Transcendance de l'invariant modulaire en caractristique finie

  • Published on
    10-Jul-2016

  • View
    213

  • Download
    1

Transcript

  • Math. Z. 231, 7589 (1999)

    c Springer-Verlag 1999

    Transcendance de linvariant modulaireen caracteristique finieMohammed Ably, Laurent Denis, Francois RecherUniversite de Lille I, F-59655 Villeneuve dAscq, France (e-mail: recher@univ-lille1.fr)

    Received: October 22, 1997; in final form January 21, 1998

    Transcendence of the modular invariant in finite characteristicAbstract. LetJ be the Fourier expansion at infinity of themodular invariantj associated to a Drinfeld module of rank 2 defined on the algebraic closurek of Fq(T ) and t an element of the completion of k. Then at least one of thetwo elements t, J(t) is transcendental over Fq(T ).Mathematics Subject Classification (1991): 11G09, 11J85

    1. Motivations

    En 1996, K. Barre-Sirieix, G. Diaz, F. Gramain et G. Philibert [B-D] ontprouve la conjecture de Mahler-Manin :

    Theore`me: SoitJ le developpement deFourier a` linfini de linvariantmodulaire j, z un nombre complexe tel que 0 < jzj < 1. Alors lunau moins des deux nombres z, J(z) est transcendant.La theorie des formesmodulaires posse`de un analogue en caracteristique

    finie. Les courbes elliptiques sont remplacees par les modules de Drinfeldde rang 2. Rappelons le cadre de cette theorie. Soit Fq[T ] lanneau despolynomes en une indeterminee a` coefficients dans le corps fini a` q elements,k son corps des fractions, k1 le complete de k pour la place a` linfini etC le complete dune cloture algebrique de k1. Rappelons que la fonctionv(x) = deg x avec deg 0 = 1 definie sur k se prolonge en une uniquevaluation sur C qui est alors muni de la valeur absolue jxj = qdeg x.Definition 1 ([Dr] [D-H]). Un module de Drinfeld de rang d sur Fq[T ]est un morphisme Fq-lineaire injectif danneaux de Fq[T ] dans EndC(Ga)

  • 76 M. Ably et al.

    tel que(T ) = TF 0 + a1F + + adF d

    ou` les ai sont dans C, ad 6= 0 et F designe le Frobenius relatif a` q.On appelle e lunique fonction verifiant pour tout z dans C

    e(Tz) = (T )e(z);

    et de derivee 1 a` lorigine. Lensemble des zeros de e est alors un Fq[T ]-module libre de rang d note et on a

    e(z) = z

    2nf0g

    (1 z

    ):

    Reciproquement tout reseau de rang d dans C definit un unique module deDrinfeld de rang d.Definition 2. On dit que f est une isogenie entre deux modules et 0 si fest un homomorphisme non nul de Ga tel que pour tout a 2 Fq[T ]

    (a) f = f (a):Les modules et 0 sont isomorphes sil existe une isogenie inversible entre et 0 (cest-a`-dire une homothetie).

    Exemple : Pour d = 1, tous les modules de Drinfeld sont isomorphes aumodule de Carlitz defini par

    C(T ) = TF 0 + F:

    La fonction exponentielle eC a alors pour noyauFq[T ] ou` est un analoguede 2i.

    Dans la suite d = 2. Si on ecrit

    (T ) = TF 0 + gF + F 2;

    on constate que la quantite

    j = j() =gq+1

    ne depend que de la classe disomorphisme du module de Drinfeld .Sur le demi-plan superieur C k1 le groupe GL2(k1) agit par(

    a bc d

    )(z) =

    az + bcz + d

    :

    Si on note Fq[T ] Fq[T ]z le reseau normalise des periodes associe a`un module de Drinfeld, deux elements z et z0 definissent des modules de

  • Transcendance de linvariant modulaire 77

    Drinfeld isomorphes si et seulement si ils sont conjugues par GL2(Fq[T ])et j fournit une bijection entre GL2(Fq[T ])n(C k1) et C.

