Un th or me concernant le nombre total des bases d'un groupe d'ordre fini Par SOPHIE PICCARD, Neuchs

Soit G u n groupe d 'ordre fini. Soit v un ent ier ~ 1. Nous dirons que G est ~ base d 'ordre v s'il existe au moins un syst~me 1) a l , a s . . . . . a~ form~ de v ~l~ments ind~pendants 1) de G, tel que t o u t ~l~ment de G s'ob- t i en t par composi t ion finie des ~l~ments 1), alors qu 'aucun syst~me Iorm~ de moins de v dl~ments de G ne jouit de cet te propridt~. Si G est s base d 'ordre v, nous appellerons base de G t o u t syst~me de v ~l~ments ind~pen- dants de G qui engendren t le groupe G tou t ent ier par composit ion finie. Soit B = [al , a s . . . . , a~] une base de G e t soit a un ~l~ment quelconque

r

f2). Alors B ' Jar1 a 2 , . . a~] est 6galement de G. Posons a a i a -1 =- a i = , . ,

une base de G. Nous dirons que B I est la t ransformde de B par a et nous derirons B r = a B a -1 .

Soient B 1 = [al , a s , . . . , a~] e t B~ -= [bl, b~ . . . . . b~] deux bases de G. Nous dirons que ces bases sont dist inctes si un dldment au moins de l 'en- semble {al, a 2 . . . . . a~} ne fair pas par t ie de l 'ensemble {51, b 2 , . . . , b~} et vice versa. Nous dirons que les bases B 1 et B2 sont inddpendantes si B 1 :fi a B ~ a -1 , quel que soit ] 'dl6ment a de G.

Nous dirons que les bases B~, B~ . . . . . B~ d 'un groupe G const i tuent un systbme complet de bases ind6pendantes de G si elles sont ind~pen- dantes deux ~ deux et si, pour tou te base B de G, il existe un indice i eompris au sens large ent re 1 e t m et un 61~ment a de G, tels que B = a B i a -~ . Le nombre m des 616ments qui cons t i tuent un systbme complet de bases inddpendantes de G est un invar ian t du groupe G. Nous l 'appelle- rons ] 'ordre d 'un systbme eomplet de bases inddpendantes de G.

R e m a r q u e 1. Soit G un groupe d 'o rd re fini N ~ base d 'ordre v et soit B = [a 1, a~ . . . . . a~] une base de (7. Soit E l 'ensemble des dl6ments de G qui t r ans fo rmen t ]a base B en elle-mfime. Montrons que E est un groupe.

1) I)ont aucun ne peut ~tre obtenu par composition finie des autres.

z) Les ~l~ments successifs de la composition sont ~ effectuer de droite ~ gauche.

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En effet soient a e t b deux ~l~ments quelconques de E . On a donc a B a -1

B e t b B b -1 = B , d'ofi b a B a - l b - I = b B b - : = B , ce qui prouve que b a ~ .g . Done E est bien un groupe. Soit ~ l 'ordre de E . On a ~ ~ 1, puisque E cont ient en t ou t cas l '~l~ment unit~ de G. Comme E est un sous-groupe de G, n est un diviseur de hr. Soit E~ le centre de G e t soit # l 'ordre de E~. Montrons qu 'on a ~ v ! # . E n effet, soit i~, i 2 . . . . . i~ une permuta t ion quelconque des hombres 1 , 2 . . . . . v et soit E~I i2... i~ l 'ensemble des ~l~ments de E qui t r ans fo rmen t a~ en a~,, a~ en a~2 . . . . . a ,

en air . Si l 'ensemble E~ ~. . . ~, n 'es t pas vide, il comprend ~u ~l~ments. E n

effet, supposons que cet ensemble n 'es t pas vide et soit c u n ~l~ment quel- conque de E ~ . . . ~ . On a donc cahc -1 = a~a , quel que soit h = 1, 2 . . . . . v, et, quel que soit l'~14ment d de E~, on a c d a n d - : c -~ = caac -~

