Une introduction oprationnelle aux tenseurs irrductibles ... le module sur les Tenseurs, ... ne peut plus les rduire plus avant, en faire des regroupements plus petits qui se transformeraient entre eux.

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    06-Feb-2018

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1 Pierre Amiot 2015 Physique, gnie physique et optique Universit Laval, Qubec. Une introduction oprationnelle aux tenseurs irrductibles sous rotation et leurs produits. Note : on devrait lire les tutoriels sur les tenseurs et les harmoniques sphriques avant le prsent et celui sur la thorie des groupes avant ou en parallle, ou leurs quivalents, avant dattaquer le prsent tutoriel. Ils sont publis dans la rubrique sur la page https://www.phy.ulaval.ca. Ce tutoriel est destin ceux qui veulent lire la littrature et comprendre le vocabulaire et, dune moindre faon, introduire ceux qui ont besoin dutiliser ces outils dont lalgbre est aujourdhui largement le fait dapplications spcialises. Cette introduction est donc faible en dmonstrations et favorise les exemples illustratifs, elle nest pas une prsentation systmatique et savante. Il nest pas question ici de thormes ni de dmonstrations, Les lecteurs intresss une prsentation rigoureuse sont invits se rfrer la littrature savante. 1. Introduction Le sujet des tenseurs irrductibles est gnralement trait en dehors du cadre habituel de prsentation des tenseurs. Il est trs peu utilis dans des domaines comme la relativit, ordinaire et gnrale, ni en lectromagntisme (quoique !), mais il est trs utile en physique microscopique, comme la physique atomique, nuclaire ou subatomique et en gnral en mcanique quantique. Cest peut-tre pourquoi il apparat plutt dans les livres sur la thorie des groupes en physique ou ceux portant sur la mcanique quantique o ces objets sont particulirement utiles. https://www.phy.ulaval.ca/ 2 Dans le module sur les Tenseurs, nous insistons sur leur dfinition partir de leurs proprits de transformation gnrales et faisons une brve introduction aux tenseurs irrductibles. Pour parler de tenseurs irrductibles, il faut se limiter quelques (famille de) transformations et, dans un grand nombre de cas en physique, ce sont surtout les transformations de rotation en 3-D (groupe O(3)) et ce sont celles qui seront au centre de notre attention ici et qui nous serviront dexemple, cause de leur prominence dans les applications de physique, en particulier quantique. Ce groupe sera notre exemple premier dintroduction aux diffrents concepts concernant les tenseurs irrductibles. Les tenseurs irrductibles des groupes SU(2) et de SU(3) sont aussi trs importants en physique subatomique. Dans cette introduction, nous insisterons surtout sur le groupe O(3) et sur les transformations de rotations (et dirons un mot de SU(2)). Le rle important des rotations vient du fait que notre Univers a 3 dimensions spatiales et est essentiellement invariant sous rotation spatiale dobservation, i.e. notre vision de lunivers reste invariante si on change lorientation dobservation. Nos lois physiques doivent respecter cette proprit, en effet elles sont aussi valides en Australie ou sur Neptune, sur Andromde (on lespre !) ou quici. En fait il est plus que raisonnable de penser quelles sont indpendantes de langle/orientation sous lequel nous tudions lUnivers. Cest donc le cadre dans lequel nous travaillerons ici, mais on peut refaire un traitement similaire pour dautres transformations, dautres symtries. Notre approche sera utilitaire, en ce sens quelle cherche donner au lecteur les outils dont il a besoin pour comprendre ce jargon particulier, sans avoir se taper toutes les dmonstrations mathmatiques. Ce texte est destin des physicien(ne)s et chimistes quantiques, et non des mathmaticiens. Finies donc ici les transformations gnrales quon retrouve dans la dfinition originale de ce quest un tenseur et restreignons-nous aux transformations de rotations (surtout en 3D pour fin dexemple) et regardons dabord les composantes cartsiennes des quantits (quelques exemples descriptifs seront en 2-D pour allger lalgbre). Si ces composantes dpendent des coordonnes, alors nous navons pas nous limiter aux coordonnes cartsiennes pour cette dpendance, mais nous continuons considrer les composantes cartsiennes des tenseurs par simplicit, par exempleVx r,J,j( ) o les coordonnes sphriques sont ici r = r,J,j( ). Le prsent tutoriel nest pas une prsentation savante o toutes les dmonstrations sont ficeles. Il a pour but dinitier en illustrant des avenues et les dmonstrations trop lourdes ont t 3 laisses de ct. Certains exemples sont inspirs du livre de de Shalit et Talmi qui est surement out of print, les annexes de Mcanique quantique de Messiah peuvent tre trs utiles et on retrouve les harmoniques sphriques un peu partout, en particulier sur la toile (Mcanique quantique de Messiah, Electrodynamics de Jackson, toile). Le but ici est une introduction oprationnelle et, je lespre, didactique et oprationnelle. 2. Description de la rotation On peut dcrire une rotation des axes de notre rfrentiel dun angle quelconque p/r un axe quelconque comme une suite de trois rotations p/r des axes bien identifis pour des valeurs dangle appels angles dEuler. Ici nos coordonnes (cartsiennes, cest plus simple) initiales et fixes sont xi = x,y,z i = 1,2,3{ } et les coordonnes finales, aprs la transformation, seront x i = x , y , z i = 1,2,3{ }. Il y a plusieurs choix possibles (6 indpendants) des angles dEuler. La plus frquente est la suivante : La 1re rotation dEuler est dun angle y autour de laxe 3 (ou Oz), gnrant des axes 1 et 2. La 2e rotation dun angle q se fait autour de laxe 1 (ou Ox), gnrant des axes 2 et 3. La troisime rotation est dun angle f autour de laxe 3, gnrant des axes 1 et 2. Le systme final est donc compos des axes 1, 2 et 3 qui dfinissent les directions x , y , z( ) . ( Notez que les angles q et f qui apparaissent sont ici des angles dEuler (de rotation entre rfrentiels) et ne doivent pas tre confondus avec les angles du systme de coordonnes sphriques pour lesquels nous utiliserons au besoin les symboles J et j lorsquil y a danger de confusion. Voir la figure http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9a/AngleEuler.png. Un peu de trigonomtrie nous permet dcrire que les nouvelles coordonnes gnres par ces trois rotations sont donnes par une quation de transformation linaire des anciennes qui est exprimable sous forme matricielle x = Rx x i = Aii xi o la notation R est une convention habituelle pour la matrice de transformation de rotation, alors que la deuxime partie utilise le formalisme utilis dans notre tutoriel sur les tenseurs. http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9a/AngleEuler.png 4 Nous pouvons expliciter lopration R sous forme de matrice Aii ' dans lexplicitation x1'x2 'x3'= Rx1x2x3=cosf cosy - cosq sinf siny( ) -cosf siny - cosq sinf cosy( ) sinq sinf( )sinf cosy + cosq cosf siny( ) -sinf siny + cosq cosf cosy( ) -sinq cosf( )sinq siny( ) sinq cosy( ) cosq( )x1x2x3 Les lments de la matrice de transformation ou de Jacobi ne dpendent pas des coordonnes, seulement des paramtres (angles) de la transformation, cette transformation est donc linaire dans les coordonnes et comme les coordonnes sont les composantes du rayon vecteur, le rayon vecteur est ici