Tle ES - programme 2012 ch.7 Ch.7 Lois de probabilité …rorthais.math.free.fr/0_Tle_ES/TleES_Cahier_eleves_ch7.pdf · = 0,152. Exercice n°21 page 230 f est la fonction définie

Tle ES - programme 2012 –mathématiques – ch.7 – cahier élève Page 1 sur 15

H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) http://www.sacrecoeur.nantes.e-lyco.fr

Ch.7 Lois de probabilité à densité

Variable aléatoire

Lorsqu'à chaque événement élémentaire d'une expérience aléatoire on associe un nombre réel, on dit que l'on définit une variable aléatoire. Lorsque a

1 , a

2 , …,a

n sont les valeurs prises par une variable aléatoire X, on note (X = a

i) l'événement « X prend la

valeur ai ».

Lorsqu'à chaque valeur ai (avec 1 i n) prise par une variable aléatoire X, on associe la probabilité de

l'événement (X = ai), on dit que l'on définit la loi de probabilité de X. On peut

la présenter à l'aide d'un tableau. On note que p

1 + p

2 + … + p

n = 1.

Valeur ai a

1 a

2 … a

n

p(X = ai) p

1 p

2 … p

n

L'espérance mathématique de X est le nombre noté E(X) défini par :

E(X) = a1 p(X = a

1) + a

2 p(X = a

2) + … + a

n p(X = a

n).

Questions-tests n°1 page 215 On lance un dé non pipé. On gagne 5 € si le 6 sort, on perd 2 € si le 1 sort et on perd 1 € dans les autres cas.

On note X la variable aléatoire qui à chaque événement élémentaire associe le gain positif ou négatif correspondant.

1) Donnez la loi de probabilité de X.

2) Déterminez l'espérance mathématique de X.

1) Loi de probabilité de X :

xi 5 –2 –1

p(X = xi)

1

6

1

6

4

6

2) E(X) = 5 1

6 + (–2)

1

6 + (–1)

4

6 =

–1

6 € .

Questions-tests n°2 page 215 On lance une pièce de monnaie non équilibrée. La probabilité d'apparition du côté pile est égale à 0,4 et celle du côté

face égale à 0,6. On gagne 1 € si pile sort et on perd 1 € si face sort.

On note X la variable aléatoire qui associe à chaque événement élémentaire le gain, positif ou négatif, correspondant.

1) Donnez la loi de probabilité de X.

2) Déterminez l'espérance mathématique de X.

1) Loi de probabilité de X :

xi 1 –1

p(X = xi) 0,4 0,6

2) E(X) = 1 0,4 + (–1) 0,6 = –0,2 .

Loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire pour laquelle on s'intéresse uniquement à la réalisation

d'un certain événement S (appelé « succès ») ou à sa non-réalisation S (appelé « échec »).

Plusieurs épreuves de Bernoulli successives, indépendantes les unes des autres, constituent un schéma de Bernoulli.

On considère un schéma de Bernoulli constitué par la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques. Pour chacune

d'elles, on note p la probabilité d'obtenir un succès S.

La loi binomiale B(n ; p) est la loi de probabilité de la variable aléatoire X comptant le nombre de succès.

Si X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p), alors :

p(X = k) =

n

k pk(1 – p)n – k (k n) ;

E(X) = np.

Questions-tests n°3 page 215

La variable aléatoire X suit la loi binomiale B

3 ,

1

4.

1) Calculez, à l'aide de la calculatrice, les 4 nombres

3

k pour k = 0, 1, 2 et 3.

2) Déduisez-en la loi de probabilité de X.

3) Calculez l'espérance mathématique de X.



1)

3

0 = 1 .

3

1 = 3 .

3

2 = 3 .

3

3 = 1 .

Triangle de Pascal pour calculer

n

p :

p

n 0 1 2 3

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

p

n

x y

x + y

2) p(X = 0) = 3

4

3

= 27

64

p(X = 1) = 3 1

4 3

4

2

= 27

64

p(X = 2) = 3 1

4

2

3

4 =

9

64

p(X = 3) = 1

4

3

= 1

64

Loi de probabilité de X :

xi 0 1 2 3

p(X = xi)

27

64

27

64

9

64

1

64

3) E(X) = n p = 3 1

4 =

3

4.

1 LOI À DENSITÉ SUR UN INTERVALLE I

1.1 Définition

La notion qui suit a été introduite en activité page 217.

DÉFINITION 1

X est une variable aléatoire à valeurs dans un intervalle I. On dit que X suit la loi à densité f si :

f est une fonction continue et positive sur I.

Pour tous réels a et b de I, p({a < X < b}) = a

b f (x) dx.

La fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X.

Remarque :

Dans le cas où I n'est pas borné, on admet que I f (x) dx est un nombre fini que l'on peut visualiser par

l'aire sous la courbe d'un « domaine infini » ; et que les propriétés usuelles de l'intégrale sont encore vraies dans ce cas : linéarité, relation de Chasles…

1.2 Propriétés

THÉORÈME 1

X est une variable aléatoire qui suit une loi à densité f sur I. Alors :

1) I f (x) dx = 1.

2) Pour tout réel a de I, p({X = a}) = 0.

3) Si A et B sont deux intervalles disjoints de I, alors p({X A B}) = p({X A}) + p({X B}).

4) Pour tout réel a de I, p({X < a}) = p({X a}).

