Traitement du Signal - Synthèse des filtres numériques

Traitement du SignalSynthèse des filtres numériques

20 octobre 2014

Nancy Bertin - [email protected] entièrement sponsorisé par l’IILaR

Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP

Introduction

On souhaite concevoir un filtre pour obtenir un effet donné surle signal (et sur son spectre) en vue d’une application.On souhaite que ce filtre soit réalisable en pratique (causal,stable, composé d’élements simples : additions, retards, gains).En particulier on se limitera ici aux filtres dont la fonction detransfert est une fraction rationnelle en z−1.

2 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014


Synthèse des filtres numériques

1 Spécifications des filtres numériques

2 Synthèse par la méthode de la fenêtre

3 Synthèse par la méthode de Remez

4 Synthèse de filtres RII

5 Introduction aux bancs de filtres

6 Travaux pratiques



Spécifications des filtres numériques

1 Spécifications des filtres numériquesSpécification par gabaritBestiaire des filtres numériquesDegrés de liberté et contraintes de phaseQualités désirables d’un filtre





6 Travaux pratiques



Gabarit d’un filtre

Il est habituel de définir le filtre que l’on souhaite réaliser parun gabarit du module de sa réponse en fréquence, caractérisépar :

La ou les fréquences de coupures (avec tolérances)Le gain dans la bande passante (avec tolérances)Le gain dans la bande atténuée (avec tolérances)

Les écarts au gabarit se traduisent par des ondulations (ripple)et l’existence d’une bande transition plus ou moins large(sharpness)Ce gabarit ne dit rien des contraintes que l’on peut vouloir sedonner sur la phase du filtre.



Exemple de gabarit

Illustration de Corinne Mailhes.



Synthèse par pôles et zéros

Une première idée pour réaliser ces gabarits est de s’appuyersur l’interprétation géométrique du diagramme pôles-zéros

placer des zéros proches du cercle unité dans la bande atténuéeplacer des pôles proches du cercle unité dans la bande passante

Simple et intuitif à bas ordre, mais peu efficacePour des filtres à ordre élevé il existe des algos et des abaques



Bestiaire des filtres numériques

D’un point de vue qualitatif grossier, on catégorise les filtresbasiques en fonction de leur action sur le spectre :

Filtre passe-bas (paramètre : fréquence de coupure)Filtre passe-haut (paramètre : fréquence de coupure)Filtre passe-bande (paramètres : bande passante)Filtre réjecteur (paramètres : bande coupée)

mais il existe une vaste terminologie pour des cas particuliers ouplus spécifiques (lisseur, moyenneur, dérivateur, en peigne...) quipeuvent “techniquement”entrer dans les catégories précédentes (cf.exemple de la moyenne glissante qui est aussi un passe-bas).



Filtre passe-bas

Un filtre passe-bas est un filtre qui préserve le contenufréquentiel jusqu’à une certaine fréquence et l’atténue au-delà.Filtre passe-bas idéal :

f

|H(f)|

fc−fc

RII (RI = sinus cardinal), non causal.Irréalisable en analogique (même avec des récursions : une TZrationnelle ne peut pas avoir une infinité de zéros).



Passe-bas d’ordre faible et gabarit

Passe-bas récursif d’ordre 1 : H(z) = 11+az−1 avec |a| < 1

a “proche de -1” dans le plan complexepas d’ondulations, bande passante étroitetransition molle, mauvaise atténuationréponse impulsionnelle infinie, distortion de phase

Exemple avec a = −0.95

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−80

−60

−40

−20

0

Normalized Frequency (×π rad/sample)

Pha

se (

degr

ees)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10

0

10

20

30


Mag

nitu

de (

dB)



Passe-bas d’ordre faible et gabarit

Passe-bas récursif d’ordre 2 : H(z) = 1(1+a1z−1+a2z−2)

pôles réels ou complexes conjugués (RI réelle)réponse impulsionnelle infinie, distortion de phase