un vrai vecteur, un tenseur du 1er ordre (ce ntait pas vrai pour des transformations gnrales de coordonnes). Il sensuit ainsi quune quantit de composantes cartsiennes xi x j par exemple est une composante dun tenseur cartsien du 2e ordre, etc. et nous allons exploiter ici ce fait. 3. Les regroupements irrductibles Ce qui dfinit un tenseur ordinaire ou cartsien est le fait que ses composantes se transforment linairement entre elles sous transformation gnrale (pas ncessairement linaire). En D dimensions, un tenseur cartsien dordre N a DN composantes. Si on se limite un nombre restreint de transformations, le nombre de composantes sera, en gnral, rduit un plus petit nombre, jusqu un certain nombre minimum quon ne peut plus rduire, do le nom dirrductible. Le fait de se limiter un nombre restreint de transformations amne des simplifications et permet des regroupements des composantes des tenseurs en des ensembles plus petits (que DN) et leur permet de se transformer lintrieur de ces ensembles plus petits lors dune transformation donne. Physiquement, cette limitation permet de se concentrer sur les symtries qui laissent un systme physique invariant sous certaines transformations et dtudier les consquences de ces symtries et permet de mettre en exergue certaines proprits physiques qui rsultent de linvariance du systme sous ces transformations. Les lments de ces regroupements seront souvent le rsultat de combinaisons linaires des composantes du tenseur initial. Dans un exemple, nous construirons un tenseur cartsien dordre 2 en 3D, qui aura donc 9 composantes, mais en se limitant des transformations uniquement de rotation, nous identifierons un regroupement dun lment/composante qui reste invariant, donc un scalaire ; nous identifierons trois lments/composantes qui se transforment linairement entre eux, que nous nommerons un vecteur, ou tenseur dordre un, et les cinq lments/composantes restant, qui 5 se transforment linairement entre eux, seront baptiss du nom de tenseur dordre 2 sous rotation. Lorsque nous avons puis ces rductions, nous disons que les tenseurs restant (le scalaire, le vecteur et le 2e ordre 5 composantes ci-dessus), sont des tenseurs irrductibles sous rotation. On ne peut plus les rduire plus avant, en faire des regroupements plus petits qui se transformeraient entre eux. Ils jouent un rle important en physique. Ce rle est capital dans la description du moment cintique en mcanique quantique par exemple, qui joue un rle central dans la nomenclature des tats en physique atomique aussi bien que nuclaire et subatomique en gnral o il est responsable de la nomenclature usuelle (s, p, d, f, g. . .). 4. Les deux premiers regroupements sous rotation On peut facilement imaginer un scalaire physique sous rotation, la longueur ou distance entre deux points est un exemple de quantit qui ne changera pas sous toute rotation des axes de rfrence. La quantit na videmment quune composante, cest notre tenseur dordre zro, un vrai scalaire. Dans le cas dun vecteur, comme le rayon vecteur 3D qui est ici un tenseur dordre 1, il est intuitivement clair quune rotation quelconque des axes va mlanger les trois directions, donc les trois composantes du rayon vecteur (vecteur position en physique) vont se transformer entre elles et nous ne pouvons pas identifier ici de regroupement particulier comptant moins de trois composantes dont les lments se transformeraient entre eux sous une rotation gnrale. (Il est intressant de rappeler que le rayon vecteur nest pas un tenseur du premier ordre en gnral, puisquune transformation aussi simple que le passage des coordonnes cartsiennes aux coordonnes sphriques nest pas linaire). Seule une rotation autour dun des axes initiaux laisse la direction de laxe inchange et modifie seulement les deux autres, mais cest l un cas trs particulier et ce nest pas vrai pour une rotation en gnral. Le vecteur, dont le vecteur position, est donc un tenseur irrductible sous rotation et en N-D, il a N composantes qui vont se transformer linairement entre elles lors dune rotation quelconque. Nous verrons que certaines fonctions classiques en physique mathmatique sont des tenseurs irrductibles sous rotation, comme les harmoniques sphriques Ym J,j( ). Sous rotation, ces fonctions se transforment lintrieur dune mme valeur de , seules les composantes, identifies par m, sont mlanges. 6 Au del du tenseur cartsien dordre 1, le rsultat est moins vident et nous allons procder dabord via des exemples, afin dviter les outils lourds de la thorie des groupes qui permettent de procder de faon plus systmatique, mais de faon combien plus complique ! 5.1. Le tenseur dordre 2 en 2D sous rotation, premier exemple La matrice de transformation en 3D est relativement lourde et les manipulations consomment beaucoup dencre ! Afin dillustrer plus facilement les concepts, sans les trahir, nous allons nous restreindre dabord des rotations en 2D. Nous allons crer un tenseur cartsien dordre deux trs simple en 2D o un systme de coordonnes dans le plan constitu des coordonnes cartsiennes xi = x,y, i = 1,2{ } est soumis une rotation qui est ici limite une rotation p/r laxe Oz dun angle que nous noterons f . Ici en 2D, les vecteurs cartsiens auront deux composantes dans le plan xOy, les tenseurs cartsiens dordre 2 en auront 4 Les coordonnes dun point P, qui sont les composantes du rayon vecteur de ce point vont se transformer selon la rgle bien connue (nous avons ici fait tourner les axes, pas le point qui est rest immobile) x' = xcosf + ysinf ou x1' = x1 cosf + x2 sinfy' = -xsinf + ycosf ou x2 ' = -x1 sinf + x2 cosf On identifie immdiatement la matrice de Jacobi comme tant Aii ' = R=cosf sinf-sinf cosf Il est clair que les deux composantes du vecteur ne sont pas sparables dans une rotation et que le vecteur r = x, y( ) est irrductible. Construisons maintenant un tenseur cartsien du 2e ordre trs simple (symtrique) partir des coordonnes de notre point P qij = xi x j ou qij =x1x1 x1x2x2x1 x2x2 =xx xyyx yy qui compte 4 composantes, dont trois seulement sont indpendantes, puisque les deux lments hors diagonale sont identiques. A priori, la rgle gnrale sapplique et dans une transformation, nous aurons qi ' j ' = Aii 'Ajj 'qij 7 laquelle participent tous les 4 lments du tenseur, dont seulement trois sont indpendants ici, puisque qij = q ji q12 = q21. Sous rotation, les composantes du tenseur deviennent q1'1' = x1'x1' = x'x' = xxcos2 f + yysin2 f + 2xysinf cosfq1'2 ' = x'y' = -xx+ yy( )sinf cosf + xy cos2 f - sin2 f( )q2'2' = y'y' = xxsin2 f + yycos2 f - 2xysinf cosf Nous notons rapidement que la somme (combinaison linaire) des lments de la diagonale est xx + yy = la longueur au carr du rayon vecteur, clairement une constante, donc un scalaire. En effet q 1 1 + q 2 2 = x'x'+ y'y'= xxcos2 f + yysin2 f + 2xysinf cosf + xxsin2 f + yycos2 f - 2xysinf cosf= xx+ yy = q11 + q22 La somme des termes de la diagonale dune matrice sappelle la trace. Cest notre premier regroupement et nous le notons F(1) (le 1 pour premier regroupement). Il se transforme lintrieur de lui-mme et est donc un scalaire, nayant quune seule composante F 1( ) = xx + yy = F 1'( ) = un scalaire ou tenseur dordre 0 sous rotation (invariant). On la vrifi facilement au-dessus F1( ) = xx+ yy = F1'( ) est invariant, donc clairement un scalaire, ou tenseur dordre zro sous