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SUPPLEM:]~NTO AL VOLUiY[E IV, SERIE X ~. 4, 1956 DEL NUOVO CI~ENTO 2 ~ Semestre Turbulence ionosph~rique et propagation des ondes ~lectromagn@tiques. T. KAHA~ Institu~ ttenri t)oincard - Paris i. -Dans cette conference d'ouverture je me propose d~exposer l~un des cha- pitres les plus modernes et les plus fascinants des reeherches ionosphSriques: la th~orie de la turbulence ionosph~rique. Elie met en jeu en effct un grand nombre de disciplines fort vari~es tellcs que la thSorie moderne de la turbu- lence hydro-et a~rodynamique~ la th~orie moderne des corrSlations statisti- ques, la th~orie de la diffusion des ondes ~leetromagn~tiques ainsi que la structure fine de l'ionosph~re elle-m~me. A Forigine des probl~mes relatifs ~ la turbulence ionosphSriques se trouve l~observation d~un nouveau mode de transmission de signaux radio41ectriques des distances de l'ordre de 1000 s 2000 km~ sur des frSquences de l'ordre de 50 MHz. Ce nouveau type de propagation se trouve ~tre ind~pendant des saisons, de l'hem'e du jour et des perturbations g@omagnStiqaes. Ces signaux s'observent lorsque route autre forme de transmission ionosph4rique est absente. Divers autcurs ont sugg4r~, ~ l'image de ce qai se passe en propagation tropo- sph4rique, que ce nouveau type de propagation serait pr~cisement dfi s la tur- bulence ionosph4rique de la couche E. L~ionosph~re est en effet le si~ge, tout comme la plupart des fluides r~els ,dans la nature, d'un ~tat turbulent permanent earactSris4 par des mouve- ments tourbillonaires ~l~atoires dent le vent repr4sente une sorte de v~leur moyenne. L'~nergie qul donne nuissance ~ ces tourbillons provient vraisem- blablement des radiations solaires et du passage des m~t~ores qui donnent lieu ~ une ionisation correspondante. Cette turbulence donne naissance ~ des ituctuations d~ns le temps et dans l'espace de routes les caruct~ristiques de l~ionosph~re et, en particulier, ~ des fluctuations de la densit4 @lectronique, donc en dernier ressort ~ des fluctuations de la constante di~lectrique: e~est en cela que consiste pr~eis~ment 1~ turbulence ionosph4rique.

Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

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Page 1: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

SUPPLEM:]~NTO AL VOLUiY[E IV, S E R I E X ~ . 4, 1 9 5 6

D E L NUOVO C I ~ E N T O 2 ~ S e m e s t r e

Turbulence ionosph~rique et propagation des ondes ~lectromagn@tiques.

T. KAHA~

Ins t i tu~ t t e n r i t )o incard - P a r i s

i . - D a n s cette conference d 'ouver ture je me propose d~exposer l~un des cha- pitres les plus modernes et les plus fascinants des reeherches ionosphSriques: la th~orie de la turbulence ionosph~rique. Elie met en jeu en effct un grand nombre de disciplines for t vari~es tellcs que la thSorie moderne de la turbu- lence h y d r o - e t a~rodynamique~ la th~orie moderne des corrSlations statisti- ques, la th~orie de la diffusion des ondes ~leetromagn~tiques ainsi que la s t ruc ture fine de l 'ionosph~re elle-m~me.

A Forigine des probl~mes relatifs ~ la turbulence ionosphSriques se t rouve l~observation d~un nouveau mode de transmission de signaux radio41ectriques

des distances de l 'ordre de 1000 s 2000 km~ sur des frSquences de l 'ordre de 50 MHz. Ce nouveau type de propagat ion se t rouve ~tre ind~pendant des saisons, de l 'hem'e du jour et des per turbat ions g@omagnStiqaes. Ces signaux s 'observent lorsque route autre forme de transmission ionosph4rique est absente. Divers autcurs ont sugg4r~, ~ l ' image de ce qai se passe en propagat ion tropo- sph4rique, que ce nouveau type de propagat ion serait pr~cisement dfi s la tur- bulence ionosph4rique de la couche E.

L~ionosph~re est en effet le si~ge, tou t comme la plupart des fluides r~els ,dans la nature, d 'un ~tat turbulent pe rmanent earactSris4 par des mouve- ments tourbillonaires ~l~atoires dent le ven t repr4sente une sorte de v~leur moyenne. L'~nergie qul donne nuissance ~ ces tourbillons provient vraisem- blablement des radiations solaires et du passage des m~t~ores qui donnent lieu ~ une ionisation correspondante. Cette turbulence donne naissance ~ des i tuctuations d~ns le temps et dans l 'espace de routes les caruct~ristiques de l~ionosph~re et, en particulier, ~ des fluctuations de la densit4 @lectronique, donc en dernier ressort ~ des fluctuations de la constante di~lectrique: e~est en cela que consiste pr~eis~ment 1~ turbulence ionosph4rique.

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TURBULENCE IONOSPH~RIQUE ET ~ROPAGATION DES ONDES EL~CTRO~AGN~TIQUES 1~5~

2 . - Ceci posS, fl est indispensable pour aborder la th@orie de la turbulence ionosphSrique d ' ana lyser de plus prSs les ph4nom~nes de la turbulence en g~n~ral. Si le halo de mystSre qui entoure le ph6nom~ne de turbulence n ' a pus encore ~t~ ent i~rement dissip~, f l a ~t~ n4anmoins consid~rablement ~elairci ces derni~res armies. Le nom bre de probl~mes en physique off le m o n v e m e n t turbulent ie l joue un r61e v a en croissant. L 'Schange de chaleur duns l ' a tmo- sphere, le scint i l lement de la ]umi~re stellaire, la diffusion des substances radio- actives, les eourunts oc~uniques, le m o u v e m e n t des nuages guzeux interstellaires e t peut-Stre jusqu ' aux oscillations de plusmu sont au tunt de ph~nomSnes o~ les caructSristiques de lu turbulence interviennent . I1 n ' e s t pus surprenunt que la turbulence soit onnipr~sente, car, duns route muti~re sons forme liquide ou gazeuse, et pour tou t nombre de Reynolds grand (ee qui est toujours le cas duns l 'uir et duns l 'eau pour d e s mouvemen t s plus ~tendus que l'Schelle du laborutoire) il est inevi table que l '4nergie cin~tique de lu muti~re se pr~sente sous forme turbulentiel le; tout aut re forme de m o u v e m e n t serait presque coup stir instable.

Lu tendance moderne est de regarder en g~n4ral le m o u v e m e n t turbulent ie l comme un syst~me de m4canique statist ique. Cette tendunee se justifie pa r le f~it qu' i l existe certains t ra i ts s tat is t iques communs s tons les types de turbulence.

Im~ginons, pour fixer les idles, un volume infini de fluide uniforme suscep- t ible d 'Stre curaet~ris4 de mani~re clussique pa r une densit4 @ et par des coeffi- cients de t r anspor t mol~culaire tels que lu viseosit4 ,u. Ce volume de fluide peu t 8tre le si~ge de diff~rents modes de m o u v e m e n t tels que ceux 4tudi~s en hydrody- namique. Sous eertuines conditions qui reviennent usuel lement ~ imposer que le coefficient de viscosit4 cin4mutique v (=/z/@) soit peti t , quelques-uns de ces mou- vemen t s sont tels que l~ vitesse en un point et ~ un ins tan t donn4s duns le sein du fluide ne se t rouve pus 8tre la m~me lorsqu 'on lu mesure ~ plusieurs reprises duns des conditions a p p a r e m m e n t identiques. Duns ces types de mou= vement , lu vitesse prend des vuleurs al~atoires qui ne sont pus d~termin~s pa r les donn~es du flux visible ou contr61able ou ~( macroscopique ~> bien que l 'on a.it l ' impression que les propri4tSs moyennes du m o u v e m e n t soient d~finies un iquement par ees donn@s. Des mouvemen t s f iuctuants de ce t ype sont dits turbulents . La turbulence est dire homog~ne quand les propri~t4s moyennes sont ind4pendantes de la posit ion duns le fiuide. Le p rob l~me qui se pose d@s lors est de comprendre le m~canisme et de d~termiuer ana ly t iquement les propri4t4s moyennes de ces types de mouvemen t .

Voici comment on arrive ~ la notion d'~chelle de turbulence. Proposons-nous, uvec J . B~ss, de mesurer, en un point donn~, la vitesse d 'un ~coulement per- m u n e n t et uniforme ~ l '@helle mucroscopique usuelle, s l 'uide d 'un ins t rument de mesure tel qu~un an~mom~tre (enregistreur de la vitesse du vent) ayun t des dimensions et une constunte de t emps d~termin4s et d 'une na ture assez

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1 3 5 4 T. KAHAN

id6ale pour ne pas pe r tu rbe r l '6coulement pa r sa pr6sence. S i e e t an6mom6tre est suff isamment grand, il mesurera la vitesse d 'ensemble du fluide. S'fl est ex t r6mement peti t , on peu t imaginer quail fonctionne d~une fagon discontinue, n e snbissant jamais l ' infiuence de plus d 'une mol6cuie ~ la lois. En t r e ces deux extr4mes~ les indications de l ' an6mom6tre d6pendront de la s t ructure du fluide. I1 peu t arr iver exeept ionnel lement que, lorsqu 'on diminue progress ivement ses dimensions, la vi tesse qu' i l indique reste immuable , jusqu~au m o m e n t off l ' infiuenee individuelle des mol6eules commence ~ se faire sentir et off les indi- cations perdent route signification st~tistique. On dit alors que F6eoulement est laminaire. ~ais~ en g6n6rM, les ehoses se passent au t rement . Pa r tons d~un premier an6mom6tre qui, par ses dimensions, nous fixe une certaine gchelle de mesure. Cet an6mom6tre mesurers la v~tesse moyenne des mol6eules, dans un certain volume V. Remplagons- le sueeessivement pa r des an6mom6tres plus pet i ts de telle fagon qne V diminue progress ivement . I1 arr ive que, ~ par t i r d 'une certaine valeur V~ de V, Pindieation num6rique fonrnie pa r Fan6mo- m6tre change. Si l 'on continue ~ diminuer V, la nouvelle indication reste stable jusqn '~ une eertaine valeur V~ puis change s nouveau, et ainsi de suite. Les

intervalles (VI, V2), (V~, Vs)... earaet6risent les diverses 6chelles de turbulence et l 'on dit que le m o u v e m e n t du fiuide est turbulent. La turbulence impl ique done l~ not ion d~6ehelle.

3. - Equat ions de Navier ( -Stokes) .

Si le fluide est en m o u v e m e n t maeroscopique, il convient de d6finir sa vitesse d 'ensemble darts le syst6me des variables d~Euler, Cest-~-dire au voisi- nage d~un point fixe a rb i t ra i rement donn6. Dans ce syst6me, la forme la pins g6n6rale des 6quations d 'un fluide est, en 1'absence d 'une force ext6rieure:

~v 1 ~Tik (1) ~- + (v-V)v - ~

~x~ '

v 6rant la vitesse de la ~ par t ieule ~> qui passe ~ l ' ins tan t t a u voisinage du point de eoordon6es r(xl , x2, x3), et le tenseur sym6tr ique Ti~ 6tant le tenseur des tensions. Cette par t ieule assez real d6finie est un ensemble de mol6cuies eon tenan t suff isamment d 'gl6ments pour que la moyenne de leurs vitesses air une signification stat is t ique, mais sous un volume suff isamment pe t i t par rap- por t an volume oeeup6 par le fluide, pour qu '0n puisse assimiler son monve- men t ~ eelui de son baryeent re .