Démonstration :

1) I f (x) dx = p({X I}). Or X prend toutes ses valeurs dans I, donc l'événement {X I} est

l'événement certain et p({X I}) = 1.

2) p({X = a}) = a

a f (x) dx = 0.

3) Les événements {X A} et {X B} sont disjoints puisque les intervalles A et B sont disjoints.

Donc p({X A B}) = p({X a}) + p({X B}).

4) L'événement {X A} est la réunion des deux événements {X < a} et {X = a}. Or ces deux événements

sont disjoints. Donc, d'après la propriété 3, p({X a}) = p({X < a}) + p({X = a}) et p({X = a}) = 0. D'où

le résultat.

Remarque importante :

Pour qu'une fonction f continue positive sur un intervalle I soit une densité de probabilité, il est nécessaire

que I f (x) dx = 1.



1.3 Exemple

Reprenons l'exercice présenté en activité p. 217 : on lance au hasard une flèche sur un disque D de rayon 1

mètre. Notons X la variable aléatoire qui associe à chaque point du disque sa distance au centre du disque.

Posons, pour tout x de [0 ; 1], f (x) = 2x. On a vu que X suit la loi de densité f sur [0 ; 1].

Exercice n°19 page 230 f est la fonction définie sur [0 ; 1] par f (x) = 3x2.

1) Justifiez que f est une fonction de densité de probabilité sur [0 ; 1].

2) X est une variable aléatoire qui suit la loi de densité f. Calculez les probabilités des événements suivants :

a)

X

0 ,

1

2 ; b) {X [0,4 ; 0,6]}.

1) f est continue et positive sur [0 ; 1].

0

1 f (x) dx = 0

1 3x2 dx = [x3]

1

0 = 1.

2) a) p

X

0 ,

1

2 =

1

22

03 dx x = [x3]

1

2

0 =

1

8.

b) p({X [0,4 ; 0,6]}) = 0,4

0,6 3x2 dx = [x3]

0,6

0,4 = 0,152 .

Exercice n°21 page 230 f est la fonction définie sur [–1 ; 1] par :

f (x) = 3

4 (1 – x2).

1) Justifiez que f est une fonction de densité de probabilité sur [–1 ; 1]. 2) X est une variable aléatoire qui suit la loi de densité f. Calculez les probabilités des événements suivants :

a) X [–1 ; 0] ; b) X

–1

2 ,

1

2.

1) f est continue et positive sur [0 ; 1].

–1

1 f (x) dx =

–1

1

3

4 (1 – x2) dx =

3

4

x –

x3

3 1

–1 =

3

4

1 –

1

3 –

3

4

–1 –

–1

3 =

1

2 –

–1

2 = 1.

2) a) p(X [–1 ; 0] =

–1

0

3

4 (1 – x2) dx =

3

4

x –

x3

3 0

–1 = 0 –

3

4

–1 –

–1

3 =

1

2.

b) p

X

–1

2 ,

1

2 =

1

221

2

31 d

4x x =

3

4

x –

x3

3

1

2–1

2

= 3

4

1

2 –

1

24 –

3

4

–1

2 +

1

24 =

3

4

11

24 –

3

4

–11

24 =

66

96 =

11

16.

Exercice n°22 page 230 f définie sur I = [0 ; a] par f (x) = 2x.

Déterminez a pour que f définisse une densité de probabilité sur I.

On a bien f positive et continue sur [0 ; 1].

0

a 2x dx = [x2] a

0 = a2 et on veut 0

a 2x dx = 1, soit a2 = 1, d’où a = 1 .

Exercice n°24 page 230 Déterminez a pour que f définisse une densité de probabilité sur I. f définie sur I = [–a ; a] par f (x) = x + 1.

On a bien f positive et continue sur

–1

2 ,

1

2.

–a

a (x + 1) dx =

x2

2 + x

a

–a =

a2

2 + a –

a2

2 – a = 2a.

On veut –a

a (x + 1) dx = 1, soit 2a = 1, et enfin a = 1

2.

Exercice n°26 page 230 f définie sur I = [0 ; 3] par f (x) = ax.

Déterminez a pour que f définisse une densité de probabilité sur I.

On a bien f positive et continue sur [0 ; 3].

0

3 ax dx =

ax2

2 3

0 =

9a

2 – 0 =

9a

2 .

On veut 0

3 ax dx = 1, soit

9a

2 = 1, puis a =

2

9.



Exercice n°28 page 230

1) Montrez que la fonction f définie sur [0 ; 2] par f (x) = x

2 est une densité de probabilité.

2) Soit X la variable aléatoire qui suit la loi de densité f sur [0 ; 2]. Calculez E(X) et V(X).

1) La fonction f est continue et positive sur [0 ; 2], et

0

2

x

2 dx =

x2

4 4

0 = 1 – 0 = 1.

2) E(X) =

0

2

x x

2 dx =

0

2

x2

2 dx =

x3

6 2

0 =

8

6 =

4

3.

V(X) = E

X –

4

3

2

=

0

2

x –

4

3

2

x

2 dx =

0

2

1

2 x3 –

4

3 x2 +

8

9 x dx =

1

8 x4 –

4

9 x3 +

4

9 x2

2

0

= 2 – 32

9 +

16

9 =

2

9.

Exercice n°33 page 231 On considère la fonction f définie sur [0 ; +[ par f (x) = 2x e–x2

.

On admet que f est une densité de probabilité. Soit X une variable aléatoire de densité f.

