Une introduction oprationnelle aux tenseurs irrductibles ... le module sur les Tenseurs, ... ne peut plus les rduire plus avant, en faire des regroupements plus petits qui se transformeraient entre eux.

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    06-Feb-2018

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    Pierre Amiot 2015

    Physique, gnie physique et optique

    Universit Laval, Qubec.

    Une introduction oprationnelle aux tenseurs irrductibles

    sous rotation et leurs produits.

    Note : on devrait lire les tutoriels sur les tenseurs et les harmoniques sphriques

    avant le prsent et celui sur la thorie des groupes avant ou en parallle, ou leurs

    quivalents, avant dattaquer le prsent tutoriel. Ils sont publis dans la rubrique

    sur la page https://www.phy.ulaval.ca.

    Ce tutoriel est destin ceux qui veulent lire la littrature et comprendre le

    vocabulaire et, dune moindre faon, introduire ceux qui ont besoin dutiliser ces

    outils dont lalgbre est aujourdhui largement le fait dapplications spcialises.

    Cette introduction est donc faible en dmonstrations et favorise les exemples

    illustratifs, elle nest pas une prsentation systmatique et savante. Il nest pas

    question ici de thormes ni de dmonstrations, Les lecteurs intresss une

    prsentation rigoureuse sont invits se rfrer la littrature savante.

    1. Introduction

    Le sujet des tenseurs irrductibles est gnralement trait en dehors du cadre habituel de

    prsentation des tenseurs. Il est trs peu utilis dans des domaines comme la relativit, ordinaire

    et gnrale, ni en lectromagntisme (quoique !), mais il est trs utile en physique microscopique,

    comme la physique atomique, nuclaire ou subatomique et en gnral en mcanique quantique.

    Cest peut-tre pourquoi il apparat plutt dans les livres sur la thorie des groupes en physique

    ou ceux portant sur la mcanique quantique o ces objets sont particulirement utiles.

    https://www.phy.ulaval.ca/

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    Dans le module sur les Tenseurs, nous insistons sur leur dfinition partir de leurs proprits

    de transformation gnrales et faisons une brve introduction aux tenseurs irrductibles. Pour

    parler de tenseurs irrductibles, il faut se limiter quelques (famille de) transformations et, dans

    un grand nombre de cas en physique, ce sont surtout les transformations de rotation en 3-D

    (groupe O(3)) et ce sont celles qui seront au centre de notre attention ici et qui nous serviront

    dexemple, cause de leur prominence dans les applications de physique, en particulier

    quantique. Ce groupe sera notre exemple premier dintroduction aux diffrents concepts

    concernant les tenseurs irrductibles. Les tenseurs irrductibles des groupes SU(2) et de SU(3)

    sont aussi trs importants en physique subatomique. Dans cette introduction, nous insisterons

    surtout sur le groupe O(3) et sur les transformations de rotations (et dirons un mot de SU(2)). Le

    rle important des rotations vient du fait que notre Univers a 3 dimensions spatiales et est

    essentiellement invariant sous rotation spatiale dobservation, i.e. notre vision de lunivers reste

    invariante si on change lorientation dobservation. Nos lois physiques doivent respecter cette

    proprit, en effet elles sont aussi valides en Australie ou sur Neptune, sur Andromde (on

    lespre !) ou quici. En fait il est plus que raisonnable de penser quelles sont indpendantes

    de langle/orientation sous lequel nous tudions lUnivers. Cest donc le cadre dans lequel nous

    travaillerons ici, mais on peut refaire un traitement similaire pour dautres transformations,

    dautres symtries.

    Notre approche sera utilitaire, en ce sens quelle cherche donner au lecteur les outils dont il

    a besoin pour comprendre ce jargon particulier, sans avoir se taper toutes les dmonstrations

    mathmatiques. Ce texte est destin des physicien(ne)s et chimistes quantiques, et non des

    mathmaticiens.

    Finies donc ici les transformations gnrales quon retrouve dans la dfinition originale de ce

    quest un tenseur et restreignons-nous aux transformations de rotations (surtout en 3D pour fin

    dexemple) et regardons dabord les composantes cartsiennes des quantits (quelques exemples

    descriptifs seront en 2-D pour allger lalgbre). Si ces composantes dpendent des coordonnes,

    alors nous navons pas nous limiter aux coordonnes cartsiennes pour cette dpendance, mais

    nous continuons considrer les composantes cartsiennes des tenseurs par simplicit, par

    exempleVx r,J,j( ) o les coordonnes sphriques sont ici r = r,J,j( ).

    Le prsent tutoriel nest pas une prsentation savante o toutes les dmonstrations sont

    ficeles. Il a pour but dinitier en illustrant des avenues et les dmonstrations trop lourdes ont t

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    laisses de ct. Certains exemples sont inspirs du livre de de Shalit et Talmi qui est surement

    out of print, les annexes de Mcanique quantique de Messiah peuvent tre trs utiles et on

    retrouve les harmoniques sphriques un peu partout, en particulier sur la toile (Mcanique

    quantique de Messiah, Electrodynamics de Jackson, toile). Le but ici est une introduction

    oprationnelle et, je lespre, didactique et oprationnelle.

    2. Description de la rotation

    On peut dcrire une rotation des axes de notre rfrentiel dun angle quelconque p/r un axe

    quelconque comme une suite de trois rotations p/r des axes bien identifis pour des valeurs

    dangle appels angles dEuler. Ici nos coordonnes (cartsiennes, cest plus simple) initiales et

    fixes sont

    xi = x,y,z i = 1,2,3{ }

    et les coordonnes finales, aprs la transformation, seront x i = x , y , z i = 1,2,3{ }. Il y a

    plusieurs choix possibles (6 indpendants) des angles dEuler.

    La plus frquente est la suivante : La 1re

    rotation dEuler est dun angle y autour de laxe

    3 (ou Oz), gnrant des axes 1 et 2. La 2e rotation dun angle q se fait autour de laxe 1 (ou

    Ox), gnrant des axes 2 et 3. La troisime rotation est dun angle f autour de laxe 3,

    gnrant des axes 1 et 2. Le systme final est donc compos des axes 1, 2 et 3 qui

    dfinissent les directions x , y , z( ) . ( Notez que les angles q et f qui apparaissent sont ici des

    angles dEuler (de rotation entre rfrentiels) et ne doivent pas tre confondus avec les angles du

    systme de coordonnes sphriques pour lesquels nous utiliserons au besoin les symboles J et j

    lorsquil y a danger de confusion. Voir la figure

    http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9a/AngleEuler.png.

    Un peu de trigonomtrie nous permet dcrire que les nouvelles coordonnes gnres par ces

    trois rotations sont donnes par une quation de transformation linaire des anciennes qui est

    exprimable sous forme matricielle

    x = Rx x i = Aii xi

    o la notation R est une convention habituelle pour la matrice de transformation de rotation, alors

    que la deuxime partie utilise le formalisme utilis dans notre tutoriel sur les tenseurs.

    http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9a/AngleEuler.png

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    Nous pouvons expliciter lopration R sous forme de matrice Aii ' dans lexplicitation

    x1'

    x2 '

    x3'

    = R

    x1

    x2

    x3

    =

    cosf cosy - cosq sinf siny( ) -cosf siny - cosq sinf cosy( ) sinq sinf( )sinf cosy + cosq cosf siny( ) -sinf siny + cosq cosf cosy( ) -sinq cosf( )

    sinq siny( ) sinq cosy( ) cosq( )

    x1

    x2

    x3

    Les lments de la matrice de transformation ou de Jacobi ne dpendent pas des coordonnes,

    seulement des paramtres (angles) de la transformation, cette transformation est donc linaire

    dans les coordonnes et comme les coordonnes sont les composantes du rayon vecteur, le rayon

    vecteur est ici un vrai vecteur, un tenseur du 1er

    ordre (ce ntait pas vrai pour des transformations

    gnrales de coordonnes).

    Il sensuit ainsi quune quantit de composantes cartsiennes xi x j par exemple est une

    composante dun tenseur cartsien du 2e ordre, etc. et nous allons exploiter ici ce fait.

    3. Les regroupements irrductibles

    Ce qui dfinit un tenseur ordinaire ou cartsien est le fait que ses composantes se

    transforment linairement entre elles sous transformation gnrale (pas ncessairement linaire).