A ees trois 6quations (1) il s ' a joute l '6qnat ion de eontinuit6

(2) ~y + V(~v) = o ,

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TURBULENCE IONOSPH]~I~IQUE ET PI:~0PAGATION DES ONDES ]~LECT/~OX~AGN]~TIQUES t 3 5 5

et , 6ventue l lement , des 6quat ions phys iques c o n t e n a n t la t emp6ra tu r e et d ' au t r e s

pa ramSt res phys iques . Duns un fluide en 6quilibre, les tenseurs se r6duisent ~ une simple pression

{3) Ti~ ---- p6i~ �9

L a viscosit6, sons la fo rme des tenseurs obliques, na i t du m o u v e m e n t . On fMt l ' hypo thbse que la vi tesse in te rv ien t par l ' in te rm6dia i re du teusem"

.des vi tesses de d6fo rmat ion (~V~/~Xk)-~(~Vk/~X,), et que les relat ions ent re les d e u x tenseurs sont lin6Mres. Si le fluide est incompress ible (~)

(4) d i v v = V - v = 0 ,

e t les 6quat ions du m o u v e m e n t dev iennen t

~V (5) ~t 4- (v .V)v = 1 Vp § vV~v,

@

off V est l ' op6ra teur g rad (2). Le soul pa ram~t re qui figure duns (5) est la viscosit6 v. Si l ' on expr ime

les longueurs pa r une unit6 L, le t emps pa r une uni t6 T, et la vitesse pa r une unit6 V = L / T , et si l ' on pose t ~- t 'T , v -- v ' V - - v ' L / T , V-~ V ' /L ' , p = p'V~@,

off t', v ' et p ' sont m M n t e n a n t des g randeurs sans dimension, (5) se t rans-

f o r m e en

~v' 1 __, , (6) ~t-- ~ § (v' .V ' )v ' = - - V ' p ' § R~-- V ~v ,

off l~c = @VL//~ = V L / v est un h o m b r e sans dimensions di t n o m b r e de tCey- holds. (6) condui t anx lois dites de s imil i tude en h y d r o d y n n m i q u e .

Les 6quat ions (4) et (5) a d m e t t e n t de nombreuses solutions diff6rentes

d o n t chacune d6crit un c h a m p de flux. Bornons -nous s une cer ta ine elasse de

solut ions pr6sent~nt une va r i a t ion M6~toire de vitesses pa r r a p p o r t au t emps t et pa r r a p p o r t s la var iable de posi t ion r. Le t e rme (~ al6atoire ~ fourn i t une

desc r ip t ion n6cessMre et suffisante du m o u v e m e n t turbulent ie l . N6anmoins il n ' e s t pus Ms6 de donne r unc d6finit ion pr6cise d ' une va r i a t i on M6atoire de

(1) Les variations de densit6 se trouvent li~es uu rapport d'une vitesse de fluide r (telle que lu vitesse effieace) ~ la vitesse moyenne du son duns le fluide. Lorsque ce rapport es~ faible devant l 'unit~, les vuriutions de densit@ sont n@gligeables et le ~iuide se eomporte comme s'il dtuit incompressible.

(2) (v . V) ~ (iv~ + jv~ + kv~) i ~ + j ~ + k = v~ ~x + % ~y-F v~ ~z "

Page 5: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

13~6 ~. K A ~

la vitesse. On fair n~cessairement uppel ~ l'idSe d 'un ensemble statistique de solutions qui toutes v6rifient les conditions initi~les et les conditions a.ux limites

donn~es. Cet ensemble statistique d6finit ]a probabilit6 de t rouver v(r, t) compris entre des limites donn~es en m~me temps qu'il d~finit ]a connexion st~tistique

entre les vitesses du fluide en des points et ~ des instants diff~rents. En d~autres termes, on snpposera ~ titre de d~finition de ]a turbulence, que si ]es donn6es

du probl~me, c'est-~-dire lea ~qu~tions de base et les conditions initi~les et ~ux limites denudes ne suifisent p~s ~ d~terminer v comme Ionction de r e t t~ elles snflisent n~anmoins s d~terminer les lois de probabflit~ qui dS- crivent les vuleurs de v. Ainsi si l 'exp~rience qui revient ~ produire le eh~mp de flux avec ]es conditions initi~les et aux limites requises, ~t~it effectu~e de

nombreuses lois, chaque experience fournissant une ~ r6alis~tion ~> du champ de flux, on" trouverai t que la valeur de v, pour des valeurs donnSes de r et t, varierait d 'une experience ~ t 'autre et le collectif des v~leurs de r d~finir~it.

~symptot iquement ]a distribution de probabilite ~de v(r, t). Le champ de vitesse est bien entendu compl~tement d6termin~ ]orsqu~

l 'on a ~ s~ disposition un nombre de renseignements suifisant. L'insuffisance

pr~e~dente des donn~es tient ~ ce r naus sommes~obtig~s d e n~gliger les f~ibles perturbat ions dans les conditions initiales et aux limites qui ~chappenb

au controle experimental et qui varient d 'une experience ~ l '~utre (~).

Comme on ne peut p~s se rendre m~ltre de ces perturbations, on les appelle ~ al6atoires ~ et on renonce s cMculer en d~t~fl 1~ turbulence. Heureusement, l 'observ~tion montre que les lois de prob~bilit5 d~erivant la turbulence sen t

ind~pend~ntes des petites perturbat ions ext6rieures qui donnent naissance ~

la turbulence et ne d~pendent que des donn~es sp~cifiSes du probl~me. Ce ~ai~ rem~rquable montre qu 'on peut ne pas tenir compte des per turbat ions extS-

rieures et qu 'on peut porter son at tent ion sur la d~couverte des lois de prob~- bilit~ de ]a turbulence comme une fonction univoque des conditions initi~les

et aux limites du probl~me. Notre probl~me s'~noncer~ d~s lots ainsi: E t a n t donn5 un fluide dent ]e mouvement est rSgi par les 6qu~tions (4}

et (5), et ~tunt donn5 que le fluide est mis en mouvement turbulentiel d~ter- min~ st~tistiqnement par. l~s conditions initi~les et aux limites ~insi que par (4)

et (5), t rouver les lois de prob~bilit5 d~crivant la turbulence ainsi que sa va-

riation avee le temps.

(3) L'idee d'agitation irr~gufiBre en un point en fonction du temps n'est pas stff- fisante en elle-mSme. Elle permet en effet de distinguer l'agRation turbulente de l'agi- tation sonore periodique (son musical), mais pas du bruit qui est une agitation sans p~riode d~finie; ce qui distingue le bruit de la turbulence c'est qu'fl se propage paz ondes, qu'fl existe des suriaees ~quiphases et par suite une r4partition spatiale r~guli~re, malgr~ l'irr~gularit4 dana le temps de la vitesse locale. Chaque eomposante de la vitesse turbulence v(r, t) est une fonetion irr~guli~rement p~riodique ~ la lois de 1' espaee r et (lu temps t.

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T U R B U L E N C E IONOSFH]~R] [QU~ E T P R O P A G A T I O N D E S O N D E S I~L]ECTROMAGN]~TIQUES 1357

Quelle forme vont rev~tir ]es lois de probabilitS? On fai t appel ici g la th4orie math~mat ique des fonctions al~atoires dans ]aquelle une fonction al~atoire v(r~ t) est eompl~tement d~termin~e s ta t is t iquement en se dormant nn en- semble de distr ibution de probabilit~s ]iSes des valeurs de v pour n paires queleonques de valeurs de r e t t, e'est-g-dire pour ]~ensemble de routes les valeurs moyennes de produits qu 'on peu t former avec les vuleurs de v en des points et g des instants diffSrents.

4. - V a l e u r s m o y e n n e s et s t a t i s t i q u e s .

Proposons-nous de mesurer, sur la Fig. i qui donne Failure dans le temps d 'une composante v de la vitesse turbulente, la vitesse moyenne. La m~thode la plus natnrelle consiste g former r in - t~gr~le ordinaire

T

0

~tendue g la dur6e T de l 'enregistre- ment . Cette m~thode est en g~n~ral pen satisfaisante, car l 'opSration manque de precision dSs que la courbe v(t) est

4 ~ t

, , , , H I I,~11 I~AII

Fig. 1.

compliqu6e. Un proc6d6 plus precis consiste g d6couper le graphique par des parallSles g ]~axe des t~ convenablement rapproch6es, d 'ordonn6es vx, v2~ Va, ..., g mesurer le nombre n~ de points off la droite d 'ordonn6e �89 rencont re la eourbe ~(t) et g caleuler la quanti t6

n i (8) = 2 . vi - - , i n

n = ~ n~ 6rant le nombre total de points rencontr6s par routes les parall~les. i

Or, pour ee calcul, on peut atiliser une premiSre 6tape qui consiste ~ construire le graphique donnant , pour ehaque vitesse v~, la fr6quence statist ique ]~=njn eorrespondante. Un passage g la limite 6vident permet de t racer une courbe de fr6quence /(v) telle que la proport ion des vale~urs de la vitesse comprise

co

entre v et v+dv soit 6gale g ](v)dr, l ' int6grale f / (v )dv qui remplaee ~ nJn, o

6rant 6gale g 1. L'expression d6finitive de ~ est alors

+co

(9) v =/v / (v ) dv . --co

Page 7: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

1358 T. KAHA~

Elle remplace (8) et doit 4tre comparde ~ (7). Les op6rations pratiques qui permet ten t de remplacer v~ par ~ correspondent ~ des op6rations math6ma- tiques classiques: le mode de calcul de ~ est celui d 'une int6grale de Lebesgue, et v~ est une int~grale du type de Riemann.

A par t i r de la fonction ](v) on pent calculer d 'autres moyennes. On peat , par exemple, chiffrer l 'ampli tude des 6carts de la vitesse par rappor t s valeur moyenne en calculant la valeur moyenne de (v _~)2 . P lu t6 t qae de d6finir ce t te moyenne par l ' int6grale de Riemann

(10)

o

il est plus simple et plus pr6cis d'utiliser la formule:

(11) ( v - - ~)2 ~_ f (v - - v)2/(v~dv ,

qui une fois la courbe ](v) trac6e, ne fair plus appel qu'~ des op6rations de nature simple. Ceci montre eombien la construction de la eourbe ](v) simplifie les ca]euls num6riques relatifs /~ la turbulence.

5. - D6composit ion spectrale de la vitesse.