- - a ih . Donc c d ~ E i ~ i ~ . . . t ~ et, comme les ~l~ments c d ( d ~ E ~ ) sont au

nombre de # , il s 'ensui t que Ei~ i~... ~ ~/~ a). Soient ma in t enan t c un ~ldment fixe et c ~ un dl~ment quelconque de E~, ~ ... ~, . Montrons qu'i l existe un ~ldment d de E c, tel que c ~ = c d . En effet, comme c et c ~ appar t iennent ~ E~ i~ ... ;v, en a c a a c - : = a~a et c~aac ~-: -= a~a, h =

l , 2 , . . . ~ V. D o n e c a h c -~ = c~aac ~-~. D'of i c -~c~aac~-~c = aa, h =: 1 , 2 , . . . , v. Donc c - : c ~ est pe rmutab le avec aa, quel que soit h - - 1 , 2 . . . . . v. E t comme B ----- [a: , a~ . . . . . a~] est une base de G, il s 'en- suit que c-~c ~ est pe rmutab le avec tous les dldments de G. Donc c - l c ~ E~.

Soit c -~c ~ = d , d e E ~ . O n a d o n c bien c ~ = c d , off d ~ E ~ . O n v o i t

done bien que si l 'ensemble Ei~ ~ . . . i~ n 'es t pas vide, Ei~ i~... i~ = # . E t comme E - - - - X E ~ ... ~ , la sommat ion X s 'd tendant ~ tou tes les permuta t ions possibles i : , i~ . . . . . i~ des nombres 1, 2 , . . . , v, e t que les ensembles Ei~ i~... t~ sont disjoints deux & deux, il s 'ensui t que l 'ordre de E vdrifie bien l'indgalit~ ~ ~ v!/~.

P r o p o s i t i o n 1. Quel que soit le groupe G d 'ordre fini hr, il existe un entier n diviseur de h r et tel que le nombre to ta l des bases de (7 est un

multiple de N . n

De'mons t ra t ion . - - E n effet, soit G u n groupe d 'o rdre fini hr & base d 'ordre v, soit m l 'ordre d ' un syst~me complet de bases indgpendantes de (7 et soit B1, B~ . . . . , B~ un syst~me complet de bases inddpendantes de G.

s) Le symbole ~ ddsigne la puissance de l'ensemble E.

.151

Soit E~ I 'ensemble des dl6ments de (7 qui t r ans fo rmen t la base B~ en elle-m~me et soit n~ l 'ordre de E i (i -~ 1 , 2 . . . . . m). D'apr~s la remarque 1, on a l < n ~ < v ! # , off # d~signe l 'ordre du centre de G, E~ est un groupe et n~ est un diviseur de N .

Soit i un nombre quelconque de la suite 1, 2 . . . . . m. Montrons que le nombre to ta l de transform~es distinctes de la base B~ par les ~l~ments

N de (7 est ~gal ~ - - .

n~ E n effet, soit c un 61~ment de E i. On a cB~c -~ = B~, par d~finition

de E~. Soient ma in t enan t d un ~ldment quelconque de (7 -- E~ et soit dB~d -1 = B~. On a B~ ~= Bi , puisque d ~ E~ et, quel que soit l'~16ment c de E i , on a d c B ~ c - l d -1 = dB~d -1 ----- B~. Donc les n~ ~16ments dc (c e E~) de G -- E~ t r ans fo rmen t Bi en B~. Montrons ma in t enan t que si un dl~ment ] de G -- Ei t ransforme B i en B~, il existe un 61~ment c de E~, tel que [ ~ -dc . E n effet, par d6finition de ], on a ] B J - I = B~. D'au t r e par t , on a d c B i c - l d -1 = B~, quel que soit c E E~. Soit c~ un dl~ment fixe quelconque de E~. On a donc ] B i ] -1 = d c i B i c ~ I d -1. On en ddduit ] - I d c ~ B ~ c [ X d - X / = B~. Donc /-~dc~ ~ E~. Soit h l'~16ment de E~, tel que / - i d c l -~ h . On a d o n c f - - - - d c ~ h -~ et, comme c~ e E i, h e E~

et que E~ est un groupe, on a h -~ ~ E~ et c~h -~ ~ E i . Soit c1 h-1 ~- c.