    En D dimensions, un tenseur cartsien dordre N a DN composantes. Si on se limite un nombre

    restreint de transformations, le nombre de composantes sera, en gnral, rduit un plus petit

    nombre, jusqu un certain nombre minimum quon ne peut plus rduire, do le nom

    dirrductible. Le fait de se limiter un nombre restreint de transformations amne des

    simplifications et permet des regroupements des composantes des tenseurs en des ensembles plus

    petits (que DN) et leur permet de se transformer lintrieur de ces ensembles plus petits lors

    dune transformation donne. Physiquement, cette limitation permet de se concentrer sur les

    symtries qui laissent un systme physique invariant sous certaines transformations et dtudier

    les consquences de ces symtries et permet de mettre en exergue certaines proprits physiques

    qui rsultent de linvariance du systme sous ces transformations. Les lments de ces

    regroupements seront souvent le rsultat de combinaisons linaires des composantes du tenseur

    initial. Dans un exemple, nous construirons un tenseur cartsien dordre 2 en 3D, qui aura donc 9

    composantes, mais en se limitant des transformations uniquement de rotation, nous

    identifierons un regroupement dun lment/composante qui reste invariant, donc un scalaire ;

    nous identifierons trois lments/composantes qui se transforment linairement entre eux, que

    nous nommerons un vecteur, ou tenseur dordre un, et les cinq lments/composantes restant, qui

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    se transforment linairement entre eux, seront baptiss du nom de tenseur dordre 2 sous rotation.

    Lorsque nous avons puis ces rductions, nous disons que les tenseurs restant (le scalaire, le

    vecteur et le 2e ordre 5 composantes ci-dessus), sont des tenseurs irrductibles sous rotation. On

    ne peut plus les rduire plus avant, en faire des regroupements plus petits qui se transformeraient

    entre eux. Ils jouent un rle important en physique. Ce rle est capital dans la description du

    moment cintique en mcanique quantique par exemple, qui joue un rle central dans la

    nomenclature des tats en physique atomique aussi bien que nuclaire et subatomique en gnral

    o il est responsable de la nomenclature usuelle (s, p, d, f, g. . .).

    4. Les deux premiers regroupements sous rotation

    On peut facilement imaginer un scalaire physique sous rotation, la longueur ou distance entre

    deux points est un exemple de quantit qui ne changera pas sous toute rotation des axes de

    rfrence. La quantit na videmment quune composante, cest notre tenseur dordre zro, un

    vrai scalaire. Dans le cas dun vecteur, comme le rayon vecteur 3D qui est ici un tenseur dordre

    1, il est intuitivement clair quune rotation quelconque des axes va mlanger les trois directions,

    donc les trois composantes du rayon vecteur (vecteur position en physique) vont se transformer

    entre elles et nous ne pouvons pas identifier ici de regroupement particulier comptant moins de

    trois composantes dont les lments se transformeraient entre eux sous une rotation gnrale. (Il

    est intressant de rappeler que le rayon vecteur nest pas un tenseur du premier ordre en gnral,

    puisquune transformation aussi simple que le passage des coordonnes cartsiennes aux

    coordonnes sphriques nest pas linaire). Seule une rotation autour dun des axes initiaux laisse

    la direction de laxe inchange et modifie seulement les deux autres, mais cest l un cas trs

    particulier et ce nest pas vrai pour une rotation en gnral. Le vecteur, dont le vecteur position,

    est donc un tenseur irrductible sous rotation et en N-D, il a N composantes qui vont se

    transformer linairement entre elles lors dune rotation quelconque.

    Nous verrons que certaines fonctions classiques en physique mathmatique sont des tenseurs

    irrductibles sous rotation, comme les harmoniques sphriques Ym J,j( ). Sous rotation, ces

    fonctions se transforment lintrieur dune mme valeur de , seules les composantes,

    identifies par m, sont mlanges.

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    Au del du tenseur cartsien dordre 1, le rsultat est moins vident et nous allons procder

    dabord via des exemples, afin dviter les outils lourds de la thorie des groupes qui permettent

    de procder de faon plus systmatique, mais de faon combien plus complique !

    5.1. Le tenseur dordre 2 en 2D sous rotation, premier exemple

    La matrice de transformation en 3D est relativement lourde et les manipulations consomment

    beaucoup dencre ! Afin dillustrer plus facilement les concepts, sans les trahir, nous allons nous

    restreindre dabord des rotations en 2D. Nous allons crer un tenseur cartsien dordre deux trs

    simple en 2D o un systme de coordonnes dans le plan constitu des coordonnes cartsiennes

    xi = x,y, i = 1,2{ } est soumis une rotation qui est ici limite une rotation p/r laxe Oz dun

    angle que nous noterons f . Ici en 2D, les vecteurs cartsiens auront deux composantes dans le

    plan xOy, les tenseurs cartsiens dordre 2 en auront 4 Les coordonnes dun point P, qui sont

    les composantes du rayon vecteur de ce point vont se transformer selon la rgle bien connue

    (nous avons ici fait tourner les axes, pas le point qui est rest immobile)

    x' = xcosf + ysinf ou x1' = x1 cosf + x2 sinf

    y' = -xsinf + ycosf ou x2 ' = -x1 sinf + x2 cosf

    On identifie immdiatement la matrice de Jacobi comme tant

    Aii ' = R=

    cosf sinf

    -sinf cosf

    Il est clair que les deux composantes du vecteur ne sont pas sparables dans une rotation et que le

    vecteur r = x, y( ) est irrductible.

    Construisons maintenant un tenseur cartsien du 2e ordre trs simple (symtrique) partir

    des coordonnes de notre point P

    qij = xi x j ou qij =x1x1 x1x2

    x2x1 x2x2

    =

    xx xy

    yx yy

    qui compte 4 composantes, dont trois seulement sont indpendantes, puisque les deux lments

    hors diagonale sont identiques.

    A priori, la rgle gnrale sapplique et dans une transformation, nous aurons

    qi ' j ' = Aii 'Aj

    j 'qij

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    laquelle participent tous les 4 lments du tenseur, dont seulement trois sont indpendants ici,

    puisque qij = q ji q12 = q21. Sous rotation, les composantes du tenseur deviennent

    q1'1' = x1'x1' = x'x' = xxcos2 f + yysin2 f + 2xysinf cosf

    q1'2 ' = x'y' = -xx+ yy( )sinf cosf + xy cos2 f - sin2 f( )q2'2' = y'y' = xxsin2 f + yycos2 f - 2xysinf cosf

    Nous notons rapidement que la somme (combinaison linaire) des lments de la diagonale est

    xx + yy = la longueur au carr du rayon vecteur, clairement une constante, donc un scalaire. En

    effet

    q 1 1 + q 2 2 = x'x'+ y'y'

    = xxcos2 f + yysin2 f + 2xysinf cosf + xxsin2 f + yycos2 f - 2xysinf cosf

    = xx+ yy = q11 + q22

    La somme des termes de la diagonale dune matrice sappelle la trace. Cest notre premier

    regroupement et nous le notons F(1)

    (le 1 pour premier regroupement). Il se transforme

    lintrieur de lui-mme et est donc un scalaire, nayant quune seule composante

    F 1( ) = xx + yy = F 1'( ) = un scalaire ou tenseur dordre 0 sous rotation (invariant).

    On la vrifi facilement au-dessus

    F1( ) = xx+ yy = F

    1'( )

    est invariant, donc clairement un scalaire, ou tenseur dordre zro sous rotation.

    Nous devons maintenant identifier les autres regroupements dont les lments vont se

    transformer entre eux dans une rotation. La forme explicite des quations de transformation est

    un guide et nous identifions, a posteriori, que les combinaisons linaires

    xy et yy- xx( ) / 2 se transforment entre elles comme on peut le vrifier explicitement partir

    des quations de transformation, ce qui nous amne identifier un deuxime regroupement (2)

    qui compte deux lments 1 et 2, que nous notons

    F 2,1( ) = xy = x1x2

    F 2,2( ) = yy- xx( ) / 2 = x2x2 - x1x1( ) / 2

    Vrifiant explicitement leur transformation, nous obtenons

    F

    2 ',1'( ) = F2,1( ) cos2 f - sin2 f( ) + F 2,2( ) 2sinf cosf

    F2 ',2 '( ) = -F

    2,1( ) 2sinf cosf + F 2,2( ) cos2 f - sin2 f( )

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    ce qui confirme quils se transforment entre eux.

    La forme mme de ces quations nous rappelle beaucoup celle de la transformation du rayon

    vecteur. En fait, si nous dfinissons un angle a comme

    cosa = -2sin2 f +1

    nos quations prennent la forme exacte de la transformation des composantes dun vecteur (en

    2D), donc ce qui serait un vecteur (sous rotation), mais limportant est quelle est linaire

    F

    2 ',1'( ) = F2,1( ) cosa + F 2,2( ) sina

    F 2 ',2 '( ) = -F 2,1( ) sina + F 2,2( ) cosa

    Ces quations ont la forme exacte de celles de la transformation dun vecteur, seul langle ici est

    trange!