Ceci pos6, nous avons vu que la courbe repr6sentat ive d 'une composante v(t) de la vitesse turbulente en fonction du temps sugg~re l'id6e d 'un ph6no- m~ne p6riodique irr6gulier. La repr6sentat ion analyt ique de v(t) n'est pas une s6rie de Fourier p6riodique, mais plutOt une sgrie presque pgriodique ou une intdgra]e de Fourier. Darts le premier cas, v(t) est une somme d 'harmoniques sans p6riode de base commune, soit en adoptan t la nota t ion complexe

(12) v(t) -~ ~ An exp [icont] , - c o

les pulsations co~ forment u n e suite de nombres r6els croissants avec n. On peu t toujours supposer que o )_~=- -m. .v ( t ) est bien une grandeur r6elIe si A_~ = A*, la notat ion A* d6signant l ' imaginarie conjugu6e de A. La s6rie i Anl doit 6tre convergente. Darts le second cas

+co

(13) v(t) = f A(~o) exp [io~t] d~ ,

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T U R B U L E N C E I o N o a P t t ] ~ R I Q U E ET Pt~OPAGATIOlq DES ONDES ]~LECTROMAGNETIQUES 1359

la fonction A(~o) 6rant abaolument sommable et telle que A ( - - ~ o ) ~ A*(~o). Lea nombres A~ ou la fonct ion A(co) d6pendent de la posit ion de l ' appare i l enregistreur de la turbulence. Cette repr6sentat ion est utile lorsque la tu rbu- lence est s ta t ionnaire dans le temps, ce qui pe rme t d ' appl iqucr en route r igueur ]e principe ergodique (4), et de calculcr lea moyennes attach6es ~ v(t) aur un inteiwalle de t emps aussi g rand qu 'on le d6sire.

Ceci 6tant , ] 'id6e qui eat ~ ]a base de toutes les th6ories de la turbulence est que celle-ci r6sulte de la supcrposi t ion d 'un grand nombre de composantes turbulentes qui diff6rent les unes des autres par leur ~chelle qui a la dimension d 'une longueur et qui est associ6e aux dimensions du tourbil lon: elle peu t 6tre tongue eomme la grosseur moyenne d 'nn tourbillon.

Or l '6quat ion du m o u v e m e n t (5) n ' 6 t an t pas lin6aire il en r6sulte que les di-cerses eomposantes du m o u v e m e n t interagissent, et on a t t r ibue les pro- pri6~6s obscrv6es de la turbulence au r6sul tat s ta t is t ique de cet te interaction. Si cet te conception de la turbulence ne conduit pas par elle-m6me imm6dia- t e m e n t ~ des r6sultats, elle pr6aente l ' avan tage ind6niable de faire appel s des id6es intuit ives am" le compor t emen t de ayst~mes dynamiquea avee de nom- breux degr6s de libcrt6.

La d6composition de la turbulence en a n grand nombre de mouvemen t s composants se r6duit ~ la d6composit ion de la distr ibution instant~n6e des vitesses en modes or thogonaux compat ibles avec les conditions aux limites. Tou t eomme la distr ibution ins tantan6e de vitesse aur nne corde 61astique ~endue entre deux points dis tants de l peu t 6tre congue comme la somme des composantes d 'une s6rie de Fourier qui fourniasent des contr ibut ions addi- t ives ~ l '6nergie cin6tiqne, la longueur d 'onde fondamenta le 6 taut 2l, la distri- bution instantan6c de la vitesse du fluide sur un champ tr idimensionnel peu t 6tre consid6r6e comme ]~ somme des compoaantes d 'une s6rie triple de Fourier. Si le champ s '6tend ~ l'infini, la s6rie COlwespondante devient une int6grale e t si lea fronti~res ont une forme curviligne, une autre suite de fonctions orthogonalea, telle que les fonctions de Besse!, ou les fonctiona sph6riqnes, etc., sont aptea s repr6senter la s i tuat ion physique, l~emarquons, sans entrer darts les finesses ma th6mat iques du probl~me, qn 'on pour ra toujours utiliser une d6composi t ion de la forme g6n6rale

0 5 ) v(r) = ;A(k) exp [ ik .r] dk ,

off l ' in t6grat ion s '6tend sur tout l 'espace k; bien que lea coefficients vectoriels A(k) divergent dans certains cas, on peut utiliser la fonction sans risque

(4) C'es~-~-dire l'6gMit6 des moyennes de phase et de temps.

87 - Supplemento al Nuovo Cimento,

Page 9: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

1360 ~r. :KAItA~

gr~ve de se t romper . Or

A(k) exp [ik.r) dk

est la contr ibut ion ~ la vitesse de l'616ment de volume dk de l 'espaee des nombres d 'ondes k; ee sera la composante typ ique de lu ~urbulence et elle repr6sentera une distr ibution de vitesses sinusoidales avec la longueur d ' onde 2z/k (k = [kl) , qui est ]u mesure de l'6chelle de longueur de lu composante turbulentielle. L '6qua t ion de continuit6 (4) impose

(lo) k . A ( k ) = o ,

de sorte que les mouvemen t s correspondants sont des (~ ondes sinusoidales ~> avec une vitesse parall~le ~ A(k) et avec une var ia t ion spat iale duns la di- rection du nombre d 'onde k. Remarquons que ces ~ ondes~>, eont ra i rement celles qui se p ropagen t pa r exemple sur une corde tendue, ne se p ropagen t pus, en raison de la forme diff6rente de l '6quation. Le carr6 du coefficient de Four ie r A(k) est propor t ionnel ~ la quant i t6 d '6nergie cin6tique associ6e ~ la composunte de Fourier du hombre d 'onde k; c 'es t aussi la contr ibut ion que la composan te appor te ~ l '6nergie cin6tique de lu turbulence. L 'unalyse de Fourier du champ de vitesse instuntan6e fourni t de la sorte une d is t r ibut ion spectrale d '6nergie ein6tique; comme la grandeur A(k) est f i u c t u a n t e - c 'es t - Z-dire qu'elle est diff6rente pour des r6ulisations diff6rentes du champ de vi- tesses - - on p rendra lu moyenne pour obtenir f inalement A~(k) eomme me- sure de lu distr ibution, duns l 'espuee des nombres d 'onde, de la densit6 des contr ibut ions ~ F6nergie ein6tique de la turbulence.

Si, jusqu'ici , l ' id6e de l 'an~lyse de Fourier du champ de vitesses ne diff~re pus essentiellement de l ' analyse de Fourier de la lumibre blanche ou du brui t 61ectronique, l '6quat ion fondamentule (5) qui d6crit lu relat ion entre les distri- but ions spatiales de vitesse ~ des ins tants diff6rents in t rodui t des diff6rences essentielles. On obt ient la vitesse de var ia t ion du coefficient de Fourier A(k) en por tun t (15) duns (5) et en 6hminant le t e rme de pression s l 'a ide de (~):

(17) k A(k')]dk'-- vk~A(k) ~A(k)~t - - i f k~'A*(k'- k)[k.A(k ~) ~--

Le second t e rme du second m e m b r e dfi ~ l 'effet de viscosit6 repr6sente une action lin6aire d ' amor t i s semen t comme il fallait s ' y a t tendre , et mon t re que la dissipation d'6nergie est re la t ivement plus rapide pour tes composantes de pet i te 6cbelle (k <<, l / k>>) que pour les eomposantes de grande 6ehelle (k >>, 1/k <<).

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T U R B U L E N C E IONOSPH]~I~IQUE ]gT PROPAGATION DES ON:DINS ~3]]ECTROMAGN]~TIQUINS 1361

D ' a u t r e par t , le p remier t e rme du second membre~ dfi aux forces d ' inert ie et de pression, n ' es t pas lin6aire et m e t en 6vidence une interact ion incessante, ou modulat ion, entre les diverscs composantes de Fourier. La var ia t ion de l '6nergie d 'une eomposante de Fourier quelconque est donn6e par

(18) ~A(k) .A*(k) f

-- i t[-- k~'A*(k'-- k)A*(k).A(k') d- f *J

-~ k ' .A (k ' - - k)A(k')A*(k')] dk '-- 2vk~A(k).A*(k) ,

ee qui m o n t r e que l ' in teract ion conduit en g6n6ral ~ un t ransfer t d '6nergie entre deux composantes quelconques. C'est pr6cis6ment cet te in teract ion ein6- t ique entre les composantes qui est le principal obstacle ~ la solution du pro- bl6me de la turbulence. Sauf dans quelqnes cas simples de m o u v e m e n t lami- nMre, la solution de (17) ne semble point 4tre /~ n o t r e port6e pas plus qu 'une solution de (5) et l 'ob je t des th6ories de la turbulence revient pr6cis6ment et essentiellcment ~ introduire des hypoth6ses qui pe rme t t en t d '6vMuer quan- t i t a t i vemen t Pinteract ion entre les composantes dans des cas bien limit6s.

Si l 'on assimile la turbulence s un syst6me dynamique de caract6re sta- t ist ique 06 ]es composantes de Fourier joueraient le rhle des degr6s de libert6, l '6quat ion (17) devient le pendan t d 'une loi de (~ collision ~>. L 'exc i ta t ion d 'un dear6 de libert6 quelconque conduit en g6n6rM ~ l ' exci ta t ion de tons les autres degr6s de libert6, exci tat ion limit6e seulement par Fact ion amor t i ssan te de la viscosit6. E n raison de l 'existence de cct te dissipation, il ne se produi t pas d '6quipar t i t ion de l '6nergie pa rmi ces divers degr6s de libert6.

Tout comme dans (5) le seul pa ram6t re qui figure dans (17) est la visco- sit6 v ou bien, si l 'on veut~ en in t roduisant des grandeurs sans dimension ] 'aide d 'une vitesse V e t d 'une longueur L de r6f6rence, e 'es t le hombre de Reynolds Re = VL/v.

I1 convient de pr6voir une turbulence diff6rente pour chaque nombre de Reynolds diff6rent. Du fair que v figure darts (18) pa r le produi t vk 2, Peffet des forces de viscosit6 sera toujours pr6dominant pour des eomposantes de Four ier ayan t des nombres d 'onde k suff isamment 61ev6s~ mais la r6gion oh la viseosit6 produi t une interact ion forte se d6placera vers les grandes valeurs de k ~ mesure que le hombre de Reynolds croitra, e 'est-s /~ mesure que v d6croitra. Pour les hombres d 'ondes petits, darts la vitesse de var ia t ion 3A(k)/~t de la eomposate A(k), c 'est l 'effet d ' inert ie qui p r6vau t en ve r tu de (17). Ainsi done cet te par t ie du syst6me dynamique n'es~ pas dissipative, mais elle n ' es t pas close, et il se produira en g6n6ral un flux stat is t ique, un 6change privil6gi6 d'6nergie vers la pa t t i e de l 'espace du hombre d 'onde off l '6nergie est absorb6e par viscosit6. Prenons le eas l imite simple de Re = co o u v - = O. La r6gion de l 'espace des k oh l ' amor t i s sement visqneux joue est alors d6plac6 vers k = cxD et toute l '6nergie finira par 4ire pomp6e par effet

Page 11: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

1362 T. KAHA-~I ~

d ' iner t ie hors de la r6gion off /~ est fiui. Ce cas simple o~t agissent des forces d ' inert ie seules, saul pour k ~ 0% se pra te for t bien ~ l 'ut i l isat ion d 'hypo- th6ses intuit ives sur l ' in terac t ion entre les diverses composantes . On peu t d~s lors pr6sumer que le spectre d'6nergie de la turbulence pr6sentera une forme pour les pet i tes valeurs de k qui sera fo r tement iuituenc6e par les conditions aux limites, et que pour les plus grandes valeurs de k l ' intensi t6 spectrale d6croltra lorsque k eroit, d 'une fagon qui sera r6gie par 1'6change d'6nergie inertielle. Pou r un nombrc de Reynolds infini, cet te chute cont inue jusqu '~ k = 0% mais pour les nombres de Reynolds finis on a t te indra une valeur de k off l 'effet d 'gmor t i s sement v isquenx deviendra sensible et le spectre tendra vers z6ro beaucoup plus r ap idement au voisinage de cc hombre d'onde.

