pp. 145-157 145

Une approche spectrale de la th6orie physique de la diffraction

J . L . G U I R A U D *

Analyse

Une nouvelle m~thode d'approche de la solution du problbme de la diffraction des ondes ~lectromagn~tiques, par des obstacles plans parfaitement conducteurs, est ddvelopp~e ~ partir d'une ~quivalence dtablie, entre l'int~grale de Kirchhoff et le spectre continu d'ondes planes, par E. Durand. Le formalisme mis en oeuvre pour la ddtermination du champ diffract~ correspond gt une g~n~ralisation de l'approximation de l'optique physique. Au terme dldmentaire correspondant ?t l'optique physique, les effets de bords successifs sont ajout~s. Le d~veloppement complet du champ s'dcrit sous la forme d'une intdgrale spectrale dont la fonction poids est obtenue d partir de l'expression analytique du ~ contour illumind ~ de l'obstacle, dans le domaine spectral, que l'on relic ensuite au champ incident sur l'obstacle. Les coefficients de diffraction et les ondes de bord sont mis en dvidence, ce qui permet une bonne visualisation physique du ph~nomkne de diffraction. La mdthode est prdsent~e sur l'exemple classique de la bande infiniment mince ?~ deux dimensions. Elle est appliqu~e ensuite gt l'dtude d'un rdseau de bandes, et gdn~ralis~e aux problbmes t~ trois dimensions clans le cas d'une plaque rectangulaire, d'un rOseau de plaques et des disques circulaire et elliptique.

Mots el~s : Diffraction onde, Onde 61ectromagn6tique, Th6orie g6om6trique, Th6orie spectrale, Onde plane, Effet bord, Mod61e bidimensionnel, ModUle tridimensionnel, Champ lointain, Champ proche.

A S P E C T R A L A P P R O A C H O F T H E P H Y S I C A L T H E O R Y

D I F F R A C T I O N

Abstract

This paper presents a new method of approach to the solution of the problem of the diffraction of electro- magnetic waves, by perfectly conducting plane obstacles,

which is developped from an equivalence between the Kirchhoff's integral and the continuous spectrum plane waves, established by E. Durand The formalism used for the determination o f the diffracted field cor- respond to a generalisation of the physical optics approximation. One adds to the elementary term of the physical optics, the successive edge effects. The complete development of the field is a spectral integral whose weight function is obtained from the analytical expression of the i l l u m i n a t e d c o n t o u r of the obstacle, in the spectral domain, which is connected to the incident field on the obstacle. The diffraction coefficients and the edge waves are revealed which permits a good physical visualisation of the diffraction phenomena. The method is presented on classical case o f the two- dimensional infinitely thin strip. It is also applied to the strips grating, and generalisated to three dimensional problems for the rectangular plate, the plates grating, and the circular and elliptical discs.

Key words : Wave diffraction, Electromagnetic wave, Geo- metrical theory, Spectral theory, Plane wave, Edge effect, Two dimensional model, Three dimensional model, Far field, Near field.

S o m m a i r e

1. Introduction.

2. Representation spectrale du champ dlectromagnd- tique gt deux dimensions.

3. Version fi trois dimensions de la representation spectrale.

4. Champ ~lectromagn$tique en zone proche. Conclusion.

Annexe.

Bibliographic (9 r~f.).

* CNET-PAB, For t de la T6te de Chien, La Turbie, 06320 Cap-d'Ail.

1/13 ANN. T~L~COMMX~., 38, n ~ 3-4, 1983

146 J. L. GUIRAUD. - THF.ORIE PHYSIQUE DE LA DIFFRACTION

1. INTRODUCTION

Le but de cette th6orie est de donner une m6thode capable de reproduire tous les aspects qualitatifs et quantitatifs du ph6nom6ne de la diffraction 61ectro- magn6tique, en haute fr6quence, par des obstacles plans pr6sentant des ar&es.

Le probl6me g6n6ral dans la th6orie 61ectro- magn6tique est de trouver la solution unique des 6quations de Maxwell dans le domaine de l'espace comportant des sources et des conditions aux limites.

Lorsque les dimensions des obstacles diffractants sont grandes par rapport ~ la longueur d'onde, on peut d6finir une th6orie asymptotique de la diffraction, qui est alors pr6sent6e comme une approximation de la th6orie rigoureuse du probl6me aux limites associ6. L'essentiel dans tout d6veloppement asympto- tique de la solution est d'obtenir des formules simples susceptibles d'Stre utilis6es pour le calcul num6rique, et, d'etre interpr6table physiquement.

Habituellement le ph6nom6ne de diffraction est d6fini comme 6tant tout ce qui s'6carte de l'optique g6om6trique.

Notre approche utilise comme concept de base l'optique physique; c'est une approximation du type ~( optique g6om6trique ~) : localement le champ induit sur l'obstacle n'est fonction que du champ incident en ce point (H ---- 2[~ • afro]). Contrairement

l'optique g6om6trique, l'optique physique permet de d6crire certains ph6nom6nes de diffraction.

Dans cet article, nous pr6sentons les fondements g6n6raux de cette m6thode d6velopp~e /t partir de l'6quivalence fondamentale 6tablie entre l'int6grale de Kirchhoff [1] et la formule de E. Durand [2].

L'approche du ph6nom6ne de diffraction correspond une g6n6ralisation de l'approximation de l'optique

physique ~t laquelle l 'on ajoute les effets de bord successifs. Le champ diffract6 est repr6sent6, pour chaque polarisation, sous la forme d 'un spectre continu d'ondes planes.

La fonction poids de ce spectre est d6termin6e en reliant le facteur de forme du contour illurnin~

de l'obstacle, dans le domaine spectral, au champ incident suivant les lois de l'optique physique. Les coefficients de diffraction associ6s aux ondes de bords peuvent ~tre mis en 6vidence, ce qui permet de visua- liser physiquement le ph6nom6ne de diffraction.

Avec ce formalisme, le champ peut &re calcul6 quel que soit le point d'observation. De plus cette repr6sentation spectrale du champ permet de passer ais6ment des ph6nom6nes de diffraction /t distance finie (Fresnel) aux ph6nom6nes/~ l'infini (Fraunhofer).