    Les formes modulaires sur C k1 se definissent comme dans le casclassique [Ge, 5.7]. Il existe un parame`tre (a` linfini)

    t(z) =1

    eC(z)

    tel que toute forme modulaire f ait un developpement

    f(z) =

    aiti(z)

    quand t(z) est assez petit. Les fonctions g et sont des formes modulairesde poids respectifs q 1 et q2 1. Il existe un reel positif c(q) = q1=(q1)permettant de definir la fonction J par J(t(z)) = j(z) pour tout z tel que0 < jt(z)j < c(q). Pour simplifier, J(t(z)) sera note J(t).

    Le but de ce texte est de montrer le theore`me suivant :

    Theore`me 1. Pour tout t tel que 0 < jtj < c(q), lun au moins des deuxnombres t et J(t) est transcendant sur k.

    La preuve est adaptee de celle de [B-D]. Elle diffe`re essentiellement endeux points. Les estimations deMahler des coefficients deJ sont remplaceespar des estimations sur les formes modulaires g et et les estimes dehauteur de polynomes modulaires [Co] sont remplaces par lanalogue etablipar Taguchi [T] de la variation de la hauteur dun module de Drinfeld sousisogenie.

    Au paragraphe 2 nous etablissons quelques analogues des proprietesarithmetiques liees a` linvariant modulaire. Ces resultats seront utilises auparagraphe 3 pour prouver le theore`me 1.

    2. Lemmes arithmetiques

    Verifions tout dabord lanalogue fonctionnel et necessaire du theore`me 1.

    Lemme 1. Les fonctions t et J(t) sont algebriquement independantes surC.

    Preuve. Soit P un polynome en deux variables tel que

    P (t; J(t)) = P(

    1eC(z)

    ; j(z))

    = 0:

  • 78 M. Ably et al.

    Un element z transcendant etant choisi, les eC(a(z)) sont distincts car :

    eC(a(z)) eC(a0(z)) = 0() z

    az + 1 z

    a0z + 1= b 2 Fq[T ]

    () (baa0 a0 + a)z2 + b(a + a0)z + b = 0 ;ce qui entrane que a = a0. Comme j est invariant sous laction deGL2(Fq[T ]) et celle des matrices

    a =(1 0a 1

    )

    avec a 2 Fq[T ], le polynome en X : P (X; j(z)) a une infinite de zeros etdonc est identiquement nul. De plus j est surjective donc prend une valeurtranscendante arbitraire et P est identiquement nul. ut

    Rappelons quelques proprietes des formes modulaires qui nous serontutiles dans la suite.Lemme 2. La C-alge`bre des formes modulaires de type 0 est lanneau depolynomes engendre par g et [Go]. La sous-alge`bre des formes ayantleurs coefficients dans Fq[T ] est engendree par g et convenablementnormalises. Les premiers termes du developpement en t de g et sontrespectivement 1 et tq1.

    Lanneau Fq[T ][g; ] est contenu dans lanneau des series formelles dutype

    f(t) = aj0

    mjt(q1)j

    ou` a 2 Fq[T ], mj 2 Fq[T ] et degmj j [Ge, Prop. 6.7].Dans le developpement de (resp. g), a = 1 (resp. a = T q T )

    convient.

    Remarque : On deduit des estimations de ce lemme que le rayon deconvergence de J(t) est superieur ou egal a` q1=(q1).

    Les fonctions automorphes de poids 0 sont comme dans le cas classique[L, Chap. 3 Par. 2] des fonctions meromorphes sur C k1 invariantessous laction de GL2(Fq[T ]). Le lemme suivant decrit le corps des fonctionsautomorphes.

    Lemme 3. Le corps des fonctions automorphes de poids 0 est C(j).Preuve. La preuve est similaire a` celle du cas standard, le fait que les formesmodulaires de poids 0 soient constantes resulte de [G-P]. ut

    Les lemmes suivants, bien connus, etablissent les proprietes arithme-tiques qui relient j(z) et j(az) pour a 2 Fq[T ].