    On note que nous avons puis le nombre de composantes indpendantes (3 ici) et que

    notre tenseur cartsien du 2e ordre a donn naissance deux tenseurs irrductibles sous rotation,

    un scalaire et un vecteur (ordre 0 et 1). Le tenseur du 2e ordre cartsien sest vapor. Il ny a pas

    ici de regroupement correspondant ce qui serait un tenseur irrductible du 2e ordre sous rotation

    en 2D, alors que notre point de dpart tait un tenseur cartsien du 2e ordre.

    Note : ventuellement, la notation utilise ci-dessus pour noter les regroupements aura besoin

    dtre affine. Nous utiliserons une notation 2 indices o le premier indice identifiera lordre du

    tenseur irrductible, alors que le second comptera les lments/composantes lintrieur du

    regroupement (comme pour les Ym J,j( )).

    5.2. Un peu plus difficile

    Reprenons lexemple ci-dessus, mais avec un raffinement. Dans qij = xi x j , le premier x

    sera une coordonne dun point P1, alors que le deuxime sera la coordonne dun autre point P2.

    Nous utiliserons ici un indice infrieur pour identifier le point, cet indice ne sera donc pas ici un

    indice covariant, mais un indice du point, 1 ou 2. Notre tenseur cartsien devient donc

    qij =x1

    1x21 x1

    1x22

    x12x2

    1 x12x2

    2

    =

    x1x2 x1y2

    y1x2 y1y2

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    Ce tenseur nest plus symtrique, les lments hors diagonale tant diffrents et nous avons

    maintenant 4 composantes indpendantes. Les transformations de coordonnes, que ce soit pour

    le point 1 ou le point 2 sont les mmes (rotation 2D)

    xn ' = xn cosf + yn sinf

    yn ' = -xn sinf + yn cosf

    pour les deux points n = 1, 2. cause de ce fait, on retrouve assez facilement le scalaire et le

    vecteur du premier exemple, avec de lgers changements. Le premier scalaire est toujours la

    trace, i.e. la somme des termes de la diagonale

    F 1( ) = x1x2 + y1y2 = F1'( )

    comme on peut le vrifier facilement par calcul direct de

    F 1'( ) = x1 'x2 '+ y1 'y2 ' = x1 cosf + y1 sinf( ) x2 cosf + y2 sinf( ) + -x1 sinf + y1 cosf( ) -x2 sinf + y2 cosf( )

    = x1x2 sin2 f + cos2 f( ) + y1y2 sin2 f + cos2 f( ) = x1x2 + y1y2 = F 1( )

    Nous pouvons galement vrifier que les deux combinaisons x1y2 + y1x2 et -x1x2 + y1y2 sont les

    composantes dun regroupement irrductible et se transforment entre linairement elles, les deux

    composantes dun vecteur ou tenseur dordre un. Au total, nous avons date deux regroupements

    totalisant trois composantes. Notre tenseur original en comptait quatre, il en reste donc une

    caser. Avec une seule composante, nous ne pouvons avoir quun scalaire. On peut vrifier que ce

    scalaire est x1y2 - y1x2 qui se transforme en lui-mme

    x1 'y2 '- y1 'x2 ' = x1y2 - y1x2

    et est donc un scalaire.

    Nous avons donc rduit notre tenseur cartsien du 2e ordre de 4 composantes en trois tenseurs

    irrductibles sous rotation, deux sont des scalaires et lautre un vecteur. Il ny a pas ici de tenseur

    irrductible du 2e ordre sous rotation, non plus !

    5.3. Le tenseur dordre 2 sous rotation, 3e exemple.

    Nous allons maintenant en 3D o la situation nest pas aussi triviale. En plus dune

    dimension additionnelle, nous nallons pas supposer de symtrie particulire de part et dautre de

    la diagonale, donc

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    Qmn =

    Q11 Q12 Q13

    Q21 Q22 Q23

    Q31 Q32 Q33

    Nous avons ici 9 composantes et les manipulations sont beaucoup plus lourdes quen 2D.

    Nous avons la diagonale et six termes hors diagonale. Nous allons ici noncer le rsultat sans

    faire les pages de calcul requis. Comme dans lexemple 2D, ici aussi (sans trop de surprise), la

    trace reste invariante et forme un scalaire sous rotation que nous appelons

    t = Q11 + Q22 + Q33

    La matrice, moins , na pas, a priori, de symtrie particulire de part et dautre de la diagonale.

    De ce fait, elle est la somme dune matrice antisymtrique et dune matrice symtrique

    Qmn = T mn + Smn

    o T mn =Qmn - Qnm

    2= -T nm et Smn =

    Qmn + Qnm

    2= +Snm

    Nous constatons (et cest intuitivement vident quune rotation ne va pas changer une quantit

    symtrique en quantit antisymtrique) que sous rotation, les composantes de T (antisymtrique)

    se transforment entre elles. Elles sont au nombre de trois, (les 3 au dessus ou au dessous de la

    diagonale de la matrice T) le nombre de composantes dun vecteur (tenseur dordre 1)

    irrductible sous rotation. Il serait difficile en effet de retrouver des contributions symtriques

    dans une expression qui doit tre antisymtrique puisque les transformations de rotation sont

    linaires avec une matrice de Jacobi indpendante des coordonnes. Les lments de la matrice T

    doivent donc se transformer entre eux sous rotation, une opration qui ne brise pas lantisymtrie.

    Les termes de la diagonale de la matrice T sont identiquement nuls, donc la diagonale de la

    matrice initiale se retrouverait dans la matrice S. Parce que nous avons dj tenu compte de la

    trace comme tant un scalaire, nous allons la soustraire de S et dfinir une matrice symtrique de

    trace nulle, S , en soustrayant un tiers de la trace chacun des 3 termes de la diagonale :

    Smn = Smn -t

    3d mn

    La matrice T compte 6 composantes, mais seulement trois linairement indpendantes par

    symtrie de part et dautre de la diagonale, le nombre requis pour construire un vecteur

    irrductible sous rotation. Des 9 composantes initiales, moins une pour le scalaire, moins 3 pour

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    le vecteur, il reste 5 composantes linairement indpendantes dans S . Nous constatons par calcul

    que ces 5 composantes se transforment entre elles sous rotation, formant un regroupement

    irrductible. Ce seront les composantes dun tenseur irrductible du deuxime ordre sous rotation.

    Il ne compte que 5 composantes. Poussant plus loin, le tenseur du 3e ordre irrductible sous

    rotation compte 7 composantes, etc

    Nous nous cartons partir dici de ce quon trouvait en cartsien pour ce qui est du nombre de

    composantes des tenseurs dordre 2.

    6. Notation et harmoniques sphriques

    Les indices couramment utiliss pour noter les tenseurs irrductibles sous rotation diffrent

    des indices des tenseurs cartsiens. Chaque composante de tenseur nest identifie que par deux

    indices. Le premier est lordre du tenseur sous rotation

    = 0,1,2,3,4...

    nous dit simplement lordre du tenseur irrductible, scalaire, vecteur, dordre 2, dordre 0, 1, 2,

    Avec cette convention, on note que le nombre de composantes est simplement 2 +1( ) et il

    est habituel didentifier les composantes lintrieur dun tenseur par lindice m dont la valeur va

    de - + par sauts dune unit (on compte les lments)

    m= - ,- +1,...,-1,0,1,.... -1,

    2 +1( ) valeurs

    ce point-ci, ceux qui sont familiers avec les fonctions appeles harmoniques sphriques auront

    reconnu leur label Ym J,j( ). Ces fonctions sont effectivement des tenseurs dordre

    irrductibles sous rotation. Il est en effet bien connu, sans faire rfrence aux notions de tenseurs

    que, sous rotation, les composantes dun harmonique sphrique se transforment entre elles

    lintrieur dune mme valeur de , chaque nouvel harmonique tant une combinaison linaire

    sur m des anciennes composantes. Ceci est largement utilis en lectrodynamique classique par

    exemple (Jackson). videmment, les valeurs de m nont pas t choisies au hasard. Les

    harmoniques sphriques apparaissent dans les quations diffrentielles, dont plusieurs lois

    physiques, crites en fonction des coordonnes sphriques. Les quations de Laplace, de

    Schrdinger sont de ce type. Elles sont discutes dans un autre module sur les Harmoniques

    sphriques. Rappelons simplement quelles sont la solution angulaire de toute quation de champ

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    en coordonnes sphriques dont loprateur diffrentiel est le Laplacien 2 et dont les autres

    termes ne dpendent pas des angles

    La solution gnrale de 2y r ,J ,j( )+V r( )y r ,J ,j( ) = Cy r ,J ,j( ) sera alors de la forme

    y r,J,j( ) = Fn r( )Ym J,j( ) y nm r,J,j( )

    o n ne rfre qu la partie radiale de la solution qui est scalaire et nous le laissons tomber dans

    ce qui suit, puisquil nest pas affect par ces oprations. La solution particulire pour un terme

    de source donn et/ou des conditions aux limites donnes prendra alors la forme

    Y r,J,j( ) = Cnm

    m

    possibles

    n

    possibles

    y nm r,J,j( )

    Cest le cas dquations trs importantes en physique, comme lquation donde, de Laplace et

    celle de Schrdinger dans plusieurs cas (potentiel central). Les coefficients Cmsont dtermins

    par les conditions initiales ou les termes de source qui sont particuliers ce problme.