2. REPRI~SENTATION SPECTRALE DU CHAMP I~LECTROMAGNI~TIQUE

A D E U X DIMENSIONS

2.1. Pos i t ion du probl~me.

Pour des obstacles plans infiniment minces, parfai- tement conducteurs, pr6sentant des ar~tes et invariant par translation suivant Oz (demi-plan, bande, r6seau de bandes), les composantes du champ 61ectro- magn6tique dans chaque polarisation, pour une d6pendance du temps en exp {-- itzt}, sont :

(1) ] 2= (0 ,0 , U ) , H = ilc ~ y ' k / ~ x ' 0 (pol. E).

(2) H = ( O , O , U), ]2 = i~U 1 i~U 0 (pol. H). ~y ' i k bx '

Le champ total s'6crit sous la forme

(3) U(x, y) = Ul(x, y) -k Ua(x, y),

oh (x, y) = P e f~ le domaine spatial d6fini par f~ = R 2 - F, P le contour de l'obstacle, Ut est le champ incident donn6 et Ua le champ diffract6.

Le probl6me est de chercher la fonction U(P) satisfaisant aux conditions suivantes.

1. (A q- k 2) U(P) = 0, P e ~,

2. a) U(P) : 0, P e F polarisation E.

0U b) ~fy (P) = 0, P e F polarisation H.

3. lim ~]R- (bR - - i k) Ud(R, q~) : 0,

4. grad U(P) e g2(f~),

oh ~2(f2) est l'ensemble des fonctions de carr6 som- mable.

D'apr6s le th6or6me de Rellich, lorsque les quatre conditions sont v6rifi6es, le prob16me admet une solution unique.

2.2. L'~quivalenee fondamentale .

Consid6rons les deux fonctions +l(X, y) et ~bz(X, y) d6finies sous la forme d'un spectre continu d'ondes planes

(6) ~bl(x, y) ---- P(~) e +lk(~+r d~, tJ--oo

__ 1 (+~ (7) ~b2(x, y) -- ~ )_ ~o G(~t) •

o/~ :

e + lk(~x+ 4T=~-lyl)

(x, y) ~ ~2, Im(~l - - or 2) > O.

4r:- '

ANN. Tr~LI~COMMUN., 38, n ~ 3-4, 1983 2/13

J . L . G U I R A U D . -- THt~ORIE P H Y S I Q U E DE LA D I F F R A C T I O N 147

(8)

a v e c

Chacune de ces fonctions satisfait /t l '6quation de Helmholtz (6quation d 'onde r6duite).

(A q- k 2) +a(x, y) = 0, +~(x, y)

~)2 ~)2

A _ - t - - - b X 2 b y 2 '

et k ----- 2~[X le nombre d'onde, la condition de rayonnement ~t l'infini est assurde par :

(9) Ira( l f f ] ~ - - ~ ~2) > 0.

Pour que ces deux fonctions se r6duisent ~ deux fonctions donndes p(x) et g(x) dans le plan y = 0, il suffit de prendre d'apr6s le thdor6me de Fourier

1 i +~176 (10) P(0:) = ~ p(x) e -'k~'~ dx, --oo

1 I +~ (11) G(0:) = ~ g(x) e - lg~ dx. --oo

L'6quivalence rigoureuse entre l'int6grale de Kir- chhoff (1882)

(12) = , [~ o) o) -

] Ul(x', 0) ~ySy, (x, y ; x', 0) d x ' ,

et la formulation spectrale de E. Durand (1948) [2]

+l(x, y) + +2(x, y) (13) U(x, y) = 2 '

peut s'dcrire sous la forme

(14) } +,(x, y) ~ G(x, y" x', 0) i~ A , ~ (X', O) dx ' ,

1 ( , bG (15) ~ qb2(x,y) = - - , I Ut(x ,O)~2.(x,y;x',O) dx'.

A o y

2.3. Concept de base.

(17)

ofJ :

Le champ diffract6 Ud est ddcompos6 de la mani6re suivante :

N

(16) Ud(P) = Uo,d(P) -[- Z U.,d(P), P e f2,

oh U0,d(P) est associd au terme de l 'optique physique et N

Y~ U.,d(P) aux N termes correspondant aux effets n = l

de bord successifs. Le champ de l 'optique physique s'dcrit d'apr6s (14)

et (15) sous la forme :

1 I 1 / Uo,d(X,y) = ~ sgny ', [(+x + +2) + T ( + l - +2)],

-r = - - 1 en polarisation E,

-r = -k 1 en polarisation H.

Les fonctions poids P(0:) et G(0:) d'apr~s (10) et (11) se ddterminent en imposant les lois de l 'opt ique physique sur l 'obstacle plan en y = 0, soit :

(18) p(x) =- 2 Ui(x, 0),

~ v i (19) g(x) = 2 ~ (x, 0).

En portant (18) et (19) dans les relations (10) et (11), il vient pour

(20) Ui(x, y) = exp + ik(0:oX + ~ y),

la relation caractdristique

(21) G(0:) = i k 4 1 - - 0:o 2 P(0:).

Soit en portant dans la formule g6ndrale (17)

= (O+ + v 0 _ ) P(0:) X (22) Uo,d(x,y) } t s g n y _

d0: e+lkt~x+ 4T~Tlrl)

Oh

(23) O• = ~/1--0:2 •

Le concept de base consiste ~t ddterminer l ' inconnue unique P(0:) h partir de la relation (6) de hbl pour y = 0, que l 'on identifie ~t l'expression du produit champ incident . facteur de forme de l 'obstacle, c'est4t-dire :

P(0:) e +lk~ do: ~ Ul(x, 0) f(x), q,,(x, 0) = i +| (24)

avec

(25) Ui(x, 0) = e §

et f(x) le facteur de forme de l'obstacle diffractant dans le domaine spectral.

2.4. Le facteur de forme.

Le facteur de forme repr6sente dans le domaine spectral le contour dclair6 de l'obstacle diffractant.

Pour les obstacles infiniment minces situds dans le plan y ---- 0, la description analytique est particuli6- rement simple.

Soit 1 xx < x < x2

(25) f(x) = 0 ailleurs.

Considdrons tout d 'abord le cas du demi-plan ddfini pour

- - ~ < x < 0 ,

soit encore

(27) f(x) ---- H ( - - x),

o/a H est la fonction de Heaviside. La transform6e de Fourier / t u n e dimension est

ddfinie par

' S 2r x, (28) F(~) = U~ e - '~x dx,

3/13 ANN. TI~L~COMMUN., 38, n ~ 3-4, 1983

148 J. L. GUIRAUD. - THI~ORIE PHYSIQUE DE LA DIFFRACTION

+ o o

(29) fix) = F(~) e +'~x d~. - - 0 0

En por tan t (27) dans (28), il vient :

1 1 (30) F(~) ---- ~ 8(~) 2 u i ~"

Le facteur de fo rme du demi-plan s '6crit en prenant la partie r4guli6re de F(~)

1 i +~176 e +u~x (31) f(x) : - - d~ . 2 ~ i _~

Etudions ma in t enan t le cas de la bande d4finie p a r x ~ - - = - - a e t x 2 = q- a, soit

(;a) (32) fix) = rect .