Exemple avec a1 = −1.25 et a2 = 0.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−80

−60

−40

−20

0


Pha

se (

degr

ees)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10

0

10

20


Mag

nitu

de (

dB)



Filtre passe-haut

Un filtre passe-haut est un filtre qui atténue le contenu fréquentieljusqu’à une certaine fréquence et le préserve au-delà.

f

|H(f)|

fc−fc



Passe-haut d’ordre faible et gabarit

Passe-haut récursif d’ordre 1 : H(z) = 11+az−1 avec |a| < 1

a “proche de 1” dans le plan complexepas d’ondulations, bande passante étroitetransition molle, mauvaise atténuationréponse impulsionnelle infinie, distortion de phase

Exemple avec a = 0.95

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

20

40

60

80


Pha

se (

degr

ees)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10

0

10

20

30


Mag

nitu

de (

dB)



Filtre passe-bande

Un filtre passe-bande est un filtre qui préserve le contenu fréquentieldans une certaine bande de fréquences et l’atténue en dehors.

Peut être construit comme la combinaison d’un passe-bas etd’un passe-haut.Peut être construit par translation en fréquence d’un passe-bas.

f

|H(f)|

f2−f2 f1−f1



Filtre passe-bande d’ordre 2

Si a1(1 + a2) < 4a2

existence d’un maximum (élevé si les pôles se trouvent près ducercle unité)

fréquence de résonance : fR = 12π arccos(−a1(1+a2)

4a2)

surtension : HR = 1(1−a2)sin(2πfR)

la sélectivité en fréquence reste médiocre

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−100

−50

0

50


Pha

se (

degr

ees)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10

0

10

20


Mag

nitu

de (

dB)



Filtre réjecteur

Un filtre réjecteur de bande est un filtre qui préserve le contenufréquentiel hors d’une certaine bande de fréquences et l’atténue àl’intérieur. Exemple : l’inverse du filtre précédent.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−50

0

50

100


Pha

se (

degr

ees)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−20

−10

0

10


Mag

nitu

de (

dB)

Un meilleur réjecteur : H(z) = 1−e2iπν0z−1

1−ρe2iπν0z−1



Degrés de liberté et contraintes sur la phase

Le gabarit ne donne pas de contraintes sur la phase du filtre.En particulier, on peut toujours construire un filtre de mêmegain mais de réponse en phase différente grâce au théorèmesuivant :

Théorème.

Soit un filtre de fonction de transfert rationnelle H(z) = B(z)A(z) et

soit b un zéro du filtre.Alors, en remplaçant b par 1/b̄ dans B(z), on ne change pas lemodule de la réponse en fréquence du filtre.



Effets de la phase d’un filtre (+/- corrigé TP5)

Reprenons l’exemple du filtre passe-tout du cours 5 :

H(z) =z−1 − b̄1− bz−1

et appliquons-le au signal suivant :

t

x(t)

−1

1T0

t

x(t)

−1

1T0

t−1

1T0

t−1

1T0



Phase et effet du filtre passe-tout

Chacune des composantes du signal subit un déphasage différent.

t

x(t)

−1

1T0

t−1

1T0

t−1

1T0

La sortie (à gauche) est différente de l’entrée (à droite).

t

x(t)

−1

1T0

6=

t

x(t)

−1

1T0



Filtre à minimum de phase

Un moyen de contraindre la phase d’un filtre est de choisir, parmiceux ayant le même gain, le filtre à minimum de phase.

Définition. Filtre à minimum de phaseSoit H un filtre dont la fonction de transfert est une frationrationnelle. H est dit à minimum de phase si les pôles et leszéros de sa fonction de transfert sont à l’intérieur du cercle unitédans le plan complexe.