1) Déterminez la probabilité de p{{0 < X < 10}). 2) Déterminez le réel t tel que p({X < t}) = 0,8.

1) p{{0 < X < 10}) = 0

10 2x e–x2

dx = [–e–x2]

10

0 = –e–100 + 1 = 1 – e–100 1.

2) p({X < t}) = 0,8 équivaut à 0

t 2x e–x2

dx = 0,8, soit 1 – e–t2 = 0,8, ou encore e–t2 = 0,2.

On obtient t2 = –ln 0,2 1,61, soit t = –ln 0,2 1,26.

2 LOI UNIFORME SUR [a ; b] DÉFINITION 2

Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a ; b] si elle admet comme

densité de probabilité la fonction f définie sur [a ; b] par f (x) = 1

b – a .

On peut remarquer que a

b f (x) dx est égal à 1. En effet, a

b f (x) dx est l'aire « sous la courbe », c'est donc l'aire

du rectangle de côtés b – a et 1

b – a .

Exercice n°15 page 230 X suit la loi uniforme sur [0 ; 1]. Calculez : a) p({X [0 ; 0,25]}) ; b) p({X [0,3 ; 0,7]}).

a) p({X [0 ; 0,25]}) = 0,25 – 0

1 – 0 =

0,25

1 =

1

4.

b) p({X [0,3 ; 0,7]}) = 0,7 – 0,3

1 – 0 =

0,4

1 = 0,4 .

3 ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE

3.1 Définition

DÉFINITION 3

X est une variable aléatoire de densité f sur [a ; b]. Alors l'espérance mathématique de X est le nombre noté

E(X) défini par E(X) = a

b f (x) dx.

Remarque : Du cas discret au cas continu Dans le cas d'une variable aléatoire discrète, c'est-à-dire prenant un nombre fini de valeurs {x

1 , x

2 , … , x

n},

on sait que l'espérance mathématique de X, notée E(X), est définie ainsi :

E(X) = i = 1

i = n

xi p({X = x

i}).

On peut remarquer l'analogie entre les deux définitions. Quand on passe du cas discret au cas continu, le

symbole i = 1

i = n

devient a

b , et « p({X = xi}) » devient « f (x) dx ».



3.2 Espérance d'une loi uniforme

THÉORÈME 2

X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a ; b]. Alors E(X) = a + b

2 .

Démonstration :

La densité de probabilité de X est la fonction f : x 1

b – a . Donc :

E(X)=

a

b x

1

b – a dx =

1

b – a a

b x dx = 1

b – a

x2

2

b

a =

1

2(b – a) (b2 – a2) =

1

2(b – a) (b – a)(b – a) =

b + a

2 .

Exemple :

X suit une loi uniforme sur [0 ; 1]. Dans ce cas, a = 0 et b = 1 d'où E(X) = 1

2 .

Exercice n°16 page 230 X suit la loi uniforme sur [0 ; 5]. Calculez : a) p({X [0 ; 1]}) ; b) p({X [2 ; 4]}) ; c) E(X).

a) p({X [0 ; 1]}) = 1 – 0

5 – 0 =

1

5.

b) p({X [2 ; 4]}) = 4 – 2

5 – 0 =

2

5.

c) E(X) = 0 + 5

2 =

5

2.

Exercice n°29 page 230 X suit la loi uniforme sur [0 ; 1]. Calculez E(X) et V(X).

E(X) = 0 + 1

2 =

1

2 .

V(X) = E

X –

1

2

2

=

0

1

x –

1

2

2

1 dx =

0

1

x2 – x +

1

4 dx =

1

3 x3 –

1

2 x2 +

1

4 x

1

0

= 1

3 –

1

2 +

1

4 =

1

12.

OBJECTIF 1 : Connaître la fonction de densité de la loi uniforme

La fonction de densité de la loi uniforme sur [a ; b] est la fonction définie sur [a ; b] par f (x) = 1

b – a .

Si et vérifient a < < < b, alors p({ X }) = –

b – a .

Si X suit la loi uniforme sur [a ; b], alors E(X) = a + b

2 .

Exercice résolu n°A page 223 Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [0 ; 5].

1) Représentez graphiquement la fonction de densité de cette loi. 2) Calculez la probabilité de chacun des événements suivants :

a) {X [0 ; 2]} ; b) {X [0 ; 1] [3 ; 5]}.

Méthode Solution

1) La représentation graphique de f est un

segment parallèle à l'axe des abscisses.

On peut vérifier que 0

5 f (t) dt = 1.

1) La fonction de densité est la fonction définie sur [0 ; 5] par

f (x) = 1

5 .

2) La probabilité de l'événement {X [0 ; 2]}

est l'aire du domaine délimité par la courbe, la droite des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = 2.

2) a) p({X [0 ; 2]}) =

2

5 .

b) Les événements {X [0 ; 1]} et {X [3 ; 5]} sont

disjoints, donc p({X [0 ; 1]} {X [3 ; 5]}) =

p({X [0 ; 1]}) + p({X [3 ; 5]}) = 1

5 +

2

5 =

3

5.




Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [1 ; 7].

1) Représentez graphiquement la fonction de densité de cette loi. 2) Calculez la probabilité de chacun des événements suivants :

a) {X [1 ; 2]} ; b) {X [0 ; 1] [2 ; 3] [6 ; 7]} ; c) {X 5 ou X 4}.

3) Quelle est l'espérance de X ?

