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C. R. Acad. Sci. Paris, t. 330, Série I, p. 795–800, 2000 Équations aux dérivées partielles/Partial Differential Equations Un problème non linéaire intervenant en dynamique des populations Aref JERIBI Département de mathématiques, faculté des sciences de Gabès, route de Médenine, 6029 Gabès, Tunisie Courriel : [email protected] (Reçu le 6 janvier 2000, accepté le 16 mars 2000) Résumé. Dans cette Note nous présentons quelques résultats d’existence généraux pour des équations de transport monodimensionnelles avec des conditions aux limites non linéaires intervenant en dynamique des populations. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS A nonlinear problem arising in growing cell populations Abstract. In this Note we present some general existence results for one-dimensional transport equations with nonlinear boundary conditions arising in growing cell populations. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Abridged English version In this paper we study the solutions of the nonlinear model arising in the theory of Growing cell population. It is about the following problem: λψ(a, ‘)+ ∂ψ ∂a (a, ‘)+ σ ( a, ‘, ψ(a, ‘) ) = Z 2 1 r ( a, ‘, ‘ 0 ( a, ‘ 0 )) d0 , ψ |Γ1 = |Γ2 , (1) where (a, ‘) ∆ := {(a, ‘) such that 0 <a<‘, 1 <‘<‘ 2 } with 0 <‘ 1 <‘ 2 < . ψ(a, ‘) represents the density of the population with respect to age a and cell cycle lenght . The cells cycle length of individual cells is an inherent characteristic determined at birth, i.e., the duration of the cycle from cell birth to cell division is determined at birth. The constant 1 (resp. 2 ) denotes the minimum cycle length (resp. the maximum cycle length). The function σ( ·, ·, · ) is the rate of cell mortality and the function r( ·, ·, ·, · ) is called the death rate kernel. While K denotes a nonlinear bounded operator defined from a suitable function space on Γ 2 := {(‘, ‘), (1 ,‘ 2 )} to a similar one on Γ 1 := {(0,‘), (1 ,‘ 2 )}. Let X p := L p (∆; da d) (1 6 p< ), X 1 p := L p 1 ;d) and X 2 p := L p 2 ;d). Note présentée par Philippe G. CIARLET. S0764-4442(00)00269-X/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 795

Un problème non linéaire intervenant en dynamique des populations

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C. R. Acad. Sci. Paris, t. 330, Série I, p. 795–800, 2000Équations aux dérivées partielles/Partial Differential Equations

Un problème non linéaire intervenant en dynamiquedes populationsAref JERIBI

Département de mathématiques, faculté des sciences de Gabès, route de Médenine, 6029 Gabès, TunisieCourriel : [email protected]

(Reçu le 6 janvier 2000, accepté le 16 mars 2000)

Résumé. Dans cette Note nous présentons quelques résultats d’existence généraux pour des équationsde transport monodimensionnelles avec des conditions aux limites non linéaires intervenanten dynamique des populations. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques etmédicales Elsevier SAS

A nonlinear problem arising in growing cell populations

Abstract. In this Note we present some general existence results for one-dimensional transportequations with nonlinear boundary conditions arising in growing cell populations. 2000Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Abridged English version

In this paper we study the solutions of the nonlinear model arising in the theory of Growing cellpopulation. It is about the following problem:λψ(a, `) +

∂ψ

∂a(a, `) + σ

(a, `,ψ(a, `)

)=

∫ `2

`1

r(a, `, `′, ψ

(a, `′

))d`′,

ψ|Γ1=Kψ|Γ2

,

(1)

where(a, `) ∈∆ := {(a, `) such that0< a< `, `1 < ` < `2} with 0< `1 < `2 <∞. ψ(a, `) represents thedensity of the population with respect to agea and cell cycle lenght. The cells cycle lengthof individualcells is an inherent characteristic determined at birth, i.e., the duration of the cycle from cell birth to celldivision is determined at birth. The constant`1 (resp.`2) denotes the minimum cycle length (resp. themaximum cycle length). The functionσ( ·, ·, · ) is the rate of cell mortality and the functionr( ·, ·, ·, · ) iscalled the death rate kernel. WhileK denotes a nonlinear bounded operator defined from a suitable functionspace onΓ2 := {(`, `), ` ∈ (`1, `2)} to a similar one onΓ1 := {(0, `), ` ∈ (`1, `2)}. LetXp := Lp(∆; dad`)(16 p <∞),X1

p := Lp(Γ1; d`) andX2p := Lp(Γ2; d`).

