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C. R. Acad. Sci. Paris, t. 332, Série I, p. 1059–1063, 2001 Analyse mathématique/Mathematical Analysis Une formule d’inversion pour la transformation d’un rayonnement X atténué Roman G. NOVIKOV CNRS, UMR 6629, département de mathématiques, Université de Nantes, B.P. 92208, 44322 Nantes cedex 03, France Courriel : [email protected] (Reçu le 26 février 2001, accepté le 20 mars 2001) Résumé. Le problème d’inversion de la transformation d’un rayonnement X atténué Pa est résolu par une formule explicite. Le problème de caractériser l’image pour Pa en dimension 2 est l’objet (au niveau préliminaire) d’une autre formule explicite. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS An inversion formula for the attenuated X-ray transformation Abstract. The problem of inversion of the attenuated X-ray transformation Pa is solved by an explicit formula. The problem of range characterization for Pa in dimension 2 is solved (on a preliminary level) by other explicit formula. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Abridged English version We consider the attenuated X-ray transformation P a defined by the formulas (1), (2), where a, f are real- valued sufficiently regular functions on R d , sufficiently rapidly vanishing at infinity, where a is considered as a parameter, and f is a test function. Due to (3), P a on R d × S d1 is uniquely determined by P a f on TS d1 defined by (4) and interpreted as the set of all oriented straight lines in R d . We consider the problem of finding f | Y , where Y is a two-dimensional plane in R d , d 2, from P a f | TS 1 (Y ) , where TS 1 (Y ) is the set of all oriented straight lines lying in Y , under the condition that a| Y is known. For this problem the case when d 3 is reduced to the case when d =2. This problem comes from the emission tomography (see [7]). Our main result is Theorem 1 stating that, under the assumptions (8), under the condition that a is known, the transform P a f on TS 1 uniquely determines f on R 2 by the explicit formulas (6). We obtain Theorem 1 using techniques of [6,3,9]. Theorem 1 with a detailed proof is given in the preprint [10]. Concerning numerical implementation of our inversion formula (6) and related results see [5]. In the framework of subsequent results we give the formula (14) as necessary conditions for P a f under the assumptions (8). The formula (14) is also a sufficient condition for a function g on TS 1 in order to be in the range of P a defined Note présentée par Pierre LELONG. S0764-4442(01)01965-6/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 1059

Une formule d'inversion pour la transformation d'un rayonnement X atténué

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C. R. Acad. Sci. Paris, t. 332, Série I, p. 1059–1063, 2001Analyse mathématique/Mathematical Analysis

Une formule d’inversion pour la transformationd’un rayonnement X atténuéRoman G. NOVIKOV

CNRS, UMR 6629, département de mathématiques, Université de Nantes, B.P. 92208, 44322 Nantes cedex 03,FranceCourriel : [email protected]

(Reçu le 26 février 2001, accepté le 20 mars 2001)

Résumé. Le problème d’inversion de la transformation d’un rayonnement X atténuéPa est résolupar une formule explicite. Le problème de caractériser l’image pourPa en dimension2est l’objet (au niveau préliminaire) d’une autre formule explicite. 2001 Académie dessciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

An inversion formula for the attenuated X-ray transformation

Abstract. The problem of inversion of the attenuated X-ray transformationPa is solved by an explicitformula. The problem of range characterization forPa in dimension2 is solved(ona preliminary level) by other explicit formula. 2001 Académie des sciences/Éditionsscientifiques et médicales Elsevier SAS

Abridged English version

We consider the attenuated X-ray transformationPa defined by the formulas (1), (2), wherea, f are real-valued sufficiently regular functions onRd, sufficiently rapidly vanishing at infinity, wherea is consideredas a parameter, andf is a test function. Due to (3),Pa on Rd × Sd−1 is uniquely determined byPaf onTSd−1 defined by (4) and interpreted as the set of all oriented straight lines inRd. We consider the problemof findingf |Y , whereY is a two-dimensional plane inRd, d� 2, fromPaf |TS1(Y ), whereTS1(Y ) is theset of all oriented straight lines lying inY , under the condition thata|Y is known. For this problem thecase whend � 3 is reduced to the case whend = 2. This problem comes from the emission tomography(see[7]).