1)

2)

a) p({X [1 ; 2]}) = 2 – 1

7 – 1 =

1

6.

b) p({X [0 ; 1] [2 ; 3] [6 ; 7]}) = p({0 X 1}) + p({2 X 3}) + p({6 X 7}) = 3 1

6 =

1

2.

c) p({X 5 ou X 4]}) = 1 – p({4 < X < 5}) = 1 – 1

6 =

5

6.

3) E(X) = 1 + 7

2 = 4 .

Exercice n°2 page 223 Une variable aléatoire suit la loi uniforme sur [–2 ; 8]. 1) Représentez graphiquement la fonction de densité de cette loi. 2) Calculez la probabilité de chacun des événements suivants :

a) {X [–2 ; 0]} ; b) {X [–1 ; 0] [1 ; 2] [3 ; 8]} ; c) {1 X 2 ou X 1}.

3) Quelle est l'espérance de X ?

1)

2)

a) p({X [–2 ; 0]}) = 0 – (–2)

8 – (–2) =

2

10 =

1

5.

b) p({X [–1 ; 0] [1 ; 2] [3 ; 8]}) =

p({–1 X 0}) + p({1 X 2}) + p({3 X 8}) =

0 – (–1)

8 – (–2) +

2 – 1

8 – (–2) +

8 – 3

8 – (–2) =

1 + 1 + 5

10 =

7

10.

c) p({1 X 2 ou X 5}) = p({1 X 2}) + p({5 X 8}) = 1

10 +

3

10 =

4

10 =

2

5.

3) E(X) = –2 + 8

2 = 3 .

Exercice n°30 page 230 X suit la loi uniforme sur [0 ; 5]. Calculez E(X) et V(X).

E(X) = 0 + 5

2 =

5

2 .

V(X) = E

X –

5

2

2

=

0

5

x –

5

2

2

1

5 dx =

0

5

1

5 x2 – x +

5

4 dx =

1

15 x3 –

1

2 x2 +

5

4 x

5

0

= 25

3 –

25

2 +

25

4 =

25

12.

Exercice n°37 page 231 On choisit au hasard un nombre x de l'intervalle [0 ; 1]. Quelle est la probabilité des événements suivants ?



1) A : « la première décimale de x est nulle ».

2) B : « x est supérieur à 0,1 ».

3) C : « la somme des deux premières décimales de x est égale à 10 ».

On pose X la variable aléatoire qui donne la valeur du nombre choisi. X suit la loi uniforme sur [0 ; 1].

1) p(A) = p({X [0 ; 0,1[}) = 0,1 – 0

1 – 0 = 0,1 .

2) p(B) = p({X [0,1 ; 1]}) = 1 – 0,1

1 – 0 = 0,9 .

3) p(C) = p({X [0,19 ; 0,20[ [0,28 ; 0,29[ [0,37 ; 0,38[ … [0,91 ; 0,92]}).

On a neuf intervalles disjoints de longueur 0,01, donc :

p(C) = p({X [0,19 ; 0,20[}) + p({[0,28 ; 0,29[})+ p({[0,37 ; 0,38[})+ … + p({[0,91 ; 0,92]}).

p(C) = 9 0,01 = 0,09 .

Exercice n°38 page 231 On choisit au hasard un nombre de l'intervalle [0 ; 5].

1) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui associe au nombre choisi sa partie entière ?

2) Déterminez la probabilité de l'événement {X < 2}.

Aide

La partie entière d'un décimal x est l'entier immédiatement inférieur ou égal à x. Par exemple la partie entière de 3,75

est 3 et la partie entière de –3,75 est –4.

1) On note Y la variable aléatoire qui prend la valeur du nombre choisi ; Y suit la

loi uniforme sur [0 ; 5].

On a alors p({X = 0}) = p({Y [0 ; 1[}) = 1

5 , etc.

xi 0 1 2 3 4 5

p(X = xi)

1

5

1

5

1

5

1

5

1

5 0

2) p({X < 2}) = p({X = 0} {X = 1}) = 2 1

5 =

2

5.

Exercice n°40 page 231 Emma doit se rendre au supermarché. Son heure d'arrivée est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [11 ; 12], Emma restera 15 minutes dans le supermarché.

1) Calculez p({X > 11 h 15 min}).

2) Quelle est la probabilité qu'Emma puisse prendre connaissance de la vente promotionnelle que le supermarché va annoncer à partir de 11 h 45.

1) p({X > 11 h 15 min}) = 12 h – 11 h 15 min

12 h – 11 h =

45

60 =

3

4.

2) On veut {X > 11 h 30 min} car Emma va rester 15 minutes.

Or 11 h 30 min est la valeur centrale de [11 ; 12], donc la probabilité cherchée est égale à 1

2.

Exercice n°42 page 231 Pause-café Cet exercice est extrait du document d'accompagnement du programme. Olivier vient tous les matins entre 7 h et 7 h 45 chez Karine prendre un café. 1) Sachant qu'Olivier ne vient jamais en dehors de la plage horaire indiquée et qu'il peut arriver à tout instant avec les

mêmes chances, quelle densité peut-on attribuer à la variable aléatoire « heure d'arrivée d'Olivier » ? 2) Calculez la probabilité qu'Olivier sonne chez Karine :

après 7 h 30 ; avant 7 h 10 ; entre 7 h 20 et 7 h 22 ; à 7 h 30 exactement. 1) On note X la variable aléatoire « heure d’arrivée d’Olivier ».

