C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, S&ie I, p. 1221-1226, 1998 Syst&mes dy~arni~ues/~y~amjca~ Systems

Topologie locale des mgthodes de Newton cubiques : plan dynamique

Pascale ROESCH

UMPAI lkcolr ncn-male sup~ri~,ur~? tie Lyon, UMR 128 dn CNRS, 46, all& cl’Italie. 69364 Lyon cedrx 07, Franw Courriel : proesrh~umlla.ens-lyon.fr

(Rgu le 4 mai 1998, accept6 Ir 11 mai 1998)

R&urn& Pour une methode de Newton cubique IV, on obtient les theoremes suivants: 1) Le bord du bassin immediat de chaque point critique fixe est localement connexe. 2) L’ensemble de Julia J(N) est localement connexe d&s que N n’a aucun point periodique indifferent irrationnel, ou que IV n’a aucun disque de Siegel et que I’orbite du point critique non fixe ne s’accumule pas sur le bord des bassins immediats fixes. En particulier, ~~~n~~rernent a I’ensembie de Julia dun polyncime, .rjlv) peut $tre ~ocalement connexe meme si .V possede un point de Cremer p~~odique. Les demonstrations reposent sur la cous~uct~on de ~~~~~~~ ~rt~~~l~s, arcs samples t&s speciaux qui aboutissent sur J(N). 0 Acadgmie des Sciences/Elsevier, Paris

Local topology af cubic Newton methods: dynamical plan

Abstract. For a cubic Newton map IV, we obtain the following theorems: 1) The bounda CJ~ the immediate h&n ofeackfixed critical poinf is local!\! connected. 2) The Julia set ,J( N) is locally connected provided either N kus no irrational indjfferent periodic point or N bus no Siegel disc and the orbit of the non-fixed critical point doesn ‘t accumulate on /he boundary qf the fixed immediate basins. In particular, in contrast with JuEia sets of polynomials, J(N) can be Inca&y connected even if N has a periodic Cremer point. The pro&r reiy on the c~)r~.struct~~~n of’ articulated rays which are very special simple arcs Iond~ng on .1(H). 0 Academic des Scien~es~~sevier, Paris

Abridged fnglish Version

A cubic Newton map is a rational map N : C --+ t?, z I--+ x - P(z)/?(z), where P is a cubic polynomial. It has four critical points, the root ~:o of P” and the roots bl: bz, ha of P. Each bi

is a super-attracting fixed point and we denote by I3; its immediate basin. The Julia set J(N) is connected (see [71), and we study the local connectivity using a theorem of J.-C. Yoccoz ((31,

Note prksentke par Jew-Christophe Yoccoz.

0764-444219810326 122 1 0 Acadhie des ScienceslElsevier, Paris 1221

P. Roesch

[5], [6]) which reduces the problem to constructing Lzdmi.ysiblr graphs in the closure of the set

A’ = i? \ ?J &((1/2)b), w h ere ICD is the open unit disc and $,,: D --+ Bi is the Biittcher map. i=l

To establish the local connectivity of i3B, ([6], Theorem I), we use two types of graphs. Graphs of the first type have the form:

I(H) = IT(H) u (p&(o) u I?&)) u %jQ) n x), 0 E Q/z:

where l?(H) = dXU

( ivc,(Ir,(2’#) U&(-?‘I?)) nX

) and R,(q) = Q~({w’“~‘). T E (O,l[}).

Graphs of the second-type are derived from those of the first type essentially by replacing the rays Ri(O) by three articulated rcr.v.s. To define them, let us say that a subset d,! c c \ J(N) is of type i = i,ype ((2) E ( 1,2,3} and of depth p = prof (8) if N”(Q) c U, and Nq( (2) f? Di = @ for 0 < (I < p. Given two integers i # j E {l! 2: 3), an angle H E Q/Z, and a connected component Ci of the set IJ Npk(& U h’j), an urticulated mq’ of type %.%j stemming from li with the angle 0 is a

k 1 II curve L = U ik formed with (closures of) rays lk satisfying the following conditions:

k>O l lo is the ray of angle H in U, each IL, is a ray of type il or j and its closure shares exactly

one point with 11;.+1; 0 t,ype (&+2) = typf’ (&I) # type (/21;) and prof’(Iz~+z) = prof’(&+l) > prof (&). Graphs of the second type have the form:

II(<.H)=I’(H)ur(<)u i, (i.,,UH,($))“X). ,7=0

where < is a suitable angle and L1 , Lz, L4 are articulated rays forming a cycle of period 3 and converging to the end points of 123(1/‘7), &(2/7), &(4/7) respectively.