rotation. Nous devons maintenant identifier les autres regroupements dont les lments vont se transformer entre eux dans une rotation. La forme explicite des quations de transformation est un guide et nous identifions, a posteriori, que les combinaisons linaires xy et yy- xx( ) / 2 se transforment entre elles comme on peut le vrifier explicitement partir des quations de transformation, ce qui nous amne identifier un deuxime regroupement (2) qui compte deux lments 1 et 2, que nous notons F 2,1( ) = xy = x1x2F 2,2( ) = yy- xx( ) / 2 = x2x2 - x1x1( ) / 2 Vrifiant explicitement leur transformation, nous obtenons F2 ',1'( ) = F2,1( ) cos2 f - sin2 f( ) + F 2,2( ) 2sinf cosfF2 ',2 '( ) = -F2,1( ) 2sinf cosf + F 2,2( ) cos2 f - sin2 f( ) 8 ce qui confirme quils se transforment entre eux. La forme mme de ces quations nous rappelle beaucoup celle de la transformation du rayon vecteur. En fait, si nous dfinissons un angle a comme cosa = -2sin2 f +1 nos quations prennent la forme exacte de la transformation des composantes dun vecteur (en 2D), donc ce qui serait un vecteur (sous rotation), mais limportant est quelle est linaire F2 ',1'( ) = F2,1( ) cosa + F 2,2( ) sinaF 2 ',2 '( ) = -F 2,1( ) sina + F 2,2( ) cosa Ces quations ont la forme exacte de celles de la transformation dun vecteur, seul langle ici est trange! On note que nous avons puis le nombre de composantes indpendantes (3 ici) et que notre tenseur cartsien du 2e ordre a donn naissance deux tenseurs irrductibles sous rotation, un scalaire et un vecteur (ordre 0 et 1). Le tenseur du 2e ordre cartsien sest vapor. Il ny a pas ici de regroupement correspondant ce qui serait un tenseur irrductible du 2e ordre sous rotation en 2D, alors que notre point de dpart tait un tenseur cartsien du 2e ordre. Note : ventuellement, la notation utilise ci-dessus pour noter les regroupements aura besoin dtre affine. Nous utiliserons une notation 2 indices o le premier indice identifiera lordre du tenseur irrductible, alors que le second comptera les lments/composantes lintrieur du regroupement (comme pour les Ym J,j( )). 5.2. Un peu plus difficile Reprenons lexemple ci-dessus, mais avec un raffinement. Dans qij = xi x j , le premier x sera une coordonne dun point P1, alors que le deuxime sera la coordonne dun autre point P2. Nous utiliserons ici un indice infrieur pour identifier le point, cet indice ne sera donc pas ici un indice covariant, mais un indice du point, 1 ou 2. Notre tenseur cartsien devient donc qij =x11x21 x11x22x12x21 x12x22 =x1x2 x1y2y1x2 y1y2 9 Ce tenseur nest plus symtrique, les lments hors diagonale tant diffrents et nous avons maintenant 4 composantes indpendantes. Les transformations de coordonnes, que ce soit pour le point 1 ou le point 2 sont les mmes (rotation 2D) xn ' = xn cosf + yn sinfyn ' = -xn sinf + yn cosf pour les deux points n = 1, 2. cause de ce fait, on retrouve assez facilement le scalaire et le vecteur du premier exemple, avec de lgers changements. Le premier scalaire est toujours la trace, i.e. la somme des termes de la diagonale F 1( ) = x1x2 + y1y2 = F1'( ) comme on peut le vrifier facilement par calcul direct de F 1'( ) = x1 'x2 '+ y1 'y2 ' = x1 cosf + y1 sinf( ) x2 cosf + y2 sinf( ) + -x1 sinf + y1 cosf( ) -x2 sinf + y2 cosf( )= x1x2 sin2 f + cos2 f( ) + y1y2 sin2 f + cos2 f( ) = x1x2 + y1y2 = F 1( ) Nous pouvons galement vrifier que les deux combinaisons x1y2 + y1x2 et -x1x2 + y1y2 sont les composantes dun regroupement irrductible et se transforment entre linairement elles, les deux composantes dun vecteur ou tenseur dordre un. Au total, nous avons date deux regroupements totalisant trois composantes. Notre tenseur original en comptait quatre, il en reste donc une caser. Avec une seule composante, nous ne pouvons avoir quun scalaire. On peut vrifier que ce scalaire est x1y2 - y1x2 qui se transforme en lui-mme x1 'y2 '- y1 'x2 ' = x1y2 - y1x2 et est donc un scalaire. Nous avons donc rduit notre tenseur cartsien du 2e ordre de 4 composantes en trois tenseurs irrductibles sous rotation, deux sont des scalaires et lautre un vecteur. Il ny a pas ici de tenseur irrductible du 2e ordre sous rotation, non plus ! 5.3. Le tenseur dordre 2 sous rotation, 3e exemple. Nous allons maintenant en 3D o la situation nest pas aussi triviale. En plus dune dimension additionnelle, nous nallons pas supposer de symtrie particulire de part et dautre de la diagonale, donc 10 Qmn =Q11 Q12 Q13Q21 Q22 Q23Q31 Q32 Q33 Nous avons ici 9 composantes et les manipulations sont beaucoup plus lourdes quen 2D. Nous avons la diagonale et six termes hors diagonale. Nous allons ici noncer le rsultat sans faire les pages de calcul requis. Comme dans lexemple 2D, ici aussi (sans trop de surprise), la trace reste invariante et forme un scalaire sous rotation que nous appelons t = Q11 + Q22 + Q33 La matrice, moins , na pas, a priori, de symtrie particulire de part et dautre de la diagonale. De ce fait, elle est la somme dune matrice antisymtrique et dune matrice symtrique Qmn = T mn + Smno T mn =Qmn - Qnm2= -T nm et Smn =Qmn + Qnm2= +Snm Nous constatons (et cest intuitivement vident quune rotation ne va pas changer une quantit symtrique en quantit antisymtrique) que sous rotation, les composantes de T (antisymtrique) se transforment entre elles. Elles sont au nombre de trois, (les 3 au dessus ou au dessous de la diagonale de la matrice T) le nombre de composantes dun vecteur (tenseur dordre 1) irrductible sous rotation. Il serait difficile en effet de retrouver des contributions symtriques dans une expression qui doit tre antisymtrique puisque les transformations de rotation sont linaires avec une matrice de Jacobi indpendante des coordonnes. Les lments de la matrice T doivent donc se transformer entre eux sous rotation, une opration qui ne brise pas lantisymtrie. Les termes de la diagonale de la matrice T sont identiquement nuls, donc la diagonale de la matrice initiale se retrouverait dans la matrice S. Parce que nous avons dj tenu compte de la trace comme tant un scalaire, nous allons la soustraire de S et dfinir une matrice symtrique de trace nulle, S , en soustrayant un tiers de la trace chacun des 3 termes de la diagonale : Smn = Smn -t3d mn La matrice T compte 6 composantes, mais seulement trois linairement indpendantes par symtrie de part et dautre de la diagonale, le nombre requis pour construire un vecteur irrductible sous rotation. Des 9 composantes initiales, moins une pour le scalaire, moins 3 pour 11 le vecteur, il reste 5 composantes linairement indpendantes dans S . Nous constatons par calcul que ces 5 composantes se transforment entre elles sous rotation, formant un regroupement irrductible. Ce seront les composantes dun tenseur irrductible du deuxime ordre sous rotation. Il ne compte que 5 composantes. Poussant plus loin, le tenseur du 3e ordre irrductible sous rotation compte 7 composantes, etc Nous nous cartons partir dici de ce quon trouvait en cartsien pour ce qui est du nombre de composantes des tenseurs dordre 2. 