X suit la loi uniforme sur [7 ; 7,75] donc de densité 1

0,75 =

4

3 .

2) p({X > 7,5}) = p({X [7 h 30 ; 7 h 45]}) =

15

45 =

1

3.

On a p(7 h X 7 h 10}) = 10

45 =

2

9.

On a p({7 h 20 X 7 h 22}) = 2

45.

On a p({X = 7,5}) = 0 .



4 LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE Cette notion a été introduite en activité page 216.

4.1 Définition

DÉFINITION 4

Une variable aléatoire de densité f sur IR suit la loi normale centrée

réduite si f (x) = 1

2 e

2

2

x

.

On note cette loi N(0 ; 1).

Sa courbe représentative Cf est donnée ci-contre.

Propriétés de la courbe C

f

Cette courbe peut être obtenue aisément à l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel. On peut remarquer que :

L'ordonnée du point A est égale à 1

2 car f (0) =

1

2 e0 =

1

2 .

Cf est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. En effet, deux points quelconques de cette courbe,

d'abscisses opposées a et –a, ont même ordonnée car e

2

2

a

= e

2( )

2

a

.

Remarque : L'aire du domaine « illimité » compris entre la courbe et l'axe des abscisses est égale à 1 puisque f est une

densité de probabilité. On note cette aire

–

+

1

2 e

2

2

x

dx.

4.2 Exemples

Les calculatrices donnent directement p({a X b}) (voir page 225). Ainsi par

exemple pour a = 1 et b = 2, on a p({1 X 2}) 0,14.

Ce nombre est égal à l'aire du domaine colorié ci-contre.

4.3 Probabilité de l'événement {X [–1,96 ; 1,96]}

On peut lire sur la calculatrice que p({–1,96 X 1,96}) 0,95.

Donc p({ X [–1,96 ; 1,96}) = 1 – p({–1,96 X 1,96}) 0,05.

Ceci signifie que –

1,96 f (x) dx + 1,96

+ f (x) dx 0,05 ; donc, en dehors de l'intervalle [–1,96 ; 1,96], l'aire sous la

courbe est très petite. On conçoit intuitivement que pour qu'il en soit ainsi, la courbe se rapproche « très vite » de l'axe des abscisses lorsque x devient de plus en plus grand.

Exercice n°3 page 224 X est une variable aléatoire qui suit la loi N(0 ; 1).

1) a) Représentez graphiquement les probabilités des événements suivants : A = {X 0} ; B = {0 X 1} ; C = {–1 X 0} ; D = {1 X < 2} ; E = {–2 X –1}.

b) Donnez une valeur approchée de ces probabilités. 2) Donnez une valeur approchée de la probabilité de l'événement {X [–1,96 ; 0]}.

1) a) Cf est la courbe représentative de la fonction de densité de la loi N(0 ; 1).

Pour chacun des événements, la probabilité est égale à l'aire du domaine située entre la courbe Cf et l'axe des

abscisses avec les conditions suivantes : Pour A : Domaine « à droite » de l'axe des ordonnées.

Pour B : Domaine situé entre les droites d'équations x = 0 et x = 1.

Pout C : Domaine situé entre les droites d'équations x = –1 et x = 0.

Pour D : Domaine situé entre les droites d'équations x = 1 et x = 2.

Pour E : Domaine situé entre les droites d'équations x = –2 et x = –1.

b) p(A) = 0,5 ; p(B) 0,34 ; p(C) 0,34 ; p(D) 0,136 ; p(E) 0,136 .



2) p({X [–1,96 ; 0]}) = 1

2 p({X [–1,96 ; 1,96]}) =

1

2 0,95 0,475 .


X est une variable aléatoire qui suit la loi normale N(0 ; 1). On sait que p

0 X

3

2 0,433.

On se propose de calculer p

X >

3

2.

1) Vérifiez que la courbe représentative de la densité de la loi normale N(0 ; 1) a l'allure

ci-contre. Remarque : Dans ce genre de problème, il est conseillé de dessiner l'allure de la courbe représentative de la densité de probabilité de la loi N(0 ; 1), même lorsque cela n'est pas explicitement demandé. Il convient de savoir que : la courbe est symétrique par rapport à la droite des ordonnées ; p(X [a ; b]) est égale à l'aire du domaine compris entre la courbe, la droite des

abscisses et les deux droites d'équations x = a et x = b ; l'aire du domaine « illimité » compris entre la courbe et la droite des abscisses est

égale à 1.

2) a) Expliquez pourquoi :

p

X >

3

2 + p

0 X

3

2 =

1

2 .

Indication. Utilisez la symétrie de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées et n'oubliez pas de préciser

que les événements

X > 3

2 et

0 X 3

2 sont disjoints.

b) Déduisez-en la valeur de p

X >

3

2.

1) 2)

a) On a

0 ,

3

2 [

3

2 , +[ = [0 ; +∞[.

p({X [0 ; +∞[}) = 0,5 et p

X

0 ,

3

2 ]

3

2 , +[ = p

X

0 ,

3

2 + p

X ] 3

2 , +∞[ car les deux

intervalles sont disjoints.

b) D’où : p

X > 3

2 1 – 0,433 0,066 .

Exercice n°67 page 237 X est une variable aléatoire qui suit la loi normale N(0 ; 1).