  • Transcendance de linvariant modulaire 79

    Commencons par exhiber un syste`me de representants de B souslaction de GL2(Fq[T ]) ou` B designe pour B unitaire lensemble suiv-ant :

    B :={

    =(

    a bc d

    ); a; b; c; d 2 Fq[T ]; (a; b; c; d) = 1; det = B

    }:

    Prouvons tout dabord que toute matrice de B est dans la classe a` gauchedune matrice triangulaire superieure. Soient a; b; c; d les coefficients dunematrice de B . On choisit w et x dans Fq[T ] premiers entre eux tels quewa + xc = 0. Alors le theore`me de Bezout permet de prendre u et v telsque ux vw = 1. La matrice(

    u vw x

    ) (a bc d

    )

    est alors triangulaire superieure.Laction a` gauche de la matrice(

    1 0 1

    )

    et celle de Fq permettent de voir quun syste`me de representants est inclusdans

    B ={(

    a b0 d

    ); a; b; d 2 Fq[T ]; a unitaire;

    (a; b; d) = 1; deg b < deg d; ad = B}

    :

    Il est en fait facile de voir que deux elements distincts deB ne sont pasconjugues par laction de .

    Cherchons maintenant a` estimer (B) = Card B .

    Lemme 4. Posons :

    (e) := Card fx 2 Fq[T] ; x 6= 0; (e; x) = 1; deg x < deg eg :Alors, pour tout B unitaire

    (B) = jBj

    P irreductible, unitaireP jB

    (1 1jP j

    ):

    Nous en deduisons alors le cardinal cherche.

  • 80 M. Ably et al.

    Lemme 5.

    (B) = jBj

    P irreductible, unitaireP jB

    (1 +

    1jP j

    ):

    Donnons une majoration elementaire du cardinal In de lensemble despolynomes irreductibles unitaires de Fq[T ] de degre n :

    Lemme 6.

    In qn

    n+ 2qn=2 log2 n:

    Majorons maintenant (B):Lemme 7. Il existe un reel C > 0 tel que pour tout B 2 Fq[T ] unitaire :

    (B) CjBj log log jBj + C

    Preuve. Commencons par majorer le logarithme du produit :

    log

    P irreductible, unitaire

    P jB

    (1 +

    1jP j

    )

    P irreductible, unitaire

    P jB

    1jP j

    Estimons :

    P irreductible, unitaire

    jP j jBj

    1jP j =

    xlogq jBj

    degP x

    P irreductible, unitaire

    1jP j

    =

    xlogq jBj

    Ixqx

    Le lemme precedent nous donne :

    P irreductible, unitaire

    jP j jBj

    1jP j

    xlogq jBj

    1x+ 2qx=2 log2 x log log jBj+K

  • Transcendance de linvariant modulaire 81

    Donc: P irreductible, unitaire

    P jB

    1jP j

    P irreductible, unitairedegP [log log jBj]

    1jP j +

    P irreductible, unitaire

    P jB, degP [log log jBj]

    1jP j

    log log log jBj + K +degB

    x=[log log jBj]

    #fR 2 Fq[T ] ; degR = x; RjBgqx

    log log log jBj + K +degB

    x=[log log jBj]

    log jBjxqx

    :

    Le dernier terme est borne independamment de B. utPour montrer que j(z=B) est algebrique sur k(j(z)), nous etablirons

    quelques proprietes du polynome modulaire. Pour de la forme

    =(

    a bc d

    );

    avec (a; b; c; d) 2 Fq[T ], on notera

    (z) =az + bcz + d

    :

    Lemme 8. Le polynome

    B(X) =(B)i=1

    (X j i(z))

    ou` i parcourt le syste`me de representants de B est a` coefficients dansk[j(z)].

    Preuve. Pour la commodite du lecteur, nous donnons ici une preuve sinspi-rant de [L], on pourra egalement consulter [B].