L 'ef fe t des forces d ' inert ie est donc d 'exci ter et de t ransf6rer de l '6nergie /~ au t an t de composantes de Four ier qu' i l est compat ib le avec l 'effet d ' amor - t i ssement de la viscosit6. Supposons alors que l '6chelle de longueurs repr6- sen ta t ive des fronti6res spit L. E n g6n6ral ce sera aussi l '6chelle des longueurs des composantes de Fourier de la turbulence qui sont d i rec tement cxcit6es pa r Fact ion des fronti6res. Ainsi, p~r exemple, lorsqu 'un fiuide passe sons pression ~ t ravers uu tube de d iam6tre L, les composantes de Fourier de la dis t r ibut ion des vitesses qui sont d i rec tement infiuenc6es pa r les conditions aux fronti6res auront des nombres d 'onde qui seront de Fordre de grandeur de 1/L. Une fois ces composantes de la turbulence excit6es, les forces d ' inert ie current en jeu pour 6taler l%nergie sur un intervalle de spectre plus 6 t e n d u et pour la transf6rer de la sorte g des hombres d 'ondes plus grands. Ainsi qu' i l a 6t6 expliqu6 pr6c6demment , cet te tendance ne sera contrari6e que si l '6nergie a t te in t des nombres d 'onde qui sont si grands que l ' amor t i s sement v isqueux devient appr6ciable.

Si ma in t enan t on se propose d'isoler certaines par t ies d 'un syst6me dyn~- miquc, en r u e d 'acqu6rir pa r l~ une intelligence limit6e du mouvemen t , il sera utile d 'envisager les compos~ntes de Fourier ay~nt des hombres d 'ondes qui sprit grands compar6s ~ 1/L puisque ces composantes s~excitent par l ' ac t ion des forces d ' inert ie senles et ne sprit pas assujett ies ~ l 'ac t ion directe des fronti~res. Si, comme cela pa ra i t probable, l ' influence des conditions anx fron- fibres se perd progress ivcment au cours du processus s tat is t ique du t ransfer t d '6nergie aux hombres d 'onde plus grands - - ce qui correspond ~ l 'id6e intui- t ive qu 'un t ransfer t s ta t is t ique doit s ' accompagner d 'une per te d ' informat ion, c 'es t l 'hypoth~se du d6sordre de v. Weizs~cker - - la turbulence due aux com- pos tan tes de Fourier de hombre d 'onde suff isamment grand scra statist i- quement ind4pendante des conditions aux limites ainsi que de la source de l '6ncrgie cinStique. Cette r6gion du spectre devra i t donc correspondre ~ un probl~me re la t ivement simple qui ne serait pas compliqu6 par la donn6e de la forme et de l '6 tut de m o u v e m e n t exacts des fronti~res. Les composantes de Fourier avec des nombres d 'onde k tels que k )~ 1/L font Pobiet de 1~

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TURBULENCE IONOSPHERIQUE ]~T PROPAGATION DES OND]~S ~L]~CTI~O~ClAGN~TIQU]~S 1363

~h~orie dite de t~ simili tude ou de l 'dqnilibre universel ( X o ~ o ~ o ~ o s s ~ OnUX- HOFF~ O~SAGER, V. WEIZSXCXEI~ etc.)(~).

I1 est n~cessaire que le hom bre d 'onde (appelons le 1/~, ~ 5t~nt une lon- gueur caraet~rist ique des plus pet i ts t o u r b f l l o n s - m o u v e m e n t s composants existants duns la turbulence) pour lequel l ' amor t i s sement v isqueux produl t une ddcroissance rapide duns la dis t r ibut ion speetrale de l 'dnergie, v~rifie ~galement eet te condition~ car au t r emen t les composantes de Fourier aux- quelles s 'appl iqne l 'hypoth~se du @sordre ne s 'exci tera ient p~s. Comme, ~insi que l 'on l ' a v u plus hau t r l 'accroissement du nombre de Reynolds VZ/~, a pour effet de diminner ~ fl convient de restreindre notre discussion aux cas de 1~ turbulence pour lesquels Re = VL/~ est si g rand que

(19) ~7 << L

c 'est-~-dire que les tourbil lons les plus pet i ts de la turbulence soient tr~s pet i t s compa%s aux tourbil lons les plus grands.

De mani~re g~n~rale, duns l 'd ta t turbulent , les grandeurs s tat is t iques qui d@rivent lc m o u v e m e n t telles que vitesse quadra t ique moyenne, etc., var ien t d 'un point ~ l ' au t re au sein du fluide. L'@he]le de cet te non uniformit~ est dStermin~e par la g6omdtrie des frontigres et, en g6n~ral, elle est de l 'ordre de grandeur de L. I1 s 'ensnit que la var ia t ion des grandeurs s tat is t iques duns une %gion dont les dimensions lin~aires sont pet i tes compar@s g Z est n~gli- geable et on pen t consid~rer la turbulence comme 5rant homog~ne duns l 'espace

l ' intdrieur de cet te rSgion. Si l 'on analyse la distr ibution des f luctuat ions de vitesses au tour de la moyenne spatiale, duns cet te r~gion, on obt ient une suite de coefficients de Four ier qui out une signification locale et dont chacun correspond g des nombres d 'onde grands par r appor t g 1/L.

Tout ce qui a ~t~ dit jusqu 'g p%sent des coefficients de Four ier g g rand hombres d 'onde s 'appl ique g un champ de vitesse local ou ~ tou t le champ, muis il est plus commode de por te r m a i n t e n a n t notre a t t en t ion sur les coefficients de Fourier de grand hombre d 'onde de la distr ibution de vitesse au voisinage d 'un point arbi traire duns le fluide. De mSme, la. turbulence pen t 8tre consi- ddr6e comme s ta t i s t iquement uni forme sur de faiblcs intervalles de temps. Avec l 'hypoth~se (faible) que les coefficients de Fourier de faible 5chelle poS- s~dent des temps caractdristiques re la t ivement faibles - - e 'est-~-dire que les pe t i t s tourbillons out de faibles p~riodes - - on voi t que les composantes de Yonrier de f~ible 6chelle ne seron~ pus affect6es p~r les var ia t ions lentes duns le t emps des grandeurs moyennes d@rivant la turbulence et ne d~pendront

(s) L'interprdtation numerique du signe >> depend de 18 rapiditd avec laquelle l'influence des conditions aux fron~i~res s'amortit darts le proeessus de transfert d'6nergie

travers le spectre.

Page 13: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

1364 ~. KAHAN

que de leur valeur instantan6e. D y n a m i q u e m e n t par lant , on peu t dire que les degr~s de libert~ correspondant ~ des grandes valeurs de k sont toujours en 5quilibre s ta t is t ique en raison de leur r6ponse rapide ~ des conditions ext6- rieures. Les eomposantes de plus pe t i t /~ c~dent de l'~nergie, mais cet te 6nergie est perdue g son tour pa r t ransfer t ~ des eomposantes ayan t de plus grands nombre d 'onde - - et peut-~t re pa r dissipation - - avec une vi tesse 6gale.

On pa rv ien t ainsi s cet te conclusion utile que lorsque le hombre de Reynolds est tel que la condition (19) se t rouve v6rifi~e, les coefficients de Fourier - - de la dis t r ibut ion des vitesses en un point queleonque - - a p p a r t e n a n t ~ des nombre d 'ondes k >~ l/L, sont s ta t i s t iquement ind6pendantes des conditions alLx limites et sont d~termin~s pa r les propri~t~s moyennes locales dans l 'espaee e t dans le t emps de la turbulence.

R emarqnons en part icul ier que les propri6t~s directionnelles impos6es g la turbulence prise dans son ensemble pa r les conditions aux frontigres ne peuven t pas ~tre t ransmises aux composantes de pet i te 6chelle, d 'aprgs l 'hypothSse du

d6sordre, de sorte que le m o n v e m e n t associ4 ~ ces eomposantes de pet i te 4chelle doit gtre s ta t ie t iquement isotrope. L ' o n aura done affaire g une tur-

bulence homog~ne, s tat ionnaire et isotrope. Le rMsonnement peu t m a i n t e n a n t ee re tourner et on peu t d6finir les gr~n-

denrs dont d~pendent lee composantes de Four ier de pet i te ~chelle. Ces com- posantes de pet i te 6ehelle (que nous d~signerons avec BATCgELO~ SOUS le nom d ' in terval le d'~quitibre des nombres d'ondes) doivent leur exci ta t ion au t rans- fe r t inertiel d'6nergie p r o v e n a n t des composantes de grande ~chelle de la tur- bulence et l ' intensit6 de cet te exci ta t ion d~pendra na ture l lement de la vitesse avec laquelle ce t ransfer t d '~nergie a lieu.

E n raison du fair que route la dissipation ~dsqueuse a lieu d~ns l~inter - val le d '6quil ibre - - e 'est l~ la signification de la condition (19) impos~e au hombre de Reynolds - - la vitesse de t ransfer t d'Snergie des composantes de gr~nde 6chelle aux eomposantes comprises dans r in te rva l le d'~quilibre dolt 6tre ~gale g la Yitesse de dissipation d~nergie s. Cette grandeur s dolt 6tre locale darts l 'espace, et s e u l l e t emps para i t ~tre n~cessaire pour expr imer Finfiuenee du champ de turbulence pris dans son ensemble sur l~intervulle d '~quil ibre des Composantes de Four ier au voisinage d 'un point quelconque

darts le fluide. Une lois la valeur locgle de s sp~eifi~e, les composantes de pet i te vi tesse

s ' a jus ten t d ' abo rd pour reeevoir de l '~nergie ~ cette vitesse et eneuite pour la dissiper. Le mScanisme du processus de dissipation d5pendr~ bien en tendu de la valeur de ~. Abst rac t ion faite de la d~pendance de ces deux paramgt res s et v, le m o u v e m e n t assoei6 ~ l ' interval le d'6quilibre dee hombres d 'onde - - c 'est-~-dire le m o u v e m e n t relatif au voisinage de tou t point - - sere statis- t iquement universel. L~ est la pr6vision m~jeure de la th6orie.

Lorsque le nombre de l~eynolds est sup6rieur pa r un ordre de grandeur

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TURBULENCE IONOSPHERIQUE ET PROI~AGATI'ON DES O~qDES ELECTRO1VIAGN]~.TIQUEa 1365

celui qui est n6cessaire pour que les remarques pr6c6dentes puissent a'appliquer~ on peut pousser la th6orie plus loin. Le plus pet i t nombre d 'onde duns l ' inter- ~-alle d'6quilibre est vraisemblablement d6termin6 par les d6tails du processus de d6sordre qui aecompagne le t ransfer t d '6nergie ~ travers le spectre, et il eat ind6pendant du nombre de Reynolds. L 'accroissemcnt du hombre de l~eynolds entraine un accroissement du nombre d 'onde (~ savoir 1/~) max imum duns l ' intervalle d'6quilibre, et par cons6quent, un accroissement correspondant de l '6tendue de l ' intervalle d'6qullibre. Lorsque le hombre de Reynolds eat si grand que les coefficients de Fom~er ~ l 'une des extr6mit6s de l ' intervalle d'6qullibre sont s ta t is t iquement ind6pendants de eeux de l 'aut re extr6mit6, la condition pour qu'i l en soit ainsi cst qu'i l soit possible de t rouver des nombres d 'ondes k tels que

(20) 1/L << k << 1/~ ;

les coefficients de Fourier des nombrea d 'ondes les plus petits ne seront plus influene6a par la dissipation visqueuse et ne d6pendront pus du param~tre ~. Le flux statistique d~6nergie ~r une pat t ie queleonque de ce sous-intervalle d' inertie pro~cenant des nombres d~ondes plus petits est compos6 par un flux s 'effeetuant vcra des hombres d 'onde plus 61ev6s ~' une vitesse s 6gale~ et le mouYement associ6 au soua-intervalle est uniquement d6termin6 statistique- ment par l 'unique param6tre s.

