e n t h ~ s e d u s e c o n d m e m b r e de (59) es t b i e n

i d e n t i q u e s ce lui que l ' o n u t i l i s e en r ~ s o n a n c e q u a d r u p o l a i r e ~ lec t r ique . I1 y a

en p lus u n t e r m e en d i v g qu i n ' i n t e r v i e n t p a s en d e h o r s des sources d u c h a m p

41ec t romagn~t ique ex t~ r i eu r .

�9 R]~ S UM]~

Corben et Schwinger ont in t rodui t un param~t rc a rb i t ra i re 2 dans lea 4quations ten- sorielles de Proca aria d ' avo i r un r appor t gyromagndt iquc quclconque g = 1 + 2. A l ' approximat ion non relat ivis te , la theorie qu ' i ls ont propos~ in t rodui t un moment quadripolaire 41cotrique intrins~que reli6 au moment dipolaire magndt ique et nous montrons que le coefficient du te rme en d i v E , clans l 'Hami l ton ien , eat incorrect . L '~cri ture matr iciel le des equations sugg~re des formules diffdrentes, analogues ~ cclles de la par t icule de spin�89 Avec ces nouvelles formules & l ' approx imat ion non re la t ivis te , il n 'y a plus de moment quadrupola i re intr ins~que et on a un coefficient correct pour le termc en div E. On peut introduire , dans la nouvelle theorie, un moment quadru- polaire fix4 a priori ct non li4 au moment magndtique, comme Font indiqu4 Young et Bludman, pour la thdorie de Corben-Schwinger.

�9 R I A S ~ U N T O (')

Corben e Schwinger hanno in t rodot to un pa ramet ro 2 nel l 'equazione tensoriale di Proca, per ave r t un rappor to giromagnetico a rb i t ra r io g = 1-t-2. Nel l ' appross imazione non rclat ivist ica, appare nella lore teor ia un memento quadripolare e le t t r ico intriuscoo c i l coeffciente del termine con d iv E, ncl l 'hamil toniano, non ~ corrctto. La forma matriciale del la teoria suggerisco un ' a l t r a formula, analoga a quel la dclle part icel le di spin �89 Nell 'approssimazione non re la t iv is t ica non si ha a l lora nessun memento quadri- polare elct t r ico e i l cocffciente del termine div E A corretto. Si pub anche in~rodurre, nella nuova teoria, un memento quadripolare elet t r ico scelto a ;priori, come hanno fa t to Young e Bludman per la teoria di Corben-Schwinger.

(*) Traduzione a cura della t~edazione.

426 E. ~ U ~ A ~

T e o p s a c I 0 c o c r a e : m ~ o ~ ~ L ~ q a C T ~ CO CHEIilOM e~lEi l l [a .

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