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UE 2V314 Année Universitaire 2016-2017 TRAVAUX DIRIGES DE MATHEMATIQUES (T.D. 1 & 2) en hommage à Robert Costalat

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UE 2V314 Année Universitaire 2016-2017

TRAVAUX DIRIGES DE MATHEMATIQUES

(T.D. 1 & 2)

en hommage à Robert Costalat

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T.D. 1: une équation différentielle linéaire 0. Rappels mathématiques (à préparer avant la 1ère séance de TD) Résoudre les exercices sur les notions de mathématiques pour l’UE 2V314. I. Analyse compartimentale (I) : un compartiment avec un bolus de médicament On souhaite modéliser la cinétique d'un médicament M, en supposant : a) que le médicament est injecté par voie intraveineuse à partir du temps t = 0, b) que la cinétique du médicament dans l'organisme pourra être modélisée à l'aide d'un seul compartiment,

c) que le médicament se répartit de manière homogène dans un volume V, de valeur constante au cours du temps, d) que M est excrété ou métabolisé, le débit résultant étant égal au produit de la concentration de M présente dans le compartiment, C(t), par une constante k , e) que la durée de l'injection et celle de la répartition de M dans le volume V sont faibles en comparaison de la constante de temps caractéristique du processus de sortie de M hors du compartiment. 1) Discuter les hypothèses proposées. Etablir le schéma et l'équation différentielle correspondante. 2) Résoudre le système en supposant que la quantité injectée au temps t = 0 est égale à mg48 , avec

1jL.24 −=k et L12=V .

3) Exprimer ( )tCln en fonction de t. Conclure. II. Analyse compartimentale (II) : 1 compartiment avec entrée continue de médicament On souhaite modéliser la cinétique du même médicament qu'au I mais en supposant cette fois qu'il est perfusé à débit constant R . 1) Etablir le schéma et l'équation différentielle correspondante. On suppose que C(0) = 0. 2) Résoudre le système. Application numérique : 1mg.j120 −=R , 1jL.24 −=k et L12=V . III. Notions sur les nombres et complexes et diagonalisation d’une matrice d’ordre 2

Soit ℂ l’ensemble des nombres complexes défini par : ( ){ } 2 2 / , avec 1a ib a b i+ ∈ = −ℝ . La forme

algébrique d’un nombre complexe z s’écrit : = +z a ib où ∈ℝa est appelé « partie réelle » de z et noté Re[z] , et ∈ℝb est appelé « partie imaginaire » de z et noté Im[z].

1) Démontrer l’égalité : 1= −ii

.

2) On appelle conjugué de z a ib= + le nombre complexe z a ib= − . On considère les nombres

complexes : 12

1= −z

i et

2 1z z= . Ecrire 1z et

2z sous la forme : z a ib= + . Calculer : 3 1 2= +z z z ,

4 1 2= −z z z , 5 1 2=z z z , 16

2

=z

zz

et 2

17

zz

z= .

3) Soit P le plan rapporté à un repère orthonormé ( ), ,O 1 2e e .

Soit f l’application bijective de P vers ℂ qui à tout point M de coordonnées ( ),a b du plan P fait

correspondre l’affixe du point M : z a ib= + . Le plan P rapporté au repère orthonormé ( ), ,O 1 2e e et

muni de la bijection f est appelé plan complexe et le nombre complexe z a ib= + est appelé affixe

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du vecteur = +a b1 2v e e . Représenter dans le « plan complexe » les 7 nombres complexes de la

question précédente.

4) Soit P le plan complexe rapporté au repère orthonormé ( ), ,O 1 2e e , M le point de coordonnées

( ),a b , z a ib= + l’affixe du point M, autrement dit l’affixe du vecteur = +a b1 2OM e e . Vérifier que le

nombre complexe z a ib= + peut s’écrire sous la forme trigonométrique ( )cos sin= +z r iθ θ et exprimer

a et b en fonction de r et de θ , où +∈ℝr est appelé « module » de z, et ∈ℝθ , défini à un multiple entier de 2π près, est appelé « argument » de z. Préciser la signification géométrique de ces deux termes. 5) Ecrire les 7 nombres complexes de la question 2 sous forme trigonométrique. 6) Démontrer que tout nombre complexe de module r et d’argument θ peut s’écrire sous la forme

exponentielle : = iz reθ , en utilisant les formules d’Euler : pour tout réel θ ,

cos2

−+=i ie eθ θ

θ et

sin2

−−=i ie e

i

θ θθ . On mentionne également la formule de Moivre : pour tout entier relatif n et tout réel

θ , ( ) ( ) ( )cos sin cos sin=+ +ni n i nθ θ θ θ , utilisée dans le calcul des solutions des systèmes d’EDO.