Remarques :

Parmi tous les filtres dont les fonctions de transfert ont le même gain, le filtre àminimum de phase Hmin est celui qui répond le plus “rapidement”, dans le sensoù, si x[n] est un signal causal et y = H(x) :

|ymin(0)| > |y(0)|,∑nk=−∞ |ymin(k)|2 >

∑nk=−∞ |y(k)|2

L’inverse d’un filtre causal, stable, à minimum de phase possède les mêmespropriétés.



Filtres à phase linéaire

On note H(e2iπf ) = G(f)e−iϕ(f) (gain et phase)Le retard subi par une composante à la fréquence f vaut :

τ(f) = − 1

2πϕ′(f)

Un filtre est dit à phase linéaire si l’argument de sa fonctionde transfert s’écrit :

ϕ(f) = ϕ0 + 2πfτ

Dans ce cas, toutes les composantes du signal d’entréesubissent le même retard.Il n’y a pas de distortion de phase (souhaitable danscertaines situations).



Filtres à phase linéaire en pratique

En pratique, deux cas sont intéressants :Si ϕ0 = 0 on obtient un filtre à phase linéaire si h[n] est réelleet symétrique.Si ϕ0 = π/2 le filtre est à phase linéaire si h[n] est réelle etantisymétrique.Cela implique de tronquer symétriquement autour de n = 0 etd’introduire un retard pour préserver la causalité.



Typologie des filtres à phase linéaire

Si l’on combine toutes les contraintes, on peut en fait exprimer tousles filtres RIF réels, causaux, stables à phase linéaire selon quatre“types” :

N impair N pairh symétrique Type I Type II

Tous filtres Pas de passe-hauth antisymétrique Type III Type IV

Ni passe-bas ni passe-haut Pas de passe-bas

Les conditions de parité permettent d’expliciter l’expression desfiltres (on utilise les formules d’Euler pour faire apparaître des sinusou des cosinus).



Exemple : filtre de type I

H(e2iπf ) =

N−1∑n=0

h[n]e2iπf

= h[N − 1

2]e(N−1)iπf +

(N−1)/2−1∑n=0

h[n]e2iπnf +

N−1∑n=(N−1)/2+1)

h[n]e2iπnf

Par changement d’indice n = N − 1−m et utilisation de la symétrie, on obtient :

H(e2iπf ) = e−2i(N−1)πf(N−1)/2∑n=0

a[n]cos(2nπf)

avec {a[0] = h[(N − 1)/2]

a[n] = 2h[(N − 1)/2− n]



Qualités désirables d’un filtre

Causalité et stabilitéCoût d’application (mémoire et calcul)Préférence aux RIFPhase linéaire(Sensibilité aux erreurs de précision numérique)(Architecture d’implémentation)



Synthèse par la méthode de la fenêtre


2 Synthèse par la méthode de la fenêtrePrincipe de la méthode de la fenêtreInfluence des paramètres




6 Travaux pratiques



Principe de la méthode de la fenêtre

Écrire la fonction de transfert idéale (sans oublier lapériodicité).Calculer sa réponse impulsionnelle (qui est infinie) pardécomposition en série de Fourier.La tronquer temporellement par l’application d’une fenêtre.Si nécessaire, ajouter un retard pour s’assurer de la causalitédu filtre.Le résultat est un filtre RIF dont la réponse dépend :

du type de fenêtrede sa longueur (ordre du filtre RIF)



Avec une fenêtre rectangulaire

Meilleure approximation de la RII (moindres carrés).Problème : phénomène de Gibbs → il peut être impossible derespecter le gabarit de cette manière.

(N = 4, N = 10, N = 50. Illustration tirée de (Prandoni et Vetterli, 2008).



Choix de la fenêtre

La forme de la fenêtre influe sur :La largeur de la bande de transition (convolution avec le lobeprincipal de la TF de la fenêtre)Les ondulations (convolution avec les lobes secondaires)



Exemple

Si l’on remplace la fenêtre rectangulaire par une fenêtre deHamming de même longueur, les ondulations sont réduites mais lapente de la transition diminue.