    Ce que nous avons vu ici, cest que le tenseur irrductible sous rotation dcrit un tat physique

    gnral invariant sous rotation o la valeur de et de m seront dfinies, cest le cas de chaque

    Ym . Classiquement, nous savons quun systme physique invariant sous rotation, comme le

    systme solaire, a une quantit fixe de moment angulaire, en valeur et en direction. Cest

    dailleurs cette constance en direction qui fixe les orbites plantaires dans un plan, celui qui est

    perpendiculaire au vecteur moment cintique du systme soleil/plantes. En mcanique quantique

    cest encore plus intressant, les tats physiques sont identifie par et m, qui seront associes

    la valeur (module) du moment cintique et sa composante z.

    a. Le scalaire = 0

    Nous parlons du scalaire sous rotation, i.e. dun champ ou dune quantit qui na quune seule

    composante qui reste invariante sous rotation, comme la distance entre deux points ou

    lharmonique sphrique Y00 J,j( ) = 1/ 4p qui nest quun nombre. Le scalaire sous rotation

    est dordre = 0 et na que la composante m= 0 .

  • 13

    b. Le vecteur ou tenseur dordre un : = 1

    En 3D, le vecteur cartsien V est identifi gnralement par ses 3 composantes cartsiennes

    (ou autres) V = Vx,Vy,Vz{ } = V i i = 1,2,3{ } . Nous avons vu plus haut comment le vecteur se

    transforme sous rotation laide de la matrice de Jacobi. Chacune des nouvelles composantes

    cartsiennes sexprime comme une combinaison linaire des (de toutes les) anciennes

    composantes par

    V i = Aii V i

    En parlant des tenseurs irrductibles, nous avons suggr une nouvelle notation o le vecteur

    serait (sous rotation) dordre = 1 et aurait les composantes m= -1,0,1. Parce que le vecteur

    est irrductible sous rotation, le vecteur cartsien et le vecteur sphrique ont le mme nombre

    de composantes (3), mais elles sont clairement identifies diffremment. Si on veut plus tard

    retrouver nos expressions connues pour des quantits comme le produit scalaire, nous

    dfinirons les composantes sphriques V m avec = 1 comme

    V11 = -1

    2Vx + iVy( )

    V10 = Vz

    V1-1 =1

    2Vx - iVy( )

    H oui elles sont complexes ! En fait, elles copient les harmoniques sphriques, puisque vous

    pouvez calculer facilement pour le rayon vecteur r = ix + jy+ kz que

    rY11 = -c1

    2x+ iy( )

    rY10 = cz

    rY1-1 = c1

    2x- iy( )

    o c =3

    4p, un simple facteur de normalisation des harmoniques sphriques.

    Cest simplement une autre faon de dfinir les trois composantes indpendantes dun

    vecteur. Dans le monde microscopique de la mcanique quantique o et m ont une

    signification physique immdiate, la notation sphrique devient particulirement attrayante.

  • 14

    c. Cas gnral

    Les tenseurs irrductibles sous rotation ont leurs composantes notes V m o = 0,1,2,3,4...

    donne lordre du tenseur et m compte les 2 +1 composantes. tous les ordres au del de 1,

    un tenseur irrductible sous rotation dordre a 2 +1 composantes et compte moins de

    composantes que les tenseurs cartsiens du mme ordre (auxquels on ne demande pas dtre

    irrductibles sous rotation). Nous en avons vu des exemples concrets plus haut. En fait, les

    tenseurs irrductibles sous rotation se transforment exactement comme les harmoniques

    sphriques se transforment des angles J,j( ) aux angles J , j( ), suite une rotation

    quelconque reprsentable par les trois angles dEuler y ,q,f( )

    Y m J , j( ) = Dm m y ,q,f( )Ym J,j( )

    m=-

    m=

    On appelle les coefficients D les lments de la matrice de rotation (note Aii ' dans la notation

    cartsienne gnralise). On voit que la valeur de ne change pas, on ne somme que sur les

    composantes m. Le symbole D est standard pour la matrice de Jacobi lorsquil sagit dune

    rotation.

    7. Produit tensoriel

    a. Introduction

    Plus tt, dans le module sur les tenseurs, nous avons parl de diffrents produits et mme

    rinvent la drive pour garantir que les produits entre tenseurs et la drive dun tenseur

    donnent un tenseur. Ici, nous voulons dfinir les types de produit entre des tenseurs irrductibles

    dont le rsultat est un tenseur irrductible. Faisons une courte liste des produits connus ou

    frquents en physique mathmatique. Nous avons le produit algbrique entre deux quantits, qui

    donne naissance au produit direct des champs. Entre les vecteurs, nous connaissons le produit

    scalaire, le produit vectoriel (en 3-D) en plus du produit direct :

    2 4 = 8 produit algbrique (direct)

    Ym J,j( )Y m J,j( ) produit direct

    V U = S= VxUx + VyUy + VzUz = ViUi produit scalaire

    V U = W = i VyUz - VzUy( ) + j VzUx - VxUz( ) + k VxUy - VyUx( ) produit vectoriel

    VU = i iVxUx + i jVxUy + ... + kjVzUy + kkVzUz produit direct

  • 15

    Cela fait beaucoup de choses apparemment sans grande relation. Nous voudrions y mettre un

    peu dordre. Puisquon peut avoir des tenseurs irrductibles scalaires ( = 0 ), vectoriels ( = 1),

    etc, pourquoi ne pas avoir une faon systmatique de faire des produits entre tenseurs

    irrductibles dont le rsultat serait un tenseur irrductible. Il est vident que tous les lments

    rsultant des produits scalaire et vectoriel peuvent tre tirs des composantes du produit direct,

    mais ce dernier nest pas irrductible en gnral, comme nous lont enseign nos exemples de la

    section 5. Notre faon de procder sera utilitaire, i.e. nous allons introduire des situations

    physiques o il sera utile de dfinir des produits qui donnent des tenseurs irrductibles,

    b. Produits entre harmoniques sphriques, ( Addition des moments angulaires)

    Nous avons dj mentionn que les indices l et m des harmoniques sphriques sont

    directement associs la valeur du moment cintique et de sa composante z en mcanique

    quantique. Nous prendrons ici ce fait pour acquis, ce qui est immdiat pour ceux qui ont suivi un

    cours dintroduction la mcanique quantique et tudi la solution de Schrdinger pour latome

    dhydrogne par exemple. Nous savons plusieurs proprits des harmoniques sphriques partir

    de leurs proprits en tant que partie angulaire de la solution de lquation de Laplace en

    coordonnes sphriques et nous utiliserons directement ces proprits connues pour dfinir les

    produits recherchs. Nous savons de la physique mathmatique, en particulier, que le produit de

    deux harmoniques sphriques sexprime comme la combinaison linaire dautres harmoniques

    sphriques

    Y

    1m1J,j( )Y

    2 m2J,j( ) = C 1 2L;m1m2M( )

    L= 1 - 2

    L= 1 + 2

    YLM J,j( ) (1)

    Nous savons valuer les coefficients partir des proprits des harmoniques sphriques. On voit

    que ces coefficients, qui sont historiquement connus comme les coefficients de Clebsch-Gordan

    (CG pour faire court) sont identiquement nuls si on ne satisfait pas aux deux conditions

    1 - 2 L 1 + 2

    M = m1 + m2

    On voit que la condition sur L ressemble la condition que nous aurions sur la grandeur dun

    vecteur L dfini par la somme

    L = 1 + 2

    avec une composante z dfinie par le somme habituelle

  • 16

    M = m1 + m2

    Cest effectivement le cas en mcanique quantique o L, 1, 2 mesurent physiquement des

    moments cintique et o le moment cintique orbital est toujours quantifi au sens

    1, 2 = 0,1,2,3,4...

    et o m mesure la composante z du moment cintique, prenant les 2 +1( )valeurs entires entre

    - et + .