7) Ecrire les nombres complexes 1z et 2z sous forme exponentielle puis recalculer les nombres

complexes 3z , 4z , 5z et 6z avec cette forme.

8) Application au calcul matriciel : diagonaliser les matrices 0 1

1 0

= − A et

1 1

1 1

= − B .

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TD 2 : Dynamiques complexes émergeant d’interactions entre deux variables I. Représentation de l’ensemble des solutions d’un système de 2 EDO couplées au moyen du flot du

champ de vecteurs : les portraits de phase

On considère le système d’équations

dxy

dtdy

xdt

= = −

(1) dans lequel x et y désignent deux variables réelles.

1. Représenter les nullclines du système. Expliquer comment ces nullclines permettent de conclure que le système admet un unique état stationnaire dont on donnera les coordonnées.

2. Représenter le flot du champ de vecteurs associé au système (1) au moyen de la méthode décrite en annexe I: on représentera, en particulier, le vecteur tangent aux solutions du système aux points évidés dans la figure ci-dessous dont les coordonnées sont : ( )0;1 ,

( )2 / 2; 2 / 2 , ( )1;0 , ( )2 / 2; 2 / 2− , ( )0; 1− , ( )2 / 2; 2 / 2− − , ( )1;0− et ( )2 / 2; 2 / 2− .

3. Utiliser ce flot pour expliquer les propriétés dynamiques du modèle.

II. Résolution algébrique des systèmes d’EDO linéaires à deux variables. On souhaite décrire à l’aide d’un modèle simple des interactions entre deux populations d’effectifs respectifs N1(t) et N2(t). Pour cela, on écrit le système d’équations suivant :

111 1 12 2

221 1 22 2

= + = +

dNa N a N

dtdN

a N a Ndt

(1)

a11, a12, a21 et a22 étant des constantes. 1) Réécrire le système (1) sous la forme matricielle :

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=d

dt

XAX (2)

2) Quelle est la signification biologique de chacune des situations suivantes (on pourra s’aider de la figure ci-dessous):

a) 12 21 0= =a a

b) 12 210, 0> >a a

c) 12 210, 0< <a a

d) 12 210, 0< >a a .

3) On pose 12 21 0= =a a . Résoudre le système en distinguant les différents cas possibles selon le signe de

a11 et celui de a22. IV. Etude complète d’un modèle de deux EDO linéaires couplées entre elles.

1) Calculer la solution générale du système (1) de l’exercice III en supposant que a11 = 1, a12 = 1,

a21 = -1 et a22 = 1. Représenter le flot du champ de vecteurs du modèle en utilisant la méthode étudiée dans l’exercice II.

2) Calculer la solution du problème de Cauchy obtenu en prenant pour valeurs initiales N1(0) =

N2(0) = 1.

ℝℝ

=0τ

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ANNEXE I : NOTIONS PRELIMINAIRES POUR L’EXERCICE II du TD2 Un système de 2 EDO linéaires couplées entre elles est de la forme

( )

( )

11 12 1

21 22 2

,

,

dxa x a y f x y

ddtdy dt

a x a y f x ydt

= + = ⇔ = = + =

XAX (I). Une solution particulière, ( )

( )( )

ss

s

x tt

y t

=

X , de (I) est une

trajectoire dans l’espace des phases du système, c’est à dire le plan xOy, satisfaisant une condition

initiale ( )( )( )

00

0

00

0

x t xt

y t y

= == = =

= =X X . Il s’ensuit que l’on connaît également la trajectoire pour toute

autre condition initiale appartenant à la trajectoire ( )sX t puisque que le système (I) a une unique

solution satisfaisant la condition initiale (c.f. théorème de Cauchy). Pour comprendre globalement les propriétés du système (I), il suffit donc, en principe, d’identifier les types de solutions particulières de ce système. L’idée peut sembler absurde car il existe autant de solutions ( )

s tX que de conditions initiales

0X , autrement dit un nombre infini de solutions. En réalité, il n’existe qu’un petit nombre de trajectoires

typiques dont le nombre et l’allure ne dépendent que des valeurs propres de A évaluées en un point stationnaire de (I). On peut identifier facilement ces trajectoires avec la méthode graphique suivante.