    Les ji sont permutes sous laction deGL2(Fq[T ]) et sont des fonctionsholomorphes dont le seul pole est linfini. Donc, dapre`s le lemme 3, cesont des polynomes en j a` coefficients dans C. Comme j(z) est une seriede Laurent en 1=eC(z) a` coefficients dans k, j i(z) est une serie en1=eC (z=B) a` coefficients dans k (eC (=B)). Or Aut(k(eC (=B))=k)est compose dautomorphismes definis par r (eC (=B)) = eC (r=B)ou` r est premier avec B [Ca]. Comme les j i sont permutes par les r les

  • 82 M. Ably et al.

    coefficients de B sont des series de Laurent en 1=eC (z=B) a` coefficientsdans k. Comme

    C ((1=eC (z))) \ k((1=eC(

    z

    B

    ))) = k((1=eC(z)));

    car eC(z) = C(B)eC (z=B), les coefficients de B sont a` la fois despolynomes en j(z) a` coefficients dans C et des series en 1=eC(z) a` coeffi-cients dans k. Etant donne que j(z) est une serie en 1=eC(z) a` coefficientsdans k, la preuve du lemme suit . ut

    On dispose sur Pm(k) de la hauteur logarithmique et absolue de Weilusuelle, nous en rappelons la definition : si L est une extension finie de k dedegre l, la hauteur dun point P = (x0; : : : ; xm) de Pm(L) est donnee par :

    h(P ) =1l

    w

    d(w)maxfw(xi); 0 i mg;

    ou` la somme est etendue a` lensemble des places deL, d(w) designe le degreresiduel sur Fq en la place w normalisee par w(L) = Z [ f+1g. Cettehauteur est independante du corps L choisi. Nous rappelons les proprietes :

    h( + ) h() + h()h() h() + h()h(n) = jnjh()

    Pour tout 2 k, on designe encore par h() la hauteur logarithmiqueet absolue de Weil de h(1; ).

    Definition 3. La hauteur nave du module de Drinfeld de rang 2 defini surk :

    (T )(X) = TX + a1Xq + a2Xq2

    est definie parh() = max(1; h(a1); h(a2)):

    On dit que est normalise lorsque (T )(1) = 0.

    Pour tout module , il existe u 2 k tel que uu1 soit normalise. Lelemme suivant permet de relier la hauteur dun module normalise a` celle delinvariant modulaire.

    Lemme 9. Soit (T )(X) = TX + j1=(q+1)Xq + Xq2 ou` j1=(q+1) est uneracine q + 1-e`me de j fixee et u tel que u = uu1 soit normalise. Alorson a

    h(j)q + 1

    1 h(u) (1 +

    1q

    ) (h(j)q + 1

    + 1)

    :

  • Transcendance de linvariant modulaire 83

    Preuve. h(u) = max(1; h(j1=(q+1)u1q); h(u1q2)). Pour comparer h(j)

    et h(u), on ecrit la relation T + j1=(q+1)u1q + u1q2= 0 donc

    j1=(q+1) = uqq2 Tuq1;ce qui entrane par sous-additivite de la hauteur

    1q + 1

    h(j) (q2 1)h(u) + 1;

    qui donne la premie`re inegalite. De meme,

    u1q2= T j1=(q+1)u1q;

    (q 1)h(u) 1q(q + 1)

    h(j) +1q;

    et en utilisant

    h(u) 1 + 1q + 1

    h(j) + (q 1)h(u);

    on obtient la seconde inegalite. ut

    Lemme 10. Si f est une isogenie entre deux modules de Drinfeld et 0definis sur k dinvariant modulaire j et j0. Alors

    h(j0) 30(q2 1)(h(j) + logq deg f + 3):Preuve. Il existe une extension K de k sur laquelle et 0 sont normaliseset a` reduction stable [D-D, lemme 2.10]. Il existe une isogenie g duale de fde degre majore par celui de f [D-D, lemme 2.19]. Le theore`me de Taguchi[T] indique alors que

    hd(0) hd() + logq deg fou` hd est la hauteur differentielle (voir [T] pour la definition). Il nous reste a`comparer la hauteur differentielle a` la hauteur nave. On utilise les inegalites(v) et (vi) du lemme 2.14 de [D-D] :

    h() 4(q2 1)hd() + 8(q2 1) + 1

    hd() 5h() + 1;pour obtenir linegalite demandee. ut

    Rappelons quelques lemmes classiques qui seront utilises dans la preuvede transcendance.