Applying the theorem of Yoccoz with these graphs yields the local connectivity of i)Bi when N is not renormalizable near ICC). If N is Lrenormalizable near ~(1 (i.e., if there exist discs U’, Ii > {:I:,~} such that N” : U’ -+ II is quadratic-like with a connected filled Julia set K) we construct new articulated rays converging to a point {j of K n OUi and separating dB; from K \ {/j).

To prove the local connectivity of the whole Julia set ([6], Theorem 2), we observe that, under our assumptions, either N is geometrically finite (a case which ‘is solved in [ 101) or all components of C \ J(N) are iterated preimages of the [I;. Since those have locally connected boundaries, it is enough to prove that their diameter tends to zero. If N is renormalizable at least twice near :x:~), the orbit of X:O stays away from ij ([4]. Theorem 7.10) and also from n.~. Then Proposition A.3 of [IO] yields the conclusion, since K n ??; c {ij). If N is renormalizable exactly once we use the known puzzles for quadratic polynomials and if N is not renormalizable we construct graphs of a third type combining those of the two first types.

Theorem 2 implies that *J(N) is locally connected in the following cases: N is infinitely renormalizable (in which case the associated quadratic map is also infinitely renormalizable) or N is renormalizable at least twice and K contains a Cremer point. As proven in [2], 161, both cases happen.

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MCthodes de Newton cubiques

On prksente ici quelques riisultats de connexitk locale pour l’ensemble de Julia des fractions rationnelles de degrk trois ayant trois points critiques fixes distincts (voir [6]). Toute fraction de ce type est analytiquement conjuguke 2 une mkthode de Newton N: e --+ e, z F----+ z - P(z)/P’(z)), oti P est un polynCime cubique. On note :JJO, (1,1, bz, b3 les quatre poins critiques de N : 3.0 est la racine de P” et bI1 hz, bs les racines de P. Chaque bi est un point fixe (W/W-nttructij) de N, son bassin d’attraction est I’ouvert & = :I: E e 1 N”(z) rl~-+

{ b; } et son hassin immkdiat est la

composante connexe l3, de 0, qui contient bi.

Pour l’ensemble de Julia touli entier, qui es1 connexe d’aprks 171, on obtient le :

THI%R~MB 2. - L’ensemhle de Julia ,I( N) est localement wnnexe au mains duns 1e.s cas suivants : I. N n ‘u pus de point pe’riodique indQj%ent irrationnel ; 2. N n’u MUCUS point pPriodique ind@rent irrutionnel hors de .J( N), et I’orbite positive de .cg ne

s’accumule sur le hard d’aucun bassin immkdiat II,.

Lorsqu’un polyn8me posskde: un point de Cremer, son ensemble de Julia n’est pas localement connexe (Douady-Sullivan, voir IS]). Par contraste :

COROLLAIRI< 3. - II e.x?stp ~1~~s mt+hodes clt) Newton cubiques a.yant un point de Cremer et dont I’en.semblc d(l Julia est localement conne..xe.

Dans la suite, on esquisse la dknonstration du thCor2me I. Si .I:U appartient B 6; ou si N(:IJ~) = w, l’ensemble de Julia .J(N) est localement connexe d’aprks [ I] et [IO]. On peut done supposer que :cIl $ 6,; U N --‘(‘%). II existe <;.tlors un unique homkomorphisme conforme (,!I~ : D -+ B, (oti D est le disque unit6 ouvert) qui conljugue N g z ++ z2. De plus, pour toute composante connexe lJ de ,!!, \ 13,. il existe un entier II 2 1 tel que N” : IJ + 13; soit un homComorphisme, et on note ci,c- : D + II l’inverse de (/I, ’ o Iv “.

STRAT~GIE. - Elle consiste, moyennant un thkorkme de J.-C. Yoccoz ([3], [S], [S]), h construire des

graphes udmissibles dans l’adhkrence de X = e \ c 4, ((l/2)9). Un graphe connexe tini r C s ,zz,

est admissible s’il contient ax, est stable (i.e. N-‘(I‘) > I’ n N-‘(X)) et ne rencontre pas l’orbite positive de :I:(~. Pour tout 3: E (1 N- “I (x \ I‘) et tout 71. > 0, Ia pike de profondeur 7~ contenunt :I:,

111 ;<u not&e I:,(.r), est la composantc connexe de .I’ dans W”(X \ 1‘) et on dit que :I‘ est bug& (& la profondeur n) si F,,+, (:I:) C I),, (:I:).