Les fonctions ( )1 ,f x y et ( )2 ,f x y définissent un champ de vecteurs dans le plan et

l’ensemble des trajectoires de (I) définit le flot de ce champ. Le flot est également appelé courant ou coulée car on peut l’interpréter par analogie au flot d’une rivière, une trajectoire de (I) correspondant au chemin suivi par une particule sans masse placée un point de la rivière à l’instant 0t = (penser, par exemple, aux bateaux de papiers que vous avez pu déposer au bord d’une rivière). On peut alors visualiser l’ensemble des trajectoires typiques en représentant les vecteurs du champ en quelques points du plan. On

considère le système

2

dxx y

dtdy

x ydt

= + = − +

(II) pour illustrer cette méthode.

Etape 1 En chaque point d’une rivière dont le flot d’eau serait décrit par le système (II), une particule sans masse serait animée du vecteur vitesse ( ) ( 2 )x yv v x y x y= + = + + − +v i j i j . Au point A(1,1), ce vecteur s’écrit

2A = +v i j et il est représenté sur la figure ‘Flot 1’.

Flot 1

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Ce vecteur indique la direction de la trajectoire partant du point A pour des temps t ‘petits’ car une trajectoire peut avoir une courbure (i.e. ne pas être une droite). Autrement dit, le vecteur Av ne reste, dans

le cas général, tangent à la trajectoire passant par le point A que pour des temps ‘petits’ et on choisit pour illustrer cette idée de le représenter par le petit vecteur épais de la figure.

Compréhension : vérifier que vous retrouvez les petits vecteurs obtenus de la même façon avec les points B(-1,1) et C(-2,1) sur la figure ‘Flot 1’.

Etape 2 L’extrémité du petit vecteur partant du point A se trouve approximativement au point A1(1,2 ;1,1) où l’on a

12A = +v i j . On calcule alors les composantes du vecteur v au point A1 pour représenter, de la même

façon qu’avec le point A, un petit vecteur colinéaire à 1Av pour trouver un nouveau point, A2 de la

trajectoire partant du point A2 … et on répète ces opérations jusqu’à obtenir le panneau A de la figure ‘Flot 2’.

Flot 2 La trajectoire partant du point A est finalement obtenue en reliant les points-flèches entre eux (panneau B de la figure ‘Flot 2’)

Compréhension : utiliser l’unicité et la continuité de la solution du problème de Cauchy pour justifier la Figure Flot 2B.

Etape 3 Pour finir de représenter le flot du champ de vecteurs, il suffit de reconstruire quelques autres trajectoires typiques du modèle comme celle illustrée sur la figure Flot 2B. Le plus simple est de considérer les 3 autres points du plan suivants : (1,-1), (-1,-1) et (-1,1) comme nouveaux points A. On obtient la figure Flot 3 qui indique que le point (0,0) est un état stationnaire instable du système d’EDO, autour duquel les trajectoires forment un vortex instable.

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Flot 3

Compréhension : les valeurs propres de la matrice 1 1

1 2

= − Α sont 1,2

3 3

2 2iλ = ∓ .

Vérifier que le flot de la figure Flot 3 correspond bien à des valeurs propres complexes dont la partie réelle est positive.

ANNEXE II : EXERCICES SUPPLEMENTAIRES I. Cinétique du VIH En 1995, David D. Ho et ses collaborateurs ont proposé un modèle pour interpréter leurs données sur la cinétique du VIH-1, avant et pendant traitement par un médicament antiviral (Ho D.D., Neumann A.U., Perelson A.S., Chen W., Leonard J.M., Markowitz M. (1995) Rapid turnover of plasma virions and CD4 lymphocytes in HIV-1 infection. Nature 373, 123-126). Ils ont posé :

= −dVp cV

dt (1)

V(t) étant la virémie ou concentration de virions (particules virales) dans le plasma (en nombre de virions par mL), le temps t étant exprimé en jours, p étant la production de virions par les cellules infectées (en nombre de virions par mL et par jour) ; c est une constante. 1. Dans l’équation (1), quelle est la fonction inconnue ? Quels sont les paramètres ? En quelles unités doit-on exprimer c ? 2. Avant le traitement par un antiviral (ABT-538), on a p>0, et on supposera que l’évolution de la virémie est suffisamment lente pour que l’on ait pratiquement un état stationnaire. Trouver cet état stationnaire. 3. Au temps t = 0, on institue le traitement par antiviral. On suppose pour simplifier que sous ce traitement, p=0. Ecrire l’équation différentielle valable pour 0≥t et la condition initiale en t=0. Résoudre l’équation différentielle. Calculer la demi-vie virale. Sachant que l’infection par le VIH a des propriétés très complexes encore mal comprises, que penser de ce modèle ?