Toute valeur moyenne d6termin6e p~r la composante de Fourier de Finter- valle d'6qullibre doit d~s ]ors pr6senter une forme iaotrope d6termin6e uni- quement par lea param~tres e (dimensions: L~T -3) et v (dimensions: L~T-X). Ainsi par exemple, la densit~ spatiale relative au nombre d 'onde k, d~6nergie cin6tique E(k) consti tuer~ duns lea portions de l 'espaee k correspondant l ' intervalle d~6quilibre une telle valeur moyenne et sera justifiable de la th60rie. Des arguments dimensionnels mont ren t quc E(/c) rev6tira en fonction de e et ~ ]a forme suivante

(21)

G 6rant une fonction de form e universetle et ind6termin6e. (21) s~applique s des valeurs de k satisfaisant ~ k >> 1/.5, ind6pendamment des propri6t6s

grande 6che]]e de la turbulence pourvu que la condition ~ << L soit v6rifi6e. Remarquons que la longueur ~ qui mesure F6ehelle des tourbillons les plus

pet i ts existants doit 6tre de Fordre de grandeur de (vs/s) § car aucune autre longueur caract6ristique ne saurait exister dana Fintervalle d'6quilibre. Comme n 'es t d6fini que par son ordre de grandeur, oa peut 6crire

(22) ~ = (vs/~)~

Page 15: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

1366 T. X ~ A N

de sorte que (21) devient

(23) F(k) = ~v~G(k~]) ,

pourvu que k ~ 1 /L et pourvu que le hombre de Reynolds soit tel que la

condition

(24) L~; : Ls}v -~ >> 1.

soit v6rifi6e.

6 . - F luctuat ions de densit~ dans la turbulence homog~nc.

Ces g6n6ralit6s 6rant pos6es, recherehons les lois qui v e n t gouverner 1~ turbulence ionosph6rique. Les ondes 61eetromagn6tiques 6rant cens6es 8tre dif- fns6es par les f luctuations al6atoires de Findice de r6fraction, nous nous propo- sons de caleuler la diffusion des ondes 616mentaires pour' ees f luctuat ions al6a- toires dues aux per turba t ions ionosph6riques turbulentes . Iqous verrons pa r la suite que, duns eertaines conditions, la diffusion produi te pa r ces f luctuat ions pen t s ' expr imer en fonet ion d 'un seul param6tr% l '6nergie turbulen te dissip6e par em 3 par seconde et que les conditions de validit6 de eet te relat ion sent bien v6rifi6es duns ]e eas de la diffusion des ondes radio61ectriques m6tr iques dans la couche E de l ' ionosph6re.

ReHons d~arbord les f luctuat ions de densit6 gux f luctuations de vi tesse pa r la loi de Bernouilli. Des f luctuat ions Av locales de vitesse seront aeeom- pagn6es de fluctuations de pression Ap ainsi que de f luctuat ions de densit6 _A en ve r tu de

(28) AO Ap _ (Av) 2 ~ - - p v~ '

2 @rant le carr4 moyen de la vitesse mol6culaire. E tudions alors de plus pr6s les f luctuations de vitesse duns les conditions de turbulence homog6ne. Cet te s i tuat ion peu t se reprSsenter ainsi. I1 existe des causes externes qui produisent sans cesse de gros tour'billons d~une certaine dimension Lo et d 'une eertaine vitesse re. Ces tourbil lons se subdivident aussi t6t en tourbil lons plus pet i ts , de dimension LI = ~Lo avec ~ < 1. Soit vl la vitesse de ces tonrbil lens plus pe t i t noy@s duns les plus gros (v~ 4tant 1,~ vitesse pa r r a p p o r t s l 'entourage, c 'est-~-dire re la t ivement aux gros tonrbglons qui ]cur donnent naissance). Ces tourbil lons se diviseront ~ leur tour en tourbil lons plus pet i ts L~ = zL1 = ~ L 0 , avec v2 pour vitesse relat ive ~ leur voisinage. Duns ce processus de subdivision, l'@nergie tournie au plus gTOS tourbil lon se t rouve transf6r@e aux plus petits~ et ainsi de suite. On supposera qu 'une quantit@ d'@nergie eonstante pa r vo lume

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T U R B U L E N C E IONOSPH]~RIQUiE ET PX%OPAGATI0IN " DES ONDES 3~LECTRO~IAGN]~TIQUES 1367

et pa r seconde est fournie aux gros tourbiUons par une source externe. Le processus de subdivision s 'ach~vera loraque ]a dimension dn tourbil lon final a t te inte est te]le que la viscosit6 raol6culaire devient suff isamment grande pour dissiper F6nergie en chaleur.

Voyons avec v. WErZSXCt(E~ quelles sont lea relations quant i ta t ives qui appara issent duns ce processus. L~6uergie pa r unit6 de volume contenue duns un tourbil lon eat de Fordre de @v~/2. Si la dur6e de vie d 'un tel tourbil lon eat de Fordre t~ =-L . / v~ , les tourbillona de dimensions L , fourniront de r6nergie aux plus pet i ts (de groaseur L~+l) avec une vitesse (6nergie/ temps-volume)

(29)

Comme on supposera le processus stationnaire~ Fen6rgie S~_~ des tourbil lons d~une grandeur sup6rieure t ransmise ~ ceux de dimension n doit gtre 6gMe S. . I1 en r6sulte que S~ sera une constante ind6pendante de n:

(30) ev~/L~ = s .

S e s t F6nergie t ransmise aux tourbillons pa r la source d~6nergie (gros tour- billon) puis aux tourbfllons plus peti ts . L~ordre de grandeur de ~S est donn6e par F6nergie fournie aux plus gros tom'billons:

(31) S _~ Qv~/Lo .

On peut utiliser la valeur de S pour d6terminer les dimensions des tourbil lons les plus petits. L'gnergie pa r cm a e t par seeonde dissipSe par viseosit6 moI6- culaire est par dgfinition ~ ~7(dv/dx) ~ o~ dv /dx est ]a vitesse de var ia t ion de v pa r unitg de longueur. Lea plus pe t i t tourbil lon sera celni dana lequel ce t te 4nergie prend la valeur S. Comme dv/dx.-~ v , /L~, l 'on obt ient pour le tour- billon min imum de vitesse v. et de dimension lin6Mre L, ,

V 2 2 n ~/L~ ~ S .

E n ver tu de (30) et de (31) il v ien t alors

(32) Lo/L~ = (~voLo/~]) ~ .

E n termes physiques: le r appor t des dimensions des tourbil lons m a x i m a celles des tourbillons min ima est 5gal au nombre de Reynolds 61ev6 ~ la puis- sance ~.

On peu t identifier lea vitesses v~ ~vec la grandeur Av f igurant duns (28). Consid6rons des r6gions de l 'espace de dimension lin6Mre L satisfMsant {~ lo

Page 17: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

1358 T. KA~A~

r e l a t i o n

(33) L~ < / 5 < Lo

e t supposons que L~ = L. Alor s Av = v~, l ' 6 e a r t m o y e n p a r r a p p o r t s Fen-

~ourage~ de la v i t e s se dana c e t t e r6gion. On t i re a lors de (28) F 6 e a r t de den-

sit6 m o y e n (AO) z darts la r6gion L :

(34) (AQ)~ ~- O(v./vM)~ = ~(Vo/V~)2(L/Lo) ~- .

I l l u s t r o n s ee r 6 s u l t a t p a r u n exemple . D a n s la eouche E de l ' i onosph6re ,

u n e a l t i t u d e de 100 km~ l ' o n a ~ = 2 .10-9 g c m -a. L a v iseos i t6 es t i nd6pen -

d a n t e de la p ress ion e t es~ @ a l e ~ ~ = 2 .10-4 g c m -~ s -~. Les donn6es fo r t

v a g u e s su r les v i tesses e t les d imens ions des t ou rb i l l ons p e r m e t t e n t de cone lu re

g r o s s i 6 r e m e n t :

(35)

d ' o ~

(36)

v0 = 5 - 1 0 3 c m s - 1 , L o = 5 " 1 0 ~ c m ,

R e - - OvoLo _ 2.5.104, Lo/L~ = 2.103 ,

d o n c L~ = 2.5.102 cm: et enfin

(37) S ~ 0 .5 .10 -3 erg cm -~ s -1 .

D 6 v e l o p p o n s m a i n t e n a n t la densi t~ ~(r) en s6rie de F o u r i e r ~ l ' i n t 6 r i e u r

d u v o l u m e d i f fn san t V suppos6 c u b i q u e :

1 (38) ~(r) ~- ~ ~ ~(k~) e x p [ - - i k ~ ' r ] ,

~vee la f o r m e r6e ip roque

(39) o(k~) = ( d r o ( r ) e x p [ - - i k ~ . r ] .

It

iNous 6cr i rons sans a m b i g u i t 6 i n d i f f 6 r e m m e n t e (k) = ~ = ~k ~ -~ (k ) .

m ~ m e

(40) v = ~ 'v k exp [ - - i k . r ] , k

D e

~vec k,~= (2~/L)n~, ..., n~, n~, n~ h o m b r e s en t ie rs e t v ~ = v * ~ . L e n o m b r e de

v i b r a t i o n s p r o p r e s e n t r e k et k + A k sera donn6 p a r 47~k~.Ak.V/(2~) 3.

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TURBULENCE IONOSPHERIQUE ET PROPAGATION DES ONDES ~LECTROMAGN~TIQUES 1369

Alors

(41)

donc

<42)

~2 1 1 ~ v l E ~ 2 - - 2 ~ Ivy]2 =2" 7~k2dk(2~)3~Vk = (k)dk,

1 F(k) - ~ v ] ~ [ ~ .

(2~)~

On peut d~s lors met t re l '6quation de ~av ie r (5) sous la forme

~43) ~v~ ~7 k ~--i § i ~, (k.v~,)v~_~, = ~ v ~ - - i - p ~ ,

en d6veloppant aussi la pression p en s6rie de Fourier

{44) p = ~ p~ exp [-- ik'r], p_~ = p* .

Comme on supposera le milieu incompressible (4)

(45) k" vk ---- 0 .

Ceci peut parai t re paradoxal en raison de notre t en ta t ive de calculer la f luctuat ion de densit6 A~. En fair, cet te hypoth~se implique seulement que la part ie sans divergence du champ de vi~esse est dynamiquement bcaucoup ]~]us impor tan te que les composantes irrotationnelles. Cela revient ainsi admet t re que l'6nergie potentielle stock6e duns les variations de densit6 est beaucoup plus pet i te que l '6nergie cin6tique des tourbillons. Ayan t pr6sent cela duns l 'esprit, calculous main tenan t les fluctuations de pression Ap et ensuite A~o ~ l 'aide de

(46) p(r) = po[e(r)/e0] ~ ,

~oo, P0 6taut les valeurs moyennes de la densit6 et de la pression, et ~ = C~/Q =1 .4 pour des mol6eules diatomiques. En mult ipl iant (43) par k et comme pour kv~O, PT~----Ap~ il vient

A p ~ - - 6o ~ (k'v~,)(k"v~_~,) , k s ,

d'ofi

(47) Ae~ . . . . (eo/~po)~k -~ y_ (k . v~ , ) (k , v~_~,) . It'

Ceci nous ram6ne au champ de vitesse v(k).