    Note : la restriction de des valeurs entires positives est vraie dans les applications

    classiques aussi. Simplement, dans ces cas, nest pas ncessairement reli un moment

    cintique.

    Clairement la composante z ne peut tre plus grande que le vecteur, mais elle peut avoir sa pleine

    grandeur si le moment cintique est orient selon z ou +z. Lquation (1) ci-dessus est un

    produit direct qui reprsente alors laddition de deux moments cintiques et cest le cas en

    mcanique quantique. Le produit direct nest pas UN tenseur irrductible, mais sexprime comme

    une somme de tels tenseurs sur plusieurs ordres, chaque YLM droite tant un tenseur irrductible

    sous rotation. Chacun de ces termes droite est susceptible de dcrire un tat physique o les

    deux particules combinent leurs moments cintiques pour donner un tat physique total

    o est le moment cintique de lensemble des deux, en grandeur et direction.

    Dun autre ct, on note que les harmoniques sphriques sont orthornormes sur la sphre,

    i.e. elles obissent la condition dorthonormalit sur la sphre dangle solide 4

    sinJdJ djYm

    *

    0

    2p

    0

    p

    J,j( )Y m J,j( ) = d dm m

    Cette relation permet mathmatiquement dinverser lquation (1) en

    YLM J,j( ) = C 1 2L;m1m2M( )

    m1m2

    Y1m1

    J,j( )Y2 m2

    J,j( ) (2)

    qui aura une signification physique nouvelle.

    Les sommes sur m1 et m2 ne portent que sur les valeurs qui satisfont le critre nonc ci-dessus,

    savoir m1 + m2 = M . Il ny a pas de somme sur 1, 2( ), puisque ces valeurs sont fixes/donnes

  • 17

    ds le dbut (tenseurs irrductibles). Les conditions sur les doivent tre satisfaites

    1 - 2 L 1 + 2 .

    Le rsultat (2) est remarquable en ce quil nous fournit ce que nous cherchions (vous aurez

    compris pourquoi je lai introduit). gauche nous avons un tenseur irrductible sous rotation et

    droite, nous avons une combinaison linaire de composantes du produit direct de tenseurs

    irrductibles. Notre ct gauche est fonction propre de , comme nous le dtaillerons

    dans la section 8. Cest l lintrt physique dun tenseur irrductible extrait dun produit

    direct (mathmatique)!

    Pour les raisons inverses, lquation (1) est tout aussi remarquable.

    Nous accepterons alors sans plus de discussion que ces deux quations, la 2e en

    particulier, dfinissent le produit tensoriel recherch. Nous lui trouverons mme un joli symbole

    SL = U V [ ]L

    o les coefficients de CG font en sorte que la somme des produits directs, avec poids donns par

    les CG, droite donne un tenseur irrductible (une de ses composantes). Nous utilisons parfois de

    faon plus prcise la notation suivante pour les composantes du produit

    SLM = U m V m[ ]M

    L= C L;m mM( )

    m m

    m+ m = M

    U mV m

    o clairement les valeurs dsires L et M sont fixes, ainsi que les valeurs et ,

    On doit noter que le rsultat de ce produit na pas une origine unique, au sens o on peut partir de

    deux autres tenseurs dordre, disons et et construire le mme tenseur SL, pourvu que les

    conditions sur les l soient satisfaites, i.e. - L + . Les CG seront videmment

    diffrents. Cest dj une proprit connue des produits en gnral, 2x6 = 3x4 = 12. Les CG qui

    apparatront dans la somme seront diffrents, mais pas le rsultat, un peu comme dire que 2 fois 6

    donne le mme 12 que 4 fois 3.

    En mathmatiques, cela ne pose aucun problme, mais en physique quantique, il y a des

    consquences. Puisquon ne somme pas sur et au-dessus, elles restent dfinies et, dune

    certaine faon on aurait pu crire SLM( ) o les indices suprieurs nont pas dintrt

    mathmatique, mais ils en ont un intrt physique : nous dirions quun fermion dans une orbitale

    est combin un autre fermion dune orbitale dans un tat global de moment cintique L.

  • 18

    d. Produits entre vecteurs, tests.

    Ici considrons deux tenseurs irrductibles dordre = 1(donc des vecteurs). Nous savons

    dfinir trois sortes de produit entre deux vecteurs, le produit scalaire, le produit vectoriel et le

    produit direct. Ils apparaissent dj dans la section a. ci-dessus. Nous voulons vrifier ici si notre

    dfinition plus formelle du produit tensoriel reproduit les rsultats connus, surtout pour le produit

    scalaire et le produit vectoriel. Les coefficients de CG requis sont obtenus de la Table

    http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_ClebschGordan_coefficients#j1.3D1.2C

    qui apparat aussi en annexe du texte imprim.

    Il y a dautres sources, il suffit de demander Google de trouver pour

    obtenir un choix de sources pour les valeurs de ces coefficients. Le nombre de programmes et

    routines/applications existant pour les valuer doit tendre aujourdhui vers linfini !

    Produit scalaire L = 0, M = 0

    Selon notre dfinition formelle, le produit scalaire entre un vecteur V et un vecteur U se

    dfinit comme la somme des deux seuls termes possibles

    S00 = C 110;1-10( )V11U1-1 + C 110;-110( )V1-1U11

    =1

    3-

    1

    2Vx + iVy( )

    1

    2Ux - iUy( )

    -

    1

    3VzUz +

    +1

    3

    1

    2Vx - iVy( )

    -( )1

    2Ux + iUy( )

    S00 =1

    3VxUx + VyUy + VzUz( )

    qui est, au facteur 1 / 3 prs, le produit scalaire tel quon le dfinit habituellement !

    Le produit vectoriel L = 1, M = -1, 0, +1

    Ici, nous cherchons les 3 composantes du tenseur du premier ordre, un vecteur,

    SLM ,L =1,M = -1,0,+1. La formule gnrale est donc ici

    S1M =m1m2

    m1+m2=m

    C 111;m1m2M( )V1m1U1m2

    Explicitement,

    http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_ClebschGordan_coefficients#j1.3D1.2C

  • 19

    S11 = C 111;101( )V11U10 + C 111;011( )V10U11

    =1

    2-

    1

    2Vx + iVy( )Uz + -( ) -( )

    1

    2Vz Ux + iUy( )

    =1

    2VzUx - VxUz + iVzUy - iVyUz( )

    Nous calculons ensuite la composante S10 :

    S10 = C 111;1- 10( )V11U1-1 + C 111;-110( )V1-1U11

    =1

    2-

    1

    2

    1

    2Vx + iVy( ) Ux - iUy( )

    -

    1

    2-

    1

    2

    1

    2Vx - iVy( ) Ux + iUy( )

    =i

    2VxUy - VyUx( )

    qui est, au facteur i / 2 prs, la composante z du vecteur obtenu par le produit vectoriel de V sur

    U.

    On calcule galement la composante S1-1

    S1-1 = C 111;-10 -1( )V1-1U10 + C 111;0 -1-1( )V10U1-1

    =-1

    2

    1

    2Vx - iVy( )Uz

    +

    1

    2

    1

    2Vz Ux - iUy( )

    =1

    2VzUx - VxUz + iVyUz - iVzUy( )

    Rappelons les dfinitions des composantes sphriques des tenseurs du 1er

    ordre

    V11 = -1

    2Vx + iVy( )

    V10 = Vz

    V1-1 =1

    2Vx - iVy( )

    dont nous tirons les relations inverses

    Vx =1

    2V1-1 - V11( )

    Vy =i

    2V1-1 + V11( )

    Vz = V0

    Nous calculons alors

  • 20

    1

    2S1-1 - S11( ) =

    i

    2VyUz - VzUy( )

    i

    2S1-1 + S11( ) =

    i

    2VzUx - VxUz( )

    Nous retrouvons ici les composantes x et y respectivement, au facteur i / 2 prs, du produit

    vectoriel ordinaire V U . Nous avions dj observ le mme facteur pour la composante z.

    Nous pouvons donc dire que notre dfinition du produit vecteur reproduit exactement la

    dfinition habituelle, au facteur i / 2 prs pour toutes les composantes. Nous avions un

    facteur correctif aussi pour le produit scalaire, mais sa valeur tait 1 / 3 . Ces corrections

    viennent du fait que notre dfinition du produit tensoriel respecte la normalisation des

    fonctions rsultantes.