TH~OR~~ME DE YOCCWT,. - Soit I‘ un graphe admis.sible qui bagup “co. Si un point :c E .J( N) est injiniment bag& pur r (i.e. ti une in$nitP’ de prOJi,ndeur,s), I’intersection des piPce.s I’,, (:I:) cst wit un point, wit un c‘ompuc’t connexe, copie d’un ensemble de Julia quadratique rempli.

Le probkme principal est alors de baguer infiniment chaque point de iJBi par un graphe admissible baguant aussi :r(J (et dtkoupant des pikes dont l’intersection avec L)Bi soit connexe). Un pro&d6 diagonal montre qu’il suffit en fait de trouver un nombre fini de graphes admissibles baguant :I:O et tels que tout point de i313, soit bag& par l’un d’eux 2 une profondeur born&e.

Ob,servation.s prlliminaires. - Pour fii E R/Z, l’ensemble I&(H) = c’,, ({,R?‘“~ : I* E [O, I[}) est appel6 rayon d’angk # duns H, et, si H E Q/Z, II, (H) converge vers un point de iIB; quand 1’ + 1 (VOLT [ 1 I). De m&me, &l’ donne des rayons dans chaque composante li de &. On observe ensuite (voir 1’31) que les frontikrcs des trois bassins 13, se rencontrent en l’infini (c’cst le seul point

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fixe distinct des bi et les R,(O) doivent done y aboutir) mais que settlement deux d’entre elles se touchent ailleurs. On fixe la numerotation pour que ces deux bords soient d& et 3Bz et pour que Rl(O), R2(0), &(()I arrivent a l’infini dans l’ordre cyclique direct. On note alors G l’ensemble des t E W/Z tels que les rayons Rl(t),&(-t) convergent vers un m8me point, on ordonne R/Z en l’identifiant avec IO, l] et on definit l’angle de Head de N comme o = inf G.

LEMME 4. - L’angle IY est duns l’intervalle 30, 1/2[ et G contient tous les angles 0 E Q/Z ve’r$iant 2i0 > (2 pour tout i > 0 (inegalite’ clans w/Z ~10, 11).

Description des graphes. - Pour 0 E G II Q/Z, le graphe

l?(H) = dXU (

U(R42”H) UT&(-2’8)) nx i>o 1

est fini mais pas connexe car 8.X fl Bs est isole du reste. Un premier rem&de est de prendre

I(H) = r(H) u ((T&(O) u X2(0) uz3(0)) r-l x) .

Cependant, m&me en faisant varier k, on ne peut baguer les points proches de l’infini a une profondeur bomee avec ce type de graphes. On construit done un nouveau type de graphes en reliant 3X fl Bs a P(4) par des rayons articules pe’riodiques, courbes formees d’une infinite de rayons situ& darts des preimages de plus en plus profondes des D;.

DEFINITION 5. - On dit qu’une partie $ c C \ J(N) est de type i = type (0) E { 1,2,3} et de profondeur p = prof (Q) si W(C)) c B, et Nq(Q) n B; = D pour 0 5 (r < 1).

J&nt donne deux entiers i,j E {I, 2: 3}, % # .j, un angle H E Q/Z et une composante connexe Ii de U N-“(I?, u b’,), on appelle rayon articule de type i.,j issu de U wet un angle 6’ tome courbe

II>0 L = U tn. c c formee de (l’adherence de) rayons lk ayant les proprieds suivantes :

k20 1. lo est le rayon d’angle H dans lJ, chaque Ik est un rayon convergent de type i ou j et i, a

exactement un point en commun avec t,+, ; 2. type(b2k+2) = type(/2k+t) # type(I%k) et prof (/2k:+2) = prof (12k+j) > prof (Zzk). Un tel rayon articule est dit periodique de pe’riode p si Nr’( L) > L et prof (I) 2 prof (lo) pour

tout rayon 1 C W(L) \ I,.

PROPOSITION 6. - Soit < E GfI]tr, 2rvj un angle rationnel non diadique (I). I1 esiste un sextuplet de rayons articules (L1: . ! LG) vtrifiant les conditions suivantes : - chaque L; est de type 1~ 2 et converge vers le point d’aboutissement z; du rayon R,:j(i/7) ; - chaqur Li est X-pe’riodique et vPr$e N(L;) > Lj ou ,j = 21: (mod 7) ; - L1, L2. L:j sont issus de 132 avecpour angles respecnfs --C/4, -{I2 et -c/2 tandis que Lg, L:,, L,i

sont issus de B1 avec pour angles respectifs c/2, c/2 et C/4.