II vient d 'apr~s (28)

a

(33) F(~) = - s i n c (ka ~),

sin x off la fonc t ion sinc : x - - > -

x

Le facteur de fo rme de la bande s'6crit d 'apr~s (29)

1 ! +~ s i n ( k a ~) e+lk~x d~ " (34) f(x) . . . .

717 - - o o

2.5 . L ' a p p r o x i m a t i o n de l 'opt ique physique.

D6terminons la fonc t ion poids P(s) pour les deux exemples suivants :

2.5.1. Le demi-plan (28) (Fig. 1).

Le facteur de fo rme associ6 au demi-plan est donn6 en (31), la fonc t ion poids peu t ~tre obtenue d'apr~s l ' identif icat ion d6finie en (24), soit :

i ! +~176 e +lkx(~+~0) (35) U,(x, 0 ) f ( x ) = ~ _ ~ ~ d~ ~ qb~(x, 0),

et en posant :

(36) ~ + So = ~,

il vient

= - - - - d ~ , (37) t~l(x, O) ~ o~ - - eo

et, d 'apr~s l ' identit4 d6finie en (24), la fonct ion P(~) s '6crit

i 1 (38) P(e) - - 2 r: ~ - - So "

(39)

L 'express ion g6n6rale (22) s '6crit alors :

Xo(:q So) x UO,d(X, y) = ~ sgn y _

d~ e+lk(~x+ 4T=-~Iyl) ~/1 - - s2 '

off

(40) Xo = ,go,, + I: Xo,r ,

avec

r So) (41) Xo.l(s, go) - - ,

r OC - - S 0

les coefficients de diffract ion de l 'op t ique physique [3, p. 128].

2.5.2. La bande (33) (Fig 2).

Appl iquons la m~me p roc6dure que pr6c~demment. Le facteur de fo rme de la bande est donn6 en (34), la relat ion (24) s '6crit a lors

(42)

~l(X, 0) : -r~l ! +~~ sin(ka~ ~) e +lg(~+a~ d~, [x[ < -t- a,

en posant

1 ( + ~ s in (ka(~ - - ~o)) e+lk~x ds. (43) +l(x, 0)

Tr ~-- SO

L'identification avec (24) donne :

1 sin ( k a ( ~ - - % ) ) (44) P(~) - -

7~ O~ -- O( 0

Y

b

N

Fro. 1. a) Demi plan. - - Half-plane.

f I x ) $ t I 1

I + 1 q

'r V I

I I l I

b) Facteur de forme du demi plan. - - Half-plane shape factor.

- l b .

X

ANN. TI~L~COMMUN., 38, n ~ 3-4, 1983 4/13

J. L. GUIRAUD. -- THi~ORIE PHYSIQUE DE LA DIFFRACTION 149

Y~

. . . . . D-

+ ~ X

b

I ll 1 I

2 ) I

- c:q

t ~' I x ] I I I 1[1+ 1 I I I

] _ _ _ _

[3

FIG. 2. a) Bande. - - Strip. b) Facteur de forme de la bande. - - Strip shape factor.

!

I

l + X

2.6 . E x p r e s s i o n g6n6rale du c h a m p 61eetromagn6tique.

Le champ diffract6 Ud s'6crit pour un champ incident U~ donn6

(45) U(x, y) = U~(x, y) -F Ud(X, y).

Le champ diffract6 Ud est recherch6 sous la forme :

N

(46) Ua(x, y) ---- UO,d(X, y) + ~] U~,d(X, y),

Oh Uo,d est le champ de l 'optique physique et N

U~,d les contributions successives des effets de / 1 = 1

bord. Soit encore dans le formalisme propos6

i ! +~ (47) Ud(X, y) = 4-r~ X(~, ~o) h(~, ~o) •

d~ e + lk(cgx + 4 1 ~ T l y I )

oh

(48) N

X = X o + Z X . ,

les coefficients de diffraction associ6s aux termes de la relation (46), et h(~, ~o) une fonction de liaison entre les bords (ou ar~tes) /~ d6terminer.

2.6.1. Le cas particulier du demi-plan (28).

Le demi-plan pr6sente une seule ar~te (bord), la solution exacte existe et s'6crit [4, 5]

+ (49) Ud(X, y) = X(e, Co) •

- - o o

d~ e + lk(~x + #Ts~Iyl) _ _ 4 V : ~ '

oh le coefficient X est exact, et d'apr6s (48) s'6crit pour N = 1.

(50) X = Xo + X~,

avec Xo le terme de l 'opt ique physique, et X~ le terme compMmentaire correspondant ~t l ' e f f e t unique de l 'ar&e. La fonction de liaison h(~, ~o), entre arStes est 6gale, par d6finition ~t l 'unit6. L'expression analytique exacte de X s'6crit (6) :

(51) 2~/1 + V0~o ~ f f - - "r~

X(~, ~ 0 ) ~ - - t~ 0

2.6.2. Le probl~me fondamental de la bande (33).

La bande est l 'exemple le plus simple oh l 'on peut mettre en 6vidence les effets de bords, c'est-/L-dire que dans les expressions (46) et (48) N ~ 2.

Portons la fonction P(~) obtenue en (44) dans la formule g6n6rale (22), le champ diffract6 s'6crit alors

t s g n y , .j_~i+~( -r~_)~o 1 1 t q) +

(51) UO,d(X, y) = ~ + - - �9 •

d~ sin ( k a ( ~ - - ~Xo) ) e + lk(~x + 4T=-~lrl)

~/1 - - ~2

soit en introduisant le coefficient de diffraction Xo d6fini en (40) et (41) :

, llS +- = Xo(~, ~o) x (52) Uo,o(x,y) ~ sgny _

d~ sin ( k a (~ - - ~o) ) e + lk(~x + 4, - ~2 Irl)

La fonction de liaison entre ar~tes situ6es en - - a et q- a est la fonction sin, l 'expression Xo devient alors

(53) Xo(~, ~o) sin ( k a (~ - - ~o ) )

1 = 2-i [Xo e +'ka(~-~~ - Xo e-ika(at-~~ ,

- a + a

oh e • sont les ondes de bord associ6es aux ar~tes q: a.