  • 84 M. Ably et al.

    Lemme 11 (Siegel). Soitn

    j=1

    ai;jXj = 0; 1 i m

    un syste`me lineaire de m equations a` n inconnues (m < n), ou` les ai;j sontdans Fq[T ] de degre majore par A. Ce syste`me posse`de une solution nonidentiquement nulle x1; : : : ; xn dans (Fq[T ])n, avec

    max1jn

    deg xj mn mA + 1:

    Preuve. Il suffit de considerer lapplication :

    Fq[T ]n ! Fq[T ]m

    (x1; : : : ; xn) 7! n

    j=1

    a1;jxj ; : : : ;n

    j=1

    am;jxj

    et dappliquer le principe des tiroirs. ut

    Lemme 12 (Liouville). Soit P un polynome en n variables a` coefficientsdans Fq[T ] et 1; : : : ; n des elements de C contenus dans une extensionde k de degre au plus D. Alors si P (1; : : : ; n) est non nul, on a :

    degP (1; : : : ; n) Dn

    i=1

    (degXi P )h(i) D h(P )

    ou` h(P ) est le maximum des hauteurs des coefficients de P .Preuve. Pour 1; : : : ; n separables, on proce`de comme en caracteristiquezero (sans oublier que toutes les places sont ultrametriques). Sinon, on serame`ne a` ce cas en appliquant lenonce a` p

    e

    1 ; : : : ; pen ou` pe est le degre

    dinseparabilite (le resultat est aussi un corollaire direct de [M, lemme 4p.291]). ut

    3. Preuve du Theore`me 1

    Dans la suite, les constantes C1; : : : ; C9 dependent uniquement de q et dumodule de Drinfeld .

    On proce`de par labsurde. Supposons t et J(t) algebriques sur k. Lapreuve est en quatre etapes :

    1. On construit P (X; Y; Z) a` coefficients dans Fq[T ] non tous nuls,homoge`ne par rapport a` Y et Z tel que

  • Transcendance de linvariant modulaire 85

    degX P L1 et degY P = L2. F (t) = P (t; (t); (g(t))q+1) sannule a` lordre N en 0.Ceci est possible par le lemme de Siegel (lemme 11) de`s queN < L1L2

    et dapre`s le lemme 2 :

    h(P ) NL1L2 N

    (N

    q 1 + q(q + 1)L2)+ 1:

    On pose

    G(t) =F (t)

    (t)L2:

    Il existe alors un polynome Q(X; Y ) avec degX Q L1 et degY Q L2tel que

    Q(t; J(t)) = G(t):

    La fonction G sannule en 0 a` lordre M avec

    M N L2(q 1)dapre`s lordre dannulation de (lemme 2).

    2. Majoration de G(t).La fonction G secrit :

    G(t) = tNL2(q1)G1(t)

    ou` G1 est sans pole dans tout disque de centre 0 et de rayon C1 : 0 < C1 1=(q 1) :deg C(T )(x) = q deg x:

    Par recurrence sur n :

    deg C(Tn)(x) = qn deg x;

    et par linearite de C :

    deg C(a)(x) = qdeg a deg x: ut

    Nous supposons donc sans perte de generalite que jtj < q1=(q1).

  • Transcendance de linvariant modulaire 87

    Comme dapre`s le lemme 1, G nest pas identiquement nulle, il existea 2 Fq[T ] unitaire de degre minimal tel que G(ta) 6= 0.

    On pose

    W (Z) = ZMG(Z)

    s 2 Fq[T ] unitaire1 deg s < deg a

    t

    Z ts ;

    alorsjW (0)j = jg0j

    s 2 Fq[T ] unitaire1 deg s < deg a

    jtjjtsj1

    ou` g0 est le coefficient deZM dans le developpement deG. Or jtsj = jtjqdeg sdonc

    jW (0)j = jg0jjtjqdeg aq

    q1

    1i 0 telle que

    q2 deg a C4(h(P ) L2 logq C3):Dapre`s lestimation de h(P ), on a :

    q2 deg a C5(

    N2

    L1L2 N + L2 + 1)

    :

    Cette inegalite permet de controler lordre de grandeur de a.