6. Notation et harmoniques sphriques Les indices couramment utiliss pour noter les tenseurs irrductibles sous rotation diffrent des indices des tenseurs cartsiens. Chaque composante de tenseur nest identifie que par deux indices. Le premier est lordre du tenseur sous rotation = 0,1,2,3,4... nous dit simplement lordre du tenseur irrductible, scalaire, vecteur, dordre 2, dordre 0, 1, 2, Avec cette convention, on note que le nombre de composantes est simplement 2 +1( ) et il est habituel didentifier les composantes lintrieur dun tenseur par lindice m dont la valeur va de - + par sauts dune unit (on compte les lments) m= - ,- +1,...,-1,0,1,.... -1,2 +1( ) valeurs ce point-ci, ceux qui sont familiers avec les fonctions appeles harmoniques sphriques auront reconnu leur label Ym J,j( ). Ces fonctions sont effectivement des tenseurs dordre irrductibles sous rotation. Il est en effet bien connu, sans faire rfrence aux notions de tenseurs que, sous rotation, les composantes dun harmonique sphrique se transforment entre elles lintrieur dune mme valeur de , chaque nouvel harmonique tant une combinaison linaire sur m des anciennes composantes. Ceci est largement utilis en lectrodynamique classique par exemple (Jackson). videmment, les valeurs de m nont pas t choisies au hasard. Les harmoniques sphriques apparaissent dans les quations diffrentielles, dont plusieurs lois physiques, crites en fonction des coordonnes sphriques. Les quations de Laplace, de Schrdinger sont de ce type. Elles sont discutes dans un autre module sur les Harmoniques sphriques. Rappelons simplement quelles sont la solution angulaire de toute quation de champ 12 en coordonnes sphriques dont loprateur diffrentiel est le Laplacien 2 et dont les autres termes ne dpendent pas des angles La solution gnrale de 2y r ,J ,j( )+V r( )y r ,J ,j( ) = Cy r ,J ,j( ) sera alors de la forme y r,J,j( ) = Fn r( )Ym J,j( ) y nm r,J,j( ) o n ne rfre qu la partie radiale de la solution qui est scalaire et nous le laissons tomber dans ce qui suit, puisquil nest pas affect par ces oprations. La solution particulire pour un terme de source donn et/ou des conditions aux limites donnes prendra alors la forme Y r,J,j( ) = Cnmmpossiblesnpossibles y nm r,J,j( ) Cest le cas dquations trs importantes en physique, comme lquation donde, de Laplace et celle de Schrdinger dans plusieurs cas (potentiel central). Les coefficients Cmsont dtermins par les conditions initiales ou les termes de source qui sont particuliers ce problme. Ce que nous avons vu ici, cest que le tenseur irrductible sous rotation dcrit un tat physique gnral invariant sous rotation o la valeur de et de m seront dfinies, cest le cas de chaque Ym . Classiquement, nous savons quun systme physique invariant sous rotation, comme le systme solaire, a une quantit fixe de moment angulaire, en valeur et en direction. Cest dailleurs cette constance en direction qui fixe les orbites plantaires dans un plan, celui qui est perpendiculaire au vecteur moment cintique du systme soleil/plantes. En mcanique quantique cest encore plus intressant, les tats physiques sont identifie par et m, qui seront associes la valeur (module) du moment cintique et sa composante z. a. Le scalaire = 0 Nous parlons du scalaire sous rotation, i.e. dun champ ou dune quantit qui na quune seule composante qui reste invariante sous rotation, comme la distance entre deux points ou lharmonique sphrique Y00 J,j( ) = 1/ 4p qui nest quun nombre. Le scalaire sous rotation est dordre = 0 et na que la composante m= 0 . 13 b. Le vecteur ou tenseur dordre un : = 1 En 3D, le vecteur cartsien V est identifi gnralement par ses 3 composantes cartsiennes (ou autres) V = Vx,Vy,Vz{ } = V i i = 1,2,3{ } . Nous avons vu plus haut comment le vecteur se transforme sous rotation laide de la matrice de Jacobi. Chacune des nouvelles composantes cartsiennes sexprime comme une combinaison linaire des (de toutes les) anciennes composantes par V i = Aii V i En parlant des tenseurs irrductibles, nous avons suggr une nouvelle notation o le vecteur serait (sous rotation) dordre = 1 et aurait les composantes m= -1,0,1. Parce que le vecteur est irrductible sous rotation, le vecteur cartsien et le vecteur sphrique ont le mme nombre de composantes (3), mais elles sont clairement identifies diffremment. Si on veut plus tard retrouver nos expressions connues pour des quantits comme le produit scalaire, nous dfinirons les composantes sphriques V m avec = 1 comme V11 = -12Vx + iVy( )V10 = VzV1-1 =12Vx - iVy( ) H oui elles sont complexes ! En fait, elles copient les harmoniques sphriques, puisque vous pouvez calculer facilement pour le rayon vecteur r = ix + jy+ kz que rY11 = -c12x+ iy( )rY10 = czrY1-1 = c12x- iy( ) o c =34p, un simple facteur de normalisation des harmoniques sphriques. Cest simplement une autre faon de dfinir les trois composantes indpendantes dun vecteur. Dans le monde microscopique de la mcanique quantique o et m ont une signification physique immdiate, la notation sphrique devient particulirement attrayante. 14 c. Cas gnral Les tenseurs irrductibles sous rotation ont leurs composantes notes V m o = 0,1,2,3,4... donne lordre du tenseur et m compte les 2 +1 composantes. tous les ordres au del de 1, un tenseur irrductible sous rotation dordre a 2 +1 composantes et compte moins de composantes que les tenseurs cartsiens du mme ordre (auxquels on ne demande pas dtre irrductibles sous rotation). Nous en avons vu des exemples concrets plus haut. En fait, les tenseurs irrductibles sous rotation se transforment exactement comme les harmoniques sphriques se transforment des angles J,j( ) aux angles J , j( ), suite une rotation quelconque reprsentable par les trois angles dEuler y ,q,f( ) Y m J , j( ) = Dm m y ,q,f( )Ym J,j( )m=-m= On appelle les coefficients D les lments de la matrice de rotation (note Aii ' dans la notation cartsienne gnralise). On voit que la valeur de ne change pas, on ne somme que sur les composantes m. Le symbole D est standard pour la matrice de Jacobi lorsquil sagit dune rotation. 7. Produit tensoriel a. Introduction Plus tt, dans le module sur les tenseurs, nous avons parl de diffrents produits et mme rinvent la drive pour garantir que les produits entre tenseurs et la drive dun tenseur donnent un tenseur. Ici, nous voulons dfinir les types de produit entre des tenseurs irrductibles dont le rsultat est un tenseur irrductible. Faisons une courte liste des produits connus ou frquents en physique mathmatique. Nous avons le produit algbrique entre deux quantits, qui donne naissance au produit direct des champs. Entre les vecteurs, nous connaissons le produit scalaire, le produit vectoriel (en 3-D) en plus du produit direct : 2 4 = 8 produit algbrique (direct)Ym J,j( )Y m J,j( ) produit directV U = S= VxUx + VyUy + VzUz = ViUi produit scalaireV U = W = i VyUz - VzUy( ) + j VzUx - VxUz( ) + k VxUy - VyUx( ) produit vectorielVU = i iVxUx + i jVxUy + ... + kjVzUy + kkVzUz produit direct 15 Cela fait beaucoup de choses apparemment sans grande relation. Nous voudrions y mettre un peu dordre. Puisquon peut avoir des tenseurs irrductibles scalaires ( = 0 ), vectoriels ( = 1), etc, pourquoi ne pas avoir une faon systmatique de faire des produits entre tenseurs irrductibles dont le rsultat serait un tenseur irrductible. Il est vident que tous les lments rsultant des produits scalaire et vectoriel peuvent tre tirs des composantes du produit direct, mais ce dernier nest pas irrductible en gnral, comme nous lont enseign nos exemples de la section 5. Notre faon de procder sera utilitaire, i.e. nous allons introduire des situations physiques o il sera utile de dfinir des produits qui donnent des