Our main result is Theorem 1 stating that, under the assumptions (8), under the condition thata is known,the transformPaf onTS1 uniquely determinesf onR2 by the explicit formulas (6). We obtain Theorem 1using techniques of [6,3,9]. Theorem 1 with a detailed proof is given in the preprint [10]. Concerningnumerical implementation of our inversion formula (6) and related results see [5]. In the framework ofsubsequent results we give the formula (14) as necessary conditions forPaf under the assumptions (8). Theformula (14) is also a sufficient condition for a functiong onTS1 in order to be in the range ofPa defined

Note présentée par Pierre LELONG.

S0764-4442(01)01965-6/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 1059

R.G. Novikov

on C∞,1+ε(R2,R) (the space of infinitely smooth real functions onR2 decreasing with each derivative asO(|x|−1−ε) as|x| →∞), ε ∈ ]0,1[, under the assumptions thata ∈ C∞

0 (R2,R), g ∈ C∞0 (TS1,R) (where

C∞0 means that we consider infinitely smooth compactly supported functions). Concerning results given in

the literature for the attenuated X-ray transformationPa, see [11,7,2,4,1,10,5] and references there.

1. Formulation mathématique du problème

On considère une fonctiona surRd à valeurs réelles, suffisamment régulière, décroissant suffisammentvite à l’infini (disonsa ∈ Cµ,1+ε(Rd,R) pour unµ ∈ ]0,1[ et unε > 0, voir (5)). La fonctiona sera appeléecoefficient d’atténuation. On considère la transformation d’un rayonnementX atténuéPa définie par laformule

Paf(x, θ) =∫

R

exp[−Da(x+ sθ, θ)

]f(x+ sθ)ds, (1)

(x, θ) ∈ Rd × S

d−1, pour chaque fonctionf surRd à valeurs réelles, suffisamment régulière, décroissant

suffisamment vite à l’infini (disonsf ∈ Cµ,1+ε(Rd,R) pour unµ ∈ ]0,1[ et un ε > 0), où Da est latransformée de l’éventail (« divergent beam transform ») dea, c’est-à-dire

Da(x, θ) =∫ +∞

0

a(x+ sθ)ds, (x, θ) ∈ Rd × S

d−1. (2)

Avec cela

Paf(x, θ) = Paf(πθx, θ), (x, θ) ∈ Rd × S

d−1, (3)

πθ est le projecteur orthogonal deRd sur le sous-espaceXθ ={x∈ R

d | xθ = 0}.

Grâce à (3),Paf est déterminée surRd × Sd−1 parPaf surTSd−1, où

TSd−1 =

{(x, θ) | x ∈ R

d, θ ∈ Sd−1, xθ = 0

}. (4)

On interprèteTSd−1 comme l’ensemble des droites orientées dansRd. Si γ = (x, θ) ∈ TSd−1, alorsγ = {y ∈ Rd | y = x+ tθ, t ∈ R} (modulo orientation) etθ donne l’orientation deγ.

Si a≡ 0, alorsDa≡ 0 etP = Pa est la transformation classique d’un rayonnementX .Pourd� 2 nous considérons le problème de déterminerf |Y , oùY est un plan bi-dimensionnel dansRd,

à partir dePaf |TS1(Y ), oùTS1(Y ) est l’ensemble de toutes les droites orientées dansY , sous la conditionquea|Y est connue. Pour ce problème le casd� 3 se réduit au casd= 2.

2. Interprétation médicale du problème

Le problème posé vient de la tomographie d’émission (utilisée en médecine nucléaire). Dans ce cadre :f est la densité des émetteurs de rayonsX (la densité des isotopes radioactifs),a est le coefficientd’atténuation (de rayonsX) linéaire du milieu,Paf(γ), γ = (x, θ) ∈ TSd−1, est l’intensité de l’émissionmesurée dans la directionθ par un détecteur à+∞ surγ (par un détecteur sur la composante connexe deγ � (suppf ∪ suppa) contenant+∞ surγ pourf eta à support compact).