L'expression compl6te du champ diffract6 s'6crit

l i l t s + = [X_ a e+lka(~-~o ) __ (54) Ud(X, y) 47zi sgny -oo

d~ X+ a e-lka(~-~0)] e+lk(~tx+ 14T Z~-~z ly[) _ _

~/1 - - o ~ '

oh X est sous la forme (48), et, N le nombre d'inter- action.

Si l ' on associe /t chaque ar~te de la bande l 'effet unique du demi-plan, soit alors N = 1 oh il n 'y a pas d ' interact ion entre les arStes ( - - a, + a), l 'expression X+, s'6crit suivant la relation (51)

5/13 ANN. T~LI~COMMUN., 38. n ~ 3-4. 1983

1 5 0 J. L. G U I R A U D . -- T H E O R I E P H Y S I Q U E DE LA D I F F R A C T I O N

I E avec T=--I en polarisation H avec -r : q- 1 et l 'expression

'" " t E avec -r : q- 1, X_o s ecrlt, en polarisation H avec -r -- - - 1

\

d'apr~s le th6or6me de Babinet [4]. Le champ lointain est obtenu en appliquant la

technique de descente rapide [4] dans le plan complexe

1 ( 1 I f X a[e+l'a(coso--cosq~')__ (55) Ud(p, ~) : ~ tsg n 9 .J~ -

X+a e -lka(e~176 e+l~0=~ ) d=,

soit encore pour kp -+ +

1 I 1 {[X_ a e+ikatcosq~_cosq~0 - (56) u (p, t sgn

/

X + a e-l~a(cosq~-cosq~0]

Avec N = 1, X = Xo + Xx, nous retrouvons la relation donn6e par la th6orie des rayons de Keller [6] et par Ufimtsev [7], avec la m6thode des ondes de bord, dans le domaine spatial.

2.7 . L e r6seau /t L bandes .

La relation (54) donnant le champ diffract6 est g6n6ralis6e ~t L bandes. Pour cela, nous d6terminons le facteur de forme correspondant, la nouvelle fonction poids P(g) que l 'on porte dans l 'expression g6n6rale (22).

Consid6rons s6par6ment les deux types de r6seau L impair et L pair.

2.7.1. L = 2p + 1.

Le r6seau est d6crit figure 3, la bande centrale est plac6e/t l 'origine. Le facteur de forme correspondant r6sulte de l 'addit ion de fonction du type (0, 1) d6cal6 r6guli~rement de l : 2(a q- b).

L'expression analytique de f(x) s'6crit

�9 1 (+~o ,,~f sin(ka ~) {e+lkx { "~- (57) f ( x ) = -

7~ ~_oo n=l e + lk(x + 2n(a + b) )~ _~_ e + lk(x- 2n(a + b) ) ~ d ~ ,

soit encore 2 ~+oo sin(ka ~)

(58) f ( x ) : - 3 x 717 --oO

l t e +lk~ ~ -t- Y~ cos(k(2n(a § b) ~)) d~, .=1

un calcul simple de l 'expression entre crochets donne

1 ~" + ~ sin (ka ~) sin (~L kl/2) +ikx~ (59) f ( x ) = - ~ d~. e

2.7.2. L = 2 p .

Le r6seau est maintenant d6crit figure 4. L'origine correspond au milieu d 'une fente centrale. Le facteur de forme s'6crit maintenant

1 {-+oo ,=p s in(kay) (60) f(x) = ~ ~.,-oo .=~1 ~ •

(e+lkfx+(2n-1)fa+b) )~ -]- e+lk{x-t2n-1)fa+b))) dE,

soit encore 2 t ~ + oo sin (ka ~)

(61) f ( x ) = - ~ •

e +ux~ (2 n - - 1) ( a + b ) k<) d< .

a

. . . . . lb-

I l +a �9 J ~ X :2 (a+b] I~" 4 [a+b] I I I

b

F (x)

.+1

FIG. 3.

a) R6seau h nombre de bandes impaires. - - Grating of number of odd strips. L = 2 p + l .

b) Facteur de forme du r6seau. - - Grating shape factor.

ANN. TI~L~COMMUN., 38, n ~ 3-4, 1983 6/13

J. L. GUIRAUD. - THEORIE PHYSIQUE DE LA DIFFRACTION 151

a ~Y i

I -J-

I a + D

I

•

v (x)

)<

FIG. 4. a) R6seau h nombre de bandes paires. - - Grating o f number o f even strips. b) Facteur de forme du r6seau. -- Grating shape factor.

L = 2 p

Apr6s le calcul de l'expression entre crochets, on retrouve la m~me formule que (59) avec L.

2.7.3. Le champ ~lectromagn~tique.

La proc6dure d6crite au paragraphe 2.5. est d~ve- lopp6e avec comme point de d6part la formule (59).

La fonction ~ ( x , 0) s'6crit d'apr6s (25), avec (59)

1 ~+~o sin(ka ~) (62) +zfx, O) = .~ ,~-= ~ •

sin (~ L k / / 2 ) e + ~<r + ~0) d ~ , sin(~k//2)

en posant

~ + ~ o = = , il vient

(63) +l(X, 0) = ~1 i +=_oo sin (ka(~oc ----Co Co)) x

sin (L k l ( e - - 0Co)/2) e +ikax d~,

sin (k l (~ - - ~o)/2)

et en comparant it (24) nous obtenons

1 sin ( ka (~ - - ~o) ) sin ( L k t ( ~ - - ~o)/2) (64) P(~)------

rc ~ - - ~o sin (kl(oc - - ~o)/2)

D'o~ l'expression du champ diffract6

(65)

(X(~, ~o) sin ( k a ( e - - ~o)) • Ud(X,y)= ~ s g n y _~

s i n ( L k l ( e - - =o)/2) e § ~_~tyl) d= sin ( k l (~ - - ~o)[2) ~ ] ~ '

oh X(~, 0%) sin(ka(0c - - ~o)) est la relation des ondes de bord (53) et

sin [L kl(oc - - ~o)12] sin(kl(0c - - ~o)/2) '

est le terme traduisant l'effet du r6seau. L'expzession du champ lointain s'6crit d ' ap r& la

technique de descente rapide [4]

' I l l (66) Ud(p, ?) "~ -- • r~ sgn ?

