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C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, Skrie I, p. 307-312, 1997 GkomCtrie algkbrique/Algebraic Geometry Un problhme inverse pour la r&duction des groupes alghbriques commutatifs Boris KUNYAVSKII et Jean-Jacques SANSUC B. K. : Bar-Ran Liniversity, Department of Mathematics and Computer Sirnw. 52900 Ramat Can, Israrl; E-mail: kunyavOmac,s.l,iu.a(..il J-J. S. : Institut clr MathCmaticlurs de Jussiru. CNRS UMR 9994. UnivrrsitC Paris-VII - Drnis-Diderot, UFR de Mathbmatiqurs, CBSP 7012, Tour 45-55. 5” btagr, 2 plaw Jussiru, 75251 Paris CEDEX 05, Francr. E-mail: sansur~mtlth.jussirll.fr R&urn& Nous Ctudions le problkme de la construction sur un corps I)-adique d’un tore algCbrique (resp. d’une variCt6 abelienne) dont le modtile de N&on ait comme composante neutre de sa fibre spkiale un groupe unipotent commutatif connexe donnC sur le corps rtsiduel. An iuverse problem for reduction of commutative algebraic qoups Abstract. We study u problem of constructing an ulgebrcric torus (un Abe&n vcwiety) otter u pndic jield ujhose N&on model uwdd have a given connected wmmututive unipotent group US the identity component of its special ,fihre. Abridged English Version PROBLEM. - Given a p-adic field K with ring of integers U and residue,field k:, and u commutative algebraic X:-group B, does there exist a commutative algebraic K-group E udmitting u Net-on model & whose speciul jibre f x 0 k is isomorphic to B ? We study this problem for a connected unipotent group B, trying to find an algebraic torus (resp. an Abelian variety) E with the identity component of the reduction E” isomorphic to B. If for some K such an E exists, we say that B is t-admissible (resp. a-udmissible). If the characteristic of the residue field is sufficiently large with respect to the dimension, there is a serious obstruction to t-admissibility. THEOREM 1. - For any d there is an integer no = no(d) such that, among the unipotent k-groups of dimension d with char k: > 71 ,(I. only those groups isomorphic, to Gf are t-admissible. Note presentke par Jean-Pierre SISRKL. 0764-4442/97/03240307 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier. Paris 307

Un problème inverse pour la réduction des groupes algébriques commutatifs

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C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, Skrie I, p. 307-312, 1997 GkomCtrie algkbrique/Algebraic Geometry

Un problhme inverse pour la r&duction des groupes alghbriques commutatifs

Boris KUNYAVSKII et Jean-Jacques SANSUC

B. K. : Bar-Ran Liniversity, Department of Mathematics and Computer Sirnw. 52900 Ramat Can, Israrl; E-mail: kunyavOmac,s.l,iu.a(..il

J-J. S. : Institut clr MathCmaticlurs de Jussiru. CNRS UMR 9994. UnivrrsitC Paris-VII - Drnis-Diderot, UFR de Mathbmatiqurs, CBSP 7012, Tour 45-55. 5” btagr, 2 plaw Jussiru, 75251 Paris CEDEX 05, Francr. E-mail: sansur~mtlth.jussirll.fr

R&urn& Nous Ctudions le problkme de la construction sur un corps I)-adique d’un tore algCbrique (resp. d’une variCt6 abelienne) dont le modtile de N&on ait comme composante neutre de sa fibre spkiale un groupe unipotent commutatif connexe donnC sur le corps rtsiduel.

An iuverse problem for reduction

of commutative algebraic qoups

Abstract. We study u problem of constructing an ulgebrcric torus (un Abe&n vcwiety) otter u pndic jield ujhose N&on model uwdd have a given connected wmmututive unipotent group US the identity component of its special ,fihre.

Abridged English Version

PROBLEM. - Given a p-adic field K with ring of integers U and residue,field k:, and u commutative algebraic X:-group B, does there exist a commutative algebraic K-group E udmitting u Net-on model & whose speciul jibre f x 0 k is isomorphic to B ?