tenseurs irrductibles, b. Produits entre harmoniques sphriques, ( Addition des moments angulaires) Nous avons dj mentionn que les indices l et m des harmoniques sphriques sont directement associs la valeur du moment cintique et de sa composante z en mcanique quantique. Nous prendrons ici ce fait pour acquis, ce qui est immdiat pour ceux qui ont suivi un cours dintroduction la mcanique quantique et tudi la solution de Schrdinger pour latome dhydrogne par exemple. Nous savons plusieurs proprits des harmoniques sphriques partir de leurs proprits en tant que partie angulaire de la solution de lquation de Laplace en coordonnes sphriques et nous utiliserons directement ces proprits connues pour dfinir les produits recherchs. Nous savons de la physique mathmatique, en particulier, que le produit de deux harmoniques sphriques sexprime comme la combinaison linaire dautres harmoniques sphriques Y1m1J,j( )Y2 m2J,j( ) = C 1 2L;m1m2M( )L= 1 - 2L= 1 + 2 YLM J,j( ) (1) Nous savons valuer les coefficients partir des proprits des harmoniques sphriques. On voit que ces coefficients, qui sont historiquement connus comme les coefficients de Clebsch-Gordan (CG pour faire court) sont identiquement nuls si on ne satisfait pas aux deux conditions 1 - 2 L 1 + 2M = m1 + m2 On voit que la condition sur L ressemble la condition que nous aurions sur la grandeur dun vecteur L dfini par la somme L = 1 + 2 avec une composante z dfinie par le somme habituelle 16 M = m1 + m2 Cest effectivement le cas en mcanique quantique o L, 1, 2 mesurent physiquement des moments cintique et o le moment cintique orbital est toujours quantifi au sens 1, 2 = 0,1,2,3,4... et o m mesure la composante z du moment cintique, prenant les 2 +1( )valeurs entires entre - et + . Note : la restriction de des valeurs entires positives est vraie dans les applications classiques aussi. Simplement, dans ces cas, nest pas ncessairement reli un moment cintique. Clairement la composante z ne peut tre plus grande que le vecteur, mais elle peut avoir sa pleine grandeur si le moment cintique est orient selon z ou +z. Lquation (1) ci-dessus est un produit direct qui reprsente alors laddition de deux moments cintiques et cest le cas en mcanique quantique. Le produit direct nest pas UN tenseur irrductible, mais sexprime comme une somme de tels tenseurs sur plusieurs ordres, chaque YLM droite tant un tenseur irrductible sous rotation. Chacun de ces termes droite est susceptible de dcrire un tat physique o les deux particules combinent leurs moments cintiques pour donner un tat physique total o est le moment cintique de lensemble des deux, en grandeur et direction. Dun autre ct, on note que les harmoniques sphriques sont orthornormes sur la sphre, i.e. elles obissent la condition dorthonormalit sur la sphre dangle solide 4 sinJdJ djYm*02p0p J,j( )Y m J,j( ) = d dm m Cette relation permet mathmatiquement dinverser lquation (1) en YLM J,j( ) = C 1 2L;m1m2M( )m1m2 Y1m1J,j( )Y2 m2J,j( ) (2) qui aura une signification physique nouvelle. Les sommes sur m1 et m2 ne portent que sur les valeurs qui satisfont le critre nonc ci-dessus, savoir m1 + m2 = M . Il ny a pas de somme sur 1, 2( ), puisque ces valeurs sont fixes/donnes 17 ds le dbut (tenseurs irrductibles). Les conditions sur les doivent tre satisfaites 1 - 2 L 1 + 2 . Le rsultat (2) est remarquable en ce quil nous fournit ce que nous cherchions (vous aurez compris pourquoi je lai introduit). gauche nous avons un tenseur irrductible sous rotation et droite, nous avons une combinaison linaire de composantes du produit direct de tenseurs irrductibles. Notre ct gauche est fonction propre de , comme nous le dtaillerons dans la section 8. Cest l lintrt physique dun tenseur irrductible extrait dun produit direct (mathmatique)! Pour les raisons inverses, lquation (1) est tout aussi remarquable. Nous accepterons alors sans plus de discussion que ces deux quations, la 2e en particulier, dfinissent le produit tensoriel recherch. Nous lui trouverons mme un joli symbole SL = U V [ ]L o les coefficients de CG font en sorte que la somme des produits directs, avec poids donns par les CG, droite donne un tenseur irrductible (une de ses composantes). Nous utilisons parfois de faon plus prcise la notation suivante pour les composantes du produit SLM = U m V m[ ]ML= C L;m mM( )m mm+ m = M U mV m o clairement les valeurs dsires L et M sont fixes, ainsi que les valeurs et , On doit noter que le rsultat de ce produit na pas une origine unique, au sens o on peut partir de deux autres tenseurs dordre, disons et et construire le mme tenseur SL, pourvu que les conditions sur les l soient satisfaites, i.e. - L + . Les CG seront videmment diffrents. Cest dj une proprit connue des produits en gnral, 2x6 = 3x4 = 12. Les CG qui apparatront dans la somme seront diffrents, mais pas le rsultat, un peu comme dire que 2 fois 6 donne le mme 12 que 4 fois 3. En mathmatiques, cela ne pose aucun problme, mais en physique quantique, il y a des consquences. Puisquon ne somme pas sur et au-dessus, elles restent dfinies et, dune certaine faon on aurait pu crire SLM( ) o les indices suprieurs nont pas dintrt mathmatique, mais ils en ont un intrt physique : nous dirions quun fermion dans une orbitale est combin un autre fermion dune orbitale dans un tat global de moment cintique L. 18 d. Produits entre vecteurs, tests. Ici considrons deux tenseurs irrductibles dordre = 1(donc des vecteurs). Nous savons dfinir trois sortes de produit entre deux vecteurs, le produit scalaire, le produit vectoriel et le produit direct. Ils apparaissent dj dans la section a. ci-dessus. Nous voulons vrifier ici si notre dfinition plus formelle du produit tensoriel reproduit les rsultats connus, surtout pour le produit scalaire et le produit vectoriel. Les coefficients de CG requis sont obtenus de la Table http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_ClebschGordan_coefficients#j1.3D1.2C qui apparat aussi en annexe du texte imprim. Il y a dautres sources, il suffit de demander Google de trouver pour obtenir un choix de sources pour les valeurs de ces coefficients. Le nombre de programmes et routines/applications existant pour les valuer doit tendre aujourdhui vers linfini ! Produit scalaire L = 0, M = 0 Selon notre dfinition formelle, le produit scalaire entre un vecteur V et un vecteur U se dfinit comme la somme des deux seuls termes possibles S00 = C 110;1-10( )V11U1-1 + C 110;-110( )V1-1U11 =13-12Vx + iVy( )12Ux - iUy( ) -13VzUz ++1312Vx - iVy( )-( )12Ux + iUy( ) S00 =13VxUx + VyUy + VzUz( ) qui est, au facteur 1 / 3 prs, le produit scalaire tel quon le dfinit habituellement ! Le produit vectoriel L = 1, M = -1, 0, +1 Ici, nous cherchons les 3 composantes du tenseur du premier ordre, un vecteur, SLM ,L =1,M = -1,0,+1. La formule gnrale est donc ici S1M =m1m2m1+m2=m C 111;m1m2M( )V1m1U1m2 Explicitement, http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_ClebschGordan_coefficients#j1.3D1.2C 19 S11 = C 111;101( )V11U10 + C 111;011( )V10U11=12-12Vx + iVy( )Uz + -( ) -( )12Vz Ux + iUy( )=12VzUx - VxUz + iVzUy - iVyUz( ) Nous calculons ensuite la composante S10 : S10 = C 111;1- 10( )V11U1-1 + C 111;-110( )V1-1U11=12-1212Vx + iVy( ) Ux - iUy( ) -12-1212Vx - iVy( ) Ux + iUy( )=i2VxUy - VyUx( ) qui est, au facteur i / 2 prs, la composante z du vecteur obtenu par le produit