    En effet, rappelons les vecteurs unitaires cartsiens i , j , k qui sont normaliss au sens o

    dans le produit scalaire,

    i i = j j = k k = 1

    mais si nous construisons un vecteur

    1 = i + j + k 1 1 = 3

    et il est clair que le vecteur de ce type normalis est

    1 =

    1

    31 1 1 = 1

    Cest l lorigine de ce facteur 1 / 3 dans le produit scalaire dfini partir de la dfinition

    gnralise du produit tensoriel.

    Lautre produit entre vecteurs = 2, m= -2,-1,0,1,2

    Nous savons dfinir un troisime produit entre deux vecteurs, que nous avons appel le produit

    direct en notation cartsienne, cest un tenseur du 2e ordre. Nous avons construit ses 9

    composantes cartsiennes et nous avons vu que le tenseur cartsien nest pas irrductible sous

    rotation. Ce tenseur irrductible du 2e ordre = 2( ) compte, lui, cinq composantes qui sont, ici

    pour L = 2, M= -2, -1, 0, 1, 2 :

  • 21

    S2M =m1m2

    m1+m2=M

    C 112;m1m2M( )V1m1U1m2

    Explicitement, nous aurons pour M = 2, un seul terme possible

    S22 = C 112;112( )V11U11

    = 1-1

    2

    Vx + iVy( )

    -1

    2

    Ux + iUy( )

    =1

    2VxUx - VyUy + i VxUy + VyUx( )

    o le C-G est gal 1, parce quil est unique (un seul terme)

    Pour M = 1, nous aurons deux termes dans la somme

    S21 = C 112;101( )V11U10 + C 112;011( )V10U11

    =1

    2

    -1

    2

    Vx + iVy( )Uz +

    -1

    2

    Ux + iUy( )Vz

    =-1

    2VxUz + VzUx + i VyUz + VzUy( )

    Ici les deux C-G ont la mme valeur = 1 / 2 . On note que la somme des carrs des C-G donne

    1

    2

    2

    +1

    2

    2

    = 1

    Pour M = 0, il y a trois termes

    S20 = C 112;1-10( )V11U1-1 + C 112;1000( )V10U10 + C 112;-110( )V1-1U11

    =1

    6

    -1

    2

    Vx + iVy( )

    1

    2

    Ux - iUy( ) +

    2

    3VzUz +

    +1

    6

    1

    2

    Vx - iVy( )

    -1

    2

    Ux + iUy( )

    S20 =-1

    6VxUx + VyUy( ) +

    2

    3VzUz

    Ici le 1er

    et le 3e C-G ont la valeur 1 / 6 , alors que le 2

    e vaut 2 / 3 . On note que la somme des

    carrs des C-G est ici

  • 22

    1

    6

    2

    +1

    6

    2

    +2

    3

    2

    = 1

    De faon similaire, utilisant les proprits de symtrie des C-Gs, on calcule

    S2-1 =1

    2VxUz + VzUx - i VyUz + VzUy( )

    S2-2 =1

    2VxUx - VyUy - i VxUy + VyUx( )

    Ici encore, la somme des carrs des C-G donne 1. Nous laissons en exercice la dcouverte de ce

    que donnent les quantits r 2Y2m(J,j) et comment elles sont relies aux expressions cartsiennes

    quivalentes.

    8. Addition de moments cintiques en mcanique quantique et applications

    a. Introduction : une particule

    Note : partir de maintenant, r,q,f( ) seront les coordonnes dune particule.

    Cest en mcanique quantique que les applications sont spectaculaires. Nous

    commencerons par le problme de laddition des moments cintiques, purement angulaires dans

    un premier temps. Pour ce faire, commenons avec une particule et rappelons que le moment

    cintique angulaire est dfini dabord en mcanique classique et quon le quantifie par simple

    remplacement des quantits par des oprateurs

    = r pquantification

    op = -i rop

    Le spectre du moment cintique quantique (ses tats possibles) est remarquable en ce quil est

    toujours discret et que les fonctions propres des oprateurs 2 et z sont les harmoniques

    sphriques. Cest dcrit dans tous les livres de mcanique quantique et particulirement bien fait

    dans celui de Cohen-Tannoudji et al. Ici, nous laissons tomber lindice op pour allger et nous

    utilisons et z comme oprateurs et nous utiliserons l et m comme indices des harmoniques

    sphriques (nombres quantiques) et comme valeurs pour le moment cintique angulaire

    o l = 0,1,2,3,4..., m= -l, - l +1, - l + 2,...0, 1,..., l , 2 +1( )valeurs possibles. Les valeurs

    0, 1, 2, 3, de l sont souvent notes s, p, d, f, en spectroscopie atomique et nuclaire.

  • 23

    Deux mots : i) nous avons vu que le produit vectoriel est dangereux, sauf pour les composantes

    cartsiennes en 3-D, ce qui est le cas ici (le seul cas o il existe); i) On ne peut mesurer quune

    seule des composantes (cartsiennes) du moment cintique, parce que les oprateurs

    correspondants ne commutent pas ensemble (mcanique quantique)

    i

    , j = i eijk k x, y = i z etc.

    mais ils commutent tous avec :

    2 , i = 0, pour i = x, y, z donc le carr du moment cintique

    total commute avec chaque composante et on peut mesurer simultanment et disons z, ce qui

    est gnralement accept. (Ce choix dcoule directement de lutilisation des coordonnes

    sphriques).

    Nous gardons donc 2 et la composante z, le choix habituel.

    Loprateur de Hamilton pour une particule (sans spin) dans un champ central scrit en

    coordonnes sphriques (adaptes aux problmes symtrie sphrique)

    H =

    - 2

    2m2 + V r( ) =

    pr2

    2m+

    2

    2mr 2+ V r( )

    o pr et sont ici des oprateurs diffrentiels dans lesquels nous avons introduit le facteur

    purement scalaire (dimensionn).

    On sait que la solution gnrale de lquation stationnaire de Schrdinger

    Hy r( ) = Ey r( )

    est ici du type

    y nlm r,q,f( ) = fnl r( )Ylm q,f( )

    Notes : 1. Nous utilisons ici indiffremment et l pour signifier loprateur moment cintique

    orbital (ou angulaire), alors que ou l est le nombre quantique du moment angulaire. 2. La

    direction z semble tre favorise plutt que x ou y ; cest d au fait quarbitrairement, la dfinition

    habituelle des coordonnes sphriques fait tourner langle f autour de laxe Oz.

    Si ltat est li, n est un nombre quantique discret. Il devient continu si ltat nest pas li

    et on le notera prfrablement k dans ce cas, crivanty klm r,q,f( ), o, pour les tats lis, la

    fonction fnl r( )est une onde qui dcrot asymptotiquement vers zro linfini. De toute faon, la

    partie radiale est invariante sous rotation (un scalaire).

  • 24

    Linterprtation physique est que l est le nombre quantique qui mesure le moment

    cintique quantique, mais on ne sait mesurer que le carr de sa valeur qui est (trangement) gal

    l l +1( )2. Une mesure compatible de la composante z donne m , tel que dj vu

    Ce rsultat est moins surprenant quil ny parat, puisquon retrouve quelque chose

    dquivalent dans la thorie classique du rayonnement lectromagntique dcrit par les quations

    de Maxwell. On y voit que la radiation .-M. classique, dcompose en multiples, est dcrite

    par des fonctions issues des harmoniques sphriques et que l aussi, lindice l est li au moment

    cintique emport par le rayonnement (photon en quantique). Les manipulations de physique

    mathmatique ny sont pas triviales, physiquement, parce que la radiation lectromagntique, le

    photon (quantique), porte un moment cintique intrinsque ou de spin dont nous navons pas

    encore parl, de valeur 1 et dont il faut tenir compte. Les textes traditionnels/classiques ne

    connaissent pas les moments cintiques intrinsques, nutilisent pas la formulation daddition de

    moments cintiques que nous prsentons ici, mais suivent une mthode plus heuristique.

    Physiquement, le fait davoir un champ central (comme la gravitation ou llectrostatique)

    signifie quon dcrit un systme qui est indpendant de lorientation angulaire spatiale, i.e.

    invariant sous rotation. Mathmatiquement, cela se traduit par le fait que le potentiel qui apparat

    dans lquation de Schrdinger est fonction du module de la distance, i.e. de r et est indpendant

    de lorientation, donc ne dpend pas de q ni de f . Le facteur f est un pur scalaire sous rotation et

    le facteur Ylm est un tenseur irrductible sous rotation. Cela signifie que si on change lorientation

    des axes, le Ylm va se transformer en combinaison deYl m , ce qui nous dit que la grandeur de son

    moment cintique ne sera pas affecte, mais que ses composantes le seront, ce qui est une parfaite

    description de la ralit physique. Par exemple, le vecteur vitesse dune voiture a la mme valeur

    de 100 kh/h, quelque soit lorientation donne par rapport un rfrentiel inertiel, mais ses

    composantes seront diffrentes selon lorientation des axes de ces rfrentiels (tourns, lun par

    rapport lautre, nord, est sud, ouest).