[X-a e +zka(r176162176 - - X+, e -u~176176 •

sin [L kl(cos ? - - cos ?1/2)] e+ltk~-(3=t ")~

sin (kl(cos ? - - cos q~l)]2) 2 2 ~ f f kp

3. V E R S I O N A T R O I S D I M E N S I O N S DE LA REPRI~SENTATION S P E C T R A L E

3.1 . F o r m u l a t i o n vector ie l l e .

Jusqu'it pr6sent la m&hode a ~t6 d6velopp6e dans le cadre de l '6quation d 'onde scalaire pour les champs 61ectromagn6tiques it deux dimensions. Nous la g6n6- ralisons it trois dimensions, en consid6rant les dexu cas de polarisation E et H suivant l 'axe Ox dans le plan oh sont contenus les obstacles condueteurs. Les polarisations suivant Oy pourront &re d6duites de celles par rapport it Ox.

La formule fondamentale (17) s'6crit sous forme vectorielle it trois dimensions

7/13 Arcs. T~I.~COMMUN., 38, n ~ 3-4, 1983

1 ~2 J .L. GUiRAUD. -- THEORIE PHYSIQUE DE LA DIFFRACTION

(67)

- 1 I 1 I [(-~, 9- +2) 9- T ( ~ I - ~2)] Uo,a(x, y, z) = ~ t sg n z

off Eo,d v = - - 1 polar isa t ion E suivant

(68) Uo,d = la direct ion Ox,

~qO,d "r = 9- 1 polar isa t ion H suivant la direct ion Ox.

et ~z sont d6finies par Les fonct ions +~

(69)

SS: ~x(x, y, z) = ~ Px(~, [3) e +~k~x+~'+vl~l) d0~d~3, oO

avec ~ ---- (1, 0, - - oqy) la di rect ion de l ' onde plane 616mentaire du spectre, suivant la polar isa t ion par r appor t ~ l 'axe Ox, et

y = ~/1 - - Of, 2 - - [ 3 2

(70) +2(x, y, z) = ~ ~ Gx(0r [3) • at)

e +~et~+ ~w+~I~l) d~d[3/y, olh

(x, y, z) ~ f~ = a 3 - - P ,

off F est le c o n t o u r de l 'obs tac le plan. Les fonct ions P~ et Gx sont les fonct ions poids

du spectre con t inu d ' o n d e s planes ~t deux variables

0c et [3. Les deux fonc t ions ~1 et ~2 sat isfont h l '6qua- t ion de He lmhol t z vectoriel le

(71) (A + k 2) S ~(x' Y, z)

+2(X, y, z) avec

= 0 ,

i5 2 i~ 2 b 2 A = ~ X 2 @ i~Y 2 + OZ 2"

La condi t ion de r a y o n n e m e n t h l ' infini est satisfaite pa r la condi t ion

(72) Im(y) > 0.

Si l ' on veut que les fonc t ions ~ et ~2 se r6duisent ~t deux fonct ions ~ p(x, y) e t ~ g(x, y) dans le plan z = 0, il suffit d ' apr6s le th6or6me de Four ie r de p rendre

(75)

(76)

oia

(77)

avec

(78)

, (73) Px(o~, [3) - - (2 7:)2 ~ p(x, y) e -u(~+~y) dxdy,

, SS: (74) G~(e,[3) - - (2 r~) 2 ~o g(x, y) e - 'k(~+~') dxdy.

Suivant la polar isa t ion par r appor t ~ Ox, dans le plan z = 0 , nous posons :

p(x, O) = 2 Ux,,(x, O, 0),

bUx,l ==o g(x, 0) ---- 2 ~ (x, 0, z) ,

Ux,i(x , O, z) = e +lk(~176

y ---- 41 - - ~ o 2 .

En por tan t (75) et (76) dans les relat ions (73) et (74), nous ob tenons la re la t ion caract6ristique sui- vante :

(79) Gx(~, [3) = i k ~]1 - - ~2 Px(0r [3).

La relat ion fondamen ta l e (67) devient alors :

(80)

U~ -oo fi [(y + y o ) + ' c ( y - - y o ) ] X

Px(g, [3) e +a~(mx+~w+vlzl) dgd[3 Y

La d6terminat ion de la fonc t ion poids Px(g, [3) est obtenue par l ' app l ica t ion du concept de base (24) que l ' on g6n6ralise 5. trois dimensions, soit dans le plan de l 'obstacle en z = 0 :

(81) ~l(X, y, 0 ) = f i+~~ Px(~, [3) x g - q ) - - o o

e + I ~ + ~ y ) d~d[3 ------ ~ Ux . (x , 0, 0) fix, y).

3 . 2 . L a p l a q u e r e c t a n g u l a i r e .

L'or ig ine des axes de coordonn6es est au centre de sym6trie de la plaque, figure 5. Les c6t6s du rectangle

/ o/ /

/

y

/ / _ 0 +a •

-b

Cx, y?

+1

/ , /

/

/

/ / o i A / i

/I/Ov r

/

a b FIG. 5.

a) Plaque rectangulaire. - - Rectangular plate. b) Facteur de forme de la plaque rectangulaire. - - Rectangular plate shape factor.

ANN. T~L~COMMUN., 38, n ~ 3-4, 1983 8/13

J. L. GUIRAUD. - THEORIE PHYSIQUE DE LA DIFFRACTION 153

de longueur 2 a et 2 b sont respect ivement parall61es aux axes Ox et Oy. Les variables sont s6parables.

Le facteur de fo rme de la plaque rectangulaire s '6crit :

(82) f(x, y) = f l (x) f2(Y),

oh les fonct ions f~ et f2 sont d6finies en (34), soit :

1 i I + ~ s i n ( k a ~ ) s i n ( k b ~ q ) x (83) f(x, y) = ~ -oo ~ ~q

e +lk(~x+~y) d~ d~.