We study this problem for a connected unipotent group B, trying to find an algebraic torus (resp. an Abelian variety) E with the identity component of the reduction E” isomorphic to B. If for some K such an E exists, we say that B is t-admissible (resp. a-udmissible). If the characteristic of the residue field is sufficiently large with respect to the dimension, there is a serious obstruction to t-admissibility.

THEOREM 1. - For any d there is an integer no = no(d) such that, among the unipotent k-groups of dimension d with char k: > 71 ,(I. only those groups isomorphic, to Gf are t-admissible.

Note presentke par Jean-Pierre SISRKL.

0764-4442/97/03240307 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier. Paris 307

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6. Kunyavskii et J.-J. Sansuc

Since B is isogenous to a product of Witt groups (ser 191, Ch. VII, $ 2, Th. 1), we focus our attention on the t-admissibility of W,, beginning with WI = G;, and WZ.

THECREM 2. - The additive group G!& is t-admissible. The group of Witt vectors W~,A, is t-admissible if and only ij’ p 5 5.

The key point in proving Theorem 2 is the case of a norm torus T = Rk,,G,, defined as the kernel of the norm map Rt’/t<G,,, - G,,,, where RF/~. denotes the Weil functor of restriction of scalars. Since N&on models are compatible with &ale base change. without loss of generality we can suppose E’/K totally ramified. We compute the reduction in the tamely ramified case.

THEOREM 3. - Let F/K be a totally rumijied extension qf degree rl+ 1 prime toy. Let T = Rk,,G,,

be the norm torus, and let T be the reduction of T. Then the identity component T” is isomorphic to

rI WT., ,F 3 l<i<rl (,.p)=I

where r, = miu{r. : y“ 2 (d + 1)/i} and W,, is the group of Witt vectors of length n. As a corollary, we can determine the reduction of any torus split by a tamely ramified extension,

thus answering a question put in [S].

THEOREM 4. - Let T be u d-dimensional K-torus split by a tamely ramijed e.xtension L. Then the unipotent part of the identity component To of the reduction is k-isomorphic to a product of Witt groups W,,, J., which can be explicitly determined.

For Abelian varieties, we use rigid uniformization to prove the following theorem.

THEOREM 5. - IJ’a t&potent k-group B is t-admissible, then it is u-admissible. As a corollary, we get explicit examples of Abelian surfaces with reduction of Witt type.

0. Introduction

Soient K un corps I)-adique (i.e. une extension finie de Q,) et c3 l’anneau des entiers de K. Soit E un K-groupe algebrique commutatif. D’aprks ]I], 10.2.2. si E ne contient pas de sous-groupe additif, on peut construire un modele E de E qui soit un 6-schema en groupes localement de type fini, de fibre generique E, et qui possbde la propriett de N&on (uoir definition 1.1). Soit k: le corps residuel. La fibre speciale E = & xc, X: de E est un k-groupe algebrique commutatif.

PROBLBME 0.1. - .&ant donnes un corps y-adique K de corps residue1 k, et un k-groupe commutatif B, existe-t-i1 un K-groupe commututif E qui admette un modele de Ne’ron E de jbre speciale & xc? A: isomorphe a B ?

Nous nous limitons au cas oti B est connexe, et nous considerons deux cas extr$mes.

DEFINITION 0.2. - Un k-groupe B est dit t-admissible (resp. a-admissible) s’il existe un corps p-adique K de corps residue1 X: et un K-tore (resp. une K-variett abtlienne) E tel(le) que la composante connexe E” soit isomorphe a B.

I1 est clair que tout k:-tore (resp. toute A:-variett abelienne) est t-admissible (resp. a-admissible). Par torsion galoisienne d’un produit direct de K-courbes de Tate, on peut demontrer que tout X:-tore est a-admissible. Le cas des k:-groupes unipotents est plus difficile : voir [4]. [S] en ce qui conceme le cas additif B = G;:,,.