En médecine, on détermine d’abord le coefficienta d’atténuation de rayonsX dans un corps humainà partir des radiographies, en utilisant des méthodes d’inversion de la transformation classique de Radon.Ensuite, on introduit (par exemple) dans le sang des isotopes radioactifs. On cherche alors la distributionfdes isotopes radioactifs dans le corps à partir de la radioactivité au voisinage du corps, c’est-à-dire à partirdePaf .

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Une formule d’inversion pour la transformation d’un rayonnement X atténué

3. Théorème principal

Considérons les espaces

L∞,σ(R

d,C)=

{u ∈ L∞(

Rd,C

)| ‖u‖0,σ <+∞

},

‖u‖0,σ = v. supx∈Rd

(1 + |x|

)σ∣∣u(x)∣∣, σ � 0;

Cµ,σ(R

d,C)=

{u ∈ C(Rd,C) | ‖u‖µ,σ <+∞

}, µ ∈ ]0,1[, σ � 0,

‖u‖µ,σ = max(‖u‖0,σ,‖u‖′µ,σ

), (5)

‖u‖′µ,σ = supx,y∈Rd, 0<|y|�1

(1 + |x|

)σ|y|−µ∣∣u(x+ y)− u(x)

∣∣.

THÉORÈME 1. –Supposons quea, f ∈ L∞,1+ε(R2,R) pour unε > 0. Alors, supposanta connu,PafsurTS1 détermine uniquementf sur R2 par les formules suivantes:

f(x) =− 14π

(∂

∂x1− i

∂x2

)∫S1ϕ(x, θ)(θ1 + i θ2)dθ, (6-a)

ϕ(x, θ) = exp[−D−θa(x)

]m(xθ⊥, θ), (6-b)

m(s, θ) =−iRe(exp

[−(2i)−1H+P

⊥θ a(s)

]×H+ exp

[(2i)−1H−P

⊥θ a

]P⊥

a,θf(s)), (6-c)

oùDθ, P⊥θ , P⊥

a,θ, H±, exp [±(2i)−1H∓P⊥θ a] sont les opérateurs tels que

Dθu(x) =∫ +∞

0

u(x+ tθ)dt,

P⊥θ u(s) =

∫R

u(sθ⊥ + tθ)dt,

P⊥a,θu(s) =

∫R

exp[−Dθa(sθ⊥ + tθ)

]u(sθ⊥ + tθ)dt= Pau(sθ⊥, θ),

H±v(s) =1π

∫R

v(t)s± i0− t

dt,

exp[±(2i)−1H∓P

⊥θ a

]v(s) = exp

[±(2i)−1H∓P

⊥θ a(s)

]v(s),

où u, v sont des fonctions de test,x = (x1, x2) ∈ R2, θ = (θ1, θ2) ∈ S1, θ⊥ = (−θ2, θ1), s ∈ R, dθ estl’élément d’arc standard surS1.

Remarque1. – Sia≡ 0 alors (6) se réduit à la formule (4.6) de [8] similaire à la formule (1.12) de [3] etquelque peu différente de la formule d’inversion de Radon classique.

Remarque2. – Sous les conditions

a, f ∈ Cα,1+ε(R

2,R)

pour unα ∈ ]0,1[ et unε > 0, (7)

les formules (6) sont valables ponctuellement. Sous les conditions

a, f ∈ L∞,1+ε(R

2,R)

pour unε > 0, (8)

la formule (6-c) est valable dansLp(R,C) pour chaqueθ ∈ S1, oùmax(1, ε−1)< p <+∞, et la formule(6-a) est valable au sens de la théorie des distributions.

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R.G. Novikov

Remarque3. – La formule d’inversion est donnée par (6-c), (6-b) et la partie réelle de (6-a). De plus,(6-c), (6-b) et la partie imaginaire de (6-a) donnent une partie des conditions (14).