1) En utilisant le fait que la courbe représentative de la densité de probabilité de cette loi est symétrique par rapport à la droite des ordonnées, calculez la probabilité de chacun des événements suivants : a) (X 0). b) (X 0).

Indication. N'oubliez pas que p(– X +) = 1. 2) Quelle relation y a-t-il entre les deux nombres : p(0 X 3) et p(–3 X 0) ?

Indication. Utilisez l'allure de la courbe représentative de la densité de probabilité de la loi N(0 ; 1).

1) a) p({X 0}) = 0,5 .

b) p({X 0}) = 0,5 .

2) Ces deux nombres sont égaux car la courbe représentative de la densité est symétrique par rapport à la droite

d’équation x = 0.

OBJECTIF 2 : Connaître la fonction de densité de la loi normale N(0 ; 1)

La fonction de densité de la loi normale centrée, réduite N(0 ; 1)

est la fonction f définie sur IR par :

f (x) = 1

2 e

2

2

x

.

Sa courbe représentative est donnée ci-contre.

Si X suit la loi N(0 ; 1) :

p({X [–1,96 ; 1,96]}) 0,95.

Exercice résolu n°B page 224 X est une variable aléatoire qui suit la loi N(0 ; 1).



1) a) Représentez graphiquement les probabilités des événements {1 X 3} et {–3 X –1}.

b) Donnez une valeur approchée de ces probabilités. 2) Donnez une valeur approchée de la probabilité de l'événement X [0 ; 1,96].

Méthode Solution 1) a) On trace la représentation graphique de la fonction

de densité de la loi N(0 ; 1).

La probabilité de l'événement {a X b} est l'aire

du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = a et x = b.

1) a) La probabilité de l'événement {1 X 3}

est égale à l'aire du domaine hachuré.

b) La calculatrice permet de calculer p({a X b}).

On utilise la symétrie de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées.

b) p({1 X 3}) 0,157 3 . D'où, par

symétrie : p({–3 X –1}) 0,157 3 .

2) p({X [–1,96 ; 1,96]}) 0,95. 2) p({X [0 ; 1,96]}) =

1

2 p({X [–1,96 ; 1,96]}).

Or p({X [–1,96 ; 1,96]}) 0,95.

Donc p({X [0 ; 1,96]}) 0,475 .

Exercice n°4 page 224 X est une variable aléatoire qui suit la loi N(0 ; 1).

1) a) Représentez graphiquement les probabilités des événements suivants : A = {–1 X 1} ; B = {–2 X 2} ; C = {X 1} ; D = {X 1}.

b) Donnez une valeur approchée de ces probabilités.

2) Donnez une valeur approchée de la probabilité de l'événement {X [–1,96 ; 0]}.

1) a) Cf est la courbe représentative de la fonction de densité de la loi N(0 ; 1).

Pour chacun des événements, la probabilité est égale à l'aire du domaine situé entre la courbe Cf et l'axe des

abscisses avec les conditions suivantes : Pour A : Domaine situé entre les droites d'équations x = –1 et x = 1.

Pour B : Domaine situé entre les droites d'équations x = –2 et x = 2.

Pour C : Domaine situé « à droite » de la droite d'équation x = 1.

Pour D : Domaine situé « à gauche » de la droite d'équation x = 1.



b) p(A) 0,6827 ; p(B) 0,9545 ; p(C) = 1

2 ( )1 – p(A) 0,1587 ; p(D) = 1 – p(C) 0,8413 .

2) p({X [–1,96 ; 0]}) = 1

2 p({X [–1,96 ; 1,96]}) =

1

2 0,95 =

0,475 .

5 LOI NORMALE N( ; 2)

5.1 Définition

DÉFINITION 5

Une variable aléatoire X suit la loi normale N( ; 2) si X –

suit la loi normale N(0 ; 1).

Remarques :

1) On peut démontrer que si X suit la loi normale N( ; 2) alors la densité de probabilité de X est la

fonction f définie sur IR par f (x) = 1

2 e

21 X μ

2 σ

.

Cette expression algébrique n'est pas un attendu du programme.

2) La courbe d'équation y = f (x) est symétrique par

rapport à la droite d'équation x = .

En effet, considérons, pour a > 0, les réels + a et

– a symétriques par rapport à .

f ( + a) = 1

2 e

21

2 σ

a , f ( – a) =

1

2 e

21

2 σ

a .

Donc f ( + a) = f ( – a).

Les points A et B sont donc symétriques par rapport

à la droite d'équation x = .

5.2 Espérance et écart-type

DÉFINITION 6

X désigne une variable aléatoire de densité f sur I. Notons m = E(X).

Alors la variance de X, notée V(X) est le nombre défini par V(X) = E( )(X – m)2 .

L'écart-type de X est égal à V(X).

THÉORÈME 3

Si X suit la loi N( ; 2) alors : E(X) = µ V(X) = 2.

Démonstration : Nous admettons ce théorème.

Remarque :



Si X suit la loi N(0 ; 1), alors E(X) = 0 et V(X) = 1.

5.3 Interprétation de la variance

On peut vérifier à l'aide d'un logiciel que V(X) traduit la dispersion des valeurs de X par rapport à l'espérance .

Exemple :

Voici ci-dessous deux courbes représentant la densité de la loi normale N(0 ; 2) dans le cas où = 1 et où

= 2 :

= 1

= 2

Plus précisément, lorsque est petit « l'aire sous la courbe » est plus concentrée autour de l'espérance, égale à

.