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Un probkme inverse pour la kduction des groupes algkbriques commutatifs

Duns foute lu suite, U esl utlipotenr. La t-admissibilitC de 13 donne lieu 1 une certaine obstruction :

THEOR~ME 0.3. - Pour chaque tl il e.riste un entier no = U,J( ~1) rel que, .si X: est un corps de ccrructe’risrique > 110. Ltlors, purmi Ies X-groupes unipotents de dimension d, Irs ,seuI.s groups t-admissibles sent crux qui sent isomorphes ir GJ(.

On doit done modifier Ie probEme 0.1 dans ce cas.

PROBL&E 0.4. - &ant donn&.c un corps fini x, e1 rtn enlier d, que/s sotrl /es A,-groupes unipotcnts B de dimension d qui sent r-adtnissibles .?

Sur un corps X: parfait, tout groupe unipotent est isogkne ?I un produit de groupes de Witt W,, (wit 191, Ch. VII, $2, Th. I : ce thCor&me est CnoncC pour A: algibriquement clos mais la demonstration vaut aussi pour A. parfait) : il semble done nature1 de restreindre cette question au cas oh B = W,, ; pour d = 1,2, la rCponse est donnCe par le theorkme 3. I.

Les dCmonstrations sont fondles sur l’utilisation du modkle de Voskresenskii. La composante neutre de ce modhle coi’ncide avec celle du modkle de N&on-Raynaud, sauf dans le cas de ramification sauvage (proposition 1.4). On utilise une formule explicite pour la rtduction d’un tore normique (thCor?me 2.1). Le cas d’un tore deploy6 par une extension modCrCment ramiti& se ram&e 5 cc cas-18 (thCor?me 2.2).

Pour ce qui est de la a-admissibilitt, on a le rCsultat &n&al suivant.

THEOR~~ME 0.5. - Un k-groupe unipotenl qui est r-udmissible est wssi u-crdtni,ssihle. La dkmonstration de ce thCor6me utilise l’uniformisation rigide (voir 121). Les th&remes 0.5 et

2.1 impliquent le corollaire suivant.

COROLLAIRE 0.6. - Si p 5 5, il rxiste UN corps ,fini A; de cwracte’ristique p rel qup le groupe Wz,k soit cl-admissible.

1. Moditles entiers des tores algibriques

Nous rappelons la dkfinition du modkle de N&on-Raynaud ct celle du modtle de Voskresenskii, et nous etablissons un lien entre ces deux modtles dans le cas de tc bonne reduction )b.

DBFINITION 1 .l (voir [I]. 10.1. I). - Un C)-schCma en groupes 7 = 7~n. lisse et sCpar6. est dit mod&le de N&on-Raynaud d’un K-tore algtbrique rl’ si la fibre g6drique 71i est A-isomorphe i T et si 7 posskde la proprittt de N&on : pour tout 0-schCma lisse 7’ et tout K-morphisme des fibres gCnCriques ‘//,I<: ?;:- -+ 71~. il existe un 0-morphisme unique ‘(I: 7’ -+ 7 qui prolonge ‘~/,~i.

Le modkle de N&-on-Raynaud est unique. et c’est un C3-schema localement de type fini. Pour construire ce modtile 7~n, on pro&de comme suit. On construit d’abord le modtYe G,,, du groupe multiplicatif G,,,,l< en recollant G,,,,C~ avec les exemplaires 7r”G,,,,c,. oti lip est une uniformisante de 0 et oti 71, parcourt Z. Pour un tore T quelconque, soit L le corps de diploiement de 7’. On plonge alors T dans le tore quasi-dkploy6 5’ = RI,,l\.T~ c-’ RL,IiG:I,,L, ol RL,li d&igne le foncteur de Weil de restriction des scalaires. Soit Gi,, le mod?Je de G ,r,,~, et soit 7’ l’adherence schCmatique de

T dans la restriction de Weil 11’,,,,,(1,, G:,,. On obtient le modhle 7 ti partir de 7’ par le processus de (< lissification en groupes B (<< group smoothening D. voir [ 11, 10.1).

