Une nouvelle approche du risque de prépaiement

Une nouvelle approche du risque de prépaiement

Application aux ABS

Université d’Evry – 10 janvier 2008

SGAM Alternative Investments 210 jan. 2008

Plan de la présentation

I. Description des risques attachés aux ABS

II. Modélisation des actifs amortissables avec prépaiement

I. Formalisme général

II. Formules d’approximation

III. Résultats sous l’hypothèse d’un taux de prépaiement constant

I. Description des risques attachés aux ABS

Les différentes approches du risque de prépaiement


Mécanisme de fonctionnement des ABS

Un SPV émet différentes « tranches » de dette

Chacune de ces tranches reçoit une note par une ou plusieurs agences de notation

Les différentes tranches émises n’ont pas un risque équivalent : Les pertes éventuelles impactent d’abord les tranches les plus junior Le remboursement de la dette commence par les tranches les plus senior

Dette1Dette2Dette3

Dette100

...

AAA

ACTIF PASSIFSPV

La tranche la plus senior est (généralement) notée AAA

A

Equity

Une ou plusieurs tranches mezzanines, de rating BBB à AAA

Une tranche Equity souvent non notée

Rem

boursem

ent

Pertes


Typologie des ABS

A.B.S.(sens large)

M.B.S.Mortgage-backed securities

A.B.S.(sens restreint)

C.D.O.Collateralized debt obligation

• Residential MBS• Commercial MBS

• Cartes de crédit• Prêts à la conso• Receivables• Stocks• Cash flows futurs• Leasing…

• C.B.O. (bonds)• C.L.O. (loans)


Le marché des ABS

Définition : La titrisation est un mécanisme qui permet transférer au marché un pool de créances ou d’actifs sous la forme d’actif financiers (bonds)

Les différents types d’ABS selon les actifs titrisés Prêts hypothécaires : RMBS ou CMBS Créances de cartes de crédit Prêts à la consommation Prêt étudiants …Au sein de ces catégories, les ABS peuvent être classés suivant le niveau de risque de défaut des actifs (Prime, Subprime…)

Un marché en croissance avant la récente crise Un marché américain mature et qui dépasse le reste du monde en volume Le marché des ABS a réalisé une forte croissance les dernières années avant la crise du subprime.

Volume mensuel des émissions d'ABS

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

janvier-00

janvier-01

janvier-02

janvier-03

janvier-04

janvier-05

janvier-06

janvier-07

($bil.)

Etats-Unis Autres

Volume mondial cumulé des émissions d’ABS

0,0

200,0

400,0

600,0

800,0

1 000,0

1 200,0

1 400,0

j f m a m j j a s o n d

($Bil.)

2006 2007

Source: Asset-Backed Alert, www.abalert.com


La crise des subprimes

Facteurs de risque Taux d’intérêt LTV ratio FICO score Statut de l’occupant CSP du propriétaire Valeur du collatéral


Une crise systémique

Iboxx EUR ABS 50

97

97.5

98

98.5

99

99.5

100

100.5

28/04/2007 17/06/2007 06/08/2007 25/09/2007 14/11/2007 03/01/2008

Contagion au marché ABS européen

Corrélations de base

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

02/07/2006 10/10/2006 18/01/2007 28/04/2007 06/08/2007 14/11/2007

Date

Co

rré

lati

on 0-3

0-6

0-9

0-12

Marché de la corrélation


Le remboursement anticipé

Définition

Chaque prêt a un profil d’amortissement théorique, prévu à l’avance.

L’emprunteur a l’option de rembourser de manière anticipée moyennant le paiement d’une pénalité (6 mois d’intérêts par exemple)

L’exercice de cette option se traduit souvent par une renégociation du taux de l’emprunt

Le remboursement peut être complet ou partiel

Les facteurs déclenchant

Evénements de la vie : divorce, décès de l’emprunteur, faillite

Vente du bien : pour raisons personnelles ou professionnelles

Refinancement à un meilleur taux en cas de « forte » baisse des taux

Le comportement en termes de prépaiement dépend beaucoup de la géographie (ex. pays latins vs. Anglo-saxons)


Le risque pour la banque

Toucher moins de revenus

La banque va toucher moins de revenus que prévu

Elle ne va pas forcément porter moins de risque

Sélection adverse

Les emprunteurs en difficulté ou plus fragiles, ne vont pas rembourser de manière anticipée

Les produits concernés

Leveraged loans

Produits d’épargne avec options attachées (PEL)

Asset Backed Securities (ABS)


Le marché et les modèles

Marché essentiellement américain

Marché des MBS aux US

Agences Freddie Mac, Fannie Mae et Ginnie Mae

Marché d’arbitrage de la volatilité des taux d’intérêts

Différents formats : MBS pass-through, IO et PO, MBS tranchés

Plusieurs types de modélisations

Approche optionnelle

Approche économétrique

Approches hybrides (Fabozzi)


Les modèles optionnels (1/2)

Références bibliographiques

Brennan et Schwartz (1977)