4. Schéma de démonstration du théorème principal

On démontre d’abord les formules (6) sous les conditions (7). Ensuite, on démontre que les formules (6)sont valables aussi sous les conditions (8).

On considère l’équation

θ∂xψ(x, θ) + a(x)ψ(x, θ) = f(x), x ∈ R2, θ ∈ Σ =

{θ ∈ C

2 | θ2 = θ21 + θ22 = 1}, (9)

où θ∂x = θ1∂/∂x1 + θ2∂/∂x2, θ est un paramètre spectral. Pour expliquer pourquoi cette équationintervient dans le cadre de notre problème, considérons d’abord le cas où l’on aθ ∈ S1 = Σ ∩ R2. Pourchaqueθ ∈ S1 on considère la solutionψ+(x, θ) de (9) telle que

lims→−∞

ψ+(x+ sθ, θ) = 0, x∈ Rd.

Dans le cadre d’une tomographie d’émission,ψ+(x, θ) est l’intensité des rayonsX émis par le pointx dansla directionθ, et l’on a :

Paf(x, θ) = lims→+∞

ψ+(x+ sθ, θ), (x, θ) ∈ R2 × S

1.

Considérons maintenant l’équation (9) pourθ ∈ Σ � S1. Pour chaqueθ ∈ Σ � S1 on considère la solutionψ(x, θ) de (9) telle que

ψ(x, θ) → 0, |x| →∞.

Cette solution a les propriétés suivantes :

∂θψ(x, θ)∣∣Σ�S1 = 0, x ∈ R

2; (10)

ψ(x, θ) → 0, |θ| →∞, θ ∈Σ, x∈ R2. (11)

On utilise les limites

ψ±(x, θ) = lim0<τ→0

ψ(x,

√1 + τ2θ± i τθ⊥

), oùθ = (θ1, θ2) ∈ S

1, θ⊥ = (−θ2, θ1), x∈ R2; (12)

ψ+(x, θ)−ψ−(x, θ) = ϕ(x, θ), θ ∈ S1, x ∈ R

2, (13)

oùϕ est donné par (6-b), (6-c).En utilisant (10)–(13), on obtient la formule d’inversion (6) par le processus :

ϕ(x, θ)formule de Cauchy

ψ(x, θ)l’équation (9)

f(x).

5. Résultats suivants

PROPOSITION 1. –Sous l’hypothèse(8), la formule suivante est valable:∫S1

exp[−D−θa(x)

]Re

{exp

[−(2i)−1H+P

⊥θ a(θ

⊥x)](H+ +H−)

× exp[(2i)−1H−P

⊥θ a

]gθ(θ⊥x)

}dθ = 0, x ∈ R

2, (14)

oùgθ désigne la fonction surR telle quegθ(s) = P⊥a,θf(s).

Remarque4. – Sous l’hypothèse (7), la formule (14) est valable ponctuellement. Sous l’hypothèse (8),la formule (14) est valable, par exemple, dansL1(R2,C).

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Une formule d’inversion pour la transformation d’un rayonnement X atténué

Remarque5. – On considère la formule (14) comme des conditions nécessaires pourP⊥a,θf(s), θ ∈ S1,

s ∈ R. Si a ≡ 0, alors la formule (14) est un corollaire de la propriété suivante bien connueP⊥θ f(s) =

P⊥−θf(−s), θ ∈ S1, s ∈ R.

PROPOSITION 2. –Supposonsa ∈ C∞0 (R2,R), g ∈ C∞

0 (R × S1,R) (où C∞0 désigne les fonctions

infiniment lisses à support compact) et que la formule(14) est valable, oùgθ désigne la fonction surRtelle quegθ(s) = g(s, θ). Alors, il existe une fonctionf telle queg(s, θ) = P⊥

a,θf(s), (s, θ) ∈ R × S1,f ∈ C∞,1+ε(R2,R) (l’espace des fonctions réelles surR2 infiniment lisses, décroissantes avec chaquedérivée enO(|x|−1−ε) quand|x| →∞) pour toutε ∈ ]0,1[ .

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