vectoriel de V sur U. On calcule galement la composante S1-1 S1-1 = C 111;-10 -1( )V1-1U10 + C 111;0 -1-1( )V10U1-1=-1212Vx - iVy( )Uz +1212Vz Ux - iUy( ) =12VzUx - VxUz + iVyUz - iVzUy( ) Rappelons les dfinitions des composantes sphriques des tenseurs du 1er ordre V11 = -12Vx + iVy( )V10 = VzV1-1 =12Vx - iVy( ) dont nous tirons les relations inverses Vx =12V1-1 - V11( )Vy =i2V1-1 + V11( )Vz = V0 Nous calculons alors 20 12S1-1 - S11( ) =i2VyUz - VzUy( )i2S1-1 + S11( ) =i2VzUx - VxUz( ) Nous retrouvons ici les composantes x et y respectivement, au facteur i / 2 prs, du produit vectoriel ordinaire V U . Nous avions dj observ le mme facteur pour la composante z. Nous pouvons donc dire que notre dfinition du produit vecteur reproduit exactement la dfinition habituelle, au facteur i / 2 prs pour toutes les composantes. Nous avions un facteur correctif aussi pour le produit scalaire, mais sa valeur tait 1 / 3 . Ces corrections viennent du fait que notre dfinition du produit tensoriel respecte la normalisation des fonctions rsultantes. En effet, rappelons les vecteurs unitaires cartsiens i , j , k qui sont normaliss au sens o dans le produit scalaire, i i = j j = k k = 1 mais si nous construisons un vecteur 1 = i + j + k 1 1 = 3 et il est clair que le vecteur de ce type normalis est 1 =131 1 1 = 1 Cest l lorigine de ce facteur 1 / 3 dans le produit scalaire dfini partir de la dfinition gnralise du produit tensoriel. Lautre produit entre vecteurs = 2, m= -2,-1,0,1,2 Nous savons dfinir un troisime produit entre deux vecteurs, que nous avons appel le produit direct en notation cartsienne, cest un tenseur du 2e ordre. Nous avons construit ses 9 composantes cartsiennes et nous avons vu que le tenseur cartsien nest pas irrductible sous rotation. Ce tenseur irrductible du 2e ordre = 2( ) compte, lui, cinq composantes qui sont, ici pour L = 2, M= -2, -1, 0, 1, 2 : 21 S2M =m1m2m1+m2=M C 112;m1m2M( )V1m1U1m2 Explicitement, nous aurons pour M = 2, un seul terme possible S22 = C 112;112( )V11U11 = 1-12Vx + iVy( )-12Ux + iUy( )=12VxUx - VyUy + i VxUy + VyUx( ) o le C-G est gal 1, parce quil est unique (un seul terme) Pour M = 1, nous aurons deux termes dans la somme S21 = C 112;101( )V11U10 + C 112;011( )V10U11=12-12Vx + iVy( )Uz +-12Ux + iUy( )Vz=-12VxUz + VzUx + i VyUz + VzUy( ) Ici les deux C-G ont la mme valeur = 1 / 2 . On note que la somme des carrs des C-G donne 122+122= 1 Pour M = 0, il y a trois termes S20 = C 112;1-10( )V11U1-1 + C 112;1000( )V10U10 + C 112;-110( )V1-1U11 =16-12Vx + iVy( )12Ux - iUy( ) +23VzUz ++1612Vx - iVy( )-12Ux + iUy( ) S20 =-16VxUx + VyUy( ) +23VzUz Ici le 1er et le 3e C-G ont la valeur 1 / 6 , alors que le 2e vaut 2 / 3 . On note que la somme des carrs des C-G est ici 22 162+162+232= 1 De faon similaire, utilisant les proprits de symtrie des C-Gs, on calcule S2-1 =12VxUz + VzUx - i VyUz + VzUy( ) S2-2 =12VxUx - VyUy - i VxUy + VyUx( ) Ici encore, la somme des carrs des C-G donne 1. Nous laissons en exercice la dcouverte de ce que donnent les quantits r 2Y2m(J,j) et comment elles sont relies aux expressions cartsiennes quivalentes. 8. Addition de moments cintiques en mcanique quantique et applications a. Introduction : une particule Note : partir de maintenant, r,q,f( ) seront les coordonnes dune particule. Cest en mcanique quantique que les applications sont spectaculaires. Nous commencerons par le problme de laddition des moments cintiques, purement angulaires dans un premier temps. Pour ce faire, commenons avec une particule et rappelons que le moment cintique angulaire est dfini dabord en mcanique classique et quon le quantifie par simple remplacement des quantits par des oprateurs = r pquantification op = -i rop Le spectre du moment cintique quantique (ses tats possibles) est remarquable en ce quil est toujours discret et que les fonctions propres des oprateurs 2 et z sont les harmoniques sphriques. Cest dcrit dans tous les livres de mcanique quantique et particulirement bien fait dans celui de Cohen-Tannoudji et al. Ici, nous laissons tomber lindice op pour allger et nous utilisons et z comme oprateurs et nous utiliserons l et m comme indices des harmoniques sphriques (nombres quantiques) et comme valeurs pour le moment cintique angulaire o l = 0,1,2,3,4..., m= -l, - l +1, - l + 2,...0, 1,..., l , 2 +1( )valeurs possibles. Les valeurs 0, 1, 2, 3, de l sont souvent notes s, p, d, f, en spectroscopie atomique et nuclaire. 23 Deux mots : i) nous avons vu que le produit vectoriel est dangereux, sauf pour les composantes cartsiennes en 3-D, ce qui est le cas ici (le seul cas o il existe); i) On ne peut mesurer quune seule des composantes (cartsiennes) du moment cintique, parce que les oprateurs correspondants ne commutent pas ensemble (mcanique quantique) i, j = i eijk k x, y = i z etc. mais ils commutent tous avec : 2 , i = 0, pour i = x, y, z donc le carr du moment cintique total commute avec chaque composante et on peut mesurer simultanment et disons z, ce qui est gnralement accept. (Ce choix dcoule directement de lutilisation des coordonnes sphriques). Nous gardons donc 2 et la composante z, le choix habituel. Loprateur de Hamilton pour une particule (sans spin) dans un champ central scrit en coordonnes sphriques (adaptes aux problmes symtrie sphrique) H =- 22m2 + V r( ) =pr22m+22mr 2+ V r( ) o pr et sont ici des oprateurs diffrentiels dans lesquels nous avons introduit le facteur purement scalaire (dimensionn). On sait que la solution gnrale de lquation stationnaire de Schrdinger Hy r( ) = Ey r( ) est ici du type y nlm r,q,f( ) = fnl r( )Ylm q,f( ) Notes : 1. Nous utilisons ici indiffremment et l pour signifier loprateur moment cintique orbital (ou angulaire), alors que ou l est le nombre quantique du moment angulaire. 2. La direction z semble tre favorise plutt que x ou y ; cest d au fait quarbitrairement, la dfinition habituelle des coordonnes sphriques fait tourner langle f autour de laxe Oz. Si ltat est li, n est un nombre quantique discret. Il devient continu si ltat nest pas li et on le notera prfrablement k dans ce cas, crivanty klm r,q,f( ), o, pour les tats lis, la fonction fnl r( )est une onde qui dcrot asymptotiquement vers zro linfini. De toute faon, la partie radiale est invariante sous rotation (un scalaire). 24 Linterprtation physique est que l est le nombre quantique qui mesure le moment cintique quantique, mais on ne sait mesurer que le carr de sa valeur qui est (trangement) gal l l +1( )2. Une mesure compatible de la composante z donne m , tel que dj vu Ce rsultat est moins surprenant quil ny parat, puisquon retrouve quelque chose dquivalent dans la thorie classique du rayonnement lectromagntique dcrit par les quations de Maxwell. On y voit que la radiation .