Atelier Régulation Industrielle ISET de Sousse

Hatem CHOUCHANE 1

TP N°2

Correction par PI et PID

1. Objectif

L’objectif de ce TP est de comparer deux correcteurs différents, un correcteur

Proportionnel Intégral (PI) et un correcteur Proportionnel Intégral Dérivé (PID).

2. Cahier des charges

Soit le système linéaire à temps continu représenté par sa fonction de transfert :

2)p51(

1)p(G

.

On souhaite introduire ce système dans une boucle de correction afin d’améliorer ses

performances. Le schéma de correction adopté est indiqué sur la figure suivante :

Figure 1 : Schéma en boucle fermée

)p(G)p(C)p(T : Fonction de transfert en boucle ouverte.

L’objectif de ce TP est de synthétiser le correcteur )p(C qui permet l’obtention des

caractéristiques suivantes :

Marge de phase : 45M ;

Bande passante : s/rd4.00 ;

Erreur statique de position nulle : 0)t(Limt

.

Marge de phase : 180)j(TArg)180()j(TArgM 11 avec 1)j(T 1

Pour avoir 45M , il faut que 135)j(TArg 1

3. Synthèse d’un correcteur PI

Dans cette 1ére

partie, on cherche à mettre en œuvre un correcteur Proportionnel Intégral :

pT

pT1K)p(C

i

i . L’action intégrale est choisie pour annuler l’erreur statique de position.

On peut ajuster la bande passante et la marge de phase avec le gain.

+ -

)( pS )( pE )p(C

)p( )p(G

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3.1 Synthèse

1) Tracer le lieu de Bode de )p(G .

2) Déterminer )j(GArg 2 pour s/rad4.02 .

3) Déterminer lim pour avoir 135)j(GArg lim .

4) Montrer que les spécifications pourront être satisfaites si on impose s/rad45.00 ,

avec 1)j(T 0 .

5) L’action intégrale agissant en basse fréquence, tout le problème consiste à savoir

jusqu’où on peut aller pour placer iT

1. Comme on ne veut pas que la phase de )p(G soit

touchée autour de s/rad45.00 (puisqu’elle satisfait la contrainte de marge de phase), il

faut que la phase du correcteur soit revenue à 0 dans cette zone. Ainsi le correcteur ne

viendra pas détruire la marge de phase. En imposant à 1

i )T( d’être inférieur d’au moins une

décade à s/rad45.00 . On choisit s/rd04.0)T( 1

i . Déterminer iT .

6) Pour s25Ti . Tracer le lieu de Bode de )p(T pour différentes valeurs de K .

7) Déterminer la valeur de K qui donne une marge de phase : 45M et une bande

passante : s/rd4.00 .

3.2 Analyse

Pour s25Ti et 4.5K .

1) Tracer le lieu de Bode de )p(T .

2) Déterminer la marge de phase et la bande passante.

3) Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée )p(H .

4) Tracer la réponse indicielle du système.

5) Déterminer le temps de réponse à %5 , le dépassement D%, le temps de pic PT et l’erreur

statique de position.

4. Synthèse d’un correcteur PID

Dans cette partie, on met en œuvre un correcteur Proportionnel Intégral Dérivé :

pT

pT

11K)p(C d

i

.

4.1 Préparation

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Montrer que pT1pT1p

K)p(C 21

0 , avec

i

0

i

di2

i

di1

T

KK

T

T411

2

TT

T

T411

2

TT

et

di

21

T4T

TT.

Dans le plan de Bode, il est plus simple de faire la synthèse en utilisant la forme

factorisée, c’est donc cette forme que nous utiliserons.

4.2 Synthèse

1) Tracer le lieu de Bode de )( pG .

2) Déterminer )j(GArg 0 pour s/rad8.00 .

3) Pour s5.0T2 , tracer le lieu de Bode de )pT1(*)p(G 2 .

4) Vérifier que la phase est correcte en s/rad8.00 .

5) Prendre s/rad08.0T

1

1

(soit une décade du s/rad8.00 ). Choisir 1T en conséquence.

6) Tracer le lieu de Bode de )p(T , avec s20T1 et s5.0T2 pour différentes valeurs de

0K .

7) Déterminer la valeur de 0K qui donne une marge de phase : 45M et une bande

passante : s/rd8.00 .

4.3 Analyse

Pour s20T1 s5.0T2 et 79.0K0 .

1) Tracer le lieu de Bode de )p(T .

2) Déterminer la marge de phase et la bande passante.

3) Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée )p(H .

4) Tracer la réponse indicielle du système

5) Déterminer :

le temps de réponse à %5 ;

le dépassement D% ;

le temps de pic PT ;

l’erreur statique de position.

5. Conclusion

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1) Compléter le tableau suivant :

PI

PID

Marge de phase : M ...... ......

Bande passante : 0 ...... ......

Temps de réponse à %5 : rt ...... ......

Dépassement : D% ...... ......

Temps de pic PT ...... ......

Erreur statique de position : )t(Limt

...... ......

2) Comparer les deux correcteurs.

3) Pour appliquer le correcteur à un système physique, à votre avis quelle est la solution la

plus adaptée? Conclure.

6. Quelques fonctions de Matlab

Fonctions Explication

% Est utilisé pour faire des commentaires.

; Pour éviter d’afficher le résultat.

clc Effacer le contenu de la fenêtre de commandes.

Figure(1) Ouvrir une fenêtre graphique N°1.

num=[bm bm-1 b1 b0]

den=[an an-1 a1 a0]

Définir le numérateur et du dénominateur d’une fonction de

transfert : 01

1

1

01

1

1

..........

........)(

asasasa

bsbsbsbsG

n

n

n

n

m

m

m

m

.

g = tf (num, den) Déterminer la fonction de transfert.

step(g) Tracer la réponse indicielle à un échelon unitaire de G(s).

max (step(h)) Déterminer la valeur maximale de la réponse.

h=feedback(t,1,-1) Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée.

w=logspace(-3,2,100) Définir un vecteur de pulsation.

)(gbode Tracer le lieu de Bode de G(s).

margin(g) Tracer le lieu de Bode avec marges.

Correcteur

Performance

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Remarques

Il est possible d'enregistrer le programme dans un fichier M-file et de le faire exécuter

par MATLAB.

En notation anglo-saxonne la variable complexe p est remplacée par s.

Pour plus de renseignements sur l’utilisation de ces fonctions et d’autres fonctions

disponibles sur Matlab, il suffit de taper :>>help nom de la fonction.