Illustration de Gaël Richard.



Fenêtres

Comme dans le cours 3, on peut choisir judicieusement la fenêtreen fonction des spécifications (mais il n’y aura pas de miracle :compromis entre ondulations et transition)

Nom Expression Lobe principal AtténuationPorte ΠN [n] 2/N -12dB

Triangulaire ΠN ? ΠN 4/N -25dBHamming 0.54− 0.46 cos( 2πn

N−1) 4/N -43dB

Hann 0.5(1− cos( 2πnN−1

)) 4/N -32dBBlackmann 0.42− 0.5 cos( 2πn

N−1) + 0.08 cos( 4πn

N−1) 6/N -67dB



Fenêtre de Kaiser-Bessel

La fenêtre de Kaiser-Bessel est une famille de fenêtres paramètréespermettant d’interpoler entre la fenêtre rectangulaire et la fenêtrede Blackman

wk[n] =I0

√A− ( 2n

N−1)2

I0(α)

I0 est la fonction de Bessel de première espèce, qu’onapproche en général par I0(x) = 1 +

∑+∞k=1((x/2)k/k!)2.

Longueur impaire, qu’on ajuste pour régler la bande detransitionα règle les ondulationsIl existe des méthodes empiriques pour déterminer N et α pourun gabarit donné.



Influence du paramètre de la fenêtre de Kaiser



Choix de l’ordre du filtre

Le choix de l’ordre du filtre (longueur de la troncature) influe sur laraideur de la pente de transition, le nombre d’ondulations, le retardà la sortie et la complexité du filtre.

Pour un filtre RIF à phase linéaire, on a la règle pifométrique :

M ≈ 2

3log10(

1

10δ1δ2

Fe∆f

)

Quand on utilise la méthode de la fenêtre on doit toujoursvérifier a posteriori que le gabarit est respecté.



Avantages et inconvénients de la méthode de la fenêtre

Le principal avantage de la méthode de la fenêtre est sasimplicité.Mais les ondulations en bande passante et atténuée ne sontpas constantes (le gabarit doit être respecté pour la plusgrande des ondulations)Les ondulations en bande passante et atténuée ne peuvent pasêtre contrôlées séparément.Beaucoup de pifomètre et d’essais-erreurs.



Synthèse par la méthode de Remez



3 Synthèse par la méthode de RemezPrincipe de la méthode de RemezUtilisation en pratique



6 Travaux pratiques



Méthode de Rémez : introduction

Méthode itérativeFormulation comme un problème d’optimisation pondéré ausens de ChebyshevProposé en 1896 pour calculer le polynôme de meilleureapproximation de degré inférieur ou égal à n d’une fonctionquelconque sur un intervalle compact, ce qui est exactementce qu’on cherche à faire pour synthétiser un filtre (mais Remezne connaissait pas le traitement du signal)



Formulation

Réponse souhaitée : HD(e2iπf

W (e2iπf ) : onction de pondération contrôlant les oscillationsdans la bande passante et la bande atténuée, par exemple :{

W (e2iπf ) = δ2/δ1 dans la bande passanteW (e2iπf ) = 1 dans la bande atténuée

On écrit le filtre courant H(e2iπf ) = Q(e2iπf )P (e2iπf ) avecP (e2iπf ) =

∑N−10 a[n]cos(2πnf)

On veut minimiser l’erreur entre HD et H :

E(e2iπf ) = W (e2iπf )(HD(e2iπf )−Q(e2iπfP (e2iπf )

)= W̃ (e2iπf )

(H̃D(e2iπf )− P (e2iπf )

)en minimisant sur les coefficients de P :

mina[n](maxf |E(e2iπf )|)38 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014


Théorème d’alternance

Théorème d’alternance

P (e2iπf ) est l’unique et meilleure approximation pondérée au sensde Chebyshev si et seulement si E(e2iπf ) possède au moins M + 1extrema alternés.