DI~FINITION 1.2. - Soit B le sous-groupe compact maximal du groupe localement compact T(K). Soit R = { .f E K[T] : t/h E B. f(b) E 0) ( voir 1101, 52). Le schema en groupes 7~ = Spw R est dit mod2le tninimal de Voskresenskii du tore 7’.

Le modkle minimal de Voskresenskii est unique, et c’est un O-schCma de type fini. Nous introduisons la terminologie nCcessaire concernant la reduction des tares.

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DE$INIIWN 1.3. - Soit 7,. le modele minimal de Voskresenskii d’un K-tore T. La fibre speciale T = ‘TX. x c1 h: est appelee la rkduction de T. Le tore T est dit de trks bonne rkduction si ?? est un X:-tore, de hotme rkductioll si T est un X-groupe algebrique, et de mauvaise rtfduction si T est un k-schema non reduit.

Dans It: cas de bonne reduction. nous awns le lien suivant entre le modele de Voskresenskii et celui de N&on-Raynaud.

PROPOSITION 1.4. - Si 1‘ est de borme rtlduction, on a un isomorphisme de k-groupes TkR N Ty7, 00 TLlc (resp. ry.) dc;.si,yne la c’omposante neutre de lct$bre spkciale du modPle entier ?;R (resp. TV) de T.

Apergu de la dkmonstration . - Pour les modeles de N&on-Raynaud des tores deploy&, on a (s’;;,)” r” G;;,,,., = Spw U[.I~ ~ . . . .I:,/, .I.;‘. . . . :$ 1. Si R est le modele de N&on-Raynaud d’un tore quasi-deploy6 RL/l<GIII, on a R” = RC>,,~oJ, G,,, (voir [S]. 3.1). On obtient done I<n comme lissitication de I-adherence schematique de T dans Rc~,,~~,,, Gi, (tloir 1 .I ). De plus, dans le cas de cc ramification mod&e )>, la reduction est bonne, et on n’a pas besoin de lissification (voir [3]).

D’autre part, on peut obtenir r,. h partir d’un plongement de T dans un tore quasi-deploy6 5’ (voir ] 101, $4). On peut mower que le resultat ne depend pas de S, et que par consequent on peut prendre S = HI,,,<G;‘,, comme pour les modeles de N&on-Raynaud.

2. Tores dbployks par une extension modkrkment ramifike

Voici d’abord une formule explicite pour la reduction d’un tore normique, ce qui generalise [lo], $4. Soit F/K une extension time (non necessairement normale). et soit T = Ri-,,G,, le tore normique

defini comme le noyau de l’application norme N: E?F/KG,,, + G,,,. Nous voulons calculer la reduction de T en nous limitant au cas de bonne reduction. Comme le modele de N&on est compatible avec le changement de base &ale (voir [ I], 72.1 (ii)). on peut se restreindre au cas totalement ramifie.

TH~OKEME 2.1. - Soit F/K une r.~tension totalement ram@e de degrk VI. = d + 1 premier b p. Soit 7’ = Ri,.jl,. G,,, Ir tom rrormiyue, et .soit T SN rgductiorl. Alors T” est i.romorphe au produit

I-I w,., .k. l<lIl_d (/.J,)=l

oh 7’; = niiii{r : p” 2 /r/./i}, et 012 W,, est ie groupe drs vecteurs de Witt de longueur 71. Apergu de la dr’monstration. - On a une isogenie entre T et Tl = RF/KG,,, jGln,kr de degrt

premier a p. On en deduit un isomorphisme de /+groupes unipotents To E Ti. Le modele de NCron- Raynaud de T’r est I; = R,,, ,~I,~GL,/G~~~. ou 4,,, est le modele de Gm,h-, Gi,, le modele de Gm,E. Sa fibre sptciale T,(k) s’identifie au groupe if (‘I’) des unites de l’anneau C3~Irh-0~ Z k[X]/(X”‘) congrues a 1 modulo K,E1 ou 7~1; (rap. YTF) est une uniformisante de 0~ (resp. (3~). L’exponentiehe d’Artin-Hasse dehnit un isomorphisme de riiTr’) sur un produit de groupes de Witt (voir 191, Ch. V, prop. 9).