-M. classique, dcompose en multiples, est dcrite par des fonctions issues des harmoniques sphriques et que l aussi, lindice l est li au moment cintique emport par le rayonnement (photon en quantique). Les manipulations de physique mathmatique ny sont pas triviales, physiquement, parce que la radiation lectromagntique, le photon (quantique), porte un moment cintique intrinsque ou de spin dont nous navons pas encore parl, de valeur 1 et dont il faut tenir compte. Les textes traditionnels/classiques ne connaissent pas les moments cintiques intrinsques, nutilisent pas la formulation daddition de moments cintiques que nous prsentons ici, mais suivent une mthode plus heuristique. Physiquement, le fait davoir un champ central (comme la gravitation ou llectrostatique) signifie quon dcrit un systme qui est indpendant de lorientation angulaire spatiale, i.e. invariant sous rotation. Mathmatiquement, cela se traduit par le fait que le potentiel qui apparat dans lquation de Schrdinger est fonction du module de la distance, i.e. de r et est indpendant de lorientation, donc ne dpend pas de q ni de f . Le facteur f est un pur scalaire sous rotation et le facteur Ylm est un tenseur irrductible sous rotation. Cela signifie que si on change lorientation des axes, le Ylm va se transformer en combinaison deYl m , ce qui nous dit que la grandeur de son moment cintique ne sera pas affecte, mais que ses composantes le seront, ce qui est une parfaite description de la ralit physique. Par exemple, le vecteur vitesse dune voiture a la mme valeur de 100 kh/h, quelque soit lorientation donne par rapport un rfrentiel inertiel, mais ses composantes seront diffrentes selon lorientation des axes de ces rfrentiels (tourns, lun par rapport lautre, nord, est sud, ouest). En rsum, dans un systme invariant sous rotation dune particule, le moment cintique orbital et sa composante z sont bien dfinis et dcrits par une fonction donde qui est un tenseur irrductible sous rotation. Il est intressant de noter, une autre chelle, que le fait que la 25 composante z du moment cintique dun systme invariant sous rotation est dfinie (et constante) est responsable du fait que notre systme solaire est un plan (perpendiculaire son lz) et cest presque vrai de notre galaxie ! b. Deux particules Imaginons deux particules, 1 et 2, chacune dcrite par sa fonction donde du type ci-dessus y n1l1m1 r1,q1,f1( ) = fn1l1 r1( )Yl1m1 q1,f1( )y n2 l2 m2 r2 ,q2 ,f2( ) = fn2 l2 r2( )Yl2 m2 q2 ,f2( ) o les indices infrieurs 1 et 2 des coordonnes rfrent aux particules 1 et 2., alors que les indices des nombres quantiques ( n, l et m) rfrent aux tats occups par les particules. Si on veut tudier ce systme comme UN systme, alors le fait que loprateur de Hamilton est la somme des oprateurs individuels, du fait de ladditivit physique de lnergie, nous oblige considrer que la fonction donde totale pour H = H1 + H2 (ngligeant, du moins dans un premier temps, une interaction V12 entre les deux particules) est du type sparable, donc Y r1,r2( ) = y n1l1m1y n2 l2m2 = fn1l1 r1( )Yl1m1 q1,f1( ) fn2 l2 r2( )Yl2 m2 q2,f2( ) = fn1l1 r1( ) fn2l2 r2( )iYl1m1 q1,f1( )Yl2m2 q2,f2( ) Avant daller plus loin, il faut ajouter quil est parfois important de considrer des combinaisons symtrises ou anti-symtrises de ce type de produit, mais cela ne change rien de fondamental ce que nous allons dcrire ci-dessous, a ne le rend quun peu plus lourd, comme nous le verrons dans un exemple plus loin. On note dans ce produit ( droite) quon peut le sparer en deux facteurs, le premier ne dpendant que des rayons vecteurs et qui est donc un scalaire sous rotation et un second qui est Yl1m1 q1,f1( )Yl2m2 q2 ,f2( ). Ce dernier est un produit direct de deux tenseurs irrductibles et le rsultat nest pas, en gnral, un tenseur irrductible, ce qui est ennuyant, puisque physiquement le systme total physique reste invariant sous rotation. Cela se manifeste par le fait quon ne connat pas, a priori, le moment cintique total de ce systme deux particules construit laide dune seule composante du produit direct. Nous savons que le moment cintique total est, physiquement 26 L = 1 + 2 o l1 - l2 L l1 + l2 d au simple fait quil sagit de vecteurs, donc L peut prendre plusieurs valeurs numriques. Cest trs joli, mais pas trs utile, du moins dans une description quantitative. Le systme physique total rsultant aura, aprs mesure, UNE valeur L du moment cintique (avec ses composantes z) et cet tat sera dcrit par UN tenseur irrductible sous rotation YLM . Nous savons mathmatiquement construire un tenseur irrductible sous rotation pour le systme complet par une combinaison linaire adquate des lments du produit direct par YLM = C l1l2L;m1m2M( )m1 ,m2m1 +m2 = M Yl1m1Yl2 m2 qui nest possible que pour les valeurs de L qui sont prcisment celle dfinies au dessus, avec la somme vectorielle des oprateurs de moment cintique des deux particules . Nous avons, en fait, russi construire un tat (une squence dtats pour toutes les valeurs possibles de L) deux particules qui est un tenseur irrductible sous rotation et qui est identifi par les indices L, M qui correspondent clairement au moment cintique total du systme et de sa composante z. Nous avons russi additionner deux moments cintiques. La combinaison des deux tats par un produit direct construit 2l1 +1( ) 2l2 +1( ) composantes (tats) au total. On vrifie directement (laiss en exercice) que le nombre total de tenseurs irrductibles gauche, dcrivant des tats de moment cintique total L a, pour toutes les valeurs de L et de M possibles, le mme nombre total dtats. La consquence pratique est norme. Les deux ensembles de fonctions sont quivalents, mathmatiquement et physiquement, mais celui construit des tenseurs irrductibles est beaucoup plus intressant dans la description quantitative du systme deux particules. En effet, nous pouvons construire plusieurs fonctions donde, chacune avec son tenseur irrductible sous rotation (une valeur de L donne) et ils peuvent tre tudis quantitativement et sparment lun de lautre, chacun dcrivant un tat diffrent possible du systme physique. Il suffit de dfinir ces tats deux particules moment cintique total bien dfini comme c. Une particule et son spin : le fermion 27 Les particules qui constituent les briques de notre univers sont toutes des fermions, des particules qui, en plus davoir possiblement un moment cintique orbital, possdent galement toujours un moment cintique intrinsque, souvent appel spin et dont la valeur est demi-entire, la plupart du temps , la valeurs que nous allons retenir ici, puisquelle sapplique aux lectrons, neutrons et protons, neutrinos... Le spin est not gnralement par la lettre s et il a physiquement la mme nature que le moment orbital. On peut essayer de le voir de la faon suivante, mme si ce spin na pas de vraie correspondance classique. Le moment cintique orbital de la Terre dans son mouvement est d sa rotation autour du Soleil, alors que sa rotation sur elle-mme est son spin. Ce nest pas compltement correct, parce que le spin demi-entier a une origine purement relativiste, mme sil perdure dans tous les rgimes, relativistes ou non. Le groupe O(3) tait capable de dcrire la symtrie sous rotation des objets nayant que du moment angulaire orbital. En introduisant le moment cintique intrinsque, il faudrait se tourner vers le groupe SU(2). Cependant, nous allons traiter le spin comme un moment cintique ordinaire et heureusement, les coefficients de CG peuvent tre alors dfinis avec des valeurs entires. Nous avons donc maintenant une particule qui a un moment orbital l et un moment intrinsque s . Ces deux oprateurs tant vectoriels, le moment cintique total de la particule sera aussi demi-entier et est gnralement not o l = 0, 1, 2, 3, 4 ; s =1/2 et les j seront demi-entiers =1/2, 3/2, 5/2, ... Les oprateurs de spin ont les mmes rgles de commutation quantiques que le moment orbital et les vecteurs propres, souvent appels spineurs et nous les noterons