Algorithme

On choisit les M + 1 fréquences où l’erreur sera maximale.On se donne δ l’ondulation tolérée.W̃ (e2iπf )

(H̃D(e2iπf )− P (e2iπf )

)= (−1)iδ

En écrivant cette relation aux fréquences choisies on obtientune relation matricielle H̃D = AP où la matrice A ne dépendque des fréquences des extremaOn calcule A−1 puis P par interpolation de Lagrange.Les extrema de P ne sont pas forcément aux fréquenceschoisies au début → on les remplace et on itère jusqu’àconvergence.



Utilisation en pratique

Fonction remez de Scilab ou Matlab (ouf).Même avec optimisations incluses, méthode qui reste coûteuse(ne convient pas à la synthèse de filtre en temps-réel).



Synthèse de filtres RII




4 Synthèse de filtres RIINotionsEn pratique


6 Travaux pratiques



Synthèse de filtres RII

Juste un mot pour votre culture...La synthèse de filtres numériques RII s’appuie généralementsur le savoir-faire en synthèse de filtres analogiques.On conçoit un filtre analogique répondant aux spécifications,via sa transformée de Laplace.On passe de la transformée de Laplace à la transformée en Z,par exemple par la transformation bilinéaire :

p =2

Te

1− z−1

1 + z−1

Evite de faire joujou au pif avec les pôles et les zéros mais sortdu cadre de ce cours (et de mes compétences).Permet des implémentations rapides.



Exemples

Filtres de Butterworth :

|Hn(iω)| = 1√1 + (ω/ωc)2n

Chebyshev, elliptique, Bessel...



Filtres RII en pratique

... les fonctions qui vont bien en Scilab / Matlab ! ...Exemple : [b,a] = butter(n,Wn,ftype)



Introduction aux bancs de filtres





5 Introduction aux bancs de filtresDéfinitionsExemple

6 Travaux pratiques



Définition d’un banc de filtres

Définition. Banc de filtresUn banc de filtres est un ensemble de filtres (H0(z), . . . ,HM−1(z))tel que :

Les bandes passantes des filtres forment (+/-) une partition del’ensemble des fréquences.Les réponses en fréquence se déduisent les unes des autres parcertaines relations.

Par exemple : Hk(z) = H0(ze−2iπ/M ).



Décimation critique et traitement multicadence

Chaque sortie du filtre d’un banc est à bande étroite.On peut donc la décimer pour la traiter plus rapidement.Lorsque le facteur de décimation est égal au nombre de voies,on dit que le banc de filtres est à décimation critique.



Reconstruction parfaite

Un banc de filtres est dit “à reconstruction parfaite” s’il existe unensemble de filtres (dits “de synthèse”) qui, lorsqu’on les appliqueaux sorties du banc initial et qu’on somme leurs sorties, reconstruitparfaitement le signal d’entrée (à un retard près).



Illustration : schéma-bloc



Illustration : réponse en fréquence



Exemple

La TFCT est un banc de filtres à reconstruction parfaite :

X(ta, ν) =∑

nwa[n]x[ta + n]e−2iπνn

X(ta, νk) = (x ? hk)[ta] avec hk[n] = wa[−n]e2iπνkn

Réponse en fréquence de hk : Hk(e2iπν) = W̄a(e

2iπ(ν−νk))



Travaux pratiques

Réaliser plusieurs filtres passe-haut de fréquence de coupureF = 250Hz en utilisant les méthodes et outils vus en cours.Observez les réponses en fréquences, en phase, les réponsesimpulsionnelles.Les appliquer à phrase.wav, visualiser le spectre et écouter lesrésultats.Bonus : réaliser un filtre appliquant un effet de “flanger” (filtreen peigne) : H(z) = 1 + αz−K .


Documents

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