L’etude de la reduction d’un tore arbitraire se ramene au cas des tores normiques, ce qui nous permet de repondre a une question _pw?e dans [S] : determiner tous les groupes unipotents qui peuvent apparaitre dans la reduction T d’un K-tore T. Quant a la partie torique de To, elle a deja CtC determinee dans 1.51.

TH~OR&ME 2.2. - Soit 7’ UFI K-tore de dimension d dent le corps de dkploiement ~5 soit modkriment ramiji sur h’. 01 put-tie unipotente de r” est ulors k-isomorphe i2 un produit de groupes de Witt W,, / .k yu ‘on peut dkterminer explicitement.

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Un probkme inverse pour la rkduction des groupes algCbriques commutatifs

AperGu de la defmonstration. - On peut supposer L/K totalement ramifiee. On utilise une isogenie

de degre premier a p (voir [6], 1.3.3, [5]. 3.3) qui induit une isogenie des modeles entiers (voir [l], 7.3.6), et une isogenie des composantes neutres de leurs reductions ce qui donne un isomorphisme des parties unipotentes CL,, : U”’ x (1, -+ tJ2, oti U designe la partie unipotente de T”, et ou les li:-groupes unipotents U1 et CT2 sont don&s par les formules explicites du theoreme 2.1. Mais li est isogene au produit des groupes de Witt Wd7, oti les nombres (Ii sont uniquement determines (voir 191, Ch. VII. $2, Th. I) ce qui donne T” a k-isomorphisme pres.

Comme nous l’a indique M. Raynaud. on a, dans le cas ou T est un K-tore deploye par une extension cyclique F. totalement ramifite. de degre ~1. premier a p. un moyen plus explicite de determiner les groupes de Witt W,,,, A. qui apparaissent dans la reduction, dts lors que le corps X: contient les racines rrb-iemes de I’unite. Soit M = ?‘. Le groupe /L,, agit sur la reduction &r = ,I1 8% Z/pZ, et le caracttre correspondant Y/J se decompose en somme de caracthes irreductibles ,(I, de degres I’;. dont le caractere trivial avec multiplicite 1. On a alors. sous ces hypotheses et avec ces notations, le resultat suivant CM. Raynaud) :

TH~OR~ME 2.3. - La rkduction T” est X:-isomorphe au produit G!,,,k x n,;:,.,,,,, W, I. Remarque. - On peut aussi exprimer ce resultat au moyen des (< caracteres fondamentaux B (voir

171, 1.1).

3. Groupes unipotents t-admissibles

Dkmonstration du thkorkme 0.3. - Soit na = no(d) l’ordre maximum d’un sous-groupe fini de GL((I1, Z). Alors pour tout corps p-adique K de corps residue1 k, et tout K-tore T de dimension d et corps de dtploiement L, on peut borner l’indice de ramification de L/K :

e < [L : K] = /G/ < 710 < Jo.

De la condition e < p if decoule que la partie unipotente de To est isomorphe a Gt (151, 0.1). Considerons les cas WI = G, et W2.

THI~OR~ME 3.1. - Le groupe additif Gt,k est t-admissible. Le groupe des vecteurs de Witt Wz,k est t-admissible si et seulement si y < 5.