    Application de linegalite de Liouville.Pour conclure la preuve, nous

    allons appliquer linegalite de Liouville au nombre algebrique non nulG(ta)et aboutir a` une contradiction par un choix convenable des parame`tres N ,L1 et L2.

  • 88 M. Ably et al.

    Rappelons que

    G(ta) = Q(ta; J(ta)):

    Puisque t et J(t) sont supposes algebriques sur k, les nombres algebriquest, J(t), ta et J(ta) sont, dapre`s les lemmes 7 et 8, dans une extension K dek de degre inferieur ou egal a`C6(jaj log log jaj+1). Le lemme de Liouville(lemme 12) nous donne alors

    logq jG(ta)j C6(jaj log log jaj + 1)

    (L1h(ta) + L2h(J(ta)) + h(P )

    ):

    Comme

    h(ta) = h(eC(az)) = h(C(a)(1=t));

    lutilisation de la hauteur canonique [De] entrane que cette quantite estmajoree par (C7h(t) + 1)jaj. Le lemme 10 nous apprend que

    h(J(ta)) C8h(J(t)) + logq jaj + 1;

    ce qui permet de reecrire linegalite de Liouville sous la forme : il existe uneconstante C9 > 0 telle que

    logq jG(ta)j C9(jaj log log jaj + 1)

    (

    L1jaj + L2 logq jaj +N2

    L1L2 N + L2 + 1)

    :

    Regardons maintenant la majoration de logq jG(t)j :

    logq jG(ta)j h(P ) + (N 2L2(q 1))jaj logq jtj L2 logq C3:

    On choisit maintenant L2 = N12+

    120 et L1 = N

    12 . En tenant compte de

    la majoration :

    q2 deg a C5(

    N2

    L1L2 N + L2 + 1)

    ;

    on aboutit, pour N assez grand, a` une contradiction. ut

  • Transcendance de linvariant modulaire 89

    References

    [B] Sunghan Bae. On the modular equation for Drinfeld modules of rank 2. J. NumberTheory 42: 123133 (1992)

    [B-D] Katia Barre-Sirieix, Guy Diaz, Francois Gramain et Georges Philibert. Une preuvede la conjecture de Mahler-Manin. Invent. Math. 124: 19 (1996)

    [Ca] Leonard Carlitz. The arithmetic of polynomials in Galois field. Amer. J. Math. 54:3950 (1932)

    [Co] Paula Cohen. On the coefficients of the transformation polynomials for the ellipticmodular function. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 95: 389402 (1984)

    [D-D] Sinnou David, Laurent Denis. Isogenie minimale entre modules de Drinfeld. Aparatre dans Math. Annalen 1999

    [De] Laurent Denis. Hauteurs canoniques et modules de Drinfeld. Math. Ann. 294: 213223 (1992)

    [D-H] Pierre Deligne, Dale Husemoller. Survey of Drinfeld modules. In Current trends inarithmetical algebraic geometry (Arcata, Calif., 1985). Amer. Math. Soc. (1987)

    [Dr] V.-G. Drinfeld. Elliptic modules. Mat. Sb. 94: 594627 (1974)[Ge] Ernst-Ulrich Gekeler. On the coefficients of Drinfeld modular forms. Invent. Math.

    93: 667700 (1988)[G-P] LotharGerritzen,Marius van der Put. Schottky groups andMumford curves. Lecture

    Notes in Mathematics 817. Springer-Verlag, 1980[Go] David Goss. The algebraists upper half-plane. Bull. Amer. Math. Soc. 2: 391415

    (1980)[L] Serge Lang. Elliptic Functions. Addison Wesley, 1973[M] Ralf Muller. Algebraische Unabhangigkeit der Werte gewisser Luckenreihen in

    nicht-archimedisch bewertetenKorpern. Bull. Amer.Math. Soc. 24: 288297 (1993)[T] Yuichiro Taguchi. Semi-simplicity of theGalois representations attached toDrinfeld

    modules over fields of infinite characteristics. J. Number Theory 44: 292314(1993)