cm o m = -1 / 2,+1 / 2 s2cm = 1 / 2 1 / 2 +1( )2cm = 3 / 42cmszcm = m cm Ces spineurs existent dans lespace vectoriel des spins et nont pas de dpendance en quelque coordonne que ce soit, ils sont simplement caractriss par leur nombres quantique s (ici toujours gal ) et m = 1/ 2 (nous laissons tomber lindice s dans lcriture du spineur, parce que cest toujours, ici, et que tout le monde le sait). Notre vecteur complet pour dcrire la particule sera donc 28 y = fnl r( )Ylml q,f( )cm = y nlml sm Le facteur f est un invariant sous rotation, mais le facteur Ylml cm est une composante dun produit direct de tenseurs irrductibles sous rotation. Pour avoir une description complte de la particule, il est prfrable de spcifier son moment cintique total et de la dcrire laide dun tenseur irrductible qui traduira mieux le fait quelle volue dans un univers invariant sous rotation o et m est la composante z de . Nous devons donc additionner ces deux moments cintiques et dfinir un vecteur dtat, comme nous avons appris le faire ci-dessus avec m=1/2, -1/2. y nlsjm = C lsj;ml mm( )ml ,mml +m=m Ylml cm = C l1 / 2 j;ml mm( )ml ,mml +m=m Ylml cm Les coefficients de C-G sont effectivement valuables pour des moments cintiques demi-entiers et les fonctions gauche ne sont plus immdiatement des harmoniques sphriques, les indices j, m tant demi entiers (ce sont en fait des tenseurs irrductibles de SU(2) plutt que de O(3)). d. Deux fermions On peut continuer plus loin et considrer un systme de deux fermions, 1 et 2, de nombres quantiques n1, l1,s1, j1,m1 et n2, l2,s2, j2,m2 (on a mis le s = dans les deux cas). A priori, laddition des oprateurs de Hamilton sans interaction amne considrer des vecteurs du type Y =y n1,l1,s1, j1,m1 (1)y n2 ,l2 ,s2 , j2 ,m2 (2) encore une fois un produit direct de deux tenseurs irrductibles qui nest pas en soi un tenseur irrductible, mais on peut construire un tenseur irrductible o J est un entier 0, avec J = j1 + j2 et M = m1 + m2, en construisant Y j1 j2 JM = C j1 j2J;m1m2M( )m1 ,m2m1 +m2 = M y n1 ,l1 ,s1 , j1 ,m1 1( )y n2 ,l2 ,s2 , j2 ,m2 2( ) o le nombre, 1 ou 2 entre parenthses identifie la particule. Au grand complet, cela donne YJM 1,2( ) = C j j 'J;mm'M( )m,m'm+m'=M C s j;mmsm( )m,msm+ms=m jnm (1)csms (1) C 's' j ';m'ms'm'( )m' ,ms'm'+ms'=m' jn''m' (2)cs'ms' (2) 29 Ce rsultat sappelle couplage jm. On aurait pu additionner , et ensuite additionner et ensuite , on parle alors de couplage LS. Note : Il faut diffrencier les (1,2) qui identifient les particules des indices comme j1ou m2 qui identifient les tats dans lesquels on place les particules. e. Antisymtrisation (une parenthse) Ici, un lment additionnel sajoute, qui na rien voir avec lirrductibilit, mais qui trouve son origine dans la nature des fermions : leur vecteur dtat doit tre antisymtrique sous change des deux particules. Nous devons donc construire une fonction donde telle que Y j1 j2JM 1,2( ) = -Y j1 j2JM 2,1( ), ce qui donne Y j1 j2 JM 1,2( ) =12C j1 j2J;m1m2M( )m1 ,m2m1 +m2 = M y n1 ,l1 ,s1 , j1 ,m1 1( )y n2 ,l2 ,s2 , j2 ,m2 2( ) - C j1 j2J;m1m2M( )m1 ,m2m1 +m2 = M y n1 ,l1 ,s1 , j1 ,m1 2( )y n2 ,l2 ,s2 , j2 ,m2 1( ) On peut intervertir les particules 1 et 2 dans le second terme qui devient C j2 j1J;m2m1M( )m1 ,m2m1 +m2 = M y n1 ,l1 ,s1 , j1 ,m1 1( )y n2 ,l2 ,s2 , j2 ,m2 2( ) Nous savons que les symtries des C-G sont tellesC j2 j1J;m2m1M( ) = -1( )j1 + j2 -J C j1 j2J;m1m2M( )Nous avons donc au total (cest la mme somme sur les deux termes) Y j1 j2 JM 1,2( ) =12C j1 j2J;m1m2M( ) - -1( )j1 + j2 - J C j1 j2J;m1m2M( )( )m1 ,m2m1 +m2 = My n1 ,l1 ,s1 , j1 ,m1 1( )y n2 ,l2 ,s2 , j2 ,m2 2( ) ou Y j1 j2 JM 1,2( ) =121- -1( )j1 + j2 - JC j1 j2J;m1m2M( )m1 ,m2m1 +m2 = My n1 ,l1 ,s1 , j1 ,m1 1( )y n2 ,l2 ,s2 , j2 ,m2 2( ) Pour que ce vecteur ne soit pas nul, il faut que le crochet { } soit non nul, donc que j1 + j2 - J soit impair. Par exemple (frquent), si j1 = j2 = j (configuration (j2)J), alors j1 + j2 - J= 2j J o 2j est toujours impair, parce que j est demi-entier, donc J doit tre pair, donc les seules valeurs de 30 J = 0,2,4,6... 2 j sont permises dans ce cas dune configuration (j2)J. Pour les valeurs impaires de J, le vecteur dtat est identiquement nul, cause de lantisymtrisation. f. Plus de deux particules On constate ci-dessus que les facteurs y n1 ,l1 ,s1 , j1 ,m1 1( ) et y n2 ,l2 ,s2 , j2 ,m2 2( ) comptent dj plusieurs coefficients de CG. Si on augmente le nombre de particules, toujours produire des vecteurs dtat dont la valeur du moment cintique total est bien fixe deviendra lourd et mme prohibitif en calcul, mais cest en principe faisable, nous avons la recette. Il peut tre plus conomique de faire une sorte dinverse lorsque le nombre de particules est assez lev, mais cest l une autre histoire. g. Interaction tensorielle En physique nuclaire, on a introduit une interaction dite tensorielle dans le Hamiltonien de Schrdinger, afin dexpliquer le moment quadripolaire du deuton (un proton et un neutron), qui exige un apport = 2 en plus du = 0 dans la partie spatiale de la fonction donde du fondamental, le seul tat stable du deuton. Ceci exige que la partie spatiale de la fonction donde ait une composante en Y2m q,f( ) en plus du Y00 q,f( ) habituel. Loprateur Hamiltonien lui-mme est un scalaire videmment et un terme de potentiel doit donc tre un scalaire (global) sous rotation. Cependant, la partie spatiale na pas tre un scalaire par elle-mme, non plus que la partie spin. On peut alors ajouter au potentiel entre les deux particules (1 et 2) un terme globalement scalaire du type VT r1,r2( ) = c r11( ) r21( )2 s11( ) s21( )200 Un premier tenseur dordre 2 sous rotation est dabord form par r11( ) r21( )2 partir des oprateurs position des deux particules (des vecteurs ou tenseurs dordre 1). La notation a subit ici un petit changement, lindice infrieur des oprateurs rfre la particule et lindice suprieur est celui de lordre tensoriel irrductible sous rotation. Cet oprateur agit sur les coordonnes spatiales des deux particules. On forme ensuite un second tenseur dordre 2 partir des oprateurs de spin (des vecteurs ou tenseurs dordre 1) des deux particules s11( ) s21( )2 et on forme ensuite un produit scalaire entre ces deux tenseurs irrductibles dordre 2 pour obtenir un 31 scalaire sous rotation qui peut alors tre un terme de potentiel dans loprateur Hamiltonien qui doit tre un invariant sous rotation, un scalaire. Explicitement, on forme les composantes (j, m) = (2, m) du tenseur spatial Q(2) par Q2m( ) = C 112;m1m2m( )m1m2m1 +m2 =m r11m1( )r21m2( ) ensuite les composantes du tenseur de spin S S2m( ) = C 112;m1mm2m( )m1m2m1 +m2 =m s11m1( )s21m2( ) et finalement on excute le produit scalaire qui donne VT scalaire VT = C 220;mm0( )mmm+m=0 Q 2m( )S 2m( ) Notant r = r1 - r2 la distance relative entre les deux particules, on obtient aprs un certain ( !) calcul VT r1, r2( ) =r 25s1 r( ) s2 r( )r 2-13s1 s2( ) un rsultat dont lobtention est laisse en exercice et que lon retrouve placard dans bon nombre de livres de physique nuclaire, sans jamais en donner une explication dtaille. On lappelle gnralement linteraction tensorielle, ce qui est vrai pour les rotations spatiales et vrai pour les spins, mais fausse (cest un scalaire) globalement. Maintenant, vous savez do a vient. Pierre Amiot, 2015.

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