Note présentée par Philippe G. CIARLET .

S0764-4442(00)00269-X/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 795

A. Jeribi

We suppose thatK enjoys the following property:(H1) there existsU > 0 such that‖Kf1−Kf2‖6 U ‖f1 − f2‖ (f1, f2 ∈X2

p ).We define the free streaming operatorAK by:

AK :D(AK)⊂Xp −→Xp,

ψ 7−→AKψ(a, `) =−∂ψ∂a

(a, `),

D(AK) ={ψ ∈ Wp such thatψ|Γ1

=Kψ|Γ2

},

where

Wp :={ψ ∈Xp such that

∂ψ

∂a∈Xp andψ|Γ1

∈X1p

}.

It is well known (see[6]) that any functionψ ∈ Wp has tracesψ|Γ1andψ|Γ2

in the boundary spacesX1p

andX2p , respectively.

The functionr( ·, ·, · ) satisfies the hypothesis:(H2) r(a, `, `′, ψ(a, `′)) = κ(a, `, `′)f(a, `′, ψ(a, `′)),wheref : ∆×C→C is a measurable function,κ : ∆× [`1, `2]→R is a measurable function which definesa bounded linear operatorB by:

B :Xp −→Xp,

ψ 7−→∫ `2

`1

κ(a, `, `′

)ψ(a, `′

)d`′.

Observe that the operatorB acts only on the maturation velocity′, so a may be viewed merelyas a parameter in[0, `]. Hence we may considerB as a functionB : a ∈ [0, `] → B(a) ∈ Z , whereZ := L

(Lp([`1, `2], d`)

).

In the following we will make the assumptions:

(H3)

B is measurable, i.e.,{a ∈ [0, `] such thatB(a) ∈O} is measurable ifO⊂ Z is open,

there exists a compact subsetK ⊂ Z such thatB(a) ∈K a.e. and finally,

B(a) ∈K(Lp([`1, `2], d`)

)a.e.,

whereK(Lp([`1, `2], d`)

)denotes the set of all compact operators onLp([`1, `2], d`).

PROPOSITION 1. –Assume that(H1) holds. Then:(i) if Reλ >max

(0, 1`1

log(U)), then the operator(λ−AK) is invertible and(λ−AK)−1 is given by:

(λ−AK)−1 = ΛλKWλΣλ + Πλ,

whereΛλ,Wλ, Σλ andΠλ are bounded operators. For the details we refer to[2].Moreover,(λ−AK)−1 is continuous onXp and maps bounded sets into bounded ones.(ii) Let p ∈ (1,∞). If B satisfies(H3), then, for anyλ ∈ C such thatReλ > max

(0, 1`1

log(U)), the

operator(λ−AK)−1B is completely continuous onXp.

DEFINITION 1. – We say thatf : ∆×C→C is a Carathéodory function if for each fixedu∈C, f(t, u)is measurable int and for almost allt ∈∆ it is continuous inu.

If f is a Carathéodory function, then we can define the Nemytskii operator on the set of functionψ : ∆→C by (Nfψ)(a, `) = f(a, `,ψ(a, `)) for every(a, `) ∈∆.

The functionf and the corresponding Nemytskii operator are supposed to satisfy

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Un problème non linéaire intervenant en dynamique des populations

(H4) f is a Carathéodory function and the operatorNf acts fromXp intoXp.

THEOREM 1. –Assume that(H1), (H2), (H3)and (H4) hold. Then for eachr > 0 there isλ0 > 0 suchthat for all λ satisfyingReλ > λ0 the problem

∂ψ

∂a(a, `) + λψ(a, `) =

∫ `2

`1

κ(a, `, `′

)f(a, `′, ψ

(a, `′

))d`′,

ψ|Γ1Kψ|Γ2

, λ ∈C,

has at least one solution onBr .

LetX+p denote the positive cone of the Banach spaceXp, i.e.,

X+p := {ψ ∈Xp such thatψ(a, `)> 0 a.e. on∆}.

DEFINITION 2. – A linear operatorT from Xp into Xp is called positive ifTf is a positive functionwheneverf is positive.

Remark1. – Note that forλ ∈R, the operatorsΛλ, Σλ andΠλ are bounded and positive.

In the following we will make the assumptions:

(H5) K[(X2p

)+] ⊂ (X1p

)+, Wλ

[(X2p

)+] ⊂ (X2p

)+,

where(X2p )+ (resp.(X1

p )+) denotes the positive cone of the spaceX2p (resp.X1

p ).Let r > 0. We define the setB+

r byB+r :=Br ∩X+

p .(H6) There isc > 0 and0 6= ψ0 ∈B+

r such that(Nfψ)(a, `)> cψ0(a, `) for all ψ ∈B+r .