    En rsum, dans un systme invariant sous rotation dune particule, le moment cintique orbital

    et sa composante z sont bien dfinis et dcrits par une fonction donde qui est un tenseur

    irrductible sous rotation. Il est intressant de noter, une autre chelle, que le fait que la

  • 25

    composante z du moment cintique dun systme invariant sous rotation est dfinie (et constante)

    est responsable du fait que notre systme solaire est un plan (perpendiculaire son lz) et cest

    presque vrai de notre galaxie !

    b. Deux particules

    Imaginons deux particules, 1 et 2, chacune dcrite par sa fonction donde du type ci-

    dessus

    y n1l1m1 r1,q1,f1( ) = fn1l1 r1( )Yl1m1 q1,f1( )

    y n2 l2 m2 r2 ,q2 ,f2( ) = fn2 l2 r2( )Yl2 m2 q2 ,f2( )

    o les indices infrieurs 1 et 2 des coordonnes rfrent aux particules 1 et 2., alors que les

    indices des nombres quantiques ( n, l et m) rfrent aux tats occups par les particules.

    Si on veut tudier ce systme comme UN systme, alors le fait que loprateur de Hamilton est la

    somme des oprateurs individuels, du fait de ladditivit physique de lnergie, nous oblige

    considrer que la fonction donde totale pour H = H1 + H2 (ngligeant, du moins dans un

    premier temps, une interaction V12 entre les deux particules) est du type sparable, donc

    Y r1,r2( ) = y n1l1m1y n2 l2m2 = fn1l1 r1( )Yl1m1 q1,f1( ) fn2 l2 r2( )Yl2 m2 q2,f2( ) = fn1l1 r1( ) fn2l2 r2( )iYl1m1 q1,f1( )Yl2m2 q2,f2( )

    Avant daller plus loin, il faut ajouter quil est parfois important de considrer des combinaisons

    symtrises ou anti-symtrises de ce type de produit, mais cela ne change rien de fondamental

    ce que nous allons dcrire ci-dessous, a ne le rend quun peu plus lourd, comme nous le verrons

    dans un exemple plus loin.

    On note dans ce produit ( droite) quon peut le sparer en deux facteurs, le premier ne

    dpendant que des rayons vecteurs et qui est donc un scalaire sous rotation et un second qui est

    Yl1m1 q1,f1( )Yl2m2 q2 ,f2( ). Ce dernier est un produit direct de deux tenseurs irrductibles et le

    rsultat nest pas, en gnral, un tenseur irrductible, ce qui est ennuyant, puisque physiquement

    le systme total physique reste invariant sous rotation. Cela se manifeste par le fait quon ne

    connat pas, a priori, le moment cintique total de ce systme deux particules construit laide

    dune seule composante du produit direct. Nous savons que le moment cintique total est,

    physiquement

  • 26

    L = 1 + 2 o l1 - l2 L l1 + l2

    d au simple fait quil sagit de vecteurs, donc L peut prendre plusieurs valeurs numriques. Cest

    trs joli, mais pas trs utile, du moins dans une description quantitative. Le systme physique

    total rsultant aura, aprs mesure, UNE valeur L du moment cintique (avec ses composantes z)

    et cet tat sera dcrit par UN tenseur irrductible sous rotation YLM . Nous savons

    mathmatiquement construire un tenseur irrductible sous rotation pour le systme complet par

    une combinaison linaire adquate des lments du produit direct par

    YLM = C l1l2L;m1m2M( )m1 ,m2

    m1 +m2 = M

    Yl1m1Yl2 m2

    qui nest possible que pour les valeurs de L qui sont prcisment celle dfinies au dessus, avec

    la somme vectorielle des oprateurs de moment cintique des deux particules . Nous

    avons, en fait, russi construire un tat (une squence dtats pour toutes les valeurs possibles

    de L) deux particules qui est un tenseur irrductible sous rotation et qui est identifi par les

    indices L, M qui correspondent clairement au moment cintique total du systme et de sa

    composante z. Nous avons russi additionner deux moments cintiques. La combinaison des

    deux tats par un produit direct construit 2l1 +1( ) 2l2 +1( ) composantes (tats) au total. On vrifie

    directement (laiss en exercice) que le nombre total de tenseurs irrductibles gauche, dcrivant

    des tats de moment cintique total L a, pour toutes les valeurs de L et de M possibles, le mme

    nombre total dtats.

    La consquence pratique est norme. Les deux ensembles de fonctions sont quivalents,

    mathmatiquement et physiquement, mais celui construit des tenseurs irrductibles est beaucoup

    plus intressant dans la description quantitative du systme deux particules. En effet, nous

    pouvons construire plusieurs fonctions donde, chacune avec son tenseur irrductible sous

    rotation (une valeur de L donne) et ils peuvent tre tudis quantitativement et sparment lun

    de lautre, chacun dcrivant un tat diffrent possible du systme physique. Il suffit de dfinir ces

    tats deux particules moment cintique total bien dfini comme

    c. Une particule et son spin : le fermion

  • 27

    Les particules qui constituent les briques de notre univers sont toutes des fermions, des

    particules qui, en plus davoir possiblement un moment cintique orbital, possdent galement

    toujours un moment cintique intrinsque, souvent appel spin et dont la valeur est demi-entire,

    la plupart du temps , la valeurs que nous allons retenir ici, puisquelle sapplique aux lectrons,

    neutrons et protons, neutrinos... Le spin est not gnralement par la lettre s et il a physiquement

    la mme nature que le moment orbital. On peut essayer de le voir de la faon suivante, mme si

    ce spin na pas de vraie correspondance classique. Le moment cintique orbital de la Terre dans

    son mouvement est d sa rotation autour du Soleil, alors que sa rotation sur elle-mme est son

    spin. Ce nest pas compltement correct, parce que le spin demi-entier a une origine purement

    relativiste, mme sil perdure dans tous les rgimes, relativistes ou non.

    Le groupe O(3) tait capable de dcrire la symtrie sous rotation des objets nayant que du

    moment angulaire orbital. En introduisant le moment cintique intrinsque, il faudrait se tourner

    vers le groupe SU(2). Cependant, nous allons traiter le spin comme un moment cintique

    ordinaire et heureusement, les coefficients de CG peuvent tre alors dfinis avec des valeurs

    entires. Nous avons donc maintenant une particule qui a un moment orbital l et un moment

    intrinsque s . Ces deux oprateurs tant vectoriels, le moment cintique total de la particule sera

    aussi demi-entier et est gnralement not

    o l = 0, 1, 2, 3, 4 ; s =1/2 et les j seront demi-entiers =1/2, 3/2, 5/2, ...

    Les oprateurs de spin ont les mmes rgles de commutation quantiques que le moment

    orbital et les vecteurs propres, souvent appels spineurs et nous les noterons cm o

    m = -1 / 2,+1 / 2

    s2cm = 1 / 2 1 / 2 +1( )2cm = 3 / 4

    2cm

    szcm = m cm

    Ces spineurs existent dans lespace vectoriel des spins et nont pas de dpendance en quelque

    coordonne que ce soit, ils sont simplement caractriss par leur nombres quantique s (ici

    toujours gal ) et m = 1/ 2 (nous laissons tomber lindice s dans lcriture du spineur, parce

    que cest toujours, ici, et que tout le monde le sait). Notre vecteur complet pour dcrire la

    particule sera donc

  • 28

    y = fnl r( )Ylml q,f( )cm = y nlml sm

    Le facteur f est un invariant sous rotation, mais le facteur Ylml cm est une composante dun produit

    direct de tenseurs irrductibles sous rotation. Pour avoir une description complte de la particule,

    il est prfrable de spcifier son moment cintique total et de la dcrire laide dun tenseur

    irrductible qui traduira mieux le fait quelle volue dans un univers invariant sous rotation o

    et m est la composante z de . Nous devons donc additionner ces deux moments

    cintiques et dfinir un vecteur dtat, comme nous avons appris le faire ci-dessus avec m=1/2,

    -1/2.

