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Traitement du Signal -  · modélisation) et une analyse des signaux et des systèmes. Le traitement du signal a pour objectif la réalisation et l'interprétation des signaux porteurs

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Traitement du SignalJames L. Crowley

Deuxième Année ENSIMAG première Bimestre 2001/2002

Séance 3 : 8 octobre 2001

Numérisation des Signaux

Formule du Jour :............................................... 1

Signal et Information .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Représentation analogique et numérique.....................................3L'Énergie d'un Signal..............................................................5

Echantillonnage des Signaux ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Le modèle général d'un échantillonneur idéal.............................8

Formule du Jour :

La Fréquence Nyquist : fN = fe2 =

12Te

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Numérisation de Signaux Séance 3

Signal et Information

Définitions :

Signal : Une représentation physique de l’information.

Bruit : Tout phénomène perturbateur gênant l’interprétation d’un signal.

Sur le plan analytique :Un signal sera une fonction d'une variable réelle, en général le TEMPS.

Exemples :• signal audio x(t)• signal vidéo noir et blanc p(x,y,t) (mono-dimensionnelle et multi-variable )• signal vidéo couleur p(c,x,y,t) = [r(x,y,t) , v(x,y,t), b(x,y,t) ]

(multi-dimensionnelle et multi-variable)

Traitement du Signal : Théorie permettant d'effectuer une description (unemodélisation) et une analyse des signaux et des systèmes.

Le traitement du signal a pour objectif la réalisation et l'interprétation des signauxporteurs d'information.

Exemple : La Communication

Messagemi ∈ {M}

Codage + Transmission + Decodage +

Bruit de Codage Bruit de Transmission

Bruit de decodage

une chaîne de transmission dans laquelle le bruit s'ajoute au signal au niveau ducodage (émetteur) puis dans le canal de transmission (rayonnement, couplage) et auniveau du récepteur dans lequel on va faire du traitement du signal pour extrairenotre signal du bruit (information sans intérêt)

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Représentation analogique et numérique

Les signaux peut avoir une manifestation physique comme une force electro-magnétique (onde hertzienne), une voltage our current (dans une circuit), unechamp magnétique (une disquette) ou même par les formes physique (disquephonographique).

Les avances en moyen informatique (puissance de calcul) ont rendu possible leexpression et traitement de signaux en forme numérique. Mais pour numériser, ilfaut d'abord échantilloner. Nous allons voir que la passage analogique - numériqueimplique necessairement une perte d'information. Cette perte peut être minimiserpar l'application des outils adaptés.

TEMPS CONTINU TEMPS DISCRET

AMPLITUDE CONTINUE

AMPLITUDE DISCRETE

x(t)

t

x(n)

n

xq(t)

t

xq(n)

n

10

0 1 2

2

CLASSIFICATION MORPHOLOGIQUE DES SIGNAUX

Tout système de traitement de signaux faisant appel à un ordinateur ou à unprocesseur numérique spécialisé implique necessairement une opérationpréliminaire de conversion analogique-numérique (A/N).

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Linformation traitée est restituée sour forme analogique par une conversionNumérique-analogique (N/A) ( dit digital to analog ou A/D en Anglais).

t

x(t)

t

x(t)

t

x(n)4∆3∆2∆∆0–1∆–2∆

La conversion analogique numérique implique une échantillonnage suivie d'uneopération qui consiste à remplacer la valeur exacte analogique de l'échantillon parla plus proche valeur approximative extraite dun ensemble fini de valeurs discrètes.Cette opération s'appelle la quantification. ("digitizing" en anglais).

Chacune de ces valeurs discrètes est exprimée par un nombre sous forme binaire,par un codage approprié. Ce nombre est compris entre deux valeurs limites quifixent la plage de conversion.

Chaque nombre xk, représente un ensemble de valeurs analogiques contenues dansun intervalle de largeur ∆k appelé pas de quantification. Lorsque la plage deconversion est subdivisé en pas de quantification égaux, on parle de quantificationuniforme.