THEOREM 2. –Let the hypotheses(H1), (H2), (H3), (H4), (H5)and (H6) be satisfied. Then for eachλ>max

(0, 1`1

log(U))

there isη > 0 such that the problemλψ(a, `) +∂ψ

∂a(a, `) = η

∫ `2

`1

κ(a, `, `′

)f(a, `′, ψ

(a, `′

))d`′,

ψ|Γ1=Kψ|Γ2

,

has at least one solutionψ∗ ∈B+r satisfying‖ψ∗‖= r.

In the following we need the following assumptions:(H7) K ∈L(X1

p ,X0p) and for somer > 0,∣∣σ(µ, v,ψ1)− σ(µ, v,ψ2)

∣∣6 ∣∣ρ (µ, v)∣∣ |ψ1 − ψ2| (ψ1, ψ2 ∈ Xp),

whereL(X1p ,X

0p) denotes the set of all bounded linear operators fromX1

p intoX0p , ρ ( ·, · ) ∈ L∞([0,1]×

[a, b], dµdv) andNσ acts fromBr intoBr.

THEOREM 3. –Let r > 0. If (H2), (H3), (H4)and (H7) are satisfied, then there existsλ0 > 0 such thatfor all λ satisfyingReλ > λ0 the problem(1) has at least one solution inBr .

We close the abridged English version by pointing out that the results obtained above are open forp= 1.

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A. Jeribi

Dans ce travail on se propose de présenter quelques résultats d’existence pour des équations de transportnon linéaires intervenant en dynamique des populations. Il s’agit du problème aux limites :λψ(a, `) +

∂ψ

∂a(a, `) + σ(a, `,ψ(a, `)) =

∫ `2

`1

r(a, `, `′, ψ

(a, `′

))d`′,

ψ|Γ1=Kψ|Γ2

.

(1)

Le modèle (1) avecr( ·, ·, · , · ) = 0 a été introduit par Lebowitz et Rubinow [7]. Dans [9] et [10], Weeba étudié le spectre de l’opérateurAK pour des différentes types d’opérateurs de bordsK . Récemment, enutilisant le modèle de Lebowitz et Rubinow [7] avec des conditions aux bords généraux Latrach et Mokhtar-Kharroubi [6] ont prouvé que le problème de Cauchy associé engendre unC0-semi-groupe dans l’espaceL1

et ont donné des conditions suffisantes, en termes d’opérateurs de bord, garantissons l’irréductibilité dusemi-groupeetAK et ont donné une description du comportement asymptotique (t→ +∞) de la solutiondu problème de Cauchy associé. Cette Note est inspirée des travaux [1,4] et [5].

La proposition suivante joue un rôle essentiel dans la preuve des résultats discutés ci-dessous.

PROPOSITION 1. –On suppose que l’hypothèse(H1) est satisfaite. Alors, pour toutλ vérifiantReλ >max

(0, 1`1

log(U)), l’opérateur (λ − AK) est inversible et(λ − AK)−1 est continu surXp et envoie

les ensembles bornés dans les bornés. De plus, sip ∈ (1,∞) et (H2) est satisfaite, alors l’opérateur(λ−AK)−1B est complètement continu surXp.

La démonstration est détaillée dans [2].

1. Résultats

Soit r > 0, on désigne parBr la bouleBr :={ψ ∈Xp tel que‖ψ‖Xp 6 r

}.

THÉORÈME 1. –Soitp ∈ (1,∞). On suppose que(H1), (H2)et (H3) sont vérifiées. Alors pour chaquer > 0, il existeλ0 > 0 tel que le problème

∂ψ

∂a(a, `) + λψ(a, `) =

∫ `2

`1

κ(a, `, `′

)f(a, `′, ψ

(a, `′

))d`′,

ψ|Γ1Kψ|Γ2

, λ ∈C,(2)

admet au moins une solution dansBr pour toutλ vérifiantReλ > λ0.