Page 19: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

1370 ~. KAHA~

En mul t ip l ian t (43) pa r v ( - - k )

(~s)

Comme

~ d 2 dt (v~, v_~) = i~ ~ (k.v~,)(v_~.v~_~,) ~- ~k~(v~.v_~).

It'

~o~ v~(r) = �89 ~ v~'v-k , k

�89 v ( - - k) est la densit6 d'~nergie cin6tique port~e pa r le nombre d 'onde k E n s o m m a n t sur t o u s ] e s k dans (48), on obt ient le bflan de puissance to ta l e

(49) = - - ~ ) ~ ~-~_~ = i~ ~ (k .~ ) . (~_~ .~_ . )+ ~ ~ ~ (~.~_~1. /c,,~ ~ 7c

Le premier te rme du second m e m b r e d6crit le t ransfer t d '6nergie c in6t ique aux divers nombres d~ondes k; le second terme, la dissipation visqueuse d~6nergie.

D6finissons m a i n t e n a n t une s i tuat ion s tat ionnaire duns une r6gion (L0) ~ com- pl~tement enferm6e duns le domaine off (49) est rulable. Cette r6gion cont iendra alors un tourbil lon m a x i m u m de dimensions Lo et de vitesse curact6rist ique v0. Ce tourbi]lon ser~ coup16 ~ l~ext6rieur de cet te r6gion en raison du t e rme d u t ransfer t duns (49). On suppose que l 'effet de ce couplage est de ma in ten i r la vitesse moyenne vo de ce tourbKlon m o y e n n a n t une fourni ture de puissance So. P o n r v u que So spit cons tant duns le temps~ un 6ta t d '6quil ibre finir~ pur s;6tablir duns lequel le v(k) m o y e n sera aussi ind6pendant du temps. On p e n t alors fuire l 'hypoth6se que

(50) So = ev]/~o.

Si le nombre de Reynolds Re = ~voLo/~? est assez grand, le t e rme dissi- pa t i f ne joueru que pour des hom bre d 'ondes k >> 1/Lo. I1 affectera les tour- billons de dimension L~ et de vitesse v~ pour lesqnels le nombre de Reynolds <~ local ~) est tomb6 ~ 1:

(51) ~Lsv~/~ = Z .

Les nombres d 'ondes de l 'ordre 1/L une ~ois at teints , la dissipation de puissance pa r f ro t t emen t remplace le t runsfer t de puissance aux hombres d 'ondes plus 41ev6s. On pa rv ien t uinsi ~ une aut re 6quat ion curact6risant vz

et L s :

(52) & _- v (v~ /5~ )2 .

Page 20: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

~ s I O N O S P I ~ R I Q U E E T P R O P A G A T I O N D E S O N D E S ] ~ L E C T R O M A G N ] ~ T I Q U E S 1371

~ o u s nous servirons de (51) et de (52) pour d4finir les deux grandeurs

.(53) ,~ = (Soy/e,) ~, L= = (vU,%e~)~.

On vol t que les trois pnmm~tres (( externes ~ So~ ~, ~ d6finissent une ~chelle de longueur et de vi tesse ~bsolue pour le probl~me de tr~nsfert d'~nergie et ,de dissipation duns le flux turbulent .

Pou r m e t t r e ~ profi t eet te idSe d~une muni~re quunti tnt ive, purtons de l~ d~finition (41) de l~ distr ibution d~intensit~ speetrule F(k) pour les vitesses~ d4finition off l~isotropie du spectre de vitesse ~ ~t~ udmise,

(54)

co

~ v~ .v_~ = (k) d]c.

0

Le t e rme dissipatif d~ns (49) sera d~s lors

(55)

oo

2~ fk2F(k) dk . D

Comme (54) repr4sen~e lu puissance totule ubsorb~e, l 'on u uvec y -- kLs,

(56) L 3 fy~F(L-~ly) . So = (2~/ ~) dy

o

En ver tu de (52), F ( L ~ l y ) = v~L~E(y) d~finit E(y) norm4e s 1:

(57)

co

1 = ;2y~E(y) d y . J o

une 2onction universelle

'7 . - D 6 t e r m i n a t i o n d e F(k).

A condition que L s << Lo~ il existe une r4gion k <~ L s dans l~quelle lg :forme du spectre de vitesse F(k) est d~termin6e par le m~canisme de t rgnsfer t e t n~est p~s affect4e par la dissipation visqueuse. Dans cet te r4gion F(k) devrMt ~ t r e ind~pendgnt de 9~, ou v~LsE(kLs) ind~pendunt de ~. Celu ne peut visi- b l emen t avoir lieu qu 'uvec une loi de puissgnce pour E puisque L s renferme ~. E n posunt

E(kLs) -= const �9 (kL~) ~ ,

Page 21: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

1372 T. KAItAN

l 'on obtient , m o y e n n a n t (53)

knv ~Lz2 n + l , ~ kn~�89 + ~(n + :l) 'I

off l ' ind@endance par r appo r t ~ ~ exige �89 + 3(n ~- 1)/4 = 0, n -- 5 3"

Pour normer 17 de mani@re approch@e, on peut faire l'hypoth6se que ce

spectre v a u t pour routes les valeurs de k comprises entre l/L0 et 1 / L s , et qu ' au dels de ces limites, le spectre est coup@. D u c6t4 des grands hombres d~ondes, on l 'a vu, la viscosit5 agi t cer ta inement comme une coupure, tandis que du c6t~ oppos5 l~ source de puissance produi t na ture l lement des tour- billons d 'une certaine grosseur m a x i m u m L0. Moyennan t ces hypothSses l~ condition de normalisat ion (57) nous donne

l 'on en tire

et

1/L s f .

(2v/So) tk~ d k : 1 ; c o n s t t

1 . /Lo

const ~ e ~ i __ a(S0/@ ) __ ~(~o/V)5~ 2

(SS) F(k) = ~(S0/e)~k-~.

8. - Ailes du spectre des vitesses.

Aucune solution r~ellement s~tisfaisante n 'exis te pour cet te r~gion. L~ maniSre la plus simple d '~border ce problSme est de consid~rer le t ransfer t d'Snergie cin4tique des pet i ts nombres d 'onde aux grands nombres d 'onde comme un effet d '~mor t i ssement sur le m o u v e m e n t des gros tcurbillons. On est ainsi araen~ ~ introduire la notion d 'une viscosit~ tourbil lonnaire ~r(k) pou r dScrire l ' absorp t ion de l '4nergie d 'un tourbit lon de dimension k -1 pa r des tour- bfllons de dimension ~ k -1. Si l 'on ~dmet qu 'on peu t expr imer ~'(/~) moyen- nan t F ( k ' ) ( k ' ~ k) , l 'on obt iendra pa r ~ des a rguments de dimensions

(59)

co

V'(k) = const.@ ; d k ' [ F ( k ' ) / k ' a ] � 8 9

k

La constaute s '6value en r e m a r q u a n t que ~'(k) devra i t @tre grand compar@

Page 22: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

T U R B U L E N C E I O N O S P ~ I Q U E ~ T P ~ O P A G A T I O N D E S O N D ~ S ~ L E C T R O M A G N ~ T I Q ~ E S 1373.

s ~7 pour k ~ 1/L s e t lui devrait 8tre ~gal pour k = 1/Ls; d'ofl

co

= const- ~ fdk'[F(k')/k'~]�89

I l z s

Moyennant (58) cela donne

eonst = ~ ~ v ~ ~ 1 .

On peut d~s lors representer notre tr~nsfert de puissance s~ationn~ire comme un processus de dissipation off l'~nergie S~ dissip4e d~ns les tourbillons ]c'~ k, ou transf6r6e aux composantes de ~itesse v~, ~vec k ' > k, est donn6e pa r

k

(60) s~ = 2 [v'(k) + v] ;k'~F(k') dk ' . o

La condition de tr~nsfert st~tionnaire entraine que l'4nergie ne s 'aceumule ~ dans uucun intervalle donn4 de hombre d~oude et que, par suite, Sk est i nd , -

pendant de k et 4g~l ~ So. On obtient de la sorte, avec (59), l '4quation suivante pour /g(k) :

co k

k o

La solution, due h J . BAss, se met sous la forme

(62) F(k) = (S&/9e)~k-~[1 + (k/k~)'] - t

avec k s = (3Soq~/SV~) ~

Pour k ~ ks, on retombe bien sur (58), s un changement dSpourvu d ' im- port , r ice pros de ]a const~nte de no~mu]is~tion. En outre, lu valeur k~. esV

essentiellement identique ~ 1/L s donn~ par (53). Pour k ~ ks, F(k) se com- porte comme k -7

(63) F(lc) ~ s-~(soq/v)~k-7.

I1 y a intSr~t ~ comparer ici k s avec ko = 1/L et k~ = 1/L~, L z ~ta.nt le libre pareours moyen des molecules du gaz. La th~orie cin4tique des gaz nous fournit

~/~ = (2z/3)v~/k~ , et R = voLo/v~,L~

(hombre de tCeynolds).

Page 23: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

1374 m. KAHAN

On tire de (53)

(64) k~ = R~ko ,

(of. aussi (32)) et

(65) k~(S~/So)k~ ,

off Yon ~ in t rodui t S~ ~ ~v~k~, par analogie avec So. (64) mon t re que kz ~ ko, si seulement le nombre de l~eynolds est suffisumment grand. L '~qua- t ion (61) t ranche lu question plus subtile de savoir si les notions hydrodyn~- miques s '~ppl iqnent au fond duns la discussion du processus de dissipation. k~ >> k s est une condition n4cessaire pour celu~ et elle n ' es t ru lable qu '~ la condit ion que la puissance fournie So ne soit pus t rop grande. ~qous reviendrons sur lea aspects num6riques de ces conditions duns les applications ~ 1~ dif- fusion ionosph~rique.

~Notre analyse du spectre de vitesse 6tunt muin tenunt achev~e dana ses grandes lignes, nous a]lons passer ~ F6tabl issement des lois r6gissant 1s dif- fusion des ondes 61ectromagn6tiques.

9 . - D i f f u s i o n 61ec tromagn6t ique et s o n ca lcu l .

Calculons la diffusion que subit une onde 5leetromagn6tique de vecteur de p ropaga t ion ko dana une r6gion de l 'espace de volume V qui cont ient un milieu dont la constante diSlectrique s subit des f luctuations s = eo-~ As, o~ As est une fonetion al~atorie de r, As = ](r'). Nous admet t rons que les var ia t ions duns le t emps sont suff lsamment lentes et qn'elles n 'af fec tent p~s la diffusion.

L 'onde diffus~e par la mat i~re est li6e ~ux fluctuations du m o m e n t electri- que P par cm 3 autour de sa v~leur moyenne P. Lea ondes 61ectrom~gn6tiques coupl~es avec cette valeur moyenne P (P = ~ p ~ N p , p = m o m e n t ~lectrique d ' u n dipSle et la somm~tion s '~tendunt sur l 'unit5 de volume, N ~ nombre de dipbles par cm 3) se composan t pour res t i tuer une onde coh4rente reguli~re t ransmise. Les exc~s

(66) P - - P ---- A P (47~P : D - - E )

produisent pa r contre des ondes sph6riques incoh4rentes qui ne se d6truisent pus compl~tement pa r interf6rence, muis se propagent , bien au contraire, sous forme d 'onde diffus~e de t o u s l e s cSt4s. Si le dipSle est un oscillateur hurmo- nique, l e champ ainsi produi t aura pour forme clussique (r >> ~)

(67) E = e)~p sin X exp [ i (~ t - - k . r ) ] ,

(Z 5rant l 'angle de polarisation).