Un signal analogique est une fonction x(t) d'amplitude continue, définit sur tcontinue. Un signal numérique est une tableau x(n) d'amplitude discret définit pourt discrete. La passage x(t) -> x(n) ajout un bruit.

Le bruit d'un signal est mesuré par son enérgie.

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L'Énergie d'un Signal

L'énergie d'un signal, x(t), sur l'intervalle [t1, t2]:

Ws (t1, t2) = ∫t1

t 2

s 2(t) dt

ou pour un signal discrète, x(n) sur l'intervalle [N1, N2] :

Ws(N1, N2) = ∑n=N1

N 2 s 2(n)

l'énergie d'un signal est une caractéristique liée à la quantité de l'informationreprésentée.

La qualité d'un signal est souvent représentée par le rapport de l'énergie du signaldivisé par l'énergie du bruit, appelée "Rapport signal/bruit" (SNR en anglais).

pour x(t) = s(t) + n(t).

Le rapport signal sur bruit est défini par

ξ= WsWn

où Ws est l'énergie (2ieme Moment) du signal x(t) et

Wn est l'énergie (2ieme Moment) du bruit n(t)

Le SNR est souvent représenté avec une échelle logarithmique appeléedécibels et noté dB.

ξdB= 10 log10 ξ

Un facteur de 3 dB est équivalent à un facteur de 2

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Puissance moyenne d'un signal: (dimension carré de celle de x(t)).

Px (t1, t2) = 1

t1 – t 2 ∫

t1

t 2

x 2(t) dt

L'énergie totale et la puissance moyenne totale sont calculées sur tout l'intervalle detemps soit :

Wx = ∫–∞

∞ x 2(t) dt

Px = Lim T→ ∞

1T ∫

–T/2

T/2 x 2(t) dt

Si le signal est représenté par une fonction complexe de la variable t,on remplace x2(t) par | x(t)| 2

Une distinction peut être faite entre :

• Les signaux à énergie finie,• Les signaux à puissance moyenne finie non-nulle.

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Echantillonnage des Signaux

Soit un signal continu :

t

x(t)

Si l'on veut traiter un signal par voie numérique à l'aide d'un calculateur, il faut lereprésenter au préalable par une suite de valeurs numériques ponctuelles prélevéesrégulièrement ou irrégulièrement. Un tel prélèvement est appelé échantillonnage.

Une échantillonage représent un signal par une suite de valeurs ponctuelles :

t

x(t)

La représentation numérique des échantillons requiert une opérationcomplémentaire de quantification et de codage, dont la nature et les conséquencessont examinées dans le prochaine séance. L'ensemble réalise une fonction deconversion analogique-numérique A/N, (Dite Analog to Digital ou A/D en Anglais).

t

x(n)4∆3∆2∆∆0–1∆–2∆

Reversibilité : Seules les conditions théoriques, irréalisables parfaitement dans lapratique (voir théorème de Paley-Wiener), permettent une reconstitution exacte dusignal analogique à partir de ses échantillons. La procédure d'échantillonnageintroduit toujours une distorsion quil convient de limiter à un niveau acceptable.

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Le modèle général d'un échantillonneur idéal

Le modèle général d'un échantillonneur idéal est :

x(t) xei(t)

δTe(t)

xei(t) = x(t) . Te δΤe(t) = Te ∑n=∞

∞ x(t) δ(t – nTe)

par convention on dit que Te = 1, et que xei(n) = xei(nTe)

On peut assimiler théoriquement la suite idéale d'échantillons prélevés avec une

cadence fixe fe= 1Te

à un signal xei(t) obtenu par la multiplication du signal

analogique x(t) par une fonction d'échantillonnage idéalisée :

Le fonction peigne ("Unit Impulse Train" or "Sampling Function")

ei(t) = Te δΤe(t) = Te ∑n=-∞

∞ δ(t – nTe) =

1fe

∑n=-∞

∞ δ(t –

nfe

)

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