Idée de la démonstration. –Soit λ un nombre complexe tel queReλ > max(0, 1`1

log(U)). Nous

déduisons, moyennant la première partie de la proposition 1, que(λ−AK) est inversible et le problème (2)se ramène alors àψ = (λ−AK)−1BNf (ψ), ψ|Γ1

=Kψ|Γ2. D’autre part, l’utilisation de la seconde partie

de la proposition 1 montre que(λ−AK)−1BNf est un opérateur complètement continu et,

∀ψ ∈Br,∥∥(λ−AK)−1BNf (ψ)

∥∥6F(Reλ)‖ψ‖,

où F( · ) est une fonction continue décroissante vérifiantlimx→∞F(x) = 0. D’où l’existence d’un réelλ0 > 0 tel que(λ−AK)−1BNf envoieBr dans lui-même pourReλ > λ0. Le résultat découle alors duthéorème du point fixe de Schauder.

Remarque1. – Il est clair que dans la preuve ci-dessus la continuité deNf et le fait qu’il soit borné surBr sont essentiels. Ces deux propriétés découlent du fait d’avoir supposé queNf est défini deXp danslui-même (voir, par exemple, [3], théorème 2.5, p. 35).

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Un problème non linéaire intervenant en dynamique des populations

Une démarche analogue à celle utilisée lors de la preuve du théorème 1, basée sur la proposition 1 et lethéorème du point fixe de Schauder, conduit au résultat suivant :

THÉORÈME 2. –On suppose que les hypothèse du théorème1 sont satisfaites. Alors pour chaquer > 0etλ ∈

{λ ∈C | Reλ >max

(0, 1`1

log(U))}

il existeη > 0 tel que le problèmeλψ(a, `) +∂ψ

∂a(a, `) = η

∫ `2

`1

κ(a, `, `′

)f(a, `′, ψ

(a, `′

))d`′,

ψ|Γ1Kψ|Γ2

,

(3)

admet au moins une solutionψ∗ ∈D(AK)∩Br vérifiant‖ψ∗‖= r.

Notons que les preuves des théorèmes 1 et 2 consistent à ramener chacun des deux problèmes auxlimites (2) et (3) à un problème de point fixe et les résultats d’existence se déduisent alors via la proposition 1et le théorème de Schauder. Cependant, en considérant le problème (1), cette démarche n’est plus valable.En effet, ce dernier se déduit de (2) par perturbation par un opérateur de Nemytskii non constant (doncnon compact,voir [3], Chap. 5) et par suite le théorème de Schauder n’est plus applicable. De plus,contrairement aux problèmes (2) et (3), le fait que l’opérateur frontièreK soit non linéaire, introduit desdifficultés techniques supplémentaires. Néanmoins, en se plaçant dans le cadre des hypothèses ci-dessouset en utilisant le théorème du point fixe de Krasnosel’skii ([8], p. 31) (qui combine à la fois le théorème dupoint fixe de Banach et celui de Schauder) nous établirons un résultat d’existence pour (1).

THÉORÈME 3. –Soitr > 0. Si les hypothèses(H2)–(H4)sont vérifiées, alors il existeλ0 > 0 tel que leproblème(1) admet au moins une solution dansBr pour toutλ vérifiantReλ > λ0.

Idée de la démonstration. –En vertu de la linéarité deK ,AK est aussi linéaire et{λ∈C

∣∣∣ Reλ>max(

0,1

`1log(U)

)}⊂ ρ(AK)

oùρ (AK) désigne l’ensemble résolvant deAK . Soitλ tel que

Reλ >max(

0,1

`1log(U)

).

Alors le problème (1) devientψ = L(λ)ψ+ Θ(λ)ψ, où

L(λ) := (λ−AK)−1Nσ et Θ(λ) := (λ−AK)−1BNf .

On vérifie que l’opérateurΘ(λ) est complètement continu et qu’il existe deux réelsλ1 etλ2 tels queL(λ)est une contraction stricte pourReλ> λ1 etL(λ)ψ + Θ(λ)ϕ ∈Br , ∀ψ,ϕ ∈Br pourReλ> λ2.

Pour conclure, il suffit de poserλ0 = max(λ1, λ2) et d’utiliser le théorème du point fixe de Krasnosel’skii(voir [8], p. 31).

2. Remarques finales

1. Notons que les résultats que nous avons obtenu concernent uniquement l’existence. Ceci est dû au faitque notre analyse est basée sur les théorèmes du point fixe de Schauder et de Krasnosel’skii. Ces dernierspermettent d’établir l’existence mais pas en général l’unicité, où souvent des hypothèses supplémentairessont nécessaires.

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A. Jeribi

2. Les théorèmes 1 et 2 généralisent les théorèmes 3.1 et 3.2 dans [4] au cas des conditions aux limitesnon linéaires.

3. Enfin, nous signalons que les théorèmes 1, 2 et 3 sont ouverts lorsquep= 1.

Références bibliographiques

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