    y nlsjm = C lsj;ml mm( )ml ,m

    ml +m=m

    Ylml cm = C l1 / 2 j;ml mm( )ml ,m

    ml +m=m

    Ylml cm

    Les coefficients de C-G sont effectivement valuables pour des moments cintiques demi-entiers

    et les fonctions gauche ne sont plus immdiatement des harmoniques sphriques, les indices j,

    m tant demi entiers (ce sont en fait des tenseurs irrductibles de SU(2) plutt que de O(3)).

    d. Deux fermions

    On peut continuer plus loin et considrer un systme de deux fermions, 1 et 2, de nombres

    quantiques n1, l1,s1, j1,m1 et n2, l2,s2, j2,m2 (on a mis le s = dans les deux cas). A priori,

    laddition des oprateurs de Hamilton sans interaction amne considrer des vecteurs du

    type

    Y =y n1,l1,s1, j1,m1 (1)y n2 ,l2 ,s2 , j2 ,m2 (2)

    encore une fois un produit direct de deux tenseurs irrductibles qui nest pas en soi un tenseur

    irrductible, mais on peut construire un tenseur irrductible o J est un entier 0, avec

    J = j1 + j2 et M = m1 + m2, en construisant

    Y j1 j2 JM = C j1 j2J;m1m2M( )m1 ,m2

    m1 +m2 = M

    y n1 ,l1 ,s1 , j1 ,m1 1( )y n2 ,l2 ,s2 , j2 ,m2 2( )

    o le nombre, 1 ou 2 entre parenthses identifie la particule. Au grand complet, cela donne

    YJM 1,2( ) = C j j 'J;mm'M( )

    m,m'

    m+m'=M

    C s j;mmsm( )m,ms

    m+ms=m

    jnm (1)csms (1) C 's' j ';m'ms'm'( )m' ,ms'

    m'+ms'=m'

    jn''m' (2)cs'ms' (2)

  • 29

    Ce rsultat sappelle couplage jm. On aurait pu additionner , et ensuite additionner

    et ensuite , on parle alors de couplage LS.

    Note : Il faut diffrencier les (1,2) qui identifient les particules des indices comme j1ou m2 qui

    identifient les tats dans lesquels on place les particules.

    e. Antisymtrisation (une parenthse)

    Ici, un lment additionnel sajoute, qui na rien voir avec lirrductibilit, mais qui

    trouve son origine dans la nature des fermions : leur vecteur dtat doit tre antisymtrique sous

    change des deux particules. Nous devons donc construire une fonction donde telle que

    Y j1 j2JM 1,2( ) = -Y j1 j2JM 2,1( ), ce qui donne

    Y j1 j2 JM 1,2( ) =1

    2C j1 j2J;m1m2M( )

    m1 ,m2

    m1 +m2 = M

    y n1 ,l1 ,s1 , j1 ,m1 1( )y n2 ,l2 ,s2 , j2 ,m2 2( ) - C j1 j2J;m1m2M( )m1 ,m2

    m1 +m2 = M

    y n1 ,l1 ,s1 , j1 ,m1 2( )y n2 ,l2 ,s2 , j2 ,m2 1( )

    On peut intervertir les particules 1 et 2 dans le second terme qui devient

    C j2 j1J;m2m1M( )m1 ,m2

    m1 +m2 = M

    y n1 ,l1 ,s1 , j1 ,m1 1( )y n2 ,l2 ,s2 , j2 ,m2 2( )

    Nous savons que les symtries des C-G sont telles

    C j2 j1J;m2m1M( ) = -1( )j1 + j2 -J C j1 j2J;m1m2M( )Nous avons donc au total (cest la mme somme

    sur les deux termes)

    Y j1 j2 JM 1,2( ) =1

    2C j1 j2J;m1m2M( ) - -1( )

    j1 + j2 - J C j1 j2J;m1m2M( )( )m1 ,m2

    m1 +m2 = M

    y n1 ,l1 ,s1 , j1 ,m1 1( )y n2 ,l2 ,s2 , j2 ,m2 2( )

    ou Y j1 j2 JM 1,2( ) =1

    21- -1( )

    j1 + j2 - J

    C j1 j2J;m1m2M( )

    m1 ,m2

    m1 +m2 = M

    y n1 ,l1 ,s1 , j1 ,m1 1( )y n2 ,l2 ,s2 , j2 ,m2 2( )

    Pour que ce vecteur ne soit pas nul, il faut que le crochet { } soit non nul, donc que j1 + j2 - J

    soit impair.

    Par exemple (frquent), si j1 = j2 = j (configuration (j2)J), alors j1 + j2 - J= 2j J o

    2j est toujours impair, parce que j est demi-entier, donc J doit tre pair, donc les seules valeurs de

  • 30

    J = 0,2,4,6... 2 j sont permises dans ce cas dune configuration (j2)J. Pour les valeurs impaires

    de J, le vecteur dtat est identiquement nul, cause de lantisymtrisation.

    f. Plus de deux particules

    On constate ci-dessus que les facteurs y n1 ,l1 ,s1 , j1 ,m1 1( ) et y n2 ,l2 ,s2 , j2 ,m2 2( ) comptent dj

    plusieurs coefficients de CG. Si on augmente le nombre de particules, toujours produire des

    vecteurs dtat dont la valeur du moment cintique total est bien fixe deviendra lourd et mme

    prohibitif en calcul, mais cest en principe faisable, nous avons la recette. Il peut tre plus

    conomique de faire une sorte dinverse lorsque le nombre de particules est assez lev, mais

    cest l une autre histoire.

    g. Interaction tensorielle

    En physique nuclaire, on a introduit une interaction dite tensorielle dans le Hamiltonien

    de Schrdinger, afin dexpliquer le moment quadripolaire du deuton (un proton et un neutron),

    qui exige un apport = 2 en plus du = 0 dans la partie spatiale de la fonction donde du

    fondamental, le seul tat stable du deuton. Ceci exige que la partie spatiale de la fonction donde

    ait une composante en Y2m q,f( ) en plus du Y00 q,f( ) habituel. Loprateur Hamiltonien lui-

    mme est un scalaire videmment et un terme de potentiel doit donc tre un scalaire (global) sous

    rotation. Cependant, la partie spatiale na pas tre un scalaire par elle-mme, non plus que la

    partie spin. On peut alors ajouter au potentiel entre les deux particules (1 et 2) un terme

    globalement scalaire du type

    VT r1,r2( ) = c r1

    1( ) r21( )

    2

    s11( ) s2

    1( )

    2

    0

    0

    Un premier tenseur dordre 2 sous rotation est dabord form par r11( ) r2

    1( )

    2

    partir des

    oprateurs position des deux particules (des vecteurs ou tenseurs dordre 1). La notation a subit

    ici un petit changement, lindice infrieur des oprateurs rfre la particule et lindice suprieur

    est celui de lordre tensoriel irrductible sous rotation. Cet oprateur agit sur les coordonnes

    spatiales des deux particules. On forme ensuite un second tenseur dordre 2 partir des

    oprateurs de spin (des vecteurs ou tenseurs dordre 1) des deux particules s11( ) s2

    1( )

    2

    et on

    forme ensuite un produit scalaire entre ces deux tenseurs irrductibles dordre 2 pour obtenir un

  • 31

    scalaire sous rotation qui peut alors tre un terme de potentiel dans loprateur Hamiltonien qui

    doit tre un invariant sous rotation, un scalaire. Explicitement, on forme les composantes

    (j, m) = (2, m) du tenseur spatial Q(2) par

    Q2m( ) = C 112;m1m2m( )

    m1m2

    m1 +m2 =m

    r11m1( )r2

    1m2( )

    ensuite les composantes du tenseur de spin S

    S2m( ) = C 112;m1mm2m( )

    m1m2

    m1 +m2 =m

    s11m1( )s2

    1m2( )

    et finalement on excute le produit scalaire qui donne VT scalaire

    VT = C 220;mm0( )mm

    m+m=0

    Q 2m( )S 2m( )

    Notant r = r1 - r2 la distance relative entre les deux particules, on obtient aprs un certain ( !)

    calcul

    VT r1, r2( ) =

    r 2

    5

    s1 r( ) s2 r( )r 2

    -1

    3s1 s2( )

    un rsultat dont lobtention est laisse en exercice et que lon retrouve placard dans bon nombre

    de livres de physique nuclaire, sans jamais en donner une explication dtaille. On lappelle

    gnralement linteraction tensorielle, ce qui est vrai pour les rotations spatiales et vrai pour les

    spins, mais fausse (cest un scalaire) globalement. Maintenant, vous savez do a vient.

    Pierre Amiot, 2015.

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