Dunn et McConnell : Journal of Finance (1981)

Exercice optimal de l’option de refinancement de la part de l’emprunteur

Les portefeuilles considérés sont homogènes : pas de risque de défaut

La valeur d’un prêt est une fonction du taux court et du « time to maturity »

Le taux court suit un processus CIR

Les agents sont optimaux et interviennent sur un marché parfait et compétitif

Equation du prix de l’obligation remboursable

Conditions aux bords

• A maturité :

• Taux infinis :

• Callabilité :


Les modèles optionnels (2/2)

L’exercice de l’option est en général non optimal

L’exercice sous-optimal de l’option est modélisé par un processus de Poisson

L’EDP du prix s’écrit :

Les différents types d’obligations

Non callable bond

Callable bond avec exercice optimal

Callable bond avec exercice sous optimal


Les modèles économétriques

Exprimer le niveau des prépaiements futurs en fonction de certaines variables explicatives (Schwarz et Torous, 89)

Variables explicatives : taux d’intérêt, niveau des prépaiements passés

Burnout

Les emprunteurs n’ayant pas remboursé de manière anticipée alors que d’autres l’ont fait seront peu enclines à prépayer.

Hétérogénéité de comportement des emprunteurs

Description du modèle

Taux stochastiques – simulations Monte-Carlo

Choix des variables explicatives

Calibrage sur des données historiques : problème en cas de changement de comportement des emprunteurs (cf. années 90)


Les modèles hybrides

Kalotay - Yang - Fabozzi

Point de départ : modèles optionnels

Ingrédient empirique : modélisation de la sous-optimalité des emprunteurs

Modélisation du turnover / Refinancement

Turnover : en moyenne 75% PSA

Refinancement : ratio d’efficacité = économie / valeur de l’option

• Efficacité < 100% : refinancement trop tôt

• Efficacité = 100% : ingénieur financier / professeur à Evry

• Efficacité > 100% : refinancement trop tard


Le trading des ABS

Asset picking

Analyse fondamentale (analyse macroéconomique, analyse de la structure et des mécanismes de rehaussement de crédit)

Analyse quantitative : pricing de l’Option Adjusted Spread (OAS) et modèles d’agences

Mesure du rendement d’un ABS

Modèle de Cash-flows

Taux de prépaiement constant

Discount Margin (constant spread)

WAL = proxy de la duration

Prix = somme actualisée au taux risqué des cash-flows dans le scenario 0 défaut

tt

t

t

DMr

CFP

)(

II. Modélisation des actifs amortissables avec prépaiement

Formalisme général et formules d’approximation


Actifs financiers amortissables

Définition : En désigne par actif amortissable tout actif financier donnant droit à des payements réguliers de principal et d’intérêts jusqu’au remboursement total du montant investi avant une maturité déterminée.

Un pool d’actifs amortissables est lui-même un actif amortissable

Profils d’amortissement : Le profil d’amortissement est une fonction du temps représentant le capital restant dû à la date t et qui sera notée

et

Exemples de profils d’amortissement standards


Prépaiement

Le prépaiement est le remboursement anticipé d’une partie du capital restant dû ou de son intégralité.

Accélération de l’amortissement et modification du profil d’amortissement

Le prépaiement peut-être déterministe ou aléatoire et on ne dispose à un instant donnée que d’une estimation de la moyenne (espérance) du taux de prépaiement futur.

Le prépaiement est défini par un processus qui représente la fraction du principal qui n’a pas été prépayée à l’instant t

Le processus de prépaiement a les propriétés suivantes :

A ,

est décroissant


Capital restant dû

Si on désigne par le capital restant dû à l’instant t alors

Dans le cas de structures plus complexes, par exemple la tranche senior d’un ABS à remboursement séquentiel, prend des formes plus complexes

avec

et

Profils d’amortissement des tranches (sans normalisation)


Prépaiement et théorie de la mesure

et sont deux mesures sur l’ensemble des réels positifs

Pour une fonction mesurable par rapport à ces deux mesures, on définit deux opérateurs d’intégration et comme suit :

Si on dénote par la dérivée de Radon-Nikodym définie par on a

Application :

WAL

Prix : dans l’approche actuarielle, le prix est la somme des cash-flows futurs actualisés.

• : le taux actuariel de l’actif

• : le taux de coupon

• L’actif a été émis au pair : quand


Propriétés de la WAL

Après intégration par parties :

WAL et convexité : la WAL est la surface entre le l’axe des abscisses et

Quand est convexe

Quand est concave

WAL et linéarité

WAL d’un portefeuille d’actifs amortissable

Relation entre la WAL d’un pool actifs amortissable titrisé et les WALs des tranches du passif


Encadrement du prix

Convexité de l’exponentielle : (Inégalité de Jensen), et donc

Ce qui permet d’encadrer le prix d’un actif amortissable par deux bornes non-triviales

La borne est assimilable à une obligation payant coupon fixe et ayant la WAL de l’actif

amortissable comme maturité. On appellera une telle obligation le l’actif bullet associé et on notera son prix


Sensibilité et convexité du prix par rapport au yield

Pour de faibles valeurs de et , le développement limité à l’ordre 1 de la sensibilité du prix au yield nous donne :

Par conséquent, une approximation de la sensibilité du prix est :

Cette expression n’est pas définie en L’expression exacte de la sensibilité dans ce cas est

Le développement limité à l’ordre 0 de la convexité du prix nous donne

Avantages et inconvénients :

Ces approximations sont indépendantes du profil d’amortissement et ne dépendent que des paramètres standard du marché tel que la WAL, le prix et le yield.