Apergu de la de’monstration. - Tl = R1

Les seuls K-tores de dimension 1 sont TI = G,,,,lc et F,l,.GE,, oti F/K est une extension quadratique. On a T1 = Gn,,k et T2 = RiIb,G,,,

si F/K est non ramitiee, T, N {&l} x G,,k. si F/K est ramifiee et p # 2 (voir theoreme 2.1), et T est un schema non reduit pour p = 2 (voir [3], [lo]). Dans ce dernier cas, on peut obtenir le modele de N&on-Raynaud Y&n en Cclatant celui de Voskresenskii 7~. (voir 131, 4.3) ; pour sa reduction, on a To NH Y G;, (voir [5], 3.2). Cela donne la t-admissibilite de G!j : on doit prendre le produit direct de o! exemplaires de T?.

Dans le cas (1 = 2, nous utilisons la description explicite des tores de dimension 2. Pour J) = 2, le theoreme 2.1 donne la reduction du type W2 pour des tores normiques TL = RL,,G,,, correspondant aux extensions galoisiennes cubiques ramifiees. Pour p = 5. nous considerons une extension quadratique ramifiee Q/K et nous prenons T = ker[RylKTL -+ TL]. Pour p = 5, nous considerons des extensions quadratiques ramifites Q/K et F/K et nous posons T = ker[RyFlh~G,,, --+ RF,,liG,,,]. Dans tous les cas. To est isomorphe a W2.

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B. Kunyavskii et J.-J. Sansuc

Renzavqur. - Dans IS], les auteurs construisent des modi?les entiers des tares d6ployh GE,, de fibre spkciale W,,,k pour tous les entiers tl, mais. bien entendu, ces modkles sont loin d’&tre minimaux.

4. Groupes unipotents a-admissibles

D&xm.stration du thPorPmr 0.5. - Soit T un K-tore tel que T* soit isomorphe B li. On a T x J, I, cv Gil,,,,>, oti L est le corps de dCploiement de T.

Consid&-ens la courbe de Tate Cy dCfinie sur II?. Soit CIr’ le produit direct de rl exemplaires de C:. On a l’uniformisation rigide de C” :

(1 <I 0 --+ 2 - G,,, i C (1 - 0.

On peut tordre cette demi&-e suite exacte par l’action de Gal(L/h’) correspondant au module des caracteres de ‘I’. Nous obtenons la suite

qui est l’uniformisation rigide d’une certaine variCtC abClienne il (qui est une K-forme tordue de C”). D’aprks 121, 2.2. 2.3, on a A0 N To, d’oti le rCsultat.

Remarque. - La demonstration du thCor&me 0.5 foumit des exemples explicites de surfaces abCliennes qui ont we rCduction du type W:!. On peut considirer un corps dyadique K qui admette une extension galoisienne cubique ramifiCe L, et prendre

A = kw[RI,,I<C%‘],

ob Cr dCsigne la courbe de Tate dtfinie sur h’. Le tore T = Ri,, G, est alors l’uniformisation rigide de .4, d’oti le resultat. Si y = 5, nous considCrons une extension quadratique ramifiee Q/K et la surface abdlienne A comme ci-dessus, et nous prenons S = ker[R.yjKA -+ A]. Si p = 3, nous considhons des extensions quadratiques ramif%es Q/K et F/K, et nous posons S = kcr[RyF,h.C -+ RF/KC]. Dans tous les cas. I5’” est isomorphe g W?.

Remerciements. Les auteurs remercient S. Bosch, B. Edixhoven, B. Gross, D. Kazhdan, B. Mazur, J.-P. Serre, V.E. Voskresenskii et X. Xarles pour des discussions fructueuses. Nous sommes particulihement reconnaissants B M. Raynaud dont les remarques nous ont permis d’amCliorer une premiltre version de cette Note. Le premier auteur remercie I’Universid de Franche-ComttZ, Harvard University, 1’UniversitC de Paris-VII, Sonderforschungsbereich 170 (Universittit Gtittingen) et I’Universite de Caen de leur hospitalitC pendant la pCriode oti ce travail a CtC

corqu et accompli : sa recherche a &Z partiellement subvention&e par le Minis&e d’Absorption (Israel).

Note remise le 24 juin 1996, acceptee apr?s rCvision le 9 octobre 1996.

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