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II. Analyse compartimentale (III) : 2 compartiments D’après Sapirstein L.A., Vidt D.G., Mandel M.J., Hanusek G. (1955) Volume of distribution and clearances of intravenously injected creatine in the dog. Am. J. Physiol. 181, 330-336. Le modèle de Sapirstein et coll. est basé sur les hypothèses suivantes : a) Un traceur se distribue dans l’organisme dans deux volumes constants V1 et V2. Les concentrations de traceur seront désignées par C1 et C2 respectivement. b) Le traceur est injecté à partir du temps t = 0 et se répartit d’abord dans le volume V1. Comme dans l’exercice I du TD I on suppose que la durée de l’injection et celle de la répartition dans le volume V1 sont faibles par rapport aux autres temps caractéristiques du problème étudié. La quantité injectée est Q0 (exprimée en mg). c) Le flux net ou débit net de traceur entre le compartiment V1 et le compartiment V2 est égal à

( )21 CCk − ; il est exprimé en mg.j-1. k est une constante strictement positive.

d) Le traceur sort du volume V1 avec un débit, exprimé en mg.j-1, égal à 1'Ck . k’ est une constante strictement positive.

1. Montrer que le bilan de masse du médicament conduit à formuler un système de deux équations différentielles de la forme :

( )

11 2

21 2

= − + = −

dCaC bC

dtdC

c C Cdt

(1)

a, b et c étant des constantes strictement positives. 2. Quelles sont les conditions initiales ? 3. Réécrire le système (1) sous la forme matricielle :

=d

dt

XAX (2)

4. Trouver les valeurs propres de la matrice A . 5. Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de A en prenant les valeurs numériques

1 11 2 10 L, 20 Lj , ' 30 Lj− −= = = =V V k k .

6. Résoudre le système avec les valeurs de paramètres données ci-dessus, en sachant que 0 20 mg=Q .

III. Modèle de rythme circadien On appelle rythme circadien l’ensemble des phénomènes biologiques périodiques dont la période est de 24h. Les mécanismes à la base de ce cycle sont encore incomplètement élucidés. On pense néanmoins qu’ils mettent en jeu une boucle de rétroaction négative. L’analogie physique la plus simple pour une telle boucle est celle d’une masse m glissant sans frottement sur un plan horizontal et reliée à un ressort de raideur k aligné sur le plan et attaché à un support vertical fixe.

1. En supposant que la force de rappel du ressort est donnée par la loi de Hooke (= −kxF i où i désigne un vecteur unitaire parallèle à l’axe Ox ; cette relation suppose que la position de la

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masse au repos est 0=x ), utiliser la seconde loi de Newton pour montrer que l’EDO régissant la position de la masse m s’écrit :

22

2ω= −d x

xdt

(1)

où /ω = k m.

2. Montrer que l’équation (1) peut être ramenée au système de deux EDO couplées, dans lequel on précisera la signification physique de la variable v :

= = −

dxv

dtdv

xdt

(2)

3. Résoudre le système (2) avec les conditions initiales ( ) ( )0 1, 0 0= = = =x t v t . Caractériser le

plan de phase associé au système (2). Quelle valeur doit-on donner à ω pour que (1) puisse représenter un modèle de rythme circadien ?

IV. Modèle de potentiel synaptique Le tableau ci-dessous reproduit les résultats de l’enregistrement du courant d’une synapse. Le temps t est exprimé en ms et le courant I en pA. Afin de modéliser la relation entre t et I, on propose d’étudier le système d’EDO suivant :

=d

dt

XAX , ( 1)

dans lequel 2

0 1

2α α

= − − A ,

1

2

=

x

xX et

1

2

/

/

=

dx dtd

dx dtdt

X.

t 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 I 0,007 0,165 0,2625 0,321 0,352 0,377 0,360 0,346

T 2 3 4 5 6 7 8

I 0,277 0,140 0,064 0,037 0,015 0,013 0

1. Montrer que A a deux valeurs propres réelles identiques. 2. Donner l’expression littérale de la solution de (1).

3. Appliquer ce résultat aux conditions initiales ( ) 10

0

= =

tX .

4. Représenter sur un même schéma la dynamique des variables 1x et 2−x pour 1α = ainsi que les

données expérimentales. Que pensez-vous de la capacité du modèle à reproduire les données ?