On a donc bien ] ----- dc, off c ~ Ei . Ainsi n~ dl~ments et ng seulement de (7 - - E~ t r ans fo rmen t B~ en B~. On peut donc rdp~rtir les ~14ments de G

N en - - ensembles G~ = E~, G~ . . . . . G~ , disjoints deux ~ deux, compre-

ni nan t chacun n~ ~l~ments et tels que t o u s l e s ~l~ments de G: t r ans fo rmen t

B~ en la m~me base B(t) de G, quel que soit l = 1 , 2 , . N e t les bases "

B~ 1) = B~, B(~) , . . . , ~ sont routes distinctes. Not re assert ion est ainsi d~montrde.

E t comme les bases B~, B~ . . . . . Bm fo rmen t un syst~me complet de bases ind~pendantes du groupe (7, le nombre to ta l u des bases de G est

N N N . = - - + + . . . + - - (2)

nl ~ ~ra

Soit n le plus pe t i t commun mult iple des nombres n l , n~ . . . . . n~ et I i = 1 2, . , m . soit n = n ~ n i, , . .

Comme nx, n2 . . . . . n m sont les diviseurs de N , il en est de m~me de n et on a, d 'apr~s 2),

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? . = + - , + . . . + . . ) N

ee qui d4montre la proposit ion 1.

Remarque 2. Si le groupe G est ab41ien, quelle que soit la base B de (7 et quel que soit l '~l~ment a de G, on a a B a -1 = B . D i n s ce c a s n 1 -~ n 9 . . . . . n m = n = N e t la proposit ion 1 ne donne aucune indication sur le nombre to ta l u de bases de G.

D ' au t r e part , si G est tel que route base de G admet N transformdes distinctes au moyen des dl~ments de G, on a nl = n~ . . . . . n~----

n = 1 et le nombre to ta l des bases de G est un multiple de h r. Tel est, par exempte, le cas du groupe G d 'ordre 18 engendr~ par trois dl~ments a , b, c li~s par les relations fondamentales a ~ = b 2 = c 2 = 1, a b a = b i b ,

a c a = c a c , bcb ----- cbc, (abc) 2 = 14).

Ce groupe est g base du troisi~me ordre et chacune de ses bases admet 18 transform~es distinctes au moyen des ~ldments de G. Donc, d 'apr~s la proposit ion d~montr~e, le nombre to ta l des bases de ce groupe doit ~tre un multiple de 18. Et , en effet, ce nombre est 504 = 18 • 28.

Pour le groupe sym~trique d 'ordre hr = k !, off k est un entier > 3 , k ! \

l e g r o u p e a l t e r n 4 d o r d r e I V = "'" , k > 4 1 on a n = 2 e t l e n o m b r e 2 - - ] k~ / k v \

total des bases de ce groupe est un multiple de - 2 (_~A) .

D 'une fagon g~n~rale, il r~sulte de la proposit ion 1 et de sa dgmonst ra- tion que le nombre to ta l n de bases d ' u n groupe G d 'o rdre fini N vgrifie

les in6galit~s m N < u < m N . v ! # - - - -

Pour le groupe sym~trique d 'ordre N ~ 6, on a v = 2, ~e = 1 et il

existe des bases de deux esp~ces : les unes admet t en t N transform~es distinctes au moyen des ~l~ments de G, les autres n ' e n admet t en t que

mlV N / 2 , de sorte que l 'on a en tou t cas les in6galit~s ~ < 1t < r a N .

S i G e s t a b ~ l i e n , e n a / ~ = / Y et u = m .

(Regu le 10 juin 1947.)

4) I1 existe un groupe de subs t i tu t ions caract~ris~ p a r c e s relations.

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