Page 24: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

'TURBULEI~C]i~ IONOSPI=[I~RIQU~, ET PROPAGATION-DES ON:DES ]~LECTR01~AGNI~TIQUES 1 3 7 5

L'intensit~ des ondes diffusSes par ces dipSles dans l'515ment de volume

d V = dr sera

~68) A ~ E d V : I ,

off A repr4sente la fluctuation par rappor t ~ la moyenne de la grandeur (67) ~ et la somme gtaht prise sur routes les ondes sph4riques issues des divers dip61es

{mol@ules) situ4s duns dr. En por tant (67) duns (68), l 'on obtient l 'intensit4

du rayonnement diffus6 par dV

co ~ 1 (2:~) ~ + 9 ) i - + + z p l d''

4)fi p~ est le moment instantau5 du i-~me dipble (mol@ule). Les fluctuations de la quantit~ ~ p~ sont dues ~ deux causes:

i a) fluctuation du hombre N d V des molgcules duns dV

,(70) N = ~V + AN ;

b) fluctuation des divers moments

pi = pi -~ A p i .

Si l 'on n6glige ce dernier type de fluctuation, l 'on aura:

~ p ~ = p ( N z- AN) et A ~ p ~ : ~ A N : N p ~ A V .

,Or, comme P = ( e - 1)E/4:~, ~ p, = (s--1)E/47~ et A ~ p, ~ As.E/4,n. Finalement l '6lement de volume dV devient un dip61e

P = ( s - - 1)E/4:~ et A P : As E" V/4:~

la fluctuation sera donc As : 4 : ~ A P / V . E .

de moment

I~ous supposerons duns cette premiere partie un milieu duns lequcl la dif- fusion est assez faible pour qu'il ne soit pus n@essaire de consid~rer qu 'un

seul pinceau diffus6. Les r4sultats peuvent alors s 'exprimer moyennan t une fonct ion de distribution radiale (6). La consideration de diffusion multiple

(6) Si 1~ fonetion n(2)(ri, rj)dr~drj est la probabilitg d'avoir une mol6cule dang l'6ldment de volume dr~ et une autre duns dr~ et si N >> 1, on ddfinit la fonction de distribution radiale g(ri, rj) par n<2)(r~, r i ) = n(ri)n(rj)g(ri, rj), n(ri) grant la densit6 au point ri. g(r~,rj)-~1 lorsque r~r - - [ r ~ - - r j [ ~ , et les 6carts ~ l'unitd mesurent les corr41ations dang leg positions de paireg de mol6cules.

88 - Supplemento al Nuovo Uimento.

Page 25: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

1376 m. m:AHA~

in t rodui t des fonctions de distribution d 'ordre plus 61ev6. Soit ko le vecteur de propagat ion de l 'onde ~vant la diffusion et k le mSme ~pr6s diffusion. Comme 1~ pr6sente analyse se borne s 1~ diffusion 61~stique

ko = k = 2 ~ / 2 ,

2 6t~nt la longueur d 'onde radio61ectrique. Les directions de vecteurs ko et k indiquent les directions des ondes incidentes et des ondes diffus6es.

Si

E~ ---- Eo exp [i(eot - - ko" r)]

est le champ de l 'onde incidente et

E -~ E~ exp [ i (wt - - hi" r)]

celui de l 'onde diffus6e, l 'ampli tude E~ de l 'onde diffus6e sera d'apr6s ce qui

pr6c6de (R >> ~ V )

zEo r (70) E~ ~ ~-R / A e ( r ) exp [ik. r] dr sin Z ,

, / F

X 6runt l 'ang]e entre lu direction de ] 'onde ineidente et 1s direction de lu dif-

fusion. D 'au t re par t

(71) K----IKI ----Iko-- k~] ---- 2k sin0/2

En introduis~nt 1~ section effie~ce a dt9 pour 1~ diffusion p~r unit6 de volume du volume d ~ u s e u r d~ns l 'angle solide d~9

l 'on obtient

(72)

a , v e c

(73)

Pour l ' ionosph6re

(74)

ad~2 = =* I M I ~ sin Z 2 d~2/V2 4 ,

M = f A e ( r ) exp [iK. r] d r .

Page 26: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

TURBULENCE IONOSPH]~RIQUE ET PROPAGATION DES OZNDES I~L~CTROMAGN]~TIQUES 1377

9ou

o~ = Ne~/m

N 4rant ]a densit6 d'61ectrons fibres dans le milieu. P a r cons4quent

(75) ~e _ ~o~ AN o~ AO AO

o~ g = - - ~o~/~ ~. On voi t que l ' ampl i tude des f luctuations d6cro~t en raison inverse du eaxr6

de la fr6qnence ~o; elles n 'a f fec teront done ni les ondes d6eim6triques, ni les ondes centim6triques. Passons m~in tenan t au calcul de M (73) qlfi figure dans (70) en tenant compte de (75)

(76) M = g/~o I A~o(r) exp [ ik . r] d r [

off ~o est la densit6 moyenne. ~ o t r e propos est de calculer cet te grandeur en nous ~ppuyant~ sur la th4orie de ]a turbulence homog~ne. Ces concepts ne s 'appl iqueront que si la longueur K -~ est comprise entre L~ et Lo:

(77) L~ -~ < 2k sin 0/2 < L~ ~ .

L~int6gr~le f igurant clans (76) est le coefficient de Fourier des f luctuat ions de densit6. Reprenons le dSveloppement de la densit6 en une s6rie de Fourier clans le vo lume diffuseur V suppos5 cubique

1 (78) ~(r) = V ~. ~(ki) e x p [ - - i k i . r ] ,

avec sa t ransform6e de Fourier

(79) o(k~) = f~(r ) exp [ik~'r] d r .

V

I1 est alors 6vident que M d6fini pa r (76) n ' es t au t re chose que

(so) M = g- o(K). ~o

l~echerehons m~in tenant une relat ion entre ~(k) et la grandeur (A~) z d6finie pa r (34). Cette quanti t~ (AQ)~ est const i tu te pa r des f luctuations dont la p 6 - riode spati~le est de l 'ordre de L. E n ver tu de la na ture al~atoire de ces ituc-

Page 27: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

1378 T. K ~ N

tuations, les diff6rentcs longueurs d'ondes n ' interf6reront pus et l 'on aura

I t '

L'intervalle est de l 'ordre de L lui-m~me et centr5 sur k ~ - I l L . (v/2~)~ est le hombre de composuntes de Fourier uyunt des nombres d 'ondes compris

entre k ct k + d k . Celu fournit upproximativement

(81)

et par suite,

_l 1 !~ (A~)~ = 67~ 2 V-L~IQ(1/L) ,

2VII ~ = 6 ~ ( g f e o ) ~ V L ~ ( A ~ ) ~ l ~ = ~ l ~ ,

et en y portan~ (34):

/ V \a y,l~la ,~=1/~ 2 2 0 M[ 2 6 z g V | - - ~ - -

E n substi tuunt cela duns (72), l 'on obtient

(vo~ ~ L1313 sin2 Z (82) a d 9 ~ 16~g 2 \ ~ } L ~ 2 ~ '*

en omet tan t le facteur 3i8. En posant L = K -~ e~ comptc tenu de (71), l 'on

finalement

r ( (83) a -- 3 V ~ Lo \ ~ ] \f~0] (2 sin 0/2)-13l 3 sin 2 Z-

La validit6 de cette expression est restreinte par lu condition (33). Elle

ne s 'applique que rant que

(84) L \ ~ ~ 2k sin 0f2 ~ L~ ~ .

On voit que les conditions de turbulence ne figurent duns lu section de

choc que sous lu forme v~/Lt. I1 s'ensuit que lu section efficuce est propor- tionnellc u Si et ne d6pend que de lu dissipation d'6nergie S. Remurquons lu d6pendunce ungulaire curuct6ristique en (sin 0/2)-13/3. En outre, a vurie uvec

la longueur d 'onde comme X1313. Si les conditions (84) ne sont plus v6rifi6es, on doit s 'a t tendre ~ des 6carts par rupport s (83). Le cus off L = (2k sin 0/2) -1

est comparable ou inf6rieur ~ L s est d 'un int6r~t purticulier. Duns ce cas les

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TURBULENCE IONOSPtt]~RIQUE ]~T PROPAGATION DES ONDES ELECTROI~&GN]~TIQUF.S 1379

tourbil lons de eet te dimension sont at t6nu6s pa r dissipation mol6culaire, et (Ar est alors plus pe t i t que (34). E n part iculier (AQ)z diminuer~ plus rapi- dement que L ~ lorsque L d6croit.

Si Port prend~ au lieu de (11), pa r exemple

(85)

off ~F(x) est une fonction 6gale ~ l 'unit6 pour x >> 1, et qui d6croit r ap idement pour x < 1, on obt ient alors un fac teur ]F(2/4zL~ sin 0/2)] 2 qui figurera dans l 'expression de la section efficace (83). I1 s~ensuit que 1~ diffusion d6croit plus r ap idement lorsque 2 d6croit ou 0 d6croit si (2k sin 0/2)-~< Lz. (70) et (71) p e r m e t t e n t de me t t r e la section efficace sous la forme

~2g2 / ~ 2 (86) a d d - - 2~t)2V Q(r) exp [ik.r]dr sin 2 zd~2.

V

Or

(s7) -~ ~r exp[iK.r]dr = xp[iK.rj d--f CAe(R)A~(R + r ) d R =

v

= i e x p [iK. r] V ~ - A ~ C(r) d r

en d6finissant une fonction d~autocorr61ation pa r

(8s) C(r)=+fdRA~(R)A~(R +r).

Si l 'on d6finit m a i n t e n a n t la t ransform6e de Four ier C(k) de C(r) par

( )Vo (89) C(r) = ) ~ xp [ - - ik. r]C(k) dk,

l 'on obtient

~2g2(~tC(K) sin2 Z dD (90) ~ d D = ~ U \ e2 / ,

avec K = 2k sin 0/2. Expr imons ma in tenan t la fonction de corr61ation C(r) m o y e n n a n t les ~

d6finis pa r (39) avec 9~ = AQk pour k # 0:

C(R)= A~(k)A~(R + r)= v f A~(R)A~(R A- r)dR V

= ~ q~_~ exp [ik'r]. k

Page 29: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

1380 T. KAIIAN

Avec ~:_~ ~o* et m o y e n n a n t (47), il vient

C(r) = ( ~~ t 2 k-~

Les seules contr ibut ions diff6rentes de z6ro $ 1~ valeur moyenne proviennent des eombinaisons

(a) k ' = k" k - - k ' = k - - k"

(b) k ' - - ~ - k - - k ~' k - - k ' = k "

Ainsi ~ ~ se r6duit 7c' k ~

2 ~ , (k 'vk , ) (k 'v_k, ) x (k'v~-k,)(k'vk,_k) �9

E n otttre, comme la condition d ' ineompressibil i t6 entraine ( k . v ~ ) = O, l 'on a

(k. ~ , ) ( k . v_~,) = (k~ .v~,)(k• ~_~,) = �89 i:k~•

~ v e e

et par suite

Cel~ donne

k• = k - - n " (k 'n ) ' , n . . . . k'/k,

k [ = [k~k '~ - - (k . ~')] /k '~ .