Pour 0 E G n Q/Z et C E G n [o. 2tr[ rationnel non diadique, on pose :

II(C,H) =r(H)ur(<)u 6 (L,. u&(5,) nX). ( j=O

LEMME 7. - Pour T’ > T > h + 1 > rn + 1, m grand, j tel que 2-j(l - l/(2”’ - 1)) E [ti. 2n[ et

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Mkthodes de Newton cubiques

les graphes II( c, O), I(V)> I( 7l’,l sont admissibles et baguent x0. De plus, tout point 3: de dB;, i E { 1.2)) est injiniment bag& par l’un d’eux et chaque intersection p, (:r) II 3Bi est connexe.

Connexite’ locale de i3B,, i E { 1,2}. - Pour :c E aBi, on prend le graphe donne par fe lemme 7. Compte tenu du theoreme de Yoccoz, on peut supposer que I’intersection des pieces m(z) est un compact connexe K(z), copie d’un ensemble de Julia quadratique rempli.

PROPOSITION 8. - IL existe un point /3 E 3Bi TI K( ,) x vers lequel convergent deux rayons articules L’, L” disjoints de K(z) U Bi, I’un de type 1! 3 et I’autre de type 2,s. De plus, on peut completer z’ U E” en une courbe de Jordan qui s&pare K(X) \ {,f”} de Bi.

Ainsi, K(X) n ijB, = (8) = (:I:} = n (p,(x) n i3Bi). n>o

Connexite’ locale de DBS. - Pour l’infini, soit II(I;, 0) un graphe admissible baguant 20. Comme P,(s) c Jb(oc7) et que z. $! PO(~), l’application N a une branche inverse 9: Pr(%) -+ E’s(w). Alors P,,(a) = yl’-’ (7, (~30)) et le lemme de Schwarz assure que n Pn(oc) = (x). Par transport,

n>o i3B3 est aussi localement connexe en chaque p&image iteree de l’infini.

Pour tout autre point z E i)B3, on considere un graphe I( l/2’“‘), ou l/2” E G n [a, 2n[, et on note PO la piece de profondeur 0 contenant i)E& \ {cc}. Au moins une de ses preimages par N*, qu’on note P2, rencontre i3B3 et verifie 7s c I’ Cl. On verifie que l’orbite de IC entre une infinite de fois dans p2 et que N”(P,,(r)) ne contient pas le point critique pour n - k: > 1. On obtient ainsi une suite r~,, -+ +o telle que iV”i : A,,, (:E) = I?,,, (:I:) \ m,+z(l:) - PO \ P, soit conforme. Les anneaux A,, , (2;) ont alors le m&me module, et n p’,, (z) = { :I:}.

A propos du the’oreme 2. - On dit que N est k-renormalisable en ~(1 s’il existe deux disques ouverts ii’: Ii I {ho} tels que IV” : IT’ -+ li soit a allure quadratique et que son ensemble de Julia rempli K soit connexe. Si N n’est pas renormalisable, on montre que .J(N) est localement connexe en baguant chaque point par un graphe du type 1(7]), II(<, e), III(<! 8,~)) = I(?/) U II(<, f?)

ou III”(C, 0.7) = I(*rj) u Ir*(<,H), ou

lI*(~.e)=I‘(H)uI’(~)u f (i7-,,uii,(y))nXj. L.

Si F est renormalisable et si ~:a n’est pas a_ttirC par un cycle (cas resolus dans [IO]), les composantes de C \ J(N) sont exactement celles des B+. Leur bord est localement connexe (theoreme I), et le theoreme de Torhost permet de conclure pourvu que leur diametre tend vers 0. Si k: designe le plus petit niveau de renormalisabilite de N, on montre que K = npn(zo) pour les graphes du lemme 7. D’aprbs la proposition 8, K n i3Bi c (,/3}, ou ,6 designe l’unique point fixe repulsif de Nk. Si N est renormalisable a differents niveaux, l’orbite de :cg reste dans K mais ne s’accumule pas sur /j ( [4], theorbme 7.10).

On controle alors les diametres grace a la proposition A.3 de [IO]. Si N est exactement une fois renormalisable, les graphes construits par J.-C. Yoccoz pour les polyndmes quadratiques fournissent un voisinage de /j dont le diametrt: des preimages it&&es par N,/; tend vers 0, ce qui permet de conclure.

(‘1 Le lemme 4 montre qu’il en existe.

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