Ces expressions ne sont pas définies au pair et sont moins efficaces pour des actifs de mauvais rating et de WAL élevée

La sensibilité dépends de la dispersion des CFs

III. Sous l’hypothèse d’un taux de prépaiement constant


Taux de prépaiement constant et ABS pass-through

Dans le cas d’un taux de prépaiement constant , vérifie et donc

ABS pass-through

Le passif est constitué d’une seule tranche de dette

Si désigne le profil d’amortissement théorique de l’actif, alors le capital restant dû du passif satisfait l’ED

Transformée de Laplace

• Sous l’hypothèse CPR, la WAL s’écrit :

• Si on dénote par la transformée de Laplace de au point , alors

• On en déduit les moments d’ordre 2 et 3 et

EDP du prix

• On démontre que le prix d’un ABS pass-through s’écrit

• Le prix satisfait l’EDP suivante :

Remboursement anticipéRemboursement théorique


Sensibilités du prix d’un ABS pass-through

On dispose de deux approximations de la sensibilité au yield: et définie dans la section précédente

L’approximation par n’est valable que pour les ABS high grade de courtes maturités

L’approximation est meilleure pour les yields ou des WAL faibles à cause de l’utilisation de développements limités en

L’approximation est efficace autour du pair (la bissectrice)

Approximation par

Approximation par


ABS avec amortissement séquentiel

Dans le cas d’un ABS ayant plusieurs tranches dans son passif, le remboursement du capital peut être séquentiel ou au prorata

Définition : Dans le cas d’un ABS séquentiel les paiements du principal (planifiés ou ou non planifiés) sont alloués à la tranche la plus senior jusqu’à son remboursement total avant de passer à la tranche suivante.

Une tranche d’un ABS séquentiel est définie par un point d’attachement A et un point de détachement D tel que

On définit le temps de détachement d’une tranche (resp. d’attachement) l’instant (resp. ) où le restant dû total atteint le point de détachement D (resp. A)

Quand le taux de prépaiement est faible on a :


Tranche senior d’un ABS séquentiel

Tranche senior :

L’approximation est plus efficace dans le cas des tranches senior que dans le cas des ABS pass-through :

• maturité plus courte• Yield plus faible

La sensibilité du prix au taux de prépaiement est plus compliqué que le cas d’un ABS pass-through : elle dépend de et de sa dérivée.

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

y0

y

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%0%

2%

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y0

y

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%0%

2%

4%

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y0

y

14%-15%

13%-14%

12%-13%

11%-12%

10%-11%

9%-10%

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7%-8%

6%-7%

5%-6%

4%-5%

3%-4%

2%-3%

1%-2%

0%-1%

= 10%

A = 0%, = 11%

= 30 ans

A = 20%, = 9%

= 14 ans

A = 60%, = 7%

= 8 ans


Tranche mezzanine d’un ABS séquentiel

Tranche mezzanine

Quand , on obtient des tranches infiniment fines (Infinitely Thin Tranches: ITT) Dans ce cas la tranche mezzanine est assimilable à son actif bullet associé et on a :

•

•

• avec

L’approximation de la sensibilité du prix au yield par est valide pour des épaisseur allant à 20%


Tranche mezzanine d’un ABS séquentiel (suite)

Dans le cas des tranches mezzanines fines (allant jusqu’à 20% d'épaisseur), l’approximation de la sensibilité du prix au yield par

est encore plus efficace que l’approximation

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

y0

y

14%-15%

13%-14%

12%-13%

11%-12%

10%-11%

9%-10%

8%-9%

7%-8%

6%-7%

5%-6%

4%-5%

3%-4%

2%-3%

1%-2%

0%-1%0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

y0

y

A = 10%, D – A = 10%, = 10%

IV. Conclusion


Conclusion

Assimilation du prépaiement à un changement de mesure

Formules d’approximation de la sensibilité et de la convexité du prix d’un actif amortissable

Formule plus pertinente que l’approximation de la sensibilité par la WAL

Formules universelles qui dépendent uniquement des paramètres du marché : Prix, yields, WAL

Mise en évidence de l’impact de la dispersion des cash-flows sur la sensibilité au spread

WAL : moment d’ordre 1

: moment d’ordre 2

Assimilation des tranches mezzanines à leurs actifs bullet associés

Validité pour tous points d’attachement et pour des épaisseurs allant à jusqu’à 20%


Annexe 1 : Approximation par la sensi du bullet

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