A~ ~ e ~ C(r)=2(e0/ypo) 2 5~ k-~ exp [ik. r] ~lv~,k, [21vk-~" Is [k~k'~--(k" k')]/lk2(k--k')2"

Comme en ver tu de (89) el (90) on n ' a besoin que de la t ransform6e de Fourier C(k) de C(r), met tons ]es sommes relatives aux k sous forme d' int6grales de Four ier m o y e n n a n t la subst i tut ion

k J

E n f~isant ~ppel en m6me temps s F(k) d6fini par (54) l 'on obt ient

Ae~e ~ c(r) = Z(eo/epo),(2~)-3 f dkk-, e x p [ i k - r ] .

�9 arF(k')F(I k - k ' ] ) [ k ~ ( k - - k")~ ]

Page 30: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

~])URBULENCE IONOSPH]~RIQUE lIT PROPAGATION :D:ES ON:DES ]~L]~CTl%Ol~AGN~TIQUES 1381

.soit, en ve r tu de (90),

~W ( [ k ' ~ " - - (k- k ' ) T (91) ~ C(k) -~ ~(eo/yPo)~k - ' ~ d k ' ~ ( M ) . F ( ] k - k ' l ) [ k ~ ( k _ k,)~ j .

,Calculons d ' abord (91) pou r le cas

{92) /~0 << k << ks .

V~L~-)~RS et WEZSSKOF~ emploient duns ce cas le spectre 2w(k) donn5 par (58), en ut i l isant un cut-off ~ k ~ k s e t ~ k ~ ko. I1 se t rouve toutefois qu 'avee les hypotheses de (92), l ' int4grale sur k' - - appelous-]~ J(/~) - - est essentiellement ~nd~pendante des denx limites. On t rouve:

(93) AO~ C(k) ~_ 27~(Oo/ypo)~(So/O)~/~k-~/~H

.off la valeur approchSe de H eat

(94) H = 1.2 & 1.6(k/2ks)~ + . . . .

A la l imite de hombres d 'ondes tr~s 61evSa

(95) k >> k s ,

i t ( ks /k ) eat 4gal s 8/5(kJk)'2~ compar~ ~ 1.2 pour le cas k ~ k s. Lea sections efficaces pour lea deux e a s k ~ k z et k >> k s sont

,(96)

(97)

( ~ _ O.6g2(vo/V~)~(~/2z)~/3L~4/312 sin 0/2]-~/3 sin 2 Z, 2/: sin 0/2 ~< k s .

( r ~ 0.8g~(vJv~)~(~/2~)TLo~L~5[2 sin 0/2] -~1 sin 2 Z, 2k sin 0/2 ~> k s .

Appl iquons ma in tenau t la formule de dif- ius ion (83) aux observat ions de BAYLEu et al . , au coura desquelles nn pinceau de 50 MHz 4t~it diffns~ par la couehe :E. Lea conditions g4om4triques de ces auteurs 4 ta ien t celles repr4sentSes sur la Fig. 2. On obt ient alora pour le r appor t P,/P~

.de l~ puissance repue s la puissance 4mise

P , bA ( 9 s ) - - = 4 ~

P~ sm (0/2) d ~ ' Fig. 2.

off b e s t l '4paisseur de la couche diffusante et A est la surface d ' ape r tu re 4qui- va lente de l ' an tenne r4ceptrice dSfinie pa r G = 47~A/~ 2, G 4tant le gain de Y~ntenne, et o~ d est ]a distance de transmission.

Page 31: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

1 3 8 2 T. KAZAN

Duns les exp6riences ed :BAILEY et al., les donn6es 6taient les saivantes.

2 - - 1 0 2 c m , A = 3 . 1 O ~ c m 2, d = 1 . 2 . 1 0 8 c m , b = 5 . 1 0 5 c m , 0 = 2 4 0 .

En subst i tuant dans (98) ees valeurs,, avee g eorrespondant g w~ = 1.5 MHz~ Mnsi que les constantes de turbulence donnSes par (35), l 'on obtient la valeur

th6orique

(99) P" p , -- 1.0"10 -1~ ,

alors que l 'expSrience fourni t

P_L =0.36.10-1s . P~

Th~orie et expb,rience sprit donc en accord remarquable. Deux hypotheses implicites se t rouvent ~ la base de ces theories de la dif-

fusion tm'bulente. En premier lieu on ne t ient pus compte des diffusions mul- tiples, ce qui peut se Ib,gStimer duns certaines parties, de pet i te densitb, ~lectro- uique on ionique, de l'ionosph~rc. I1 n 'en est plus de m~me duns les plasmas plus denses et de caract~re plus g6n4ral. I1 sera donc int4ressant de reprendre~ ces cMculs duns le cadre plus large des diffusions multiples.

Une seconde hypoth~se conduit ~ admet t re la th4orie de la turbulence isotrope, homog6ne et stationn~ire [1-15]. Or, le point de d~p~rt de t~ th~orie de la turbulence est lib. ~ l%quution de Navier raise sous la forme

~v Vp (100) ~ - + (v.V)v = - - - - + r A y .

Or, duns les plasmas de na ture et de propri~t~s plus g4n~rales, si~ges de champs 41ectromagnb,tiques rapidement et lentement var iables , et rendus bir4fringents. par l 'effet des champs m~gn~tiques, il apparMt que la force de Lorentz est. susceptible de modifier profondb,ment, entre autre, le caract~re isotrope de la~ turbulence, ce qui amine ~ met t re les ~quations de Navier sous la forme

(101) D--t- + ( v . V ) v = -~ (o~E + # j A H ) - - Vp + , A v ,

9e et j 6tant d6finis par les 6quations de Maxwell

s DE div eE =- 4 ~ , 4zej -- c ~t + rot H , avec div H -- 0 ,

Page 32: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

TURBULENCE IONOSPPIERIQUE ET PROPAGATION DES ONDES ]~LECTROMAGN]~TIQUES 1383

et

# ~H - - rot E ,

e ~t

s 6rant en g6n6ral un tenseur d,3 second ordre. Dans ces plasmas, de earact6re tr~s g6n6r~l, ]e champ 61ec~rique E et le

champ magn6tique H sont susceptib]es de eomporter des composantes fluc- tuantes. Ces composantes E~ et H• doivent 6tre ~ leur tour d6velopp6es en

s6ries de Fourier

E~(r) : rE(k) exp [ i k ' r ] dr, Hi(r) ---- f H ( k ) exp [ i k . r ] d r ,

la mani~re du champ de vitesse v e t de la pression p. I1 ~pparait d6s lors

n6cess~ire, dans la th6orie g4n6rule de la diffusion turbulente des ondes 41ectro-

magn6tiques, de prendre pour base des e~lculs les 6quations de ~ v i e r mo- difi6es (101), tout en tenant eompte de la diffusion multiple.

R]~F]~ RENCE S

[1] L. AGOSTINI et J. BASS: Les thdories de la turbulence (Paris, 1950). [2] J. BAss: Les mdthodes modernes du eatcul des probabilitds et leur application aw

problgme de la turbulence (Paris, 1946). [3] J. BASS: Compt. Rend. Paris, 228, 22 (1949). [4] G. K. BATCEELOR: Turbulent motion, in Rep. Progr. Phys., 15, 101 (1952). [5] D. K. BAYLEY, R. BATEMAN, H. G. BOOKER, L. V. BERKNER, E. M. PURCELL,

G. F. MONTGOMERY, W. W. SALISBURY et J. B. WIESNER: Phys. Rev., 86, 141 (1952).

[6] H. G. BOOKER et W. E. GORDON: Proe. InsL Rad. Eng., 38, 401 (1950). [7] W. HEISENBERG: Zeits. ]. Phys., 124, 628 (1948). [8] T. KAHAN: Compt. Rend. Paris, 241, 1726 (1955). [9] T.

[lO] A. [11] E. [12] H. [13] F. [14] J. [15] c .

KAHAN: Di]]usion multiple, etc. (in6dit). N. KOLMOGOROFF: Compt. Rend. Acad. Sci. Moscou, 30, 301 (1941). C. S. MEGAW: Nature, 166, 1100 (1950); Proc. Inst. Eleetr. Eng., 100, 7 (1953)~ STARAS: Zeits. Appl. Phys., 23, 1152 (1952). VILLARS et V. F. WE~SSKOP~': Phys. ~Rev., 94, 232 (1954). VOGE: Onde Electrique, 35, 564 (1955). :F. V. ~u Zei~.s. ]. Phys., 124, 614 (1948).

Page 33: Turbulence ionosphèrique et propagation des ondes électromagnétiques

1384 T. KAHAN

0 S S E R V A Z I O N I E D I N T E R V E N T I

Es t - ee -que le spec t re F(k) de la fonc~ion de cor re la t ion (r) employ6e p a r Wei s skopf e t Vil lars diff~re essen~iel lement de celui dgr iv6 p a r Kolmogorof f e t t l e i s enbe rg?

- - T. KAI~AN :

Le mod~le de Kolmogoroff e t I:[eisenberg cons t i t ue la base du t r a v a i l de WEISSKOI'F oet VILLARS.

- - K. RAWER:

Si l ' on compare ce t te belle th@oric a u x r6su l t a t s des exp4r iences on re~rouve d e u x ~difficult6s: la p remiere es~ donu6e p a r le fa i r que l ' a l t i t u d e de (( ~6flexion es~ n e t ~ e m e n t a u dessous de eelle de m a x i m u m de l ' i on i sa t ion de la r6gion E (120 kin) . L a diff6rence e s t de l ' o rd re de 40 km. A pr io r i on d i ra i t que l'effe~ de diffusion du r a y o n n e m e n ~ �9 g ta i t m a x i m u m au m a x i m u m d ' ion i sa t ion . I1 s 'agi~ doric de t r o u v e r la ra i son pou rquo i .cet te diffusion a l ieu vers 80 km. I1 es t possible qu ' f l y air 1s unc t rbs fo r te t u r b u l e n c e qu i d e v r a i t @tre expliqude.

L a deuxi~me diffieultd es t due aux m6t6ores qu i n ' o n t pus s e u l e m e n t a n effet d i rec t d ' ionisa~ion. Cet te ionisa~ion assez fo r t e coneen t r6e duns une t r a c e mince donne cer- t a i n e m e n t l ieu s une ref lexion par t ie l le du r a y o n n e m e n t . L ' in f luence des m6t6ores semble d ' a i l l eu rs se r e t r o u v e r duns les courbes ob t enues p a r la v a r i a t i o n journa l i~re de l 'effet off l ' on observe le m a x i m u m duns la n u i t c o n n u de la s t a t i s t i q u e des m6t6ores .

- - D. GI~AFI,'I :

Con la t eor ia che Lei h a espos to si calcolano le va r i az ion i della cos t an t e d ie le t t r i ca 4 o v u t e alle f lu~tuazioui di densitY. ]~ possibi le calcolare fl c a m p o e l e t t rom~gne t i co in e o r r i s p o n d e n z a di ques te va r i az ion i di costan~e dielettricar

- - - T. KAH&N:

possibile, m e d i a u t e u n m e t o d o del r ipe di quello delle p e r t u r b ~ z i o n i .