La probabilité que X [–2 ; 2], dans le cas = 1, est plus grande que dans le cas = 2.

OBJECTIF 3 : Obtenir une probabilité dans le cadre d'une loi N( ; 2)

Si X est une variable aléatoire qui suit la loi N( ; 2), alors Y = X –

suit la loi N(0 ; 1).

Pour et connus, les calculatrices disposent de commandes spécifiques pour calculer :

- la probabilité de l'événement { X }, et étant donnés ;

- le réel x tel que p({X x}) = , étant donné.

T.I. Casio

p({ X }) 2nd Var 2 : normalFRép(, , , ) Menu F5 (DIST) F1 (NORM) F2

(NCD) ; Lower : , Upper : , puis et .

x tel que p(X x) = a 2nd Var 3 : FracNormale(a, , ) Menu F5 (DIST) F1 (NORM) F3

(InvN) ; Area : a, puis et .

Exercice résolu n°C page 225 La variable aléatoire X suit la loi normale N( ; 2) avec = 100 et = 10.

1) Calculez à l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur les probabilités des événements suivants : a) {90 X 120} ; b) {X 120}.

2) Calculez la probabilité de l'événement {90 X}.

3) Soit a un réel, on sait que la probabilité de l'événement {X a} est égale à 0,25. Déterminez a.

Méthode Solution 1) a) Pour une loi N( ; 2) la calculatrice

indique directement p(a X b}).

1) a) p({90 X 120}) 0,818 6.

b) Pour calculer la probabilité d'un événement du type {X c}, on se ramène à un calcul

de probabilité de la forme p({a < X < b})

donné par la calculatrice.

b) p({X 100}) =

1

2 .

Or ({X 100}) est la réunion de deux événements

disjoints {100 X 120} et {X 120} donc

p({X 120}) = 1

2 – p({100 X 120}).

Or p({100 X 120}) 0,477 2 donc

p({X 120}) 0,022 8.

2) On utilise les résultats de la question précédente.

2) {X 90} est la réunion de deux événements disjoints

{90 X 120} et {X 120}, d'où p({X 90}) 0,841 3.

3) La calculatrice donne la valeur de a tel que

p({X a}) ait une valeur connue.

3) On obtient a 93,26.

Exercice n°5 page 225 La variable aléatoire X suit la loi normale N( ; 2) avec = 2 et = 0,3.

1) Calculez à l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur les probabilités des événements suivants : a) {1,5 < X < 3} ; b) {X 3}.



2) Calculez de deux façons différentes la probabilité de l'événement {X < 1,5}.

3) Soit a un réel, on sait que la probabilité de l'événement {X a} est égale à 0,6. Déterminez a.

1) a) p({1,5 < X < 3}) 0,9518 .

b) p({X 3}) = 1

2 – p({2 < X < 3}) 0,000 43 .

2) p({X < 1,5}) = 1 – p({X 1,5) = 1 – ( )p({X 3) + p({1,5 X 3}) 0,048 .

p({X < 1,5)} = 1

2 – p({1,5 < X < 2}) 0,048 .

3) La calculatrice donne a 2,076 .

Exercice n°6 page 225 Le poids en kg des nouveaux nés à la naissance est une variable aléatoire X qui peut être modélisée par une loi normale

de moyenne = 3,3 et d'écart-type = 0,5.

1) Quelle est la probabilité qu'un nouveau-né pèse moins de 3 kg ?

2) a) Déterminez le poids x tel que p(X < x) = 0,99.

b) Déterminez le poids y tel que p(X > y) = 0,99.

1) p({X < 3}) = 0,5 – p({3 X 3,3}) 0,2743 .

2) a) x 4,463 .

b) p(X > y) = 1 – p(X y) d'où p(X y) = 0,01.

On obtient y 2,14 .

5.4 Probabilité des événements {X [ – ; + ]}, {X [ – 2 ; + 2]} et

{X [ – 3 ; + 3]}

THÉORÈME 4

X suit la loi normale N( ; 2). Alors :

p({X [ – ; + ]}) 0,68

p({X [ – 2 ; + 2]}) 0,95

p({X [ – 3 ; + 3]}) 0,997.

Démonstration :

Nous admettons ce théorème. Le logiciel GeoGebra permet de justifier ces valeurs : voir travaux dirigés page

251. Remarque :

Les trois probabilités précédentes 0,68, 0,95 et 0,997 ne dépendent ni de , ni de .

OBJECTIF 4 : Connaître la probabilité des événements {X [µ – ; µ + ],

{X [µ – 2 ; µ + 2] et {X [µ – 3 ; µ + 3]

X suit la loi normale N( ; 2).

Les résultats suivants sont utilisés dans de nombreux contextes ; ils peuvent être visualisés sur la figure ci-contre :

p( – X + ) 0,68 (à 10–2 près).

p( – 2 X + 2) 0,95 (à 10–2 près).

p( – 3 X + 3) 0,997 (à 10–3 près).

Exercice résolu n°D page 226 La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance = 1 000 et d'écart-type = 150.

1) Donnez sans calculatrice la probabilité des événements suivants : a) {X [850 ; 1 150]} ; b) {X [700 ; 1 300]} ; c) {X [550 ; 1 450]}.

2) Quelle est la probabilité de l'événement {X 850} ?