Appl iquons le concep t de base g6n6ralis6 (81) :

1 i l +~~ s in (ka~) (84) ~i U~, (x , 0, O) f(x, y) = ~ - ~ ~ ~ •

sin (kb "~) e + ~k( (r + ~o)x + ~,) d~ d~ ,

en posant :

(85) -}- 0( 0 ~ 0~

~----[3,

il vient :

(86) . 2 - - I ! f ~ s i n ( k a ( ~ - - % ) ) s i n ( b k [ 3 ) ~ __ % - - ' [ 3 •

e +lk(~x+~y) d~td[3 ~ ff P~(~, [3) e +lk(~x+~r) d~ d~, --00

et :

1 sin (ka(~ - - ~o)) sin (kb [3) (87) P~(0q [3) = ~ e - - 0 % [3

Le champ ~lect romagn6t ique avec l ' approximat ion de l ' op t ique phys ique s '6crit d 'apr6s (80) et (87) :

ilt _ , oz

(88) UO,d(X, y, Z) = ~ oo ff Xo(~, 0%) •

sin(ka(0~ - - ~o)) Xo([3, 0) sin(kb [3) •

e +l~(x~+~+v)l~t dm d[3/y,

soit encore avec les ondes de bords dans les directions ( - - a , + a ) e t ( - - b , + b) :

sgn z i (89) Uo,d(X,y, z) -- 2(2~ i) ~ •

' - I I ' ~ [ X o _ . e + , '~176 - Xo+~ e - " " ( ' - ' ~ • ,~.)- oo

[Xo_~(~, 0) e + l ~ - - Xo+~([3, 0) e - l ~ ] • e +te(~+~y)+vl~l d~t d[3/y.

Pour un ddve loppement associ6 ~t N = 1, c 'est-h-dire oh chaque ar~te est associ6e ~ u n demi-plan :

N = I

(90) Ud= U o , d + ~ U,,,aet n = l N = I

x = Xo + x. =- x /2

La relation (89) devient alors :

l l i (91) Ud(X, y, z) - - ~sgnz(

2(2~i)2 •

! I ~ [ X - ~ e + U " ( ~ - ~ ~ X+~ etk-(~-~0)] •

[X-o e +lkb~ - - X+b e -lk~ e +lk(=~+~v+vl=l) du d[3/y,

off les coefficients de dif f ract ion associ6s aux arStes sont :

(92) X~,(~, % ) = 2 41- + - r% .~1 ~: "r~ , O r - - ~ 0

(93) X• O) = 2 ~/I + I: [3 [3 '

avec p o u r la polar isa t ion suivant Ox (% = O) :

(94) 0t = sin 0 cos ? ,

~o = s i n 0 1 c o s % = s i n 0 1 ,

[3 = sin 0 sin ? ,

[30 = sin 0i sin % = 0.

P o u r une polar isa t ion suivant Oy, on aurai t ob tenu le mSme type de relat ion que (91), (92) et (93), mais avec :

(95) a = (0, 1 , - [3IV)

e t % = + n ] 2 , & o f f % = O c t [3o = s i n O ~ e t :

(96) P y ( ~ , [ 3 ; % , [ 3 o ; a , b ) = P x ( ~ , [ 3 ; [ 3 0 , % ; b , a ) .

Le c h a m p diffract6 h l ' infini est t ransversal , c 'est-h- dire que :

(97) f f p . U d = 0 .

L a re la t ion (91) peu t s '6crire en coordonndes sph6riques (Annexe 1) et l ' in t6grale double peut ~tre calcul6e par la m6thode des phases s ta t ionnaires [9, p. 165] :

sgn [(~12) - - O] (98) Uo(p, 0, q)) ~ 2(2 7r i) •

e + l k p

F~(~, [3) ~ [uo cos ~ - - ~ sin ? cos 0].

o~t :

(99) F~(0q [3)

= (X-a (g , ~-o) e+lka(~-g~ - - X+a(g, ~-o) e-tka(e-a~ •

(X-b([3, O) e +'kb~ - - X+b([3, O) e-'kb~),

les expressions de e, % , [3 sont donn6es en (94) et les facteurs de diffract ion X + . , X+b en (92) et (93).

3.3. Le rdseau de L • M plaques rectangulaires.

Soit un rdseau oh chaque p laque rec tangula i re est de d imens ion (2 a, 2 /7), avec L plaques suivant la d i rec t ion O x et M plaques suivant la d i rec t ion Oy.

La mdthode appliqu6e aux pa rag raphes 2.7. et 3.1. est g6n6ralis6e aux rdseaux L • M plaques rec tangu-

9/13 ANN. TI~LI~COMMUN., 38, n ~ 3-4, 1983

154 J. L. GUIRAUD. -- THI~ORIE PHYSIQUE DE LA DIFFRACTION

laires p o u r une po la r i sa t ion suivant Ox. N o u s ob t enons alors :

(lOO)

u"(~' Y' z) - 2(2 ~ - ~ ! sgn ~ i . - ~ f F(~, ~o ; ~, 0) •

sin (L kl(e - - % ) / 2 ) sin (M kl~/2) x

sin (kl(~ - - % ) / 2 ) sin (kl ~/2)

e +~(~+~'+'d~l~ d~ dl3/y,

off F~(~, % ; ~, 0) est donn6 en (99). La t echn ique des phases s ta t ionnaires donne le

c h a m p lo inta in :

l 1 1 sgn [(~/2) - - 0] ~

(101) Lid(p, 0, r ~ 2(2 ~ i) •

sin [L k l (~ - - %)/2] sin [M kl~/2] Fx(~, ~o ; 1~, 0) sin (kl(~ - - % ) / 2 ) sin (kl~/2) •

[fro cos q~ - - f~ sin r cos 0] e+~ /kp .

3.4. Les disques cireulaire et elfiptique.

3.4.1. Le disque circulaire.

La figure 6 repr~sente le disque circulaire de r ayon dans le rep6re Oxyz. Le fac teur de f o r m e du disque est d6fini en z ---- 0 par :

1 p o u r x 2 q - y 2 < a, (102) f(x, y) = 0 ailleurs.

La t r ans fo rm6e de Four i e r fi deux dimensions s '6crit :

if +- (103) f(x, y) ---- F(~, -r) e +'k(;x+~" d(k~) d(k~), - - o o

SS 1 f(x, y) e -lk(r dx dy. (104) F(~, "0 - - (2 7~) 2 - - o o

En p o r t a n t (102) dans (104) d 'apr6s [9, p. 95] :

a Jl(ka 4 ~ 2 -3i- ~2

F(~, ~) = 2 r : k ~fU q- ~2 ' (105)

et d 'apr6s (103) :

(106) ka ~.~ (+oo jl(ka~/~2-y--~--~) e +'k(;~+~y) d~ d:q.

f(x,y) = ~ 3 ,)-oo ~/~2 _[_ ~2

Les deux cas de polar i sa t ion sont trait6s par r appo r t fi l 'axe Ox, c 'est-h-dire l ' onde incidente perpendicu- laire au p lan yOz.

