BAC BLANC 2013

MATHÉMATIQUES

STI2D

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Durée de l’épreuve : 4 heures – Coefficient : 4

Ce sujet comporte 4 pages numérotées (celle-ci comprise).

L’usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.Un formulaire officiel de mathématiques (4 pages) est joint au sujet.

Le candidat doit traiter les 4 exercices.La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront

pour une part importante dans l’appréciation des copies.

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BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE

EXERCICE 1 (5 points = 1+0,5*8)

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O ; I ; J) d'unité graphique 2cm.

On note i le complexe de module 1 et d'argument π2

1) Résoudre l’équation z (1 – i √ 3)=4 où z est un nombre complexe.

Écrire cette solution sous sa forme algébrique.

2) Soit z1=1+i √3 et z2=z1×ei π

2.

On note A le point d’affixe z1 et B le point d’affixe z2.

a) Mettre sous forme exponentielle le nombre z1.

b) En déduire z2 sous sa forme exponentielle.

c) Sur papier millimétré, placer les points A et B dans le repère (O ; I ; J).

d) Calculer la longueur AB.

e) Montrer que le triangle OAB est rectangle et isocèle en O.

3) Soit z3 le nombre tel que z3 = z1 + z2.

a) Écrire z2 sous forme algébrique puis en déduire la forme algébrique de z3.

b) Ajouter le point C d’affixe z3 sur la figure.

c) Déterminer la nature du quadrilatère OACB.

EXERCICE 2 ( 5 points = 0,5+1+1+1+0,5+1)

On dispose de plaques d’un verre teinté de telle façon qu’un rayon lumineux perd 23 % de son intensité lumineuse en les traversant.

1) On appellera I0 l’intensité lumineuse du rayon avant la traversée du verre, et I1 celle du rayon après. Exprimer la valeur de I1 en fonction de I0.

2) On superpose n plaques de verre identiques. On note In l’intensité du rayon à la sortie de la nième plaque.

a) Comment peut-on calculer In+1 à partir de In ? Indiquer la formule de calcul.

b) Quelle est la nature de la suite (In) ? Préciser son premier terme et sa raison.

c) En déduire l’expression de In en fonction de I0 et de n.

3) Quelle est l’intensité initiale I0 d’un rayon d’intensité 15 après la traversée de 4 plaques ?

4) Quel est le nombre minimum de plaques que le rayon doit traverser pour que son intensité lumineuse soit divisée par 4 ?

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EXERCICE 3 (4 points = 1*4)

Étude graphique d’une fonction f

Voici la courbe C représentant la fonction f, définie sur l’intervalle I = ]0 ; +∞[ :

Par simple lecture graphique, répondre aux questions suivantes :

1) Dresser le tableau de variation de f sur l’intervalle I.

2) Tracer la tangente à C en x = 1. Que vaut f (1), et que vaut f’(1) ?

3) Estimer les limites de f (x) en 0 et en +∞.

4) Estimer la valeur de la solution de l’équation f (x) = 0.

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EXERCICE 4 (6 points = 0,5*2 + 1 + 0,5*8)

Étude d’une fonction

Soit f la fonction définie sur I=]0 ; ∞ [ par f ( x )=1+ln x

x et C sa courbe.

Remarque : C est la courbe déjà vue dans l’exercice 4.

1) a) En mettant1x

en facteur, déterminer la limite de f (x) en 0.

b) En déduire une asymptote de C.

2) Transformer l’expression de f (x) en une somme de deux fractions, et en déduire ainsi la limite de f (x) en ∞ et une seconde asymptote de C.

3) a) Déterminer sa dérivée f ' et montrer qu’elle est du signe de – ln(x) sur I.

b) En déduire le signe de f '(x) pour tout réel x appartenant à I.

c) Dresser le tableau de variation de f.

4) Déterminer l’équation de la tangente (T) à la courbe C au point d’abscisse 2 et tracer cette tangente.

5) Résoudre l’équation f (x) = 0.

6) Vérifier que les résultats obtenus sont compatibles avec ceux de l’exercice 3.

7) On se propose de chercher les primitives de la fonction f.

Pour cela, soit H ( x)=12(ln x )

2, fonction définie sur I=]0; ∞ [.

a) Calculer H’(x).

b) En déduire les primitives F de la fonction f sur I.

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