Méthode Solution 1) On applique les résultats du cours rappelés en 1) a) p({850 X 1 150}) =



haut de la page. p({ – X + }) donc p({850 X 1 150}) 0,68.

b) p({700 X 1 300}) =

p({ – 2 X + 2}) 0,95.

c) p({550 X 1 450}) =

p({ – 3 X + 3}) 0,997.

2) On se ramène à un calcul de probabilité de la forme p({a < X < b}). On peut aussi utiliser la

propriété

p({850 X 1 000}) = 1

2 p({850 X 1 150}).

2) p({X 850)} = p({X 1 000}) – p({850 X 1 000}).

Or 1 000 est la moyenne donc p({X 1 000} = 1

2 et

p({850 X 1 000}) = 1

2 p({850 X 1 150}) d'où

p({X 850}) 0,5 – 0,34 0,16.

Exercice n°7 page 226 La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance = 3 et d'écart-type 0,2.

1) Donnez sans calculatrice la probabilité des événements suivants : a) {X [2,8 ; 3,2]} ; b) {X [2,6 ; 3,4]} ; c) {X [2,4 ; 3,6]}.

2) Déduisez-en la probabilité de chacun des événements suivants : a) {X 2,6} ; b) {X 3,6} ; c) {2,6 X 3,6}.

1) a) p({X [2,8 ; 3,2]}) = p({ – X + }) 0,68 .

b) p({X [2,6 ; 3,4]}) = p({ – 2 X + 2}) 0,95 .

c) p({X [2,4 ; 3,6]}) = p({ – 3 X + 3}) 0,997 .

2) p({X 2,6}) = 1

2 ( )1 – p({2,6 X 3,4}) 0,025 .

p({X 3,6}) = 1

2 ( )1 – p({2,4 X 3,6}) 0,001 5 .

p({2,6 X 3,6}) = 1 – p({X 2,6}) – p({X 3,6}) 0,975 .

Exercice n°8 page 226 La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance = 5 et d'écart-type 0,35.

1) Donnez sans calculatrice la probabilité des événements suivants : a) {X [4,65 ; 5,35]} ; b) {X [3,95 ; 6,05]}.

2) Déduisez-en la probabilité des événements suivants : a) {X 5,35} ; b) {X 4,65} ; c) {X 3,95} ; d) {3,95 X 4,65}.

1) a) p([{X [4,65 ; 5,35]}) = p({ – X + }) 0,68 .

b) p([{X [3,95 ; 6,05]}) = p({ – 3 X – 3}) 0,997 .

2) a) p({X 5,35}) =

1

2 ( )1 – p({X [4,65 , 5,35]})

1 – 0,68

2 0,16 .

b) p({X 4,65}) = p([{X [4,65 ; 5,35]}) + p([{X 5,235]}) 0,68 + 0,16 0,84 .

c) p({X 3,95}) = 1

2 ( )1 – p({X [3,95 , 6,05]})

1 – 0,997

2 0,001 5 .

d) p({3,95 X 4,65}) = 1 – p({X 3,95}) – p({X 4,65}) 1 – 0,001 5 – 0,84 0,158 5 .

Exercice n°44 page 232 Chantier de construction On s'intéresse au chantier de construction d'un tronçon de TGV. Les travaux de terrassement nécessitent la mise à disposition d'une flotte importante de pelles sur chenilles et de camions-benne. On note X la variable aléatoire qui, à chaque pelle prélevée au hasard dans la flotte, associe

le nombre de mètres cubes de matériaux extraits pendant la première heure du chantier. On suppose que la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 120 et d'écart-type 10 1) Calculez p(110 X 130).

2) Calculez la probabilité que la pelle prélevée extraie moins de 100 m3 pendant la première heure du chantier.

1) p(110 X 130) = p({ – X + }) 0,68 .

2) p({X 100}) + p({100 X 140}) + p({X 140}) = 1

et par symétrie p({X 100}) = p({X 140}).

De plus p({100 X 140}) = p({ – 2 X + 2}) 0,95.

D’où : p({X 100}) 1 – 0,95

2 0,025 .



Exercice n°48 pages 232-233 Fabrique de jetons Une entreprise fabrique des jetons destinés à un établissement de jeux. On note D la variable aléatoire prenant pour

valeur le diamètre en millimètres des jetons et E la variable aléatoire prenant pour valeur l'épaisseur en millimètres des

jetons. On suppose que les variables aléatoires D et E sont indépendantes.

Le cahier des charges de cette entreprise indique que le diamètre doit être égal à 29 ± 0,4 mm et que l'épaisseur doit

être égale 2 ± 0,1 mm.

On admet que la variable aléatoire D suit la loi normale d'espérance 29 et d'écart-type 0,2 et que la variable aléatoire E

suit la loi normale d'espérance 2 et d'écart-type 0,04.

1) Calculez la probabilité qu'un jeton pris au hasard dans la production ait un diamètre conforme au cahier des charges. 2) Calculez la probabilité qu'un jeton pris au hasard dans la production ait une épaisseur conforme au cahier des

charges.

1) On cherche p({28,6 D 29,4}) = p({ – 2 D + 2}) 0,95 .

2) On cherche p({1,9 E 2,1}).

La calculatrice donne environ 0,987 6 .

Documents

Tle ES - programme 2012 ch.7 Ch.7 Lois de probabilité …rorthais.math.free.fr/0_Tle_ES/TleES_Cahier_eleves_ch7.pdf · = 0,152. Exercice n°21 page 230 f est la fonction définie