Le champ diffract6 s '6crit sous la fo rme (67). Le concept de base donne la fonct ion poids Px

par la re la t ion (81), soit :

(107) ff U~,,(x, 0, 0) f(x, y) ka ('('+~176 J x ( k a 4 ~ 2 q-~q2

= --27:33_ ~ u --~/~ --q_-~2 e +ik((;+~o)~+~" d~ d~,

en posant :

(108) "~ - OC 0 ~ 0r

~ = 1 3 , il vient :

aIS Jl ka (109) ~ f -

-oo

SS:: o --= Px(0~, [3) e +l~(~x+~') d0c d[3,

o/a :

(110) ix ---- ( ( 0 : - o%) 2 -}- ~2)~12.

Il vient alors :

ka Jl(ka ix) (111) Px(0c, ~) - - 2 ~ ~z

La relat ion fondamen ta l e (67) s '6crit :

= • (112) Uo,d(X, y, z) ~ sgn z

•

f (x, y)

3/

FIG. 6.

X b

a) Disque circulaire. - - Circular disk. b) Disk shape factor.

y

ANN. T~L~COMMUN., 38, n ~ 3-4, 1983 10/13

J. L. GUIRAUD. -- THEORIE PHYSIQUE DE LA DIFFRACTION 155

La fonc t ion de Bessel J 1 se d6compose comme :

1 (113) J , = ~ (H~ + H~),

oh H~, 2 sont les fonc t ions de Hankel d 'o rd re 1, de premiSre et deuxi~me esp6ce. Les ondes de bord sont mises en 6vidence de la mani6re suivante :

(114) Xo(c( , [3) J l ( k a p.)

1 -- 2 [Xo,_.(~, [5)H l(ka ~*) q- Xo,+~(~, [3)H~(ka ~t)].

Les fonct ions de Hanke l repr6sentent des ondes de types cyl indriques H~ est ~. associer fi l 'ar~te - - a et H~ ~. l 'ar~te -f- a ; en haute fr6quence, ka >> 1, nous avons le deuxi6me membre de la relat ion (114) qui devient �9

1 [~k~/ 2 (Xo ae+i[ka~-(3rcl4)]+ (115) 2 . _ _ r c k a ~ ' -

1 ~ / / 2 Fx([*). X~ ---- 2 7: ka ~.

Le champ lointain est donn6 pour kp ~> 1 et avec un coefficient de diffract ion tel que N = l, soit :

~ 4 7~ ~. ~ 1 i (116) ld~(~, 0, q~) ~ ka i sgn [ ( r~ /2 ) - -0 ]~ x

e + ~ Fx(~) ~ [fro cosq%--/~ sinq0 cos0].

3.4.2. Le disque elliptique.

Le facteur de fo rme du disque elliptique s 'obt ient directement h par t i r de la t ransform6e de Four ie r de type (104) du disque circulaire en posant [9, p. 95] :

(117) fix, y) ---- fix, y/c), ell iptique circulaire

oh :

(118) c = bla,

ce qui donne pou r le disque elliptique :

k a b i i +~ J l ( k 4 a 2 ~ 2 -~ b2~ 2 (1 19) fix, y) = ~ . , . J -~ ~/a2~2 + b2~2

L 'appl ica t ion est alors ident ique fi celle du disque circulaire.

4. C H A M P I ~ L E C T R O M A G N I ~ T I Q U E E N Z O N E P R O C H E

4.1. Consid6rations th6oriques.

Le champ 61ectromagn6tique diffract6 est repr6sent6 par une int6grale d6finie sous la forme d ' un spectre cont inu d 'ondes planes (22) fi 2 D et (80) /L 3 D.

Le champ lointain (F raunhofe r ) a 6t6 obtenu par

la technique de descente rapide, il est donc asympto t i - quement 6gal / t u n e fonc t ion poids angulaire, appel6e le spectre angulaire ; les exemples sont donn6s en (66), (101), (116).

Par d6finition le spectre angulaire ne d6pend pas de la distance entre l 'obs tacle diffractant et le cercle h l ' infini (2 D), la sph6re h l ' infini (3 D). On notera , en particulier, qu ' avec cette approche , il n 'es t pas tenu compte de la par t ie 6vanescente du spectre (puissance r6active), et, que la puissance r ayonn6e h l ' infini n 'es t pas influenc6e par la phase du spectre angulaire.

Dans l ' app rox ima t ion en zone proche (Fresnel) , on suppose que le spectre angulaire est 6troit, ce qui a pour cons6quence de d6velopper le terme de phase 2 D (*) comme :

(120) ~/1 - - 0C ~ 1 - - 0c2/2

et le terme d ' ampl i tude , en :

(121) ~jl - - ~2 ~ 1.

4.2. Le demi-plan et la bande (2 D).

Soit la formule de base (22), associ6e aux approxi - mat ions (120), (121) :

1 i 1 } e + l k l r I (122) Uo ,d (x ,y ) = 2 . s g n y i X

i +oo ) q- -r(l - - 41 - - ct 2 )] P(oO • [(1 + 41 iX02 --oo

e + lk[ctx- (az/2)}yII d0c,

a) /e demi-plan (Fig. I) :

La fonc t ion poids P(g) donn6e en (38), devient pou r g ~ 0 :

1 (123) P(~) - - 2 7~ i % "

Le champ diffract6 Uo,d S'6crit :

- - en polar isa t ion E :

e+lklyl-- I +~176 e +lkI~x-(tz212)l-vl] d~x, (124) Uo,d(x, y) - - 2~iOCo _ ~

l ' int6grale est calcul6e ana ly t iquemen t [9, p. 70] :

S (125) e +ikt~x-(g212)yI dg = 7~ e+ik(x2121yl)" -oo

et :

(126)

Oo,d(X, y) = 2-i 2krc lyl t so j

(*) Pour 3 D, l'approximation est du m6me ordre, ~.2 ~2

~/1 - - ~2 __ [32 ~ 1 2 2 (phase),

~/1 - - ~2 __ [32 ~ 1 (amplitude).

11/13 ANN. T~Lt~COMMUN., 38, n ~ 3-4, 1983

156 J. L. GUIRAUD. -- THEOR1E PHYSIQUE DE LA DIFFRACTION

- - en polarisation H :

1 l[1]e+ikr(xZl2l~l)+lrl~ (127) Uo,a(x,Y)= 2i 2kTzly I ~o

Dans les deux cas de polarisation, le terme entre crochets correspond au coefficient de diffraction spectral de l 'optique physique dans l 'approximation (120), (121).

b) la bande (Fig. 2) :

L ' introduction de la fonction poids P(~) donn6e en (44) pour ~ ~ 0 :

1 sin(ka ~o) (128) P(o 0 -- ,

7~ ~X o

soit, en :

- - polarisation E :

(129)

- - polarisation H :

(130) 1 [ s i n ( k a % ) ]

Uo,a (x, y) -- 2 k ~ lyl t ~o j

sin(ka ~o)] •

e+lkt(x21lyl)+lr[],

e+lkttx21lrl) + I~/].

5. CONCLUSION

La diffraction par des obstacles plans pr6sentant des discontinuit6s aux ar&es a 6t6 reformul6e par une g6n6ralisation de l 'optique physique 616mentaire. Le champ diffract6 s'6crit sous la forme d 'un spectre continu d 'ondes planes, dont la fonction poids est d6termin6e 5̀ l 'aide du concept de l 'optique physique et des ondes de bords.

Les r6sultats analytiques obtenus pour le cas fondamental de la bande (2 D) sont identiques 5 ̀ceux de J .B . Keller [6] et P .Y . Ufimtsev [7].

La m6thode se g6n6ralise facilement 5. 3 D, et certaines formules obtenues sont originales. Le cas du disque (3 D) correspond bien 5̀ celui donn6 en [7].

L'ensemble des r6sultats analytiques est donn6 sous la forme spectrale, ce qui nous paraR beaucoup plus simple et rapide que l 'approche dans le domaine spatial [7], tout au moins pour des cas comparables. C'est 15̀ son principal avantage.

De plus, l '6tude d'obstacles non planaires peut ~tre entreprise par une extension naturelle de la m6thode. Le concept de base est alors 6tendu 5̀ trois dimensions.

L'int6r~t de ce nouveau formalisme est de donner une m6thode simple et concise permettant :

- - de retrouver ais6ment les r6sultats fondamentaux, bande (2 D), disque (3 D),

- - de s 'appliquer 5̀ des cas plus g6n6raux, r6seau de L bandes (2 D), plaque rectangulaire, r6seau de plaques L • M plaques (3 D),

- - d e fournir une perspective d'extension 5̀ des obstacles non planaires par une application mOcanique du concept de base.

ANNEXE

Dans le plan xOy contenant l'obstacle, nous avons dans le cas g6n6ral une fonction poids de la forme :

(A-l) F(ct, [3) = ~xFx(ct, [3) + ~,F,(cc, [3).

Le champ 61ectrique s'6crit alors :

(A-2) Eo. . (x , y . z) = - ~ ~ - - ~ ~ F~(~, [3) +

- - [3 ~ ) F , (g , [3)] e +'~<~+~'+v)t~t d~t d[3ly,

oh :

(A-3) = o c ~ + [3e~ + ~,~.

Le champ magn6tique s 'obtient alors par :

1

(A-4) H(x, y, z) = Z~o [~ • ~1'

d 'oh :

(h-5) Ho,d(X, y, z)

= . - - ~ - - [3~ -o~ y y

" ) 1 Fx(ct,[3) 4- ~ - ~ - k Y s + cc~ F,(~, [3)

X

x

e +lk(~x+~y+vl=l) d~ d[3/y.

Le champ lointain est obtenu pour kp --> ~ :

a) en coordonn6es cart6siennes :

2 ~ e + l k o

(A-6) Eo,a(X, Y, z) ~ i kp ([Y e~-- ~e~] F~(oc, [3) +

2 ~ e + l k ~

(A-7) Ho,d(x, y, z) ~ i Z o kp •

{[-- ~[3 ~ + (1 - - [3~) ~, - - ~v g,] v~(~, [3) + [ ( ~ - - 1) ~x + ~[3 g~ + ~ , ~ ] F , (~ , [3)),

b) en coordonn6es sph6riques :

2 rce + ~ Eo,d(P, 0, ~) ~ i kp •

{[cos 0 go - - cos 0 sin ? ~ ] Fx(~, [3) q- [sin q~ go + cos 0 cos q~ ~ ] Fy(0c, [3)},

2 r~ e +lka

Ho,d(P, 0, qo) ~ i Z o kp •

{[cos 0 sin qo go q- cos ~o &] Fx(oc, [3) q-

[-- cos 0 cos 9 ~o -I- sin qo ~ ] Fy(~, ~)},

(A-8)

= s i n 0 c o s ? ,

[3 = s i n 0 s i n %

Manuscrit recu le 17 janvier 1983.

(A-9)

oh :

(A - IO)

ANN. TI~LI~COMMUN., 38, n" 3-4, 1983 12/13

J. L. GUIRAUD. - THI~ORIE PHYSIQUE DE LA DIFFRACTION 157

BIBLIOGRAPHIE

[1] POINCARE (H.). Th6orie math6matique de la lumi6re. Cours de physique mathdmatique, Paris (1892).

[2] DURAND (E.). Une nouvelle formule pour le calcul des ph6nom6nes de diffraction. C. R. Acad. Sc., Fr. (1948), 226, pp. 1812-1814.

[3] MrrraA (R.), RAHMAT-SAMIt (Y.). A spectral domain analysis of high frequency diffraction problems, dans << Electromagnetic Scattering >~, 6dit6 par P.L.E. Uslenghi, Academic Press, New York (1978).

[4] BORN (M.), WOLF (E.). Principles of optics. Pergamon Press, 6 e 6dit., New York (1980).

[5] GUIRAUD (J. L.). Introduction /t la th6orie spectrale de la diffraction. Revue du CETHEDEC, Fr. (1981), 18, n ~ 69, pp. 81-116.

[6] KELLER (J. B.). Rays, waves and asymptotics. Bull. American Math. Soc. (1978), 84, n ~ 5, pp. 727-750.

[7] UFIMTSEV (P. Y.). Method of edge waves in the physical theory of diffraction. A D 733-203 (1962).

[8] RHODES (D. R.). Synthesis of planar antenna sources. Clarendon Press, Oxford (1974).

[9] PAPOULIS (A.). Systems and transforms with applications in optics. McGraw Hill, New York (1968).

13/13 ANN. T~L~COM~N., 38, n ~ 3-4, 1983